Kvadratické rovnice
Kvadratická rovnice a + b + c = 0 a, b, c R a 0 - koeficienty a, b, c jsou libovolná reálná čísla, a se nesmí rovnat 0 - pokud by koeficient a byl roven nule, jednalo by se o rovnici lineární b + c = 0
obsah 1. Úplná kvadratická rovnice řešení pomocí DISKRIMINANTU D 4 A) 4 + 5 + 1 = 0.. 5 B) 5-11 + = 0. 6 C) - 4-7 = 0 7 D) 4-1 + 9 = 0. 8 E) 4 - + 9 = 0 9. Úplná kvadratická rovnice Vietovy vztahy 10 A) - 8 + 15 = 0. 11 B) + 5-14 = 0. 1 C) - 5 + 6 = 0 1. Neúplná kvadratická rovnice řešení pomocí odmocňování. 14 A) 16-5 = 0 15 B) -9 + 64 = 0 16 4. Neúplná kvadratická rovnice řešení pomocí vytýkání 17 A) + 5 = 0.. 18 B) 7 + 1 = 0 19 5. Úprava rovnic, podmínky řešitelnosti..0-1 A) 1
Úplná kvadratická rovnice a + b + c = 0 řešení pomocí diskriminantu D a 0, b 0, c 0 Vzorec pro výpočet DISKRIMINANTU D Vzorec pro výpočet kořenů rovnice 1, Postup: a Určíme koeficienty a, b, c (pozor na znaménka) Vypočteme D. Podle toho, zda je D kladný, roven nule, či záporný, získáme různý počet kořenů: D 0 D 0 rovnice má dva kořeny rovnice má jeden kořen (dvojnásobný) D b 4ac b D D 0 v množině reálných čísel nemá rovnice řešení, množina kořenů K je prázdná Vypočteme kořeny dle vzorce Pokud se vyskytuje neznámá ve jmenovateli, provedeme zkoušku nebo určíme podmínky řešitelnosti Zapíšeme množinu kořenů
D b 4ac a + b + c = 0 úplná kvadratická rovnice řešení pomocí D 1, b a D Př. 1.a) Řešte v R: 4 + 5 + 1 = 0 Postup: Určíme koeficienty a, b, c: 4 + 5 + 1 = 0 a=4 b=5 c=1 Vypočteme D D = 5 4.4.1 = 5 16 = 9 Vypočteme kořeny dle vzorce 1, 5 4 5 8 Zapíšeme množinu kořenů 9 D 0 rovnice má dva kořeny 5 1 8 8 4 5 8 8 8 1 1 K, 1 4
D b 4ac a + b + c = 0 úplná kvadratická rovnice řešení pomocí D 1, b a D Př. 1.b) Řešte v R: 5-11 + = 0 Postup: Určíme koeficienty a, b, c: 5-11 + = 0 a=5 b=-11 c= Vypočteme D D = (-11) 4.5. = 11 40 = 81 Vypočteme kořeny dle vzorce 1, 11 81 5 Zapíšeme množinu kořenů 11 9 10 11 9 10 11 9 10 D 0 0 10 10 1 5 1 K, 5 rovnice má dva kořeny
D b 4ac a + b + c = 0 úplná kvadratická rovnice řešení pomocí D 1, b a D Př. 1.c) Řešte v R: - 4-7 = 0 Postup: Určíme koeficienty a, b, c: - 4-7 = 0 a= b=-4 c=-7 Vypočteme D D = (-4) 4..(-7) = 16 (-84) = 16 + 84 = 100 D 0 rovnice má dva kořeny Vypočteme kořeny dle vzorce 1, 4 100 4 10 14 7 4 10 6 6 6 4 10 6 6 6 1 Zapíšeme množinu kořenů K 7, 1
D b 4ac a + b + c = 0 úplná kvadratická rovnice řešení pomocí D 1, b a D Př.1.d) Řešte v R: 4-1 + 9 = 0 Postup: Určíme koeficienty a, b, c: 4-1 + 9 = 0 a=4 b=-1 c=9 Vypočteme D D = (-1) 4.4.9 = 144 144 = 0 D = 0 rovnice má jeden (dvojnásobný) kořen Vypočteme kořen dle vzorce 1, 1 0 4 Zapíšeme množinu kořenů 1 0 1 8 1 0 8 8 1 0 8 1 8 K Uvedeno pro názornost dvojnásobného kořenu. Není nutné takto rozepisovat, stačí jeden výpočet.
D b 4ac a + b + c = 0 úplná kvadratická rovnice řešení pomocí D 1, b a D Př. 1. e) Řešte v R: 4 - + 9 = 0 Postup: Určíme koeficienty a, b, c: 4 - + 9 = 0 a=4 b=- c=9 Vypočteme D D = (-) 4.4.9 = 4 144 = -140 D je menší než 0 D 0 v množině reálných čísel nemá rovnice řešení, množina kořenů K je prázdná, ze záporného čísla nelze vypočítat druhou odmocninu (zkuste na kalkulačce vypočítat 140 ) Zapíšeme množinu kořenů K
a 1, b 0, c 0 + b + c = 0 úplná kvadratická rovnice Vietovy vztahy Vietovy vztahy 1 + = -b 1 = c Postup: Rovnici upravíme do tvaru + b + c = 0 určíme b -b 1 + 1. roznásobíme c na dva činitele kořeny rovnice jsou činitelé, které jsou po sečtení rovny -b Pokud se vyskytuje neznámá ve jmenovateli, provedeme zkoušku nebo určíme podmínky řešitelnosti Zapíšeme množinu kořenů
a 1, b 0, c 0 + b + c = 0 úplná kvadratická rovnice Vietovy vztahy Vietovy vztahy 1 + = -b 1 = c Příklad.a) Řešte v R rovnici - 8 + 15 = 0 určíme b +8 roznásobíme 15 (c) na dva činitele 5 1 + 1. kořeny rovnice jsou činitelé, které jsou po sečtení rovny 8 (-b) 1 =, =5 115 5 Zapíšeme množinu kořenů K,5
a 1, b 0, c 0 + b + c = 0 úplná kvadratická rovnice Vietovy vztahy Vietovy vztahy 1 + = -b 1 = c Příklad.b) Řešte v R rovnici + 5-14 = 0 určíme b -5 roznásobíme -14 (c) na dva činitele 1 + 1. kořeny rovnice jsou činitelé, které jsou po sečtení rovny -5 (-b) 1 =-7, = 7 7 7 Zapíšeme množinu kořenů K 7,
a 1, b 0, c 0 + b + c = 0 úplná kvadratická rovnice Vietovy vztahy Vietovy vztahy 1 + = -b 1 = c Příklad.c) Řešte v R rovnici - 5 + 6 = 0 určíme b roznásobíme 6 (c) na dva činitele +5 1 + 1. kořeny rovnice jsou činitelé, které jsou po sečtení rovny +5 (-b) 1 =, = 16 Zapíšeme množinu kořenů K,
Neúplná kvadratická rovnice b = 0 a + c = 0 Řešíme pomocí odmocnění Postup: a + c = 0 a = -c = = c a c a /-c odečteme c /:a dělíme a / odmocníme Pokud se vyskytuje neznámá ve jmenovateli, provedeme zkoušku nebo určíme podmínky řešitelnosti Zapíšeme množinu kořenů
Př..a) Řešte v R: 16-5 = 0 16 = 5 = = = 5 16 5 16 5 4 Neúplná kvadratická rovnice b = 0 a + c = 0 /+ 5 /:16 / odmocníme odmocníme čitatele, odmocníme jmenovatele Zapíšeme množinu kořenů K 5, 4 5 4
Zapíšeme množinu kořenů Př..b) Řešte v R: -9 + 64 = 0-9 = - 64 = 64 9 Neúplná kvadratická rovnice b = 0 a + c = 0 /- 64 /:(-9) = = = 8 64 9 64 9 K / odmocníme odmocníme čitatele, odmocníme jmenovatele 8 8,
Řešíme pomocí vytýkání Postup: a + b = 0 Neúplná kvadratická rovnice c = 0 a + b = 0 /:a dělíme a b a b a 0 0 /vytkneme před závorku /součin je roven nule, právě když jeden nebo druhý činitel je roven nule 0 b 0 a b a Pokud se vyskytuje neznámá ve jmenovateli, provedeme zkoušku nebo určíme podmínky řešitelnosti Zapíšeme množinu kořenů K 0, b a
Př. 4.a) Řešte v R: + 5 = 0 Postup: + 5 = 0 5 0 Neúplná kvadratická rovnice c = 0 a + b = 0 /: /vytkneme před závorku 5 0 /součin je roven nule, právě když jeden nebo druhý činitel je roven nule 0 5 0 5 Zapíšeme množinu kořenů K 5 0,
Př. 4.b) Řešte v R: 7 + 1 = 0 Postup: 7 + 1 = 0 Neúplná kvadratická rovnice c = 0 a + b = 0 /:7 0 /vytkneme před závorku 0 /součin je roven nule, právě když jeden nebo druhý činitel je roven nule 0 0 Zapíšeme množinu kořenů K 0,
Kvadratická rovnice úpravy do tvaru a + b + c = 0 Většina kvadratických rovnic není uvedena ve tvaru a + b + c = 0. Do tohoto tvaru je nutné rovnici upravit, abychom mohli použít uvedená pravidla. Používáme stejné úpravy jako při řešení lineárních rovnic. Odstraňujeme zlomky, roznásobujeme závorky Pokud se neznámá vyskytuje ve jmenovateli, je nutné určit podmínky řešitelnosti nebo provést zkoušku. Podmínky řešitelnosti vycházejí ze zásady, že ve jmenovateli nesmí být 0 (nulou nelze dělit, zkuste na kalkulačce vypočítat např. 18:0). Je tedy nutné vyloučit z možných řešení taková reálná čísla, která by po dosazení za způsobila, že by se ve jmenovateli 0 vyskytla.
Kvadratická rovnice úpravy do tvaru a + b + c = 0 Př. 5.a) Je dána rovnice 1 1 a) Pro které reálné hodnoty neznámé je daná rovnice definována? b) Určete množinu K všech reálných řešení rovnice. Řešení: a) Jedná se o podmínky řešitelnosti 1 1 1 ( 1) 1 0 1 0 1 Vytkneme ve jmenovateli ( + )..( + 1) Rovnice není definována pro =0 a pro =1 Rovnice je tedy definována pro každé reálné číslo kromě 0 a 1 je elementem množiny reálných čísel kromě 0 a 1 R 0,1
Kvadratická rovnice úpravy do tvaru a + b + c = 0 Př. 5.a) Je dána rovnice 1 a) Pro které reálné hodnoty neznámé je daná rovnice definována? b) Určete množinu K všech reálných řešení rovnice. 1 R 0,1 Řešení b) 1 1 ( 1) 1 1 1 ( 1) ( ) 1 0 4 /.(-1) násobíme, abychom odstranili zlomky / roznásobíme závorky / upravíme do tvaru a + b + c = 0 / řešíme pomocí Vietových vztahů 4 1 41 K Vrátíme se k podmínkám řešitelnosti: vzhledem k tomu, že nesmí být rovno 1, nemůžeme ji zahrnout do množiny kořenů. Zapíšeme množinu kořenů, která bude obsahovat pouze ty výsledky řešení, které vyhovují podmínkám: 4
Děkuji za pozornost Zdroj: - Hudcová, Milada, Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ, SOU a nástavbové studium, PROMETHEUS 00, ISBN 80-7196-165-5 - www.novamaturita.cz - vlastní příklady - klipart