443 Další trigonometriké věty Předpoklady: 440 Věty, které ojevíme v této hodině, mohou usnadnit některé výpočty, ale je možné se ez nih (na rozdíl od kosinové a sinové věty) oejít Pedagogiká poznámka: Následujíí dva příklady třída počítá najednou rozdělená do dvou skupin Př : Urči osah trojúhelníku, jestliže platí: a) = 4 ; = 0,3 ; α = 60 57 ', ) = 4 ; = 0,3 ; α = 9 3' Nejdříve odvoď oený vzore a pak dosaď a) ) Osah trojúhelníka výšku v v S = určíme Osah trojúhelníka výšku v v S = určíme v v 0 Z pravoúhlého trojúhelníka 0 : v sinα = v = sinα v sinα S = = = sinα Určíme osah: S = sinα = 0,3 4 sin 60 57 ' = 63 0 Z pravoúhlého trojúhelníka 0 : v sin ( π α ) = v = sin ( π α ) v sin ( π α ) S = = = sin ( π α ) Určíme osah: S = sin ( π α ) = = 0,3 4 sin ( 80 9 3' ) = 63
Máme podoné vzore a stejné výsledky asi to není náhoda 60 57' 9 3' 80 sin 60 57' = sin 80 9 3' + = ( ) Naví: ( ) ( ) sin π α = sinπ osα osπ sinα = 0 osα sinα = sinα S = sin ( π α ) = sinα v oou případeh jsme odvodili stejný vzore Vzore platí pro všehny ostroúhlé i tupoúhlé trojúhelníky Př : Rozhodni, zda vzore z předhozího příkladu platí i pro trojúhelník s pravým úhlem α V pravoúhlém trojúhelníku platí v = S = S = sinα = sin 90 = = Vztah platí i pro pravoúhlý trojúhelník Tedy pro každý trojúhelník platí vzore S = sinα Př 3: Přepiš vzore pro výpočet osahu i po další kominae stran a úhlů Vzore S = sinα umožňuje určit osah trojúhelníku pomoí dvou stran a úhlu mezi nimi další možnosti dvou stan a úhlu mezi nimi jsou S = a sin β a S = asinγ Pro každý trojúhelník, jehož vnitřní úhly mají velikosti α, β, γ a strany délky a,, platí : S = asin γ = sinα = asin β Př 4: V trojúhelníku je dáno: = 6,7 ; β = 38 ; γ = 73 Urči jeho osah Pokud heme použít předhozí vzore pro osah trojúhelníka, musíme určit dvě strany a úhel mezi nimi Snadno můžeme dopočíst stranu (sinová věta): sinγ sin 73 = = = 6,7 = 0,4 sin β sin γ sin β sin 38 Potřeujeme úhel mezi stranami a, tedy úhel α
( ) ( ) α + β + γ = 80 α = 80 β + γ = 80 38 + 73 = 69 Dosazení: S = sinα = 6,7 0, 4 sin 69 = 3,5 Osah trojúhelníka je 3,5 Př 5: Je dán kvádr DEFGH o délkáh stran,3,4 Urči osah trojúhelníku EG Nakreslíme si kvádr, na označení v tomto případě nezáleží (strany trojúhelníka jsou stěnové úhlopříčky všeh druhů odélníků, které se na kvádru vyskytují) Zvolíme například toto: = 3 ; = ; E = 4 H G E F D Pomoí Pythagorovy věty určíme délky jednotlivýh stran trojúhelníku EG Strana E (přepona v pravoúhlém trojúhelníku E): E = + E = 3 + 4 = 5 Strana G (přepona v pravoúhlém trojúhelníku G): G = + G = + 4 = 5 Strana EG (přepona v pravoúhlém trojúhelníku EGH): EG = GH + EH = 3 + = 3 Teď známe všehny strany v řešeném trojúhelníku: E G Pokud heme použít vzore musíme vypočíst jeden z úhlů (například β ) pomoí kosinové ( ) 5 + 5 3 E + G EG věty: os β = = = 0, 755 E G 5 5 Dosadíme do vzore pro výpočet osahu: β = 44 9' 3
S = E G sin β = 5 5 sin 44 9' = 7,8 Osah trojúhelníka EG je 7,8 Př 6: Najdi v taulkáh vzore, který y umožnil spočítat osah trojúhelníku EG (z předhozího příkladu) přímo z délek jeho stran ez určování velikosti vnitřního úhlu Pomoí nalezeného vzore osah vypočti a porovnej výsledky Vzore (Heronův) je v části se vzori v kapitole o planimetrii a goniometrii na straně 35 a + + v tomto znění: S = s ( s a)( s )( s ), s = a + + 5 + 5 + 3 Určíme s: s = = 6,54 ( )( )( ) ( )( )( ) S = s s a s s = 6,54 6,54 5 6, 54 5 6,54 3 = 7,8 Oa postupy vedou ke stejnému výsledku Kromě vzorů pro osah trojúhelníka existují i vzore po výčet poloměru kružnie opsané a kružnie vepsané Př 7: V trojúhelníku známe: = a γ = 66 Urči poloměr kružnie trojúhelníku opsané Nakreslíme orázek situae Střed kružnie opsané leží na průsečíku os stran r S S k Poloměr kružni opsané spočteme z trojúhelníku SS Je pravoúhlý a platí: S = r ; S = ; SS = γ (je polovinou S, který je kvůli větě o ovodovém a středovém úhlu dvojnásokem úhlu γ ) S Platí sin γ = = = r = S r r sinγ r = = = 6,6 sinγ sin 66 4
Dodatek: Je doré si uvědomit, že trojúhelník není v předhozím příkladě zela zadaný Známe jen dvě velikosti, vrhol y mohl ležet kdekoliv na delším olouku kružnie k Trojúhelník y pak sie vypadal jinak, ale poloměr kružnie opsané y se nezměnil Př 8: Napiš další možné varianty vzore odvozeného v předhozím příkladě Poloměr kružnie opsané jsme počítali z úhlu a protější strany, platí tedy a r = = = sinα sin β sin γ Př 9: Najdi v taulkáh další vzore pro výpočet poloměrů kružnie opsané a vepsané Vzore jsou v části se vzori v kapitole o planimetrii a goniometrii na straně 35 v tomto znění: a poloměr kružnie opsané : r =, 4S S a + + poloměr kružnie vepsané: ρ =, kde s = s a Dodatek: Předhozí vzore se někdy uvádějí ve tvareh: S =, S = ρs jako vzore pro 4r výpočet osahu trojúhelníku Př 0: Urči ovod trojúhelníku, který je vepsán do kružnie o poloměru 7 m, jestliže jeho vnitřní úhly mají velikosti: α = 67 ; β = 8 Na první pohled neřešitelné Hledáme nějaký vztah mezi poloměrem kružnie opsané a a velikostí strany r = a = r sinα sinα Podoně můžeme vyjádřit i ostatní strany: = r sin β ; = r sin γ o = a + + = r sinα + r sin β + r sin γ = r ( sinα + sin β + sin γ ) Určíme úhel γ : α β γ γ ( α β ) ( ) o = r ( α + β + γ ) = ( + + ) = + + = 80 = 80 + = 80 67 + 8 = 3 sin sin sin 7 sin 67 sin 8 sin 3 34, Trojúhelník má ovod 34, m Př : Petáková: strana 50/vičení 96 strana 5/vičení 00 strana 5/vičení 05 Shrnutí: 5