. ALGEBRAICKÉ VÝRAZY A JEJICH ÚPRAVY Zjednodušte uveďte, kdy mjí dné výrzy smysl: ) + + + ) y + + + y : y y y ) n + n n + n + n n :. n n + ) b b : +. + b b b + 5) + +. + 6) +. 7) + b b + b b. + b 8) 8 :. ( + + ) + 9) 8 + + 6 6 + : : 0) 6 + : + + 8 6 - -
- -. MOCNINY S RACIONÁLNÍM EXPONENTEM ) b b.. ). 5 ). :. ) b b. 5) ( ) ( ) b b. :. 6).. :. 5 5 7).. :. 5 8) y y y.... 6 9)... + 0)..
. LINEÁRNÍ ROVNICE A NEROVNICE O JEDNÉ NEZNÁMÉ 6 + 5 + 5 ) ( ) 7 5 ) ) + 6... + ) ( ) + ( ) 5 + 5 9 + 5 + 7 5) + ( + ) 6) 7 + + + 6 7) Která přirozená čísl vyhovují nerovnici: 5 5 8) Která celá čísl vyhovují nerovnici: + 0 5 9) Která přirozená čísl vyhovují nerovnici: + 0) Která celá záporná čísl vyhovují nerovnici: + 5 - -
. LINEÁRNÍ ROVNICE A NEROVNICE S NEZNÁMOU VE JMENOVATELI Řešte rovnice proveďte zkoušku: ) + 9 5 5 7 + ) 0 8 + + 6 ) 6 + ) 7 + 9 6 0 9 6 6 5) + + + 9 + + 6) V množině R řešte nerovnici: 6 7) V množině R řešte nerovnici: 8) Určete, pro která reálná čísl má smysl výrz:. 5 + 9) Určete, pro která reálná čísl nbývá zlomek 7 0) Určete, pro která reálná čísl nbývá zlomek 5 + 8 7 kldných hodnot. nezáporných hodnot. - -
5. SOUSTAVA LINEÁRNÍCH ROVNIC S VÍCE NEZNÁMÝMI ) Řešte soustvu rovnic: ( ) + y + y 5, y y ) Řešte soustvu rovnic: y + y + y + y 9, + ) Řešte soustvu rovnic: y + +, + y + ) Řešte soustvu rovnic: 7 y 9 + y, 9 + y y + 5) Řešte soustvu rovnic: + y + z 9, + y z, 5 + 8y + z 5 6) Řešte soustvu rovnic: + y + z 5, y z, + y + z 6 7) Řešte soustvu rovnic: y z, z + y +, + z y 5 8) Řešte soustvu rovnic: y + +, y + z +, z + + 9) Žáci jedné třídy si chtěli koupit společně fotblové míče. Jestliže kždý z nich přinese,50 Kč, bude jim chybět 00 Kč. Přinese-li kždý 6 Kč, zůstne jim Kč. Kolik je žáků ve třídě? 0) Obvod obdélníku je 8 mm, délk jeho úhlopříčky je 9 mm. Vypočtěte rozměry obdélníku. - 5 -
6. LINEÁRNÍ ROVNICE A NEROVNICE S ABSOLUTNÍ HODNOTOU ) + + + ) + + ) + + ) + + 5) + + 6) 0 7) 8) 5 + 9) + + 0) + - 6 -
7. KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE V R ) 5 + 0 6 -( + ) + 0 ) 0 + 6 ) + ) ( + ) ( ) ( ) 5 5 5) Njděte pět po sobě jdoucích přirozených čísel, by součet čtverců prvních tří byl roven součtu čtverců posledních dvou. 6) Družstvo koupilo do svého sdu stromky z 0 Kč. Kdyby byl cen stromku o Kč nižší, dostlo by družstvo z stejnou částku o 0 stromků více. Kolik stromků družstvo koupilo? 7) 6 + 8 0 8) + 8 + 5 0 9) 5 0 0) + + ) ( + ) ( ) 7 ) ( + ) 6 +,5-7 -
8. VZTAHY MEZI KOŘENY A KOEFICIENTY KVADRATICKÉ ROVNICE ) V rovnici - 9 + q 0 je jeden kořen 5. Vypočtěte druhý kořen bsolutní člen q. ) V rovnici + p + 5 0 je jeden kořen. Vypočtěte druhý kořen koeficient lineárního členu p. ) Je dán kvdrtická rovnice + - 8 0. Sestvte novou kvdrtickou rovnici, která má z kořeny trojnásobky kořenů dné rovnice, niž dnou rovnici řešíte. ) Sestvte rovnici, která má kořeny o menší než jsou kořeny rovnice - - 0, niž dnou rovnici řešíte. 5) Je dán kvdrtická rovnice - + 5 0. Aniž tuto rovnici řešíte, zpište všechny kvdrtické rovnice, které mjí z kořeny opčná čísl než jsou kořeny dné rovnice. 6) Zpište všechny kvdrtické rovnice, které mjí kořeny čtyřikrát větší než rovnice - 9 + 5 0. Řešte bez určení kořenů dné rovnice. 7) Npište všechny kvdrtické rovnice, které mjí kořeny o čtyři větší než jsou kořeny rovnice - 9 + 5 0, niž dnou rovnici řešíte. 8) V rovnici - 7 + c 0 určete c tk, by jeden kořen rovnice byl roven číslu. Ověřte správnost výpočtem. 9) ) Určete kořeny kvdrtické rovnice - - 0, niž ji řešíte. b) Rozložte kvdrtický trojčlen + - 0 n součin kořenových činitelů. 0) ) Určete kořeny kvdrtické rovnice - 8 + 6 0, niž ji řešíte. b) Rozložte kvdrtický trojčlen 9 + + n součin kořenových činitelů. - 8 -
9. LOGARITMICKÁ FUNKCE, LOGARITMUS, LOGARITMICKÁ ROVNICE ) ) Využitím znlostí o průběhu logritmické funkce rozhodněte, jsou-li prvdivá tvrzení: log 6 > 0, log 6 < log 6 8 b) Řešte logritmickou rovnici: log( + ) - log( - ) - log( + ) - log ) ) Využitím znlostí o průběhu logritmické funkce rozhodněte, jsou-li prvdivá tvrzení: log 0,5 < 0, log 0,6 8 log 0,6 b) Řešte logritmickou rovnici: log ( + 6) + log ( - ) ) ) Podle průběhu logritmické funkce rozhodněte, která čísl jsou kldná: log, log b) Řešte logritmickou rovnici: log( + ) - log( - ) - log( + 7) + log( - ) 0 ) ) Podle průběhu logritmické funkce rozhodněte, která čísl jsou kldná: log 0,5, log 5 log b) Řešte logritmickou rovnici: + log 5 5) ) Určete : log, log 7, log 5 5 b) Řešte logritmickou rovnici: log( + 9) - log + log( - ) - log50 6) ) Určete : log 8 log 7 -, log 8 b) Řešte logritmickou rovnici: log ( - ) + log ( + 6) 6 7) ) Určete : log log 5 log b) Řešte logritmickou rovnici: log ( - ) - log ( + ) 8) ) Určete : log, log 7 log 0, 0 b) Řešte logritmickou rovnici: log( + ) - log( -5) 9) Řešte logritmickou rovnici: log( + 6) - log( - ) - log5 0) Řešte logritmickou rovnici: log - (log) - - 9 -
0. EXPONENCIÁLNÍ FUNKCE, EXPONENCIÁLNÍ ROVNICE ) ) Dná čísl porovnejte s číslem. Využijte znlostí o průběhu eponenciální funkce., 5 5 6 b) Řešte eponenciální rovnici:.. 5 7 5 ) ) Dná čísl porovnejte s číslem. Využijte znlostí o průběhu eponenciální funkce. 7,, 0 8 b) Řešte eponenciální rovnici: 7. 8. 9 5 6 + 7 ) ) Dná čísl porovnejte s číslem. Využijte znlostí o průběhu eponenciální funkce. 5 5 8, 5 0,, + b) Řešte eponenciální rovnici: 5 5 ) ) Užitím grfu eponenciální funkce doplňte znménko nerovnosti: b) Řešte eponenciální rovnici: 0. + 9 0 5) ) Užitím grfu eponenciální funkce doplňte znménko nerovnosti: b) Řešte eponenciální rovnici: + + 6) ) Pro která je funkce y rostoucí? b) Řešte eponenciální rovnici:. 7 + 7) ) Pro která je funkce y + + klesjící? b) Řešte eponenciální rovnici: + + + + 6 8 8) Řešte eponenciální rovnici:. +. + 0 5 9) Řešte eponenciální rovnici:.( ) + 9 + 5 0) Řešte eponenciální rovnici:.( 5 ).( 5 ) 5 5-0 -
. KOMPLEXNÍ ČÍSLA lgebrický goniometrický tvr, Moivreov vět + i i + ) Uprvte: ( i )( i ) ) Vypočtěte: ) Vypočtěte: i + i + i i i i ) Vypočtěte z : z ( i)( + i) ( + i) 5) Vyjádřete v goniometrickém tvru komplení číslo z: z + i 6) Vyjádřete v goniometrickém tvru komplení číslo z: z + i 7) Vyjádřete v goniometrickém tvru komplení číslo z: + i z i 8) Jsou dán komplení čísl : (cos 60 + i.sin 60 ), b cos 0 + i.sin 0. Určete jejich součin podíl, výsledek zpište v lgebrickém tvru. 9) Pomocí Moivreovy věty vypočtěte 6, je-li - i. Výsledek zpište v lgebrickém tvru. 0) Užitím Moivreovy věty vypočtěte výsledek zpište v lgebrickém tvru: ( i) z + 6 - -
. KOMBINATORIKA vrice, permutce, kombince bez opkování ) Kolik přirozených čísel menších než 5 000 lze vytvořit z číslic 0,,,5, jestliže se žádná číslice neopkuje? ) Kolik přirozených čísel větších než 5 lze vytvořit z číslic 0,,,,5, jestliže se žádná číslice neopkuje? ) Kolik je prvků, je-li počet vricí.třídy bez opkování vytvořených z těchto prvků dvcetkrát menší než počet vricí.třídy bez opkování vytvořených z těchto prvků? ) K sestvení vljky, která má být složen ze tří různobrevných vodorovných pruhů, jsou k dispozici látky brvy bílé, červené, modré, zelené žluté. ) Určete počet vljek, které lze z těchto brev sestvit. b) Kolik z nich má modrý pruh? c) Kolik z nich má modrý pruh uprostřed? d) Kolik z nich nemá uprostřed červený pruh? 5) Ze třídy, v níž je 9 chlpců 6 dívek máme vybrt čtyřčlennou hlídku. Kolik způsoby to lze provést, jestliže to mjí být: ) smí chlpci, b) jedno děvče tři chlpci, c) dvě dívky dv chlpci, d) lespoň jedn dívk? 6) Ve skldu je 0 výrobků, mezi nimiž jsou tři vdné. Kolik způsoby z nich můžeme vybrt kolekci pěti výrobků, by: ) všechny byly dobré, b) byl právě jeden vdný, c) byl nejvýš jeden vdný, d) byl spoň jeden vdný? 7) V rovině je dáno deset bodů, z nichž žádné tři neleží v jedné přímce. ) Kolik kružnic lze jimi určit? b) Kolik kružnic je jimi určeno, leží-li právě šest bodů n jedné kružnici? 8) Je dáno deset různých bodů. Zjistěte, kolik přímek tyto body určují, jestliže: ) žádné tři body neleží v téže přímce, b) čtyři body leží v jedné přímce jiné tři body leží v druhé přímce. 9) Zjistěte počet přirozených pěticiferných čísel, která lze utvořit z číslic,, 5, 6, 8, jestliže se žádná z číslic neopkuje. ) Kolik z nich je dělitelných pěti? b) Kolik z nich je dělitelných šesti? 0) Určete kolik způsoby se může v šestimístné lvici posdit šest hochů, jestliže: ) dv chtějí sedět vedle sebe, b) dv chtějí sedět vedle sebe třetí chce sedět n krji. - -
. PRAVDĚPODOBNOST prvděpodobnost náhodného jevu, prvdě.průniku sjednocení jevů ) Určete prvděpodobnost, že náhodně vybrné dvojciferné číslo bude: ) sudé, b) dělitelné pěti. ) Jká je prvděpodobnost, že při hodu dvěm kostkmi pdne součet 7 nebo 8?. ) V bedně je 0 žárovek, z nichž jsou vdné. S jkou prvděpodobností bude mezi pěti náhodně vybrnými žárovkmi nejvýše jedn vdná? ) Ke zkoušce se z deseti připrvených příkldů vylosují tři. S jkou prvděpodobností budou mezi vylosovnými příkldy příkld číslo nebo příkld číslo 7? 5) Ve třídě je chlpců dívek. S jkou prvděpodobností budou mezi třemi náhodně vybrnými zástupci: ) smé dívky, b) dívky chlpec? 6) V urně je 8 bílých, 7 červených 5 modrých koulí. S jkou prvděpodobností budou mezi třemi náhodně vybrnými koulemi: ) všechny stejné brvy, b) kždá jiné brvy? 7) Ve třídě je žáků, z nich 0 není připrveno. V hodině budou tři žáci zkoušeni. S jkou prvděpodobností budou mezi zkoušenými spoň dv žáci připrveni? 8) Letdlo s cestujícími členy posádky hvrovlo zhynulo 6 osob. Vypočtěte, jká je prvděpodobnost, že: ) zhynul celá posádk, b) nezhynul žádný člen posádky, c) zhynul právě jeden člen posádky. 9) Ve třídě je 5 chlpců dívek. Z těchto žáků nemá šest vyprcovné domácí cvičení. Vypočtěte prvděpodobnost, že to jsou: ) jen chlpci, b) z jedné poloviny dívky. 0) Ve třídě je 0 žáků, z nichž tři nejsou připrveni. V hodině bude zkoušeno 5 žáků. Vypočtěte prvděpodobnost, že mezi zkoušenými: ) bude právě jeden nepřiprvený žák, b) budou nejvýše dv nepřiprveni žáci, c) budou všichni nepřiprveni žáci. - -
. STATISTIKA zákldní pojmy, chrkteristiky polohy vribility ) Výzkumný ústv zemědělský zkouml dojivost krv při novém složení krmných dávek získl údje o roční dojivosti 0 krv v litrech: 800, 600, 900, 700, 00, 900, 00, 00, 500, 600, 900, 00, 900, 00, 800, 00, 00, 500, 500, 000. ) Objsněte zákldní pojmy (stt.soubor, rozsh souboru, stt.jednotk, stt.znk). b) Sestvte tbulku rozdělení četností, sestrojte polygon četností. c) Vypočtěte průměrnou dojivost, rozptyl směrodtnou odchylku. ) N deseti pokusných polích sledovli hektrový výnos pšenice s těmito výsledky (v metrických centech n hektr): 6,5; 6,; 8,9; 50,; 5,; 9,; 0,; 5,0; 6,7;,8. ) Objsněte zákldní pojmy (stt.soubor, rozsh souboru, stt.jednotk, stt.znk). b) Sestvte tbulku rozdělení četností, sestrojte polygon četností. c) Určete ritmetický průměr, modus, medián, rozptyl směrodtnou odchylku. ) Tbulk uvádí rozdělení denní dojivosti krv v litrech. dojivost z den 0 - - - 6 6-8 8-0 0 - počet krv 5 8 5 0 5 7 ) Objsněte zákldní pojmy (stt.soubor, rozsh souboru, stt.jednotk, stt.znk). b) Sestvte histogrm. c) Určete průměrnou dojivost, rozptyl směrodtnou odchylku. ) Při zjišťování počtu nezletilých dětí ve dvceti domácnostech byly získány tyto výsledky: 0, 0,,,,,,,, 0, 0, 0,,,,,,,,. ) Objsněte zákldní pojmy (stt.soubor, rozsh souboru, stt.jednotk, stt.znk). b) Sestvte tbulku rozdělení četností, sestrojte polygon četností. c) Vypočtěte průměrný počet dětí v domácnosti, určete modus, medián, rozptyl, směrodtnou odchylku, vriční rozpětí vriční koeficient. 5) Při zjišťování kpesného u žáků jedné třídy byly zjištěny tyto částky (v Kč): 00, 50, 00, 50, 50, 50, 50, 00, 00, 50, 00, 50, 00, 00, 50, 50, 00, 50, 00, 00. ) Objsněte zákldní pojmy (stt.soubor, rozsh souboru, stt.jednotk, stt.znk). b) Sestvte tbulku rozdělení četností, sestrojte polygon četností. c) Vypočtěte ritmetický průměr, modus, medián, rozptyl, směrodtnou odchylku vriční koeficient. 6) V prodejně pánské obuvi zznmenávli velikosti prodných párů během dne s tímto výsledkem:,,,,,, 9,, 7,, 5,,, 8, 0, 9, 8,,, 8,, 9,,,,, 9, 9,,, 0,,,,,, 0, 0, 0,,,,, 0,. ) Objsněte zákldní pojmy (stt.soubor, rozsh souboru, stt.jednotk, stt.znk). b) Sestvte tbulku rozdělení četností, sestrojte polygon četností. c) Vypočtěte ritmetický průměr, modus, medián, rozptyl směrodtnou odchylku. - -
7) Při měření tělesné výšky 00 chlpců byly získány tyto výsledky: 58 6 cm 9 chlpců, 6 67 cm 0 chlpců, 68 7 cm 6 chlpců, 7 77 cm 8 chlpců, 78 8 cm 5 chlpců, 8 87 cm chlpců, 88 9 cm chlpci. ) Objsněte zákldní pojmy (stt.soubor, rozsh souboru, stt.jednotk, stt.znk). b) Sestvte tbulku rozdělení četností, sestrojte histogrm. c) Vypočtěte ritmetický průměr, modus, medián, rozptyl směrodtnou odchylku. 8) V pdesáti klsech žit byl nlezen následující počet obilek: počet obilek 68 70 79 80 8 8 88 9 9 97 počet klsů 0 5 8 6 ) Objsněte zákldní pojmy (stt.soubor, rozsh souboru, stt.jednotk, stt.znk). b) Vypočtěte ritmetický průměr, modus, medián, rozptyl směrodtnou odchylku. - 5 -
5. OBVODY A OBSAHY ROVINNÝCH OBRAZCU ) Zvětší-li se kždý rozměr obdélníku o cm, zvětší se velikost jeho úhlopříčky o cm jeho obsh o 60 cm. Určete rozměry obdélníku. ) Rovnostrnný trojúhelník ABC má strnu dlouhou 8 cm. Kolem vrcholů jsou sestrojeny oblouky kružnic o poloměru cm. Vypočtěte obvod obsh zbylé části trojúhelníku. ) Zhrd tvru obdélníku má obvod 0 m obsh 800,5 m. Vypočtěte rozměry zhrdy. ) Vypočtěte obvod obsh rovnoběžníku, jehož strny jsou 5, cm, b,8 cm, je-li úhel sevřený strnmi α 7. 5) Nd strnmi čtverce o strně 8 cm jsou vepsány půlkružnice. Vypočtěte obsh obvod vzniklého obrzce. 6) Velikosti záklden rovnormenného lichoběžníku jsou v poměru 5 :, jeho rmen mjí velikost 50 cm výšk 8 cm. Vypočtěte obvod obsh lichoběžníku. 7) Vypočtěte délky úhlopříček strnu kosočtverce, je-li jeho obsh 60 cm poměr délek úhlopříček u : u 5 :. 8) Oplocený pozemek má tvr lichoběžníku. Velikosti rovnoběžných strn jsou 06 m 7 m, vzdálenost těchto dvou strn je 6 m velikost úhlu mezi zákldnou jedním rmenem je 57. Vypočtěte: ) obsh pozemku v hektrech, b) kolik zpltili z oplocení pozemku, stojí-li m pletiv 8 Kč počítáme-li s 5% n odpd. 9) Pole má tvr rovnormenného lichoběžníku se zákldnmi 0 m 0 m. Výšk je o 0 m menší než délk jeho rmen. Vypočtěte, kolik tun pšenice rolník sklidí, je-li průměrný hektrový výnos,8 t. 0) Určete obsh prvoúhlého lichoběžníku ABCD ( 66 cm, c 8 cm), jestliže jeho kosé rmeno je o 6 cm delší než kolmé rmeno n zákldny, c. - 6 -
6. OBJEMY A POVRCHY TĚLES ) Délk výšky prvidelného čtyřbokého jehlnu je cm délk podstvné hrny je 6 cm. Vypočtěte jeho povrch objem. ) Podstvou kolmého hrnolu je prvoúhlý trojúhelník, jehož odvěsny mjí velikosti v poměru :, výšk hrnolu je o cm menší než delší odvěsn. Povrch hrnolu je 68 cm. Vypočtěte objem hrnolu. ) Objem prvidelného čtyřbokého hrnolu je 9 cm, velikosti jeho podstvné hrny výšky jsou v poměru :. Určete jeho povrch. ) Prvidelný šestiboký hrnol je vysoký cm. Poloměr kružnice opsné podstvě je 8 cm. Určete jeho povrch objem. 5) Je dán prvidelný trojboký jehln, jehož podstvná hrn 5 cm tělesová výšk v 8 cm. Vypočtěte povrch. 6) Osový řez rotčního kužele je rovnormenný trojúhelník, který má rmeno dlouhé 0 cm úhel sevřený rmeny je 90. Vypočtěte povrch kužele. 7) Vypočtěte objem povrch prvidelného šestibokého jehlnu, jehož podstvná hrn 6 cm boční hrn h 0 cm. 8) Kolik m zeminy je třeb přemístit při výkopu přímého, 70 m dlouhého příkopu, jehož průřez má tvr rovnormenného lichoběžníku se zákldnmi 50 cm, c 80 cm rmeny dlouhými 90 cm? 9) Střech věže má tvr prvidelného čtyřbokého komolého jehlnu o délce podstvných hrn 7, m,,6 m tělesové výšce v,8 m. Kolik m plechu se spotřebuje n její pokrytí, počítáme-li n spoje odpd 5 %? 0) Vypočtěte objem povrch rotčního komolého kužele, jehož poloměry podstv jsou 7 cm 8 cm strn s má velikost cm. - 7 -
7. FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI U příkldů : ) Určete název funkce. b) Určete f(-), f(0), f(). c) Nčrtněte grf této funkce. d) Určete definiční obor obor hodnot funkce. e) Určete pritu funkce. f) Chrkterizujte funkce z hledisk monotónnosti. g) Určete, je-li funkce omezená má-li etrémy. h) Určete, je-li funkce prostá. ) Je dán funkce f: y - + 5. ) Je dán funkce f: y +. ) Je dán funkce f: y +. ) Je dán funkce f: y +. U příkldů 5 0 určete definiční obor funkce: 5) f: y 6 6) f: y 6 7) f: y 5 + 6 8) f: y 5 9) f: y 0) f: y 5-8 -
8. ARITMETICKÁ POSLOUPNOST A JEJÍ UŽITÍ ) Délky strn prvoúhlého trojúhelníku tvoří ritmetickou posloupnost. Určete velikosti odvěsen, je-li přepon c 0 cm. ) Mezi čísl 7 vložte čísl tk, by s dnými čísly tvořil ritmetickou posloupnost o součtu 6. Určete počet vložených čísel diferenci tkto vytvořené rit. posloupnosti. ) Velikosti vnitřních úhlů prvoúhlého trojúhelníku tvoří tři po sobě jdoucí členy ritmetické posloupnosti. Určete velikosti těchto úhlů. ) V prodejně jsou sestveny konzervy do devíti řd nd sebou. Počty konzerv v řdách tvoří po sobě jdoucí členy ritmetické posloupnosti. Ve třetí řdě jsou konzervy, v šesté řdě je 7 konzerv. Určete celkový počet konzerv. 5) V ritmetické posloupnosti je dáno: + 6, + 5 0. Určete součet prvních deseti členů této posloupnosti. 6) Užitím vzorce pro prvních n členů ritmetické posloupnosti určete součet všech přirozených čísel dělitelných třemi, která jsou větší než 00 menší než 760. 7) Určete součet prvních deseti členů ritmetické posloupnosti, jsou-li dány členy -, 7,. 8) Částku 500 Kč si mjí rozdělit společníci mezi sebou tk, by první dostl 000 Kč kždý dlší vždy o 00 Kč více než předcházející. ) Kolik je společníků jkou částku dostne poslední z nich? b) Tři poslední se zřekli svých podílů první společník pk dostl 00 Kč. Kolik dostl poslední? 9) V ritmetické posloupnosti je dáno: -, 7. Určete její první člen, diferenci součet prvních osmi členů. 0) Sečtěte všechn lichá čísl od (-7) do 8. - 9 -
9. ŘEŠENÍ OBECNÉHO TROJÚHELNÍKU ) Řešte trojúhelník, je-li dáno: c 8 cm, v c 6 cm, β 6 0. ) Řešte trojúhelník, je-li dáno: 5 cm, v,7 cm, γ 5. ) Řešte trojúhelník, je-li dáno: b cm, c 0 cm, α 00. ) Řešte trojúhelník, je-li dáno: v 5 mm, β 76, γ 8. 5) V jkém zorném úhlu se jeví tyč 7 m dlouhá pozorovteli, který je od jednoho konce tyče vzdálen 5 m od druhého 8 m? 6) N vrcholu kopce stojí rozhledn 0 m vysoká. Její ptu vrchol vidíme z určitého míst v údolí pod výškovými úhly o velikostech α 8 0, β 0 0. Jk vysoko je vrchol kopce nd horizontální rovinou pozorovcího míst? 7) Těsně n břehu řeky stojí budov. Z jejích dvou oken nd sebou položených ve výškovém rozdílu m je vidět kámen n protějším břehu řeky v hloubkových úhlech o velikostech α 0, β 59. Vypočtěte šířku řeky. 8) Vrchol věže stojící n rovině vidíme z určitého míst A ve výškovém úhlu α 9 5. Přejdeme-li směrem k její ptě o 50 m blíže n místo B, vidíme z něho vrchol ve výškovém úhlu β 58. Jk vysoká je věž? 9) Pozorovtel vidí ptu věže 69 m vysoké v hloubkovém úhlu α 0 0 vrchol v hloubkovém úhlu β 0 50. Jk vysoko je pozorovtelovo stnoviště nd horizontální rovinou, n níž věž stojí? 0) Letdlo letí ve výšce 00 m k pozorovtelně. V okmžiku prvního měření jej bylo vidět pod výškovým úhlem, při druhém měření pod výškovým úhlem 58. Vypočtěte vzdálenost, kterou letdlo uletělo mezi oběm měřeními. - 0 -
0. KOMBINAČNÍ ČÍSLO A JEHO VLASTNOSTI, BINOMICKÁ VĚTA ) V množině N řešte rovnici: n n + 9 n n ) V množině N řešte rovnici: n n 8 n n + n 5 6 ) V množině N řešte rovnici: + n + n n n n ) V množině N řešte rovnici: 0 + n 5) V množině N řešte rovnici: + 6) Užitím binomické věty vypočtěte: ( 5) 7) Užitím binomické věty vypočtěte: ( i ) 8) Určete jedenáctý člen rozvoje výrzu ( y) 5 8 9) Vypočtěte čtvrtý člen rozvoje výrzu + 0) Určete osmý člen rozvoje výrzu i 0 - -
. LINEÁRNÍ A KVADRATICKÁ FUNKCE ) Je dán lineární funkce f: y - + : ) určete f(0), f(), f(-5), b) určete, pro která je f(), f() -5, c) určete průsečíky grfu funkce f s osmi, y, d) nčrtněte grf funkce f. ) Njděte předpis pro lineární funkci f, jestliže D(f),6, H(f) -,0 funkce je ) rostoucí v D(f), b) klesjící v D(f). ) Turist ujde prvidelným tempem,8 km z hodinu. Do 9. 00 hod již ušel km. Njděte funkci, která udává vzdálenost y km, kterou turist ušel mezi 9. 00 hod. 00 hod v závislosti n čse. Určete, kolik km turist ušel do. 0 hod. ) Z nádrže o objemu 00 litrů vytéká vod rychlostí litry z sekundu. Npište: ) funkci, udávjící množství vyteklé vody v závislosti n čse, b) funkci, udávjící, kolik vody ještě v nádrži zbývá v dném čse. Sestrojte grfy obou nlezených funkcí v téže soustvě souřdnic. 5) Dělník má vyrobit určitý počet výrobků. Stroj, n kterém prcuje, mu umožňuje jeden ze dvou prcovních postupů: A: zčít prcovt hned s produktivitou výrobky z hodinu. B: provést nejprve úprvu stroje trvjící hodiny potom prcovt s produktivitou výrobky z hodinu. Určete funkce, které vyjdřují závislost počtu výrobků n čse při obou prcovních postupech. Pro jký celkový počet výrobků je vhodnější vrint B? 6) Určete kvdrtickou funkci, které ptří body A[,], B[-,], C[-,9]. 7) Je dán kvdrtická funkce f: y - + - 0. ) Nčrtněte její grf. b) Určete definiční obor obor hodnot. c) Určete pritu funkce. d) Určete monotónnost funkce. e) Určete etrémy funkce. f) Určete průsečíky grfu funkce s osmi souřdnic. - -
8) Je dán kvdrtická funkce f: y - + 6. ) Nčrtněte její grf. b) Určete definiční obor obor hodnot. c) Určete pritu funkce. d) Určete monotónnost funkce. e) Určete etrémy funkce. f) Určete průsečíky grfu funkce s osmi souřdnic. 9) Při svislém vrhu těles směrem vzhůru se výšk s (v metrech) nd určitým místem měnil s čsem t (v sekundách) podle vzthu s 0 + 0t - 5t. Určete, do jké mimální výšky těleso vystoupilo z jkou dobu. 0) V noci se měnil teplot t v závislosti n čse h podle vzthu t h - 5h +, kde h je čs v hodinách po půlnoci. Sestrojte grf funkce pro h 0, 6 hodin. Určete: ) kolik stupňů ukzovl teploměr v 5 hodin ráno, b) kdy byl teplot pod kdy nd nulou, c) v kolik hodin byl teplot mimální, v kolik hodin byl minimální kolik stupňů v té době teploměr ukzovl. - -
. ANALYTICKÉ VYJÁDŘENÍ PŘÍMKY V ROVINĚ ) Npište prmetrický, obecný směrnicový tvr rovnice přímky dné body A[-;7], B[;]. ) Určete prmetrické vyjádření směrnicový tvr přímky dné obecnou rovnicí - 8y + 0. ) Npište rovnici přímky, která je rovnoběžná s přímkou p: y - prochází bodem T[-;]. ) Npište rovnici přímky, která je kolmá k přímce p: y - + 9 prochází bodem T[0;-6]. 5) Určete rovnici přímky p, která prochází bodem A[-;5] je stejně vzdálen od bodů B[;-7], C[-;]. 6) Njděte rovnici přímky, n které leží těžnice t c trojúhelníku ABC, A[-;5], B[;], C[-;]. 7) Njděte obecnou rovnici přímky, která prochází bodem A[-;5] průsečíkem přímek p: + y - 0 q: - y + 8 0. 8) Jsou dány body A[;], B[;], C[;6]. ) Ověřte, zd dné body tvoří trojúhelník. b) Npište rovnici přímky obshující výšku v. 9) Npište rovnici přímky b jdoucí průsečíkem přímek p: - y + 7 0 q: + y + 0 rovnoběžně s přímkou : - y + 0. 0) Určete koeficient b v rovnici přímky p: + by - 0 tk, by ) přímk procházel bodem A[;], b) přímk byl rovnoběžná s osou y, c) přímk měl směrový úhel α 0. - -
. GEOMETRICKÁ POSLOUPNOST A JEJÍ UŽITÍ ) Určete počet členů kvocient geometrické posloupnosti, znáte-li 8, n, S n 9 67. ) V geometrické posloupnosti je součet prvního čtvrtého členu 8, součet druhého třetího členu je. Vypočtěte součet prvních osmi členů této posloupnosti. ) Přičteme-li k číslům, 7, 7 totéž číslo, dostneme první tři členy geometrické posloupnosti. Určete toto číslo. ) Kvádr, jehož rozměry jsou tři po sobě jdoucí členy geometrické posloupnosti, má povrch 78 m. Součet délek hrn procházejících jedním jeho vrcholem je m. Vypočtěte objem kvádru. 5) Určete první člen kvocient geometrické posloupnosti, jestliže + 5 součsně 5 + 6 0. 6) Délky hrn kvádru tvoří geometrickou posloupnost. Objem kvádru je 6 cm. Součet délek hrn vycházejících z jednoho vrcholu je m. Určete délky hrn kvádru. 7) Určete součet prvních šesti členů geometrické posloupnosti, je-li + - součsně + 5. 8) Mezi čísl 5 n 60 vložte tolik čísel,,, n-, n-, by vznikl geometrická posloupnost, v níž součet vložených čísel je 60. Určete tto čísl. 9) Mezi čísl 08 vložte dvě čísl tk, by s dnými čísly tvořil geometrickou posloupnost. 0) Mezi čísl 8 8 vložte tři čísl tk, by s dnými čísly tvořil geometrickou posloupnost. - 5 -
. VEKTORY, SKALÁRNÍ SOUČIN VEKTORU, ODCHYLKA VEKTORU ) Rozhodněte, zd útvr ABCD je rovnoběžník. V kldném přípdě rozhodněte, zd jde o čtverec, obdélník nebo kosočtverec: A[;], B[6;7], C[0;5], D[-;-]. ) Rozhodněte, zd útvr ABCD je rovnoběžník. V kldném přípdě rozhodněte, zd jde o čtverec, obdélník nebo kosočtverec: A[;0;-], B[;;-], C[-;0;], D[-;-;]. ) Určete velikosti strn AB, BC úhel β v trojúhelníku ABC: A[;], B[;-], C[;]. ) Určete odchylku úhlopříček ve čtyřúhelníku ABCD: A[-;;0], B[;;-], C[;-;], D[0;-;]. 5) Jsou dány body A[;], B[;-], C[;]. ) Dokžte, že body A,B,C jsou vrcholy trojúhelníku. b) Vypočtěte velikosti strn b, c. c) Vypočtěte velikost úhlu α. 6) Jsou dány vektory r ( ;5), ( 6;) r. c r. 7) Jsou dány body A[;], B[-;] vektor ( ; 5) b r. Njděte vektor c r kolmý k vektoru b r, pro který pltí r r, kde C B. ) Určete souřdnice bodu C. b) Dokžte, že body ABC jsou vrcholy trojúhelníku. c) Vypočtěte velikosti strn tohoto trojúhelníku. d) Určete velikost největšího vnitřního úhlu tohoto trojúhelníku. 8) Určete vektor v r, který je kolmý k vektoru ( 5; ) u r jehož velikost je. 9) Jsou dány body A[0;], B[5;6]. Njděte bod M n ose tk, by úsečky AM BM byly k sobě kolmé. - 6 -
5. KUŽELOSEČKY, VZÁJEMNÁ POLOHA PŘÍMKY A KUŽELOSEČKY ) Je dán kružnice k: + y + 6y 0 bod A[5; ]. ) Určete střed poloměr kružnice. b) Dokžte, že bod A leží n kružnici. ) Npište rovnici kružnice opsné trojúhelníku ABC: A[; ], B[-; ], C[; -6]. Určete její střed poloměr. ) Určete hodnotu prmetru c tk, by přímk p: + y + c 0 byl tečnou kružnice k: + y 6 + y + 8 0. ) Je dán rovnice elipsy 6 6 + 9y 80 0. Určete: ) souřdnice středu, b) velikosti poloos, c) souřdnice ohnisek, d) souřdnice vrcholů. 5) Je dán rovnice elipsy + 5y 00y + 6 0. Určete: ) souřdnice středu, b) velikosti poloos, c) souřdnice ohnisek, d) souřdnice vrcholů. 6) Npište rovnici tečny k elipse + y 0 p: y + 7 0. 7) Určete vzájemnou polohu přímky p: 0 9y 75 0 elipsy 5 + 6y 900. 8) Určete souřdnice vrcholu, ohnisk rovnici řídící přímky prboly o rovnici y - + 6y + 0. 9) Určete souřdnice vrcholu, ohnisk rovnici řídící přímky prboly o rovnici + 8 + 5y + 6 0. 0) Zjistěte vzájemnou polohu přímky p: 7y + 0 0 prboly y 9. - 7 -
VÝSLEDKY. Algebrické výrzy jejich úprvy ) n + ;,, ) ; 0, y 0, ± y, ) ; + y n n 0, n ±, ) + b ( ) ; 0, b 0, b, 5) ; ±, 0, 6) ; b 0, ±, 7) ± b b ; 0, ± + b, 9) ( ) ; ±, + ; 0, ± 0) ( ). Mocniny s rcionálním mocnitelem ) 6 b, ), ) 6, ) 6, 5) b, 6) 5, 7) 5, 8), 9) 6 5 5, 0). Lineární rovnice nerovnice s jednou neznámou ) R, ), ), ) 7, 5) 5 8 5 5 5, 6), ;, 7), {,,}, 8) 8, { 7; 6; 5;...; }, 9), { ;;;;5;6;7;8;9;0 } 5 0), { }. Lineární rovnice nerovnice s neznámou ve jmenovteli,, ), ) φ, ), ) -, 5) 7, 6) (-0; 6), 7) ( ;) ; ) 5 7 8 7 8) ; ), 9) ;, 0) ; ; 5 5. Soustvy lineárních rovnic s více neznámými ) [; 6], ) [7; 5], ) [5; 9], ) [; -], 5) [-; 0; 0], 6) [; -; ], 7) [6; 9; ], 8) [5; ; 0], 9) žáků, 0) m, b 0 m 6. Lineární rovnice nerovnice s bsolutní hodnotou 5 7 ) P { }, ) P ;, ) ; 6 5 7 7) P ( ;) ( ; ), 8) P ( ; ), 9) ; 6 P, ) P { }, 5) { ;} P, 0) P ( ; ) P, 6) P 6;, - 8 -
7. Kvdrtické rovnice nerovnice ) ;, ) { 8 ; 5}, ±, ) { }, 0, ±, ) ;, 5) 0,,,,, 6) 80 stromků, 7) ( ; ; ), 8) 5;, 9) ;, 0) ( ;) ( ; ), ) ( ; ) ( ; ), ) ; 8. Vzthy mezi kořeny koeficienty kvdrtické rovnice ) -, q -, ),5, p -,5, ) + 9 6 0, ) + 0, 5) ( + + 5) 0, 6) ( - 6 + 0) 0, 7) ( - 7 + 67) 0, 8) c, 9) ) -,, b) ( )( + 6), 0) ),, b) 9 ( + 9. Logritmická funkce, logritmus, logritmická rovnice ) ) P, N, b), ) ) P, P, b), ) ) záporné, záporné, b),5, ) ) kldné, záporné, b) 0, 5) ) ; ;, b) 6, 6) ) ; ;, b), 7) ) ; 5;, b), 8) ) ; ;, b) 6, 9), 6, 0) 0 -, 0 0. Eponenciální funkce, eponenciální rovnice ) ) menší, větší, b), ) ) menší, větší, b) 0, ) ) větší, větší, b), ) ) <, b) 0,, 5) ) <, b), 6) ) >, b), 7) ) ( ; ), b), 8) 0,, 9) -,, 0) -,. Komplení čísl lgebrický goniometrický tvr, Moivreov vět π π 7π 7π ) -6,5 + 6,5i, ) 0, ), ) 0, 5) cos + i.sin, 6) cos + i.sin, 7) cos 90 + i.sin90, 8). b i, : b + i, 9) 5i, 0) -6. Kombintorik vrice, permutce, kombince bez opkování ), ) 5, ) 7, ) ) 60, b) 6, c), d) 8, 5) ) 876, b) 5 50, c) 050, d) 8 8, 6) ), b) 05, c) 6, d), 7) ) 0, b) 0, 8) ) 5, b) 8, 9) 0, ), b) 7, 0) ) 0, b) 96. Prvděpodobnost prvděp. náhodného jevu, prvdě.průniku sjednocení jevů ) ) 50 %, b) 0 %, ) 0,6 %, ) 9,6 %, ) 5, %, 5) ) %, b) %, 6) ) 8,9 %, b),6 %, 7) 77,6 %, 8) ), %, b) 8,5 %, c) 7,5 %, 9) ) 0,6 %, b) %, 0) ) 6,9 %, b) 99,7 %, c) 0,5 %. Sttistik zákldní pojmy, chrkteristiky polohy vribility ) c) 670, s 6 00, s 05 litrů, ) c) 6,7; ˆ nelze určit, ~ 6, 5 ; s,76; s,; ) c) 7,6; s 7,; s,7; ) c),; ˆ ; ~ ; s 0,86; s 0,9; R <0; >; v 77,5 %; 5) c) 60, ˆ 00; ~ 50; s 650; s 60,; v 7,76 %; 6) c),0, ˆ ; ~ ; s,; s,8; 7) c) 7, ˆ 75; ~ 75; s 0,0; s 6,5; 8) c) 80,9 ˆ 80; ~ 8; s 7,5; s 5, ) - 9 -
5. Obvody obshy rovinných obrzců ) cm, b 5 cm, ) o,56 cm, S,56 cm, ) 8,5 m, b 6,5 m, ) o 78, cm, S,05 cm, 5) o 50, cm, S 6,8 cm, 6) o cm, S 688 cm, 7) u 0 cm, u cm, 5,6 cm, 8) ) S 0,09 h, b) 8 88 Kč, 9) 9,79 t, 0) S 588 cm 6. Objemy povrchy těles ) S 96 cm, V 8 cm, ) V 50 cm, ) S cm, ) S 8,6 cm, V, cm, 5) S 7,8 cm, 6) S 78,95 cm, 7) V 9,6 cm, S 65, cm, 8) V 6, m, 9) S, m, 0) V 0 577,5 cm, S 6 7,7 cm 7. Funkce jejich vlstnosti ) ) kvdrtická, b) f(-) 0, f(0) 5, f(), d) D(f) R, H(f) ; ), e) ni sudá ni lichá, f) klesjící pro (- ; ), rostoucí pro (; ), g) zdol omezená; má ostré minimum v f(), h) není prostá, ) ) mocninná, b) f(-) 0, f(0), f() 9, d) D(f) R, H(f) R, e) ni sudá ni lichá, f) rostoucí v R, g) neomezená; nemá etrémy, h) je prostá, ) ) kvdrtická, b) f(-), f(0), f() 5, d) D(f) R, H(f) ; ), e) sudá, f) klesjící pro (- ; 0), rostoucí pro (0; ), g) zdol omezená; má ostré minimum v f(0), h) není prostá, ) ) lineární, b) f(-), f(0) -, f(), d) D(f) R, H(f) R, e) ni sudá ni lichá, f) rostoucí pro R, g) neomezená; nemá etrémy, h) je prostá, 5) -;, 6) (- ; - ; ) - 6, 7) (- ; ; ), 8) 5; ), 9) (- ; - ; ), 0) (- ; ) 5; ) 8. Aritmetická posloupnost její užití ) 8 cm, b cm, ) 0 vložených čísel; d, ) α 0, β 60, γ 90, ) S 9 5 5) S 0 90, 6) S 0 9 70, 7) S 0 0, 8) ) 0 společníků, 0 900 Kč, b) 7 700 Kč, 9) -5, d 6, S 8 8, 0) S 5 665 9. Řešení obecného trojúhelníku sinov kosinov vět ) 56,9 cm, b 9,9 cm, α 56, γ 7 7, ) b, cm, c, 9 cm, α 8 5, β 09, ) 55,5 cm, β, γ 5 07, ) 5,6 mm, b 56,8 mm, c 6, mm, α 66, 5) α 60, 6) 5,7 m, 7) 5,7 m, 8) 8, m, 9) 99,8 m, 0) 808, m 0. Kombinční číslo jeho vlstnosti. Binomická vět ) n 5, ) n 7, ) n, ) n 6, 5) n, 6) 6-60 9 + 600 6-000 + 65, 7) 8 + 96i, 8) 00 5 y 0, 9) 8, 0) 5i. Lineární kvdrtická funkce jejich užití ) ) f(0), f() -, f(-5), b) ;, c) P [,5; 0], P y [0; ], ) ) y, b) y +, ) km, ) ) y, 0; 00, b) y - + 00, 0; 00, 5) f : y, f : y, B je výhodnější, má-li se vyrobit více než výrobků, 6) y +, 7) ) V[; -9], b) D(f) R, H(f) (- ; 0), c) ni sudá ni lichá, d) rostoucí pro (- ; ), klesjící pro (; ), e) ostré mimum f() -9, f) P nemá, P y [0; -0], 8) ) V[; ], b) D(f) R, H(f) ; ), c) ni sudá ni lichá, d) klesjící pro (- ;), rostoucí pro (; ), e) ostré minimum f(), f) P nemá, P y [0; 6], 9) s 00 m, t s, 0) ) C, b) pod nulou: h (; ), nd nulou: h (0; ) (; 6), c) mimální teplot v 6 hod 9 0 C, minimální teplot ve hod 0 - C - 0 -
. Anlytické vyjádření přímky v rovině ) - + 7t, y 7 t, + 7y 0, y +, ) -6 + 8t, y + t, 7 7 y +, ) y + 8 0, ) y 66 0, 5) p//bc 8 + 7y 9 0, SBC p 8 6 + y + 7 0, 6) y - 0, 7) +y 0, 8) ) no, b) y 0, 9) y + 5 0, 0) ) b -,5, b) b 0, c) b. Geometrická posloupnost její užití ) n 7, q, ) S 8 50 nebo S 8,875, ), ) V 7 m, 5) 5, q, 6), b 6, c nebo, b 6, c, 7) S 6-6, 8) 6 vložených čísel: 0, 0, 0, 80, 60, 0, 9), 6, 0) 6,, 6. Vektory velikost vektoru, sklární součin vektorů, úhel vektorů ) kosočtverec, ) kosodélník, ) AB 5, BC 0, β 5, ) ϕ 90, 5) ) no, b) b 5, c 5, c) α 90, 6) c r ;, 7) ) C[;-], b) jsou, c), b 0, 8 0 c 7, d) α 9 06, 8) v r 8 0 ; nebo v r ;, 9) M[; 0] nebo M[; 0] 5. Kuželosečky, vzájemná poloh přímky kuželosečky ) ) S[;-], r 5, b) A k, ) + y + y 0, S[;-], r 5, ) c 6 nebo c -, ) ) S[; 0], b), b, c) F [; 7 ], F [; - 7 ], d) A[; ], B[; -], C[5; 0], D[-; 0], 5) ) S[; ], b) 5, b, c) F [+ ; ], F [- ; ], d) A[8; ], B[-; ], C[; ], D[; 0], 6) t : y + 0, t : y 0, 7) tečn: T ; 5, 8) V[; -], F[-; ], d: 0, 9) V[-; -], F[-; -,5], d: y -0,75, 0) sečn: A[5; 5], B[; 6] - -