POTENCIÁL ELEKTRICKÉHO POLE ELEKTRICKÉ NAPĚTÍ
ELEKTRICKÝ POTENCIÁL Elektrcká potencální energe Newtonův zákon pro gravtační sílu mm F = G r 1 2 2 Coulombův zákon pro elektrostatckou sílu QQ F = k r 1 2 2 Pro elektrostatckou sílu platí řada stejných obecných závěrů jako pro sílu gravtační: Elektrostatcká síla je síla konzervatvní. Exstuje tedy elektrostatcká (elektrcká) potencální energe (pro systém dvou nebo více částc).
Změní-l se poloha nabté částce, vykoná na ní elektrostatcká síla prác. Pak změně potencální energe odpovídá E = E E = W p p, f p, Protože je elektrostatcká síla konzervatvní, platí, že práce touto slou vykonaná nezávsí na trajektor. Pro jednoznačné určení potencální energe je nutno zvolt konfgurac, pro níž pokládáme potencální energ za nulovou. Elektrostatckou potencální energ nabté částce pokládáme za nulovou, je-l částce od systému nekonečně vzdálená. Prác, kterou vykonají elektrostatcké síly př přesunu nabté částce z nekonečna do místa, kde chceme znát potencální energ, označíme symbolem W. Pak je potencální energe Ep = W.
Elektrcký potencál Elektrcký potencál nebol potencál elektrckého pole defnujeme: Potencál ϕ ( r ) = nezávsí na náboj testovací částce, charakterzuje elektrcké pole v místě s polohovým vektorem r, je skalární velčna skalární funkce prostorových proměnných. Ep Q Q 0 ϕ = ϕ ( r) = ϕ ( x, y, z) Volíme-l v nekonečnu E p, = 0, pak také potencál v nekonečnu ϕ = 0. Protože E p = W je hodnota v lbovolném místě elektrckého pole ϕ f W = Q
Elektrcké napětí, defnce Rozdíl potencálů mez dvěma lbovolným body nazýváme elektrcké napětí mez těmto body. U = ϕ = ϕ ϕ = f E p, f Ep, Ep W = = Q Q Q Q U W = Q Jednotka napětí 1J -1 [ U ] = 1V= = 1JC, 1 volt 1C Umožňuje zavést používanější jednotku pro ntenztu elektrckého pole. Vhodnější jednotka pro E F -1 N Jm V -1 : E =, [ E ] = 1 = 1 = 1 = 1Vm Q -1 C JV m Poznámka: Často užívaná jednotka pro energ elektronů, děr, elementárních částc: 1 elektronvolt = 1 ev = e (1V) = 1,6.10-19 C. J. C -1 = 1,6.10-19 J
Důležtá poznámka z HRW.
Ekvpotencální plocha Plochu, na níž má potencál stejnou hodnotu. nazveme ekvpotencální plocha Přemístí-l se po lbovolné náboj mez dvěma body téže ekvpotencální plochy, nevykoná elektrcké pole žádnou prác. dráze Část čtyř ekvpotencálních ploch Čtyř trajektore nabté testovací částce Naznačeny dvě elektrcké sločáry Plyne to z dříve uvedeného vztahu pro napětí W ( U = ϕ ϕf = ). Q Je-l ϕ = ϕ f, musí být W = 0.
Elektrcké sločáry a příčné řezy ekvpotencálních ploch Homogenní elektrcké pole Elektrcké pole bodového náboje (centrální pole) Pole elektrckého dpólu
Výpočet potencálu ze známé ntenzty elektrckého pole dr Q 0 Kladný testovací náboj se pohybuje v elektrckém pol z bodu () do bodu (f). Hledáme prác elektrostatcké síly F = Q0E. Platí, že dw = F dr = Q E dr. 0 Protože elektrostatcká síla je konzervatvní, vedou všechny možné cesty z () do (f) ke stejnému výsledku. Nemusíme ntegrovat po určté křvce, stačí uvést výchozí a koncový bod. Vyjádříme rozdíl potencálů ϕ f f f W Q0 ϕ = = d = Q0 Q0 d f 0 d W = W = Q E r E r E dr f ( U) = ϕf ϕ = E dr
Potencál bodového náboje dr E d r N áboj Q vyvolává v bodě P elektrcké pole o ntenztě E a potencálu ϕ. Potencál v bodě P určujeme pomocí testovacího náboje Q 0, který přemísťujeme z bodu P do nekonečna. ϕ ϕ = ϕ( ) ϕ( r) = E dr = Edr cos0 = Edr = f r r r 1 Q Q 1 Q 1 = dr = dr = = 4πε r 4πε r 4πε r r r 2 2 0 0 r 0 Q 1 Q 1 1 Q 1 1 Q = + = 0 4πε0 r r 4 πε 0 ( ) r = = 4πε0 r 4πε 0 r
Odvodl jsme 1 Q ϕ( ) ϕ( r) =. Nulovou hladnu volíme v, tj. ϕ( ) = 0, 4πε r 0 potom ϕ() r 1 Q = Potencál pro kladný náboj v bodě P 4πε r 0 Pro více nábojů (soustavu) platí prncp superpozce. Počítačem vytvořený prostorový dagram průběhu elektrckého potencálu ϕ v bodech rovny z = 0 v závslost na vzdálenost r od kladného bodového náboje v počátku rovny xy. Hodnoty potencálu v bodech této rovny jsou vyneseny svsle. Nekonečná hodnota potencálu ϕ není samozřejmě zobrazena.
Soustava bodových nábojů prncp superpozce n ϕ = ϕ = 1 n = 1 4πε0 = 1 Q r Nabté těleso dϕ P ρ R dq= ρdv 1 dq 1 ρ dv dϕ = = 4πε R 4 πε R 0 0 1 ρ dv ϕ = dϕ = 4 πε R ( V) 0 ( V) (V) Výhoda: př výpočtu potencálu stačí spočítat jen jeden ntegrál (ϕ je skalární funkce). Po nalezení potencálu ϕ lze snadno určt souřadnce vektoru E jak uvdíme dále ze vztahu: E = grad ϕ (což je pouhé dervování).
Příklad HRW 25.21. Částce na obr. mají náboje Q 1 = +Q, Q 2 = -3Q. Zvolte ϕ = 0 v nekonečnu a určete na ose x všechny body, v nchž je potencál jm vytvořeného elektrckého pole roven nule. Hledaný bod se může nacházet: a) mez náboj Q 1, Q 2, nebo b) vlevo od náboje Q 1. Vzdálenost tohoto bodu od náboje Q 1 označíme x.
ad a) Vpravo od náboje Q 1 y Q 1 Q 2 x d d - x x Platí prncp superpozce, proto potencály sečteme. Platí tedy Q 3Q ϕ = ϕ1+ ϕ2 = + = 4πε x 4πε d x 0 0 Odtud je d x= 3x 0 0 Q 3Q = 4πε x 4πε d x ( ) d x =. 4 ( ) 0
ad b) Podobně pro bod vlevo od náboje Q 1 y Q 1 Q 2 x d x Q 3Q ϕ = ϕ1+ ϕ2 = + = 4πε x 4πε d + x ( ) ( ) 0 0 Q 3Q = 4πε x 4πε d + x 0 0 ( ) 0 d + x= 3x d x = nalevo, tj. v poloze 2 d x =. 2
Výpočet ntenzty elektrckého pole ze známého potencálu dr pro jednotlvé složky vektoru E, tj.: dϕ = E x dx= E x dx, dϕ = E y dy, dϕ = E z dz E x = ϕ E y = ϕ E z = ϕ x y z Odtud složkye : Známe ϕ = ϕ( r) = ϕ( x, y, z) v každém místě elektrckého pole. Víme, že ϕ = ϕf ϕ = E dr, pro elementární změnu pak platí dϕ = E dr. Hledáme E. Protože ϕ je skalár, platí tento vztah Složka ntenzty pole E v lbovolném směru je rovna poklesu potencálu v tomto směru přpadajícímu na jednotkovou vzdálenost. f
Z předchozí strany: E x = ϕ x E y = ϕ y E z = ϕ z Nyní můžeme ntenztu elektrckého pole vyjádřt vektorově: ϕ ϕ ϕ E = E + E j + E k = j k x y z + + = x y z = + j + k ϕ = gradϕ x y z E grad = grad ϕ Známe-l potencál ϕ = ϕ( r) = ϕ( x, y, z) ve všech bodech elektrckého pole, lze určt složky ntenzty Ex, Ey, E z a tím také vektor E v lbovolném bodě pole.
Elektrcká potencální energe soustavy bodových nábojů Vyjdeme z defnčního vztahu pro potencál, tj ϕ ( r ) = a potencální energ budeme hledat ze vztahu E = ϕ( r) Q E p Q p.
Dva bodové náboje Q 1 a Q 2 ve vzdálenost r Bodový náboj Q 1 náboje potencál 2, vytvoří elektrcké pole, které má v místě bodového ϕ () r 1 Q 4πε r =. Q 1 Q 1 Přítomnost náboje se projevuje elektrostatckou slou působící na náboj Q2. Bude-l náboj Q2 přemísťován, bude práce př přemísťování rovna. Elektrcká potencální energe této dvojce nábojů je potom ϕq 2 E Soustava bodových nábojů: p = ϕ () r Q = 1 2 2. 4πε r 0 0 1 QQ a) Stanoví se elektrcká potencální energe každé dvojce nábojů. b) Výsledná potencální energe soustavy je jejch součtem.
Potencál nabtého vodče Ve všech vntřních bodech zolovaného vodče se volný náboj rozmístí vždy pouze po jeho vnějším povrchu. Pak z Gaussova zákona plyne, že uvntř vodče je E = 0, tj. platí: E = grad ϕ = 0 ϕ = konst. Tzn., že vodč musí mít všude stejný potencál (uvntř na povrchu).
Nabtá kulová plocha a) Závslost potencálu na vzdálenost r od středu zolované kulové vodvé plochy. Vně koule se celkový náboj jeví jako bodový, umístěný ve středu koule. Př přenesení náboje dovntř koule (malým otvorem) nekonáme prác, protože na náboj uvntř koule nepůsobí elektrcká síla. Potencál má tedy ve všech bodech uvntř koule stejnou hodnotu jako na povrchu. b) Průběh velkost ntenzty elektrckého pole E (r) stejné kulové plochy. Na povrchu koule je ntenzta nespojtá.
Rozložení náboje na povrchu vodče, který není kulově symetrcký Je-l zolovaný vodč vsunut do vnějšího elektrckého pole, pak bude ve všech jeho bodech stejný potencál ( E je ve všech bodech vodče nulová). Volné náboje vodče se rozdělí po jeho vnějším povrchu. Rozložení náboje není obecně rovnoměrné, závsí na tvaru vodče. Hustota náboje roste se zakřvením povrchu. V místech s velkou křvostí (hrany, hroty) bývá hustota náboje (a tím E ) velm vysoká. Sločáry výsledného pole těsně nad povrchem vodče jsou kolmé k jeho povrchu. Hrot je místo s vysokou koncentrací náboje je zde vysoká ntenzta pole a tím může dojít k onzac vzduchu a poté ke koronovému výboj, předzvěst blesku.
Koronové výboje mohou vypadat jako zježené vlasy. Koronové výboje, jako předzvěst blesku mohou vdět také např. hráč golfu na koncích golfových holí, horolezc na koncích cepínů, tursté na koncích větví keřů apod. Uvntř vodče je vždy pole E nulové. Užtí: ochrana před vnějším elektrckým polem v dutně vodvého předmětu (tzv. Faradayova klec). Příkladem je karosére auta, kterou zasáhla mohutná elektrcká jskra. Ta přeskočla přes zolující levou přední pneumatku do země. Je vdět, že osoba v autě nezraněna.