Obsah. 1. Komplexní čísla

KOMPLEXNÍ ANALÝZA - ZÁPISKY Z PŘEDNÁŠEK JAN MALÝ Obsah 1. Komplexní čísla 1 2. Holomorfní funkce 3 3. Elementární funkce komplexní proměnné 4 4. Křivkový integrál 7 5. Index bodu vzhledem ke křivce 9 6. Cauchyova věta a její důsledky 10 7. Mocninné řady v komplexním oboru 10 8. Laurentova řada 13 9. Reziduová věta 13 10. Použití komplexní analýzy k výpočtu jednorozměrných integrálů 14 1. Komplexní čísla 1.1. Definice (Komplexní čísla). Číslo ve tvaru a + ib se nazývá komplexní číslo. 1.2. Komplexní čísla. Obor C komplexních čísel je struktura (R 2, krát, R, i), po algebraické stránce těleso. Eukleidovský prostor R 2 bereme s kompletní strukturou normovaného lineárního prostoru, včetně jeho metrických vlastností (okolí, konvergence, otevřená množina,...). Geometricky je tedy množina C rovina, pro takovéto geometrické znázornění komplexních čísel se používá termín Gaussova rovina. Operace krát je násobení komplexních čísel, v praxi nemá žádný symbol (činitele píšeme vedle sebe). Struktura R znamená způsob, jakým jsou reálná čísla vnořena do komplexních, tedy ztotožnění reálného čísla a a komplexního čísla (a, 0). Struktura i je vyznačený prvek (0, 1). Dá se ukázat, že operace krát je na C určena jednoznačně z následujících pravidel: Komutativní, asociativní, distributivní vzhledem ke sčítání. Na R splývá se starým násobením. i 2 = 1. Každé komplexní číslo z = (z 1, z 2 ) můžeme přepsat do tvaru z 1 + iz 2, (z 1, z 2 R), který je ve vážně míněné matematice běžnější. V tom případě také píšeme z 1 = Re z, z 2 = Im z. Jsou-li u 1, u 2, v 1, v 2 reálná čísla, násobení se odehrává podle formule (u 1 + iu 2 )(v 1 + iv 2 ) = u 1 v 1 u 2 v 2 + i(u 1 v 2 + u 2 v 1 ). Komplexní čísla se dají též zavést pomocí ztotožnění se speciální podtřídou matic ( ) z1 z (1) z 1 + iz 2 2 z 2 z 1 Násobení komplexních čísel pak jde odvodit z maticového násobení. Matice odpovídající nenulovým komplexním číslům jsou matice tzv. konformních lineárních zobrazení, tj. lineárních zobrazení zachovávajících úhly včetně orientace. Konformní lineární zobrazení jsou vesměs podobná, příkladem je stejnolehlost nebo otočení, avšak ne osová symetrie. Násobení komplexních čísel tedy nakonec odpovídá skládání příslušných zobrazení roviny. Ještě poznamenejme, že na rozdíl od reálných čísel na C neuvažujeme uspořádání. V souvislosti s tím je v komplexním oboru jen jedno nekonečno, které značíme důsledně bez jakéhokoli znaménka. Řekneme, že posloupnost {z n } n komplexních čísel má limitu, jestliže lim n z n = +. Podobně definujeme nekonečnou limitu funkce. 1

1.3. Některé funkce a vzorce. Mějme komplexní číslo z = z 1 + iz 2, kde z 1, z 2 R. Ze struktury R 2 přebereme pojem normy, z = z1 2 + z2 2, v komplexní analýze se však spíš používá pro normu synonymum absolutní hodnota nebo modulus. Definujme z = z 1 iz 2, to je tzv. číslo komplexně sdružené k z. Platí vzorce (u, v, z C) (2) uv = u v, z = z, Re z = z + z z z, Im z =, 2 2i z = z z. 1.4. Dělení. Ke každému nenulovému komplexnímu číslu z existuje právě jedno komplexní číslo w tak, že wz = 1. Toto číslo w nazýváme převrácená hodnota čísla z a značíme 1/z nebo z 1. Dělení komplexního čísla v nenulovým komplexním číslem z definujeme jako v z = vz 1. Číslo 1/z lze spočítat ze vzorce 1 z = z z 2, na pravé straně už máme dělení reálným číslem, což nečiní potíže. 1.5. Komplexní funkce reálné proměnné. Funkce f : I C, kde I R je interval, nepředstavují z teoretického hlediska velkou novinku, většina úkonů se dá provádět po složkách. Např. derivace takové funkce je derivace podle reálné proměnné, tedy (f 1 +if 2 ) = f 1 +if 2. Pro tento případ lze snadno převést věty o existenci a jednoznačnosti řešení obyčejné diferenciální rovnice. 1.6. Goniometrické funkce. Uvažujme počáteční úlohu Φ(0) = 1 pro diferenciální rovnici Φ = iφ, kde hledaná funkce Φ : R C má být komplexní funkce reálné proměnné. Podle teorie diferenciálních rovnic existuje právě jedno řešení této počáteční úlohy. Nalezená funkce Φ má geometricko-fyzikální význam rovnoměrného kruhového pohybu po jednotkové kružnici {z C : z = 1} jednotkovou rychlostí proti směru hodinových ručiček. Dále definujeme pro takto nalezenou funkci Φ takže cos t = Re Φ(t), sin t = Im Φ(t), Φ(t) = cos t + i sin t. t R, Tento předpis je opravdu vhodné pokládat za definici goniometrických funkcí, neboť je přesnou matematickou interpretací názorné představy o těchto funkcí. Alternativou jsou funkcionální rovnice (pak se stejně potýkáme s existencí a jednoznačností), řada (ta s názornou představou vůbec nesouvisí) či zavedení inverzních funkcí pomocí neurčitého integrálu (vyumělkované). Je vhodné si uvědomit, že příslušná existenční věta a věta o jednoznačnosti z teorie diferenciálních rovnic se dá dokázat bez znalostí goniometrických funkcí, takže nejde o definici kruhem. Dále definujeme číslo π nejmenší kladné řešení rovnice sin t = 0 (existuje). Není tak těžké se přesvědčit, že takto definované goniometrické funkce a číslo π opravdu splňují všechny vztahy, které jsme od nich čekali z dřívějších zkušeností (například součtové vzorce nebo periodické chování). 1.7. Goniometrický zápis komplexního čísla, argument. Řekneme, že číslo u C je komplexní jednotka, jestliže u = 1. Každé komplexní číslo z 0 můžeme jednoznačně vyjádřit ve tvaru z = ru, kde r je kladné reálné číslo a u je komplexní jednotka, příslušná volba je r = z a u = z z. Funkce cos t + i sin t nabývá všech hodnot z jednotkové kružnice, takže můžeme najít takové t R, že (3) z = r(cos t + i sin t). Každé takové číslo t se nazývá argument komplexního čísla z a má geometrický význam orientovaného úhlu (v kvantitativním slova smyslu), který svírá polopřímka 0z s kladnou reálnou poloosou. Zdůrazněme, 2

že argument komplexního čísla není určen jednoznačně, pokud T je argument čísla z, potom (všechny) další argumenty z najdeme ve tvaru t = T + 2kπ, k celé. Relace {[z, t] C R : z 0, z = z (cos t + i sin t)}. se značí Arg a má tvar točitého schodiště. Relace Arg není grafem funkce. Z teorie polárních souřadnic víme, že omezíme-li se na t ( π, π), získáme existenci a jednoznačnost pro (4) z D := {z C : Im z 0 nebo Re z > 0}. Tedy ke každému z D existuje právě jedna dvojice (r, t), r (0, + ), t ( π, π), tak že platí (3). Toto číslo t nazveme hlavní hodnotou argumentu komplexního čísla z 0 a značíme arg z. Funkce arg je spojitá na D. Někdy se definuje arg z = π pro záporná reálná čísla, takové rozšíření však není spojité. Funkci arg můžeme vyjádřit pomocí známých funkcí, například pomocí vzorců (5) arg(z 1 + iz 2 ) = arctg z 2, z 1 Re z > 0, nebo ( (6) arg z = 2 arctg z 2 z 1 + z ), z D. Všimněte si, že vzorec (5) má poměrně malý obor platnosti, zatímco vzorec (6) se zase špatně pamatuje. 1.8. Některé vzorce. Vzorec pro argument (7) arg(uv) = arg u + arg v 2kπ platí pro komplexní čísla u, v D taková, že uv D, a korekční k { 1, 0, 1} dopočítané tak, aby opravený výraz ležel v intervalu ( π, π). Podobně (8) arg(u n ) = n arg u 2kπ platí pro komplexní číslo u D a n Z, jestliže u n D a korekční k Z je dopočítané tak, aby opravený výraz ležel v intervalu ( π, π). Označíme-li Arg z množinu všech argumentů čísla z, můžeme psát u Arg a, v Arg b = u + v Arg ab, (9) u Arg a, n Z = nu Arg a n. 1.9. Geometrický význam násobení. Chceme-li geometricky znázornit součin wz, vyjádříme nejprve w v goniometrickém tvaru w = r(cos t+i sin t). Součin wz zobrazíme tak, že nejprve na bod z aplikujeme stejnolehlost se středem v počátku a koeficientem r a pak jej otočíme okolo počátku o úhel t. Také můžeme nejprve točit a poté natahovat, tyto dvě transformace spolu komutují. Ze vzorce (9) je patrné, že když komplexní čísla spolu násobíme, úhly se sčítají. 2. Holomorfní funkce 2.1. Komplexní derivace a holomorfní funkce. Nechť G C je otevřená množina a f : G C je funkce. Řekneme, že funkce f je holomorfní v bodě w G, jestliže existuje limita f(z) f(w) L = lim. z w z w Tato limita L se nazývá komplexní derivace funkce f v bodě w a značí f (w). Řekneme, že funkce f je holomorfní v G, jestliže je holomorfní v každém bodě w G. Každá funkce holomorfní v bodě w je v bodě w spojitá (viz. níže). 2.2. Cauchy-Riemannovy podmínky. Množinu G můžeme také chápat jako otevřenou podmnožinu R 2 a funkci f můžeme také chápat jako zobrazení G do R 2. Jestliže f = (f 1, f 2 ) má v bodě z = (z 1, z 2 ) komplexní derivaci f (z), pak f má v bodě z reálný totální diferenciál (odtud pramení spojitost!) a jako vektorová funkce dvou proměnných má Jacobiho matici parciálních derivací, tedy matici ( ) f1 f z 1 (z) 1 z 2 (z) f 2 f z 1 (z) 2. z 2 (z) Z existence totálního diferenciálu však neplyne existence komplexní derivace. K tomu, aby existovala v z komplexní derivace je nutné a stačí, aby Jacobiho matice f v z byla maticí konformního lineárního zobrazení, viz. (1). Tato skutečnost se vyjadřuje tzv. Cauchy-Riemannovými podmínkami, které jsou popsány v následující větě. 3

2.3. Věta (O Cauchy-Riemannových podmínkách). Nechť G C je otevřená množina a f : G C je zobrazení reálně diferencovatelné v bodě z G. Potom funkce f = f 1 + if 2 je holomorfní v bodě z = z 1 + iz 2 G, právě když (10) Řešení. Je to zřejmé. f 1 z 1 (z) = f 2 z 2 (z), f 1 z 2 (z) = f 2 z 1 (z). 2.4. Poznámka. Podmínky (10) ukazují na zásadní rozdíl mezi reálným a komplexním derivováním. Zatímco existence derivace v reálném smyslu vypovídá jen o hladkosti funkce f, komplexní derivace vyžaduje splnění netriviální diferenciální rovnice. Proto některé komplexní funkce, které jsou nekonečně hladké (tedy nekonečněkrát diferencovatelné v reálném smyslu) nejsou ani jednou diferencovatelné v komplexním smyslu (např. funkce z z). Zatímco v mnohém ohledu se komplexní derivace chová stejně jako reálná (např. platí pro ni stejné vzorce), z jiných hledisek existence komplexní derivace způsobuje výjimečné chování holomorfních funkcí. 2.5. Pozorování. Jestliže holomorfní funkce f nabývá jen reálných hodnot, pak je lokálně konstantní. Tedy funkce z, z 2, arg z, Re z, Im z nejsou holomorfní. 2.6. Věta (pravidla pro kalkulus komplexní derivace). Derivace konstanty je nulová funkce. Nechť f, g jsou holomorfní funkce na otevřené množině G C. Potom (f + g) = f + g, (fg) = f g + g f, ( f ) f g g f = g g 2 na {g 0}. 2.7. Věta (derivace složené funkce). Nechť f je holomorfní funkce na otevřené množině G C a h je holomorfní na otevřené množině obsahující f(g). Potom v každém bodě z G máme (h g) (z) = (h (f(z))g (z). 2.8. Věta (derivace inverzní funkce). Nechť f je prostá holomorfní funkce na otevřené množině G C a funkce h je inverzní funkce k f. Potom f je spojitá a nenulová, f(g) je otevřená množina, h je holomorfní na f(g) a pro každý bod z G platí h (f(z)) = 1 f (z). 2.9. Poznámka. Zatím jsme schopni větu dokázat, jen když tvrzení o spojitosti a nenulovosti derivace přeneseme na stranu předpokladů. 2.10. Konformní zobrazení. Nechť G C je otevřená množina a f : G C je zobrazení. Řekneme, že f je konformní, jestliže je holomorfní a prosté. Z věty o derivaci inverzní funkce plyne, že inverzní zobrazení je zase konformní. Termín pochází z toho, že konformní zobrazení zachovává úhly, tj. tečné zobrazení v každém bodě je konformní lineární. 3. Elementární funkce komplexní proměnné V této kapitole si zavedeme nejdůležitější elementární funkce komplexní proměnné. Elementární funkce v komplexním oboru mají často mnohoznačné chování, pak to ovšem nejsou funkce v pravém slova smyslu, ale relace. U těchto relací studujeme jednoznačné části, tzv. větve, zvláště spojité větve, a nejdůležitější spojitou větev nazýváme hlavní hodnotou. Tuto situaci už můžeme ilustrovat na relaci Arg. Funkce arg je hlavní hodnota argumentu. Chceme-li ale používat větev argumentu, která je spojitá na okolí komplexního čísla w = r(cos t + i sin t), použijeme funkci A(z) = arg z w t, to je spojitá větev argumentu na {z C : z/w D}. 3.1. Celočíselná mocnina. Funkci z n definujeme podobně jako v reálném oboru pomocí opakovaného násobení (pro n > 0) a inverze (pro n < 0). Je-li n < 0, mohli bychom definovat z n i pro z = 0 jako 4

0 n =, pokud neřekneme jinak, budeme však pro záporná n nulu z definičního oboru vynechávat. Pro komplexní číslo tvaru z = r (cos t + i sin t) je z n = r n (cos nt + i sin nt). Pokud z obíhá po jednotkové kružnici jednotkovou rychlostí, z n obíhá po jednotkové kružnici rychlostí n. Funkce z n je holomorfní na svém definičním oboru a splňuje na něm (z n ) = nz n 1. 3.2. Exponenciální funkce. Exponenciální funkci exp definujeme v komplexním oboru tak, aby platilo Po krátkém výpočtu dospějeme k vyjádření (exp z) = exp z, exp 0 = 1. (11) exp(x + iy) = exp x (cos y + i sin y), x, y R. Dá se dokázat, že toto je jediná možnost holomorfního rozšíření exponenciální funkce reálné proměnné. Stejně jako v reálném případě dostáváme (pro u, v, z C, n Z) exp(u + v) = exp u exp v, (exp z) n = exp nz. Funkce exp má periodu 2πi a nikde nenabývá hodnoty 0. Od této chvíle budeme pro exp z používat i označení e z, speciálně e it = exp it = cos t + i sin t, t R. Výhoda komplexního zápisu goniometrických funkcí spočívá ve snadném kalkulu založeném na vzorcích (s, t R, n Z) e i(s+t) = e is e it, e int = (e it ) n, které jsou přehlednější než součtové vzorce pro goniometrické funkce. 3.3. Goniometrické funkce. Goniometrické funkce máme zatím definovány v reálném oboru. Vzoreček cos t = Re e it, t R není vhodný k rozšíření na C, protože takovéto rozšíření by nesplňovalo Cauchy-Riemannovy podmínky. Když ale (stále ještě v reálném oboru) provedeme úpravu podle vzorce (2), dostaneme cos t = Re e it = 1 2 (eit + e it ) = 1 2 (eit + e it ), což je už použitelná formule. Podobně vyjádříme sinus a máme definici (tzv. Eulerovy vzorce) (12) cos z = 1 2 (eiz + e iz ), sin z = 1 2i (eiz e iz ), z C. Takto rozšířené funkce jsou holomorfní na C a splňují známé formule (např. součtové vzorce a pravidla pro derivování). 3.4. Logaritmus. Funkce exp není prostá a nemá tedy inverzní funkci v běžném smyslu. Pro z C a k Z platí exp(z + 2kπi) = exp z, funkce exp má tedy periodu 2πi. Naopak, pokud exp z = exp z, pak už se z liší od z od celý násobek 2πi. Inverzní relace k funkci exp se značí Ln a má v počátku šroubovitou singularitu. Každá spojitá funkce L splňující na svém definičním oboru rovnici (13) exp(l(w)) = w se nazývá spojitá větev logaritmu. Tzv. hlavní hodnota logaritmu je na D (viz. (4)) definována vzorcem ( ) z = ln w když Im z < π & exp z = w. Funkce ln je jedno patro inverzní relace k exponenciále. Snadno nahlédneme, že ln w = ln w + i arg w. Funkce ln je holomorfní na množině D a splňuje na této množině (ln w) = 1 w. 5

U ostatních vzorců musíme být velmi opatrní, protože ve srovnání s reálnou proměnnou se situace komplikuje. Podobně jako u argumentu (7), vzorce (14) ln(uv) = ln u + ln v 2kiπ, ln(u n ) = n ln u 2kiπ platí pro komplexní čísla u, v D a celé číslo n, když uv D, resp. u n D, a korekční k Z je dopočítané tak, aby opravený výraz na pravé straně ležel v pásu {x + iy : x R, y ( π, π)}. Označíme-li Ln w množinu {z C : exp z = w}, můžeme psát u Ln a, v Ln b = u + v Ln ab, u Ln a, n Z = nu Ln a n. 3.5. Obecná mocnina. Nechť a C. Relaci obecné mocniny definujeme předpisem M a = { [z, w] C C : v C [ z = e v, w = e av]}. Relace M a pro a necelé není grafem funkce. Hlavní hodnotu neceločíselné mocniny definujeme předpisem (15) z a = exp(a ln z), z D. Funkce z a je holomorfní na D, a pokud a / Z, nedá se dál spojitě rozšířit. Platí vzorec (z a ) = az a 1, z D. Pro a = 1/n má relace M a n pater, mezi nimiž se můžeme pohybovat, obíháme-li kolem počátku. Funkce z 1/n je pak hlavní větev n-té odmocniny. Připomeňme, že pro w 0 má rovnice z n = w n-řešení, která tvoří vrcholy pravidelného n-úhelníku se středem v 0. Pokud a je reálné z intervalu ( 1, 1), pak funkce z a zobrazuje D na úhel {z : arg z < aπ}, speciálně z = z 1/2 zobrazuje D na {z : Re z > 0}. Druhá odmocnina z čísla z D je tedy takové komplexní číslo w, že Re w > 0 a w 2 = z. Druhou odmocninu můžeme spočítat také metodou půlení úhlu, je zřejmé, že číslo z + z má poloviční argument ve srovnání se z. Tedy z + z z = z z + z. Někdy se funkce obecná mocnina nebo odmocnina definuje i pro záporná reálná čísla podle úmluvy arg( 1) = π, tuto úmluvu však nectíme, protože takto dodefinované funkce nejsou spojité (natož holomorfní). Platíme za to tím, že nemůžeme napsat rovnost i = 1, která byla historicky první definicí čísla i (máme ale [ 1, i] M 1/2 ). Pokud a Z, vzorec (15) platí také, ale nemá význam definice. Navíc z a pak můžeme holomorfně rozšířit na záporná reálná čísla (a pro n přírozené i do nuly). Při počítání s mocninami v komplexním oboru musíme být značně opatrní a nepoužívat bezhlavě vzorce, které jsou pro kladné reálné základy spolehlivé. Místo vzorce (16) (uv) a = u a v a (obecně neplatí) raději použijeme a vzorci [u, ξ] M a, [v, ζ] M a = [uv, ξζ] M a (17) (u a ) b = u ab (obecně neplatí) se raději vyhneme, jinak můžeme dopadnout třeba takto: 1 = i 4/2 = (i 4 ) 1/2 = 1 1/2 = 1. 3.6. Arcustangens a arcussinus. Funkce tg z = sin z cos z má periodu π, a tudíž inverzní relace Arctg není grafem funkce. Relace Arctg se šroubovitě omotává kolem bodů ±i podobně jako Log nebo Arg kolem počátku. Funkce tg je prostá na pásu Re z < π/2 a zobrazuje jej na skoro celou komplexní rovinu, jmenovitě na E = {w C : Im w 0 nebo w < 1}. Hlavní hodnotu funkce arctg definujeme tedy pro w E jako jedno patro relace Arctg odpovídající hodnotám Re z < π/2, neboli ) z = arctg w když ( Re z < π2 & tg z = w. 6

Počítejme e 2i arctg w = e 2iz = eiz cos z + i sin z = e iz cos z i sin z = 1 + i tg z 1 i tg z = 1 + iw 1 iw. Jelikož levá strana leží v pásu {x + iy : x R, y ( π, π)}, můžeme obě strany zlogaritmovat a dostaneme arctg w = 1 1 + iw ln 2i 1 iw. Funkce arctg je holomorfní na E a splňuje (arctg w) 1 = 1 + w 2. Podobná situace nastává s invertováním sinu. Funkce sin z má periodu 2π, a tudíž inverzní relace Arcsin není grafem funkce. Relace Arcsin má singulární body ±1. Na rozdíl od chování Arctg, pokud obíháme jeden z bodů ±1, pohybujeme se pouze mezi dvěma patry jako u druhé odmocniny. Pokud se chceme přesunout do vzdálenejších pater, je zapotřebí obíhat celou dvojici bodů, třeba po kružnici o poloměru větším než jedna. Ačkoli perioda sinu je 2π, už pás o šířce π se zobrazí na skoro celou komplexní rovinu. Funkce sin je prostá na pásu Re z < π/2 a zobrazuje jej na množinu F = {w C : Re w 0 nebo w < 1}. Hlavní hodnotu funkce arcsin definujeme tedy pro w F jako jedno patro relace Arcsin odpovídající hodnotám Re z < π/2, neboli ) z = arcsin w když ( Re z < π2 & sin z = w. Nejprve zjistíme, že tedy Re cos(x + iy) = cos x ey + e y, x, y R, 2 (18) Re z < π/2 = Re cos z > 0 = cos z = Počítejme e i arcsin w = e iz = cos z + i sin z = 1 sin 2 z. 1 sin 2 z + i sin z = 1 w 2 + iw. Jelikož levá strana leží v pásu {x + iy : x R, y ( π/2, π/2)}, můžeme obě strany zlogaritmovat a dostaneme arcsin w = 1 ln ( 1 w2 + iw ). i Funkce arcsin je holomorfní na F a splňuje (arcsin w) = 1 1 w 2. Na rozdíl od reálného oboru nedefinujeme arcsin ±1 = ±π/2, protože takové rozšíření by nebylo holomorfní. Už v reálném oboru pozorujeme nekonečnou jednostranou derivaci, což vylučuje holomorfnost. 4. Křivkový integrál 4.1. Křivka, řetězec. V komplexní analýze se používají křivky parametrizované uzavřeným intervalem. Předefinujeme tedy C 1 křivku jako spojitě diferencovatelné zobrazení uzavřeného intervalu a, b do C. Předpokládáme tedy existenci spojité derivace na a, b, v bodě a se míní derivace zprava, v bodě b zleva. Pokud bychom chtěli, aby obraz křivky vypadal hladce, museli bychom předpokládat nenulovost derivace. Takový předpoklad bývá leckdy užitečný, pro naše účely však není podstatný. Počáteční bod křivky je (a) a koncový bod je (b). Symbolem značíme křivku t ( t), t b, a ; její počáteční bod je (b) a koncový bod (a). Řetězec se definuje jako uspořádaná m-tice ψ = ( 1,..., m ) C 1 -křivek, j : a j, b j C. Křivky j se nazývají články řetězce ψ. Řetězec o jednom článku ztotožňujeme s tímto článkem. Geometrický obraz řetězce ψ definujeme jako množinu m ψ := j ( a j, b j ). j=1 7

Pokud jednotlivé články řetězce na sebe navazují tak, že koncový bod každé neposlední křivky je počátečním bodem následující, tj. j (b j ) = j+1 (a j+1 ), j = 1,..., m 1, nazveme řetězec ψ (po částech hladkou) křivkou. V tom případě používáme značení ψ = 1 + 2 +... + m. Bod 1 (a 1 ) se nazývá počátečním bodem křivky ψ a bod m (b m ) koncovým bodem křivky ψ. Pokud koncový bod splývá s počátečním, řekneme, že křivka ψ je uzavřená. Řetězec, který jde rozložit na uzavřené křivky, se nazývá cyklus. Pokud některý článek je křivka j, má symbol též význam spojovacího znaménka a přepisuje na příslušném místě +. Uvažujme ještě množinu G C. Říkáme, že ψ je řetězec v G, resp. křivka v G, jestliže ψ G. 4.2. Křivkový integrál. Nechť : a, b C je křivka, G C je otevřená množina obsahující a f : G C je spojitá funkce. Definujeme b f(z) dz := f((t)) (t) dt. Integrál přes řetězec definujeme jako součet integrálů z jednotlivých článků. Samozřejmě, f(z) dz = f(z) dz. a Komplexní křivkový integrál připomíná křivkový integrál druhého druhu z reálné analýzy. Liší se tím, že násobení činitelů f((t)) a (t) je komplexní násobení. Komplexní křivkový integrál si nepředstavujeme jako úhrn veličiny f přes křivku, ale jako úhrn veličiny fτ, kde τ je jednotkový tečný vektor. Převod na reálný křivkový integrál se děje podle vzorců f(z) dz = f d s + i (i f) d s. 4.3. Užitečný odhad. Křivkový integrál funkce f přes křivku můžeme odhadnout podle vzorce f(z) dz f(z) ds l() sup f(z), z kde integrál uprostřed je křivkový integrál prvého druhu a b l() := ds = (t) dt je délka křivky. 4.4. Příklady křivek. 1. Kružnice, obvod kruhu. Kružnice se středem w a poloměrem r se nejčastěji parametrizuje křivkou (t) = w + r e it, t I, kde I je otevřený interval délky 2π. Je-li U otevřený kruh v C o středu w a poloměru r, výše uvedenou křivku nazveme obvodem U a značíme U. 2. Úsečka. Nechť A, B C. Symbolem AB budeme značit křivku, která spojuje A a B po úsečce, konkrétně podle předpisu (t) = A + t(b A), t 0, 1. 3. Obvod trojúhelníku. Trojúhelníkem budeme rozumět uspořádanou trojici komplexních čísel T = [A, B, C]. Řekneme, že trojúhelník T je degenerovaný, jestliže body A, B, C leží na jedné přímce, v opačném případě je nedegenerovaný a jde o trojůhelník v běžném slova smyslu. Každému trojúhelníku T = [A, B, C] odpovídá trojúhelník-množina T = ABC := {λa + µb + νc : λ, µ, ν 0, λ + µ + ν = 1}. Je-li T degenerovaný, může být T úsečka nebo bod. Křivku T := AB +BC +CA nazveme obvodem trojúhelníku T. Nechť G C. Řekneme, že T je trojůhelník v G, jestliže T G. 8 a

4.5. Primitivní funkce. Nechť G C je otevřená množina a f a g jsou komplexní funkce proměnné z G. Řekneme, že f je primitivní funkce ke g na G, jestliže na G platí f = g. 4.6. Hvězdovitá množina. Připomeňme, že množina G C se nazývá hvězdovitá, jestliže existuje A G tak, že pro každý bod B G je celá úsečka AB podmnožinou G. Množiny D, E, F, které jsme zaváděli jako definiční obory elementárních funkcí, jsou hvězdovité. 4.7. Věta (O primitivní funkci). Nechť G C je otevřená množina a f, g : G C jsou spojité funkce. Následující podmínky jsou ekvivalentní: (i) f je primitivní funkce ke g. (ii) Pro každou křivku : a, b G je f((b)) f((a)) = (iii) Pro každou úsečku AB v G je f(b) f(a) = AB g(z) dz. g(z) dz. 4.8. Věta (O existenci primitivní funkce). Nechť G C je otevřená množina a g : G C je spojitá funkce. Uvažujme následující podmínky: (i) g má primitivní funkci v G. (ii) Pro každou uzavřenou křivku v G je g(z) dz = 0, (iii) Pro každý trojúhelník T v G je Potom T g(z) dz = 0. (a) (i) = (ii) = (iii), (b) Pro G hvězdovitou jsou všechny tři podmínky ekvivalentní. 5. Index bodu vzhledem ke křivce 5.1. Přírůstek argumentu. Nechť : a, b C je C 1 -křivka v C \ {0}. Potom existuje spojitá funkce A : a, b R tak, že pro každé t a, b je A (t) argumentem (t) (ne nutně z hlavní větve!) A (t) Arg((t)), t a, b. Číslo A (b) A (a) se nazývá přírůstkem argumentu po křivce. Funkce A je určena křivkou až na aditivní konstantu, na níž přírůstek nezávisí. Přírůstek argumentu po řetězci se definuje jako součet přírůstků argumentu po jednotlivých článcích. Podobně můžeme definovat přírůstek logaritmu, to je pak komplexní číslo a přírůstek argumentu je jeho imaginární část. 5.2. Index bodu vzhledem ke křivce. Nechť w C a ψ je uzavřená křivka, nebo obecněji cyklus, v C \ {w}. Označme ψ w posunutou křivku, tj. každý článek nahradíme článkem w : t (t) w. Uzavřenost křivky(cyklu) ψ se projeví tím, že přírůstek argumentu po ψ w je celý násobek 2π. Existuje tedy celé číslo m, které nazveme index bodu w vzhledem ke křivce (cyklu) ψ, a označíme ind ψ w, tak, že 2πm je přírůstem argumentu po křivce ψ w. Je-li ψ uzavřená křivka (obecně cyklus), značíme Int ψ = {z C : ind ψ z 0}. Uvědomme si, že přírůstek argumentu můžeme zde počítat jako imaginární část přírůstku logaritmu, zatímco reálná část přírůstku logaritmu po uzavřené křivce je 0. Jelikož spojité větve logaritmu jsou primitivní funkce k 1/z, dostaneme následující větu. 9

5.3. Věta (o indexu). Nechť w C a ψ je cyklus v C \ {w}. Potom ind ψ w = 1 dz 2πi z w. 5.4. Jordanova křivka. Uzavřená křivka, která neprotíná sama sebe se nazývá Jordanova křivka. Pojem neprotíná sama sebe si pro jednoduchost vysvětlíme na uzavřené C 1 -křivce : a, b C. V tom případě to znamená, že je prosté zobrazení na a, b) (samozřejmě, uzavřenost znamená, že (a) = (b)). J ordanova věta je tvrzení, že pro každou Jordanovu křivku nabývá ind jen hodnot 0 a 1 (nebo jen hodnot 0 a 1) a množiny {z : ind z = ±1}, {z : ind z = 0} jsou neprázdné a souvislé. Jordanova věta vypadá jako intuitivně zřejmá, ale důkaz je těžký. 6. Cauchyova věta a její důsledky 6.1. Věta (Cauchyova pro trojúhelník). Nechť G C je otevřená množina, T je trojúhelník v G a f : G C je holomorfní funkce. Potom f(z) dz = 0. T 6.2. Věta (Cauchyova). Nechť G C je otevřená množina, je cyklus, Int G a f : G C je holomorfní funkce. Potom f(z) dz = 0. 6.3. Věta (Cauchyův vzorec). Nechť G C je otevřená množina, je cyklus, Int G a f : G C je holomorfní funkce. Nechť w G, ind w = 1. Potom f(w) = 1 f(z) 2πi z w dz. 6.4. Věta (o derivování Cauchyova vzorce). Nechť G C je otevřená množina a f : G C je holomorfní funkce. Potom f má v G (komplexní) derivace všech řádů. Nechť je cyklus, Int G. Nechť w G, ind w = 1. Potom obecně f (w) = 1 2πi ψ f(z) (z w) 2 dz, f (k) (w) = k! f(z) dz. 2πi (z w) k+1 6.5. Důsledek. Nechť G C je otevřená množina a f : G C má v G primitivní funkci. Potom f je holomorfní v G. 6.6. Věta (Morera). Nechť G C je otevřená množina a f : G C je spojitá funkce. Jestliže pro každý trojúhelník T v G je f(z) dz = 0, potom je f holomorfní v G. 6.7. Věta (Liouville). Nechť f : C C je holomorfní a omezená. Potom f je konstantní. T 6.8. Věta (Základní věta algebry). Nechť f : C C je nekonstantní polynom. Potom f má v C kořen. 7. Mocninné řady v komplexním oboru 7.1. Mocninná řada. Mocninná řada v komplexním oboru je řada tvaru (19) a n (z w) n, kde w C je střed řady a a n jsou koeficienty. Poloměr konvergence mocninné řady je největší takové číslo r 0, +, že řada (19) konverguje na množině { z C : z w < r }. 10

Tedy poloměr konvergence je +, pokud řada (19) konverguje pro všechna komplexní čísla z. Substitucí z = z w se dá vyšetřování mocninných řad převést na řady se středem v nule, tedy na řady (20) a n z n, Při zjišťování konvergence se řídíme stejnými pravidly jako v reálném oboru. Následující postřehy jsou důležité. 7.2. Věta (Speciální Dirichletovo kritérium). Nechť {a n } je posloupnost reálných čísel, a n 0. Potom řada (20) konverguje pro všechna komplexní čísla z splňující z 1, s jedinou možnou výjimkou z = 1. (O konvergenci v bodě 1 kritérium nedokáže rozhodnout.) 7.3. Příklady. V řadě (21) k=1 ( 1) k z2k provedeme substituci v = z 2, která řadu převede na v k (22) k. k=1 Řada (22) konverguje podle Dirichletova kritéria pro každé komplexní číslo v splňující v 1, až na v = 1 (kde diverguje). Tedy původní řada (21) konverguje, když z 1 a z 2 1, tedy pro z ±i ; v bodech z = ±i diverguje. Řada z k k 2 k=1 konverguje podle Dirichletova kritéria pro každé komplexní číslo v splňující v 1, až na v = 1, kde sice také konverguje, ale už ne podle Dirichletova kritéria. 7.4. Věta (holomorfnost součtu mocninné řady). Nechť {a n } je posloupnost komplexních čísel a u, w C. Nechť řada (23) a n (z w) n konverguje v bodě z = u. Potom řada (23) konverguje v kruhu U = {z C : z w < u w }, a její součet f je v U holomorfní, konkrétně platí (24) f (z) = na n (z w) n 1. k 7.5. Věta (Abel). Nechť {a n } je posloupnost komplexních čísel a u C. Nechť řada (25) f(z) = a n z n konverguje v bodě z = u. Potom f(u) = lim r 1 f(ru). 7.6. Věta (o poloměru konvergence). Nechť {a n } je posloupnost komplexních čísel a w C. Předpokládejme, že existuje limita λ := lim a n 1/n. n Potom poloměr konvergence řady a n (z w) n 11

je 1/λ. Pro a n 1/n 0 je poloměr konvergence +. Jestliže existuje limita µ := lim n a n+1, a n potom existuje i limita λ a rovnají se. V tom případě se dá počítat poloměr konvergence jako 1/µ. 7.7. Poznámka. Výpočet pomocí λ je založen na Cauchyově odmocninovém kritériu konvergence řad, výpočet pomocí µ je založen na D Alembertově podílovém kritériu. 7.8. Věta (o rozvoji holomorfní funkce). Nechť f je holomorfní funkce v kruhu U = {z C : z w < r}. Potom existují komplexní čísla a n tak, že f(z) = a n (z w) n, z U. Koeficienty a n jsou (26) a n = f (n) (w). n! 7.9. Taylorova řada. Řada z věty (7.8) se nazývá Taylorova řada funkce f se středem v w. Koeficienty se dají prakticky počítat z vzorce (26) nebo ze známé řady derivováním člen po členu podle vzorce (24). 7.10. Příklady. Taylorova řada funkce exp z je exp z = n=1 z n n!, z C, odvozuje se z (26). Taylorova řada funkcí sin a cos je sin z = ( 1) k z 2k+1 (2k + 1)!, cos z = ( 1) k z2k (2k)!, z C, k=0 odvodí se z Eulerových vzorců (12). Taylorova řada funkce ln(1 + z) je (27) ln(1 + z) = ( 1) n 1 zn, z 1, z 1. n Zderivováním obou stran s pomocí (24) totiž dostaneme 1 1 + z = ( 1) n 1 z n 1 = ( 1) k z k, což je známý vzorec pro geometrickou řadu. Podobně odvodíme arctg z = ( 1) k z2k+1 2k + 1, z 1, z ±i. Binomickou řadu n=1 k=0 n=1 (1 + z) a = k=0 k=0 ( ) a z n, z < 1, n odvodíme z (26). Připomeňme, že binomické koeficienty jsou definovány i pro necelá (dokonce komplexní) a jako ( ) a a(a 1)... (a n + 1) =. n n! Konvergence binomické řady na hraniční kružnici závisí na exponentu a a její vyšetření není snadné. Dá se ukázat, že binomická řada konverguje pro z = 1, z 1, pokud Re a > 1 a diverguje pro z = 1, když Re a 1. Binomická řada v bodě z = 1 konverguje, jestliže Re a > 0, a diverguje, jestliže Re a 0 (s výjimkou a = 0). Speciální postavení mají exponenty a = 0, 1, 2,..., pro ty má binomická řada jen konečný počet sčítanců a proto konverguje v C. V jiných než výše popsaných případech binomická řada diverguje. Taylorovu řadu pro arcsin odvodíme ze vzorce ( ) 1/2 (arcsin z) = (1 z 2 ) 1/2 = ( z 2 ) k, k 12 k=0

tedy (28) arcsin z = ( ) 1/2 z ( 1) k 2k+1, z 1, z ±1. k 2k + 1 k=0 V bodech ±1 nastává zvláštní situace. Řada (28) sice konverguje a její součet je arcsin ±1, ale jde o reálný arkussinus, komplexní arkussinus v těchto bodech není definován. 8. Laurentova řada 8.1. Laurentova řada. Rozvoj holomorfní funkce do mocninné řady se dá zobecnit na holomorfní funkce na prstencové množině P (w, r, R) = {z C : r < z w < R}, 0 r < R. Pro 0 < r < R < je prstencová množina mezikruží. Výsledná řada však není mocninná ve smyslu naší definice, ale v zobecněném smyslu. Jedná se o řadu tvaru f(z) = a n (z w) n, z P (w, r, R), n= tj. sčítá se i přes záporné indexy. Taková řada se nazývá Laurentova řada funkce f se středem v w. Jedna funkce může mít různé Laurentovy řady se stejným středem, např. 1 1 + z = ( 1) n z n, z < 1, 1 1 + z = 1 z 1 1 + 1 z = ( 1) k( 1 ) k+1 1 = z k=0 n= ( 1) n 1 z n, z > 1. 8.2. Věta (o rozvoji v Laurentovu řadu). Nechť funkce f je holomorfní v P (w, r, R). Potom existují a n C, n Z, tak, že f(z) = a n (z w) n, z P (w, r, R). n= 9. Reziduová věta 9.1. Pozorování. Uvažujme cyklus obíhající 0, tedy ind 0 = 1, např. U, kde U = { z < 1}. Potom { z n 2πi, n = 1, dz = 0, n 1. Odtud je jasné, že pro integrování holomorfních funkcí vyjádřených Laurentovou řadou f(z) = a n (z w) n, z P (w, 0, R), n= přes křivky obíhající singularitu v w bude mít význam jen koeficient a 1. 9.2. Reziduum. Nechť f je funkce holomorfní na prstencovém okolí P (w, 0, R) bodu w. Reziduum funkce f v bodě w definujeme jako koeficient a 1 Laurentova rozvoje f(z) = a n (z w) n, z P (w, 0, R), a značíme res w f. n= 9.3. Věta (reziduová). Nechť G C je otevřená množina, je cyklus, Int G. Nechť M Int je konečná množina a ind w = 1 pro všechna w M. Nechť f je funkce holomorfní na G \ M. Potom f(z) dz = 2πi res w f. w M 13

9.4. Násobnost kořenu. Nechť G C je otevřená množina a f je funkce holomorfní v G. Řekneme, že f má v bodě w G kořen násobnosti m N, jestliže f(w) = f (w) =... f (m 1) (w) = 0, f (m) (w) 0. Jestliže f má v bodě w G kořen násobnosti m N, pak existuje holomorfní funkce h v G tak, že f(z) = h(z)(z w) m, z G, h(w) 0. 9.5. Věta (Princip argumentu). Nechť G C je otevřená množina, je cyklus, Int G a f : G C je holomorfní funkce. Nechť ind nabývá jen hodnot 0 a 1. Nechť m je počet kořenů funkce f v Int počítaných tolikrát, kolik je jejich násobnost. Potom f (z) dz = 2πim. f(z) 9.6. Poznámka. Nyní už umíme dokázat, že prostá holomorfní funkce má všude nenulovou derivaci. 10. Použití komplexní analýzy k výpočtu jednorozměrných integrálů 10.1. Příklad. Máme spočítat sin x I = (N ) 0 x dx. Symbol (N ) zdůrazňuje, že integrál konverguje jako Newtonův (ale ne Lebesgueův), každopádně Budeme integrovat funkci 2I = lim R R f(z) = eiz 1 z přes křivku := 1 + 2, kde 1 je úsečka od R do R, 2 je kruhový oblouk se středem v počátku orientovaný proti směru hodinových ručiček od R do R. Podle Cauchyovy věty je f(z) dz = 0. Máme R cos x 1 R sin x f(z) dz = dx + i dx 2iI; 1 R x R x kde šipka značí limitní přechod R +. První integrál je totiž nulový z důvodu lichosti integrandu. Dále e f(z) dz = 2 2 iz z dz 2 z 2 = e iz πi πi. z Porovnáním výsledků dostaneme I = π 2. R sin x x dx. 10.2. Příklad. Máme spočítat Budeme integrovat funkci přes křivku kde 1 je úsečka od R do R, I = + e x2 2 cos x dx. f(z) = e z2 /2 := 1 + 2 + 3 + 4, 14

2 je úsečka od R do R + i, 3 je úsečka od R + i do R + i, 4 je úsečka od R + i do R. Podle Cauchyovy věty je f(z) dz = 0. Počítáme limitní přechod pro R +. Máme f(z) dz e x2 2 dx = 2π, 1 f(z) dz e 1 x2 2 (cos x + i sin x) dx e 1/2 I. 3 Porovnáním výsledků dostaneme 10.3. Příklad. + I = x p 1 2π e. I = dx, 0 < p < 1. 0 x + 1 Použijeme Cauchyův vzorec v bodě 1 pro funkci a křivku kde f(z) = z p 1 := 1 + 2 + 3 + 4, 1 je úsečka od re i(π ε) do Re i(π ε), 2 je kruhový oblouk se středem v počátku orientovaný proti směru hodinových ručiček od Re i(π ε) do Re i(π ε), 3 je úsečka od Re i(π ε) do re i(π ε), 4 je kruhový oblouk se středem v počátku orientovaný po směru hodinových ručiček od re i(π ε) do re i(π ε) Parametrizace budou Podle Cauchyova vzorce 1 (t) = te i(π ε), 2 (t) = Re it, 3 (t) = te i(π ε), 4 (t) = re it, 2πi = 2πif(1) = t r, R, t ε π, π ε, t r, R, t ε π, π ε. z p 1 z 1 dz. V integrálech provádíme limitní přechod nejprve pro ε 0+, pak pro r 0 a současně R +. Máme 1 z p 1 z 1 podobně zatímco ε 0+ dz R r z 1 dz = 3 z p 1 Porovnáním dostaneme e iπ (p 1) t p 1 R e iπ dt = e iπp t p 1 dt e iπp t 1 t + 1 3 r 0 t p 1 t + 1 dt = e iπp I, z p 1 R ε 0+ e iπ (p 1) t p 1 dz e iπ dt e iπp t p 1 z 1 r t 1 0 t + 1 dt = eiπp I, 2 z p 1 dz 0, z 1 I = π sin πp. 15 4 z p 1 dz 0. z 1

10.4. Příklad. Počítejme Budeme integrovat přes křivku kde I = + cos x x 2 + 1 dx e iz z 2 + 1 dz, := 1 + 2, 1 je úsečka od R do R, 2 je kruhový oblouk se středem v počátku orientovaný proti směru hodinových ručiček od R do R. Budeme předpokládat R > 1. Máme dvě možnosti: (a) Podle Cauchyova vzorce je kde kde π e (b) Podle reziduové věty je Máme = 2πi e 1 i + i = 2πig(i) = neboť imaginární část integrandu je lichá. Dále Porovnáním dostaneme 10.5. Příklad. g(z) = g(z) z i dz = e iz z 2 + 1 dz, eiz z + i. π e = e iz 2πie 1 = 2πi res i f = 2i z 2 + 1 dz, I = f(z) = 1 eiz z 2 + 1. e iz z 2 dz I, + 1 2 e iz z 2 dz 0. + 1 + I = π e. cos x (x 2 + 1) 2 dx. (a) Podle Cauchyova vzorce pro první derivaci (věta 6.4) je pro jako v předchozím příkladu 10.4 2πig g(z) (i) = (z i) 2 dz = e iz eiz (z 2 dz, g(z) = + 1) 2 (z + i) 2, a limitní přechod pro R dává Jelikož máme I = 2πi g (z) = I = 2πig (i). ( ie 1 (2i) 2 2 e 1 (2i) 3 ) ieiz (z + i) 2 2 e iz (z + i) 3, (b) Podobně jako v předchozím příkladu 10.4 dostaneme I = 2πi res i f, 16 = 2πi ( 1 e 4i 8i) + 2 = π e.

kde e iz f(z) = (z 2 + 1) 2. Zbývá spočítat reziduum f v i. Nejprve rozložíme racionální funkci na parciální zlomky. Máme 2i z 2 + 1 = 2i 1 1 z i z + i = 1 z i 1 z + i, umocněním na druhou dostaneme 4 ( 1 z 2 + 1 = z i 1 ) 2 ( 1 ) 2 1 1 ( 1 ) 2 ( 1 ) 2 ( 1 ) 2 = + 2 z + i z i z i z + i + i = + + z + i z i z + i z + i i z i. Reziduum součtu budeme počítat jako součet reziduí. Sčítance, kde se ve jmenovateli vyskytuje z+i, jsou holomorfní a tudíž nezajímavé. Rozkladem funkce e i(z i) do Taylorovy řady se středem v i, jmenovitě dostaneme takže a e i(z i) = 1 + i(z i) (z i)2 2!..., e iz (z i) 2 = e 1 e i(z i) (z i) 2 = e 1 (z i) 2 + e 1 i (z i) (z i) 2 +..., i e iz z i = i e 1 e i(z i) = i e 1 z i z i +..., 4 res i f = 2ie 1 I = π e. 17