4. EZY NA KUŽELÍCH 4.1. KUŽELOVÁ PLOCHA, KUŽEL Definice : Je dána kružnice k ležící v rovin a mimo ni bod V. Všechny pímky jdoucí bodem V a protínající kružnici k tvoí kruhovou kuželovou plochu. Tyto pímky se nazývají povrchové pímky, bod V se nazývá vrchol, kružnice k se nazývá ídící kružnice a pímka jdoucí stedem S kružnice k a vrcholem V se nazývá stedná s. Definice : ást prostoru omezená kruhovou válcovou plochou a vrcholem V se nazývá kruhový kužel. Definice : Je li stedná kolmá k rovin, vzniká kolmá kuželová plocha, resp. kolmý kruhový kužel. Kolmá kruhová kuželová plocha mže vzniknout také rotací povrchové pímky p, která není k ose o kolmá a protíná jí v bod V, kolem osy o. Potom se nazývá rotaní kuželová plocha. Podobn kolmý kruhový kužel mže též vzniknout rotací pravoúhlého trojúhelníka kolem jedné své odvsny. Potom se nazývá rotaní kužel. 53
Pokud necháme rotovat pravoúhlý trojúhelník SAV s pravým úhlem u vrcholu S, rotací bodu A vznikne podstavná hrana kužele (kružnice k), jednotlivé polohy úseky AV pi rotaci se nazývají strany kužele. Rotací úseky AS se tvoí podstava válce (kruh). Osa rotace je zárove osou válce a délka úseky SV je výška válce v. Bod V se nazývá vrchol. Definice: Rovnostranný kužel je kužel, jehož prmr podstavy se rovná délce jeho strany. Rotací úseky AV získáme pláš kužele. Rozstihneme li jej podél nkteré jeho strany a rozvineme - li jej do roviny, vznikne kruhová výse. Polomr výsee je délka strany válce s a velikost úhlu je urena vztahem : r α = 360 s Pláš spolu s podstavou tvoí povrch kužele. Sí kužele je rozvinutý povrch do roviny. Definice: Rovina procházející vrcholem V kužele se nazývá vrcholová rovina. ezem vrcholové roviny a kužele je trojúhelník. Pi ezech vrcholovou rovinou využíváme toho, že jedním z vrchol ezného trojúhelníka je pímo vrchol jehlanu. Staí tedy najít prsenici podstavy a roviny ezu a zbytek ezu doplnit spojením s vrcholem V. Vrcholové roviny se opt využívá pi hledání prseíku pímky a kuželem. 54
4.2. KONSTRUKCE EZ NA KUŽELÍCH QUÉTELETOVA DANDELINOVA VTA Vta : Rotaní kuželová plocha je proata rovinou, která není vrcholová ani kolmá k ose a která s rovinou podstavy rotaní kuželové plochy svírá úhel menší (resp. roven, resp. vtší) než povrchové pímky, protíná kuželovou plochu v elipse (resp. parabole, resp. hyperbole), piemž ohniska ezu jsou dotykové body kulových ploch vepsaných kuželové ploše a dotýkajících se roviny ezu. elipsa > parabola = hyperbola < dkaz : Obdobn jako u ezu na válci. Pro každý typ ezu se dlá zvláš. Parabolický ez : MF = MM, nebo teny z bodu ke kulové ploše jsou stejn dlouhé. V otoení kolem bodu V pejde MM v MM. MM = Md Platí tedy : MF = Md Dokázali jsme, že ezem je množina bod, která mají stejnou vzdálenost od daného bodu a dané pímky, tedy parabola 55
Dsledek : Pravoúhlým prmtem eliptického, resp. parabolického, resp. hyperbolického ezu rotaní kuželové plochy do roviny kolmé k ose plochy je elipsa, resp. parabola, resp. hyperbola, jejichž jedním ohniskem je prmt vrcholu kuželové plochy. Pro sestrojování ez na kuželích se dále využívá toho, že kružnice a kuželoseka jsou ve vzájemném vztahu stedové kolineace. STEDOVÁ KOLINEACE MEZI KRUŽNICÍ A KUŽELOSEKOU ÚBŽNÍKY A ÚBŽNICE : Bod U roviny, který ve stedové kolineaci odpovídá nevlastnímu bodu U se nazývá úbžník. Pímka u, která odpovídá nevlastní pímce u se nazývá úbžnice. Úbžnice je zárove množinou všech úbžník a je rovnobžná s osou kolineace, nebo nevlastní pímka a úbžnice mají spolený bod v nevlastním bod osy kolineace. Vta : Ve stedové kolineaci rovinných polí existují dv úbžnice. Orientovaná vzdálenost stedu od jedné z nich je rovna orientované vzdálenosti druhé z nich od osy. 56
STEDOVÁ KOLINEACE MEZI KRUŽNICÍ A KUŽELOSEKOU Vta : Stedovým prmt kuželoseky ( i kružnice), jejíž rovina neprochází stedem promítání, je kuželoseka. Vta : Kuželoseka, v níž nevrcholová rovina protne kuželovou plochu, a kružnice podstavy kuželové plochy si odpovídají ve stedové kolineaci. Stedem této kolineace je vrchol kuželové plochy a osou kolineace je prsenice roviny ezu a roviny podstavy. Vta : Teny a sdružené prmry kolineárních kuželoseek si navzájem odpovídají, stedy kuželoseek si ve stedové kolineaci neodpovídají. Vta : Nech kružnici k prvního pole odpovídá ve stedové kolineaci kuželoseka k druhého pole. Tato kuželoseka je elipsou (resp. parabolou, resp. hyperbolou) podle toho, zda úbžnice u prvního pole (pole kružnice k) nemá s kružnicí k žádný spolený bod (resp. má s kružnicí k práv jeden spolený bod, resp. má s kružnicí k dva rzné spolené body). 57
Stedová kolineace mezi kružnicí a elipsou Stedová kolineace je zadána osou o a stedem S. Dále je dána kružnice k a úbžnice stejného pole u (ta nesmí mít s kružnicí žádný spolený bod, aby kolineární kuželosekou byla elipsa). Hledáme sdružené prmry elipsy k. Ke kružnici k vedeme teny m a n rovnobžné s osou kolineace o. jejich dotykové body M a N leží na prmru p kružnice, který je kolmý k ose o. Prmru p odpovídá prmr p. Obraz jeho prseíku U s úbžnicí u je nevlastní bod U, prseík s sou o je samodružný bod. Sted O úseky M N je stedem kuželoseky k. Druhý sdružený prmr q prochází bodem O rovnobžn s osou o (teny m a n v bodech M N jsou rovnobžné s osou o, nebo m a n byly rovnobžné s osou o. Pro sdružené prmry elipsy platí: Teny v koncových bodech jednoho prmru jsou rovnobžné s druhým prmrem). K pímce q a bodu O najdeme bod O a pímku q. Její prseíky P a Q s kružnicí k nám urí body P a Q, které omezí druhý sdružený prmr elipsy k. 58
Stedová kolineace mezi kružnicí a parabolou Stedová kolineace je zadána osou o a stedem S. Dále je dána kružnice k a úbžnice stejného pole u (ta musí mít s kružnicí spolený práv jeden bod, tedy musí být její tenou, aby kolineární kuželosekou byla parabola). Parabolu budeme sestrojovat lichobžníkovou konstrukcí (viz. vybrané konstrukce paraboly a hyperboly str. 61 ). Proto hledáme libovolné dv teny i s body dotyku paraboly. Staí tedy zvolit dva libovolné body M a N na kružnici k a v nich sestrojit teny m a n. Jejich kolineární obrazy M N m a n nám staí k vyrýsování paraboly podle lichobžníkové konstrukce. Protíná li osa kolineace o kružnici k, je výhodné vzít za body M a N prseíky osy o a kružnice k. 59
Stedová kolineace mezi kružnicí a hyperbolou Stedová kolineace je zadána osou o a stedem S. Dále je dána kružnice k a úbžnice stejného pole u (ta musí mít s kružnicí spolené dva body, tedy musí být její senou, aby kolineární kuželosekou byla hyperbola). Sestrojíme body M a N, které jsou prseíky úbžnice u a kružnice k a v nich teny m a n. Tm odpovídají teny m a n s dotykovými body M a N v nekonenu, tedy asymptoty. Osy hyperboly plí úhly asymptot. Hlavní osa je pímka h, její obraz h protne kružnici v bodech A a B, body A a B jsou hlavní vrcholy hyperboly k. Osy hyperboly mžeme sestrojit také pouze z asymptot a jednoho bodu (pokud osa kolineace o protíná kružnici k, máme hned dva takové body X = X a Y = Y ), (viz. : vybrané konstrukce paraboly a hyperboly, str. 62 ) 60
VYBRANÉ POUŽITÉ KONSTRUKCE PARABOLY A HYPERBOLY Lichobžníková konstrukce paraboly : Parabola je urena tenami p q s body dotyku P a Q. Hledáme její vrchol a osu. Spojíme body P a Q a stedem jimi urené úseky vedeme pímku o do bodu R (prseíku teen p a q). Pímka o je smrem osy paraboly. Dále body dotyku P a q vedeme rovnobžky m a n s pímkou o. Bodem R vedeme kolmici na o. V jejím prseíku s pímkou m je bod M, v prseíku s pímkou n je bod N. Vzniknul tak lichobžník PQMN. Jeho úhlopíky se protnou v bod V, jež je vrcholem hledané paraboly. Pímka o procházející bodem V rovnobžn s o je osa paraboly. Ohnisko F sestrojíme pomocí ohniskových vlastností paraboly (prseíkem vrcholové teny v a teny q vedeme kolmici k ten q a v jejím prseíku s osou o je ohnisko F). 61
konstrukce velikosti hlavní osy hyperboly : Hyperbola je urena asymptotami a jedním svým bodem. Hlavní a vedlejší osa plí úhly asymptot. Bodem K vedeme rovnobžku s hlavní osou. Její prseík s vedlejší osou oznaíme O, prseík s asymptotou oznaíme P. Dále sestrojíme kružnici k (O; OK ). Velikost kolmice sestrojené z bodu P kolmo na hlavní osu je hledaná velikost hlavní poloosy a. Pi konstruování ez na kuželové ploše využíváme jak Quételetovy - Dandelinovy vty, tak jejího dsledku (o kolmém prmtu vrcholu kuželové plochy do ohniska kuželoseky ezu). Dále mžeme využít stedové kolineace mezi podstavnou kružnicí a kuželosekou ezu. Úbžnicí kružnice k, podle které poznáme, o jakou kuželoseku se jedná, je stopa roviny, která je rovnobžná s rovinou ezu a prochází vrcholem kuželové plochy. Pi konstrukcích složitjších ez je poteba využít nkterých speciálních konstrukcí hyperboly a paraboly. 62
Píklad 26 : Sestrojte ez daného kužele rovinou a sestrojte sí seíznuté ásti. Popis konstrukce : V náryse vidíme, že rovina svírá s pdorysnou (rovinou podstavy kužele) menší úhel než povrchové pímky, ezem bude elipsa. V náryse se zobrazí do pímky A 2 B 2. Její nárys je rovnobžný se základnicí (poloha spádové pímky), body A 1 B 1 leží na ordinálách. Podle dsledku Quételetovy Dandelinovy vty se vrchol kužele v pdoryse zobrazí do ohniska. Elipsu v pdoryse sestrojíme pomocí ohniskových vlastností. Sí sestrojíme rozdlením podstavné kružnice na dílky a penesením do nárysu. Skutenou velikost povrchových pímek vyteme na povrchové pímce rovnobžné s nárysnou. Skutenou velikost hlavní osy elipsy ezu vidíme v náryse, skutenou velikost vedlejší osy v pdoryse. 63
64
Píklad 27 : Sestrojte ez daného kužele rovinou. Popis konstrukce : V náryse vidíme, že rovina svírá s pdorysnou (rovinou podstavy kužele) stejný úhel jako povrchové pímky, ezem bude parabola. V náryse se zobrazí do pímky A 2 X 2 =Y 2. Její nárys je rovnobžný se základnicí body A 1 X 1 Y 1 leží na ordinálách. Podle dsledku Quételetovy Dandelinovy vty se vrchol kužele v pdoryse zobrazí do ohniska. Parabolu v pdoryse sestrojíme pomocí ohniskových vlastností. 65
Píklad 28 : Sestrojte ez daného kužele rovinou. Popis konstrukce : V náryse vidíme, že rovina svírá s pdorysnou (rovinou podstavy kužele) vtší úhel než povrchové pímky, ezem bude hyperbola. V náryse se zobrazí do polopímek A 2 M 2 =M 2, B 2 N 2 =N 2 Její nárys je rovnobžný se základnicí body A 1 B 1 M 1 M 1 N 2 N 2 leží na ordinálách. Podle dsledku Quételetovy Dandelinovy vty se vrchol kužele v pdoryse zobrazí do ohniska. Zbývá nejít asymptoty. Vedeme rovinu vrcholem V rovnobžnou s rovinou. Ta eže kužel v pímkách a a b, které udávají smr asymptot. Pímky m a n jdoucí stedem hyperboly rovnobžn s pímkami a a b jsou asymptoty hyperboly. Hyperbolu v pdoryse sestrojíme pomocí ohniskových vlastností. 66
Píklad 29 : Protnte daný kužel rovinou v elipse. Popis konstrukce : ez sestrojíme pomocí roviny, která prochází osou kužele kolmo k pdorysn i k rovin ezu. Ve sklopení v pdoryse vidíme body A a B ezu, ohnisko se zobrazí opt do vrcholu. V pdoryse elipsu sestrojíme pomocí ohniskových vlastností. Do nárysu peneseme osy elipsy a dorýsujeme ji Rytzovou konstrukcí. Body pechodu viditelnosti pro nárys odvodíme z pdorysu na hlavní pímce druhé osnovy. 67
Píklad 30 : Rovina je dána svojí pdorysnou stopou. Urete její nárysnou stopu tak, aby ezem byla parabola a ez sestrojte. Popis konstrukce : Pdorysná stopa roviny, která prochází bodem V a je rovnobžná s rovinou je tenou podstavy rovnobžnou s pdorysnou stopou roviny. Její nárysnou stopu najdeme pomocí hlavní pímky, nárysná stopa roviny je s ní rovnobžná. Pdorys ezu sestrojíme opt pomocí roviny. Nárys sestrojíme pomocí lichobžníkové konstrukce (pomocí teen m a n s body dotyku M a N). Bod pechodu viditelnosti T pro nárys odvodíme z pdorysu na hlavní pímce druhé osnovy. 68
Píklad 31 : Protnte daný kužel rovinou. Popis konstrukce : Pomocí roviny, která prochází bodem v rovnobžn s rovinou, zjistíme, že ezem je hyperbola a zárove uríme smry asymptot a 1 b 1 pro pdorys. Zde hyperbolu sestrojíme opt pomocí roviny, která prochází vrcholem V a je kolmá k pdorysn. Ve sklopení najdeme polohu bod A a B. Bod V 1 =F 1, a proto v pdoryse hyperbolu dorýsujeme pomocí ohniskových vlastností. Její asymptoty n 1 a m 1 jsou rovnobžné s pímkami a 1 b 1. Do nárysu peneseme body A, B (ty však nejsou pro nárys hlavními vrcholy) a asymptoty m a n. V náryse hyperbolu dorýsujeme bu pomocí hlavních pímek první osnovy, nebo podle konstrukce na str. 62. Body pechodu viditelnosti pro nárys leží na hlavní pímce druhé osnovy. 69
Píklad 32 : Sestrojte ez kužele s podstavou v rovin obsahuje pímku p. vrcholovou rovinou, která Popis konstrukce : Libovolným bodem na pímce p vedeme pímku v, která prochází vrcholem V. Poté hledáme prsenici r roviny a vrcholové roviny urené pímkami p a v metodou krycí pímky (pímky m a n). Prsenice r protne podstavu kužele, zbytek ezu doplníme spojením s vrcholem kužele. 70
Píklad 33 : Sestrojte ez daného kužele rovinou. Popis konstrukce : Podle polohy roviny,která je rovnobžná s rovinou a prochází bodem V poznáme, že ezem je elipsa (nemá s podstavnou kružnicí žádný spolený bod). Elipsu v pdoryse sestrojím pomocí konstrukce na str. 58. Sdružené prmry peneseme do nárysu a zde elipsu vyrýsujeme pomocí sdružených prmr (Rytzova konstrukce). Body pechodu viditelnosti TT pro nárys jsou v pdoryse sestrojeny pomocí kolineace. 71
Píklad 34 : Protnte daný kužel rovinou v parabole a tento ez sestrojte., která je dána svojí pdorysnou stopou, Popis konstrukce : Rovina,která je rovnobžná s rovinou a prochází bodem V, má svojí pdorysnou stopu rovnobžnou s rovinou a je tenou podstavné kružnice. Parabolu v pdoryse sestrojím pomocí konstrukce na str. 59. V náryse pomocí lichobžníkové konstrukce. Bod pechodu viditelnosti T pro nárys je v pdoryse sestrojen pomocí kolineace. 72
Píklad 35 : Sestrojte ez daného kužele rovinou. Popis konstrukce : Podle polohy roviny,která je rovnobžná s rovinou a prochází bodem V, poznáme, že ezem je hyperbola (má s podstavnou kružnicí spolené dva body). Hyperbolu v pdoryse sestrojím pomocí konstrukce na str. 60. V náryse je teba najít velikost hlavní poloosy konstrukcí ze str. 62. Body pechodu viditelnosti TT pro nárys jsou v pdoryse sestrojeny pomocí kolineace. 73
5. EZY NA KOULÍCH 5.1. KULOVÁ PLOCHA, KOULE Definice : Množina všech bod v prostoru, které mají od pevného bodu S konstantní vzdálenost r (r > 0) se nazývá kulová plocha. Definice : Množina všech bod v prostoru, které mají od pevného bodu s vzdálenost menší nebo rovnu r (r > 0) se nazývá koule. Také kulovou plochu a kouli lze definovat pomocí rotací Definice : Kulová plocha vzniká rotací plkružnice kolem svého prmru. Definice : Koule vzniká rotací plkruhu kolem svého prmru. Definice : Hlavní kružnice kulové plochy je kružnice, která leží v rovin procházející stedem kulové plochy. Tedy kružnice, které mají s kulovou plochou stejný sted a polomr. Vta : Pravoúhlým prmtem kulové plochy je kružnice. Stedem této kružnice je prmt stedu kulové plochy a polomr se rovná polomru kulové plochy 74
Quételetova Dandelinova vta pro kosoúhlý prmt kulové plochy : Kosoúhlým prmtem kulové plochy je elipsa. Sted této elipsy je prmtem stedu kulové plochy, její ohniska jsou prmty krajních bod prmtu kulové plochy, který je kolmý k prmtn. Délka vedlejší poloosy se rovná polomru kulové plochy. 5.2. KONSTRUKCE EZ NA KOULÍCH Vta : ezem kulové plochy libovolnou rovinou je kružnice. Její sted je v prseíku roviny ezu a kolmice vedené ze stedu kolové plochy k rovin ezu. Definice : Hlavní kružnice kulové plochy je kružnice, která leží v rovin procházející stedem kulové plochy. Tedy kružnice, které mají s kulovou plochou stejný sted a polomr. Pi konstruování ez na kouli se používá pomocné roviny kolmé k rovin ezu. 75
Píklad 36 : Sestrojte ez dané kulové plochy rovinou. Popis konstrukce : Protože je rovina kolmá k pdorysn, zobrazí se v pdoryse kružnice ezu do úseky A 1 B 1. Do nárysu se kružnice zobrazí jako elipsa s hlavní osou C 2 D 2, kde platí C 2 D 2 = A 1 B 1, a vedlejší osou A 2 B 2. Body TT pechodu viditelnosti pro nárys leží v pdoryse na hlavní pímce druhé osnovy. 76
Píklad 37 : Sestrojte ez dané kulové plochy rovinou. Popis konstrukce : Sted O kulové plochy je prseíkem pímky k. která je kolmá k rovin ezu a prochází bodem s, a roviny ezu (získáme ho pomocí krycí pímky m). ez sestrojíme pomocí pomocné tetí prmtny 3, která je kolmá jak k rovin ezu, tak k pdorysn a prochází body S a O. Ve sklopení vidíme polomr elipsy ( (O)(S) ). Do nárysu peneseme body A, B (leží na hlavní pímce první osnovy). Dále známe velikost hlavní osy na hlavní pímce druhé osnovy jdoucí bodem O. V náryse elipsu dorýsujeme pomocí proužkové konstrukce. Body pechodu viditelnosti UU pro pdorys leží na hlavní pímce první osnovy, body TT pro nárys na hlavní pímce druhé osnovy. 77
Píklad 38 : Je dána rovina a v ní kružnice. Sestrojte prmt kulové plochy, která obsahuje tuto kružnici a má sted v rovin. Popis konstrukce : Sted S kulové plochy leží na kolmici k k rovinám a, najdeme ho pomocí hlavní pímky. Pokud vedeme pomocnou rovinu 3, která je kolmá jak k rovin ezu, tak k nárysn a prochází body S a O, mžeme ve sklopení urit obraz kulové plochy (Sklopíme body S a O, zadanou kružnici i roviny a. Kulová plocha prochází prseíky kružnice s rovinou.). Polomr ve sklopení se zobrazí ve skutené velikosti. 78