Kapitola 4: Extrémy funkcí dvou proměnných 1/5
Lokální extrémy Definice: Necht f : M R 2 R a (x 0, y 0 ) M. Říkáme, že fce f má v bodě (x 0, y 0 ) lokální maximum (resp. lokální minimum) jestliže existuje O(x 0, y 0 ) takové že (x, y) O(x 0, y 0 ) M f (x, y) f (x 0, y 0 ) (resp. f (x, y) f (x 0, y 0 ) ) Platí-li, že (x, y) P(x 0, y 0 ) M f (x, y) < f (x 0, y 0 ) (resp. f (x, y) > f (x 0, y 0 ) ) říkáme, že fce f má v bodě (x 0, y 0 ) ostré lokální maximum (resp. ostré lokální minimum) Platí-li, že (x, y) M f (x, y) f (x 0, y 0 ) (resp. f (x, y) f (x 0, y 0 ) ) říkáme, že fce f má v bodě (x 0, y 0 ) globální maximum (resp. globální minimum) na množině M 2/5
Lokální extrémy Definice: Necht f : M R 2 R a (x 0, y 0 ) M. Říkáme, že fce f má v bodě (x 0, y 0 ) lokální maximum (resp. lokální minimum) jestliže existuje O(x 0, y 0 ) takové že (x, y) O(x 0, y 0 ) M f (x, y) f (x 0, y 0 ) (resp. f (x, y) f (x 0, y 0 ) ) Platí-li, že (x, y) P(x 0, y 0 ) M f (x, y) < f (x 0, y 0 ) (resp. f (x, y) > f (x 0, y 0 ) ) říkáme, že fce f má v bodě (x 0, y 0 ) ostré lokální maximum (resp. ostré lokální minimum) Platí-li, že (x, y) M f (x, y) f (x 0, y 0 ) (resp. f (x, y) f (x 0, y 0 ) ) říkáme, že fce f má v bodě (x 0, y 0 ) globální maximum (resp. globální minimum) na množině M 2/5
Lokální extrémy Definice: Necht f : M R 2 R a (x 0, y 0 ) M. Říkáme, že fce f má v bodě (x 0, y 0 ) lokální maximum (resp. lokální minimum) jestliže existuje O(x 0, y 0 ) takové že (x, y) O(x 0, y 0 ) M f (x, y) f (x 0, y 0 ) (resp. f (x, y) f (x 0, y 0 ) ) Platí-li, že (x, y) P(x 0, y 0 ) M f (x, y) < f (x 0, y 0 ) (resp. f (x, y) > f (x 0, y 0 ) ) říkáme, že fce f má v bodě (x 0, y 0 ) ostré lokální maximum (resp. ostré lokální minimum) Platí-li, že (x, y) M f (x, y) f (x 0, y 0 ) (resp. f (x, y) f (x 0, y 0 ) ) říkáme, že fce f má v bodě (x 0, y 0 ) globální maximum (resp. globální minimum) na množině M 2/5
Lokální extrémy Definice: Necht f : M R 2 R a (x 0, y 0 ) M. Říkáme, že fce f má v bodě (x 0, y 0 ) lokální maximum (resp. lokální minimum) jestliže existuje O(x 0, y 0 ) takové že (x, y) O(x 0, y 0 ) M f (x, y) f (x 0, y 0 ) (resp. f (x, y) f (x 0, y 0 ) ) Platí-li, že (x, y) P(x 0, y 0 ) M f (x, y) < f (x 0, y 0 ) (resp. f (x, y) > f (x 0, y 0 ) ) říkáme, že fce f má v bodě (x 0, y 0 ) ostré lokální maximum (resp. ostré lokální minimum) Platí-li, že (x, y) M f (x, y) f (x 0, y 0 ) (resp. f (x, y) f (x 0, y 0 ) ) říkáme, že fce f má v bodě (x 0, y 0 ) globální maximum (resp. globální minimum) na množině M 2/5
Lokální extrémy - 2 3/5 Věta: Necht G R 2 je otevřená množina, f C 1 (G). Má-li funkce f v bodě (x 0, y 0 ) G lokální extrém, potom platí f x (x 0, y 0 ) = 0 f y (x 0, y 0 ) = 0. Bod splňující tuto podmínku se nazývá stacionární bod funkce f. Podmínka nulových derivací je pouze nutná podmínka. Definice: Je-li f C 2 (G), G R 2 je otevřená. Nazýváme matici (x, y) 2 f x 2 y x (x, y) x y (x, y) 2 f y 2 (x, y) Hessovou maticí funkce f. Determinant Hessovy matice funkce f nazýváme Hessiánem a značíme H f (x, y).
Lokální extrémy - 2 3/5 Věta: Necht G R 2 je otevřená množina, f C 1 (G). Má-li funkce f v bodě (x 0, y 0 ) G lokální extrém, potom platí f x (x 0, y 0 ) = 0 f y (x 0, y 0 ) = 0. Bod splňující tuto podmínku se nazývá stacionární bod funkce f. Podmínka nulových derivací je pouze nutná podmínka. Definice: Je-li f C 2 (G), G R 2 je otevřená. Nazýváme matici (x, y) 2 f x 2 y x (x, y) x y (x, y) 2 f y 2 (x, y) Hessovou maticí funkce f. Determinant Hessovy matice funkce f nazýváme Hessiánem a značíme H f (x, y).
Lokální extrémy - 3 4/5 Věta: Necht G R 2 je otevřená množina, f C 2 (G) a (x 0, y 0 ) G je stacionární bod funkce f. Potom 1 Je-li H f (x 0, y 0 ) > 0, má funkce f v bodě (x 0, y 0 ) lokální extrém a) Je-li x 2 (x 0, y 0 ) > 0, má funkce f v bodě (x 0, y 0 ) ostré lokální minimum. b) Je-li x 2 (x 0, y 0 ) < 0, má funkce f v bodě (x 0, y 0 ) ostré lokální maximum. 2 Je-li H f (x 0, y 0 ) < 0, nemá funkce f v bodě (x 0, y 0 ) lokální extrém (má v tomto bodě sedlový bod). 3 Je-li H f (x 0, y 0 ) = 0, neumíme jednoduše rozhodnout zda v tomto bodě je extrém.
Lokální extrémy - 3 4/5 Věta: Necht G R 2 je otevřená množina, f C 2 (G) a (x 0, y 0 ) G je stacionární bod funkce f. Potom 1 Je-li H f (x 0, y 0 ) > 0, má funkce f v bodě (x 0, y 0 ) lokální extrém a) Je-li x 2 (x 0, y 0 ) > 0, má funkce f v bodě (x 0, y 0 ) ostré lokální minimum. b) Je-li x 2 (x 0, y 0 ) < 0, má funkce f v bodě (x 0, y 0 ) ostré lokální maximum. 2 Je-li H f (x 0, y 0 ) < 0, nemá funkce f v bodě (x 0, y 0 ) lokální extrém (má v tomto bodě sedlový bod). 3 Je-li H f (x 0, y 0 ) = 0, neumíme jednoduše rozhodnout zda v tomto bodě je extrém.
Lokální extrémy - 3 4/5 Věta: Necht G R 2 je otevřená množina, f C 2 (G) a (x 0, y 0 ) G je stacionární bod funkce f. Potom 1 Je-li H f (x 0, y 0 ) > 0, má funkce f v bodě (x 0, y 0 ) lokální extrém a) Je-li x 2 (x 0, y 0 ) > 0, má funkce f v bodě (x 0, y 0 ) ostré lokální minimum. b) Je-li x 2 (x 0, y 0 ) < 0, má funkce f v bodě (x 0, y 0 ) ostré lokální maximum. 2 Je-li H f (x 0, y 0 ) < 0, nemá funkce f v bodě (x 0, y 0 ) lokální extrém (má v tomto bodě sedlový bod). 3 Je-li H f (x 0, y 0 ) = 0, neumíme jednoduše rozhodnout zda v tomto bodě je extrém.
Lokální extrémy - 3 4/5 Věta: Necht G R 2 je otevřená množina, f C 2 (G) a (x 0, y 0 ) G je stacionární bod funkce f. Potom 1 Je-li H f (x 0, y 0 ) > 0, má funkce f v bodě (x 0, y 0 ) lokální extrém a) Je-li x 2 (x 0, y 0 ) > 0, má funkce f v bodě (x 0, y 0 ) ostré lokální minimum. b) Je-li x 2 (x 0, y 0 ) < 0, má funkce f v bodě (x 0, y 0 ) ostré lokální maximum. 2 Je-li H f (x 0, y 0 ) < 0, nemá funkce f v bodě (x 0, y 0 ) lokální extrém (má v tomto bodě sedlový bod). 3 Je-li H f (x 0, y 0 ) = 0, neumíme jednoduše rozhodnout zda v tomto bodě je extrém.
Lokální extrémy - 3 4/5 Věta: Necht G R 2 je otevřená množina, f C 2 (G) a (x 0, y 0 ) G je stacionární bod funkce f. Potom 1 Je-li H f (x 0, y 0 ) > 0, má funkce f v bodě (x 0, y 0 ) lokální extrém a) Je-li x 2 (x 0, y 0 ) > 0, má funkce f v bodě (x 0, y 0 ) ostré lokální minimum. b) Je-li x 2 (x 0, y 0 ) < 0, má funkce f v bodě (x 0, y 0 ) ostré lokální maximum. 2 Je-li H f (x 0, y 0 ) < 0, nemá funkce f v bodě (x 0, y 0 ) lokální extrém (má v tomto bodě sedlový bod). 3 Je-li H f (x 0, y 0 ) = 0, neumíme jednoduše rozhodnout zda v tomto bodě je extrém.
Lokální extrémy - 3 4/5 Věta: Necht G R 2 je otevřená množina, f C 2 (G) a (x 0, y 0 ) G je stacionární bod funkce f. Potom 1 Je-li H f (x 0, y 0 ) > 0, má funkce f v bodě (x 0, y 0 ) lokální extrém a) Je-li x 2 (x 0, y 0 ) > 0, má funkce f v bodě (x 0, y 0 ) ostré lokální minimum. b) Je-li x 2 (x 0, y 0 ) < 0, má funkce f v bodě (x 0, y 0 ) ostré lokální maximum. 2 Je-li H f (x 0, y 0 ) < 0, nemá funkce f v bodě (x 0, y 0 ) lokální extrém (má v tomto bodě sedlový bod). 3 Je-li H f (x 0, y 0 ) = 0, neumíme jednoduše rozhodnout zda v tomto bodě je extrém.
Lokální extrémy - 3 4/5 Věta: Necht G R 2 je otevřená množina, f C 2 (G) a (x 0, y 0 ) G je stacionární bod funkce f. Potom 1 Je-li H f (x 0, y 0 ) > 0, má funkce f v bodě (x 0, y 0 ) lokální extrém a) Je-li x 2 (x 0, y 0 ) > 0, má funkce f v bodě (x 0, y 0 ) ostré lokální minimum. b) Je-li x 2 (x 0, y 0 ) < 0, má funkce f v bodě (x 0, y 0 ) ostré lokální maximum. 2 Je-li H f (x 0, y 0 ) < 0, nemá funkce f v bodě (x 0, y 0 ) lokální extrém (má v tomto bodě sedlový bod). 3 Je-li H f (x 0, y 0 ) = 0, neumíme jednoduše rozhodnout zda v tomto bodě je extrém.
Metoda nejmenších čtverců 5/5 Předpokládejme, že pro různé hodnoty x 1, x 2,..., x n nezávisle proměnné x získáme (například měřením) hodnoty y 1, y 2,..., y n závisle proměnné y. Věta: Necht jsou dány hodnoty x 1, x 2,..., x n a y 1, y 2,..., y n, n 2 tak, že x i x j alespoň pro dva indexy i, j. Aproximujeme-li závislost y na x vztahem y = a x + b, pak koeficienty a, b,které určíme metodou nejmenších čtvercu, tj. tak, aby hodnota n (a x i + b y i ) 2 i=1 byla minimální, jsou jednoznačně určeny jako řešení soustavy ( n i=1 x i 2 ) ( a + n i=1 x ( i) b = n i=1 x ) ( iy i n i=1 x ) ( i a + n b = n i=1 y i)
Metoda nejmenších čtverců 5/5 Předpokládejme, že pro různé hodnoty x 1, x 2,..., x n nezávisle proměnné x získáme (například měřením) hodnoty y 1, y 2,..., y n závisle proměnné y. Věta: Necht jsou dány hodnoty x 1, x 2,..., x n a y 1, y 2,..., y n, n 2 tak, že x i x j alespoň pro dva indexy i, j. Aproximujeme-li závislost y na x vztahem y = a x + b, pak koeficienty a, b,které určíme metodou nejmenších čtvercu, tj. tak, aby hodnota n (a x i + b y i ) 2 i=1 byla minimální, jsou jednoznačně určeny jako řešení soustavy ( n i=1 x i 2 ) ( a + n i=1 x ( i) b = n i=1 x ) ( iy i n i=1 x ) ( i a + n b = n i=1 y i)