1. Přednáška Obsah: Úvod do tvorby matematických modelů jako okrajové úlohy pro diferenciální rovnici. Příklad 1D vedení tepla a lineární pružnost. Diferenciální, variační, energetická formulace úloh. Klasické, slabé řešení. Přechody mezi řešeními. Jednoznačnost slabého řešení, závislost slabého řešení na vstupních datech. Problematika existence řešení a úplných prostorů. Úvod: Matematické modelování vychází z určení základních kvantifikovatelných veličin, které charakterizují danou fyzikální situaci. Matematický model je vyvořen těmito veličinami a vztahy mezi nimi, které jsou často formulované za zjednodušujících předpokladů (zanedbání méně významných souvislostí). Může být formulován jako soustava rovnic a nerovnic. Okrajové nebo počátečně-okrajové diferenciální rovnice. Přesné řešení lze nalézt jen ve velmi specifickém případě (které často slouží i jako testovací příklad pro numerické metody) a musíme tedy hledat numerické řešení (pomocí numerických metod - MKP). Přesné řešení dané fyzikální situace u. Přesné řešení matematického modelu (pokud je jediné) u M. Přesné řešení zjednodušeného matematického modelu (např. linearizace) ũ M. Přesné řešení diskretizovaného modelu u D. Numerické (přibližné) řešení diskretizovaného modelu v konečné aritmetice (počítač) u N. Chyba u u N, ũ M u N. Eliptické parciální diferenciální rovnice 2. řádu: Au xx + 2Bu xy + Cu yy + =, 1
kde předpokládám u xy = u yx. [ A B δ = det B C δ > eliptické rovnice, δ = parabolické rovnice, δ < hyperbolické rovnice. Příklad: Laplaceova rovnice u =, na R 2 u = û, na Γ = (nehomogenní Dirichletova OP) u = 2 u x 2 + 2 u y 2, řešením jsou harmonické funkce, koncentrace určité veličiny v rovnováze (teplota, chem. koncentrace), tvar membrány upevněné v rámečku (homogenní Dirichletova OP), rozložení teploty na homogenní desce při daných teplotách na krajích, δ = 1. ], Jednorozměrné modely: Lineární stacionární model vedení tepla + zobecnění, matematický model lineární pružnosti. Okrajové úlohy pro diferenciální rovnici 2. řádu. Vedení tepla: Rozložení teploty v tyči délky l s příčným řezem K = K(x) = konst. o obsahu K = κ. Materiál charakterizovaný koeficientem tepelné vodivosti k [W m 1 K 1 ]. Tyč je tepelně izolovaná po celém obvodovém plášti, tj. teplota je konstantní v každém příčném řezu. 2
Veličiny: Teplota u = u(x) [K]. Teplotní spád ε = ε(x) [Km 1 ]. Tepelný tok τ = τ(x) [W m 2 ]. K(x) l Vztahy: Fourierův zákon: τ(x) = k(x)ε(x), k = k(x) >. u(x+h) u(x) Teplotní spád: ε(x + ) = lim = u (x h + h + ) = u (x). u(x+h) u(x) ε(x ) = lim = u (x h h ) = u (x). Rozhraní materiálů: ε(x ) ε(x + ). x Tepelné zdroje: v úseku x 1, x 2 je za jednotku času vyvíjeno teplo x 2 Q(x 1, x 2 ) = κf(x) dx, kde f je hustota tepelného zdroje. x 1 Příklad: Q(x 1, x 2 ) = RI 2 (x 2 x 1 ) - teplo při průchodu elektrického proudu drátem, R - odpor, I - el. proud. Okrajové podmínky: na levém konci udržujeme konstantní teplotu û, tj. u() = û, na pravém konci je dán tepelný tok ˆτ, tj. ku (l) = ˆτ. Bilanční formulace: Nechť (x 1, x 2 ) (, l), potom platí bilance toků skrz hranici a zdroje: κτ(x 1 ) κτ(x 2 ) + x 2 Diferenciální formulace (limitní přechod): x 1 κf(ξ) dξ =, (x 1, x 2 ) (, l). (ku (x)) = f(x), x = (, l) u() = û, ku (l) = ˆτ, Dirichletova OP Neumannova OP Jiné OP: Izolovaný konec: û = (homogenní Dirichletova OP). Podmínka přestupu tepla: ku (l) = α[u(l) Û] (Newtonova, Robinova OP), kde Û je teplota vnějšího prostředí, α koeficient přestupu tepla. 3
Jiné DR: Přestup tepla obvodovým pláštěm: (ku (x)) + k u = f(x) + k Û, x = (, l) k = αω, ω je obvod řezu κ Šíření tepla konvekcí: (ku (x)) + cρ(pu) = f(x) + k Û, x = (, l), pohyb prostředí rychlostí p = p(x) v každém řezu je stejná, c je měrné teplo, ρ hustota prostředí. Lineární pružnost: Tyč délky l s příčným řezem K = K(x) = konst. o obsahu K = κ. Materiál charakterizovaný (Youngovým) modulem pružnosti E [P a]. Veličiny: Posunutí u = u(x) [m]. Deformace ε = ε(x) bezrozměrná. Napětí τ = τ(x) [P a]. Vztahy: Hookův zákon: τ(x) = E(x)ε(x). Deformace: u(x+h) u(x) ε(x + ) = lim h + h = u (x + ) = u (x). u(x+h) u(x) ε(x ) = lim h h = u (x ) = u (x). Objemová síla: působení na úsek x 1, x 2 x 2 F (x 1, x 2 ) = κf(x) dx, kde f je hustota objemové síly. x 1 Příklad: f(x) = ρ(x)g, ρ(x) je hustota, g je gravitační konstanta. Okrajové podmínky: na levém konci je tyč pevně zafixována, tj. u() =, Diferenciální formulace: na pravém konci působí tah nebo tlak o velikosti ˆτ, tj. Eu (l) = ˆτ. (Eu (x)) = f(x), x = (, l) u() =, Eu (l) = ˆτ, Dirichletova OP Neumannova OP 4
Linearita nelinearita Vstupní data: f, û, ˆτ. Linearita zobrazení (úlohy) (f, û, ˆτ) u, tj. pokud u 1 a u 2 jsou řešení odpovídající vstupním datům (f 1, û 1, ˆτ 1 ) a (f 2, û 2, ˆτ 2 ), potom u 1 + u 2 je řešení odpovídající (f 1 + f 2, û 1 + û 2, ˆτ 1 + ˆτ 2 ) a cu 1 (c R) je řešení odpovídající datům (cf 1, cû 1, cˆτ 1 ). Nelinearita: např. k = k(u) = k(x, u(x)) linearizace, iterační postupy. Nespojitá vstupní data, heterogenní materiálové prostředí: Spojitost funkce f, řešení u, u, u, koeficientu k, k. Nespojitost např. v f - skok v bodě ξ: řešení diferenciální rovnice na dvou samostatných částech (, ξ) a (ξ, l) a podmínky přechodu: lim u(x) = lim u(x), x ξ x ξ + lim ku (x) = lim ku (x). x ξ x ξ + Vede k obecnějšímu chápání řešení okrajové úlohy. Minimum energie, rovnost prací. Variační formulace: Diferenciální formulace: Úloha najít u C 2 (, l ) tak, aby Lineární prostor U: (ku (x)) = f(x), x = (, l) u() = û, ku (l) = ˆτ, funkce definované a spojité na, l, hlavní OP přirozená OP po částech hladké, tj. u C 1 (ξ i 1, ξ i ) pro nějaké = ξ < ξ 1... ξ m 1 < ξ m = l, omezená první derivace, tj. u (x) K x (ξ i 1, ξ i ), i = 1,..., m. 5
Množina testovacích funkcí (v mechanice množina virtuálních posunutí): V = {v U : v(x) = x Γ D }, např. Γ D = {}. Množina přípustných funkcí U D = {u U : u(x) = û x Γ D }, např. Γ D = {}. Přenásobení DR testovací funkcí, integrování přes oblast = (, l) (ku ) v dx = fv dx. Per partes, dosazení OP variační identita: ku v dx = fv dx ˆτv(l) v V, a(u, v) = b(v), v V. Pokud k a f jsou po částech spojité a omezené, potom a : U U R a b : U R jsou definované na celém U. Jiné úlohy: DR: Úloha najít u C 2 (, l ) tak, aby (ku (x)) = f(x), x = (, l) u() =, VR: Úloha najít u U D tak, aby ku (l) = α(u(l) Û). ku v dx + αu(l)v(l) = fv dx αûv(l), v V } {{ } a(u,v) } {{ } b(v) U D = V = {u U : u() = } 6
DR: Úloha najít u C 2 (, l ) tak, aby (ku (x)) + pu = f(x), x = (, l) u() =, u(l) =. VR: Úloha najít u U D tak, aby (ku v + pu v) dx = fv dx, v V } {{ } a(u,v) } {{ } b(v) U D = V = {u U : u() =, u(l) = } DR: Úloha najít u C 2 (, l ) tak, aby (ku (x)) + qu = f(x), x = (, l) u() =, u(l) =. VR: Úloha najít u U D tak, aby (ku v + quv) dx = fv dx, v V } {{ } a(u,v) } {{ } b(v) U D = V = {u U : u() =, u(l) = } qu je reaktivní člen (např. přísun tepla chemickou reakcí). Vlastnosti a(u, v), b(v): Linearita: U je lineární prostor, a(u, v) budeme nazývat bilineární formou a b(v) lineárním funkcionálem, pokud jsou zobrazení a, b lineární v každém argumentu, tj. pro libovolné u 1, u 2, v 1, v 2 U a α 1, α 2 R platí a(α 1 u 1 + α 2 u 2, v) = α 1 a(u 1, v) + α 2 a(u 2, v), a(u, α 1 v 1 + α 2 v 2 ) = α 1 a(u, v 1 ) + α 2 a(u, v 2 ), b(α 1 v 1 + α 2 v 2 ) = α 1 b(v 1 ) + α 2 b(v 2 ). 7
Symetrie: Bilineární forma a(u, v) je symetrická, pokud a(u, v) = a(v, u) u, v U. Nezápornost (pozitivní semidefinitnost): a(u, u), u U. V-elipticita (pozitivní definitnost): abstraktní verze energie u 2 2,1 = [u 2 + (u ) 2 ] dx = u 2 2 + u 2 2, existuje konstanta m > taková, že m v 2 2,1 a(v, v) v V. Omezenost: Existuje konstanta M >, pro kterou platí: a(u, v) M u 2,1 v 2,1. Existuje konstanta B > takové, že b(v) B v 2,1. Energetická formulace: Pokud a je bilineární, symetrická a pozitivně definitní forma na U U, pak definuje skalární součin a tedy i normu u a = u E = a(u, u) - energetická norma. Energetický funkcionál pro bilineární formu a a lineární funkcionál b: J : U R 1, J = 1 a(u, u) b(u) 2 EF: Úloha najít u U D tak, aby J(u) = min{j(w) : w U D }. Řešení úloh: Definice (klasické řešení): Nechť k C 1 (, l), f je na (, l) omezená, û, ˆτ R. Klasickým řešením okrajové úlohy (ku (x)) = f(x), x = (, l) u() = û, ku (l) = ˆτ. nazveme takovou funkci u C 2 (, l), která splňuje danou diferenciální rovnici a okrajové podmínky. 8
Definice (slabé řešení): Nechť k, f jsou po částech spojité a omezené, û, ˆτ R. Potom zobecněným (slabým) řešením okrajové úlohy (ku (x)) = f(x), x = (, l) u() = û, ku (l) = ˆτ. nazveme funkci u, pro kterou platí u U D, a(u, v) = b(v), v V. kde U D = {u U : u() = û} nazýváme prostorem přípustných funkcí a prostor V = {v U : v() = } nazýváme prostorem testovacích funkcí. Věta: Předpokládejme, že bilineární forma a je symetrická a nezáporná. Potom u je zobecněným řešením okrajové úlohy, tj. právě tehdy, když platí u U D, a(u, v) = b(v), v V. u U D, J(u) = min{j(w) : w U D } kde J : U R, J(v) = 1 a(v, v) b(v) je energetický funkcionál. 2 Věta: Je-li u klasické řešení, je i slabým řešením. C 2 () C 1 () U(). Úlohu lze přeformulovat (pokud chceme stejné prostory přípustných a testovacích funkcí) ũ U D, u = ũ + u, u V, a(ũ + u, v) = b(v), v V. u V, a(u, v) = b(v) a(ũ, v) = b D (v), v V. 9
Jednoznačnost slabého řešení: Věta: Nechť a je V-eliptická (pozitivně definitní), potom existuje nejvýše jedno slabé řešení úlohy u U D, a(u, v) = b(v), v V. Spojitá závislost slabého řešení na datech: Věta: Nechť a je V-eliptická (pozitivně definitní) a u je slabé řešení úlohy (ku (x)) = f(x), x = (, l) u() = û, ku (l) = ˆτ. Označme u 1 řešení úlohy pro vstupní data f 1, ˆτ 1, û a u 2 řešení úlohy pro vstupní data f 2, ˆτ 2, û, potom existuje konstanta C taková, že u 1 u 2 2,1 C ( f 1 f 2 2, + ˆτ 1 ˆτ 2 ). Věta: Nechť a je V-eliptická (pozitivně definitní) a u je slabé řešení úlohy (ku (x)) = f(x), x = (, l) u() = û, ku (l) = ˆτ. Pokud u 1 je řešení odpovídající vstupním datům f, ˆτ, û 1, u 2 je řešení odpovídající vstupním datům f, ˆτ, û 2 a ũ 1 U 1 D, tj. ũ 1() = û 1, ũ 2 U 2 D, tj. ũ 2() = û 2. Potom existuje konstanta C taková, že u 1 u 2 2,1 C inf{ ũ 1 ũ 2 2,1 : ũ 1, ũ 2 U, ũ 1 () = û 1, ũ 2 () = û 2 }. 1
Existence slabého řešení: Existence slabého řešení úlohy u V, a(u, v) = b D (v), v V. existence minima funkcionálu u V, J D (u) = min v V J D(v), J D (v) = 1 2 a(v, v) b D(v). 1. J D je zdola omezený funkcionál. 2. Minimalizující posloupnost je Cauchyovská (splňuje Bolzanovu-Cauchyovu podmínku). 3. J D je spojitý. 4. Prostor V není úplný zúplnění existence řešení. Definice: Zúplněním prostoru C() v integrální normě u p = p prostor L p () u(x) p dx je Definice: Zúplněním prostoru C 1 () nebo U() v integrální normě u 2,1 je Sobolevův prostor H 1 (). H 1 () = {v L 2 () : v L 2 ()} v je zobecněná derivace Definice(zobecněná derivace): Zobecněná derivace v = w je funkce, pro kterou platí w ϕ dx = v ϕ dx ϕ C () Definice(slabé řešení): Slabým řešením nazveme u HD 1 (), resp. w H1 V takové, že u = u D + w, kde u D HD 1 () je předem zvolená funkce a(w, v) = b D (v) = b(v) a(u D, v) v H 1 V 11
Věta (Laxova-Milgramova): Pokud a je V-eliptická, omezená bilineární forma a b je omezený lineární funkcionál na HV 1 potom existuje právě jedno slabé řešení. Navíc platí u 2,1 1 m b B b(v), kde b = sup. m v v 2,1 Regularita slabého řešení: Lemma (du Bois Reymondovo): Nechť u L() a platí u ϕ dx = ϕ C (). Potom u = skoro všude na. Pokud navíc u C(), potom u = ve všech bodech. 12
Základy funkcionální analýzy: Lineární prostor: Lineárním prostorem U nazveme libovolnou množinu (vektorů, funkcí) na které jsou definovány operace sčítání, násobení skalárem s následujícími vlastnostmi: x + y = y + x, x, y U, (x + y) + z = x + (y + z), x, y, z U, α(x + y) = αx + αy, x, y U, α R, : x + = x, x U, x ( x): x + ( x) =, (α + β)x = αx + βx, x U, α, β R, α(βx) = (αβ)x, x U, α, β R, 1.x = x, x U,.x =, x U. Norma: Nezáporná funkce x s následujícími vlastnostmi: x, x = x =, x U, αx = α x, x U, α R, x + y x + y, x, y U. Lineární prostor U s definovanou normou u je lineární normovaný prostor. u = max x u(x), u 1 = u(x) dx, [ u p = 1/p [ u(x) dx] p, u 2 = u 2, = u(x) 2 dx] 1/2, [ 1/2 u 2,1 = [u 2 + (u ) 2 ] dx], 13
u a = u E = a(u, u). [ 1/2 Seminorma: u 2,1 = [(u ) 2 ] dx], nespňuje u 2,1 = u =. Skalární součin: Symetrická bilineární forma (u, v) : U U R, po kterou platí (u, u), (u, u) = u =, u U. u = (u, u). Cauchy-Schwarzova nerovnost: (u, v) u v. Ekvivalence norem: m > a M >, takové, že u U platí m u 2,1 u a M u 2,1. Systém všech otevřených i uzavřených množin je v obou normách stejný. Každá posloupnost je zároveň konvergentní nebo divergentní v obou normách. Každá posloupnost je nebo není Cauchyovská v obou normách. Cauchyovská posloupnost (Bolzanova-Cauchyova podmínka): (nutná podmínka konvergence) Definice: Řekneme, že posloupnost {a n } n=1 je Cauchyovská, jestliže ε > n N tak, že m, n n je a m a n 2,1 < ε Lemma: Každá konvergentní posloupnost je Cauchyovská. Definice: Prostor X nazveme úplný, jestliže každá Cauchyovská posloupnost je konvergentní. 14