MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA NEURČITÝ INTEGRÁL

Transkript

1 MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA NEURČITÝ INTEGRÁL Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ..07/2.2.00/28.002) za přispění finančních prostředků EU a státního rozpočtu České republiky. Mgr. Radka SMÝKALOVÁ, Ph.D. smyky@seznam.cz

2 MT MATEMATIKA Neurčitý integrál 2 Primitivní funkce, neurčitý integrál DEFINICE (Primitivní funkce). Nechť f() a F() jsou funkce definované na otevřeném intervalu I. Funkce F() se nazývá primitivní funkce k funkci f() na intervalu I, jestliže F () = f() pro každé I. Příklad. Najděte primitivní funkci F() k funkci f() = 3 2. Řešení. Pro primitivní funkci F() musí platit F () = f(). Tedy např. ( 3) ( = 3 2, +6) 3 ( = 3 2, +202) 3 = 3 2,... Všechny primitivní funkce k funkci f() jsou tedy tvaru F() = 3 +c, kde c je konstanta.

3 MT MATEMATIKA Neurčitý integrál 3 DEFINICE (Neurčitý integrál). Množinu všech primitivních funkcí k funkci f() značíme f()d a nazýváme neurčitý integrál. Platí tedy f()d = F()+c, kde F() je libovolná primitivní funkce k funkci f() a c je libovolná konstanta. f()...integrand, d...integrační znak, c...integrační konstanta Proces nalezení primitivní funkce k dané funkci f() nazýváme integrování. VĚTA (Vztah mezi spojitostí funkce f() a primitivní funkcí k f()). Je-li funkce f() spojitá na intervalu, pak k ní eistuje primitivní funkce na tomto intervalu.

4 MT MATEMATIKA Neurčitý integrál 4 Pravidla pro integrování f(), g() jsou funkce, c R je konstanta. Pak platí P (f()±g()) d = f()d± P2 c f()d = c f()d g() d Nejsou žádná pravidla na součin, podíl ani na složenou funkci!!!

5 MT MATEMATIKA Neurčitý integrál 5 Vzorce pro integrování c R je konstanta. Pak platí V d = +c V7 V2 n d = n+ +c V8 n+ V3 d = ln +c V9 V4 sind = cos+c V0 V5 cosd = sin+c V V6 e d = e +c a d = a lna +c f () d = ln f() +c f() f(a+b)d = a F(a+b)+c sin 2 d = cotg+c cos 2 d = tg+c

6 MT MATEMATIKA Neurčitý integrál 6 c, A, B R jsou konstanty, A > 0. Pak platí V2 A 2 + 2d = A arctg A +c V3 A 2 2d = 2A ln A+ A +c V4 A 2 2d = arcsin A +c V5 2 ±B d = ln + 2 ±B +c Metody výpočtu integrálu Pomocí úprav integrandu Metoda per partes (po částech) Metoda substituce (nahrazení)

7 MT MATEMATIKA Neurčitý integrál 7 Cvičení na vzorec V2.. 3 d 2. d 3. 5d 4. d 5. 4 d 6. 3 d Cvičení na vzorec V7.. 6 d 2. ( ) 3 d 3. 2 d Cvičení na vzorec V d d d d 5. e 6. sin 4 cos d d 8. tgd 9. cotgd e d Cvičení na vzorec V9. V9 je vždy nakombinovaný s dalším vzorcem!!!. e 2+6 d 2. e 3 d 3. e d 4. sin(6 8)d 5. cos2d 6. 5 d 7. (6+5) 8d d 9. (7 3) 4 d 0. cos 2 4 d. sin 2 (3 2) d

8 MT MATEMATIKA Neurčitý integrál 8 Cvičení na vzorce V2 - V d d d d Cvičení na pravidlo P d 2. sin cosd Cvičení na pravidlo P d 2. 2cosd Cvičení na pravidla P - P2.. 5sin d 2. 5 sin d d 8 3

9 MT MATEMATIKA Neurčitý integrál 9 Metoda výpočtu integrálu - Pomocí úprav integrandu (Racionálně lomená funkce neryze lomená)d - nejdříve dělíme čitatel jmenovatelem a pak integrujeme. (Racionálně lomená funkce ryze lomená)d - hned integrujeme. (Goniometrická funkce)d - při úpravách využíváme vzorce tg = sin cotg = cos cos sin Doplnění na čtverec. Příklad d Řešení d = (+) 2 +5 d = (+) 2 +4 sin 2 +cos 2 = V9+V2 d = 2arctg + 2 +c = ( + ) = (+) = (+) 2 a 2 ±2ab+b 2 = (a±b) 2

10 MT MATEMATIKA Neurčitý integrál 0 Jakákoliv jiná úprava, kterou musí student vidět. :-) Cvičení.. ( )d 2. ( sin)d 3. (2 ) 3 d 4. ( ) 2 d d 6. (+3) 2 d d d d d d d d d d d 7. (tg+cotg)d 8. cos 2 (4+9) d 9. ( ) d d 2. d 22. cotg 2 d d 24. ( 2 5 2cos6 ) d