Přílad 1. Řešte v R rovnici x 4x + x 4 0. Výslede vypočtěte s přesností alespoň 0,07. 1) Reálné ořeny rovnice budou ležet v intervalu ( 5,5), protože největší z oeficientů polynomu bez ohledu na znaméno je 4. Přičteme 1, tím zísáme horní mez intervalu. Dolní mezí je totéž číslo s opačným znaménem. Polynom je. stupně, rovnice má tedy celem ořeny. Předpoládaný počet ladných a záporných reálných ořenů určíme za záladě znaménových změn v posloupnostech oeficientů: P (x) x 4x + x 4 znaménové změny (mezi 1. a.,. a.,. a 4. oeficientem). Kladné ořeny budou buď nebo 1. ( x) 4( x) + ( x) 4 x 4x x 4 všechny oeficienty jsou záporné, nedochází žádné změně. Rovnice tedy záporné reálné ořeny nemá. ) Provedeme separaci. Zjistili jsme, že rovnice má pouze ladné ořeny, můžeme se tedy omezit na interval (0,5). Zvolíme dělení na podintervaly dély 1 a budeme pomocí Hornerova schématu počítat hodnoty polynomu v dělících bodech: 1 4 4 0 1 4 4 1 1 1 5 1 8 1 1 1 7 4 1 0 4 5 1 1 7 1 x (,4) Funční hodnoty změnily znaméno pouze jedenrát, a to mezi body x a x 4. Rovnice má tedy pouze jeden reálný ořen v intervalu (,4) a další dva ořeny jsou omplexní. ) Metodou půlení intervalu dopočítáme reálný ořen se zadanou přesností. a ( ( ( Chyba b a,5 4,15 + 0,5,5,75 4 0,0156 + 0,5,75,875 4 1,8705 + 0,15,75,815,875 0,065 < 0,07 Za výslede považujeme střed toho intervalu, pro terý platí, že polovina jeho dély je menší než přípustná chyba. Tedy x &, 815.
4 Přílad. Separujte všechny reálné ořeny rovnice x x + x 0. Má-li záporné ořeny, vypočtěte je s přesností alespoň 0,04. 1) Největší z oeficientů polynomu bez ohledu na znaméno je, ořeny rovnice budou tedy ležet v intervalu (,). Rovnice má 4 ořeny. Protože oeficienty polynomu x mění znaméno, můžeme očeávat, že rovnice má nebo 1 ladný reálný ořen. Pro určení počtu záporných ořenů si nejdříve napíšeme polynom v bodě x : ( x) 4 ( x) + ( x) x 4 + x + x Mezi oeficienty tohoto polynomu 1,1,1, dochází jedné změně znaména, tedy rovnice má jeden záporný reálný ořen. ) Provedeme separaci. Vzhledem veliosti intervalu zvolíme dělení na podintervaly dély 1 a pomocí Hornerova schématu budeme počítat hodnoty polynomu : 1 1 1 0 1 4 1 9 115 1 7 14 6 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 6 10 1 7 1 61 x 1 ( 1,0) x (1,) Polynom mění znaméno mezi 1 a 0 a potom mezi body 1 a. V uvedených intervalech leží reálné ořeny. Další dva jsou omplexní. ) Zpřesňovat budeme pouze záporný ořen. Metodu půlení intervalu použijeme na nalezení řešení v intervalu ( 1,0) s chybou menší než 0,04. a ( ( ( Chyba b a 1 0,5 0 + 1,565 0,5 1 0,75 0,5 + 0,699 0,5 1 0,875 0,75 + 0,017 0,15 0,875 0,815 0,75 + 0,6766 0,065 0,875 0,8475 0,815 0,015< 0,04 Řešením s požadovanou přesností je x & 0, 8475, přesněji x 0,8475± 0, 015.
Přílad. S chybou menší než 0,1 řešte v R rovnici x + x 1 0. 1) Reálné ořeny budou ležet v intervalu (,). Polynom je. stupně, rovnice má tedy celem ořeny. Z nich jeden je ladný, protože v posloupnosti oeficientů polynomu dochází jedné znaménové změně. x + x 1. V tomto polynomu mění oeficienty znaméno dvrát, tže rovnice bude mít záporné ořeny dva nebo žádný. ) Provedeme separaci. 1 0 1 1 1 10 1 0 0 1 1 1 1 1 0 Další hodnoty počítat nemusíme. V bodě x 1 je totiž hodnota polynomu rovna 0, to znamená, že toto číslo je ořenem polynomu (řešením rovnice). Z teorie polynomů víme, že řáde Hornerova schématu, ve terém jsme nalezli ořen, nám udává oeficienty zbytového polynomu. Tedy polynom ze zadání rozložíme na součin : x + x 1 ( x+ 1)( x + x 1) Kořeny polynomu ve druhé závorce bude vhodné počítat pomocí vzorce pro výpočet ořenů vadraticé rovnice.,4 1± 1+ 4 1± 5 1±,4 x1 1,6 x 1, & 1,4 x 0,6 Rovnice má tedy reálná řešení : 1,6, 1 a 0,6. 4 Přílad 4. Separujte všechny reálné ořeny rovnice x 4x x + x 6 0. 1) Pro ořeny rovnice platí x ( 7,7). i Celem má ořeny 4, z toho ladné reálné budou nebo 1. (Změny znaména mezi 1. a.,. a 4., 4. a 5. oeficientem.) 4 4 ( x) 4( x) ( x) + ( x) 6 x + 4x x x 6 záporný ořen bude jeden (Změna mezi. a.oeficientem)
) Interval ( 7,7) by bylo pracné dělit na intervaly dély 1. Kromě toho není nutné volit dělicí body pravidelně. Uážeme si během následujícího výpočtu. Použijeme Hornerovo schéma a zvolíme si pro začáte podintervaly dély : 1 4 1 6 7 1 11 76 50 704 4 1 8 1 1 48 Všimněme si, že funční hodnota mezi body -7 a -4 hodně lesla, tže bude vhodnější použít ratší podinterval. Použijeme : 1 4 1 6 7 1 11 76 50 704 4 1 8 1 1 48 1 6 11 0 4 Dál uvážíme to, že pro x 0 je hodnota polynomu záporná. (V bodě 0 je hodnotou polynomu absolutní člen.) Proto vypočítáme hodnotu P ( 1), abychom hned zjistili, zda přechází polynom z ladných hodnot do záporných na intervalu (, 1) nebo ( 1,0). 1 4 1 6 7 1 11 76 50 704 4 1 8 1 1 48 1 6 11 0 4 1 1 5 4 4 Ke změně znaména polynomu tedy dochází v intervalu (, 1). Zbyte intervalu projdeme s roem : 1 4 1 6 7 1 11 76 50 704 4 1 8 1 1 48 1 6 11 0 4 1 1 5 4 4 0 6 1 5 8 4 1 0 1 14 6 1 11 68 40 Kladný ořen leží v intervalu (4,6). Poznáma: Kdybychom ladný ořen chtěli aproximovat metodou půlení intervalu, byla by chyba v prvním rou 1, ve druhém 0,5, atd. Tedy pro dosažení onrétní přesnosti bychom museli provést víc roů půlením. Proto je pro ruční výpočet výhodné začít půlit interval dély 1. Interval (4,6) ještě rozdělíme.
1 4 1 6 7 1 11 76 50 704 4 1 8 1 1 48 1 6 11 0 4 1 1 5 4 4 0 6 1 5 8 4 1 0 1 14 5 1 1 4 104 6 1 11 68 40 Kořen leží v intervalu (4,5). Přílad 5. Řešte v R rovnici x + x 0 s přesností alespoň 0,1. x i ( 4,4), ořeny jsou celem. Ze znaménových změn v posloupnosti oeficientů polynomu plyne, že jeden reálný ořen bude ladný. x x žádná změna záporný reálný ořen nemá. Víme-li, že rovnice má jediný reálný ořen, terý leží v intervalu (0,4), mohli bychom hned apliovat metodu půlení intervalu: a ( ( ( Chyba 0 4 7 + 0 1 1 + 1 1 1,5 0,5 b a Výpočet by dosažení požadované přesnosti byl o dva roy delší. Nebo bychom mohli nejdříve, jo při separaci, rozdělit interval na menší podintervaly a zjistit, ve terých bodech polynom změnil znaméno: 1 0 1 sgn P x ) 0 1 0 1 1 1 1 1 1 5 7 + Hledaný ořen leží v intervalu (1,). (
Potom a ( ( ( Chyba b a 1 1,5 1,875 + 0,5 1 1,5 1,5 0,01 + 0,5 1 1,15 1,5 0,45117 + 0,15 1,15 1,1875 1,5 0,065 < 0,1 Závěr: x & 1, 1875 Poznáma: Tuto rovnici bychom mohli řešit i graficy. Poud si náres provedete dostatečně precizně, je možné přesnost dodržet. Rovnici upravíme: x + x 0 x x. Budeme tedy hledat průsečíy grafů funcí y x a y x.