76 Počítání s vektory Předpoklady: 704, 705 Pedagogická poznámka: V této hodině se neprobírá nová látka Jde o procvičení a některé aplikace předchozích hodin Rozhodně doporučuji nevynechávat Příklady v této hodině vyžadují modré rámečky z předchozích hodin Pokud s nimi studenti mají problémy, je třeba nasadit nějakou formu donucení nebo budou ve škole až do konce analytické geometrie zbyteční Pedagogická poznámka: Na řešení prvního příkladu většina žáků samostatně nepřijde Nejdříve kreslím na tabuli schématický náčrtek situací, kdy body na přímce leží a i kdy na přímce neleží, pak je vyzývám, aby si v sešitě našli, kdy jsme se zabývali tím, že kdy vektory leží nebo neleží na jedné přímce a teprve poté jim to prozradím Př : Jsou dány body [ ], [ ] a [ 5 ] v přímce Rozhodni, zda tyto tři body leží Pokud body leží v přímce tak platí: ( ) = k ( ) ( ) = ( 5 ( ) ) = ( 6 5) ( ) ( ) osadíme: ( 6 5) = k ( ) 6 = k k =, 5 5 = k ( ) k =, pro každou souřadnici získáváme jiné k vektor ( ) ( ) body, a neleží v přímce ( ) ( ) = = není násobkem vektoru Pedagogická poznámka: Naprostá většina žáků ihned vidí, že vektory nejsou svými násobky, rozhodně je zbytečné, aby situaci rozepisovali tak, jak je uvedeno v příkladu U těch ostatních je třeba se snažit, aby to viděli také, protože manuální nácvik toho, že jeden vektor je násobkem druhého je velmi obtížný a vede k nepříjemné nepružnosti při řešení mnoha jinak jednoduchých situací Př : Jsou dány body K [ 0], L[ 4 ] a M [ 6] v přímce Rozhodni, zda tyto tři body leží Pokud body leží v přímce tak platí: ( M K ) = k ( L K ) ( L K ) = ( 4 ( ) 0) = ( 6 ) ( M K ) ( ) osadíme: ( 6 ) = k ( 4 ) = k k =, 6 ( 4) ( 6 0) ( 4) = =
= k k =, pro obě souřadnice jsme získali stejné k vektor ( M K ) ( L K ) body K, L a M leží v přímce je násobkem vektoru Př : Jsou dány body [ ], [ ] Urči hodnotu parametru x tak, aby bod [ x ] ležel na přímce Pokud body leží v přímce, tak platí: ( ) = k ( ) ( ) = ( x ( ) ) = ( x + ) ( ) ( ) osadíme: ( x + ) = k ( ), x + = k soustava rovnic: = k ( ) k = osadíme do první rovnice: x + = k = ( ) ( ) = = x + = x = od musí mít souřadnice Pedagogická poznámka: Z hlediska budoucnosti je důležité, aby žáci pochopili, že zápis x + = k představuje dvě obyčejné lineární rovnice ( ) ( ) Př 4: Jsou dány body [ 9], [ 9 5] a [ 67] a) okaž, že body, a tvoří trojúhelník b) Urči souřadnice středů stran trojúhelníka c) Urči délky stran trojúhelníka d) Urči souřadnice těžiště trojúhelníka a) okaž, že body, a tvoří trojúhelník ody,, tvoří trojúhelník, pokud neleží na jedné přímce pokud vektory a nejsou rovnoběžné 8 6 = 56 = ( ) ( ) Pro rovnoběžné vektory platí, že jeden je násobek druhého: 8 6 6 ( 8 6) = k ( 5 6) k = = k = = 5 5 6 Vektory nejsou rovnoběžné body, a tvoří trojúhelník b) Urči souřadnice středů stran trojúhelníka + 9 + 9 + ( 5 ) + 9 + 6 + 7 S = = = [ 0 ], S = = 4 = + 9 + 6 5 + 7 5 S = = =
c) Urči délky stran trojúhelníka ( ) ( ) ( [ ]) ( ) = b a + b a = 9 9 + 5 = 60 = 6 0 8, 97 ( ) ( ) ( [ ]) ( ) = c a + c a = 6 9 + 7 = 6 = 9 6,6 ( ) ( ) ( ) ( [ ]) = c b + c b = 6 9 + 7 5 = 5 = 7,7 d) Urči souřadnice těžiště trojúhelníka Těžiště trojúhelníku se nachází v jedné třetině těžnice pro bod T platí: T = S + ( S ) T Podobně: T = S + ( S ) nebo T = S + ( S ) S Spočítáme bod T jako T = S + ( S ) : ( S ) = ( 69) T = S + ( S ) = [ 0 ] + ( 69) = [ ] Kontrola: ( S ) = 9 T = S + ( S ) = 4 9 [ ] + = Pedagogická poznámka: Pomalejší žáci nepočítají všechny strany a všechny délky, stačí když vypočtou jednu oporučuji kontrolovat po jednotlivých bodech a pomalejší posílat dál Př 5: (ONUS) Odvoď obecný vztah pro výpočet těžiště trojúhelníku ze souřadnic jeho c c vrcholů [ a a ], [ b b ], [ ] Zopakujeme předchozí postup, tentokrát s písmeny místo čísel Těžiště trojúhelníku se nachází v jedné třetině těžnice pro bod T platí: T = S + ( S ) a + b a + b S = a + b a + b c a b c a b ( S ) = [ c c ] =
a + b a + b c a b c a b T = S + ( S ) = + = a + b c a b a + b c a b + + = 6 6 a + b + c a b a + b + c a b = = 6 6 a + b + c a + b + c a + b + c a + b + c = 6 6 a + b + c a + T b + c = - vztah nezávisí na vrcholu, ze kterého vedeme těžnici okázali jsme, že těžnice trojúhelníku se protínají v jednom bodě Často se používá symbolický zápis: T = ( + + ) Př 6: Jsou dány body bodu [ ], [ 5] a [ 5 ] a) Urči zbývající vrchol čtverce b) Urči délku strany čtverce c) Urči vrcholy krychle H Vektor má směr shodný s osou z d) Urči souřadnice středu krychle a středu stěny e) Označíme vektory u =, v = a w = Vyjádři pomocí těchto vektorů vektory S, S S a) Urči zbývající vrchol čtverce Z obrázku je zřejmé, že platí: = + = +, ( ) ( ) ( ) [ 5 ] ( 40) [ ] = + = + = Kontrola: = + ( ) = [ ] + ( 4 0) = [ ] b) Urči délku strany čtverce ( ) ( ) ( ) ( ) ( [ ]) ( ) a = = b a + b a + b a = 5 + + = 5 c) Urči vrcholy krychle H Vektor má směr shodný s osou z Směr osy z: ( 00 ) Vektor musí mít velikost 5 = ( 005) opočteme vrcholy: = + = + 005 = 6, ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ 5 ] ( 005) [ 5 6] ( ) [ 5 ] ( 005) [ 5 6] ( ) [ ] ( 005) [ 6 ] = + = + =, = + = + =, H = + = + = d) Urči souřadnice středu krychle a středu stěny 4
H S Z obrázku je vidět, že platí: S = + ( ) + ( ) + ( ) S = [ ] + ( 40) + ( 0 05) + ( 4 0) = [,55,5 ] H S Z obrázku je vidět, že platí: S = + ( ) + ( ) S = [ 5] + ( 40 ) + ( 005) = [,5,5] e) Označíme vektory u =, v = a w = Vyjádři pomocí těchto vektorů vektory S, S S H w Z obrázku je vidět, že platí: S = u v v u S 5
H w S Z obrázku je vidět, že platí: S S = u w + v v S u Př 7: Petáková: strana 00/cvičení strana 00/cvičení 4 strana 0/cvičení strana 0/cvičení Shrnutí: 6