Rozklad na parciální zlomky

Podobné dokumenty

Kapitola 7: Integrál. 1/14

10. Polynomy a racionálně lomenné funkce

INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA LOKÁLNÍ EXTRÉMY

c ÚM FSI VUT v Brně 20. srpna 2007

Kvadratická rovnice. - koeficienty a, b, c jsou libovolná reálná čísla, a se nesmí rovnat 0

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14

Úvod. Integrování je inverzní proces k derivování Máme zderivovanou funkci a integrací získáme původní funkci kterou jsme derivovali

Kvadratické rovnice pro učební obory

4.3.8 Vzorce pro součet goniometrických funkcí. π π. π π π π. π π. π π. Předpoklady: 4306

ax + b = 0, kde a, b R, přímky y = ax + b s osou x (jeden, nekonečně mnoho, žádný viz obr. 1.1 a, b, c). Obr. 1.1 a Obr. 1.1 b Obr. 1.

1 Polynomiální interpolace

a jeho hodnotu pro x = 2 a jeho hodnotu pro x = 2 3 x. a jeho hodnotu pro x = 2 a jeho hodnotu pro x = 6; x = = 1 7 a jeho hodnotu pro x = 2

Řešení 1a Budeme provádět úpravu rozšířením směřující k odstranění odmocniny v čitateli. =lim = 0

Inverzní Laplaceova transformace

Kapitola 7: Integrál.

Asymptoty grafu funkce

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/ Anotace. Integrální počet VY_32_INOVACE_M0308. Matematika

Kapitola 7: Integrál. 1/17

Rozklad na součin vytýkáním

Wolfram Alpha. v podobě html stránky, samotný výsledek je často doplněn o další informace (např. graf, jiné možné zobrazení výsledku a

Kód uchazeče ID:... Varianta: 14

Digitální učební materiál

Obsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce

Jan Kotůlek. verze 3 ze dne 25. února 2011

( ) Neúplné kvadratické rovnice. Předpoklady:

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

Algebraické výrazy - řešené úlohy

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/ Anotace. Integrální počet VY_32_INOVACE_M0307. Matematika

MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce

FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY - CVIČENÍ

II. 3. Speciální integrační metody

( x) ( ) ( ) { } Vzorce pro dvojnásobný úhel II. Předpoklady: Urči definiční obor výrazů a zjednoduš je. 2. x x x

ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC

kuncova/, 2x + 3 (x 2)(x + 5) = A x 2 + B Přenásobením této rovnice (x 2)(x + 5) dostaneme rovnost

KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE (včetně řešení v C)

NEURČITÝ INTEGRÁL - CVIČENÍ

ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC

4C. Polynomy a racionální lomené funkce. Patří mezi tzv. algebraické funkce, ke kterým patří také funkce s odmocninami. Polynomy

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

Matematika 1A. PetrSalačaJiříHozman Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci

( ) ( ) Vzorce pro dvojnásobný úhel. π z hodnot goniometrických funkcí. Předpoklady: Začneme příkladem.

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17

Pojem limity funkce charakterizuje chování funkce v blízkém okolí libovolného bodu, tedy i těch bodů, ve kterých funkce není definovaná. platí. < ε.

Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49

Gymnázium, Brno. Matice. Závěrečná maturitní práce. Jakub Juránek 4.A Školní rok 2010/11

Algebraické výrazy-ii

SPECIÁLNÍCH PRIMITIVNÍCH FUNKCÍ INTEGRACE RACIONÁLNÍCH FUNKCÍ

URČI HODNOTU VÝRAZU. A) Urči hodnotu výrazu VYPOČÍTEJ = 6 5 = 1. B) Urči hodnotu výrazu 4( x + 3) pro x = -1

Vzorce na integrování. 1. x s dx = xs+1. dx = ln x +C 3. e x dx = e x +C. 4. a x dx = ax. 14. sinhxdx = coshx+c. 15. coshxdx = sinhx+c.

4. Lineární nerovnice a jejich soustavy

Obsah. x y = 1 + x y = 3x y = 2(x2 x + 1) (x 1) x 3. y = x2 + 1 x y =

Elementární funkce. Polynomy

F (x) = f(x). Je-li funkce f spojitá na intervalu I, pak existuje k funkci f primitivní funkce na intervalu I.

Kvadratické rovnice pro studijní obory

M - Kvadratické rovnice

MAT_303 Název: VY_32_INOVACE_01_MAT_303_OZŠ_reálná_čísla_II.docx. MAT_304 Název: VY_32_INOVACE_01_MAT_304_OZŠ_zlomky.docx

[1] Definice 1: Polynom je komplexní funkce p : C C, pro kterou. pro všechna x C. Čísla a 0, a 1,..., a n nazýváme koeficienty polynomu.

X31EO2 - Elektrické obvody 2. Kmitočtové charakteristiky

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

Metody výpočtu limit funkcí a posloupností

4. Výčtem prvků f: {[2,0],[3,1],[4,2],[5,3]}

Limita a spojitost LDF MENDELU

Teorie měření a regulace

Digitální učební materiál

Příklad. Řešte v : takže rovnice v zadání má v tomto případě jedno řešení. Pro má rovnice tvar

4. Určete definiční obor elementární funkce g, jestliže g je definována předpisem

CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

0. Lineární rekurence Martin Mareš,

SPECIÁLNÍCH PRIMITIVNÍCH FUNKCÍ

1 ) 3, a 5 6 b ( 4. x+2 x, b) f(x)= sin 3x = 3 sin x 4 sin 3 x ] (užijte vzorce: sin(α + β), sin 2x a cos 2x) f 1 : y = x 1. f 1 : y = 3 + ln x 1

Téma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola

Polynomy a racionální lomené funkce

5.2.7 Zobrazení spojkou I

CVIČNÝ TEST 10. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Renáta Koubková. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

Přehled učiva matematiky 7. ročník ZŠ

Kirchhoffovy zákony. Kirchhoffovy zákony

ZÁKLADY AUTOMATICKÉHO ŘÍZENÍ

Algebraické výrazy pro učební obory

Gymnázium, Praha 10, Voděradská 2 Projekt OBZORY

= musíme dát pozor na: jmenovatel 2a, zda je a = 0 výraz pod odmocninou, zda je > 0, < 0, = 0 (pak je jediný kořen)

Integrální počet funkcí jedné proměnné

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

VZOROVÝ TEST PRO 1. ROČNÍK (1. A, 3. C)

Těleso racionálních funkcí

MATEMATIKA / 1. ROČNÍK. Strategie (metody a formy práce)

Dělení celku na části v poměru

4.3.4 Základní goniometrické vzorce I

7.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P7.1a]

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík

Základní škola Moravský Beroun, okres Olomouc

13. Kvadratické rovnice 2 body

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA NEURČITÝ INTEGRÁL

cv3.tex. Vzorec pro úplnou pravděpodobnost

Kód uchazeče ID:... Varianta: 13

Matematika IV 9. týden Vytvořující funkce

Transkript:

Rozklad na parciální zlomky Lenka Přibylová 23. června 2009

Obsah + 3 2.... 3 + 2 2 + 4 2.... 13 + 2 + 1 ( 1)( 2.... 24 + 2)

+ 3 2 + 2 + 3 2 + 2 = + 3 ( 1)( + 2) = A 1 + B + 2 + 3 = A( + 2) + B( 1) = 1 : 4 = A 3 A = 4 3 = 2 : 1 = B 3 B = 1 3 + 3 2 + 2 = 4 3( 1) 1 3( + 2)

+ 3 2 + 2 + 3 2 + 2 = + 3 ( 1)( + 2) = A 1 + B + 2 + 3 = A( + 2) + B( 1) = 1 : 4 = A 3 A = 4 3 = 2 : 1 = B 3 B = 1 3 + 3 2 + 2 = 4 3( 1) 1 3( + 2) Funkce je ryze lomená, protože stupeň polynomu v čitateli je menší, než ve jmenovateli.

+ 3 2 + 2 + 3 2 + 2 = + 3 ( 1)( + 2) = A 1 + B + 2 + 3 = A( + 2) + B( 1) = 1 : 4 = A 3 A = 4 3 = 2 : 1 = B 3 B = 1 3 Jmenovatel rozložíme + na3kořenové 2 + 2 = činitele. 4 3( 1) Použijeme 1 buď vzorec pro kořeny kvadratické rovnice, Hornerovo 3( schema + 2) nebo odhad součinu. 2 + 2 = ( 1)( + 2)

+ 3 2 + 2 + 3 2 + 2 = + 3 ( 1)( + 2) = A 1 + B + 2 + 3 = A( + 2) + B( 1) = 1 : 4 = A 3 A = 4 3 = 2 : 1 = B 3 B = 1 3 + 3 2 + 2 = 4 3( 1) 1 3( + 2) Každému kořenovému činiteli přísluší jeden parciální zlomek.

+ 3 2 + 2 + 3 2 + 2 = + 3 ( 1)( + 2) = A 1 + B + 2 + 3 = A( + 2) + B( 1) = 1 : 4 = A 3 A = 4 3 = 2 : 1 = B 3 B = 1 3 + 3 2 + 2 = 4 3( 1) 1 3( + 2) Vynásobíme rovnici společným jmenovatelem ( 1)( + 2).

+ 3 2 + 2 + 3 2 + 2 = + 3 ( 1)( + 2) = A 1 + B + 2 + 3 = A( + 2) + B( 1) = 1 : 4 = A 3 A = 4 3 = 2 : 1 = B 3 B = 1 3 + 3 2 + 2 = 4 3( 1) 1 3( + 2) Rovnostplatíprokaždé,tedyiprokořen = 1.

+ 3 2 + 2 + 3 2 + 2 = + 3 ( 1)( + 2) = A 1 + B + 2 + 3 = A( + 2) + B( 1) = 1 : 4 = A 3 A = 4 3 = 2 : 1 = B 3 B = 1 3 + 3 2 + 2 = 4 3( 1) 1 3( + 2) Můžeme vyjádřit A.

+ 3 2 + 2 + 3 2 + 2 = + 3 ( 1)( + 2) = A 1 + B + 2 + 3 = A( + 2) + B( 1) = 1 : 4 = A 3 A = 4 3 = 2 : 1 = B 3 B = 1 3 + 3 2 + 2 = 4 3( 1) 1 3( + 2) Dosadíme = 2.

+ 3 2 + 2 + 3 2 + 2 = + 3 ( 1)( + 2) = A 1 + B + 2 + 3 = A( + 2) + B( 1) = 1 : 4 = A 3 A = 4 3 = 2 : 1 = B 3 B = 1 3 + 3 2 + 2 = 4 3( 1) 1 3( + 2) Můžeme vyjádřit B.

+ 3 2 + 2 + 3 2 + 2 = + 3 ( 1)( + 2) = A 1 + B + 2 + 3 = A( + 2) + B( 1) = 1 : 4 = A 3 A = 4 3 = 2 : 1 = B 3 B = 1 3 + 3 2 + 2 = 4 3( 1) 1 3( + 2) Máme rozklad na parciální zlomky.

2 + 4 2 + 2 + 1 ( 2 +4): ( 2 + 2 + 1) = 1 + 3 + 3 2 + 2 + 1 ( 2 +2+1) 3 +3 3 + 3 ( + 1) 2 = A + 1 + B ( + 1) 2 3 + 3 = A( + 1) + B = 1 : 6 = B 0 : 3 = A + B = A + 6 A = 3 2 + 4 2 + 2 + 1 = 1 3 + 1 + 6 ( + 1) 2

2 + 4 2 + 2 + 1 ( 2 +4): ( 2 + 2 + 1) = 1 + 3 + 3 2 + 2 + 1 ( 2 +2+1) 3 +3 3 + 3 ( + 1) 2 = A + 1 + B ( + 1) 2 3 + 3 = A( + 1) + B = 1 : 6 = B 0 : 3 = A + B = A + 6 A = 3 2 + 4 2 + 2 + 1 = 1 3 + 1 + 6 ( + 1) Funkce není ryze lomená, protože stupeň polynomu 2 v čitateli je stejný(nebo větší), než ve jmenovateli.

2 + 4 2 + 2 + 1 ( 2 +4): ( 2 + 2 + 1) = 1 + 3 + 3 2 + 2 + 1 ( 2 +2+1) 3 +3 3 + 3 ( + 1) 2 = A + 1 + B ( + 1) 2 3 + 3 = A( + 1) + B = 1 : 6 = B 0 : 3 = A + B = A + 6 A = 3 2 + 4 2 + 2 + 1 = 1 3 + 1 + 6 ( + 1) 2 Podělíme polynomy v čitateli a jmenovateli

2 + 4 2 + 2 + 1 ( 2 +4): ( 2 + 2 + 1) = 1 + 3 + 3 2 + 2 + 1 ( 2 +2+1) 3 +3 3 + 3 ( + 1) 2 = A + 1 + B ( + 1) 2 3 + 3 = A( + 1) + B = 1 : 6 = B 0 : 3 = A + B = A + 6 A = 3 2 + 4 2 + 2 + 1 = 1 3 + 1 + 6 ( + 1) 2 a dostáváme polynom a ryze lomenou funkci.

2 + 4 2 + 2 + 1 ( 2 +4): ( 2 + 2 + 1) = 1 + 3 + 3 2 + 2 + 1 ( 2 +2+1) 3 +3 3 + 3 ( + 1) 2 = A + 1 + B ( + 1) 2 3 + 3 = A( + 1) + B = 1 : 6 = B 0 : 3 = A + B = A + 6 A = 3 Na parciální zlomky budeme rozkládat jen ryze lomený zbytek. Jmenovatel rozložíme 2 na + kořenové 4 2 + 2 + 1 = 1 činitele 3 + 1 + podle6 vzorce. ( + 1) 2 2 + 2 + 1 = ( + 1) 2

2 + 4 2 + 2 + 1 ( 2 +4): ( 2 + 2 + 1) = 1 + 3 + 3 2 + 2 + 1 ( 2 +2+1) 3 +3 3 + 3 ( + 1) 2 = A + 1 + B ( + 1) 2 3 + 3 = A( + 1) + B = 1 : 6 = B 0 : 3 = A + B = A + 6 A = 3 2 + 4 2 + 2 + 1 = 1 3 + 1 + 6 ( + 1) Každému kořenovému činiteli včetně násobnosti přísluší 2 jeden parciální zlomek.

2 + 4 2 + 2 + 1 ( 2 +4): ( 2 + 2 + 1) = 1 + 3 + 3 2 + 2 + 1 ( 2 +2+1) 3 +3 3 + 3 ( + 1) 2 = A + 1 + B ( + 1) 2 3 + 3 = A( + 1) + B = 1 : 6 = B 0 : 3 = A + B = A + 6 A = 3 2 + 4 2 + 2 + 1 = 1 3 + 1 + 6 ( + 1) 2 Vynásobímerovnicispolečnýmjmenovatelem ( + 1) 2.

2 + 4 2 + 2 + 1 ( 2 +4): ( 2 + 2 + 1) = 1 + 3 + 3 2 + 2 + 1 ( 2 +2+1) 3 +3 3 + 3 ( + 1) 2 = A + 1 + B ( + 1) 2 3 + 3 = A( + 1) + B = 1 : 6 = B 0 : 3 = A + B = A + 6 A = 3 2 + 4 2 + 2 + 1 = 1 3 + 1 + 6 ( + 1) 2 Rovnostplatíprokaždé,tedyiprokořen = 1.Dostáváme hodnotu B.

2 + 4 2 + 2 + 1 ( 2 +4): ( 2 + 2 + 1) = 1 + 3 + 3 2 + 2 + 1 ( 2 +2+1) 3 +3 3 + 3 ( + 1) 2 = A + 1 + B ( + 1) 2 3 + 3 = A( + 1) + B = 1 : 6 = B 0 : 3 = A + B = A + 6 A = 3 2 + 4 2 + 2 + 1 = 1 3 + 1 + 6 ( + 1) Další kořeny nemáme. Buď dosadíme jiné číslo nebo 2 porovnáme koeficienty.u 0 stojínaoboustranáchrovnicestejnékoeficienty.

Můžeme vyjádřit A. 2 + 4 2 + 2 + 1 ( 2 +4): ( 2 + 2 + 1) = 1 + 3 + 3 2 + 2 + 1 ( 2 +2+1) 3 +3 3 + 3 ( + 1) 2 = A + 1 + B ( + 1) 2 3 + 3 = A( + 1) + B = 1 : 6 = B 0 : 3 = A + B = A + 6 A = 3 2 + 4 2 + 2 + 1 = 1 3 + 1 + 6 ( + 1) 2

2 + 4 2 + 2 + 1 ( 2 +4): ( 2 + 2 + 1) = 1 + 3 + 3 2 + 2 + 1 ( 2 +2+1) 3 +3 3 + 3 ( + 1) 2 = A + 1 + B ( + 1) 2 3 + 3 = A( + 1) + B = 1 : 6 = B 0 : 3 = A + B = A + 6 A = 3 2 + 4 2 + 2 + 1 = 1 3 + 1 + 6 ( + 1) 2 Máme rozklad na parciální zlomky.

( 1)( 2 + 2) ( 1)( 2 + 2) = A 1 + B + C 2 + 2 = A( 2 + 2) + (B + C)( 1) = 1 : 1 = A 3 A = 1 3 2 : 0 = A + B = 1 3 + B B = 1 3 1 : 1 = B + C = 1 3 + C C = 2 3 ( 1)( 2 + 2) = 1 3( 1) + + 2 3( 2 + 2)

( 1)( 2 + 2) ( 1)( 2 + 2) = A 1 + B + C 2 + 2 = A( 2 + 2) + (B + C)( 1) = 1 : 1 = A 3 A = 1 3 2 : 0 = A + B = 1 3 + B B = 1 3 1 : 1 = B + C = 1 3 + C C = 2 3 ( 1)( 2 + 2) = 1 3( 1) + + 2 3( 2 + 2) Funkce je ryze lomená, protože stupeň polynomu v čitateli je menší, než ve jmenovateli. Jmenovatel již je rozložen na kořenové činitele, protože 2 + 2 = 0mápouzekompleníkořeny.

( 1)( 2 + 2) ( 1)( 2 + 2) = A 1 + B + C 2 + 2 = A( 2 + 2) + (B + C)( 1) = 1 : 1 = A 3 A = 1 3 2 : 0 = A + B = 1 3 + B B = 1 3 1 : 1 = B + C = 1 3 + C C = 2 3 ( 1)( 2 + 2) = 1 3( 1) + + 2 3( 2 + 2) Každému kořenovému činiteli přísluší jeden parciální zlomek, nerozložitelnému kvadratickému činiteli také.

( 1)( 2 + 2) ( 1)( 2 + 2) = A 1 + B + C 2 + 2 = A( 2 + 2) + (B + C)( 1) = 1 : 1 = A 3 A = 1 3 2 : 0 = A + B = 1 3 + B B = 1 3 1 : 1 = B + C = 1 3 + C C = 2 3 ( 1)( 2 + 2) = 1 3( 1) + + 2 3( 2 + 2) Vynásobímerovnicispolečnýmjmenovatelem ( 1)( 2 + 2).

( 1)( 2 + 2) ( 1)( 2 + 2) = A 1 + B + C 2 + 2 = A( 2 + 2) + (B + C)( 1) = 1 : 1 = A 3 A = 1 3 2 : 0 = A + B = 1 3 + B B = 1 3 1 : 1 = B + C = 1 3 + C C = 2 3 ( 1)( 2 + 2) = 1 3( 1) + + 2 3( 2 + 2) Rovnostplatíprokaždé,tedyiprokořen = 1.

( 1)( 2 + 2) ( 1)( 2 + 2) = A 1 + B + C 2 + 2 = A( 2 + 2) + (B + C)( 1) = 1 : 1 = A 3 A = 1 3 2 : 0 = A + B = 1 3 + B B = 1 3 1 : 1 = B + C = 1 3 + C C = 2 3 ( 1)( 2 + 2) = 1 3( 1) + + 2 3( 2 + 2) Můžeme vyjádřit A.

( 1)( 2 + 2) ( 1)( 2 + 2) = A 1 + B + C 2 + 2 = A( 2 + 2) + (B + C)( 1) = 1 : 1 = A 3 A = 1 3 2 : 0 = A + B = 1 3 + B B = 1 3 1 : 1 = B + C = 1 3 + C C = 2 3 ( 1)( 2 + 2) = 1 3( 1) + + 2 3( 2 + 2) Další kořeny nemáme. Buď dosadíme jiné číslo nebo porovnáme koeficienty.u 2 stojínaoboustranáchrovnicestejnékoeficienty.

( 1)( 2 + 2) ( 1)( 2 + 2) = A 1 + B + C 2 + 2 = A( 2 + 2) + (B + C)( 1) = 1 : 1 = A 3 A = 1 3 2 : 0 = A + B = 1 3 + B B = 1 3 1 : 1 = B + C = 1 3 + C C = 2 3 ( 1)( 2 + 2) = 1 3( 1) + + 2 3( 2 + 2) Můžeme vyjádřit B.

( 1)( 2 + 2) ( 1)( 2 + 2) = A 1 + B + C 2 + 2 = A( 2 + 2) + (B + C)( 1) = 1 : 1 = A 3 A = 1 3 2 : 0 = A + B = 1 3 + B B = 1 3 1 : 1 = B + C = 1 3 + C C = 2 3 ( 1)( 2 + 2) = 1 3( 1) + + 2 3( 2 + 2) Zbývávyjádřit C.Protože Cseobjevujeuprvníinultémocniny, můžemesimocninuvybrat.vezmemenapř. 1.

( 1)( 2 + 2) ( 1)( 2 + 2) = A 1 + B + C 2 + 2 = A( 2 + 2) + (B + C)( 1) = 1 : 1 = A 3 A = 1 3 2 : 0 = A + B = 1 3 + B B = 1 3 1 : 1 = B + C = 1 3 + C C = 2 3 ( 1)( 2 + 2) = 1 3( 1) + + 2 3( 2 + 2) Dostáváme C.

( 1)( 2 + 2) ( 1)( 2 + 2) = A 1 + B + C 2 + 2 = A( 2 + 2) + (B + C)( 1) = 1 : 1 = A 3 A = 1 3 2 : 0 = A + B = 1 3 + B B = 1 3 1 : 1 = B + C = 1 3 + C C = 2 3 ( 1)( 2 + 2) = 1 3( 1) + + 2 3( 2 + 2) Máme rozklad na parciální zlomky.

Konec