M - Příprava na. čtvrtletku pro třídu 4ODK Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz VARIACE Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete na www.dosli.cz.
M - Příprava na. čtvrtletku pro třídu 4ODK ± Kuželosečky Kuželosečky Kuželosečky jsou rovinné křivky, které vzniknou průnikem rotační kuželové plochy s rovinou, která neprochází jejím vrcholem. Vzájemnou polohou roviny a plochy vzniknou: A. Kuželosečky středové (mají střed souměrnosti) B. Kuželosečka nestředová (nemá střed souměrnosti) 0.4.009 9:36:55 z 68
M - Příprava na. čtvrtletku pro třídu 4ODK ± Kružnice Kružnice Kružnice k se středem S[0; 0] (v počátku souřadné soustavy) a poloměrem r > 0 je množina všech bodů roviny, které mají od středu S stejnou vzdálenost r. Rovnice kružnice se středem v počátku souřadné soustavy je určena rovnicí x +y =r Tuto rovnici lze odvodit na základě určení vzdálenosti dvou bodů - konkrétně středu S a libovolného bodu X ležícího na kružnici: Středový tvar rovnice kružnice Nechť je dána kružnice k se středem S[m; n] a poloměrem r > 0 a libovolný bod X[x; y], který leží na kružnici k. 0.4.009 9:36:55 z 68
M - Příprava na. čtvrtletku pro třídu 4ODK Obecný tvar rovnice kružnice Při odvozování obecného tvaru rovnice kružnice se vychází ze středového tvaru rovnice kružnice: Příklad : Napište rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A[-3; ]. Kružnice se středem S[0; 0] má rovnici x + y = r. Poloměr r zjistíme dosazením souřadnic bodu A ležícího 0.4.009 9:36:55 3 z 68
M - Příprava na. čtvrtletku pro třídu 4ODK na kružnici do této rovnice: (-3) + = r r = 3 Daná kružnice má rovnici x + y = 3; její poloměr je r = Ö3. Příklad : Rozhodněte o vzájemné poloze bodů A[4; 3], B[; ], C[; 0] a kružnice dané rovnicí x + y = 4. Zjistíme, zda hodnota výrazu x + y pro souřadnice bodů A, B, C je buď rovna 4 (bod leží na kružnici), nebo je menší než 4 (bod vnitřní oblasti kružnice), nebo je větší než 4 (bod vnější oblasti kružnice). Pro souřadnice bodu A platí: 4 + 3 = 5 Protože 5 > 4, je bod A bodem vnější oblasti kružnice. Pro souřadnice bodu B platí: + = Protože < 4, je bod B bodem vnitřní oblasti kružnice. Pro souřadnice bodu C platí: +0 =4 Protože 4 = 4, je bod C tedy leží na kružnici. Příklad 3: Napište středový i obecný tvar rovnice kružnice se středem S[; -] a poloměrem r = 3. Dosadíme zadané hodnoty do rovnice (x - ) + (y + ) = 9... dostali jsme rovnici kružnice ve středovém tvaru. Provedeme-li naznačené úpravy, dostaneme obecný tvar rovnice kružnice: x - x + + y + 4y + 4 = 9 x + y - x + 4y - 4 = 0 Příklad 4: Napište rovnici kružnice, která má střed S[-3; 5] a prochází bodem A[-7; 8]. Kružnice, která má střed v bodě S[-3; 5], má rovnici: (x + 3) + (y - 5) = r Poloměr r zjistíme dosazením souřadnic bodu A do této rovnice: (-7 + 3) + (8-5) = r r = 5 Daná kružnice má tedy rovnici (x + 3) + (y - 5) = 5. Příklad 5: Rovnice x + y + 8x -0y - 75 = 0 je rovnicí kružnice k. Upravte ji na středový tvar; zjistěte poloměr a souřadnice středu kružnice. 0.4.009 9:36:55 4 z 68
M - Příprava na. čtvrtletku pro třídu 4ODK Pomocí "doplnění na čtverec" upravíme rovnici: x + 8x + 6-6 + y - 0y + 5-5 - 75 = 0 (x + 8x + 6) - 6 + (y - 0y + 5) - 5-75 = 0 (x + 4) + (y - 5) = 6 Kružnice k má středovou rovnici (x + 4) + (y - 5) = 6, poloměr r = Ö9; její střed S má souřadnice [-4; 5]. Příklad 6: Upravte rovnici x + y - x + 4y + 7 = 0 na středový tvar rovnice kružnice. x + y - x + 4y + 7 = 0 (x - x + ) - + (y + 4y + 4) - 4 + 7 = 0 (x - ) + (y + ) = - Množina bodů vyhovujících této rovnici je prázdná. Rovnice x + y - x + 4y + 7 = 0 není tedy rovnicí kružnice. Příklad 7: Napište rovnici kružnice k, která prochází body A[5; ], B[0; 6], C[4; -]. Nejprve zjistíme, zda body A, B, C neleží v jedné přímce. Směrový vektor přímky AB je B - A = (-5; 5), směrový vektor přímky BC je C - B = (4; -8). Vektory B - A, C - B jsou různoběžné; jsou tedy různoběžné i přímky AB a BC. Body A, B, C tedy neleží v jedné přímce; určují kružnici opsanou trojúhelníku ABC. Daná kružnice k má rovnici x + y + ax + by + c = 0 Bod A[5; ] leží na kružnici k; proto jeho souřadnice této rovnici vyhovují: 5 + + 5a + b + c = 0 Obdobně z toho, že bod B[0; 6] leží na kružnici k, dostaneme: 0 + 6 +0.a + 6.b + c = 0 A obdobně pro bod C[4; -] ležící na kružnici k platí: 6 + 4 + 4a - b + c = 0 Řešením soustavy tří rovnic o třech neznámých a, b, c 5a + b + c = -6 6b + c = -36 4a - b + c = -0 --------------------dostaneme a = 0, b = -, c = -4. Rovnice kružnice v obecném tvaru je x + y - y - 4 = 0 Upravíme-li tuto rovnici na středový tvar, dostaneme (x + 0) + (y - ) = 5 Ze středového tvaru zjistíme, že poloměr kružnice je r = 5 a souřadnice středu S jsou [0; ]. 0.4.009 9:36:55 5 z 68
M - Příprava na. čtvrtletku pro třídu 4ODK ± Kružnice - procvičovací příklady. 948. 950 3. 947 4. 953 5. 96 Ne 6. 957 7. 955 8. 96 9. 945 0. 954 0.4.009 9:36:55 6 z 68
M - Příprava na. čtvrtletku pro třídu 4ODK. 949. 946 3. 95 4. 956 5. 959 6. 95 7. 958 8. 960 ± Vzájemná poloha přímky a kružnice Vzájemná poloha přímky a kružnice Vzájemná poloha bodu a kružnice a) Bod je vnitřním bodem kružnice (leží uvnitř kružnice k a jeho vzdálenost od středu kružnice je menší než poloměr) 0.4.009 9:36:55 7 z 68
M - Příprava na. čtvrtletku pro třídu 4ODK Všechny vnitřní body kružnice tvoří vnitřní oblast kružnice a platí pro ně vztah: b) Bod je vnějším bodem kružnice (leží vně kružnice k a jeho vzdálenost od středu kružnice je větší než poloměr) Všechny vnější body kružnice tvoří vnější oblast kružnice a platí pro ně vztah: 0.4.009 9:36:55 8 z 68
M - Příprava na. čtvrtletku pro třídu 4ODK c) Bod je bodem kružnice (leží na kružnici k a jeho vzdálenost od středu kružnice je rovna poloměru) Všechny body ležící na kružnici tvoří kružnici k a platí pro ně vztah: Vzájemná poloha přímky a kružnice 0.4.009 9:36:55 9 z 68
M - Příprava na. čtvrtletku pro třídu 4ODK Vzájemná poloha přímky a kružnice se početně určí tak, že do rovnice kružnice se dosadí rovnice přímky. Vznikne tak kvadratická rovnice o jedné neznámé. a) p je vnější přímkou kružnice k - kružnice a přímka nemají žádný společný bod - kvadratická rovnice nemá řešení b) p je tečnou ke kružnici k - kružnice a přímka mají právě jeden společný bod - kvadratická rovnice má právě jedno řešení c) p je sečna ke kružnici k - kružnice a přímka mají společné body A, B, jejichž vzdálenost určuje tzv. tětivu - kvadratická rovnice má dvě řešení Příklad : Zjistěte vzájemnou polohu přímky p: 4x - 3y - 0 = 0 a kružnice dané rovnicí x + y = 5. Vzájemnou polohu přímky a kružnice zjistíme řešením soustavy rovnic: 0.4.009 9:36:55 0 z 68
M - Příprava na. čtvrtletku pro třídu 4ODK 4x - 3y - 0 = 0 x + y = 5 -----------------------Z první rovnice vyjádříme např. y: y = (4/3)x - (0/3) Dosadíme do druhé rovnice: 0 ö æ4 x + ç x - = 5 3 3 ø è Dostaneme kvadratickou rovnici 5x - 3x + 35 = 0 Ta má diskriminant D = (-3) - 4. 5. 35 = 34 Protože D > 0, má kvadratická rovnice dva reálné různé kořeny: x = 5, x = 7/5. Dosazením za x do rovnice přímky dostaneme y = 0, dosazením za x do rovnice přímky dostaneme y = -4/5. Přímka je sečnou kružnice k. Průsečíky P, Q přímky s kružnicí mají souřadnice [5; 0], [7/5; -4/5]. Příklad : Stanovte číslo c tak, aby přímka p: x + y + c = 0 byla tečnou kružnice o rovnici x + y = 4. Z rovnice přímky dostaneme x = -y - c. Dosadíme do rovnice kružnice: (-y - c) + y = 4 5y + 4cy + c - 4 = 0 Aby přímka byla tečnou kružnice, musí být diskriminant D kvadratické rovnice roven nule. D = 6c - 4. 5. (c - 4) D=0 ---------------------------- 6c - 0. (c - 4) = 0 c = 0 c = Ö5 nebo c = -Ö5 Přímka je tedy tečnou dané kružnice, je-li buď c = Ö5 nebo c = -Ö5. Příklad 3: Zjistěte vzájemnou polohu kružnice o rovnici (x - ) + (y - 3) = a přímky p: x = 4 + t, y = + t. Dosadíme za x, y z rovnice přímky do rovnice kružnice: (4 + t - ) + ( + t - 3) = (t + ) + (t - ) = 5t + 4t + 7 = 0 Diskriminant kvadratické rovnice D = -4 je záporný, rovnice tedy nemá řešení v oboru reálných čísel. Přímka p je tedy vnější přímkou dané kružnice. Příklad 4: Napište rovnici tečny kružnice o rovnici (x - ) + (y + ) = 5 v jejím bodě T[6; ]. 0.4.009 9:36:55 z 68
M - Příprava na. čtvrtletku pro třídu 4ODK Tečna p kružnice je kolmá k poloměru ST, kde S[; -], T[6; ]. Vektor T - S = (4; 3) je tedy její normálový vektor. Směrový vektor přímky p je vektor (3; -4). Tečna p je dána bodem T[6; ] a směrovým vektorem (3; -4); její parametrické vyjádření je p: x = 6 + 3t, y = - 4t. Vyloučením parametru t dostaneme obecný tvar rovnice přímky: 4x + 3y - 30 = 0. Příklad 5: Napište rovnici kružnice, jejíž střed leží na přímce p: x - 3y - = 0 a která se dotýká přímky q: 4x - 3y + 7 = 0 v bodě T[-; 3]. Střed S kružnice k leží na přímce p a na přímce t, která prochází bodem T a je kolmá k přímce q. Normálový vektor u přímky q má souřadnice (4; -3), normálový vektor přímky t má tedy souřadnice (3; 4). Konstantu c v rovnici přímky t: 3x + 4y + c = 0 zjistíme dosazením souřadnic bodu T, který leží na přímce t, do této rovnice. Přímka t má rovnici 3x + 4y - 6 = 0 Souřadnice středu S dostaneme řešením soustavy dvou rovnic: x - 3y - = 0 3x + 4y - 6 = 0 ------------------Řešením této soustavy dvou rovnic o dvou neznámých dostaneme souřadnice [; 0]. x =, y = 0. Střed S kružnice má Zbývá ještě určit poloměr r kružnice. r = ST ST = (- - ) + (3-0) =5 Kružnice má rovnici (x - ) + y = 5, střed je S[; 0], poloměr je r = 5. ± Vzájemná poloha přímky a kružnice - procvičovací příklady. 963. 977 Sečna 3. 975 4. 979 0.4.009 9:36:55 Sečna z 68
M - Příprava na. čtvrtletku pro třídu 4ODK 5. 97 6. 970 7. 968 8,94 8. 965 9. 98 0. 976. 967. 974 3. 964 4. 973 5. 980 Tečna 6. 966 0.4.009 9:36:55 3 z 68
M - Příprava na. čtvrtletku pro třídu 4ODK 7. 97 8. 969 9. 978 Přímka kružnici neprotíná. ± Elipsa Elipsa Elipsa je určena středem S a dvěma ohnisky F a F. 0.4.009 9:36:55 4 z 68
M - Příprava na. čtvrtletku pro třídu 4ODK Rovnice elipsy se středem v počátku soustavy souřadnic Nechť pro body platí: X[x; y]; F[e; 0]; F[-e; 0] 0.4.009 9:36:55 5 z 68
M - Příprava na. čtvrtletku pro třídu 4ODK Středový tvar rovnice elipsy Odvození středového tvaru rovnice elipsy se středem S[m; n] lze provést např. pro případ elipsy, jejíž hlavní osa je rovnoběžná s osou x. Bod X[x; y] je libovolným bodem elipsy v soustavě souřadnic. Posune-li se soustava souřadnic tak, aby počátek O soustavy souřadnic splynul se středem S elipsy a hlavní osa byla rovnoběžná s osou x, pak střed S bude mít v soustavě souřadnic souřadnice S[0; 0] a souřadnice libovolného bodu X[x ; y ]. 0.4.009 9:36:55 6 z 68
M - Příprava na. čtvrtletku pro třídu 4ODK Je-li hlavní osa elipsy rovnoběžná s osou y a střed elipsy neleží v počátku soustavy souřadné, pak středový tvar rovnice elipsy je dán rovnicí: Pozn.: Středový tvar rovnice elipsy se někdy také nazývá osová rovnice elipsy. Obecná rovnice elipsy 0.4.009 9:36:55 7 z 68
M - Příprava na. čtvrtletku pro třídu 4ODK Ukázkové příklady: Příklad : Napište rovnici elipsy se středem S[0; 0] a hlavní osou totožnou s osou x, je-li délka hlavní poloosy 3, vedlejší poloosy. Zjistěte souřadnice ohnisek elipsy. 0.4.009 9:36:55 8 z 68
M - Příprava na. čtvrtletku pro třídu 4ODK a = 3, b =. Dosadíme do rovnice x y + = a b Elipsa má rovnici: x y + = 9 Ze vztahu a = e + b je e = a - b Po dosazení: e = 9 - e = Ö Elipsa má excentricitu Ö. Souřadnice ohnisek F, F jsou po řadě [Ö; 0], [-Ö; 0]. Příklad : Zjistěte délku hlavní a vedlejší poloosy a excentricitu elipsy dané rovnicí x + 4y = 9. Rovnici elipsy upravíme na osový (středový) tvar x y + = 9 9 4 Odtud a = 3, b =,5 9 3 = 3 4 e = 9- Elipsa má střed S[0; 0]; hlavní osa elipsy je totožná s osou x (a > b); a = 3, b = 3/, e =,5.Ö3. Příklad 3: Napište rovnici elipsy, která má hlavní osu rovnoběžnou s osou x, střed S[; 3], ohnisko F[-4; 3], a délku vedlejší poloosy b = 4. Délku hlavní poloosy vypočítáme ze vztahu a = e + b, kde b = 4, e = FS = = (- 4 - ) + (3-3) =5 a = 5 + 4 = 4 Elipsa má rovnici: (x - ) + ( y - 3) = 4 0.4.009 9:36:55 6 9 z 68
M - Příprava na. čtvrtletku pro třídu 4ODK Vzájemná poloha bodu a elipsy Příklad 4: Rozhodněte o vzájemné poloze bodů A[-; ], B[5/; ] a elipsy dané rovnicí 3x + 8y = 4. 0.4.009 9:36:55 0 z 68
M - Příprava na. čtvrtletku pro třídu 4ODK Upravíme rovnici na osový tvar: x y + = 8 3 a zjistíme, zda hodnota výrazu na levé straně po dosazení souřadnic daného bodu je rovna buď (pak bod leží na elipse), nebo je menší než (pak bod leží ve vnitřní oblasti elipsy), nebo je větší než (pak bod leží vně elipsy). Pro souřadnice bodu A platí: (- ) + = 5 8 3 6 Protože 5/6 <, je bod A bodem vnitřní oblasti elipsy. Pro souřadnice bodu B platí: æ5ö ç è ø + = 07 8 3 96 Protože 07/96 >, je bod B bodem vnější oblasti elipsy. ± Elipsa - procvičovací příklady. 775. 774 3. 776 4. 777 5. 773 6. 77 0.4.009 9:36:55 z 68
M - Příprava na. čtvrtletku pro třídu 4ODK 7. 778 8. 77 ± Vzájemná poloha přímky a elipsy Vzájemná poloha přímky a elipsy Pro vzájemnou polohu přímky a elipsy platí obdobná fakta jako pro vzájemnou polohu přímky a kružnice. Přímka tedy může být buď sečnou (tj. má s elipsou společné dva různé body), tečnou (tj. má s elipsou společný jediný bod), nebo vnější přímkou (tj. nemá s elipsou společný žádný bod). Vzájemnou polohu přímky a elipsy zjišťujeme stejně jako vzájemnou polohu přímky a kružnice, tzn. řešením soustavy jejich rovnic. Při dosazování vždy dosazujeme za neznámé z rovnice přímky do rovnice elipsy. Soustava má buď dvě řešení, nebo jedno řešení, nebo nemá řešení v oboru reálných čísel, podle toho, zda přímka a elipsa mají společné buď dva body, nebo jeden bod, nebo nemají společný žádný bod. Příklad : Zjistěte vzájemnou polohu přímky p: x + y - 5 = 0 a elipsy dané rovnicí 4x + 9y = 900. Vzájemnou polohu přímky a elipsy zjistíme řešením soustavy rovnic: x + y - 5 = 0 4x + 9y = 900 ---------------------Z první rovnice je: x = -y + 5 Dosadíme do druhé rovnice: 4(-y + 5) + 9y = 900 Dostáváme kvadratickou rovnici y - 6y + 64 = 0, její diskriminant je D = (-6) - 4.. 64 = 0 Kvadratická rovnice má řešení y = 8. Dosazením do první rovnice soustavy dostaneme x = 9. Přímka je tečnou elipsy. Dotykový bod T má souřadnice [9; 8]. Příklad : Zjistěte vzájemnou polohu přímky dané parametrickým vyjádřením x = 5 + 3t, y = t a elipsy o rovnici x + 0,5y =. (5 + 3t) + 0,5(t) = 5t + 5t + = 0 Diskriminant kvadratické rovnice je D = 5-4.. 5 = -5, D < 0. Tato kvadratická rovnice nemá řešení v oboru reálných čísel. 0.4.009 9:36:55 z 68
M - Příprava na. čtvrtletku pro třídu 4ODK Přímka je tedy vnější přímkou elipsy. ± Vzájemná poloha přímky a elipsy - procvičovací příklady. 780. 786 3. 779 4. 783 6,5 5. 788 6. 789 7. 78 6,93 8. 78 (= vnější přímka) ± Hyperbola Hyperbola 0.4.009 9:36:55 3 z 68
M - Příprava na. čtvrtletku pro třídu 4ODK 0.4.009 9:36:55 4 z 68
M - Příprava na. čtvrtletku pro třídu 4ODK Rovnice hyperboly se středem v počátku souřadného systému Nechť je dána hyperbola se středem v bodě S[0; 0] a hlavní poloosou totožnou s osou x. Středový tvar rovnice hyperboly 0.4.009 9:36:55 5 z 68
M - Příprava na. čtvrtletku pro třídu 4ODK Obecná rovnice hyperboly 0.4.009 9:36:55 6 z 68
M - Příprava na. čtvrtletku pro třídu 4ODK Asymptoty hyperboly 0.4.009 9:36:55 7 z 68
M - Příprava na. čtvrtletku pro třídu 4ODK Rovnoosá hyperbola 0.4.009 9:36:55 8 z 68
M - Příprava na. čtvrtletku pro třídu 4ODK 0.4.009 9:36:55 9 z 68
M - Příprava na. čtvrtletku pro třídu 4ODK Vzájemná poloha bodu a hyperboly Pro vnitřek hyperboly se středem S[m; n] platí nerovnice: Pro polohu bodů hyperboly se středem S[m; n] platí rovnice: 0.4.009 9:36:55 30 z 68
M - Příprava na. čtvrtletku pro třídu 4ODK Pro vnějšek hyperboly se středem S[m; n] platí nerovnice: Ukázkové příklady: Příklad : Napište rovnici hyperboly, která má délku hlavní poloosy 6, výstřednost 9 a ohniska F[e; 0], F[-e; 0]. Ohniska F, F leží na ose x, střed S má souřadnice [0; 0], osa hyperboly je totožná s osou x. Hyperbola má rovnici x y = a b Vypočítáme b ze vztahu b = e - a b = 9-6 = 45 Hyperbola má rovnici x y = 36 45 Příklad : Napište rovnici hyperboly se středem hyperboly 8 a vzdálenost ohnisek 0. S[0; 0] a hlavní osou totožnou s osou x, je-li vzdálenost vrcholů Vzdálenost vrcholů hyperboly je a = 8, z toho a = 4. Vzdálenost ohnisek je e = 0, z toho e = 5. Zbývá vypočítat b ze vztahu b = e - a 0.4.009 9:36:55 3 z 68
M - Příprava na. čtvrtletku pro třídu 4ODK b =5-4 =9 Hyperbola má rovnici x y = 6 9 Příklad 3: Hyperbola je daná rovnicí 9(x - 5) - 6(y + 3) = 576. Zjistěte souřadnice jejího středu, její výstřednost a délky jejích poloos. Rovnici 9(x - 5) - 6(y + 3) = 576 upravíme na tvar: (x - 5) - ( y + 3) = 64 36 Hyperbola má střed S[5; -3], hlavní osu rovnoběžnou s osou x, délky poloos a = 8, b = 6. Výstřednost hyperboly zjistíme ze vztahu e = a + b e = 64 + 36 = 00 e = 0 Hyperbola má výstřednost 0. Příklad 4: Hyperbola je daná rovnicí 9(x - 5) - 6(y + 3) = 576. Zjistěte souřadnice ohnisek hyperboly. Příklad budeme řešit posunutím soustavy souřadnic Oxy, v níž má střed S hyperboly souřadnice [5; -3]. Soustavu souřadnic Oxy posuneme tak, aby střed S byl totožný s počátkem soustavy souřadnic O x y. Mezi souřadnicemi bodu X[x; y] hyperboly v soustavě souřadnic Oxy a souřadnicemi [x ; y ] tohoto bodu v soustavě souřadnic O x y platí vztahy: x = x - m y = y - n Čísla m, n jsou souřadnice středu S hyperboly v soustavě souřadnic Oxy. Hyperbola má střed S[5; -3], hlavní osu rovnoběžnou s osou x, délky poloos a = 8, b = 6. Výstřednost hyperboly zjistíme ze vztahu e = a + b e = 64 + 36 = 00 e = 0 Známe tedy souřadnice ohnisek v soustavě souřadnic O x y : F[0; 0], F[-0; 0]. Zbývá vypočítat souřadnice ohnisek v soustavě Oxy. Ze vztahů x = x - m y = y - n dostaneme: x = x + m y = y + n Vypočítáme souřadnice ohnisek F, F v soustavě souřadnic Oxy s využitím vztahů x = x + m y = y + n F: [0 + 5; 0 + (-3)] = [5; -3] 0.4.009 9:36:55 3 z 68
M - Příprava na. čtvrtletku pro třídu 4ODK F: [-0 + 5; 0 + (-3)] = [-5; -3] Ohniska hyperboly 9(x - 5) - 6(y + 3) = 576 mají souřadnice [5; -3], [-5; -3]. ± Hyperbola - procvičovací příklady. 80. 790 3. 797 4. 795 5. 793 6. 800 7. 798 8. 79 9. 794 0. 796 ± Vzájemná poloha přímky a hyperboly Vzájemná poloha přímky a hyperboly 0.4.009 9:36:55 33 z 68
M - Příprava na. čtvrtletku pro třídu 4ODK 0.4.009 9:36:55 34 z 68
M - Příprava na. čtvrtletku pro třídu 4ODK 0.4.009 9:36:55 35 z 68
M - Příprava na. čtvrtletku pro třídu 4ODK Ukázkové příklady: Příklad : Zjistěte vzájemnou polohu přímky p: 0x - 3y - 3 = 0 a hyperboly o rovnici 4x - y = 64. Řešíme soustavu rovnic: 0x - 3y - 3 = 0 4x - y = 64 Z první rovnice vypočítáme y y = (/3). (0x - 3) a dosadíme do druhé rovnice: 4x - [(/3). (0x - 3)] = 64 x - 0x + 5 = 0 Daná přímka tedy není ani asymptotou hyperboly, ani přímkou s asymptotou hyperboly rovnoběžnou; daná přímka může být sečnou, tečnou nebo vnější přímkou hyperboly. Vypočítáme diskriminant kvadratické rovnice: D = (-0) - 4. 5 = 0 Kvadratická rovnice má tedy jediné řešení x = 5. Dosazením do rovnice y = (/3). (0x - 3) dostaneme y = 6. Přímka a hyperbola mají společný jediný bod T[5; 6]. Přímka je tečnou hyperboly. Příklad : Zjistěte vzájemnou polohu přímky p: x - y - = 0 a hyperboly o rovnici x - 4y = 7. Řešíme soustavu rovnic x-y-=0 x - 4y = 7 Z první rovnice vypočítáme y: 0.4.009 9:36:55 36 z 68
M - Příprava na. čtvrtletku pro třídu 4ODK y=x- a dosadíme do druhé rovnice: x - 4. (x - ) = 7 3x - 6x + 3 = 0 Rovnice je kvadratická, přímka tedy není ani asymptota hyperboly, ani není s asymptotou rovnoběžná; může být tečna, sečna nebo vnější přímka hyperboly. Vypočítáme diskriminant kvadratické rovnice: D = (-6) - 4. 3. 3 = 56-76 = -0 D < 0, kvadratická rovnice, a tedy ani daná soustava rovnic nemají řešení. Přímka p je tedy vnější přímkou hyperboly. Příklad 3: Zjistěte vzájemnou polohu přímky p: x - y + = 0 a hyperboly o rovnici x - 4y = 8. Řešíme soustavu rovnic: x - y + = 0 x - 4y = 8 Z první rovnice vypočítáme např. x: x = y - a dosadíme do druhé rovnice: (y - ) - 4y = 8 Po úpravách dostaneme: y + = 0 Vzniklá rovnice je lineární a má jediné řešení y = -0,5; dosazením do rovnice x = y - dostaneme x = -3. Přímka je rovnoběžná s asymptotou hyperboly a má s hyperbolou jediný společný bod A[-3; -0.5]. Ověřne ještě naše tvrzení, že daná přímka je rovnoběžná s asymptotou hyperboly o rovnici x - 4y = 8. Napišme rovnici této přímky ve směrnicovém tvaru: y = 0,5x + K napsání rovnice asymptoty dané hyperboly potřebujeme znát délky jejích poloos. Upravíme rovnici hyperboly na tvar: x y = 8 Odtud vidíme, že: a = Ö8 = Ö, b = Ö Rovnice asymptot této hyperboly jsou y = 0,5x, y = -0,5x Přímka daná rovnicí y = 0,5x + a asymptota hyperboly o rovnici y = 0,5x mají stejnou směrnici; jsou tedy rovnoběžné. Příklad 4: Zjistěte vzájemnou polohu přímky p: x = 3 - t, y = - + t a hyperboly o rovnici 9x - 4y = 36. 0.4.009 9:36:55 37 z 68
M - Příprava na. čtvrtletku pro třídu 4ODK Z parametrického vyjádření přímky x = 3 - t, y = - + t dosadíme za x a y do rovnice hyperboly: 9.(3 - t) - 4(- + t) = 36 5t - 46t + 4 = 0 Vypočítáme diskriminant kvadratické rovnice: D = (-46) - 4. 5. 4 = 96 D > 0, kvadratická rovnice má tedy dva různé reálné kořeny: t = 4/5, t =. Dosazením t = 4/5 do parametrického vyjádření přímky dostaneme x = -6/5, y = 36/5; dosazením t = do parametrického vyjádření přímky dostaneme x =, y = 0. Přímka má tedy s hyperbolou společné dva různé body A[-6/5; 36/5], B[; 0]. Přímka je sečnou hyperboly. ± Vzájemná poloha přímky a hyperboly - procvičovací příklady. 799. 80 3. 79 4. 803 ± Parabola Parabola 0.4.009 9:36:55 38 z 68
M - Příprava na. čtvrtletku pro třídu 4ODK Vrcholová rovnice paraboly s vrcholem v počátku souřadného systému 0.4.009 9:36:55 39 z 68
M - Příprava na. čtvrtletku pro třídu 4ODK Vrcholová rovnice paraboly s vrcholem v libovolném bodě 0.4.009 9:36:55 40 z 68
M - Příprava na. čtvrtletku pro třídu 4ODK Zobecnění (pro různé polohy vrcholu vzhledem k ohnisku): 0.4.009 9:36:55 4 z 68
M - Příprava na. čtvrtletku pro třídu 4ODK Obecná rovnice paraboly 0.4.009 9:36:55 4 z 68
M - Příprava na. čtvrtletku pro třídu 4ODK Vzájemná poloha bodu a paraboly 0.4.009 9:36:55 43 z 68
M - Příprava na. čtvrtletku pro třídu 4ODK Ukázkové příklady: Příklad : Parabola má rovnici y = 6x. Zjistěte souřadnice ohniska F paraboly, parametr p paraboly a napište rovnici řídící přímky d paraboly. Parabola y = 6x má vrchol v počátku soustavy souřadnic a ohnisko F na kladné poloose x; porovnáme-li její rovnici s rovnicí y = px, dostaneme: p = 6 p=3 Parabola má parametr 3. Ohnisko má souřadnice [0,5p; 0], to znamená F[,5; 0]. Řídící přímka d má rovnici x = -0,5p, dosadíme p = 3 a dostaneme d: x = -,5. 0.4.009 9:36:55 44 z 68
M - Příprava na. čtvrtletku pro třídu 4ODK Příklad : Napište rovnici paraboly, která má vrchol v počátku soustavy souřadnic a ohnisko F[0; -]. Ohnisko paraboly je na záporné poloose y, to znamená, že parabola má rovnici x = -py. Víme, že VF = 0,5p. VF = - - 0 = = 0,5p p=4 Dosadíme do rovnice x = -py: x = -. 4. y Parabola má rovnici x = -8y. Příklad 3: Napište rovnici paraboly, která má vrchol V[-; ], prochází bodem A[0; 3] a má osu rovnoběžnou s osou y. Bod A leží nad vrcholem V; parabola bude mít rovnici: (x - m) = p(y - n) Dosadíme do této rovnice souřadnice vrcholu V: (x + ) = p(y - ) Parametr p zjistíme dosazením souřadnic bodu A, který leží na parabole, do rovnice (x + ) = p(y - ) (0 + ) = p(3 - ) p= Dosadíme p = do rovnice (x + ) = p(y - ). Parabola má rovnici (x + ) = (y - ). Příklad 4: Zjistěte souřadnice ohniska paraboly z předcházejícího příkladu a rovnici její řídící přímky. Příklad budeme řešit posunutím soustavy souřadnic Oxy., ve které má parabola rovnici (x + ) = (y - ). Posuneme soustavu souřadnic tak, aby počátek O nové soustavy souřadnic O x y splynul s vrcholem paraboly V[-; ] a osa paraboly byla rovnoběžná s osou y; vrchol V má v O x y souřadnice [0; 0]. Daná parabola má v soustavě souřadnic O x y rovnici (x ) = y Ohnisko F má v O x y souřadnice [x F; y F] = [0; 0,5p] = [0; 0,5]. Řídící přímka paraboly má v O x y rovnici: y = -0,5p y = -0,5 S využitím vztahů 0.4.009 9:36:55 45 z 68
M - Příprava na. čtvrtletku pro třídu 4ODK x = x - m y = y - n napíšeme rovnici řídící přímky paraboly v soustavě souřadnic Oxy: y - = -0,5 y - 0,5 = 0 Ze vztahů x = x - m y = y - n dostaneme x = x + m y = y + n Vypočítáme souřadnice xf, yf ohniska F v soustavě souřadnic Oxy: xf = x F + m = 0 + (-) = - yf = y F + n = 0,5 + =,5 Parabola o rovnici (x + ) = (y - ) má ohnisko F[-;,5]; její řídící přímka má rovnici y - 0,5 = 0. ± Parabola - procvičovací příklady. 88. 87 3. 85 4. 85 5. 86 6. 805 0.4.009 9:36:55 46 z 68
M - Příprava na. čtvrtletku pro třídu 4ODK 7. 89 8. 86 9. 80 0. 843. 8. 83 3. 806 4. 83 5. 844 6. 8 7. 8 0.4.009 9:36:55 47 z 68
M - Příprava na. čtvrtletku pro třídu 4ODK 8. 87 9. 845 0. 88. 84. 84 3. 8 ± Vzájemná poloha přímky a paraboly Vzájemná poloha přímky a paraboly 0.4.009 9:36:55 48 z 68
M - Příprava na. čtvrtletku pro třídu 4ODK Ukázkové příklady: 0.4.009 9:36:55 49 z 68
M - Příprava na. čtvrtletku pro třídu 4ODK Příklad : Zjistěte vzájemnou polohu přímky p: 3x - 7y + 30 = 0 a paraboly o rovnici y = 9x. Řešíme soustavu rovnic: 3x - 7y + 30 = 0 y = 9x Z první rovnice vypočítáme x: x = (/3). (7y - 30) a dosadíme do druhé rovnice: y = 9. (/3). (7y - 30) y - y + 90 = 0 Vypočítáme diskriminant kvadratické rovnice: D = (-) - 4. 90 = 44-360 = 8 D > 0, kvadratická rovnice má tedy dva reálné různé kořeny y = 5, y = 6. Dosazením těchto kořenů do rovnice x = (/3). (7y - 30) dostaneme x = 5 a x = 4 Přímka p je sečnou paraboly, protíná ji v bodech A[5; 5], B[4; 6]. Příklad : Zjistěte vzájemnou polohu přímky p: x - y + 5 = 0 a paraboly o rovnici y = 0x. Řešíme soustavu rovnic: x - y + 5 = 0 y = 0x Z první rovnice vypočítáme x: x = 0,5(y - 5) a dosadíme za x do druhé rovnice: y = 0. 0,5. (y - 5) y - 0y + 5 = 0 Vypočítáme diskriminant kvadratické rovnice: D = 0-4. 5 = 0 D = 0, kvadratická rovnice má tedy jediný kořen y = 5. Dosazením y = 5 do rovnice x = 0,5(y - 5) dostaneme x =,5. Přímka p je tečnou paraboly, dotykový bod T má souřadnice [,5; 5]. Příklad 3: Zjistěte vzájemnou polohu přímky p: y - 3 = 0 a paraboly o rovnici y = -4x. Řešíme soustavu rovnic: 0.4.009 9:36:55 50 z 68
M - Příprava na. čtvrtletku pro třídu 4ODK y-3=0 y = -4x Z první rovnice dostaneme y = 3. Dosadíme do druhé rovnice: 3 = -4x x = -9/4 Přímka p má s parabolou společný jediný bod [-9/4; 3]; není však tečnou paraboly, protože je rovnoběžná s osou paraboly o: y = 0. Příklad 4: Zjistěte vzájemnou polohu přímky p: y - 4 = 0 a paraboly o rovnici x = y. Řešíme soustavu rovnic: y-4=0 x = y Z první rovnice dostaneme y = 4. Dosadíme do druhé rovnice x =.4 x =8 Tato rovnice má dvě řešení x = Ö, x = -Ö. Přímka p je sečnou paraboly, protíná parabolu v bodech A[Ö; 4], B[-Ö; 4]. ± Vzájemná poloha přímky a paraboly - procvičovací příklady. 84. 83 6 3. 847 4. 807 5. 80 6. 808 0.4.009 9:36:55 5 z 68
M - Příprava na. čtvrtletku pro třídu 4ODK 7. 840 8. 89 9. 833 0. 846. 839. 84 3. 83 4. 804 5. 835 6. 809 7. 837 8. 830 0.4.009 9:36:55 5 z 68
M - Příprava na. čtvrtletku pro třídu 4ODK 9. 834 0. 836. 838 ± Kombinatorika Kombinatorika Kombinatorika je odvětví matematiky, které se zabývá výpočty počtu možnosti, které mohou nastat v různých situacích; zabývá se například situacemi, kdy počítáme, kolik různých skupin můžeme vytvořit z několika prvků dané množiny. Můžeme při tom respektovat různá kritéria - můžeme například uvažovat situaci, že nám bude, nebo naopak nebude, záležet na pořadí prvků ve vytvořených skupinách, můžeme se předem rozhodnout, zda prvky povolíme opakovat, či ne. Podle toho v kombinatorice rozlišujeme tzv. variace (záleží na pořadí prvků ve skupině), kombinace (nezáleží na pořadí prvků ve skupině), případně permutace (zvláštní případ variací). Příkladem variací může být příklad, kdy máme množinu o třech prvcích, které tvoří číslice, 7, 9. V této množině chceme vytvořit skupiny číslic, které mohou tvořit všechna dvojciferná čísla. Pak je určitě každému jasné, že číslo 7 nebude totéž jako číslo 7. Pokud budeme uvažovat variace s opakováním, pak připustíme i možnost existence čísel, 77, 99. Pokud bychom chtěli z uvedených číslic vytvářet pouze trojciferná čísla, pak hovoříme o permutacích. I ty můžeme mít s opakováním prvků. S kombinacemi se setkáme například tehdy, půjdeme-li si vsadit Sportku. Budeme mít na výběr 49 čísel, z nichž musíme vsadit skupinu šesti. Je ale úplně jedno, v jakém pořadí je do tiketu zapíšeme, stejně tak nezáleží na tom, v jakém pořadí budou čísla tažena. Kombinace s opakováním bude opět znamenat to, že připustíme možnost opakování prvků. To už ale není případ uvedené Sportky. Počet prvků, z nichž budeme skupiny (podmnožiny) vytvářet, budeme označovat písmenem n. Počet prvků ve skupině, kterou z dané množiny vytvoříme, budeme označovat písmenem k. Zapisovat budeme: Vk(n)... čteme Ck(n)... čteme P(n)... čteme V k(n)... čteme C k(n)... čteme P (n)... čteme variace k-té třídy z n prvků kombinace k-té třídy z n prvků permutace z n prvků variace s opakováním k-té třídy z n prvků kombinace s opakováním k-té třídy z n prvků permutace s opakováním z n prvků Pozn.: Permutace z n prvků není vlastně nic jiného než variace n-té třídy z n prvků Zatím se budeme zabývat pouze kombinatorikou bez opakování prvků, proto v našich případech bude číslo n vždy číslo přirozené a číslo k vždy menší nebo rovno n. Při výpočtech příkladů v kombinatorice budeme potřebovat tzv. faktoriály. Zapisujeme n! a čteme "en faktoriál". Pro faktoriály platí: 0.4.009 9:36:55 53 z 68
M - Příprava na. čtvrtletku pro třídu 4ODK 0! =! =! =. = 3! = 3.. = 6 4! = 4. 3.. = 4 5! = 5. 4. 3.. = 0... n! = n. (n - ). (n - ). (n - 3)..... 3.. S faktoriály můžeme řešit příklady, upravovat (zjednodušovat) výrazy, případně i řešit rovnice. Příklad : Upravte následující výraz, je-li n libovolné přirozené číslo: n - 9 6 + (n + 3)! (n + )! (n + )! (n + 3)(. n - 3) + 6 - = n - 9 6 + = (n + 3)! (n + )! (n + )! (n + 3)(. n + )! (n + )! (n + )! n-3 6 n - 3 + 6 - (n + ) = + = = (n + )! (n + )! (n + )! (n + )! (n + )! Příklad : Upravte následující výraz, je-li n libovolné přirozené číslo: (n - )! + (3n + 3)! (n + )! (3n + 4)! (n - )! + (3n + 3)! = (n - )! + (3n + 3)! = (n + )! (3n + 4)! (n + ).n.(n - )! (3n + 4)(. 3n + 3)! 3n + 4 + n.(n + ) n + 4n + 4 = + = = = n.(n + ) (3n + 4 ) n.(n + )(. 3n + 4 ) n.(n + )(. 3n + 4 ) ( n + ) = n.(n + )(. 3n + 4 ) Příklad 3: Upravte nerovnici tak, aby její pravá strana byla rovna nule, a rozhodněte, zda je daná nerovnost pro libovolné přirozené n splněna. n! + (n + 3)! > (n + )! + (n + )! n! + (n + 3)! - (n + )! - (n + )! > 0 n! + (n +3). (n + ). (n + ). n! - (n + ). n! - (n + ). (n + ). n! > 0 n!. [ + (n +3). (n + ). (n + ) - (n + ) - (n + ). (n + )] > 0 3 n!. ( + n + 5n + 6n +n + 5n + 6 - n - - n - 3n - ) > 0 3 n!. ( n + 5n + 7n + 4) > 0 Protože n! je zaručeně kladné číslo, můžeme tímto výrazem nerovnici vydělit a znaménko nerovnosti se nezmění 0.4.009 9:36:55 54 z 68
M - Příprava na. čtvrtletku pro třídu 4ODK 3 n + 5n + 7n + 4 > 0 Levá strana je pro přirozené číslo n zaručeně kladná, proto nerovnice je splněna vždy. Při řešení příkladů z kombinatoriky budeme potřebovat i tzv. kombinační čísla. Zapisujeme ænö çç èk ø Čteme "en nad k". Platí: ænö n! çç = è k ø (n - k )!.k! Vlastnosti kombinačních čísel: ænö n! çç = =n è ø (n - )!.! ænö n! çç = = è n ø (n - n )!.n! ænö n! çç = = è 0 ø (n - 0 )!.0! æ0ö 0! çç = = è 0 ø (0-0 )!.0! ænö æn ö çç = çç k n k è ø è ø æ n ö æ n ö æ n + ö çç + çç = çç è k ø è k + ø è k + ø æn ö n - k ænö çç =.çç k + k + è ø èk ø Příklad 4: V přirozených číslech řešte rovnici: æ 7 ö æ x + ö æ 5 ö æ x + ö æ xö çç.çç - çç.çç = 0.çç è ø è x ø è 3 ø è x - ø è0ø æ 7 ö æ x + ö æ 5 ö æ x + ö æ xö çç.çç - çç.çç = 0.çç è ø è x ø è 3 ø è x - ø è0ø 7. (x + )!!.x! 5! ( x + )!. = 0.!.3!!.( x - )! 7.( x + )(. x + ) 5.4 ( x + ).x. = 0 0.4.009 9:36:55 55 z 68
M - Příprava na. čtvrtletku pro třídu 4ODK 4x + 4x + 8-0x - 0x = 40-6x + x - = 0 3x - x + 6 = 0 x = 3 x = /3 - nevyhovuje (není přirozené číslo) Rovnice má tedy jediné řešení, a to x = 3. ± Kombinatorika - procvičovací příklady. 9 3. 3 43 3. 08 4. 5. 07 0 6. 8 0.4.009 9:36:55 56 z 68
M - Příprava na. čtvrtletku pro třídu 4ODK 7. 5 4 8. 0 9. 05 0. 4 0,67. 04 0. 6 0 3. 4 0.4.009 9:36:55 7 57 z 68
M - Příprava na. čtvrtletku pro třídu 4ODK 4. 0 3 5. 7 6. 5 7. 5 0 8. 09 9. 06 0. 0. 0.4.009 9:36:55 58 z 68
M - Příprava na. čtvrtletku pro třídu 4ODK. 3 0 ± Kombinace bez opakování Kombinace bez opakování prvků Mějme množinu M o n různých prvcích (n je přirozené číslo) a dále je dáno přirozené číslo k n. Pak skupina, která obsahuje k různých prvků množiny M sestavených v libovolném pořadí se nazývá kombinace k-té třídy z n prvků. Budeme zapisovat: Ck(n) Pro výpočet kombinací bez opakování prvků můžeme snadno použít kombinační čísla. Platí totiž: ænö n! Ck (n ) = çç = è k ø (n - k )!.k! Pozn.: U kombinací bez opakování prvků musí být číslo k vždy menší nebo rovno číslu n. Příklad : Určete výčtem všechny kombinace druhé třídy z prvků 3; 5; 7; 9.. způsob: Úvahou {3; 5} {3; 7} {3; 9} {5; 7} {5; 9} {7; 9}. způsob: Pomocí kombinatoriky n=4 k= C (4) =? -------------------- ænö n! Ck (n ) = çç = è k ø (n - k )!.k! æ 4ö 4! C (4 ) = çç = è ø (4 - )!.! C (4) = 6 Celkem můžeme vytvořit 6 různých skupin. Příklad : Určete, kolika způsoby může shromáždění 30 lidí zvolit ze svého středu tříčlenný výbor. 0.4.009 9:36:55 59 z 68
M - Příprava na. čtvrtletku pro třídu 4ODK n = 30 k=3 C3 (30) =? -------------------- ænö n! Ck (n ) = çç = è k ø (n - k )!.k! æ 30 ö 30! C3 (30 ) = çç = è 3 ø (30-3)!.3! C3 (30) = 4 060 Tříčlenný výbor může shromáždění zvolit celkem 4 060 způsoby. Příklad 3: K účasti na volejbalovém turnaji se přihlásilo šest družstev. Určete počet všech utkání, hraje-li se turnaj systémem každý s každým. n=6 k= C (6) =? -------------------- ænö n! Ck (n ) = çç = è k ø (n - k )!.k! æ6ö 6! C (6 ) = çç = è ø (6 - )!.! C (6) = 5 Počet utkání je 5. Příklad 4: Určete, kolik přímek je dáno deseti body, jestliže: a) žádné tři z nich neleží v přímce b) právě čtyři z nich leží v přímce ad a) n = 0 k= C (0) =? -------------------- ænö n! Ck (n ) = çç = è k ø (n - k )!.k! æ0 ö 0! C (0) = çç = è ø (0 - )!.! C (0) = 45 Pokud žádné tři body neleží v přímce, pak je deseti body určeno celkem 45 přímek. 0.4.009 9:36:55 60 z 68
M - Příprava na. čtvrtletku pro třídu 4ODK ad b) n = 0 k= n = 4 p =? (celkový počet) -------------------- æn ö æn ö p = Ck (n ) - Ck (n ) + = çç - çç + = èk ø èk ø n! n! = + (n - k )!.k! (n - k )!.k! 0! 4! p= + (0 - )!.! (4 - )!.! p = 40 Deseti body, z nichž právě čtyři leží v jedné přímce, je určeno 40 různých přímek. Příklad 5: Určete, kolika způsoby může utvořit patnáct chlapců a deset dívek taneční pár. Od celkového počtu dvojic musíme odečíst dvojice vytvořené jen z chlapců a dvojice vytvořené jen z dívek. n = 5 + 0 = 5 k= n = 5 n3 = 0 p =? (celkový počet) -------------------- æn ö æn ö æn ö p = Ck (n ) - Ck (n ) - Ck (n3 ) = çç - çç - çç 3 = èk ø èk ø èk ø n3! n! n! = (n - k )!.k! (n - k )!.k! (n3 - k )!.k! 5! 5! 0! p= (5 - )!.! (5 - )!.! (0 - )!.! p = 50 Celkem lze vytvořit 50 různých tanečních párů. ± Kombinace bez opakování - procvičovací příklady 0.4.009 9:36:55 6 z 68
M - Příprava na. čtvrtletku pro třídu 4ODK. 9 0. 44 4 3. 4 33 380 4. 50 3 73 93 5. 46 59 390 6. 34 7. 45 35 05 675 8. 39 33 380 9. 3 6 0. 3 0.4.009 9:36:55 8 6 z 68
M - Příprava na. čtvrtletku pro třídu 4ODK. 49 900. 47 3. 33 5 4. 48 8 5. 4 4 6 6. 38 7. 37 98 000 8. 36 8 9. 35 08 0. 40 4 55. 30 35. 43 0.4.009 9:36:55 455 63 z 68
M - Příprava na. čtvrtletku pro třídu 4ODK ± Variace bez opakování prvků Variace bez opakování prvků Variace bez opakování prvků jsou skupiny prvků (podmnožiny) nějaké základní množiny, přičemž v těchto vytvořených podmnožinách záleží na pořadí prvků. Vzhledem k tomu budeme u variací spíše než pojem podmnožiny používat pojem uspořádané k-tice. Platí tedy definice: Variace k-té třídy z n prvků je každá uspořádaná k-tice sestavená pouze z těchto n prvků tak, že každý je v ní obsažen nejvýše jednou. Variace k-té třídy z n prvků zapisujeme Vk (n) Pro výpočet variací k-té třídy z n prvků platí vzorec: Vk (n ) = n! (n - k )! Pomocí kombinačních čísel můžeme pro výpočet variací použít i vzorec následující: ænö Vk (n ) = çç.k! èk ø Příklad : Napište všechny variace třetí třídy bez opakování z prvků 3, 5, 7, 9. Variace představují uspořádané trojice vytvořené ze zadaných prvků. Můžeme je tedy vypsat: [3; 5; 7], [3; 5; 9], [3; 7; 5], [3; 7; 9], [3; 9; 5], [3; 9; 7], [5; 3; 7], [5; 3; 9], [5; 7; 3], [5; 7; 9], [5; 9; 3], [5; 9; 7], [7; 3; 5], [7; 3; 9], [7; 5; 3], [7; 5; 9], [7; 9; 3], [7; 9; 5], [9; 3; 5], [9; 3; 7], [9; 5; 3], [9; 5; 7], [9; 7; 3], [9; 7; 5] V praxi nás ale většinou nezajímá výčet těchto uspořádaných k-tic, ale pouze jejich počet. Pokud bychom v zadaném příkladu chtěli spočítat počet vzniklých k-tic, pak můžeme použít následující postup: n=4 k=3 V3(4) =? ------------------- n! (n - k )! 4! V3 (4 ) = = 4!= 4 (4-3)! Vk (n ) = Celkový počet skupin, které je možno vytvořit, je 4. Příklad : Určete, kolika způsoby může shromáždění 30 lidí zvolit ze svého středu předsedu, místopředsedu a zapisovatele. 0.4.009 9:36:55 64 z 68
M - Příprava na. čtvrtletku pro třídu 4ODK Protože v každé zvolené trojici záleží na tom, která ze zvolených osob je předsedou, která místopředsedou a která zapisovatelem, jde o uspořádané trojice; protože každá osoba z daného shromáždění je v této trojici nejvýše jednou, jsou tyto uspořádané trojice variacetřetí třídy ze třiceti prvků. Platí tedy: n = 30 k=3 V3(30) =? ------------------- n! (n - k )! 30! V3 (30 ) = = 30.9.8 = 4360 (30-3)! Vk (n ) = Shromáždění může zvolit výbor celkem 4 360 způsoby. Příklad 3: Určete počet všech přirozených čísel menších než 500, v jejichž zápisu jsou pouze cifry 4, 5, 6 a 7, a to každá nejvýše jednou. Přirozená čísla menší než 500 mohou být jenom jednociferná, dvojciferná nebo trojciferná. U trojciferných máme navíc už omezení, že nesmí začínat ciframi 5, 6 a 7. n=4 k = k = k3 = 3 p =?... celkový počet čísel ------------------------------------p = V(4) + V(4) + V3(4)/4 æ 4ö æ 4ö æ 4ö p = çç.!+çç.!+çç.3!: 4 = 4 + + 6 = è ø è ø è 3 ø Čísel splňujících dané podmínky je celkem. ± Variace bez opakování prvků - procvičovací příklady. 54 43 680. 5 5 3. 56 0.4.009 9:36:55 08 65 z 68
M - Příprava na. čtvrtletku pro třídu 4ODK 4. 55 60 5. 53 6. 57 6 7. 5 33 640 ± Permutace bez opakování prvků Permutace bez opakování prvků Permutace jsou vlastně zvláštní případ variací. Jedná se tedy opět o skupiny (podmnožiny) vytvořené z jisté základní množiny, přičemž opět záleží na pořadí prvků ve skupinách. Na rozdíl od variací ale vytváříme skupiny vždy ze všech prvků obsažených v základní množině. Platí tedy definice: Permutace z n prvků je každá variace n-té třídy z těchto n prvků. Permutace z n prvků zapisujeme: P(n) Pro výpočet počtu permutací používáme vzorec: P(n) = n! Příklad : Vypište všechna možná pořadí trojčlenného zástupu, který mohou utvořit Petr, Jirka a Karel. Jde o výčet všech uspořádaných trojic, v nichž je každý ze tří chlapců právě jednou, tj. o výčet všech permutací tří prvků; tyto prvky označíme P, J, K podle počátečních písmen jmen chlapců. Jsou právě tato pořadí: [P; J; K], [P; K; J], [J; P; K], [J; K; P], [K; P; J], [K; J; P] V praxi nás opět, podobně jako u variací, většinou nezajímá výčet skupin, ale jejich celkový počet. Kdyby v daném příkladu bylo zadáno to, mohli bychom postupovat podle následujícího postupu: n=3 P(3) =? -------------P(n) = n! P(3) = 3! = 6 0.4.009 9:36:55 66 z 68
M - Příprava na. čtvrtletku pro třídu 4ODK Celkem si tedy žáci mohou do zástupu stoupnout šesti způsoby. Příklad : Určete počet všech pěticiferných přirozených čísel, v jejichž dekadickém zápisu je každá z číslic 0,, 3, 4 a 7. Kdyby mezi zadanými číslicemi nebyla číslice nula, pak by se jednalo o běžný výpočet permutace z pěti prvků bez opakování. Výsledné číslo, které by ale začínalo číslicí nula, by nebylo pěticeferné, proto musíme tato čísla vyřadit. Pro určení počtu čísel, která musíme vyřadit, použijeme opět permutace. Pokud si totiž na první pozici pevně postavíme nulu, pak zbývající čtyři pozice musíme obsadit zbylými čtyřmi číslicemi. Počítáme tedy permutace ze čtyř prvků. n = 5 n = 4 p =?... celkový počet ------------------------------p = n! - n! = 5! - 4! = 0-4 = 96 Hledaný počet všech pěticiferných přirozených čísel požadované vlastnosti je tedy 96. Příklad 3: Na schůzi má vystoupit pět řečníků A, B, C, D a E. Určete: a) kolik je možností pro pořadí jejich proslovů b) kolik je všech pořadí jejich proslovů takových, že řečník B mluví ihned po A c) kolik je všech pořadí jejich proslovů takových, že řečník B mluví po A ad a) n=5 p=? -------------p = P(5) = 5! = 0 Celkový počet možností pro pořadí proslovů je 0. ad b) Pokud má v sestavě existovat pořadí AB, pak můžeme tuto sestavu nahradit pomyslně jediným prvkem a počítat tedy vlastně permutace ze čtyř prvků n=4 p=? --------------p = P(4) = 4! = 4 Celkový počet možností pro pořadí proslovů je 4. ad c) Ke každému pořadí proslovů, v němž B mluví po A, existuje pořadí, v němž A mluví po B, přičemž ostatní proslovy "zůstávají na místě". Vyhovujících je tedy pouze polovina ze všech možných proslovů. n=5 p=? --------------p = p(5)/ = 5!/ = 60 0.4.009 9:36:55 67 z 68
M - Příprava na. čtvrtletku pro třídu 4ODK Celkový počet možností pro pořadí proslovů je tedy 60. ± Permutace bez opakování prvků - procvičovací příklady. 7 50. 8 7 3. 6 0.4.009 9:36:55 36 68 z 68
M - Příprava na. čtvrtletku pro třídu 4ODK Obsah Kuželosečky Kružnice Kružnice - procvičovací příklady Vzájemná poloha přímky a kružnice Vzájemná poloha přímky a kružnice - procvičovací příklady Elipsa Elipsa - procvičovací příklady Vzájemná poloha přímky a elipsy Vzájemná poloha přímky a elipsy - procvičovací příklady Hyperbola Hyperbola - procvičovací příklady Vzájemná poloha přímky a hyperboly Vzájemná poloha přímky a hyperboly - procvičovací příklady Parabola Parabola - procvičovací příklady Vzájemná poloha přímky a paraboly Vzájemná poloha přímky a paraboly - procvičovací příklady Kombinatorika Kombinatorika - procvičovací příklady Kombinace bez opakování Kombinace bez opakování - procvičovací příklady Variace bez opakování prvků Variace bez opakování prvků - procvičovací příklady Permutace bez opakování prvků Permutace bez opakování prvků - procvičovací příklady 0.4.009 9:36:55 6 7 4 3 3 33 33 38 38 46 48 5 53 56 59 6 64 65 66 68