z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet

6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. 6.1. Číselé charakteristiky áhodé veličiy 6.1.1. Středí hodota Uvažujme ejprve diskrétí áhodou veličiu X s rozděleím {x }, {p }. Jedou z možostí, jak tuto veličiu charakterizovat, je určit součet x p = x P(X = x ), ve kterém každou hodotu áhodé veličiy ásobíme pravděpodobostí, že áhodá veličia této hodoty abude (každou hodotu áhodé veličiy vážíme její šací ). Budou-li hodotami áhodé veličiy eje kladá, ale i záporá čísla, mohl by se teto součet (samozřejmě pouze při ekoečém počtu sčítaců) měit při změě idexováí hodot áhodé veličiy. Proto se v ásledujících defiicích požaduje absolutí kovergece příslušých řad. 1. Nechť X je diskrétí áhodá veličia s rozděleím {x }, {p }. Je-li x p = x P(X = x ) <, azveme součet řady x p = x P(X = x ), středí hodotou E(X) áhodé veličiy X. Pokud eí uvedeá podmíka splěa, řekeme, že áhodá veličia X emá středí hodotu. 2. Nechť ϕ(x) : R 1 R 1 je borelovská fukce. Je-li ϕ(x ) p = ϕ(x ) P(X = x ) <, azveme součet řady ϕ(x )p = ϕ(x )P(X = x ), středí hodotou E(ϕ(X)) áhodé veličiy ϕ(x). Pokud eí uvedeá podmíka splěa, řekeme, že áhodá veličia ϕ(x) emá středí hodotu. Pro spojitou áhodou veličiu vychází defiice středí hodoty ze stejých úvah, místo sčítáí itegrujeme. 1. Nechť X je spojitá áhodá veličia s hustotou f X (x). Je-li x f X (x)dx <, 3

4 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. azveme itegrál xf X (x)dx, středí hodotou E(X) áhodé veličiy X. Neí-li podmíka splěa, řekeme, že áhodá veličia X emá středí hodotu (její středí hodota eexistuje). 2. Nechť ϕ(x) : R 1 R 1 je borelovská fukce. Je-li azveme itegrál ϕ(x) f X (x)dx <, ϕ(x)f X (x)dx, středí hodotou E(ϕ(X)) áhodé veličiy ϕ(x). V opačém případě řekeme, že áhodá veličia ϕ(x) emá středí hodotu. Ozačeí. Symbolem L 1 (Ω, A, P) začíme možiu všech áhodých veliči defiovaých a uvedeém pravděpodobostím prostoru, které mají středí hodotu. Věta 1. Nechť X, Y jsou áhodé veličiy defiovaé a pravděpodobostím prostoru (Ω, A, P) a echť a, b jsou libovolá reálá čísla. Platí 1. X L 1 (Ω, A, P) = E(aX) = ae(x), 2. P(X 0) = 1 = E(X) 0, 3. X L 1, Y L 1 = E(X + Y ) = E(X) + E(Y ), 4. X L 1, Y L 1, P(X Y ) = 1 = E(X) E(Y ), 5. P(X = a) = 1 = E(X) = a, Důkaz. Tvrzeí plyou z vlastostí číselých řad a z vlastostí itegrálu. Pozámka. 1. Středí hodota áhodé veličiy obecě emusí existovat. Např. má-li áhodá veličia X spojité rozděleí s hustotou f(x) =, x π(1+x 2 ) R1 (je to tzv. 1 Cauchyho rozděleí), je 1 x dx =, π(1 + x 2 ) tj. podle defiice středí hodota eexistuje. 2. Středí hodota je číselá charakteristika polohy hodot áhodé veličiy X a reálé ose. Záme-li E(X), víme, kde jsou hodoty áhodé veličiy kocetrováy, kde je můžeme s ejvětší pravděpodobostí očekávat. Proto se středí hodotě ve starší literatuře říkalo očekávaá hodota ebo také matematická aděje. Středí hodota je jedím z tzv. mometů áhodé veličiy. Defiice 1. Nechť X je áhodá veličia defiovaá a (Ω, A, P), r = 1, 2,... E(X r ) se azývá r-tý (počátečí ebo obecý) momet, E( X r ) se azývá r-tý absolutí (obecý) momet,

5 Je-li X L 1 (Ω, A, P), E(X E(X)) r E( X E(X) r ) se azývá r-tý cetrálí momet, se azývá r-tý cetrálí absolutí momet. Ozačeí. Existuje-li r-tý momet áhodé veličiy X, píšeme X L r (Ω, A, P). Pozámka. 1. Při výpočtu mometů áhodé veličiy vycházíme z defiic, tj. apř. E(X r ) = x r f X (x)dx, pro X spojitou, E(X E(X)) r = [x E(X)] r p pro X diskrétí, E( X E(X) r ) = x E(X) r f X (x) dx pro X spojitou. 2. Protože v R 1 platí erovost x k 1 + x r pro 0 < k < r, platí tvrzeí E( X r ) < = E( X k ) <, k r, a tedy X L r (Ω, A, P) X L k (Ω, A, P), k r. Jiými slovy: Z toho, že áhodá veličia X má určitý momet plye, že má všechy momety meších stupňů. 3. Při výpočtech lze užít vztah (který dokážeme pomocí biomické věty) E[X E(X)] = ( ) ( 1) j E[(X) j ][E(X)] j, j j=0 tj. má-li X momet E(X ), má také cetrálí momet E[X E(X)], N. Defiice 2. Druhý cetrálí momet áhodé veličiy X se azývá rozptyl (variace, disperse) áhodé veličiy X. Obvykle se ozačuje var(x) = E[X E(X)] 2. Druhá odmocia z rozptylu var(x) se azývá směrodatá (stadardí, středí kvadratická) odchylka áhodé veličiy X. Pozámka. Je zřejmé, že existece středí hodoty E(X) je utou podmíkou existece rozptylu. Rozptyl je druhá ejdůležitější číselá charakteristika áhodé veličiy. Ukazuje, zda jsou hodoty áhodé veličiy více ebo méě kocetrováy kolem středí hodoty E(X), je to míra variability hodot áhodé veličiy kolem E(X). Patří mezi tzv. škálové charakteristiky ebo charakteristiky měřítka. Věta 2 (Čebyševova erovost). Nechť X L 2 (Ω, A, P). Pro libovolé ε > 0 platí P( X E(X) ε) var(x) ε 2.

6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. Důkaz. Dokážeme apř. pro spojitou áhodou veličiu. Zvolme libovolé ε > 0. var(x) = E[X E(X)] 2 = [x E(X)] 2 f X (x)dx [x E(X)] 2 f X (x)dx ε 2 {x: x E(X) ε} {x: x E(X) ε} f X (x)dx = ε 2 P( X E(X) ε). Tvrzeí věty dostaeme úpravou erovosti. Věta 3. Nechť X má druhý momet, tj. echť X L 2 (Ω, A, P). Platí 1. var(x) 0, 2. var(a + bx) = b 2 var(x), 3. var(x) = E(X 2 ) [E(X)] 2, 4. P(X = c) = 1 var(x) = 0. Důkaz. 1. plye z defiice rozptylu a z vlastostí středí hodoty, 2. var(a + bx) = E[a + bx E(a + bx)] 2 = b 2 E[X E(X)] 2 = b 2 var(x), 3. var(x) = E[X E(X)] 2 = E{X 2 2XE(X) + [E(X)] 2 } = E(X 2 ) [E(X)] 2, Příklad. Vypočtěte rozptyl áhodé veličiy X, která má diskrétí rovoměré rozděleí, tj. která abývá hodot k = 0, 1,..., M 1 s pravděpodobostmi P(X = k) = 1 M, k = 0, 1,..., M 1. Řešeí: E(X) = M 1 k=0 M 1 E(X 2 ) = k 2 1 M = 1 M k=0 var(x) = E(X 2 ) [E(X)] 2 = k 1 M = 1 M (0 + 1 + + [M 1]) = 1 M M(M 1)(2M 1) 6 (M 1)(2M 1) 6. M(M 1) 2 (M 1)2 4 = M 1 2 = M 2 1 12 Příklad. Nechť X má středí hodotu a eulový rozptyl. Uvažujme áhodou veličiu Y = X E(X) var(x).., Potom platí E(Y ) = 1 var(x) E[X E(X)] = 0, ( ) 2 1 var(y ) = var[x E(X)] = 1. var(x)

Náhodá veličia Y se azývá ormovaá ebo také stadardizovaá áhodá veličia. 7 Dalšími důležitými číselými charakteristikami áhodé veličiy jsou tzv. kvatily. Užívají se zejméa v matematické statistice. Defiice 3. Nechť α (0, 1). α-kvatil áhodé veličiy X je takové reálé číslo x α, pro které platí P(X x α ) α a současě P(X x α ) 1 α. Pozámka. 1. Obecě eí α-kvatil jedozačě urče. Může dokoce existovat ohraičeý iterval hodot x α splňujících podmíky požadovaé v defiici. 2. x α je takové reálé číslo, které splňuje vztahy F X (x α 0) α F X (x α ). 3. Je-li distribučí fukce F X áhodé veličiy X spojitá a rostoucí všude tam, kde 0 < F X (x) < 1, je α-kvatil x α jedozačě urče vztahem F X (x α ) = α. Některé kvatily mají speciálí ázvy: x 0,5 se azývá mediá, x 0,25 dolí kvartil, x 0,75 horí kvartil. x k, k = 1, 2,..., 9, je tzv. k-tý decil, 10, k = 1, 2,..., 99, je tzv. k-tý percetil (procetil). x k 100 Příklad. Nechť X je spojitá áhodá veličia s hustotou { 0, x 0, π f(x) =, 2 cos x, x 0, π 2 její distribučí fukce je rova 0, pro x 0, x F X (x) = cos t dt = si x, pro 0 < x < π, 0 2 1, pro x π, 2 viz obr. 12. Mediá x 1 2 vypočteme z rovice si x = 1 2, tedy x 1 2 = π 6. Příklad. Nechť X je rova počtu bodů, které padou při jedom hodu pravidelou hrací kostkou. P(X = k) = 1, k = 1,..., 6. E(X) = 6 6 k=1 k 1 = 3, 5. Mediá x 6 0,5 je každé číslo z itervalu 3, 4, protože P(X 3) = 1, P(X 4) = 1. 2 2

8 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. 6.1.2. Modus Pro diskrétí a spojité áhodé veličiy lze defiovat ještě jedu číselou charakteristiku azývaou modus, oz. ˆx ebo Mo. Je-li X diskrétí, je ˆx její ejpravděpodobější hodota, je-li X spojitá, je ˆx bod, ve kterém má hustota f X lokálí maximum. Je zřejmé, že modus emusí existovat a eí urče jedozačě. Podle počtu modálích hodot se rozděleí pravděpodobostí azývá uimodálí, bimodálí ebo multimodálí. Má-li áhodá veličia X distribučí fukci F (x), pak áhodá veličia Y = X + a má distribučí fukci G(x) = P(Y x) = P(X + a x) = P(X x a) = F (x a). Graf distribučí fukce G(x) áhodé veličiy Y získáme z grafu distribučí fukce F (x) áhodé veličiy X posuutím o hodotu a. Říkáme, že rozděleí těchto dvou áhodých veliči se od sebe liší je polohou. Charakteristikou polohy azýváme takovou charakteristiku ξ(x), pro iž platí ξ(x + a) = ξ(x) + a, a R 1. Tuto vlastost má apř. středí hodota, α-kvatil ebo modus. 6.1.3. Variace Charakteristikou variability rozděleí pravděpodobostí áhodé veličiy X je taková charakteristika η(x), pro iž platí η(a + bx) = b 2 η(x), ebo η(a + bx) = b η(x), a, b R 1. Je vidět, že změou polohy zůstává charakteristika variability ezměěa, protože η(x + a) = η(x). Nejužívaější charakteristiky variability jsou rozptyl, směrodatá odchylka, mezikvartilové rozpětí x 0,75 x 0,25, mezidecilové rozpětí x 0,99 x 0,01 ebo středí odchylka E( X µ ), kde se za µ volí buď středí hodota EX ebo mediá. V dalším budeme užívat pojem symetrické rozděleí. Defiice 4. Řekeme, že diskrétí áhodá veličia X má rozděleí symetrické podle bodu µ, platí-li P(X = x ) = P(X = 2µ x ) pro všechy její hodoty x. Řekeme, že spojitá áhodá veličia X má rozděleí symetrické podle bodu µ, jestliže pro její hustotu platí f(µ x) = f(µ + x), x R 1. Pro áhodou veličiu X, která má rozděleí symetrické podle bodu µ platí E(X) = µ, E[(X µ) k ] = 0, k = 1, 3, 5,... tj. všechy její liché cetrálí momety jsou ulové. Příklad. Normálí rozděleí N(µ, σ 2 ) je rozděleí symetrické podle bodu µ = EX. Příklad.

Nechť X je rova součtu bodů, které padou při jedom hodu dvěma symetrickými hracími kostkami. Tato áhodá veličia abývá hodot 9 x = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 s pravděpodobostmi p = 1 36, 2 36, 3 36, 4 36, 5 36, 6 36, 5 36, 4 36, 3 36, 2 36, 1 36. Její rozděleí je symetrické podle bodu µ = 7 = E(X). 6.1.4. Šikmost a špičatost Další třída charakteristik se týká symetrie (šikmosti) rozděleí pravděpodobostí áhodé veličiy. Nejčastěji užívaou charakteristikou asymetrie je tzv. (mometový) koeficiet šikmosti α 3 (X) = E[(X E(X))3 ] ( var(x)) 3. Je-li rozděleí symetrické, je α 3 = 0. Je-li rozděleí protáhlejší směrem apravo ež směrem alevo, je α 3 > 0. Je-li rozděleí protáhlejší směrem alevo ež směrem apravo, je α 3 < 0. Jako charakteristika špičatosti (plochosti) rozděleí se užívá tzv. (mometový) koeficiet špičatosti α 4 (X) = E[(X E(X))4 ] ( var(x)) 4 3. Má-li áhodá veličia X symetrické rozděleí a je-li α 4 (X) > 0, (α 4 (X) < 0) zameá to, že a svých kocích je pravděpodobostí fukce P(X = x ) ebo hustota f(x) této áhodé veličiy větší (meší) ež hustota ormálího rozděleí se stejou středí hodotou a stejým rozptylem. Koeficiet špičatosti se užívá i pro esymetrická rozděleí.

10 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. 6.2. Nejdůležitější diskrétí distribučí fukce

11 Alterativí (ula jedičkové) rozděleí Alterativí (ula jedičkové) rozděleí s parametrem p má áhodá veličia X, která abývá pouze dvou hodot x 1 = 0, x 2 = 1 s pravděpodobostmi p 1 = P(X = 0) = 1 p, p 2 = P(X = 1) = p, kde p (0, 1) je parametr tohoto rozděleí. Krátce ozačujeme X Alt(p) a čteme áhodá veličia X má alterativí rozděleí s parametrem p. Distribučí fukce

12 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. je rova 0, pro x < 0, F (x) = 1 p, pro 0 x < 1, 1, pro x 1. E(X) = 0 (1 p) + 1 p = p, var(x) = E(X 2 ) [E(X)] 2 = [0 2 (1 p) + 1 2 p] p 2 = p(1 p). Model: uvažujeme áhodý pokus, ve kterém může astat jev A (úspěch) s pravděpodobostí p (0, 1); X je rova počtu úspěchů, které astaou v pokuse. Biomické rozděleí Předpokládejme, že jsme provedli celkem ezávislých pokusů takových, že v každém z ich mohl astat jev A (úspěch) se stejou pravděpodobostí p (0, 1). Možia Ω všech výsledků tohoto pokusu je možia celkem 2 uspořádaých -tic vytvořeých ze dvou symbolů (apř. + ozačíme úspěch, ozačíme eúspěch). A echť je třída všech podmoži Ω, P klasická pravděpodobost. Náhodá veličia X(ω) echť je rova počtu úspěchů v ω. Obor hodot této áhodé veličiy je možia M = {0, 1,..., } a pravděpodobostí fukce P(X = k) = ( k ) p k (1 p) k, k = 0, 1,...,. (1) Tuto áhodou veličiu ozačujeme ázvem biomické rozděleí s parametry, p a zapisujeme krátce X Bi(, p). Distribučí fukce této áhodé veličiy je 0, ( pro x < 0, F (x) = k x k) p k (1 p) k, pro 0 x <, 1, pro x. Příklad. Určete středí hodotu áhodé veličiy X, která má biomické rozděleí s parametry, p.

13 Řešeí: X abývá hodot k = 0, 1,..., s pravděpodobostmi ( ) P(X = k) = p k (1 p) k, k E(X) = ( k k k=0 ) p k (1 p) k = p k=1 ( ) 1 k 1 k=1! (k 1)!( k)! pk (1 p) k = p k 1 (1 p) k = 1 ( ) 1 = p p j (1 p) 1 j = p[p + (1 p)] 1 = p. j j=0 Poissoovo rozděleí Poissoovo rozděleí s parametrem λ má áhodá veličia X, která abývá hodot k = 0, 1,... s pravděpodobostmi P(X = k) = λk k! e λ, λ > 0. Ozačujeme krátce X Po(λ). { 0, pro x < 0, F (x) = λ k k x k! e λ, pro x 0. E(X) = k=0 k λk k! e λ = λe λ k=1 λ k 1 (k 1)! = λe λ j=0 λ j j! = λ. var(x) = E(X 2 ) [E(X)] 2 = E[X(X 1)] + E(X) [E(X)] 2. Vypočteme ejprve E[X(X 1)] = k(k 1) λk k! e λ = λ 2 e λ k=0 k=2 λ k 2 (k 2)! = λ2 e λ j=0 λ j j! = λ2 P (X=k) P (X=k 1) a tedy var(x) = λ 2 + λ λ 2 = λ, tj. středí hodota a rozptyl Poissoova rozděleí jsou stejé a rovají se parametru. Pro modus ˆx rozděleí Po(λ) platí λ 1 ˆx λ. To určíme stejě jako u biomického rozděleí vyšetřeím podílu. Je-li λ přirozeé číslo, je rozděleí bimodálí: ˆx 1 = λ 1, ˆx 2 = λ. Pro λ < 1 má rozděleí modus ˆx = 0. Pozámka. Lze odvodit, že za určitých předpokladů se Poissoovým rozděleím řídí áhodé veličiy: počet sigálů, které dojdou do telefoí ústředy během itervalu délky t; počet elektroů emitovaých rozžhaveou katodou elektroky během itervalu délky t; počet jedobuěčých orgaizmů a ploše velikosti t v zorém poli mikroskopu, atd.

14 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. Rovoměré rozděleí a itervalu (a, b), < a < b <, má áhodá veličia X, která má hustotu f X (x) = { 1, pro x (a, b) b a 0, pro x (a, b). Toto je ejjedodušší hustota rozděleí pravděpodobostí áhodé veličiy. Ozačujeme: X Ro(a, b), a, b jsou parametry tohoto rozděleí. Příslušá distribučí fukce potom je 0 pro x a, x 1 x a F (x) = dt =, pro a x < b, a b a b a 1 pro x b. Vypočteme číselé charakteristiky a tedy E(X) = E(X 2 ) = b a b a x 1 b a dx = b2 a 2 2(b a) = a + b, 2 x 2 1 b a dx = b3 a 3 3(b a) = b2 + ab + a 2 3 var(x) = E(X 2 ) [E(X)] 2 = b2 + ab + a 2 3 (a + b)2 4 = (b a)2 12 Pozámka. 1. Rovoměré rozděleí Ro(0,1) je zvláštím případem tzv. beta-rozděleí. Náhodá veličia X má tzv. B-rozděleí s parametry a > 0, b > 0, má-li hustotu { 0, x / (0, 1), f(x) = 1 B(a,b) xa 1 (1 x) b 1, x (0, 1). Píšeme X B(a, b). 2. S rovoměrým rozděleím se často setkáváme v praxi, toto rozděleí má apř. chyba ze zaokrouhleí a k desetiých míst při umerických výpočtech (áhodá veličia s rovoměrým rozděleím a itervalu ( 5 5, )), 10 k+1 10 k+1 chyba při odečítáí údajů z těch měřicích přístrojů, jejichž stupice eumožňuje iterpolaci, apř. rozdíl skutečého času a času, který ukazují digitálí hodiy, zde (a, b) = (0, 60), chyba při staoveí času z digitálích hodi. Normálí rozděleí (Gaussovo) s parametry µ, σ má áhodá veličia X, která má hustotu f X (x) = 1 σ (x µ) 2 2π e 2σ 2, x R 1, µ R 1, σ > 0. Normálí rozděleí s parametry µ, σ ozačíme N(µ, σ 2 ). Je zřejmé, že f X (µ + x) = f X (µ x), x > 0. Tvar hustoty závisí a parametru σ 2..

Velmi důležitým případem ormálího rozděleí je rozděleí N(0, 1). Toto rozděleí se azývá ormovaé, ěkdy též stadardizovaé ormálí rozděleí. Má-li áhodá veličia U rozděleí N(0, 1), je její hustota ϕ(u) = 1 2π e u2 2, < u <. 15 Zřejmě ϕ(u) = ϕ( u), < u <, stačí proto tabelovat hodoty ϕ(u) pro kladé argumety.

16 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. Má-li áhodá veličia X rozděleí N(µ, σ 2 ), pak áhodá veličia U = X µ σ má rozděleí N(0, 1). *) Normovaému ormálímu rozděleí přísluší distribučí fukce Φ(u) = 1 u e t2 2 dt, < u <. 2π Hodoty této fukce jsou tabelovaé, existují také algoritmy pro jejich vyčísleí. Hustota ϕ(x) je sudá fukce, stačí proto tabelovat její hodoty pro x 0. Protože Φ(x) = 1 Φ( x), x R 1, jsou tabelováy pouze kvatily x α pro α > 0, 5. *) Důkaz tohoto tvrzeí uvedeme v odstavci Rozděleí fukce jedé áhodé veličiy.