Předmět A3B31TES Př. 2 B

Předmět A3B31TES Př. 2 B PS,TB,OK 1 1 Katedra teorie obvodů Přednáška 2: Systémy PS,TB,OK Předmět A3B31TES Př. 2 B únor 2015 1 / 56

Obsah 1 Úvod 2 Typy systémů 3 Stabilita systémů 4 Příklady systémů 5 Základní bloky systémů 6 Postup získání schematu z diferenční rovnice 7 Modelování spojitých systémů a jejich simulace 8 Formální popis systémů 9 Diferenciální rovnice 10 Příklady řešení diferenciálních rovnic 11 Soustava diferenciálních rovnic 12 Vnější a vnitřní popis systému 13 Selhání derivace PS,TB,OK Předmět A3B31TES Př. 2 B únor 2015 2 / 56

Opakování Co známe z minulé přednášky? Co je to signál a systém? Co všechno může být signálem? Jaké typy signálů známe? Které základní signály jsme poznal a jaký je jejich význami? Co je energie/výkon signálu, vzájemná energie a korelace - význam a použití? PS,TB,OK Předmět A3B31TES Př. 2 B únor 2015 3 / 56

Čím se budeme zabývat? Jaké jsou typy systémů a jejich vlastnosti... Jak lze systém popsat - modelovat - simulovat... Příklady některých modelů... Úvod do řešení diferenciálních rovnic PS,TB,OK Předmět A3B31TES Př. 2 B únor 2015 4 / 56

Úvod Příklady systémů Co nás zajímá? Biologický systém - evokované potenciály: diagnostika i výzkum činnosti mozku a vazeb signálů v těle člověka Jak získat užitečnou informaci? PS,TB,OK Předmět A3B31TES Př. 2 B únor 2015 5 / 56

Úvod Co nás zajímá? Zpracování signálu: pouze vstup/výstup (vnější popis) nebo i signály v jednotlivých místech zapojení (vnitřní popis)? Jak kdy PS,TB,OK Předmět A3B31TES Př. 2 B únor 2015 6 / 56

Úvod Co nás zajímá? VSTUPNÍ SIGNÁL SYSTÉM VÝSTUPNÍ SIGNÁL Vnější popis: systém=černá skříňka; systém přijímá vstupní signál (buzení), produkuje výstupní signál (odezvu) Ovšem: odezva závisí i na (počátečním) stavu systému (el. obvod, člověk a jeho rozpoložení) Vnitřní - stavový popis: umožňuje nahlédnout do struktury systému, popsat vnitřní (stavové) signály PS,TB,OK Předmět A3B31TES Př. 2 B únor 2015 7 / 56

Úvod Reálný systém a jeho model reálný systém - saturace, nelinearity, zpozdění, hystereze,... - obtížné řešení model systému matematické zjednodušení fyzikálního systému schéma - znázornění systému diferenciálních rovnice (DR) a její řešení - popis chování systému přenos - stabilita, frekvenční vlastnosti... identifikace systému - klasifikace systému a stanovení parametrů DR nebo přenosu např. měření vstup/výstup PS,TB,OK Předmět A3B31TES Př. 2 B únor 2015 8 / 56

Úvod Diferenciální rovnice - DR - chování systémů Většina systémů je nelineárních a vykazuje saturaci hodnot signálů Chování systémů popisuje diferenciální rovnice (DR): dy dt = f (u, y) & okrajové (počáteční) podmínky Řešení dáno vstupním signálem vlastnostmi systému množina řešení počátečními podmínkami (počáteční stav systému) jediné řešení Řešení y(t) nelineární DR analytické metody (symbolické): tužka a papír, MAPLE, MATLAB (Symbolický toolbox: dsolve), transformace,... numerické metody (MATLAB - symbolický toolbox: např. ode45): mohou vést k chybnému řešení při nevhodné volbě kroku!!! linearizace: určení pracovního bodu a řešení linearizované DR pozor! linearizace platí pouze v malém okolí pracovního (rovnovážného) bodu, tedy pro malé změny hodnot signálu PS,TB,OK Předmět A3B31TES Př. 2 B únor 2015 9 / 56

Úvod Diferenční rovnice Získáme ji diskretizací diferenciální rovnice nebo modelováním diskrétního systému Chování systémů popisuje diferenční rovnice (DR): y[n + 1] = f (y[n], u[n]) s poč. podmínkou u[0] = konst. Řešení y[n] dáno vstupním signálem vlastnostmi systému množina řešení počátečními podmínkami (počáteční stav systému) jediné řešení Řešení nelineární DR: analytické metody (symbolické), transformace rekurentní metody - diferenciální rovnice takto řešit nelze linearizace a řešení lineární DR PS,TB,OK Předmět A3B31TES Př. 2 B únor 2015 10 / 56

Typy systémů Typy - klasifikace systémů Systémy rozlišujeme = identifikujeme podle rovnice, která je popisuje způsobu odezvy na vhodně zvolený vstupní signál Typy systémů Lineární X Nelineární Bez paměti X S pamětí Deterministický X Stochastický Stabilní X Nestabilní Stacinární X Nestacionární Bez zpětné vazby X Zpětnovazební Kauzální X Nekauzální Podle počtu vstupů a výstupů... PS,TB,OK Předmět A3B31TES Př. 2 B únor 2015 11 / 56

Stabilita systémů Stabilita a kauzalita systémů definice Stabilita = schopnost sytému udržet po poruše parametry uvnitř daných mezí Základní typy stability 1. BIBO 1 stabilita omezený 2 vstup generuje omezený výstup u(t) < x(t) < 2. asymptotická stabilita = stabilita soustavy, která se po poruše vrátí do původního stavu v nekonečném čase Kauzalita systém je kauzální, pokud jeho reakce nepředbíhá podnět: výstupní signál se může objevit nejdříve v okamžiku, kdy začne působit vstupní signál Úkol: Zkuste zjistit, jak je to s kauzalitou derivace a integrace 1 Bounded input bounded output 2 V amplitudě PS,TB,OK Předmět A3B31TES Př. 2 B únor 2015 12 / 56

Příklady systémů Příklady systémů Lineární X Nelineární: kyvadlo s malým a velkým rozkmitem Další příklad: limitér 3 x[n] y[n] yn 0.1, xn 0.1 0.1, xn 0.1 xn, 0.1 xn 0.1 3 Zvukova ukazka: moneyzkreslenylimitace.mp3 PS,TB,OK Předmět A3B31TES Př. 2 B únor 2015 13 / 56

Příklady systémů Limitér omezuje hodnoty signálu a tím jej tvarově zkresluje a generuje ve výstupu složky signálu, které ve vstupu nebyly (viz přiložené spektrogramy u záznamů) 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 23.5 23.55 23.6 23.65 23.7 23.75 23.8 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 23.5 23.55 23.6 23.65 23.7 23.75 23.8 PS,TB,OK Předmět A3B31TES Př. 2 B únor 2015 14 / 56

Příklady systémů Příklady systémů Diskrétní systém lineární: y[n] = x[n] + x[n 1] nelineární: y[n] = (2x[n] x 2 [n]) 2 diferenční rovnice - neobsahují derivace ale rozdíly v indexech: n, n 1,... PS,TB,OK Předmět A3B31TES Př. 2 B únor 2015 15 / 56

Příklady systémů Bez paměti X S pamětí: paměť prvek akumulující energii nebo klopný obvod; brzda - lanko X voda - přehrada; odporový dělič X RC článek; Deterministický X Stochastický Stabilní X Nestabilní - PS,TB,OK při stejných podmínkách alternativy (překvapení) kyvadlo X inverzní kyvadlo (kladivo na obr., večerníček na kole...) Předmět A3B31TES Př. 2 B únor 2015 16 / 56

Příklady systémů Převzato z www.ceskatelevize.cz, upraveno PS,TB,OK Předmět A3B31TES Př. 2 B únor 2015 17 / 56

Příklady systémů Stacinární X Nestacionární - parametry systému = koeficienty dif. rovnice konstantní X proměnné (hubnutí) Bez zpětné vazby X Zpětnovazební - např. stabilizace systému: večerníček bez záporné zpětné vazby spadne Kauzální X Nekauzální - vypínač, schody v metru X zpracování obrázků (data uložena v paměti!!!) Podle počtu vstupů a výstupů - SISO (Single Input Single Output), SIMO, MISO, MIMO (Multiple Inputs Multiple Outputs) Kauzální zesilovač digitální a analogový (spojitý v čase) +Un R1 RC Uout x[n] y[n] Uin R2 RE y[n] = 2x[n] Au = -RC/RE PS,TB,OK Předmět A3B31TES Př. 2 B únor 2015 18 / 56

Příklady systémů Kauzální digitální filtr typu dolní propust a pásmová propust (naučíte se navrhovat a používat) x[n] + + y[n] x[n] D + + + y[n] + D 0.98 D D - + D 1.97 D -0.98 yn 0.98yn 1 xn xn 1 y = filter([1 1], [1-0.98], x); yn 1.97yn 1 0.98yn 2 xn xn 2 y = filter([1 0 1], [1-1.97 0.98], x); Námět: poslech součtu a rozdílu vzorků 4 (viz dopředné cesty obou filtrů) Nekauzální diferenční filtr: y[n] = x[n + 1] x[n 1] zpožděním výstupu o 1 vzorek lze použít pro výpočet v reálném čase bez uložení vzorků signálu Systémy bez paměti jsou vždy kauzální Pokud máme signály uloženy v paměti (magnetický pásek, CD,...) lze je zpracovat i nekauzálními systémy (off-line zpracování = ne v reálném čase) 4 Zvukova ukazka: piratidp.mp3=součet, piratihp.mp3=rozdíl; původní záznam: piratioriginal.mp3 PS,TB,OK Předmět A3B31TES Př. 2 B únor 2015 19 / 56

Příklady systémů Nekauzální zpracování obrazu - vzorky uloženy v paměti nekauzální zpracování je možné Metoda hledání hran HH 2 VH 2 Obrázky: originál a hrany Další příklady systémů na přednášce PS,TB,OK Předmět A3B31TES Př. 2 B únor 2015 20 / 56

Základní bloky systémů Základní bloky systémů Základní stavební bloky systémů - vysvětlení, symboly a ilustrace na přednášce násobení signálu reálným číslem - potenciometr, koeficient, gain,... součet signálů - sčítací člen paměťové prvky - t - integrační člen, d dt - derivační člen, digitální paměť D (klopný obvod) nelineární funkce Poznámka: integrační člen t je určitý (!) integrál PS,TB,OK Předmět A3B31TES Př. 2 B únor 2015 21 / 56

Postup získání schematu z diferenční rovnice Postup získání schematu z diferenční rovnice Diferenční rovnice systému bez zpětné vazby: y[n] = 1/2(x[n] + x[n 1]) Z této rovnice lze bez úpravy kreslit schema diskrétního systému: výstup=koeficient*(vstup+minulý vstup) Schema systému: Pozn1.: tento systém je VŽDY stabilní neboť pro omezený vstup generuje omezený výstup PS,TB,OK Předmět A3B31TES Př. 2 B únor 2015 22 / 56

Postup získání schematu z diferenční rovnice Pozn1.: pro a = 1 představuje systém diskrétní integrátor (kumulační součet) často používaný systém ve zpracování signálů Pozn2.: pro a > 1 je systém nestabilní neboť i omezený vstup generuje neomezený výstup PS,TB,OK Předmět A3B31TES Př. 2 B únor 2015 23 / 56 Postup získání schematu z diferenční rovnice Diferenční rovnice systému se zpětnou vazbou: x[n] = u[n] + ax[n 1] Z této rovnice lze bez úpravy kreslit schema diskrétního systému: výstup=vstup+koeficient * minulý výstup Schema systému:

Modelování spojitých systémů a jejich simulace Modelování systémů a jejich simulace Co pro to musíme udělat? Zjednodušit problém, pokud je to přínosné - např. linearizace... Popsat vlastnosti systému (fyzikální popis systému)... Popsat vstupní signál... Určit stav systému... Určit výstupní signál... PS,TB,OK Předmět A3B31TES Př. 2 B únor 2015 24 / 56

Modelování spojitých systémů a jejich simulace Model jedoucího automobilu Referenční příklad 1 AUTO - pohyb automobilu v pomalé rychlosti(modifikace příkladu z učebnice B. Franklina) Hlavní myšlenka: rovnováha sil & použijeme 2. Newtonův zákon: F = ma Podmínky a zjednodušení použité pro získání modelu - viz přednáška Lineární diferenciální rovnice 1. řádu popisující pohyb vozu s(t) + b m ṡ(t) = F m, kde F je hnací síla, m hmotnost vozu a b součinitel odporu pro malé rychlosti (laminární proudění vzduchu) přepis rovnice vzhledem k rychlosti v(t) + b m v(t) = F m Nutné znát počáteční podmínku, tedy v(0) = konst Na přednášce uvedeno: schéma - pro simulaci komplexní frekvence výstup systému pro δ(t) a 1(t) - řešení DR PS,TB,OK Předmět A3B31TES Př. 2 B únor 2015 25 / 56

Modelování spojitých systémů a jejich simulace Model volného pádu Na přednášce uvedeny modely: volného pádu: v = g, g-tíhové zrychlení volného pádu s odporem vzduchu: v = g b/mv(t), podmínky pro získání modelu schéma komplexní frekvence řešení DR - příklady PS,TB,OK Předmět A3B31TES Př. 2 B únor 2015 26 / 56

Modelování spojitých systémů a jejich simulace Čarodějnice na pružině = model tlumiče Definice problému: Jak se bude čarodějnice pohybovat, když za ní budeme tahat? PS,TB,OK Předmět A3B31TES Př. 2 B únor 2015 27 / 56

Modelování spojitých systémů a jejich simulace Zjednodušení problému - podmínky pro získání modelu: Uvažujme jen vertikální pohyb Považujme čarodějnici za hmotný bod :-) Pružina se bude chovat hezky (tedy lineární vztah pro vratnou sílu F = kz) Ztráty pouze třením v pružině Žádné rušení, apod. PS,TB,OK Předmět A3B31TES Př. 2 B únor 2015 28 / 56

Modelování spojitých systémů a jejich simulace Fyzikální popis sytému z k m β PS,TB,OK Předmět A3B31TES Př. 2 B únor 2015 29 / 56

Modelování spojitých systémů a jejich simulace Fyzikální popis systému z k m β Hlavní myšlenka: rovnováha sil použijeme 2. Newtonův zákon: F = ma Jaké působí síly? Budící, tlumící, vratná PS,TB,OK Předmět A3B31TES Př. 2 B únor 2015 30 / 56

Modelování spojitých systémů a jejich simulace Fyzikální popis systému z k m β Hlavní myšlenka: rovnováha sil použijeme 2. Newtonův zákon: F = ma Jaké působí síly? Budící, tlumící 5, vratná F o (t) β dz dt kz = ma = m d2 z dt 2 (1) 5 pro malé rychlosti je síla lineárně závislá na rychlosti (laminární proudění)=stokesův vztah, pro větší rychlosti kvadratická závislost (turbulentní proudění), pro rychlosti větší než Machovo číslo kubická závislost (rázová vlna) PS,TB,OK Předmět A3B31TES Př. 2 B únor 2015 31 / 56

Modelování spojitých systémů a jejich simulace Výsledná DR m d2 z dt 2 + β dz dt + kz = F o(t) Lineární diferenciální rovnice 2. řádu! m, β, k jsou koeficienty diferenciální rovnice nejvyšší derivace udává řád Musíme znát ještě stav systému, tedy počáteční podmínky z(0) = c 1, dz dt (0) = c 2 rovnice 2. řádu 2 počáteční podmínky Řešení rovnice potom platí pro dané počáteční podmínky c 1, c 2 buzení (vstupní signál) F o (t) Na přednášce uvedeno: schéma komplexní frekvence řešení DR pro Diracův impuls a jednotkový skok PS,TB,OK Předmět A3B31TES Př. 2 B únor 2015 32 / 56

Modelování spojitých systémů a jejich simulace Matematické kyvadlo - oscilátor T c θ l mglsinθ mg Rovnice (rovnost momentů) má tvar T c mgl sin θ = J θ nebo přehledněji θ + g l sin θ = T c ml 2 (2) Nelineární! diferenciální rovnice 2. řádu ( θ je úhlové zrychlení) PS,TB,OK Předmět A3B31TES Př. 2 B únor 2015 33 / 56

Modelování spojitých systémů a jejich simulace Nelineární diferenciální rovnice se nám nelíbí! :-( V určitých případech můžeme problém zjednodušit linearizací: sin(θ) θ, tedy θ + g l θ = T c ml 2 (3) Linearizace funguje jen pro malé výchylky kolem rovnovážné polohy = pracovního bodu Všimněme si, že chybí tlumení (člen u první derivace) - dáno zjednodušením problému matematické kyvadlo (zanedbali jsem tlumení - ztráty) Opět musíme znát ještě stav systému, tedy počáteční podmínky θ(0) = c 1, θ(0) = c 2 Na přednášce uvedeno: schéma komplexní frekvence řešení DR pro Diracův impuls a jednotkový skok PS,TB,OK Předmět A3B31TES Př. 2 B únor 2015 34 / 56

Modelování spojitých systémů a jejich simulace Jednoduchá realizace kyvadla (už ne matematického) Co představuje jednotkový skok? zanedbání nehomogenit proudu vzduchu A jak to vlastně kmitá? Pro lineární model platící pro malé výchylky je to v ustáleném tvaru sinusový průběh vyzkoušíte si na cvičení PS,TB,OK Předmět A3B31TES Př. 2 B únor 2015 35 / 56

Modelování spojitých systémů a jejich simulace Model kyvadla bez tlumení pro SIMULINK Model poskytuje numerické řešení diferenciální rovnice - pro nás velmi příjemné :-) Step 2 Gain1 Add 1 s Integrator 1 s Integrator1 Scope Gain Trigonometric Function -K- sin Add1 1 s Integrator2 1 s Integrator3 Gain2 -K- PS,TB,OK Předmět A3B31TES Př. 2 B únor 2015 36 / 56

Modelování spojitých systémů a jejich simulace Numerické řešení diferenciální rovnice pro daný vstup a počáteční podmínky = výstup modelu PS,TB,OK kyvadla Předmět A3B31TES Př. 2 B únor 2015 37 / 56 Řešení DR - výstup modelu kyvadla pro jednotkový skok Porovnání řešení nelineární a lineární diferenciální rovnice 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0-0.1 5 10 15 20 25 30 35 40 45

Modelování spojitých systémů a jejich simulace ALE POZOR :-x i mistr tesař se utne numerické řešení diferenciální rovnice nemusí vždy dát správný výsledek :-x Porovnání řešení nelineární a lineární diferenciální rovnice 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0-0.1 10 20 30 40 50 60 70 80 Proč?????? Numerické řešení diferenciální rovnice závisí na volbě diskretizačního kroku :-o - vysvětlíme si to PS,TB,OK Předmět A3B31TES Př. 2 B únor 2015 38 / 56

Formální popis systémů Formální popis systémů Dále už budeme požívat jen formální popis systémů Tedy např. místo budeme psát m d2 z dt 2 + β dz dt + kz = F o(t) a 0 ÿ + a 1 ẏ + a 2 y = u Proč formální popis? Protože různé systémy/úlohy mnohdy vedou na stejné rovnice. Nehledě na fyzikální pozadí nám pak bude stačit znát kvalitativní chování příslušné formální rovnice PS,TB,OK Předmět A3B31TES Př. 2 B únor 2015 39 / 56

Formální popis systémů Postup získání schematu z DR - shrnutí Proč je důležité umět nakreslit schema (diagram) z DR? je to grafické znázornění systému a umožnňuje jeho numerické řešení (simulaci) v SIMULINKu - ukázali jsme si Dáno: Diferenciální rovnice ÿ(t) + a 1 ẏ(t) + a 2 y(t) = b 0 u(t) Cíl: získat schema/diagram systému Řešení získáme postupnou integrací: 6 i když vlastní integrování nemusíme provádět to za nás provede SIMULINK Jednoduchý postup kreslení schematu : vyjádřit nejvyšší derivaci (určuje počet použitých integrátorů) ÿ(t) = a 1 ẏ(t) a 2 y(t) + b 0 u(t) kaskádně zapojit integrátory y(t) = ÿ(t) nakreslit symbol součtu (součtový člen) před první integrátor realizovat smyčky zpětných vazeb z výstupů integrátorů do součtu 6 Protože jsme si použití derivace zatím zakázali :-) PS,TB,OK Předmět A3B31TES Př. 2 B únor 2015 40 / 56

Formální popis systémů Korespondence DR a schematu Rovnice: ÿ(t) + a 1 ẏ(t) + a 2 y(t) = b 0 u(t) = Řešení: y(t) = (b 0 u(t) a 1 ẏ(t) a 2 y(t)) = Schema systému: PS,TB,OK Předmět A3B31TES Př. 2 B únor 2015 41 / 56

Diferenciální rovnice Diferenciální rovnice - DR DR = královna ukrývající tajemství systémů Typy DR: obyčejné - 1 nezávislá proměnná parciální - více nezávislých proměnných nelineární lineární Řád DR řád nejvyšší derivace PS,TB,OK Předmět A3B31TES Př. 2 B únor 2015 42 / 56

Příklady řešení diferenciálních rovnic Analytické řešení diferenciální rovnice Příklad obyčejné DR: y = dy dx = f (x, y) Např.: f (x, y) = 3x 2 y = dy dx = 3x 2 Příklad1: Analytické řešní DR s tužkou a papírem dy dx = 3x2 dy = 3x 2 dx rodina řešení: y = x 3 + C1 PS,TB,OK Předmět A3B31TES Př. 2 B únor 2015 43 / 56

Příklady řešení diferenciálních rovnic Příklad1: Analytické řešení DR - pokračování... Zadáme-li okrajovou (nebo počáteční) podmínku ve tvaru y(2) = 0.5 vybereme z rodiny jediné řešení: y = x 3 7, 5 Tentýž výsledek poskytne funkce dsolve (MATLAB): syms x y yf = dsolve( Dy = 3 x 2, x ); % rodina reseni y = dsolve( Dy = 3 x 2, y(2) = 1/2, x ); % jedine reseni figure(1); ezplot(y,[-3,3]) PS,TB,OK Předmět A3B31TES Př. 2 B únor 2015 44 / 56

Příklady řešení diferenciálních rovnic Numerické řešení diferenciální rovnice Proč se vlastně zabývat numerickým řešením diferenciálních rovnic? Protože se v praxi často používá a používá jej i Simulink ;-) - a my nemusíme znát metody řešení DR :-) Schema ukazuje řešení DR 2. řádu pomocí dvojnásobné integrace Hmmmmmmmm, a jak vlastně se ta integrace provádí?????????????? PS,TB,OK Předmět A3B31TES Př. 2 B únor 2015 45 / 56

Příklady řešení diferenciálních rovnic Numerické řešení diferenciálních rovnic Takto... - ale co je ta Rungova-Kuttova metoda - a jak máme vlastně nastavit její parametry? :-( PS,TB,OK Předmět A3B31TES Př. 2 B únor 2015 46 / 56

Příklady řešení diferenciálních rovnic Rovnice: dy dt = f (x, y) Cíl: získat hodnoty f (x, y) v bodech x n Hodnoty f (x, y) v bodech x n poskytují metody numerické integrace, hodnoty i mimo body x n poskytuje např. Rungova-Kuttova metoda volba kroku T (vzdálenost bodů x n+1 a x n): pevná velikost (volí uživatel) X proměnná (řízená velikostí chyby a ) vyjádření rozdílu hodnot funkce y v bodech x n+1 a x n následně lze získat soustavu rovnic pro určení f (x, y) v bodech x n Tento postup se postupně opakuje pro vybrané diskrétní hodnoty nezávislé proměnné x n a Obě volby umožňuje SIMULINK Důležité: numerické řešení je citlivé 7 na volbu diskretizačního kroku T = x n+1 x n Ukažme si to 7 Proto jsme při simulaci kyvadla pomocí SIMULINKu a pevného kroku T získali chybné řešení viz Př.2 část 1 PS,TB,OK Předmět A3B31TES Př. 2 B únor 2015 47 / 56

Příklady řešení diferenciálních rovnic Příklad2: Numerická integrace pomocí ode45 Nutné zadat: tvar DR (zde y = 3 x 2 ) & interval integrace (zde < 3, 3 >) & poč. podmínku y(x 0 ) = ( 3) 3 7.5: Pozn.: přesnost je veliká: modrá čára=analytické řešení, zelená=numerické řeš. MATLAB: x0=-3; xf=3; tspan = [x0 xf ]; y0 = x0 3 7.5; [T, Y ] = ode45(@rigid, tspan, y0); %integruje DR od t0 do tf s poc. podm. y0... function dy = rigid(x, y) dy = 3 x 2 ; PS,TB,OK Předmět A3B31TES Př. 2 B únor 2015 48 / 56

Příklady řešení diferenciálních rovnic Příklad3: Numerická integrace pomocí ode45 vliv velikosti kroku integrace Pozn.: přesnost řešení klesá s rostoucím krokem a a Funkce ODExy automaticky volí optimální krok, proto v případě pevného a velkého externě zadaného kroku nejsou výsledky správné PS,TB,OK Předmět A3B31TES Př. 2 B únor 2015 49 / 56

Soustava diferenciálních rovnic Soustava diferenciálních rovnic 1. řádu Proč převádět DR vyššího řádu na soustavu diferenciálních rovnic řádu 1? Motivace: chceme-li použít funkce ODExy k nalezení numerického řešení nelineární diferenciální rovnice vyššího řádu je třeba tuto rovnici nahradit soustavou rovnic 1. řádu 8 chceme-li získat náhled do vnitřní strukury systému a znát souvislosti mezi signály uvnitř systému a tím získat větší množství informací Jedná se úlohu nalezení vnitřního (stavového) popisu z popisu vnějšího 8 při použití SIMULINKu stačí sestavit model přímo z rovnice PS,TB,OK Předmět A3B31TES Př. 2 B únor 2015 50 / 56

Vnější a vnitřní popis systému Stavový popis pro nelineární systém Převod diferenciální rovnice 2. řádu na 2 dif. rovnice prvního řádu = získání stavového popisu z DR Příklad kyvadlo: θ + g l sin θ = Tc ml 2 (4) Tato nelineární diferenciální rovnice je vnějším popisem kyvadla Zavedeme nové proměnné x 1 a x 2 pomocí substituce: x 1 = θ x 2 = θ Vyjádříme rovnici (4) pomocí proměnných x 1 a x a 2 : x 2 + g sin x l 1 = Tc ml 2 získali jsme první rovnici 1. řádu Nalezněme vztah mezi x 1 a x 2 : θ = x 2 = ẋ 1 získali jsme druhou rovnici 1. řádu Tedy rovnici θ + g sin θ = Tc l ml 2 lze zapsat soustavou dvou diferenciálních rovnic 1. řádu (jedna z nich je nelinární) ẋ 1 = x 2 x 2 = Tc ml 2 g sin x l 1 PS,TB,OK Předmět A3B31TES Př. 2 B únor 2015 51 / 56

Vnější a vnitřní popis systému Vnější a vnitřní popis systému - shrnutí Shrnutí příkladu získání stavového popisu z DR: Nelineární diferenciální rovnici 2. řádu (vnější popis systému) θ + g l sin θ = Tc ml 2 lze zapsat soustavou dvou rovnic 1. řádu (vnitřní - stavový popis ) ẋ 1 = x 2 x 2 = Tc ml 2 g sin x l 1 s počátečními podmínkami: θ(0) = x 1 (0) = c 1 θ(0) = x 2 (0) = c 2 a použít funkci ODExy nebo SIMULINK a k numerickému výpočtu a SIMULINK používá k numerickému výpočtu funkce ODExy PS,TB,OK Předmět A3B31TES Př. 2 B únor 2015 52 / 56

Vnější a vnitřní popis systému Vnější a vnitřní popis SISO 9 systému 2. řádu Lineární DR pro SISO systém 2. řádu (vnější popis) ÿ(t) + a 1 ẏ(t) + a 0 y(t) = bu(t), poč. podm.: y(0) = C 1 a ẏ(0) = C 2 Postup získání stavového popisu lineárního systému(vnitřní popis) 1 volba stavových proměnných (nejednoznačná) doporučení: x 1 (t) = y(t) a x 2 (t) = ẏ(t) 2 přepočítáme poč. podm.: y(0) = x 1 (0) a ẏ(0) = x 2 (0) 3 dosazením x 2 (t) = ẏ(t) do původní DR získáme ẋ 2 (t) + a 1 x 2 (t) + a 0 x 1 (t) = bu(t) ẋ 2 (t) = a 1 x 2 (t) a 0 x 1 (t) + bu(t) 4 pomocí bodu 1 určíme vztah mezi x 1 (t) a x 2 (t) ẋ 1 (t) = ẏ(t) = x 2 (t) 9 Jeden vstup i výstup PS,TB,OK Předmět A3B31TES Př. 2 B únor 2015 53 / 56

Vnější a vnitřní popis systému Maticový zápis pro lineární systém Soustavu lineárních diferenciálních rovnic ẋ 1 (t) = x 2 (t), ẋ 2 (t) = a 1 x 2 (t) a 0 x 1 (t) + bu(t) a y(t) = x 1 (t) lze zapsat maticově 1 Vztah mezi stavovými proměnnými, jejich derivacemi a vstupem [ ] [ ] [ ] [ ] ẋ1 (t) 0 1 x1 (t) 0 =. + u(t) ẋ 2 (t) a 0 a 1 x 2 (t) b(t) 2 Vztah mezi stavovými proměnnými a výstupem y(t) = [ 1 0 ] [ x1 (t). x 2 (t) Schema (diagram) z maticového zápisu ] + [0]u(t) PS,TB,OK Předmět A3B31TES Př. 2 B únor 2015 54 / 56

Vnější a vnitřní popis systému Maticový zápis pro lineární systém Obecný maticový tvar stavového popisu pro lineární systém s jedním vstupem a jedním výstupem (SISO systém) libovolného řádu 10 ẋ(t) = A.x(t) + Bu(t) y(t) = C.x(t) + Du(t), kde A je matice systému, B je matice řízení C, D jsou výstupní matice Pro náš [ příklad platí ] [ ] 0 1 0 A =, B =, C = [ 1 0 ], D = [0] a 0 a 1 b(t) [ ] [ ] x1 (t) ẋ1 (t) x(t) =, ẋ(t) = x 2 (t) ẋ 2 (t) 10 Pro systém řádu 3 budou mít vektory i matice rozměr 3, pro vyšší řád pak příslušně větší rozměr PS,TB,OK Předmět A3B31TES Př. 2 B únor 2015 55 / 56

Selhání derivace... a na závěr ukázka simulace systému 2. řádu... a proč jsme si zakázali používání derivace, i když by se s ní schema kreslilo lépe než s integrátory zkuste si to :-) PS,TB,OK Předmět A3B31TES Př. 2 B únor 2015 56 / 56