Konzultace z předmětu MATEMATIKA pro druhý ročník dálkového studia

Transkript

1 - - Konzultace z předmětu MATEMATIKA pro druhý ročník dálkového studia ) Pojem funkce, základní pojmy ) Grafy funkcí, druhy funkcí ) Druhy funkcí lineární, lomená ) Kvadratická funkce, mocninné funkce 5) Exponenciální funkce 6) Logaritmická funkce 7) Vlastnosti logaritmů, pravidla pro počítání s logaritmy 8) Exponenciální rovnice 9) Logaritmické rovnice 0) Doplnění, shrnutí a opakování učiva. pololetí ) Řešení pravoúhlého trojúhelníka ) Goniometrické funkce ostrého úhlu ) Obecný úhel, oblouková a stupňová míra ) Goniometrické funkce v oboru reálných čísel 5) Úpravy goniometrických výrazů 6) Goniometrické rovnice a jejich řešení 7) Geometrické rovnice metoda substituce 8) Řešení obecného trojúhelníka sinová věta 9) Řešení obecného trojúhelníka kosinová věta 0) Doplnění, shrnutí a opakování učiva. pololetí Vyučuje: RNDr. Věra Schuhová Zkoušení z matematiky na konci každého pololetí se skládá z písemného testu doba trvání asi 5 minut - a následného ústního zkoušení. Absolvování písemného testu je nutnou podmínkou k tomu, aby student mohl vykonat ústní zkoušku, k níž se dostaví osobně a přinese si studijní průkaz. Teprve po jejím absolvování může být klasifikován z matematiky. Doporučená literatura (pro celé studium): ( ) MATEMATIKA - přehled středoškolského studia, edice Maturita(N. Kubešová, E.Cibulková) ( ) ODMATURUJ Z MATEMATIKY nakladatelství Didaktik. díl rozsáhleji je zde teorie, pěkné, doporučuji hlavně pro ty, kteří uvažují o maturitě z matematiky ( ) Matematika v kostce pro střední školy (Z. Vošický) ( ) Matematika pro SOŠ a studijní obory SOU (kol. autorů-odvárko, Calda,..). 6. část, určeno spíše pro denní studium ( 5 ) MFCH Tabulky pro střední školy ( 6 ) Matematika pro netechnické obory SOU.. díl kolektiv autorů dále existují různé sbírky úloh k probírané tematice, řešené příklady i teorii lze hledat i na internetu (matematika po lopatě, matematika on line atd.)

2 - -. pololetí Funkce je předpis, který ke každému číslu x (argument neboli nezávisle proměnná) z definičního oboru funkce D(f) přiřazuje jediné číslo y (závisle proměnná neboli hodnota funkce) z množiny funkčních hodnot H(f). Funkce se zadává rovnicí (funkčním předpisem), tabulkou, grafem x y Sloupce v tabulce jsou souřadnice jednotlivých bodů grafu, x si volíme, y počítáme podle rovnice funkce. Znalost vynesení bodů do grafu = základní škola ( viz také doporučená literatura) Graf funkce je množina bodů [x;y], kde y = f(x). Grafy se znázorňují v pravoúhlé soustavě souřadnic, osa x je rovnoběžná, orientovaná zleva doprava, osa y je svislá, orientovaná zdola nahoru. Průsečík je počátek souřadnic [0;0]. Osy rozdělují rovinu na čtyři kvadranty číslované proti směru hodinových ručiček II I III IV Př. Zkuste si určit znaménka bodů v jednotlivých kvadrantech Lineární funkce je dána rovnicí y = ax + b, kde a, b R, a 0, D(f) = R. Grafem je přímka, která neprochází (pro b 0) počátkem souřadnic a není rovnoběžná s osou y. Pro b = 0 přímka prochází počátkem ( funkce se pak nazývá přímá úměrnost). Pokud je přímka rovnoběžná s osou x ve vzdálenosti b, jedná se o konstantní funkci y = b (a = 0, b 0). Osa x má rovnici y = 0, osa y má rovnici x = 0 Poznámka: přímka rovnoběžná s osou y by nemohla být grafem žádné funkce, protože by nesplňovala obecnou definici funkce Grafem lineární funkce je tedy přímka, k sestrojení přímky stačí dva různé body Koeficient a určuje směr přímky, koeficient b určuje úsek na ose y, kde přímka protíná osu y Je-li a > 0, je přímka rostoucí ( směrový úhel je ostrý ), je-li a < 0, je přímka klesající (směrový úhel je tupý) Příklady: ) Graf lineární funkce prochází body A [-;], B[;-]. Zapište rovnici této funkce Řešení: y = ax + b = -a + b soustava rovnic, druhou vynásobíme, sečteme, - = a + b/. dostaneme - = b b = -, dosadíme do druhé z rovnic a spočítáme a = - funkce má tedy rovnici y = -x - ) Funkce má předpis y = x +. Vypočítejte chybějící souřadnici bodu D[-; ], leží-li na grafu této funkce. Řešení: dosadíme do rovnice za x a spočítáme y, tj. y = ( ) + = + = ) Funkce je určena rovnicí y = x. Vypočítejte zbývající souřadnice bodů A [-; ], B[ ;0]. Řešení: dosazením za x: y =.(-) = -8 pro bod A, dosazením za y: 0 = x a výpočtem dostaneme x = pro bod B )Funkce má rovnici y = -x + 9. Vypočítej souřadnice průsečíků této funkce se souřadnými osami.

3 - - řešení: každý průsečík s osou x má vždy druhou souřadnici rovnou 0, každý průsečík s osou y má vždy první souřadnici rovnou 0, proto podle toho dosadíme a spočítáme, tj. bod X: 0 = -x + 9 x = X[;0] bod Y: y = y = 9 Y[0;9] Další příklady: Neúplně určená rovnice lineární funkce má tvar y = ax +6. Určete průsečíky s osami souřadnic, víte-li, že graf prochází bodem A[;-6] (nejprve spočítat a, pak podle př. ) Vypočítejte souřadnice průsečíku dvou lineárních funkcí daných rovnicemi y = x + 5, y = x ( řešíme jako soustavu dvou lineárních rovnic o dvou neznámých např. sčítací metodou nebo graficky ) atd. Kvadratická funkce je dána rovnicí y = ax + bx + c, kde a,b,c jsou libovolná reálná čísla, a 0. Grafem je parabola, jejíž osa je rovnoběžná s osou y. Je-li a > 0, je parabola tvaru U a y-ová souřadnice vrcholu paraboly je minimem funkce, je-li a < 0, je parabola tvaru I a y-ová souřadnice jejího vrcholu je maximem. Souřadnice vrcholu paraboly se dají spočítat: b b ac V = [ -, ]. (grafy viz doporučená literatura) a a Zkuste si načrtnout parabolu a popsat, kdy je rostoucí a kdy je klesající Jednoduchá kvadratická funkce je dána rovnicí y = ax, její vrchol leží v počátku souřadnic, tj. má souřadnice V = [0, 0]. Kvadratické funkce dané rovnicí y = ax + c mají vrchol posunutý po ose y vzhledem ke grafu funkce y = ax, tj. V = [0, c]. Hledat průsečíky grafu kvadratické funkce s vodorovnou osou x je vlastně totéž jako řešit kvadratické rovnice ( látka. ročníku /. pololetí - zopakovat ) Průsečíky mohou být buď dva (osa x je sečnou paraboly) nebo jeden ( osa x je tečnou) nebo nebo žádný (osa x parabolu vůbec neprotne) Průsečík s osou y je vždy jeden: Y= [0;c] Příklady užití KF: obsah kruhu, objem válce, dráha volného pádu, závislost výkonu na proudu Příklad: ) Kvadratická funkce je dána rovnicí y = x x. Určete souřadnice jejího vrcholu V, průsečíků s osou x X, X a s osou y Y, sestrojte tabulku a načrtněte a popište její graf b 6 řešení: V =, = = [, ], X [ ; 0], X [ - ; 0], Y[0; - ] x -x - = 0 D = b ac = (-) -..(-) = + = 6, D je kladný, existují tedy dva průsečíky ± 6 6 s osou x: x = = = nebo = jsou jejich x-ové souřadnice Je-li x = 0 (průsečík s osou y), dosadíme do rovnice a y = - Náčrt grafu na konzultaci Další příklady pro studenty: ) y = x + 9x + ) y = x x + 0 ) y = -x - x + 0 5) y = x 6) y = x + x +

4 - - 7) y = x x + 8) Porovnej grafy y = x, y = x, y = x + Exponenciální a logaritmická funkce ( ) str. 70 kap. 6.6 str. 7 kap. 6.8 ( ) str kap. 8 ( ) str. 8 kap. 5.6 ( ). část - str. kap..6,.8,.9,.0 Definice: Exponenciální funkce je dána rovnicí y = a x, kde a > 0, a, a R. D(f) = R, H(f) = R + = (0, + ). Grafem této funkce je křivka zvaná exponenciála. Vlastnosti: ) Exponenciální křivka má různý průběh pro a > a pro > a > 0 (grafy viz doporučená literatura) ) Všechny exponenciální křivky procházejí jedním bodem, a to bodem [0;] ) Pro a > je exponenciální funkce rostoucí v celém D(f) ) Pro > a > 0 je funkce klesající v celém D(f) 5) Funkce je definována pro všechna reálná čísla, ale nabývá vždy pouze kladných hodnot, tj. celý graf leží nad osou x 6) Pro všechna a > platí: je-li x > 0, je a x >, je-li x < 0, je a x <, je-li x = 0, je a x = 7) Pro > a > 0 platí: je-li x > 0, je a x <, je-li x < 0, je a x >, je-li x = 0, je a x = 8) Exponenciální funkce je spojitá v celém D(f) 9) Je to funkce prostá, tj. pro všechna x D(f) platí: je-li x x, je také f(x ) f(x ). Existuje k ní tedy inverzní funkce zvaná logaritmická. 0) Exponenciální funkce není sudá ani lichá. ) Je to funkce omezená zdola osou x, tj. hodnotou 0 neboli pro všechna x D(f) platí, že f(x)> 0 ) x Pro všechna přípustná a R platí: je-li a x = a, je to právě když x = x důležité pro řešení exponenciálních rovnic. Definice: Logaritmická funkce je dána rovnicí y = log a x, kde a > 0, a, a R. D(f) = R +, H(f) = R Funkční hodnoty se nazývají logaritmy. Grafem této funkce je logaritmická křivka. Vlastnosti: ) Logaritmická křivka má různý průběh pro a > a pro > a > 0 (grafy viz doporučená literatura) ) Všechny logaritmické křivky procházejí jedním bodem, a to bodem [;0] ) Pro a > je funkce rostoucí v celém D(f).

5 - 5 - ) Pro > a > 0 je funkce klesající v celém D(f). 5) Funkce je definována pouze pro kladné hodnoty x, ale nabývá všech reálných hodnot, tj. celý graf leží vpravo od osy y. 6) Logaritmická funkce je spojitá v celém D(f). 7) Je to funkce prostá a tedy k ní existuje inverzní funkce zvaná exponenciální. 8) Funkce není sudá ani lichá. 9) Funkce není omezená ani zdola ani shora. 0) Pro všechna přípustná a R platí: je-li log a x = log a x, je to právě když x = x. Pro všechna přípustná a, x, y tedy platí: y = log a x právě když a y = x Pravidla pro počítání s logaritmy ( platí pro všechny přípustné hodnoty a, x, y, n) log a = 0 log a a = log a xy = log a x + log a x log a x n = n log a x log a y x = loga x - log a y log a n x = n loga x pravidlo pro převod logaritmu o jiném základu: log b a = log log c c a b Logaritmus, jehož základ a = 0, se nazývá dekadický a je zvykem vynechat v zápisu základ, tj. zapisujeme pouze y = log x. Poznámka: tzv. přirozený logaritmus je ten, který má za základ Eulerovo číslo ln a ( e =,78) značí se ln x možný přepis log a = ln0 Některé výpočty logaritmů: log = 5 protože 5 = log 7 = protože = 7 log 0,0 = = 0,0 log 6 = = 6 log 5 65 = 5 = 65 log 6 = = 6 log = = 6 log (- 000) není řešení log x = 5 x = 5 = log x = x = 8 protože = 8 log x = x = = 8 log x = x = ( ) = 6 log x = - x = - = 9 log x = x = ( ) - = 6 log x = 0 x = 0 0 = log a 000 = a = 0 protože 0 = 000 log - x = neexistuje (-< 0) log a 0,000 = - a = 0 protože 0 - = 0,000 atd. Příklady: Zlogaritmujte výrazy: - použijte pravidla pro počítání s logaritmy

6 - 6 - xy log = [log x + log y log 5log z] 5 z 5x y log = [log 5 + log x + log y log z] z log x ( x + y y) 000x y log ( x + y) = [log x + log (x + y) - log y] = [ + log x + log y -log(x + y) ] atd. Odlogaritmujte: log a + log b log log c = a b [log c ] log n log(n + ) + - log m = n.00 [ log ] ( n+ ). m a. d log a + log d log b - log c = [ log b. c atd. ] Příklady na určování D(f) důležité z hlediska teorie a z hlediska následného řešení logaritmických rovnic Určete D(f) daných funkcí: ) y = log(x + ) x + > 0 x > -, tj. D(f) = (-; + ) ) y = log(x ) + log(x + ) x > a současně x > -, tj. D(f) = (; + ) ) x y = log -x > 0 a současně +x > 0 > x a současně x > -, ) y = log + x x x + tj. D(f) = (-; ), ale musíme také prověřit x < 0 a současně + x < 0 < x a současně x < -, tj. D(f) = Ø, takže platí pouze D(f) = (-; ) x + > 0 vždy, x ->0, tj. (x + ).(x ) > 0 D(f) = (- ; -) ( ;+ ) 5) y = 0 x + x exp. funkce, tj. nemusíme určovat D(f), ten je celé R další příklady viz doporučená literatura Logaritmické a exponenciální rovnice ( ) str. 7 kap. 6.7, str. 7 kap. 6.9 ( ) str. 8-8 kap. 8 ( ) str. kap. 5.6

7 - 7 - ( ). část str. kap..7,. Exponenciální rovnice: obsahují neznámou v exponentu ) x- = 8 8 = 7 x = 7 x = 9 x = ) x. x = x + x = - 5x = - x = 6 5 ). 7 x- = 8 x-5 + (x- ) = (x-5) + 6x 9 = x = x 6x = 6x x = ) x 5x+ 6 = x -5x + 6 = 0 (protože 0 = ) vyřešíme tuto kvadratickou rovnici, jejím řešením jsou čísla, a ta jsou i řešením původní exp. rovnice 5) 5 x+ + 5 x+ = x x. 5 = x.(5 + 5) = x.0 = 750 ( dělíme číslem 0) 5 x = 5 x = 0 x = - x = - 6). x +. x+ 0 = x 0 ( +.) = x.0 = 7) = 5 5 -x+ = 5 -x + = -x = - x = x atd. 5 poznámka: nemusíme se většinou zabývat stanovováním D)f) Logaritmické rovnice: obsahují neznámou buď jako logaritmovaný výraz nebo jako základ logaritmu.používáme často metodu substituce buď za argument nebo za funkční hodnotu. Nesmíme zapomínat na určení D(f). ) log x = 5 x =, D(f): x > 0 ) log( x + 5) = log (x + 5) = log 00 x + 5 = 00 x = 95, D(f): x > -5 ).log(x-) = log(x + ) (x ) = x + 9x x + = x + 9x x = 0 x.(9x ) = 0 x = 0 nebo x = 9, D(f): x > 0, tj. x >, x + > 0, tj. x > - platí pouze řešení x = 9 log( x + 8) ) = log(x + 8) =.log(x + ) x + 8 = (x + ) log( x + ) x + 8 = x + x + = x x =, D(f): x > -, x - 5x 5) log (5x -) log ( + x) = log log = log 5x = ( + x) + x 5x = 8 + x x =, D(f): x > 5, (x >-) 6) log x + = 8 log x log x + = 8.log x log x 8.log x + = 0 substituce za log x y 8y + = 0 řešením této kvadratické rovnice jsou čísla 6 a, log x = 6

8 - 8 - x = , log x = x = 00, D(f): x > 0, x 7) + log x = 8 + log x = + log x = log x = x = 000, D(f): x > 0 x 5 8) log = log x x 5 = x 5 =.(x ) x 5 = x x 5 x = -, D(f): x >, x > rovnice nemá řešení atd. Další příklady: Řešte exponenciální rovnice: -x = x+ + x- = 6 x - 9. x + 8 = 0.5 x +.5 x = 9.5, x x- = 9 Řešte logaritmické rovnice: x -logx = 00 log x + 8.log x + 6 = 0 x 6 log6 = x log6 log( x + 5) = log(7 x) log(x + 5) =.log(-x) log(x-) = 0 log(x ) = log( x 5) log log(x + ) + log x = log(x ) + log log x + = log x log(x x ) log(x + ) = 0 log x log x 6 = 0 další příklady viz doporučená literatura

9 pololetí Základy geometrie, Řešení pravoúhlého trojúhelníka ( ) str. 88 kap.8 základní pojmy -.., 8.., 8..5, 8..6 str. kap.9 základní pojmy 9.. ( ) str.-7, kap.5 základní pojmy str. 5 kap.6 zákl. pojmy str.9 kap.7 zákl. pojmy str.7 kap. zákl. pojmy ( ) str.57 kap. 7 7., 7., 7.5, 7.9, 7.0 ( ). část - str.0 kap..,.,.. část str. 5 kap..0 Základní pojmy: bod..a, B, C,. přímka, úsečka, strana.a, b, c, výška..v, úhlopříčka..u, střední příčka.s, těžnice.t vnitřní úhly: α (u vrcholu A), β (u vrcholu B), γ (u vrcholu C) Kruh: o = r, S = r Čtyřúhelníky: čtverec, obdélník, kosočtverec, kosodélník, lichoběžník Obvod (o) a obsah (S) těchto čtyřúhelníků: čtverec: o = a, S = a obdélník: o =.(a + b), S = a.b ( a + c). v lichoběžník: o = a + b + c + d, S = Trojúhelníky: rovnostranný, rovnoramenný, obecný ostroúhlý, tupoúhlý, pravoúhlý a. va b. vb c. vc o = a + b + c, S = = =, S = ab sinγ (cyklická záměna) atd. a.b pravoúhlý ABC: S =, kde a, b.odvěsny pojmy: výška, těžnice, těžiště, střední příčka součet vnitřních úhlů trojúhelníka: α + β + γ = 80 V pravoúhlém trojúhelníku platí Pythagorova věta: a + b = c, kde a, b jsou odvěsny (strany, které tvoří pravý úhel), c je přepona (nejdelší strana v trojúhelníku) základní geometrická tělesa: krychle, kvádr, hranol, jehlan válec, kužel, koule vzorce pro povrch ( S-jednotky: m, dm, cm, ) a objem ( V- jednotky: m, dm, cm, ) těles viz literatura, resp. tabulky kg kg g hmotnost těles m jednotky: kg, g, q, t atd., hustota materiálu ρ - jednotky:,, m dm cm

10 - 0 - platí, že m = ρ.v další teorie - viz literatura, resp. tabulky příklady: V pravoúhlém trojúhelníku ABC je dáno: a) a = 60 cm, b = 8 cm. Vypočítejte c, o, S. b) a = cm, c = 99 cm. Vypočítejte b, o, S. a. b návod: a) c = a + b, o = a + b + c, S = a. b b) b = c a, o = a + b + c, S = další příklady viz doporučená literatura Goniometrické funkce ostrého úhlu ( ) str. 85 kap. 7.7 ( ) str. 95 kap. 9 ( ) str. kap. 6. ( ). část str. kap.. Úhly v trojúhelníku ABC jsou dány buď ve stupňové míře nebo v obloukové míře zavedení viz literatura Platí, že 60 = 80 =, 90 =, 5 =, 0 = 6, 60 =, 5 0 =, 50 = atd. V pravoúhlém trojúhelníku ABC jsou zavedeny goniometrické funkce sinus, kosinus, tangens, kotangens vždy jako poměr příslušných dvou stran daného trojúhelníka ( c přepona a, b - odvěsny: a.protilehlá odvěsna k úhlu α, b.přilehlá odvěsna k úhlu α a.přilehlá odvěsna k úhlu β a.protilehlá odvěsna k úhlu β Zavedení funkcí v pravoúhlém trojúhelníku: a b a b sin α =, cos α =, tg α =, cotg α = c c b a sin β = c b, cos β = c a, tg β = a b, cotg β = b a Vyřešit pravoúhlý trojúhelník znamená vypočítat délky všech tří stran a, b, c, velikosti všech vnitřních úhlů α, β, γ, resp. obvod a obsah. Příklady:

11 - - ) V R- ABC je dáno: c =, dm, α = 60. Vypočítejte úhel β, délky stran a, b, obvod a obsah ABC. Návod: β = 90 - α = 0, sinα = c a a = c. sinα, sinα = 0,866 - najdete v pomocné tabulce (*) nebo v tabulkách nebo na kalkulačce, a =,. 0,866 =, dm, b pomocí buď Pythagorovy věty nebo pomocí funkce cosα (= 0,500), a.b o = a + b + c, S =, podobně zkuste i ostatní příklady ) V R- ABC je dáno: a = cm, b = 0 mm. Určete přeponu c, úhly α, β, obvod a obsah. ) Určete sin 60, cos 5, tg 0, cotg 5, atd. použijte pomocnou tabulku, kalkulačku, tabulky ) Určete úhel α, je-li sin α = 0,500, cos α =, tg α =, cotg α =, atd. použijte pomocnou tabulku, kalkulačku, tabulky 5) Převeďte úhly 5, 75, 70, 0, 50, 5, atd. do obloukové míry, tj. pomocí Pomocná tabulka (*) α sin α = 0, 5 = 0, 707 = 0, cos α 0, 866 = = 0, 707 = 0, tg α 0 = 0, 577 =, cotg α =, 7 = 0, další příklady viz literatura

12 - - Goniometrické funkce obecného úhlu, tj. v oboru reálných čísel ( ) str. 76 kap. 7., 7., 7., 7. ( ) str kap. 9 ( ) str. kap. 6., 6., 6., 6.5, 6.6, 6.7 ( ). část - str. 75 kap..,.,.,.5,.7,.8,.9 obecný, resp. orientovaný úhel zavedení a definice viz literatura každý obecný úhel lze vyjádřit pomocí jeho základní velikosti α 0, což je úhel z intervalu 0, ): α = α 0 + k (α = α 0 + k.60 ) Platí, že sin α = sin α 0 ( platí i pro všechny ostatní goniometrické funkce ). I. kvadrant... (0, ) = (0, 90 ) II. kvadrant (, ) = (90, 80 ) III. kvadrant. (, ) = (80, 70 ) IV. kvadrant. (, ) = (70, 60 ) Příklad řešený: Určete základní velikost úhlu: 780 = = = = = = = = = -. + =. + - =. + = =. + atd. Zavedení funkcí obecného úhlu φ se dělá pomocí jednotkové kružnice (viz literatura) Funkce sinus φ je zavedena jako y-ová souřadnice bodu M, což je průsečík jednotkové kružnice a koncového ramene základní velikosti příslušného úhlu. Funkce kosinus φ je zavedena jako x-ová souřadnice bodu M. Funkce tangens φ je zavedena jako poměr y-ové a x-ové souřadnice bodu M, pokud x-ová souřadnice bodu M (tj. cos φ) není rovna 0. Funkce kotangens φ je zavedena jako poměr x-ové a y-ové souřadnice bodu M, pokud y-ová souřadnice bodu M (tj. sin φ) není rovna 0. Platí to i ve všech ostatních kvadrantech (podrobněji v doporučené literatuře)

13 - - V ostatních kvadrantech se ale musí přepočítávat pomocný úhel, jehož funkci pak můžeme stanovit v tabulkách. Je nutné také v jednotlivých kvadrantech stanovit znaménka jednotlivých goniometrických funkcí. kvadrant/funkce sin cos tg cotg I II III IV I. kvadrant - φ II. kvadrant α = φ III. kvadrant α = φ IV. kvadrant α = φ Např. 50 = 80-0 sin 50 = sin 0 cos 50 = -cos 0 podobně tg, cotg 0 = sin 0 = -sin 0 cos 0 = -cos = 60-0 sin 0 = -sin 0 cos 0 = cos atd. Příklady Urči kvadrant, znaménko funkce, případně hodnotu: sin 0, cos (-60 ), tg 5, cotg 5, cos 855, sin (-05 ), sin, cos, tg, cotg, 6 Základní vztahy mezi goniometrickými funkcemi: sin x cos x tg x = cosx 0, cotg x = sinx 0, sin x + cos x =, tg x. cotg x =, cos x sin x sin x = sin x cos x, cos x = cos x sin x.. atd. další vztahy jsou v tabulkách Funkce sin, tg, cotg jsou tzv. liché funkce tj. sin (-x) = -sin x, tg (-x) = tg x, cotg (-x) = cotg x Funkce cos je sudá, tj. cos (-x) = cos x Goniometrické funkce jsou periodické, tj. jejich hodnoty se pravidelně opakují perioda funkcí sin, cos je neboli 60, perioda funkcí tg, cotg je poloviční, tj. neboli 80. Definice goniometrických funkcí: Funkce y = sin x je definována pro všechna x R a nabývá hodnot od - do, tj. D(f) = R, H(f) =,. Je to funkce periodická s periodou, spojitá v celém R, rostoucí v I. a IV. kvadrantu, lichá, omezená shora i zdola, v jedné periodě má jedno maximum () a jedno minimum(-), jejím grafem je sinusoida. Ta protíná osu x v bodech 0,,

14 - - Funkce y = cos x je definována pro všechna x R a nabývá hodnot od - do, tj. D(f) = R, H(f) =,. Je to funkce periodická s periodou, spojitá v celém R, rostoucí ve III. a IV. kvadrantu, sudá, omezená shora i zdola, v jedné periodě má jedno maximum () a jedno minimum(-), jejím grafem je kosinusoida. Ta protíná osu x v bodech,. Funkce y = tg x je definována pro všechna x R, x (k + )., kde k je celé číslo.nabývá všech reálných hodnot, tj. D(f) = R -{(k+). }, H(f) = R. Je to funkce periodická s periodou, spojitá vždy jen v D(f), rostoucí v celém D(f), lichá, neomezená, nemá maximum ani minimum, jejím grafem je tangentoida. Funkce y = cotg x je definována pro všechna x R, x k. k., kde k je celé číslo.nabývá všech reálných hodnot, tj. D(f) = R -{k.}, H(f) = R. Je to funkce periodická s periodou, spojitá vždy jen v D(f), klesající v celém D(f), lichá, neomezená, nemá maximum ani minimum, jejím grafem je kotangentoida. Grafy jednotlivých funkcí najdete v doporučených učebnicích nebo v tabulkách. Goniometrické rovnice ( ) str. 8 kap. 7.5 ( ) str. 9 kap. 9 ( ) str. 5 kap. 6.8 ( ). část str. 05 kap..6 mohou to být rovnice lineární i kvadratické, v jejichž zadání se vyskytují goniometrické funkce Budeme řešit pouze rovnice s jedním typem goniometrické funkce K řešení se užívají definice goniometrických funkcí, goniometrické vzorce, substituce za celou funkci nebo za argument Nesmíme při zápisu řešení zapomenout na to, že funkce jsou periodické Funkce sin, cos mají stejné řešení většinou ve dvou kvadrantech, obě řešení je nutné zapsat funkce tg, cotg stačí zapsat jen v jednom kvadrantu, protože jejich perioda je poloviční než u funkcí sin, cos Příklady: ) sin x = x = 90 + k.60 čili x = +k ) cos x = - x = 80 + k.60 čili x = + k v obou příkladech šlo o rozhraní kvadrantů

15 - 5 - ) tg x = x = 0 + k.80 čili x = + k. 6 kdyby zde bylo znaménko -, tak by řešení bylo 50 + k.80 ) sin(x-0 ) = substituce y = x-0 x = y+0 sin y = y = 60 +k.60 ( I. kvadrant), y = 0 + k.60 ( II. kvadrant) x = k.60 = 90 + k.60 čili x = + k, x = k.60 x = 50 + k.60 čili x = 5 + k 5) tg x = y = x x = y y = 8 + k.80 x = 9 + k.90 6) cos x + cos x = 0 substituce y = cos x y + y = 0 řešíme kvadratickou rovnici (D = 9), jejímž řešením jsou čísla - a cos x = - x = 80 + k.60, tj. + k., cos x = x = 60 + k.60,. x = 00 + k.60,. 7) sin x sin x = 0 sin x.(sin x ) = 0 sin x = 0 nebo sin x = sin x = 0 x = 0 + k.60, x = 80 + k.60 čili dohromady x = 0 + k.80, sin x = x = 90 + k.60, y 60 o 8) tg (x + 60 ) = - substituce: x + 60 = y x = tg y = - o o o o o k k.80 o o y = 5 + k.80 x = = = 5 + k.60 + cos x 9) = substituce y = cos x, D)f): cos x,tj. x 0 + k.60 cos x + y = + y =.( y) + y = y y = y = cos x = y ( I. a IV. kvadrant) x = 60 + k.60 čili k +, x 5 = 00 + k.60 čili + k Další příklady: U předcházejících příkladů si vyzkoušejte vyjádřit všechna řešení v obloukové míře (kde to není již uděláno), u příkladů 9), 8), 5), ) nezapomeňte doplnit podmínky neboli definiční obory ( pokud tam nejsou). Další příklady v doporučených učebnicích

16 - 6 - Řešení obecného trojúhelníka ( ) str. 86 kap. 7.8 ( ) str. 95 kap. 9 ( ) str. 5 kap. 6.9 ( ). část str. 0 kap.., str. 7 kap.. V obecném trojúhelníku platí mezi stranami a vnitřními úhly různé vztahy, z nichž si uvedeme tzv. větu sinovou a větu kosinovou. Samozřejmě platí, že součet všech tří vnitřních úhlů je 80. Věta sinová se užívá při zadání v trojúhelníku: ) délky dvou stran a velikost úhlu proti jedné z nich ) délka jedné strany a velikost libovolných dvou úhlů Je dána vztahem a : b : c = sin α : sin β : sin γ sinα sin β sin γ Pro konkrétní výpočty se používají spíše vztahy = = nebo a b c a b c obráceně = = sinα sin β sin γ (a vždy dva zápisy ze tří) Příklad : V trojúhelníku ABC je dáno: b = 7, cm, α = 6, γ = 9. Vypočítejte zbývající strany a úhel β = = 79 b a b c b.sinα 7,.0,889 =, = a = = = 6, 5 cm sin β sinα sin β sinγ sin β 0,986 b.sin γ 7,.0,69 c = = =, 6 cm sin β 0,986 Příklad : V ABC je dáno: β = 8, γ = 7, a = 50 cm. Určete α, b, c α = 80 - β γ = 60 a.sin β 50.0,995 b = = = 57 sinα 0,8660 a.sinγ 50.0,608 cm, c = = = 5 sinα 0,8660 cm Věta kosinová se užívá při zadání trojúhelníku: ) délky všech tří stran ) délky dvou stran a velikost úhlu jimi sevřeného Je dána vztahem: c = a + b abcos γ a cyklickou záměnou a = b + c bccos α b = c + a accos β Příklad : V ABC je dáno: a = 7 cm, b = 5 cm, c = 5 cm. Určete α, β, γ Návod: a = b + c b + c a bccos α cos α = = = 0, 6 bc.5.5 (II. kvadrant) α = 98 (viz př. ), pak buď sinovou větou (snazší) nebo kosinovou větou β β = 5, a nakonec γ dopočítat do 80 7

17 - 7 - Příklad : V ABC je dáno: b = 6, cm, c = 9, cm, α = 8. Určete β, γ, a. návod: a = b + c bccos α a = 6, + 9,.6,.9,.0,669 = 5,87 b.sinα 6,.0,7 a = 9,5 cm, pak např. úhel β: sin β = = = 0, 96 a 9,5 β = 7 γ = 58 další příklady: ) je dáno: b = 5 cm, α = 50, γ = 00. Určete a, c, β ) je dáno: a = cm, b = cm, c = 5 cm. Určete α, β, γ. ) je dáno: a = 55 cm, b = 5 cm, γ = 8. Určete c, α, β. ) U všech př. zkuste vypočítat také obsah ABC použijte vzorec S = a. b.sinγ (a cyklická záměna) Další příklady k procvičování látky: ).tg 0 -.sin 5 +.cos 90 - cotg 5 = ) 6.cos 90 -.sin 5 + tg 60-5cotg 0 = ) sin x = + sin x ) sin x - = 0 5) tg x tg x = 0 6) 5 sin x = sin x + 7) cotg (x+5 ) = - 8) cos (x+5 ) = - 9) sin (x-5 ) = 0) tg x = - ) = + sin x atd.