. Celistvé výrazy a jejich úprava.1. Číselné výrazy 8. ročník. Celistvé výrazy a jejich úprava Proměnná je znak, zpravidla ve tvaru písmene, který zastupuje čísla z dané množiny čísel. Většinou se setkáváme v praxi s příklady, kdy množina čísel, které můžeme dosadit za proměnnou, je omezena. Například v geometrii používáme vzorce. ( V = a.b.c, S =.( a + b ) apd.. zde pro proměnné a, b, c platí, že jsou z oboru přirozených čísel. Číselným výrazem nazýváme takové výrazy, ve kterých jsou pouze reálná čísla a žádné proměnné. Číselné výrazy : + 4,1. 7,4 5 1-4 Výraz s proměnou ( proměnnými ) jsou takové výrazy, které kromě reálných čísel obsahují proměnnou nebo více proměnných. Výraz s proměnou : 5x,4x - y 4a 5 Číselné výrazy mají podobu : a) čísla -5 b) součtu 4 + 6 c) rozdílu 4-6 d) součinu ( mocniny ) 4. 6 4 6 e) podílu 4 : 6 f) odmocniny 1 Příklad 1 : Napište číslo : a) o 1 větší než 4 b) 4 krát menší než 1 c) 4 krát větší než 1 d) o 1 menší než 4 e) součin čísel 4 a 8 zvětši krát f) od trojnásobku podílu čísel 1 a 4 odečti rozdíl čísel 7 a 5 g) od součinu součtů čísel 4 a 5 a čísel a 7 odečti převrácenou hodnotu tohoto součinu... Výrazy s proměnnou Příklad : Jakých hodnot nabývá výraz 5x- 1 pro čísla : a) x = 4 b) x = -1 a) 5.4 1 = 19 b) 5. (-1 ) 1 = -6 Příklad : Vypočtěte hodnotu výrazu 5x + x 1 pro a) x = b) x = -4 c) x = 5 d) x = - 5 Příklad : Napište výraz : a) o 1 větší než c b) 4 krát menší než x c) v krát větší než y 1
.. Jednočlen a mnohočlen 8. ročník. Celistvé výrazy a jejich úprava d) o s menší než k e) součin čísel 4 a 8 zvětši d krát f) od n-násobku podílu čísel 1 a 4 odečti k g) od součinu součtů čísel 4 a 5 a čísel a 7 odečti převrácenou hodnotu součtu s a t. 5x tento výraz nazýváme jednočlen, který má koeficient 5 5x x tento výraz nazýváme dvojčlen, který se skládá ze dvou jednočlenů 4y + x + 6 trojčlen s proměnnými y a x číslo + 6 nazýváme absolutní ( prostý ) člen Mnohočlen je součet nebo rozdíl n jednočlenů. Známe tedy dvojčleny, trojčleny,... U mnohočlenu určujeme stupeň mnohočlenu ( podle nejvyššího exponentu ): x 5 + 10x 4 5x x + 5x mnohočlen pátého stupně x 4 + 5x x mnohočlen čtvrtého stupně Mnohočlen můžeme uspořádat: a) vzestupně - + 5x 7x + 10x 4 x 5 b) sestupně x 5 + 10x 4 7x + 5x - Je dán mnohočlen x 5 x + x 4. Opačný mnohočlen má tvar -x 5 + x - x + 4..4. Sčítání a odčítání mnohočlenů Mnohočleny sčítáme tak, že odstraníme závorky a vzniklé jednočleny sčítáme nebo odčítáme jako mocniny. Příklad : ( 4x x + x + x -1 x - ) + ( 5x + x - x 1-5x -1 0,x - ) = = 4x x + x + x -1 x - + 5x + x - x 1-5x -1 0,x - = 9x + x 14 - - x -1,x - x 0 Příklad 4 : Vypočtěte : a) ( 6x + 7x - 4 ) + ( x 4 + x x + ) = b) ( x 5 7x 4 + x + x 9x 7 ) + ( x 5-6x 4 5x 5x 10x + ) = c) ( x 5 8x 4 5x + x 1 ) + ( 8x 5 9x 4 + 6x x + 5 ) = d) ( x 5 + 8x 4 x + 7x 1 ) + ( -x 5 +7x 4 + x + x 7 ) = e) ( 7x 5 5x 4 + x x - 0,4x + 4 ) + ( 5x 5 x 4 + x - 0,4x + 9 ) = f) ( 0,4x 5 x x + 6 ) + ( 7x 5 5x 4 ) + (+ x 4 x 0,74x + 1 ) = g) ( 5x 4 +0,x 0,10x + 0,4x +,6 )+(0,7x 5 + x 4 1,x )+(1,07x 5 5,4x 4 )+( 0,x x 0,4x + 4) = h) ( 1,7x 6 0,5x 4 +,1x x + 0,4x + 4 ) + (,7x 5 0,5x 4 +,x 1, x - 0,4x + 4 ) + + ( 0,07x 5 6,5x 4 + 7,x 10,x - 10,4x + 4 ) + (,7x 7 5x 6 + 1x 0,1x - 0,4x + 4 ) = ch)( 0,7x 7 0,15x 4 + 0,x,5x + 0,46x + 0,144 ) + (77x 5 5x 4 + 9x 1x - 0,4x + 40) = i) (,7x 6 5,5x 4 + x,7x - 10,4x +104,4 )+ ( 7x 5 5,4x 4 + x 5x + 4 ) + + ( 7x 7 0,5x 5 + x,4x - 10,4x + 4) =
8. ročník. Celistvé výrazy a jejich úprava j) ( 7x 5 5x -4 + x - x - 0,4x -1-6x ) + (,7x 5 0,5x -4 +,x - 1,x - 0,4x -1 + 4 ) = k) ( x 8-7 4 - x 5 + x 4 1-1 - + ) + ( x 8-7 4 - x 5 + x 4-5 5 4 7 5 5-1 4 1 x + 7 1 ) = l) (4x 8-6 5 x 7-5 4 x 5 + 4 x 4 + 1 4 + 7 1 ) + ( 5 x 8-7 - 4x 5 1 + 8 x 4 ) = 5 m) ( 4-1 x + 7-7 6 ) + (1 5 x 8 + 5 4 x 7-5 4 x 5 + x 4-1 4-1 x + 6 5 ) = n) ( 0,7x 5 6,5x 4 + 7,x 10,x - 10,4x + 4 ) + ( 5 x 8-7 4 - x 5 + x 4 1 - - 5 4-1 x + 7 1 ) + (1 5 x 8 + 5 4 x 7 5 4 x 5 + x 4 1 4 1 x + 6 5 ) = o) (,7x 7 5x 6 + 1x 0,1x - 0,4x + 4) + (1 5 x 8 + 5 4 x 7-5 4 x 5 + x 4-1 4 1 x + 6 5 ) = Příklad 5 : Kolik je součet libovolného mnohočlenu a opačného mnohočlenu? Odečíst mnohočlen znamená přičíst mnohočlen opačný. Příklad : (x 5 7x 4 + x ) ( x 5-5x 4-4x - 6x ) = ( x 5 7x 4 + x +x ) + ( -x 5 + 5x 4 + + 4x + 6x ) = -x 5 - x 4 + 7x + 8x Příklad : ( 4x x + x + x -1 x - ) - ( 5x + x - x 1-5x -1 0,x - ) = = ( 4x x + x + x -1 x - ) + ( -5x - x + x + 1 + 5x -1 + 0,x - ) = -x 5x + x + + 10 + 8x -1 1,7x - x 0 Příklad 6 : Vypočtěte : a) ( 6x + 7x - 4 ) - ( x 4 + x x + ) = b) ( x 5 7x 4 + x + x 9x 7 ) - ( x 5-6x 4 5x 5x 10x + ) = c) ( x 5 8x 4 5x + x 1 ) - ( 8x 5 9x 4 + 6x x + 5 ) = d) ( x 5 + 8x 4 x + 7x 1 ) - ( -x 5 +7x 4 + x + x 7 ) = e) ( 7x 5 5x 4 + x x 0,4x + 4 ) ( 5x 5 x 4 + x - 0,4x + 9 ) = f) ( 0,4x 5 x x + 6 ) ( 7x 5 5x 4 ) (+ x 4 x 0,74x + 1 ) = g) ( 5x 4 + 0,x 0,10x + 0,4x +,6 ) - (0,7x 5 + x 4 1,x ) - (1,07x 5 5,4x 4 ) - - ( 0,x x - 0,4x + 4 ) = h) ( 1,7x 6 0,5x 4 +,1x x + 0,4x + 4 ) - (,7x 5 0,5x 4 +,x 1,x - 0,4x + 4 ) = ch) ( 0,07x 5 6,5x 4 + 7,x 10,x - 10,4x + 4 ) - (,7x 7 5x 6 + 1x 0,1x - 0,4x ) = i) ( 0,7x 7 0,15x 4 + 0,x,5x + 0,46x + 0,144 ) - (77x 5 5x 4 + 9x 1x - 0,4x + 40 ) - (,7x 6 5,5x 4 + x,7x - 10,4x +104,4 ) = j) ( 7x 5 5,4x 4 + x 5x + 4 ) - ( 7x 7 0,5x 5 + x,4x - 10,4x + 4) = k) ( 7x 5 5x -4 + x - x - 0,4x -1-6x ) (,7x 5 0,5x -4 +,x - 1,x 0,4x -1 + 4 ) = l) ( x 8-7 4 - x 5 + x 4 1-1 - + ) - ( x 8 + 7 4 - x 5 - x 4 5 5 4 7 5 5-1 4-1 x - 7 1 ) = m) (4x 8-6 5 x 7-5 4 x 5 + 4 x 4 + 1 4 + 6 x + 7 1 ) - ( 5 x 8 - - 4-1 x + 7-7 6 ) = 7-4x 5 1 + 8 x 4-5
8. ročník. Celistvé výrazy a jejich úprava n) ( 8 4 + x 7 4 - x 5 + x 4 1-5 - + ) - ( x 8-7 4 - x 5 + x 4 + 5 5 5 4 6 5 5 1 + 1 + ) = 4 7 o) ( 0,7x 5 6,5x 4 + 7,x 10,x - 10,4x + 4 ) - ( 8 4 + x 7 4 x 5 + x 4 5 5 5 1-5 - + ) = 4 6 p) (,7x 7 5x 6 + 1x 0,1x - 0,4x + 4) - ( 8 4 + x 7 4 - x 5 + x 4 1-5 5 5 4 5 - + ) = 6 Příklad 7 : Vypočtěte : a) ( x 8-7 4 - x 5 + x 4 1-1 - + ) - ( 8 4 + x 7 4 - x 5 + + x 4 1 - - 5 5 4 7 5 5 5 4 1 x + 6 5 ) - (4x 8-6 5 x 7-5 4 x 5 + 4 x 4 + 1 4 + 6 x + 7 1 ) = b) ( 0,7x 5 6,5x 4 + 7,x 10,x - 10,4x + 4 ) ( 5x 5 x 4 + x - 0,4x + 9 ) + (1,07x 5-5,4x 4 ) = c) (1 5 x 8 + 5 4 x 7-5 4 x 5 + x 4-1 4-1 x + 6 5 ) + ( 1,7x 6 0,5x 4 +,1x x + + 0,4x + 4 ) ( 5 x 8-7 4 - x 5 + x 4 1-1 + ) = 5 4 7 d) (,7x 5 5x -4 +,x - 1, x 0,4x -1 + 4 ) (- 5 4 x 5 + x 4-1 4-1 x + 7 1 ) + + (7x 7 0,15x 4 + 0,x,5x + 0,46x ) =.5. Násobení mnohočlenu jednočlenem Násobit mnohočlen jednočlenem znamená násobit každého člena mnohočlenu daným jednočlenem. Obecně můžeme vyjádřit takto : a. ( b + c + d ) = ab + ac + ad Příklad : ( -x ). ( x 4x + x + x - ) = -6x 5 + 1x 4 x 6x - 0 ( 7x 5 5x 4 + x x 0,4x + 4 ). ( + x -1 ) = 14x 4-10x + 6x 4x 0,8 + 8x - 0 Příklad 8 : Vypočtěte : a) ( 5x 5 x 4 + x - 0,4x + 9 ). x = b) ( 0,4x 5 - x x + 6 ). ( -x ) = c) (+ x 4 x - 0,74x + 1 ). ( - 0,4x - ) = d) ( 7x 5 + x - x 0,6x + 0,4x -1 5x -4 ). ( - ) = e) (,7x 5 1,x + 4 0,4x -1 +,x - 0,5x -4 ). 0,1x -4 = f) (1 5 x 8 + 5 4 x 7-5 4 x 5 + x 4-1 4-1 x + 6 5 ). x = 4
8. ročník. Celistvé výrazy a jejich úprava g) (- 5 4 x 5 + x 4-1 4-1 x + 7 1 ). 0,1x -1 =.6. Násobení mnohočlenu mnohočlenem Mnohočlen násobit mnohočlenem znamená násobit každý člen prvního mnohočlenu S každým členem druhého mnohočlenu. Obecně můžeme vyjádřit takto ( a + b + c ). ( d + e + f ) = ad + ae + af + bd + de + bf + cd + ce + cf Příklad : ( x + x 6x 4 ). ( 4x 4-6x + x 1 ) = 1x 7 18x 5 + 6x 4 -x + 8x 6-1x 4 + 4x - x - 4x 5 +6x -1x + 6x 16x 4 + 4x -8x + 4 = 1x 7 + 8x 6-4x 5-6x 4 + 7x -14x -x + 4 Příklad 9 : a) ( 4x ). ( x + 1 ) = b) ( 5x + x ). ( 4x - x ) = c) ( 5x 4 + x ). ( x - x ) = d) ( x + x ). ( x - x ) = e) ( 7x + x ). ( 4x - 4x ) = f) ( -4x + x - ). ( 4x - - x -1 ) = g) ( 0,5x - x ). ( -5x - - 4x - ) = Příklad 10 : Vypočtěte : a) ( 7x 5 5x 4 x + 4 ). ( x 5 x 4 + 9 ) = b) ( 0,4x 5 x x + 6 ). ( 7x 5 5x 4 ) = c) (+ x 4 x 0,74x + 1 ). (0,7x 5 + x 4 1,x ) = d) (1,07x 5 5,4x 4 ). ( 0,x x - 0,4x + 4 ) = e) ( x 6 0,5x 4 + x x + 0,4x + 4 ). ( x 5 5x 4 + x x - 0,4x + 4 ) = f) ( x 8-7 1 - + ). ( x 8-7 ) = 5 7 5 g) (- 5 4 x 5 + x 4 ). (- 1 4 ). (4x 8-6 5 x 7 ) = Příklad : ( x y + 4x - yz - ). ( x -4 y -1 5x - yz - ) = 6x - y -10x -1 y 4 z - + 1x -6 z - - 0x -5 y z -5 x 0 z 0 Příklad 11 : Vypočtěte : a) ( 7x 5 y 4 5x - y -1 + 4 ). ( x 5 + 9 ) = b) ( 4x -4 y x y - x + 6x -1 y ). ( 7x 5 y - 5x -4 y ) = c) (+ x 4 yz - x z 4xy + 1 ). ( x 5 y - z + x 4 y 1,x z ) = d) (7x 5 a 5x 4 b 4 ). ( b x a - 4x + a ) = Zkrácený postup při násobení u tohoto typu: ( x + a ). ( x + b ) = x + ( a + b ) x + a.b kde a, b je libovolné reálné číslo Příklad : (x + ). ( x ) = x + ( + )x + (+).(-) = x x - 6 ( x + 5 ). ( x + ) = x + ( 5 + )x + (+5). (+) = x + 7x + 10 ( x ). ( x 1 ) = x + [( - ) + ( -1 )]x + ( -). (-1 ) = x - 4x + Příklad 1 : Vynásobte zkráceným způsobem : a) ( x + 4 ). ( x 5 ) = b) ( x 4 ). ( x + 7 ) = 5
c) ( x 1). ( x 4 ) = d) ( a 9 ). ( a + 6 ) = e) ( x + ). ( x + 6 ) = f) (x + 1 ). ( x + 8 ) = g) ( z 7 ). ( 5 + z ) = h) ( x + 4 ). ( - + x ) = ch) ( x - ). ( x + 4 ) = 8. ročník. Celistvé výrazy a jejich úprava i) ( x + ). ( x + 4 ) = j) ( x- ). ( x - 4 ) = k) ( x+ ). ( x - 4 ) = l) ( x + ). ( x + ) = m) ( x - 5 ). ( x + 4 ) = n) (x + ). ( x + ) = Někdy potřebujeme mnohočlen upravit. Potřebujeme dostat mnohočlen opačný. Říkáme, že vytýkáme číslo -1. ( 5x - 4x + ) = (-1 ). ( -5x + 4x ) ( -4x 5 + x 6 ) = ( - 1 ). ( 4x 5 x + 6 ) Příklad 1 : Vytkněte číslo -1 : a) ( x 5 + 9 ) = b) ( x y + 4x - yz - ) = c) ( 7x 5 5x 4 x + 4 ) = d) ( 0,4x 5 x x + 6 ) = e) (-7x + 0,5x 4 ) = Specifický součin dvojčlenů : I. ( a + b ). ( a + b ) = ( a + b ) = a + ab + b Příklad : ( 4 + a ) = 16 + 4a + 9a ( 0,x 1 + x ) = 0,04x 4 + 0,04x + 0,01x 10 Příklad 14 : Vypočtěte : a) ( + x ) = b) ( 0,y + x ) = c) ( 1, + x 4 ) = d) ( 0x 4 + x ) = e) ( 0,0y + x 5 ) = f) ( 5 + ) = g) ( 0,5y 4 + x ) = h) ( 7 + 1,5x ) = ch) ( 0,0x + 5x ) = i) ( 1,x 4 y - + xy -1 ) = j) ( x + 5 y ) = k) ( 5 x + 6 a ) = x l) ( + ) = 5 1 m) ( x + 1 ) = n) ( 7 x 4 + x 5 ) o) ( 0,7 + 0,15x ) = p) ( 0,0 x + 0, x ) = q) ( 1,6 x 4 + 0,04 x ) = r) ( 0,04 x 5 + x ) = s) ( 0,5xy - + xy - ) = t) ( x 4 + ) = u) ( 4 + 0,5 x ) = II. ( a - b ). ( a - b ) = ( a - b ) = a - ab + b Příklad : ( 4 - a ) = 16-4a + 9a ( 0,x - 10 ) = 0,04x 4-0,04x + 0,01x Příklad 15 : Vypočtěte : a) ( x ) = b) ( 0,6y x ) = c) ( 1,4 x 4 ) = d) ( 10x 4 4x ) = e) ( 0,0y x 5 ) = 6 f) ( x ) =
g) ( 0,5y 4 x ) = h) ( 80 1,5x ) = ch) ( 0,07x 0,4x ) = i) ( 0,x 4 y - xy -1 ) = j) ( x - 5 y ) = k) ( 5x - 6 a ) = x l) ( - ) = 5 1 m) ( x - 1 ) = n) ( 7 x 4 + x 5 ) o) ( 0,7 + 0,15x ) = p) ( 0,0 x + 0, x ) = q) ( 1,6 x 4 + 0,04 x ) = 8. ročník. Celistvé výrazy a jejich úprava r) ( 0,04 x 5 + x ) = s) ( 0,5xy - + xy - ) = t) ( x 4 + ) = u) ( 4 + 0,5 x ) = III. ( a + b ). ( a - b ) = a - b Příklad : ( 5x 1 ). ( 5x + 1 ) = 5x -1 ( 0,x + 10 ). ( 0,x - 10 ) = 0,04x 4 0, 01 Příklad 16 : Vypočtěte : a) ( x ). ( + x ) = b) ( 0,y + x ). ( 0,y - x ) = c) ( 1,y x 4 ). ( 1,y + x 4 ) = d) ( 0x 4 + x ). ( 0 x 4 x ) = e) ( 0,0y x 5 ). (0,0y + x 5 ) = f) ( 5 ). ( 5 + ) = g) ( 0,5y 4 + x ). ( 0,5y 4 x ) = h) ( 7 1,5x ). ( 7 + 1,5x ) = ch) ( 0,0x + 5x ). ( 0,0x 5x ) = i) ( 1,x 4 y - + xy -1 ). ( 1,x 4 y - xy -1 ) = j) ( x 4y 4 ). ( - x - 4y 4 ) = k) ( - 8x 5y ). ( 8x 5y ) = l) ( + 5x ). ( - 5x ) = m) ( x + 5 y ). ( x - 5 y ) x x n) ( + ). ( - ) = 5 5 1 o) ( x 1 + 1 ). ( x + 1 ) = Příklad 17 : Vypočtěte : a) ( 5x y ). ( 5x y ) = b) ( 5x y ). ( 5x + y ) = c) ( 5x y ). ( -5x y ) = d) ( -5x y ). ( -5x y ) = e) ( 5x + y ). ( 5x + y ) = f) ( 0,x 0,x ). ( 0,x 0,x ) g) ( -0,x + 0,x ). ( -0,x + 0,x ) = h) ( 0,x 0,x ). ( 0,x + 0,x ) = ch) (- 0,x 0,x ). ( 0,x 0,x ) = i) ( 0,x + 0,x ). ( 0,x + 0,x ) = j) ( 0,4 xy z -1 ). ( 0,4 xy z -1 ) = k) ( 0,4 xy z +1 ). ( 0,4 xy z -1 ) l) ( -0,4 xy z -1 ). ( -0,4 xy z -1 ) = m) ( 5 y z - ). ( 5 y z - ) = n) ( 5 y z + ). ( 5 y z - ) = o) ( 5 y z - ). (- 5 y z - ) = p) ( x - y ). ( x - y ) = r) ( x - y ). ( x + y ) = s) ( x + y ). ( x + y ) = Příklad : Odstraň odmocninu ze jmenovatele : a) Příklad budeme řešit rozšiřováním zlomku. 6 5 7 b) 5
8. ročník. Celistvé výrazy a jejich úprava a) b) 6 5 6. 5. = = 1,. 5 5 5 5 5. 5 5 =. 5 5 = 5 + Příklad 18 : Odstraňte odmocniny ze jmenovatele : 1 a) d) 5 4 b) 5 e) 10 6 10 9 c) 7 f) 7 6 7 g) 7 1. IV. ( a + b ) = a + a b + ab + b Příklad : ( a + 4 ) = a + 1a + 48a + 64 ( a + a ) = 8a 6 + 6a 5 + 54a 4 + 7a Příklad 19 : Vypočtěte : a) ( x + y) = b) ( 0,y + x ) = c) ( 1, + x 4 ) = d) ( 0x 4 + x ) = e) ( 0,0y + x 5 ) = f) ( 5 + ) = g) ( 0,5y 4 + x ) = h) ( 7 + 1,5x ) = ch) ( 0,0x + 5x ) = i) ( 1,x 4 y - + xy -1 ) = j) ( x + y ) = k) ( 5 x + 6 a ) = x l) ( + ) = 5 1 m) ( x + 1 ) = V. ( a - b ) = a - a b + ab - b Příklad : ( a - 4 ) = a - 1a + 48a - 64 ( a - a ) = 8a 6-6a 5 + 54a 4-7a Příklad 0 : Vypočtěte : a) ( x - y) = b) ( 0,y - x ) = c) ( 0, - 4x 4 ) = d) ( 5x 4 4y ) = e) ( 0,11y 0,x 5 ) = f) ( 15-4 ) = g) ( 7y 4 - x ) = h) ( 9x - 1,x 4 ) = ch) ( 0,9x - 15x ) = i) ( 0,x 4 y - - xy -1 ) = j) ( x - y ) = k) ( 4 5x - 6 a ) = x l) ( - ) = 5 1 m) ( x - 1 ) = POZNÁMKA : Kdo chce, tak si může pamatovat ještě tento vzorec : ( a + b + c ) = a + b + c + ab + bc + ac 8
8. ročník. Celistvé výrazy a jejich úprava ( x x + 1 ) = x 4 + 9x + 1-6x + x 6x = x 4 6x + 11x 6x + 1.7. Dělení mnohočlenu jednočlenem Mnohočlen dělíme jednočlenem tak, že vydělíme všechny členy mnohočleny oním jednočlenem. Příklad : ( 1x 5 15x 4 9x + 60x x + ) : ( - x )= -7x 4 + 5x +x -0x + 1 - x -1 x 0 (16-4a + 9a ) : ( + a) = 8a -1-1 + 4,5 a a 0 Příklad 1 : Vypočtěte : a) ( 7x 5 5x 4 x + 4 ) : ( + x ) = b) ( x 5 x 4 + 9 ) : ( -x ) = c) ( 0,4x 5 x x + 6 ) : ( x 4 ) = d) (+ x 4 x 0,74x + 1 ) : ( + 0,x ) = e) (1,5x 5 5,4x 4-0,x 6x - 0,x + 9 ) : ( - x ) = f) ( 10x 6 0,5x 4 + 5x 0x + 0,5x + 5 ) : ( -5x - ) = g) ( x 5 5x 4 + x x - 0,4x + 4 ) : ( ) = h) ( x 8-7 1 - + ) : (- x ) = 5 7 ch) ( x 8-7 4 + x 5 + x 4 ) : ( - x - ) = 5 5 15 i) ( x 8-7 4 - x 5 + x 4 1 ) : ( - x - ) = 5 5 15.8. Dělení mnohočlenu mnohočlenem Příklad : ( 9x 9x 7x + ) : ( x + ) 1. etapa : x + 0 x -. etapa : 9x : x = x píšeme : ( 9x 9x 7x + ) : ( x + ) = x. etapa : x. ( x + ) = 9x + 6x píšeme : ( 9x 9x 7x + ) : ( x + ) = x -( 9x + 6x ) --------------- 0 15x 4. etapa : sepíšeme další člen -7x píšeme : ( 9x 9x 7x + ) : ( x + ) = x -( 9x + 6x ) --------------- 0 15x 7x 5. etapa : 15x : x = -5x píšeme : ( 9x 9x 7x + ) : ( x + ) = x -5x -( 9x + 6x ) --------------- 0 15x 7x 6. etapa : -5x. ( x + ) = -15x 10x píšeme : ( 9x 9x 7x + ) : ( x + ) = x -5x 9
-( 9x + 6x ) --------------- 0 15x 7x - (-15x 10x) ---------------------- 0 + x 7. etapa : sepíšeme další člen + píšeme : ( 9x 9x 7x + ) : ( x + ) = x -5x -( 9x + 6x ) --------------- 0 15x 7x - (-15x 10x) ---------------------- 0 + x + 8. ročník. Celistvé výrazy a jejich úprava 8. etapa : x : x = +1 píšeme : ( 9x 9x 7x + ) : ( x + ) = x -5x + 1 -( 9x + 6x ) --------------- 0 15x 7x - (-15x 10x) ---------------------- 0 + x + 9. etapa : +1. ( x + ) = x + píšeme : ( 9x 9x 7x + ) : ( x + ) = x -5x + 1 -( 9x + 6x ) --------------- 0 15x 7x - (-15x 10x) ---------------------- 0 + x + -( x + ) -------------------- 0 10. etapa : zkouška dělení ( x -5x + 1 ). ( x + ) = 9x + 6x -15x -10x + x + = = 9x 9x 7x + 11. etapa : zkouškou jsme ověřili správnost podílu (9x 9x 7x + ) : ( x + ) = x -5x + 1 Příklad : Vypočtěte : ( 14x 5 9x 4 + 7x 5x + 5x 4 ) : ( x 5x + 1 ) = x 5x + 1 0 ( 14x 5 9x 4 + 7x 5x + 5x 4 ) : ( x 5x + 1 ) = 7x x + 5x - 4 - ( 14x 5 5x 4 + 7x ) -------------------------- - 4x 4 + 0x 5x - (- 4x 4 + 10x x ) ---------------------------- + 10x x + 5x - ( + 10x 5x + 5x ) -------------------------------- 10
8. ročník. Celistvé výrazy a jejich úprava - 8x + 0x - 4 - (- 8x + 0x - 4 ) --------------------- 0 Zkouška : ( 7x x + 5x 4). ( x 5x + 1 ) = 14x 5 9x 4 + 7x 5x + 5x 4 Příklad : Vypočítejte : a) ( 7x 10 1x 9 + 5x 8 x 7 + x 6 + 67x 5 49x 4-18x + 6 ) : ( x 5 x 4 + 9 ) = b) ( 9x 8 + 54x 4 + 81 ) : ( x 4 + 9 ) = c) ( 7 x 5 17 x 4 7x 17x + 6x ) : ( x x ) = d) 10x 7 14x 6 10x 5 + 8x 4 + 7x 66x + 69x 18 ) : ( 5x 7x + ) =.9. Úprava výrazu na součin Výraz upravujeme na součin vytýkáním, podle vzorců nebo inverzním úkonem ke zkrácenému násobení ( rozkladem kvadratického trojčlenu )..9.1 Vytýkání před závorku Při vytýkání dělíme každý člen mnohočlenu stejným číslem, kterým je každý člen mnohočlenu dělitelný beze zbytku. U mnohočlenu ( 0x + 15y 10 ) můžeme vytýkat pouze číslo 5, protože neexistuje jiné číslo ani mocnina, kterým by byly dělitelní jednotliví členové mnohočleny. Náš výpočet budeme zapisovat ( 0x + 15y 10 ) = 5. ( 4x + y ) Příklad : Výrazy upravte vytýkáním na součin ( snažíme se vytknout největší číslo ) : a) ( 7x 5 5x 4 + x x - 0,4x ) = x. (7x 4 5x + x x - 0,4 ) b) ( 10x 5 x 4 +1x - 4x + 8 ) =. ( 5x 5 x 4 + 6x - x + 4 ) c) ( 4x 5-1x x + 6x ) = x. ( x 4-6x x + ) d) ( 5x 8 + 0x 6 0x 5 + 100x 4 ) = 5x 4. ( -x 4 + 6x 4x + 0 ) e) ( 15 x y 4 z 6-0x 5 y z + 70x y 4 z ) = 5x y z. ( yz 5 6x z + 14y ) Vytýkat číslo -1 jsme se již naučili a proto jenom na připomenutí : ( 1,7x 6 0,5x 4 +,1x x + 4 ) = ( - 1 ). ( -1,7x 6 + 0,5x 4 -,1x + x - 4 ) Můžeme však vytýkat i výraz, který má záporné znamínko. Příklad : a) ( 7x 5 5x 4 + x x - 0,4x ) = -x. ( -7x 4 + 5x - x + x + 0,4 ) b) ( 10x 5 x 4 +1x - 4x + 8 ) = -. (- 5x 5 + x 4-6x + x - 4 ) c) ( 4x 5-1x x + 6x ) = -x. ( -x 4 + 6x + x - ) d) ( 5x 8 + 0x 6 0x 5 + 100x 4 = -5x 4. ( +x 4-6x + 4x - 0 ) e) ( 15 x y 4 z 6-0x 5 y z + 70x y 4 z ) = -5x y z. ( -yz 5 + 6x z - 14y ) Příklad : Výrazy upravte na součin vytýkáním tak, že vytkneš výraz s kladným znaménkem. a) ( 7x 5 5x 4 x + 4x ) = b) ( 4x 5 x x + 6x ) = c) (- x 4 1x 60x ) = d) (x 5 y 4 5,4x 4 y - 0,x y x y ) = e) ( x 6 y 4 z 50x 4 yz 7 + 0x y z x yz 5 ) = 11
f ) ( 00x 5 y 4 z 14 50x 4 y 5 z 8 + 00x y 4 z 7 0x yz 5-450x 7 y 5 z 4 ) = 8. ročník. Celistvé výrazy a jejich úprava Příklad 4 : Výrazy upravte na součin vytýkáním tak, že vytkneš výraz se záporným znaménkem. a) ( 7x 5 5x 4 x + 4x ) = b) ( 4x 5 x x + 6x ) = c) (- x 4 1x 60x ) = d) (x 5 y 4 5,4x 4 y - 0,x y x y ) = e) ( x 6 y 4 z 50x 4 yz 7 + 0x y z x yz 5 ) = f ) ( 00x 5 y 4 z 14 50x 4 y 5 z 8 + 00x y 4 z 7 0x yz 5-450x 7 y 5 z 4 ) = Příklad 5 : Upravte výrazy na součin. a) 5x ( a + b ) 7y ( a + b ) = b)1x ( x 4 ) + 6y ( x 4 ) = c) 17x ( x y ) + 4 x 5 ( x y ) = d) 50x y z 4 ( y + 5 ) + 500x y 5 z 4 ( y + 5 ) 6 = e) 10x 6 y z 5 ( 6a 4b ) 5 + 150x 4 y z 7 ( 6a 4b ) 4 = f) 1x y 6 ( a c ) 4 + x y 5 ( a c ) 6-0x y 9 ( a c ) 5 + 10x 4 y 5 ( a c ) = g) 4.x - 5y = h) 10c 1 - = V některých případech hovoříme o postupném vytýkání. Zpravidla se jedná o mnohočleny se sudým počtem členů ( větším než ). Příklad : Upravte na součin výraz ax + ay + bx + by. ax + ay + bx + by = a. (x + y ) + b ( x + y ) = ( x + y ). ( a + b ) x y + x y = ( x y ) + ( x y ) = ( x y ). ( + ) = 5. (x y) ax ay + bx by = a ( x y ) + b ( x y ) = ( x y ). ( a b ) x y + bx by = ( x y ) + b ( x y ) = ( x y ). ( b ) x x + x - 1 = x.( x 1 ) + 1. ( x 1 ) = ( x 1 ). ( x + 1 ) x x - x + 1 = x.( x 1 ) - 1. ( x 1 ) = ( x 1 ). ( x - 1 ) y - 9z x.( 9z y ) = -1.( -y + 9z ) x.( 9z y) = ( 9z y ). ( -1 x ) Příklad 6. Upravte na součin : a) 5a + 5b + ad + bd = b) 7a 7 + ab b = c) 4m + 6mx + 10n + 15nx = d) a 4 + a + a + 1 = e) a 4 - a + a a = f) x x 1x + 6 = g) c.( 4a + 7 b ) + 7 b + 4a = h) 7x.( y 5z ) 5z + y i) v + 7x.( v 4u ) 4u = j).( a ) + b.( a) k) 4x.( 6n 1 ) ( 1 6n ) = l) 4a b x.( b 4a ) = m) 4x 5c.( y 4x ) y = n) -5a 7b + 8z.( 5a + 7b ) =.9.. Užití vzorců I. a + ab + b = ( a + b ) Příklad : Rozložte na součin : a) x + 6x + 9 b) 9x 4 + 0x + 5x a) x + 6x + 9 = ( x + ) protože odmocnina z x je x odmocnina z 9 je krát x krát je 6x 1
8. ročník. Celistvé výrazy a jejich úprava b) 9x 4 + 0x + 5x = ( x + 5x ) protože odmocnina z 9x 4 je x odmocnina z 5x je 5x krát x krát 5x je 0x Příklad 7 : Vypočtěte : a) 4 + 4x + x = b) 0,04y + 0,4x y + x 4 = c) 1,44 +,4x 4 + x 8 = d) 400x 8 + 10x 5 + 9x = e) 0,0004y + 0,08x 5 y + 4x 10 = f) 5 + 5x + 0,5x = g) 0,5y 8 + xy 4 + 7 9 = h) 0,0009x 6 + 0,x 5 + 5x 4 = ch) x + 10 xy + 5y = 9x 4x 4 i) + + = 5 5 9 j) 0,04y + 0,4x y + x 4 y = k) 1,44x +,4x 5 + x 9 = l) 400x 9 a+ 10x 6 a + 9x a = m) 7ax 4 + 90ax + 75ax = n) 1ax + 4a +9x = o) 16x + 1 + 8x = p) -9x - 1x 4 = r) -10x -1-5x = II. a ab + b = ( a b ) Příklad : Rozložte na součin : a) x 6x + 9 b) 9x 4 0x + 5x x 6x + 9 = ( x ) protože odmocnina z x je x odmocnina z 9 je ( - ) krát x krát je ( - 6x ) 9x 4 0x + 5x = ( x 5x ) protože odmocnina z 9x 4 je x odmocnina z 5x je 5x ( - ) krát x krát 5x je ( -0x ) Příklad 8 : Vypočtěte : a) 4 4x + x = b) 0,6y 1,x y + x 4 = c) 1,96-5,6x 4 + 4x 8 = d) 14 400x 8 960x 5 + 16x = e) 0,0004y 0,08x 5 y + 4x 10 = f) 0,5y 4 - xy + 7 9 = g) 0,0049x 6 0,056x 5 + 0,16x 4 = h) x 10 xy + 5y = i) 9x 5-0,8x + 9 4 = j) 6 4 8 + 9 7 k) 0,04y - 0,4x y + x 4 y = l) 1,44x -,4x 5 + x 9 = m) 400x 9 a - 10x 6 a + 9x a = n) 7ax 4-90ax + 75ax = o) -1ax + 4a +9x = p) 16x + 1 8x = r) -9x + 1x 4 = s) 10x -1-5x = III. a - b = ( a + b ). ( a - b ) Příklad : Rozložte na součin : a) 6x 1 b) 0,09 x 4 400x -6 a) 6x 1 = ( 6x + 1 ). ( 6x - 1 ) protože odmocnina z 6x je 6x odmocnina z 1 je 1 1
8. ročník. Celistvé výrazy a jejich úprava b) 0,09 x 4 400x -6 = ( 0,x + 0x ). ( 0,x - 0x ) protože odmocnina z 0,09x 4 je 0,x odmocnina z 400x 6 je 0x Příklad 9 : Vypočtěte : a) 4 x = b) 0,04 x 4 = c) 1,44 x 8 = d) 900x 6 0,0016y 4 = e) 0,000004y 4x 10 = f) 5 0,5x = g) 0,5y 8-7 9 = h) 49,5x 6 = ch) 0,0009x -6 5x -8 = i) -4x 6 + 16y 8 = j) 5x 6 = 9x 4 k) - 4 6 5y 9a k) 4x 9 = l) a 81 = m) 4x 6z = Příklad 0 : Upravte na součin : a) ( a b ) y = b) ( 5x 4y ) 1 = c) ( a + 4 ) ( b + c ) = d) ( 5a 1 ) 4 1 = e) ( x + y ) ( x y ) = f) ( 5x - 4y ) ( x 5y ) = g) 1 ( -5x + 4 ) = h) 9 ( -7x ) = i) x + xy + y a ab b = j) 16 4x + 0xy - 5y = k) ( 5x ) 0,16 = l) ( a + 5) 400 = m) ( 5x + 4 ) 4-900a = n) u 4t = o) 16a b 5c = p) 100x + 5 = q) y + 0,16 = r) 0,01 + 400v 4 = s) c 10 49v 8 = t) 0,49d 8 0,011m 6 = u) 16 9-5x = 4 x 6-1 = v) 49 1 5x 6 w) - = 4 6x 81 x) 0,6x -4 5c -8 = y) 0,16r 4 + 4a 6 = z) 1 + a -6 = n) 16s ( x + ) = o) - 0,49 + ( c 1 ) = p) 400c 8 ( 10 x + a ) = r) ( x + ) ( 5x + 1 ) = s) ( a + c ) ( 5x + 1 ) = t) ( 5x 4) ( x + 5 ) = u) ( 0,4 y ) ( 0,01y 4 ) = v) ( x + y ) ( x 5y ) = w) ( x + y ) 4 ( x y ) 6 = x) x + xy + y 4a 0a + 5 = y) x 8x + 16 a + 10a 5 = z) 16x 8x + 49 5a 4 = IV. a + a b + ab + b = ( a + b ) Příklad : Upravte na součin : a) a + 1a + 48a + 64 b) 8a 6 + 6a 5 + 54a 4 + 7a a) a + 1a + 48a + 64 = ( a + 4 ) protože třetí odmocnina z a je a třetí odmocnina z 64 je 4 krát a na druhou krát 4 je 1a krát a krát 4 je 48 b) 8a 6 + 6a 5 + 54a 4 + 7a = ( a + a ) protože třetí odmocnina z 8a 6 je a třetí odmocnina z 7a je a krát ( a ) krát a je 6a 5 krát ( a ) krát ( a) je 54a 4 Příklad 1 : Upravte na součin : 14
a) x + 6x y + 1xy + 8y = b) 0,008y + 0,1x y + 0,6x 4 y + x 6 = c) 1,78 + 4,x 4 +,6x 8 + x 1 = d) 8 000x 1 + 600x 9 + 540x 6 + 7x = e) 0,000008y + 0,004y x 5 + 0,4x 10 y + 8x 15 = f) 15 + 7,5x +,75x + 0,15x = g) 0,15y 1 + xy 8 + 10 x y 4 8 + 19 x = 7 h) 4 + 0,5x +47,5x 6 +,75x 9 = ch) 0,00007x 9 + 0,015x 8 +,5x 7 + 15x 6 = 8. ročník. Celistvé výrazy a jejich úprava i) 1,78 x 1 y -6 + 4,x 9 y -5 +,6x 6 y -4 + x y - = j) x. x + 6xy. + 9y. x + y. = k) 15 x. 5x 15. 6a 54 a. 5x 6 a. 6a = 7x 18x 4x 8 l) = 15 5 5 7 5 1 5 17 m) 15 x 0 x 4 = 8 4 6 7 V. a - a b + ab - b = ( a - b ) Příklad : Upravte na součin : a) a - 1a + 48a - 64 b) 8a 6-6a 5 + 54a 4-7a a) a - 1a + 48a - 64 = ( a - 4 ) protože třetí odmocnina z a je a třetí odmocnina z 64 je 4 ( - ) krát a na druhou krát 4 je ( -1a ) krát a krát 4 je 48a b) 8a 6-6a 5 + 54a 4-7a = ( a - a ) protože třetí odmocnina z 8a 6 je a třetí odmocnina z 7a je a ( - ) krát ( a ) krát a je ( -6a 5 ) krát ( a ) krát ( a) je 54a 4 Příklad : Upravte na součin : a) x -6x y + 4xy 8y = b) 0,008y 0,6x y + 5,4x 4 y 7x 6 = c) 0,008 0,48x 4 + 9,6x 8 64x 1 = d) 15x 1 00x 8 y + 40x 4 y + 64y = e) 0,0011y 0.01089x 5 y + 0,097x 10 y 0,07x 15 = f) 75 7,5x 4 + 11,5x 8-0,15x 1 = g) 4y 1 59x y 8 1 + 8 x 4 y 4 8 + 49 = 7 h) 79x 15,9x 6 + 45,6x 9,197x 1 = ch) 0,79x 9 6,45x 8 + 607,5x 7 75x 6 = i) 0,008x 1 y -6 0,4x 9 y -5 +,4x 6 y -4 8x y - = j) x x - 6xy + 9y x - y = k) 0x 5 x - 960x 6 a + 88a 5 x - 48a 6 a = 7 l) x 18 - x 4 8 + x - = 15 5 5 7 5 m) 15 x 1-5 17 + 0 x - 4 = 8 4 6 7 VI. a + b = ( a + b ). ( a ab + b ) a - b = ( a - b ). ( a + ab + b ) Příklad : 7x + 1 = ( x + 1 ). ( 9x x + 1 ) 15 x 6 0,008y = ( 5x 0,y ). ( 5x 4 + x y + 0,04y ) Příklad : Upravte na součin : a) 5x 5 4x + 9x = b) -64x 8 + 5y 4 = c) 9x 4 x + 4 = d) 1,44x 8 y -4 +,4x 5 y - + x y - = e) 6400-40x +,5x 6 = f) x +1 = 15 g) 1,44x 8 y -4 x y - = h) 6 4 + 8 + 9 7 = ch) 49 + 1x +,5x 6 = i) 0,04x 8 y -4 0,4x 5 y - + x y - = j) 18x 5y = k) 8a 6 + 6a 5 + 54a 4 + 7a =
8. ročník. Celistvé výrazy a jejich úprava l) 6 4-9 7 =.9.. Rozklad kvadratického trojčlenu Jde o opačný postup než u zkráceného způsobu násobení. x + ( a + b ) x + a.b = ( x + a ). ( x + b ) = kde a, b je libovolné reálné číslo Je-li součin a.b kladný, pak a i b mají stejná znaménka. Je-li součin a.b záporný, pak a i b mají opačná znaménka Je-li součin a.b záporný a součet a+b kladný, tak kladné je to číslo a ( b ), které má větší absolutní hodnotu. Je-li součin a.b záporný a součet a+b záporný, tak záporné je to číslo a ( b ), které má větší absolutní hodnotu. Příklad : x x - 6 = x + ( + )x + (+).(-) = (x + ). ( x ) x + 7x + 10 = x + ( 5 + )x + (+5). (+) = ( x + 5 ). ( x + ) x - 4x + = x + [( - ) + ( -1 )]x + ( -). (-1 ) = ( x ). ( x 1 ) Příklad 4 : Rozložte trojčlen na součin : a) x + 10x + 1 = ch) x - 8x + 7 = b) x + x 10 = i) x - 6x 7 = c) x - 5x + 6 = j) x - x 1 = d) x + x 1 = k) x x - 0 = e) x - x 1 = l) x + x 8 = f) x + x = m) x 5x + 4 = g) x - x 15 = n) a a - 54 = h) x + 6x 7 = o) x + 8x + 1 = p) x + 9x + 8 = r) z z 5 = s) x + x 1 = t) x + x 1 = u) x + 7x + 1 = v) x 7 x + 1 = Souhrnná cvičení : 5x 1 1) Určete číselnou hodnotu výrazu a) pro x = 4 b) pro x = -1 c) po x = 0. x ) K mnohočlenu x x + 6 napište : a) mnohočlen převrácený b) mnohočlen opačný ) U mnohočlenu x x + 6 vytkněte číslo -1. 4) Vypočítejte : a) ( x x 6 ) + ( 5x 4x 16 ) + ( x 50x 5x + ) = b) ( x + x 60 ) - ( 5x 14x 17) - (8x 50x + 9x + 6 ) = c) ( x - x 15 x - 1 + 5x - 4x - ) + ( 5x + 1x 0,15 + x - 1 + 7x - x - ) - ( x - x ) = d) (x + 6x 7 ) ( x + 10x + 1 ) + ( x - x 1 ) ( x + x ) = e) (1,44x 8 y -4 +,4x 5 y - + x y - ) + (1,44x 8 y -4 +,4x 5 y - + x y - ) + (,4x 5 y - + x y - ) = f) (1,44x 8 y -4 +,4x 5 y - + x y - ) - (1,44x 8 y -4 +,4x 5 y - + x y - ) - (,4x 5 y - + x y - ) = g) 4 ( x + y ) x (x + y ) + 5 ( x + y ) + 7x( x + y ) = 5) Vypočítejte : 16
a) x. (x + x ) = b) (-5x ). ( xy ). (x - x 1 ) = c) ( x - 8x + 7 ). ( x - 8x + 7 ) = d) ( x + x ). (x + 10x + 1 ) = e) (8x 50x + 9x + 6 ). ( x x 6 ) = f) (x - 4x + ). (x - x 15 ). (-5x ) = g) ( 5-4a + a a ). ( -1 ) = 8. ročník. Celistvé výrazy a jejich úprava h) (- 5 4 x 5 + x 4 ). (- 1 4 ). (4x 8-6 5 x 7 ) = ch) ( x 6 0,5x 4 + x x + 0,4x + 4 ). ( x 5 5x 4 + x x - 0,4x + 4 ) = i) ( x 8-7 1 - + ). ( x 8-7 ) = 5 7 5 4 j) (- x 5 + x 4 1-1 - + ). ( x 8-7 1 - + ) = 5 4 7 5 7 k) (- 5 4 x 5 + x 4 ). (- 1 4 ). (4x 8-6 5 x 7 ) = 6) Vypočítejte : a) -4.( 7x 5 5x 4 + x x 0,4x + 4 ) 0,5.x( 5x 5 x 4 + x - 0,4x + 9 ) = b) x.( 0,4x 5 x x + 6 ) 1 ( 7x 5 5x 4 ) 0,4.(+ x 4 x 0,74x + 1 ) = c) ( -x -1 ).( 5x 4 + 0,x 0,10x + 0,4x +,6 ) x - (0,7x 5 + x 4 1,x ) - (1,07x 5-5,4x 4 ) - 1 ( 0,x x - 0,4x + 4 ) = 7) Vypočítejte : a) ( 0x 4 y 15xy - + 5x 5 y - + 0,45x ) : 5xy = b) ( x 4 y 5 + xy - 0,4x 5 y - + x + xy ) : (-xy) = c) ( 100x 6 y -k + 15xy 4 + 15x -5 y -+n + 0,45x k ) : 5x +k y -k = 8) Vypočítejte : a) (x 1 ) = b) ( y x 4 ) = c) ( 1,y - + 0,x 4 ) = d) ( y + x 4 ) = e) ( -4y + ). (4y + ) = f) ( 4y + ). (4y + ) = g ) ( -4y - ). (4y + ) = h) ( -4y - ). (-4y - ) = ch) ( x + x ) = 9) Vypočítejte : a) (x 1 ) = b) ( y x 4 ) = c) ( 1,y - + 0,x 4 ) = 10) Vypočítejte : a) ( x ). ( x + 7 ) = b) ( x + ). ( x + 4 ) = c) ( x ). ( x + 4 ) = 11) Upravte na součin : a) 5x 4 x y 4 + 0,4x = b) x + 7x + 1 = c) 9x -0x + 5x 4 = d) 5a 4-5a + a a = e) 0,49x + 4,xy + 9y = 17 d ( x + 10 ). ( x - 7 ) = e) ( x ). ( x + 7 ) = f) ( x ). ( x + 7 ) = f) 5x 1 = g) 5x 6 4y = h) 5x 6 4y = ch) 5x 6 + 0x y + 4y = i) -5x 6 0x y - 4y =
j) -5x 6 + 0x y - 4y = k) 4 + 4x + x = l) 0,6y - 1,x y + x 4 = m) 0,04x 8 y -4-0,4x 5 y - + x y - = n) x - 10 xy + 5y = o) x + 6x y + 1xy + 8y = 1) Upravte na součin : a) 0,0004y + 0,08x 5 y + 4x 10 = b) 5 + 5x + 0,5x = c) 0,008y + 0,1x y + 0,6x 4 y + x 6 = d)1,78 + 4,x 4 +,6x 8 + x 1 = e) 0,5y 8 - xy 4 + 7 9 = f) 49 + 1x +,5x 6 = g) 0,0009x 6 + 0,x 5 + 5x 4 = h) x + 8x + 1 = ch) x + 9x + 8 = i) 5x v + 15xv 5 5 = j) 1,44x 8 y -4 +,4x 5 y -1 + x y = 9x 4x 4 k) + + = 5 5 9 8. ročník. Celistvé výrazy a jejich úprava p) 0,5y 8 - xy 4 + 7 9 = r) x x + 0 = s) 400x 8 + 10x 5 + 9x = t) x + x 8 = u) x 5x + 4 = v) 0,04y + 0,4x y + x 4 = w) 1,44 +,4x 4 + x 8 = l) 0,04 x 4 = m) 1,44 x 8 = n) 0,0004y - 0,08x 5 y + 4x 10 = o) 0,0004y 4x 10 = p) 5x 6-0x y + 4y 4 = r) 5x 6 4y 4 = s) 15x 1 00x 8 y + 40x 4 y - 64y = t) 0,6x - 9 4 = u) x + 10 xy + 5y, v) 6 4 + 8 + 9 7 = 1) Upravte na součin : a) 4-4x + x = b) 1,96-5,6x 4 + 4x 8 = c) 14 400x 8-960x 5 + 16x = d) 9x 4 x + 0,5x = e) 5x 6 + 0x y + 4y 4 = 5 1 5 17 f) 15 x 0 x 4 = 8 4 6 7 g) 6400-40x +,5x 6 = h) 49,5x 6 = ch) 0,0009x 6 5x 4 = i) x n + x n+ = j) 0,0009x 6-0,056x 5 + 0,16x 4 = k) -4x 6 + 16y 8 = m) 6,5x - 9 7 = n) 0,008 0,48x 4 + 9,6x 8 64x 1 = o) 0,15y 1 + xy 8 + 10 x y 4 8 + 19 = 7 9x p) - 1 = 5 r) 8 000x 1 + 600x 9 + 540x 6 + 7x = s) 5 0,5x = t) 0,5y 8-7 9 = u) z z 5 = v) x + x 1 = w) x n x = 14) Upravte na součin : a) x + x 0 = b) 6 4-8 + 9 7 = c) 0,0004y 4x 10 = 7x 18x 4x 8 d) 15 5 5 7 e) x 4 + 5x + 6 = = 18 f) x 4 x 0 = g) 0,16x y 4 z 6 1 = h) 0,16x y 4 z 6 + 0,8xy z + 1 = ch) 0,16y 4 z 6 0,8. x z + = i) 0,16y 4 z 6 = j) -0,16y 4 z 6 + = k) 1,44x 8 y -4 x y - = l) -64x 8 + 5y 4, m) 5x 6 =
n) x 7 x + 1 = o) 5x 6-0x y + 4y 4 = p) 0,04x 4 0,1x + 0,09x = r) 0,09x 0,1x + 0,04x 4 = s) a a - 54 = 15 Vypočítej: a) ( y x ) = b) (x + x) = c) (x + 5x ) = d) (0,5 x y 1) = 8. ročník. Celistvé výrazy a jejich úprava t) 5x y z 4 ( y + 5 ) + 500y 5 z 4 ( y + 5 ) 6 = u) 1y z 5 ( 6a 4b ) 5 + 150x 4 y z 7 ( 6a 4b ) 4 = v) a 4 + a + a + 1 = w) a 4 - a + a a = z) x x 1x + 6 = f) 1 6 4 - y ) = g) (. - x. ) = e) ( x 4 + 5 ) = 16) Nahraďte písmena příslušnými výrazy : A : = B = 4x 4x 1 5x 17) Vydělte : a) ( 5x 5 + 7x 4-0x 11x + x 6 ) : ( x + x ) = b) ( 8x - 10x 1x + 19 ) : ( x ) = 18) Vypočtěte : a) b) y y = 5 a ab = 6 7 c) 10a 1. 10a 1 = d) 5 5 0,8x. 0,8x e) y 0,9. y 0,9 = f) ( -0,6x + 5 ). ( -0,6x 5 ) = g).( y 4 ) 5.( y + 1 ) = 19) Upravte na součiny : a) 8x y 1y z 5 = b) 8 4-0,16a = c) -a 6a 10ab = d) 5t ta 10a + 5 = e) ( 4x + y ) z = f) 9a + 4ab + 49b = g) ( 8x 1 ) ( 5a + ) = h) 9a 6a + 1 4b + 0b 5 = i) 6x y 10y z 4 = h) 7.( x 1 ). ( x + 1 ) 5.( x ) = i) ( 4x 8y ) = j) ( x + 5xy ) = k) ( 8x 1 ). ( 8x + 1 ) = l) ( 0,9x - ). ( 0,9x + ) = m) ( -1,1x 5 ). ( 1,1x + 5 ) = n) ( -0,7x + 9 ). ( -0,7x 9 ) = o).( x ).( x 4 ) = p) 5.( x ). ( x + ) 6. ( x 1 ) = j) 100x 6 0,5 a = k) -6z 9z 1yz = l) r r + r = m) ( a + b ) c = n) u 4u + 144 = o) ( a 1 ) ( b 5 ) = p) 4c + 4cd + d 9d + 6d 1 = Výsledky cvičení: 1 a) 4+ 1, b) 1 : 4, c) 1. 4, d) 4 1, e). 4.8, f).(1 : 4) ( 7 5 ), 19
g) ( 4 + 5 ). ( + 7 ) - (4 1 5).( 7) 6, a), b) -16, c) -9,5, d) -18, 5 8. ročník. Celistvé výrazy a jejich úprava 6 a), b) -16, c) -9,5, d) -18, 5 1 1 a) c + 1,b) x : 4, c) v. y, d) k s, e) d. 4. 8 f) n - k g) ( 4 + 5 ). ( + 7 ) - 4 s t 4 ) a) x 4 + 8x + 5x -1; b) 5x 5 1x 4 x x 19x 4 ; c) 11x 5 17x 4 + x x + 4; d) x 5 + 15x 4 + x x +7x 8; e) 1x 5 6x 4 + 5x x 0,8x + 1; f) 7,4x 5 x 4 x - 4x 0,74x + 7; g) 1,77x 5 7,4x 4 + 0,6x,0x + 6,6 ; h),7x 7,x 6 +,77x 5 7,5x 4 + 6,7x 1,5x 10,74x + 16; ch) 0,7x 7 +77x 5 5,15x 4 + 9,x 14,5x + 0,6x + 40,144 ; i) 7x 7 +,7x 6 + 6,5x 5 0,9x 4 + 49x 50,1x 0,8x + 14,4, j) 9,7x 5,x 6x + 4 0,8x -1 + 6,x - -5,5x -4 x 0; k) 0,8x 8 1 - x 7 7,6x 5 1 + 5 4 x -,5x 1-5 x+ 7 l) 7,4 x 8 4,5x 7 7,8x 5 1 + 4 + 1,5x 1 x + ; 15 7 m) 1,4x 8 +,8x 7,8x 5 + x 4 + x - 11 1 - - ; 1 4 n) 1,8x 8 + x 7 6,9x 5 1-4 + 4,7x 10,x 11 41-5 x + 4 ; 15 6 15 4 o) 1,4 x 8 + 6,5x 7 5x 6,8x 5 + x 4 + 11,75x 1 5 - + 4 ; 150 6 5) 0, 6 ) a) -x 4 4x 9x 7 ; b) -x 5 x 4 + 8x + 7x + x 10 c) -5x 5 + x 4 11x + 5x 6 ; d) 5x 5 + x 4 x 5x + 7x + 6;e) x 5 4x 4 + x x 5 ; f) -6,6x 5 + x 4 - x + 0,74x + 5; g) -1,77x 5,6x 4 +,098x + 0,8x 1,4; h) 1,7x 6,7x 5 0,x 0,8x + 0,8x ; ch) -,7x 7 + 5x 6 + 0,07x 5 6,5x 4 5,7x 10,08x 10,06x + 4 i) 0,7x 7 -,7x 6-77x 5 +40,5x 4 15,767x + 1,x + 11,084x 144,56, j) -7x 7 + 7,5x 5 5,4x 4 0x,6x + 10,4x 0, k)4,x 5 0,8x 6x 4 0,x - 4,5x -4 x 0 1 l) - x 7 1 + 5 x 4 +, m) 0,6x 8 1 + 7 + 0,x 5 8 x 4 + 4,5x + 11 + 6 x +, 7 6 15 1 n) x 8 7 + 5 x 7 -,5x 9 +, o) -1,4x 8,8x 7 + 4,5x 5 1 9 x 4 + 8,45x 10,x 4 1 + x +, 15 4 6 15 6 p) -1,4x 8 1,1x 7 5x 6 +,8x 5 x 4 + 14,5x 0,1x 49 1 + +, 150 6 7 a) -5x 8 19 x 7 +,8x 5 4 x 4 + 1,5x 5 6 x -, 0 6 b) -,x 5 10,9x 4 + 5,x 10,x - 10x 5, c) x 8 + 5 15 7 x 7 + 1,7x 6 0,5x 4 +,1x -x 9 + 0,4x + 4, 4 d) 7x 7 + 6,5x 5 49 x 4 + 1,48x,7x 19 6 + + - 60 150 7-0,4x -1 +,x - 5x -4 x 0, 8 a) 10x 8 x 7 + 4x 6 0,8x 4 + 18x, b) -1,x 7 + 6x 5 +6x 4 18x,c) -1,x + 0,8 + 0,96x -1-0,4x - x 0, d) -,5x 8 + x 5 + 0,x 4 0,x 1,5 +,5x - 0, e) 0,7x 0,1x - + 0,4x -4 0,04x -5 + 0,x -7 0,05x -8 x 0, f) 4,x 10 +11,4x 9-11,4x 7 +8,x 6,75x 5 8x +,5x, g) -0,8x 4 4 + x 0,15x 4 1-1 + x -1 15 15 70 x 0, 9 a) 8x 4 - x, b) 8x 5 x 4 + 0x - 5x, c) 5x 6 x 5 x 4, d) 4x 5 6x 4 + x - x, e) 8x 5 8x 4 + 8x - 8x, f) -16 + 4x - x -4 + 8x -5 x 0, g) 10x + 8,5x -1 x - x 0, 0