a) [výrok, 1] b) Kolik je hodin? [není výrok] c) 2x [výroková forma] d) [výrok, 0] e) Pro každé reálné číslo x platí sin x 1

Transkript

1 . Výroková logik. Určete, které zápisy předstvují výroky, které hypotézy, které výrokové formy které nejsou výroky. U výroků určete prvdivostní hodnotu. ). 6 [výrok, ] Kolik je hodin? [není výrok] c) 0 [výroková form] d) i [výrok, 0] e) Pro kždé reálné číslo pltí sin [výrok, ] f) Mimo nši Sluneční soustvu eistuje život. [hypotéz] g) Středoškolská mtemtik [není výrok] h) Přímk p je rovnoběžná s přímkou q. [výroková form] i) { 0, є R} Ø [výrok, ] j) { 0, є C} Ø [výrok, ] k) log 0 [výroková form]. Negujte výroky:. V nší třídě je studentů.. Kždý člověk se zmýlí.. N výlet nás půjde lespoň.. N louce jsou všechny květy žluté.. Žádný mturnt nepropdl. 6. Eistuje kvdrtická rovnice, která nemá řešení. 7. Je-li trojúhelník rovnostrnný, pk je rovnormenný. 8. Číslo je prvočíslo zároveň liché číslo. 9. Číslo je sudé, právě když je dělitelné dvěm. [řešení: ) V nší třídě je nejvýše nebo lespoň 6 žáků. Eistuje člověk, který se nemýlí. c) N výlet nás půjde nejvýše. d) Alespoň jeden květ n louce není žlutý. e) Alespoň jeden mturnt propdl. f) Kždá kvdrtická rovnice má lespoň jedno řešení. g) Trojúhelník je rovnostrnný není rovnormenný. h) Číslo není prvočíslo nebo není liché číslo. i) Číslo je sudé není dělitelné dvěm nebo číslo není sudé je dělitelné dvěm.]. Co je negcí výroku: Alespoň jeden z nás to nespočítá. přinejmenším já to spočítám nikdo to nespočítá [Kždý to spočítá.] kždý to spočítá více než jeden z nás to spočítá více než jeden z nás to nespočítá. Vytvořte negovný, obrácený obměněný výrok: Nebude-li pršet, nezmokneme. [Negce: Nebude pršet zmokneme; Obrácená vět: Jestliže nezmokneme, pk nebude pršet; Obměn: Jestliže zmokneme, pk bude pršet.]. Ověřte, zd se jedná o tutologii? ( A B) ( A B) [no] 6. Zpište tbulkou prvdivostní hodnotu složeného výroku:

2 ) ( X Z ) X ( X Y ) ( X Y ) 7. Má-li Petr dv lístky do kin, půjde s ním Pvel. Petr všk dv lístky nedostl. Plyne z toho, že Pvel do kin nešel? [ne, nesprávný úsudek] 8. Petr si řekl: Budu-li se snžit, příkld vyřeším nebo se lespoň řešení přiblížím. Příkld nevyřešil, ni se řešení nepřiblížil. Plyne z toho, že se nesnžil? [no, správný úsudek]

3 . Množinové operce. Pomocí Vennových digrmů rozhodněte, zd pro všechny množiny A, B, C dné zákldní množiny U pltí vzthy: ) ( A B) A B [no] ( A B C) [ B ( A C )] B [no]. Ve Vennově digrmu znázorněte: ) (A B ) B (A C) (B A). Jsou dány množiny: A { N, 9, sudé}, B { N, }, C {,} ) ( A B) ( A C) A B, B A c) C' B d) množinu D tk, by D A množiny B,D byly disjunktní e) všechny podmnožiny množiny C [){,}, {6,8}, {,,}, c) {,,}, d) npř. {6}, e) { }, {}, {}, {,}]. Zpište dné množiny pomocí intervlů určete: A B, A C, C E, E' D A R :,, B C D R E { } { R : } { R : } { R : }. Určete: [A <-; 8>, B (-; ), C (- ; >, D (- ; ), E (- ; > U <; ), A B <-; ), A U C (- ; 8>, C E (; >, E D (; )]. Určete grficky krtézský součin A B A C, : A {,,}, B {,}, C (, 6. V nketě odpovídli 0 studenti n tři otázky. První otázku zodpovědělo 6 studentů, druhou 8, třetí, první i druhou 8, první i třetí, druhou i třetí 7 n všechny otázky odpovědělo studentů. Kolik studentů odpovědělo pouze n jednu otázku kolik nezodpovědělo vůbec žádnou? Kolik studentů odpovědělo lespoň n dvě otázky? [Pouze n jednu otázku odpovědělo 7 studentů, vůbec žádnou nezodpovědělo 8 studentů. Alespoň n dvě otázky odpovědělo 7 studentů.] 7. Klub důchodců uspořádl sběr léčivých rostlin. Dv důchodci se ze zdrvotních důvodů nemohli sběru zúčstnit, osttní se rozhodli sbírt hluchvku, bez podběl. Všechny tři byliny sbírlo 7 důchodců, hluchvku i bez důchodců, hluchvku i podběl důchodců. Podběl sbírlo, bez, stejně jko hluchvku. Bez nebo podběl sbírlo důchodců. Určete: Kolik procent důchodců klubu se do sběrové kce zpojilo? Kolik důchodců sbírlo bez i podběl? Jká je prvděpodobnost, že náhodně vybrný důchodce sbírl podběl přitom nesbírl hluchvku? [Do sběru se zpojilo 9, % důchodců. Bez i podběl sbírlo důchodců. Prvděpodobnost, že náhodně vybrný důchodce sbírl podběl přitom nesbírl hluchvku, je ¼, tedy %.]

4 8. Ze lidí jich má rádo ryby. N houbách si rádo pochutná o osoby méně. Těch, kteří jí houby nebo ryby, je 7krát více než těch, kteří houby ni ryby nejedí. Kolik z dotázných jí ryby i houby? [] 9. Ze st žáků se 0 učí němčinu, 8 špnělštinu ngličtinu. 8 se učí špnělštinu i němčinu, 0 se učí špnělsky i nglicky je to dvojnásobek počtu těch, kteří se rozhodli pro němčinu i ngličtinu. Desetin počtu žáků, kteří se učí němčinu, se k němčině učí ještě špnělštinu i ngličtinu. Kolik žáků se učí jen ngličtinu, kolik se učí němčinu, le neovládá ngličtinu kolik žáků se neučí žádný z těchto tří jzyků? [Jen ngličtinu se učí 0 žáků. Němčinu se učí, le neovládá ngličtinu žáků. Žádný z těchto jzyků se neučí 0 žáků.]

5 . Funkce. Nčrtněte grfy funkcí, určete jejich vlstnosti: ) y e) y log y f) y sin c) y g) y d) y log h) y [) D(f) R, H(f) <; ), n (- ; ) klesjící, n <; ) rostoucí, ni sudá, ni lichá, není prostá, omezená zdol d, ostré minimum v D(f) R, H(f) < ; ), n (- ; ) klesá, n < ; ) roste, není prostá, omezená zdol d, ostré minimum v, ni sudá, ni lichá c) D(f) R, H(f) (; ), rostoucí, prostá, ni sudá, ni lichá, omezená zdol d d) D(f) R {0}, H(f) R, n (- ; 0) klesjící, n (0; ) rostoucí, není prostá, sudá, není omezená, ni mimum, ni minimum e) D(f) R {0}, H(f) <0; ), klesjící n (- ; -) U (0; ), rostoucí n <-; 0) U <; ), není prostá, sudá, omezená zdol d 0, minimum v - k k k k f) D(f) R, H(f) <-; >, rostoucí n ; ;, klesjící n ; ;, k periodická p, omezená zdol d -, omezená shor h, lichá, mimum v, minimum v 8 k 8 g) D(f) R {-}, H(f) R {}, rostoucí n (- ; -) U (-; ), prostá, nemá mimum ni minimum, není omezená, ni sudá, ni lichá h) D(f) R, H(f) <-; ), rostoucí n <0; ), klesjící n (- ; 0), není prostá, ostré minimum v 0, omezená zdol d -, sudá. ]. Nádob o objemu 000 litrů se nplní dvěm přívody součsně z minut. Plní-li se pouze jedním přívodem, nplní se z 0 minut, což je o 0 minut delší dob než plní-li se jen druhým přívodem. Určete vlstnosti funkce popisující změnu objemu vody v nádobě v závislosti n čse při otevření: ). přívodu. přívodu c) obou přívodů součsně zkreslete přípdy ),, c) do společného grfu. [f : y 00, f : y 0, f : y 0]. Řešte grficky: ) 6 c) 6. Zjistěte funkci f, která udává závislost obvodu rovnormenného prvoúhlého trojúhelníku n délce: ) jeho odvěsny jeho přepony. [) o.( ) ; o c.( )

6 . Jsou dány funkce: ) y y Určete: D(f), pro která je funkční hodnot rovn 0, f(). [) D(f) (- ; > U <; ),,, f(), D(f) (-; >,, f() neeistuje] 6. Je dán funkce f: y ( )( ). Určete D(f), pro která je funkční hodnot rovn 0, f() f(-). [D(f) (, ),, -, f() 60/, f(-) neeistuje.] 7. Zjistěte, zd k dné funkci eistuje funkce inverzní. Pokud no, npište rovnici této inverzní funkce určete její definiční obor obor hodnot. Sestrojte grfy dné funkce i funkce inverzní. ) y, D(f) (, y, D(f), ) [) f - : y, D(f - ) <-, ), H(f - ) (-, ->; f - : y, D(f - ) <7, 7), H(f - ) <, )]

7 . Lineární funkce. Sestrojte grf funkce: ) y y c) y, (,). Řešte nerovnici: ) 6 0 c) 6. Řešte rovnice s prmetrem : ) c) m n. Řešte rovnice s prmetry m, n : ) n m y y m n m n mn. Řešte grficky: ) y y y y 7 6. Řešte grficky: ) 7. Krel vyjel n chtu v 7 hodin, jeho rodiče o 0 minut později. Všichni dorzili n chtu součsně. Jk je vzdálená cht, jede-li Krel průměrnou rychlostí 0 km/hod rodiče urzí v průměru jeden kilometr z minutu? V kolik hodin přijeli všichni n chtu? Řešte početně i grficky. 8. Bzén se nplní prvním přítokem z 6 hodin, druhým z 9 hodin. Přidáme-li třetí přítok, bude bzén nplněn všemi přítoky součsně z hodiny. Z kolik hodin se bzén nplní pouze třetím přítokem? Výsledky:. ) K. ) K c) K ( c). ),

8 6. ) 7. N chtu přijeli všichni v 7:0 hod. cht je vzdálená 0km. 8. Bzén se nplní pouze třetím přítokem z,hod.

9 . Kvdrtická funkce. Sestrojte grf funkce: ) y y 6 8 c) y d) y 0, e) y f) y. Určete definiční obor funkce: ) y log( ) y c) y 8 log. Řešte rovnice s prmetrem : m ) ( m ) m 6m 0 ( m ) m 0. Řešte početně i grficky nerovnici: 0. Zpište všechny kvdrtické rovnice, které mjí kořeny: ) čtyřikrát větší o čtyři větší c) převrácené d) opčné než jsou kořeny rovnice Řešte nerovnice: ) 0 Výsledky:. ) c). ) 0

10 .. ) c) d) 6. )

11 6. Mocninné funkce. Nčrtněte grf funkce, určete její vlstnosti: ) y f) y y g) ( ) y c) y h) y d) ( ) y i) y e) y j) y. Řešte grficky: ) 6 7 c) < d) - > e) - 6. Uprvte výrz: Vypočtěte: ) ( ) 0. ( ) ( ) ( ) c) ( ) 0. Uprvte výrzy: ). d c b b d c y y.. c) ( ) y y y y y y y y d).... d c b d c e) b b b b b b b b b b 6. Je dán zlomek:. Určete: ) pro která je zlomek definován pro která je hodnot zlomku rovn nule c) pro která reálná nbývá zlomek kldných hodnot. Výsledky:. )

12 c) d) e).. ) c). ) c) d) e) 6. ) pro c)

13 7. Eponenciální funkce. Řešte v množině R rovnici: 8, 80 9,.,0,,9 6 6,, 0, ).( f e d c b. Řešte v množině R rovnici: 8 8. Řešte v množině R rovnici: ( ) 9 9. Řešte v množině R rovnici:. Řešte v množině R rovnici: Řešte v množině R rovnici: Řešte v množině R rovnici: 6 8. Řešte v množině R rovnici: log log log log 9. Řešte v RR soustvu rovnic: 6 8 y y 0. Řešte v RR soustvu rovnic: y y. Řešte v RR soustvu rovnic: ln( ) 0 8 y y. Určete, pro která z R je eponenciální funkce y ) rostoucí; klesjící. Sestrojte grf funkce určete vlstnosti funkce: ) y 0, y - c) y d) y -

14 Výsledky:. ) 0; ; 9; c),; -0, d) 7; e) ; f) 9. 0,. -0,. 0,. ±, 6. ; 7., [ 8,] 0. [,]. [,;, ]., ( - ; - ) b, (,; )

15 8. Logritmické funkce. Řešte grficky:, log > log 8 b, log 0, log 0, c, log < log 7. Určete definiční obor funkce f: y log ( 0 ). Určete definiční obor funkce f: y log. Řešte v R rovnice: ) 0, log log log 0 c) log log 8 log log d) log ( ) log ( ) log e) log log log log6 f) 0 log log g) log0 log0 log log h) 9 i) log - log log 8 j) log ( ) log ( ) 6. Řešte v RR soustvy rovnic: y ) 00 log y log log y log00000 log log y log000 Výsledky:, 8; ( ) ( ) b, 0; c, ; ( ) ) ( ; 0) ; ) ) ( ;) ) ) 00 0 ; c) 0 d) 7 e) 6 f) 0 h) 0,0997 i) 00 j) ;00 ; 00; [0 000; 0] ) ) [ ] [ ] ; 0 00 g) 0 ; 0

16 9. Goniometrické funkce. Dokžte, že pltí: cos cos 06 sin 70 cos 70. Sestrojte grfy funkcí: y cos y sin y sin cos ( ) y tg y sin y sin y cotg d,. Určete hodnoty zbývjících goniometrických funkcí, je li:,sinα α, b, tgα α,. Dokžte, že pltí: tg tg, sin tg tg b, cos cos cos c, sin( y) cos( y) (sin cos ) (sin y cos y). Určete definiční obor funkce f: y log ( tg) 6. Řešte v R rovnice: sin, cot g cos b,cos cos sin sin c, tg cot g sin 0 cos sin cos 0 e,sin cos sin f, sin. cotg cos. tg g, cos - sin cos 0 7. Vypočtěte poloměr kružnice opsné trojúhelníku ABC, je li: 6,cm α : β : γ :: 8. N vrcholu hory stojí věž hrdu vysoká v 0 m. Křižovtku silnic v údolí vidíme z vrcholu věže

17 od její pty v hloubkových úhlech Jk vysoko je vrchol hory nd křižovtkou? 9. Vrchol věže stojící n rovině vidíme z určitého míst A ve výškovém úhlu 9. Přijdeme li směrem k jeho ptě o 0 m blíže n místo B, vidíme vrchol věže ve výškovém úhlu 8. Jk vysoká je věž? 0. N vrcholu kopce stojí rozhledn 0 m vysoká. Její ptu vrchol vidíme z určitého míst v údolí pod výškovými úhly Jk vysoko je vrchol kopce nd horizontální rovinou pozorovného míst. Výsledky: ) ;cot ;cos,sin 6 ;cot 6 ; 6,cos g b g tg α α α α α ), b, c pltí ) k k ; 6) k k k g k f k k e k k d k k c k k k b k k ; ;,,,, ;, 6 ;, ; 6 ; 6, 6 ; 6, 7) 0,6 cm 8) 7 m 9) 8, m 0) 6 m

18 0. Společné postupy při řešení rovnic 7. Řešte v množině R rovnici: 7. Řešte v množině R rovnici: 0. Řešte v množině R rovnici: Řešte v množině R rovnici: Řešte v množině C rovnici: 6 i 6i 0 6. Řešte v množině R rovnici: Řešte v množině C rovnici: Řešte v množině RR soustvu rovnic: y y 9. Řešte v množině R rovnici: Řešte v množině R rovnici: 0. Řešte pomocí mtic soustvy rovnic:) y 8 6y z u y z 6 - y z u 6 z u 0 y z u - u 0 y z u 7. Řešte v množině C rovnici: Řešte v množině R rovnici: Řešte v množině R rovnici: tg tg cot g cot g 0 Výsledky: K,,

19 . ) K,7,9, K,,,. i i K,,,..

20 . Komplení čísl. V množině C řešte rovnici: 0. V množině C řešte rovnici: 0. Pomocí Moivreovy věty umocněte: ( i) 00. V množině C řešte rovnici: i 0. V množině C řešte rovnici: Vypočtěte: ) i ( i) i i. i i i ( ) ( ) i 7. Jsou dán komplení čísl: z i z cos isin. Vypočtěte: ) pomocí Moivreovy věty ( ) 9 z z c) z.z 8. Řešte v C: i i 9. V množině C řešte rovnici proveďte zkoušku: z z ( i ) 0. V Gussově rovině určete grficky množinu všech kompleních čísel Z, pro která pltí: z i z z i. Zobrzte v Gussově rovině všechn komplení čísl z, pro která pltí: ) z i z i i z i. V množině C řešte rovnici: 6i 8 0. Určete opčné číslo číslo kompleně sdružené k číslu z i. V množině C řešte rovnici: ( i ) ( i) 6 i 0 Výsledky:.

21 . K { ± i } ) ) c). K { i, i}

22 . Shodná podobná zobrzení v rovině. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li : : b : c 7 : :, v b cm.. Jsou dány přímky, b, c tk, že b c je s nimi různoběžná. Sestrojte kružnici k, která se dotýká všech tří přímek.. Nlezněte společnou tečnu kružnic k, l, je-li r r.. Jsou dány dvě protínjící se kružnice k, l. Jedním jejich průsečíkem veďte tkovou přímku, která vytíná n obou kružnicích shodné tětivy.. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: v c c m, c cm, γ Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: t 6cm, t b 7, cm, t c 9 cm. 7. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dán obvod o cm, úhly α 60, β. 8. Jsou dány dvě soustředné kružnice k(s, cm) l(t, cm) bod A tk, že SA cm. Sestrojte všechny čtverce ABCD tk, by B k, D l. 9. Jsou dány dvě různoběžné přímky, b úsečk délky r. Sestrojte všechny kružnice k se středem n přímce, poloměrem r, které n přímce b vytínjí tětivu délky r. S r, k S, r, 0. Jsou dány dvě nesoustředné kružnice ( ) ( ) Sestrojte všechny rovnormenné k, r r, které se protínjí v bodech C,Q. ABC (AB je zákldn), pro něž pltí: A k, B k ABC 0. Sestrojte lichoběžník ABCD ( AB CD), je-li dáno: 6, cm, b cm, c cm, d cm.. Je dán k(s,, cm) M: SM cm. Sestrojte všechny tětivy kružnice k, které jsou bodem M děleny v poměru :.. Sestrojte čtverec ABCD, je-li dán součet strny úhlopříčky u 8 cm.. Je dán kružnice l(o,r) její vnější přímk t s bodem A. Sestrojte kružnici, která se dotýká přímky t v bodě A dné kružnice l. ( stejnolehlost ). Jsou dány kružnice k(o, cm), l(p, cm), OP 9 cm. Sestrojte středy stejnolehlosti S, S dných kružnic vypočtěte jejich vzdálenost. Výsledky:. Homotetie. Množiny bodů dné vlstnosti. Homotetie. Středová souměrnost S(P). Množiny bodů dné vlstnosti 6. Středová souměrnost S(AB) 7. Osová souměrnost 8. Rotce R(A, 90 ) 9. Posunutí 0. Rotce. Posunutí

23 . Homotetie H(M, ). Osová souměrnost. Homotetie. Homotetie

24 . Stereometrie.) Sestrojte řezy těles: ) Sestrojte řez kvádru ABCDEFGH rovinou ρ KLB, K GH, GK GH L je střed hrny CG. Sestrojte i průsečnice roviny KLB s podstvou. Sestrojte řez krychle ABCDEFGH rovinou KLM, kde K DH tk, že H je středem DK, L AF, AL FL, M FG, FM GM...) Je dán krychle ABCDEFGH AB. Určete povrch objem těles ACHF..) V krychli ABCDEFGH o hrně vypočtěte vzdálenost bodu R střed CG od AG..) V krychli ABCDEFGH vypočtěte vzdálenost bodu H od úsečky EC, je-li.) V kvádru ABCDEFGH AB cm, BC b cm, AE c 8cm určete A ; ET ; T je střed CG. 6.) Sestrojte řez prvidelného čtyřbokého jehlnu ABCDV rovinou EHG, kde E je středem hrny AB, H leží n DV tk, že DH HV, G CV, VG CG. 7.) V prvidelném čtyřstěnu ABCD, 6 cm, určete: ) odchylku boční stěny od podstvy odchylku boční hrny od podstvy. 8.) Rotční komolý kužel má průměry podstv d 8 cm, d 6 cm, rovin podstvy svírá s pláštěm kužele úhel 60. Určete objem komolého kužele objem kužele, který doplňuje dný komolý kužel n rotční kužel. 9.) Objem kulové úseče je cm, její výšk cm. Určete povrch kulové úseče. 0.) Sestrojte řez krychle ABCDEFGH ) rovinou KLM : K je střed AE; L střed BC M střed HG. rovinou ALH : L je střed BC.) V krychli ABCDEFGH o hrně 8 cm vypočítejte úhel ϕ AGB.) V kvádru ABCDEFGH určete vzdálenost B; EG jestliže AB, BC 6, AE 8 cm..) V kvádru ABCDEFGH o strnách AB, M je střed strny CD. BC, AE určete úhel ϕ AGM; Výsledky:.) V, S.) v,0.) v,08.) 6,78 7.) α 70 β 8.) V, V 8

25 9.) S 97, 8 cm.) ϕ 70 0.) 8, cm.) ϕ 7

26 . Anlytická geometrie přímky.) Jsou dány body A [, ], B [, ], C [,] střed kružnice opsné její poloměr..) Určete těžiště ABC. Určete pomocí průsečíků os strn velikost jeho vnitřních úhlů: A [, ], B [,0 ], C [,].) V ABC určete souřdnice průsečíku výšek R zjistěte jeho vzdálenost od počátku. A 0,0, B,, C,. Npište rovnici úsečky AR. [ ] [ ] [ ].) Je dán trojúhelník ABC: A[,], B[, ], C[,]. Npište: ) prmetrické vyjádření úsečky AB obecnou rovnici výšky n strnu c c) směrnicový tvr rovnice těžnice n strnu c d) úsekový tvr rovnice osy strny.) V prmetrickém vyjádření přímky r: t, y -t, t R, volte R tk, by přímk r procházel průsečíkem přímek p: (P, u v ) q : (Q, v r ), kde P [,], u v (-,), Q [,], v (, -). 6.) N přímce p: y 0 njděte bod Q, který má od bodu P [,?] přímce p vzdálenost d 0. 7.) Npište obecnou rovnici přímky, která prochází bodem [,] ) rovnoběžná s přímkou p: -y 9 0.kolmá k přímce q: y 0 c) rovnoběžná s osou d) rovnoběžná s osou y e) rovnoběžná s osou I. III. kvdrntu A je: ležícího n 8.) Njděte obecné rovnice přímek,které procházejí bodem A [,] mjí od bodu B [ 0,] vzdálenost v. 9.) Npište směrnicový tvr rovnice přímky, která ) má obecnou rovnici -y 8 0 A,, B ;, prochází body [ ] [ ] c) má směrnici k - vytíná n ose y úsek q 6 d) prochází bodem [,] 0.) Zjistěte, zd body [ ; ], N [ ;] ABC: A [ 7; ], B [ ; ], C [ ;]..) Jsou dány body A [ ;], B [ 6;8] A svírá s kldnou poloosou úhel o velikosti 0 M jsou vnitřními body trojúhelník. Bodem A veďte přímku p bodem B přímku q tk, by byly vzájemně kolmé jejich průsečík ležel n ose..) Jsou dány body A [ ; ], B [,6;, ], C [,;6]. Npište obecné rovnice os úhlů trojúhelník ABC, vypočtěte střed kružnice vepsné jko průsečík dvou z nich ověřte, že jím prochází i třetí os..) Určete vrchol C trojúhelník ABC, jsou-li dány body [ ; ], B [ ;0] výšek O [ ; ]. A průsečík

27 .) Je dán bod [ ;] A přímk p: y 0. Určete n p bod R tk, by přímky AR p měly odchylku..) Určete délky strn trojúhelník ABC, jsou-li dány velikosti jeho výšek v 9, v 7, v 8. b c Výsledky:.) r cm..) T [ 0,], α 60 6, β 7 8 0, γ 6 7.) R [,].) v c : -y0 9 c) y - y d) y 7 7.) 0 6.) Q [ 9,7], Q [ 7, ] 7.) ) -y 0 y 0 c) y - 0 d) 0 e) y ) p : y 7 0 p : y 0 9.) ) y - y c) y 6 d) y 0.) M je, N není..) p: y 0 q: y 0.) o o o S b c k : y 0; : 7 y 7 0 :, 0 7 ;.) C [ 0;0].) R [ ;], R [ ;; ].) AB 9, AC 0,7 BC 8,

28 . Anlytická geometrie kuželosečky.) Npište rovnici kružnice, která prochází bodem [ ;6].) Npište rovnici kružnice, která prochází bodem [,] p: -y0 její poloměr r. A dotýká se obou souřdných os. E má střed n přímce y.) Dokžte, že přímk o rovnici je tečnou křivky o rovnici b splněn podmínk. Určete souřdnice bodu dotyku. b r y r, je-li.) Určete souřdnice tečny elipsy 9 y, která n osách,y vymezuje shodné kldné úseky..) Npište rovnici hyperboly s ohnisky E [ 0,], F [ 0,6], která prochází bodem [ 0,] L. 6.) Sestvte rovnici prboly, která prochází body K [, - ], L [ 7, ], M [, -6 ] jejíž os je rovnoběžná s osou y. Určete souřdnice vrcholu, ohnisk rovnici řídicí přímky. 7.) Sestvte rovnici kružnice k, která prochází body A [, - ], B [, 6 ], C [ -,- ]. Npište rovnici kružnice soustředné s kružnicí k, která prochází počátkem soustvy souřdnic. 8.) Určete kuželosečku, její střed, vrcholy, ohnisk. ) 6y 0 y y 00y 0 9.) Určete množinu bodů dnou rovnicí: ) y 6 y 0 y 6 6y 0 0.) Npište rovnici kružnice k, která má střed [ ;] p: y 0 vytíná tětivu délky d8. S která n přímce.) Npište rovnici kružnice, která prochází bodem [ ;] m: y y 0 s přímkou p: y 0 A průsečíky kružnice.) Npište rovnici kružnice, která prochází body [ ;], B [ 6;] n přímce p: y 0 A jejíž střed leží.) Npište rovnici prboly,která je souměrná podle osy y prochází body P 0;0, A 6; [ ] [ ].) Je dán kružnice k: y A ;. ) Určete délku tětivy dné kružnice,která je bodem A půlen. Npište rovnici elipsy,která je vepsná dné kružnici prochází bodem A (přičemž osy elipsy leží v osách souřdnic)..) Určete rovnici tětivy hyperboly y 0 A ;; půlen. bod [ ], která je bodem [ ]

29 Výsledky: k :.) k :.) k k : : : ( 0) ( y 0) 00 ( 6) ( y 6) 6 ( ) ( y ) ( ) ( y ).) b b ; b b.) t : y t : y y y.) 0 6.) ( ) ( y 6) 7.) k : ( ) ( y ) l : ( ) ( y ) 0 8.) ) hyperbol S ;7, F ;7, G ;7 elips S [ ;], F [ ; ], G [ 7;] 9.) ) prbol V [ 0; ] hyperbol S [ ; ],, b [ ] [ ] [ ] 0.) y 0 8y 0.) y 8y 0.) k : y 8 y 9 0.) 8y 0.) ) l hlvní os v ose : : 6y 0 l hlvní os v ose y: y 0.) t : y 6 0

30 6. Vzájemná poloh přímky kuželosečky. Npište rovnice tečen vedených z bodu A [, ] ke kružnici k: y 6 y Npište rovnice tečen kuželosečky y 0 rovnoběžných s přímkou y Npište rovnice tečny ke kuželosečce y 0 v bodě T [ 7, y 0 ].. Určete úhel tečen kružnice k: ( ) ( y ) z bodu M[,7].. Npište rovnice tečen kuželosečky 9 6y kolmých k přímce y Pro která reálná čísl p přímk y p 0 ) protíná kuželosečku y 6 dotýká se jí c) nemá s ní společné body? 7. Npište rovnice tečen z bodu [ 8, ] M k hyperbole y. 8. Npište rovnici kružnice o středu v bodě S [,] p: -y-90., dotýkjící se přímky 9. Určete reálný prmetr d v rovnici přímky p: y d 0 tk, by přímk p byl tečnou. y. kuželosečky ( ) ( ) 6 0. Vypočítejte souřdnice průsečíků kružnice k: y y 0 s přímkou SP, kde bod S je střed kružnice k bod P je počátek soustvy souřdnic.. Npište obecnou rovnici kružnice, která má střed S [, ] souřdnice[, ]., jestliže bod dotyku T má. Npište rovnice tečen kružnice y, jestliže body dotyku jsou průsečíky této kružnice s přímkou y 0. Určete odchylku tečen.. Npište rovnice všech tečen kuželosečky y 6 6y 0, které jsou kolmé k přímce y 0.. Npište rovnice tečen kuželosečky y, které jsou rovnoběžné s přímkou y 0. Vypočtěte souřdnice dotykových bodů.. Je dán kuželosečk 6y 8,. ) Dokžte, že M je bodem vnější oblsti kuželosečky. Npište rovnice tečen kuželosečky procházejících bodem M vypočtěte odchylku těchto tečen. bod M[ ] Výsledky:

31 . y 0, y 0. y 96 0, y y y 0, y 0 6. ) p (,,) U (,; ) ±, p 7. y 0, y 0 8. ( ) ( y ) 6 9. d, d 0. A [ 6, ], B[,]. y 0. y 0, y 0, odchylk y 0 T,,. y 0, y 9 0, α 6 8 p c) (,;,). y 0, y 0, [ ] [,] T

32 7. Anlytická geometrie v prostoru. Určete vzdálenost bodu A [, -6, 6 ] od přímky p, která prochází body B [ -, -, ], C [,, ].. Určete průsečnici p rovin ρ σ. Body A [, 0, 0 ] B [0,, 0 ] pk veďte rovinu τ, která je rovnoběžná s nlezenou průsečnicí p. ρ : R [,, - ], ( 0,,), v,,, σ : P [,, ], (,, ), u ( ) n. m (,,). Určete objem čtyřstěnu, jehož vrcholy tvoří průsečíky roviny ρ: y z 8 0 se souřdnými osmi počátek soustvy souřdnic.. Jsou dány body A [,, ], B [ -,, 0 ], C [,, ], D [0,, ] vektor (,,) w. Určete n přímce AB bod P n přímce CD bod Q tk, by w ležel n přímce PQ.. Určete vzájemnou polohu přímek AB CD, jejich přípdný průnik, jejich odchylku. A,,, B,0,, C,,, D, 6,7. [ ] [ ] [ ] [ ] 6. Určete vzájemnou polohu, popřípdě průnik: ) rovin ρ : y z 0 σ : y z 0 přímky PR: P[ 6,, ], R[ 7,, ] roviny τ : r s, y s, z 9 r s, r, s R 7. Je dán bod K[,,7], roviny ρ : y z 0, σ : y z 8 0. Určete rovinu τ, pro kterou pltí: τ ρ, τ σ, K τ. 8. Jsou dány body [,, ], B[,7,0 ] A rovin ρ : y z 0. Určete rovnici roviny, která prochází body A, B je kolmá k rovině ρ. 9. Je dán čtyřstěn ABCD: [ 0,, ], B[,0, ], C[,, ], D[ 0,, 6] Vypočítejte: A. ) odchylku přímky AD roviny ABC odchylku rovin ABC ABD. 0. Určete bod M souměrný k bodu M [,, ] podle roviny ρ : y z 0.. Npište prmetrickou rovnici přímky, která prochází bodem A [ 0,-,] průsečíkem t přímky p roviny ρ. p y t t R s rovinou ρ y z 0. z t. Je dán čtyřstěn A[,0,], B[ -,-,], C[ 0,-,-6], D[ 0,,]. Určete: ) odchylku přímky DC roviny DAB odchylku rovin DAB ABC c) objem čtyřstěnu. Určete obecnou rovnici roviny ρ, která prochází body A[6, -7,8], B[-,,] je kolmá

33 k rovině σ: 0 y 6z Npište obecnou rovnici roviny τ, která prochází průsečnicí rovin α, β je kolmá n rovinu ρ, jestliže α : y 0, β : y z 0, ρ : y z 0.. Určete vzájemnou polohu rovin α, β. Jsou- li rovnoběžné, určete jejich průsečnici. Jsou-li roviny rovnoběžné, vypočítejte jejich vzdálenost. ) α : y 8z 7 0, β : y 8z 0 α : y z 0, β : y z 7 0 c) α : y 6z 8 0, β : 6y 9z 7 0 Výsledky:. 6 j. p: t, y - t, z t t R 6.. P[ 7,0,], Q [,,0]. různoběžky, P[,,], α 6 6. ) různoběžné, p: - t, y - 9t, z t t R rovnoběžné 7. y z y z 0 9. ) [,,0]. k, y - -k, z 7k k R. ) c) 6 j. 7 6y 9z 0. -7y-z0. ) rovnoběžné, v různoběžné, p: t, y t, z t, t R c) totožné, v 0

34 8. Kombintorik, prvděpodobnost sttistik. Čtyři studenti šest studentek, mezi nimiž je Petr Jn, mjí ze svého středu vybrt tříčlennou komisi. Jká je prvděpodobnost, že Petr nebo Jn budou mezi vylosovnými?. Hráč košíkové promění trestný hod s prvděpodobností 0,8. Jká je prvděpodobnost, že z 0 trestných hodů promění lespoň 8 hodů?. V bedně je 00 žárovek, z nich je vdných. Náhodně vybereme žárovek. Jká je prvděpodobnost, že lespoň jsou dobré?. Dv střelci zshují cíl. První s prvděpodobností p 0, 7, druhý s prvděpodobností p 0,. Určete prvděpodobnost, že: / ob zsáhnou cíl b/ lespoň jeden zsáhne cíl c/ první nezsáhne druhý zsáhne cíl.. V populci, kterou tvoří z % ženy ze % muži, trpí dnou chorobou % mužů % žen. Jká je prvděpodobnost, že náhodně vybrná osob bude trpět touto chorobou? 6. Zřízení se skládá z 0 stejných prvků funguje, jestliže funguje lespoň 8 z nich. Kždý prvek funguje nezávisle n osttních lespoň 00 hodin s prvděpodobností 0,9. Jká je prvděpodobnost, že zřízení funguje lespoň 00 hodin? 7. Při 096 hodech kostkmi byl v kždém hodu zznmenán počet šestek. Rozdělení četností udává tbulk: Počet šestek více Četnost Určete ritmetický průměr, modus, medián, směrodtnou odchylku. 8. V množině N řešte rovnici: 9. Zřízení se skládá z bloků,,, které nezávisle n sobě fungují s prvděpodobností 0,9 ; 0,90; 0,8. Bloky jsou uspořádány podle schémtu n obrázku. S jkou prvděpodobností obvodem poteče proud? 0. Určete počet prvků tk, by při zvětšení počtu prvků o jeden se počet členných kombincí zvětšil o.. Krychli o objemu cm ntřeme modrou brvou pk ji rozřežeme n krychličky o objemu cm, které vložíme do sáčku. Jká je prvděpodobnost, že při výběru z nich vybereme: ) nejvýše jednu s právě modrou stěnou právě dvě se dvěm modrými stěnmi

35 c) dvě krychličky s jednou modrou stěnou jednu krychličku nentřenou c) jednu krychličku s jednou modrou stěnou, jednu se dvěm modrými stěnmi jednu se třemi modrými stěnmi. Určete > 0 tk, by pátý člen binomického rozvoje výrzu 0 byl roven 0.. Určete počet všech přirozených čísel menších než 000, v jejichž dekdickém zápisu jsou cifry,,, 7, 9 kždá nejvýše jednou.. Počet vricí třetí třídy s opkováním je o větší než počet vricí třetí třídy bez opkování z dných prvků. Kolik je prvků?. Kolik způsoby lze přemístit písmen ve slově MISSISSIPPI? Kolik z nich nekončí n písmeno M? Výsledky:. 8. 0,678. 0,98. ) 0,8 0,8 c) 0,. 0, ,9 7. _, mod(), med(), s,9 8. K { N, } 9. 0, ) 0,608 0,76 c) 0, d) 0, , 00

36 9. Posloupnosti řdy.) Dokžte vzth pro součet s n prvních n členů ritmetické posloupnosti. Dokžte vzth pro součet s n prvních n členů geometrické posloupnosti.. Řešte rovnici: ) n n n log n. Vypočítejte součet všech sudých trojciferných čísel. c) n n. Do prvoúhlého rovnormenného trojúhelníku o délce odvěsny je vepsán trojúhelník tk, že jeho vrcholy jsou středy strn dného trojúhelníku. Do tkto vzniklého trojúhelníku je obdobně vepsán dlší trojúhelník, td... ) Určete součet obvodů všech tkto vzniklých trojúhelníků. Určete součet obshů všech tkto vzniklých trojúhelníků.. Do rovnostrnného trojúhelníku o délce strny je vepsán kruh, do kruhu je vepsán rovnostrnný trojúhelník, do něj kruh, td... ) Určete součet obshů všech tkto vzniklých trojúhelníků. Určete součet obshů všech tkto vzniklých kruhů. 6. Vyjádřete vzorcem pro n-tý člen posloupnost, 7, 0,, 6,.. Njděte rekurentní vzorec pro dnou posloupnost. 7. Délky hrn kvádru, které vycházejí z jednoho vrcholu, tvoří tři z sebou jdoucí členy ritmetické posloupnosti. Součet délek těchto hrn je cm, objem kvádru je cm. Určete délky hrn. 8. Určete, s v ritmetické posloupnosti ( n n n ), ve které pltí 8, 8. n Roční přírůstek obce s obyvteli činí,7%. Kolik obyvtel bude mít při tomto stálém přírůstku obec z 6 let? 0. Z jk dlouho by se roční produkce továrny zdvojnásobil při prvidelném 0% ročním nvýšení?. Dná čísl převeďte n zlomek: 0,8, b,6. Vypočtěte: n ) lim n n n b ) lim... n n n n c ) lim n... n... n 9. Součet prvních čtyř po sobě jdoucích členů geometrické posloupnosti je 80. Určete je, víte-li, že čtvrtý je devětkrát větší než druhý.. Číslo vyjádřete jko součet pěti čísel, z nichž kždé následující je o větší než předcházející. Která jsou to čísl?

37 . V geometrické posloupnosti pltí:,. Určete, q Výsledky:. ) 0 - c) ).( ).. ) 9, d, n., n n n, 6. ( ) 7. cm, b 8 cm, c cm. 8. n n, sn n n , roku 706. ) 99. ) c) 6. -,, -6, 08., 7,,, 9., q, q.

38 0. Limit funkce. Vypočtěte: ) lim sin lim 0 cos tg c) lim sin 0 sin sin d) sin lim 0 lim 0 e) ( cot g) sin cos f) lim cos sin g) lim h) lim sin sin i) lim sin cos j) lim cos. Určete ke grfu funkce f : y ) symptoty se směrnicí symptoty bez směrnice Výsledky:. ) 8 c) d) e) f) - g) h) i) cos j). y, -

39 . Derivce funkce. Určete rozměry prního kotle tvru válce tk, by při dném objemu bylo ochlzování páry ve válci co nejmenší (tj. by jeho povrch byl minimální). Porovnejte pk výšku válce poloměr podstvy.. Od světelného bodového zdroje A je ve vzdálenosti střed koule o poloměru, <. Určete poloměr koule tk, by z bodového zdroje A osvětlený kulový vrchlík měl co největší plochu.. Npište rovnici tečny grfu funkce y v bodě [ y 0 ] ) y, 0 y ln, e. Určete první derivci funkce: ) y y sin cos 0 T., 0. Určete intervly, ve kterých je funkce f : y rostoucí (klesjící). 6. Do koule o poloměru r vepište válec o mimálním objemu. 7. Npište. derivci funkce y ( ) 8. Npište rovnici tečny normály ke křivce f: y ln v jejím bodě T[,?]. 9. Urči intervly, ve kterých je dná funkce rostoucí nebo klesjící f: y 0. Nádrž n věži se skládá z válce o výšce délky. Válec je dole ukončen kuželem o témže poloměru podstvy r o strně délky. Určete délku výšky kužele poloměru r tk, by nádrž měl mimální objem. Výsledky:. v r.. ) y 0 y e 0 ( ). ).cos. rost.: (,),(, ),,,0 R 6. v 0 kles. ( ) ( )

40 ( ) 7. y ( ) 8. tečn: y, normál: y - 9. rostoucí: (, ),(, 0, klesjící:,) 0., r. 0, (, )

41 . Průběh funkce Určete průběh funkce:. y. y. y 6 9. y y e y 7. y 8. y ( ) e 9. y ln

42 . Primitivní funkce. Vypočítejte integrály: ) c) d) e) f ) g) h) i) j) k) e sin d cos d e sin d ln sin d d d ln d sin cos d ( ) sin d cos sin d cos d. Vypočítejte obsh rovinného útvru omezeného křivkmi: ) y, y, y 0,, c) y y ( ),, y 0 y 0, 0, y 8 0 Výsledky:. ) e ( sin cos ) c sin c c) cos sin cos c ln d). c cos e) cos c

43 f) e c g) ln c 7 h) i) j) k). ) 6 76 c) 9

44 . Mtemtické důkzy. Dokžte: ) není rcionální číslo není rcionální číslo. Dokžte: ) A B AI B ( AU B) A I B. Dokžte, že pro n N pltí: ) n n nepřímo n n c) n n spoň dvěm typy důkzů d) 6 n n. Dokžte, že pro k N, k >, je jedno z čísel k, k, k dělitelné pěti.. Dokžte mtemtickou indukcí, že číslo M 0, N je dělitelné šesti. 6. Dokžte: ) c)!!!... n n! 0!!... n n...! n! n! n ( n )( n ) ( n ) 6!

45 . Prktická plikce infinitezimálního počtu. Zjistěte rozměry otevřeného bzénu se čtvercovým dnem o objemu m tk, by n vyzdění stěn dn bylo třeb co nejmenší množství mteriálu.. Pořizovcí nákldy elektrického vedení jsou závislé n průřezu S vedení n ztrátách k elektrického proudu ve vedení podle vzthu y k S, kde k, k jsou kldné S konstnty. Určete průřez S tk, by pořizovcí nákldy byly minimální.. Odvoďte vzorec pro výpočet objemu kulové úseče.. Odvoďte vzorec pro výpočet objemu komolého rotčního kužele s poloměry podstv r, r výškou v.. Odvoďte vzorec pro výpočet objemu koule. 6. Odvoďte vzorec pro výpočet objemu rotčního kužele o poloměru r výšce v. 7. Jestliže při chemické rekci dvou látek vstupuje u obou látek do rekce A grmmolekul, kt přemění se grmmolekul z t sekund podle vzthu A( e ), kde k je konstnt rekční rychlosti. Určete rychlost rekce v. 8. Dný typ bkterií se rozmnožuje tk, že se vždy z půl hodiny kždá bkterie rozdělí n dvě. Kolik bkterií tkto vznikne z hodin? V, 9. Jk rychle se mění tlk plynu p s objemem V, pltí-li: p ( V k kde, b, k jsou konstnty? dp p dv 0. V noci se teplot měnil podle vzthu t h h, kde h je čs v hodinách po půlnoci. Nčrtněte grf pro 0 h 6. ) Kolik stupňů bylo v hodin ráno? V kolik hodin ukzovl teploměr - C? c) Kdy byl teplot t <0, t 0, 0<t? d) V kolik hodin byl teplot nejnižší?