.5. Gavitační pole Není třeba na úvod této kapitoly uvádět paktický příklad působení avitace na hotná tělesa. Každý jse již upadli, nebo ná něco spadlo na ze. Této pobleatiky jse se již dotkli v dynaice, hlavně v kapitole tíhová síla a tíha tělesa. V následující kapitole se na příčinu našich pádů podíváe podobněji.. Osvojit si poznatek o vzájené přitahování hotných objektů.. Uět definovat avitační pole 3.. Znát vztah po velikost avitační síly. 4. Uět vypočítat avitační síly i jiných polí než v avitační poli Zeě.Foulovat Newtonův avitační zákon ve vektoové tvau. 5. Definovat intenzitu a potenciál daného ísta avitačního pole. 6. Vysvětlit poje ekvipotenciálních hladin. 7. Znát ateatickou souvislost ezi intenzitou a potenciále, vysvětlit fyzikální význa adientu. 8. Vědět, že avitační síla F uděluje tělesů v okolí Zeě zychlení a. 9. Znát vztah po velikost avitačního zychlení. 0. Znát přibližnou hodnotu avitačního zychlení na povchu Zeě.. Uět vypočítat a a F v dané výšce h nad povche Zeě.. Rozlišit avitační a tíhovou sílu, zdůvodnit čí se liší. 3. Vědět, že tíhová síla uděluje tělesů při povchu Zeě zychlení tíhové zychlení. 4. Vědět, poč velikost tíhového zychlení závisí na zeěpisné šířce a nadořské výšce. 5. Osvojit si poznatek, že volný pád je pohyb v hooenní tíhové poli Zeě s nulovou počáteční ychlostí. 6. Vědět, že vhy těles jsou pohyby složené z ovnoěného příočaého pohybu ychlostí v o a volného pádu. 7. Rozlišit podle sěu počáteční ychlosti vh svislý vzhůu (dolů), vodoovný a šiký. 8. Vědět, jak závisí tva tajektoie satelitu na jeho počáteční ychlosti. 9. Uět vypočítat pvní kosickou ychlost. 0. Znát slovní foulace tří Kepleových zákonů..5.. Newtonův avitační zákon Dříve, než si vyslovíe Newtonův avitační zákon si usíe vysvětlit poje avitační síla a avitační pole. Z vlastní zkušenosti víe, že všechna hotná tělesa jsou přitahována Zeí. Na tato tělesa působí Zeě avitační silou F. Posí nezaěňovat s tíhovou silou F G, ozdíl si vysvětlíe dále. Důležité je, že avitační síla 05
působí na všechna hotná tělesa na i nad povche Zeě. V okolí Zeě existuje avitační pole. Gavitační pole tělesa je posto v jeho okolí, ve kteé se pojevují účinky avitační síly F na jiná hotná tělesa. Gavitační pole Zeě saozřejě není jediný existující avitační pole. Své avitační pole á Měsíc, Slunce, ale i člověk nebo dřevěná bedna zkátka každé hotné těleso. Jse-li v avitační poli Zeě, je současně i Zeě v naše avitační poli. Působí-li Zeě na nás avitační silou, působíe i y na Zei avitační silou a to stejně velikou. (Newtonův zákon akce a eakce). Gavitační silové působení ezi tělesy je vzájené. Vzájené avitační působení se uskutečňuje poocí hypotetických částic zvaných avitony. Představa fyziků je taková, že každý hotný objekt stále vysílá do svého okolí a tedy i k duhéu hotnéu objektu avitony a na duhé staně pohlcuje ty avitony kteé přicházejí od duhého objektu. Takže jse si řekli, co je to avitační pole, co je avitační síla a teď nezbývá než si velikost této síly vyjádřit. To už povedl před staletíi Isaac Newton, když vyslovil Newtonův avitační zákon. Dvě tělesa se vzájeně přitahují avitační silou F, jejíž velikost je přío úěná součinu jejich hotností, a nepřío úěná duhé ocnině jejich vzdálenosti.(ob..5.-) F = κ..5.- Konstanta úěnosti κ (kappa) je avitační konstanta a á hodnotu κ = 6,67.0 - N..k -. Gavitační konstanta je univezální konstanta platná v celé Vesíu. Tato konstanta nezávisí na postředí v okolí tělesa, jehož působení sledujee. Ob..5.- Vztah.5.- vyjadřuje pouze velikost avitační síly. Ale i avitační síla jako každá jiná á i svůj sě. To vystihuje Newtonův avitační zákon ve vektoové tvau: Sě si vyjádříe poocí jednotkového vektou velikost a leží na spojnici obou na sebe působících hotností: 06 o (Ob..5.-), kteý á jednotkovou o F = κ.5.- Gavitační síla F ezi dvěa tělesy se nezění, i když v okolí obou těles budou jiné hotné objekty. Stejná avitační síla na nás působí venku na chodníku, ale i uvnitř uzavřeného asivního betonového bunku. A ještě jeden fakt si usíe zdůaznit. Ačkoliv Newtonův avitační zákon platí přesně jen po hotné body, ůžee ho použít i na eálné předěty. Vzdáleností je v toto případě vzdálenost jejich středů.
Vypočítejte, jakou avitační silou se přitahují a) dva lidé o hotnostech 80 k, b) Zeě a Měsíc. Ad a) Dosadíe do avitačního zákona. Potože sě avitační síly je zřejý, použijee skaláního zápisu vztah.5.-. 6,67.0 80.80 7 F = κ = = 4,.0 N. To je pakticky nezěřitelná síla. Ad b) Opět dosadíe do avitačního zákona 6.0.7,4.0 4 0 F = κ = 6,67.0 =. 0 N. To odpovídá přibližně tíze 8 ( 3,8.0 ) 000000000000 letadlových lodí o výtlaku 0 000 tun. Řešený příklade jse chtěli ukázat, že avitační síla se pakticky pojevuje pouze u těles velkých hotností. TO.5.- Dva hotné body, z nichž každý á hotnost, se vzájeně přitahují ze vzdálenosti silou 36 N. Jak velkou silou se tyto body přitahují ze vzdálenosti /? TO.5.- Dva hotné body, z nichž každý á hotnost, se vzájeně přitahují ze vzdálenosti silou 36 N. Jak velkou silou se tyto body přitahují, zění-li se hotnost každého z nich na? U.5.- Satelit obíhá kole Zeě po kuhové dáze o poloěu 6,6.0 3 k ěřeno od jejího středu. Jakou usí ít ychlost aby se na této dáze udžel? Počítejte s hotností Zeě 6.0 4 k. U.5.- Jak velkou silou působí Měsíc na 3 ořské vody o hustotě 030 k. -3? Kteé jevy v důsledku tohoto působení Měsíce pozoujee?.5.. Intenzita a potenciál avitačního pole K popisu avitačního pole slouží ještě další veličiny. Poocí avitační síly F ůžee definovat každý bod avitačního pole, ale současně usíe uvést ještě jeden údaj a to velikost hotnosti, na kteou v dotyčné ístě avitační síla působí. Tak k úplnéu definování pole v dané ístě potřebujee dva údaje. Zavedee si tedy novou veličinu jednotkovou hotnost. intenzitu avitačního pole jako avitační sílu na F K = [N.k - =.s - ].5.-3 Poocí této veličiny již definujee avitační pole jednoznačně. Sě intenzity avitačního pole je stejný jako sě avitační síly. To jse pořád hovořili o vektoové popisu pole. Podobně je to také se skalání popise pole. Každý bod avitačního pole ůžee definovat (popsat) poocí skalání veličiny potenciální eneie avitačního pole E p. Ale áe tu zase stejný poblé. Musíe uvést nejen velikost potenciální eneie v dané ístě, ale také říci, že se jedná o potenciální eneii objektu hotnosti. Řešení tohoto pobléu je stejné jako u vektoového popisu. Zavedee si novou veličinu potenciál avitačního pole jako potenciální eneii jednotkové hotnosti poocí následujícího vztahu: 07
E p V = [J.k - =.s - ].5.-4 Mohu teď jednoznačně popsat avitační pole poocí skalání veličiny - potenciálu. U avitačního pole bude vztah po zěnu potenciálu veli jednoduchý. Vzpoeňte si, vyjadřovali jse si zěnu potenciální eneie tíhového pole výaze E pt = h. Po avitační pole pole avitačních sil F = a bude zěna avitační potenciální eneie dána vztahe E p = a h, kde a je avitační zychlení. Podělíe-li tento vztah hotností, dostanee po zěnu potenciálu avitačního pole vztah V =a h. O avitační zychlení a bude pojednáno v následující kapitole. Vyjádříe si zěnu potenciálu ještě jinak. Vztah.5.-4 si přepíšee po zěnu potenciálu. V E = p. Dosaďe do tohoto vztahu z obecného vztahu po zěnu potenciální eneie (vztah.4.-): V = F. d i. Ale podíl vnitřní síly F i, pořád hovoříe ještě o avitační poli tedy síly avitační F, a hotnosti je intenzita avitačního pole K. Vztah tedy přepíšee do tvau: V = F. d = K. d d V K...5.-5 = Tento vztah ukazuje souvislost ezi vektoový popise pole poocí intenzity pole K a skalání popise poocí potenciálu pole V. Vztah platí po jakékoliv pole (avitační, elektické, anetické atp.). Ještě vhodnější je zápis v difeenciální tvau: d = K.d..5.-6 V Máe-li tedy pole chaakteizováno v každé bodě intenzitou pole, ůžee poocí ateatické opeace získat popis poocí skalání veličiny potenciálu. A teď bude nutné si toch osvěžit, co víte z ateatiky. Nalistujte si poje adient skalání veličiny a zjistíte, že se dá kásně aplikovat na náš poblé. Můžee při znalosti půběhu skaláu (potenciálu) ateatickou opeací vypočítat půběh vektoové veličiny (intenzity). Vyjdee z přepisu vztahu.5.-6 do tvau intenzity dv o = K d. a vyjádříe si z něj vekto 08
dv K =. d o Tento vztah je zjednodušený vztah obecného zápisu K = adv.5.-7 09 Ob..5.- Vztah ezi intenzitou a potenciále lépe pochopíte z afického vyjádření. Na Ob..5.- áte nakesleny řezy ísty stejného potenciálu V, kteý říkáe ekvipotenciální hladiny. Co bude ekvipotenciální hladinou v případě pole v okolí hotného bodu hotnosti? Vyjdee z definičního vztahu po avitačního zákona V F. d o κ. d = = = κ potenciál a upavíe si jej poocí Newtonova o. d = κ.5.-8 Velikost potenciálu bude záviset na konstantě κ, velikost hotnost, kteá avitační pole vyvolává a na vzdálenost od zdoje pole. Po stejnou vzdálenost bude potenciál stejný ekvipotenciální plochou v toto případě bude tedy povch koule o poloěu. Důležitý je poznatek, že při přeisťování jiné hotnosti po ekvipotenciální hladině se nekoná páce. Lehce si to zdůvodníte dosazení do vztahu po páci.4.- dosazení za sílu z Newtonova avitačního zákona. V naše případě vekto zěny d a jednotkový vekto o jsou na sebe kolé a skalání součin je tedy oven nule. Ale vaťe se ještě k obázku Ob..5.-. Přeisťuje tedy jednotkovou hotnost nejdříve po ekvipotenciální hladině s velikostí potenciálu V. Potože se pohybujee po ekvipotenciální hladině, páce se nekoná. W, = F.d
Teď přeisťuje jednotkovou hotnost ve sěu d v obázku označené jako d. Vykonaná eleentání páce bude dána vztahe K. = dv. Místo síly F je zde intenzita K potože přeisťujee jednotkovou hotnost. A teď přeisťuje zase jednotkovou hotnost, opět z hladiny V na hladinu V +d V ale ve sěu noály n (vekto d ) ve sěu intenzity K. Velikost vykonané páce bude stejná, ale účinnost bude axiální. To je význa funkce adient aplikované v ovnici.5.-7. c) F d) κ TO.5.-3 Na těleso hotnosti působí avitační pole silou F. Intenzita tohoto avitačního pole K v dané bodě postou je vekto K = a) F / b) F TO.5.-4 V avitační poli uvažujte dva body A,B. V bodě A působí na těleso hotnosti 3 k avitační síla 30 N, v bodě B působí na těleso hotnosti k avitační síla 40 N. Co platí o velikostech intenzit K A a K B v bodech A a B? a) K A = K B b) K A > K B c) K A < K B TO.5.-5 Víte, že intenzita avitačního pole Zeě ve vzdálenosti od jejího středu je K = (- κ M Z / ). o, kde M Z je hotnost Zeě. Vypočítejte potenciál v téže ístě. V = TO.5-6 Těleso hotnosti k á v učité bodě avitačního pole potenciální eneii 0 J. Vypočítejte potenciál tohoto avitačního pole v dané bodě. V =.5.3. Gavitace v okolí Zeě F Zjednodušíe si situaci. Předpokládeje, že Zeě je hooenní koule o hotnosti M a poloěu R = 6 37 k. Pak Newtonův avitační zákon přepíšee do tvau : M = κ..5.-9 Tento vztah učuje avitační sílu, kteou Zeě působí na těleso hotnosti ve vzdálenosti R od středu Zeě viz Ob..5.-3. 0. Ob..5.-3 Použijee-li Newtonův zákon síly F = a, ůžee napsat po avitační sílu vztah F = a. Sybole a jse si označili avitační zychlení. Dosadíe-li do tohoto vztahu za avitační sílu z avitačního zákona, dostanee po avitační zychlení výaz:
a M = κ..5.-0 Jedná se vlastně vztah po intenzitu avitačního pole K. Gavitační zychlení podle tohoto vztahu bude záviset na výšce h = R tělesa nad Zeí. V tabulce závislosti avitačního zychlení na výšce se ůžete podívat, jak výazně se ění avitační zychlení se vzdáleností od povchu Zeě. Tabulka závislosti avitačního zychlení na výšce Výška nad Zeí h (k) a (.s - ) Mořská hladina 0 9,83 Mount Eveest 8,8 9,80 Nejvyšší výška výstupu balónu 36,6 9,7 Dáha aketoplánu 400 8,7 Kounikační dužice 35 700 0,5 A teď si konečně vysvětlíe ozdíl ezi avitační zychlení a a tíhový zychlení. Zůstaňe na Zei. Podle Newtonova avitačního zákona na libovolné těleso na Zei působí avitační síla F = a. Ve skutečnosti, ale na těleso působí tíhová síla F G =. Velikosti tíhové a avitační síly Zeě se liší a to z následujících důvodů: Gavitační síla závisí na vzdálenosti tělesa od středu Zeě. Ale zeě není dokonalá koule, je to elipsoid zploštěný na pólech. Tíhové zychlení oste sěe od ovníku k pólu ění se se zeěpisnou šířkou. Hustota Zeě se ění v jednotlivých oblastech pod povche Zeě. Poto také tíhové zychlení je ůzné v ůzných ístech Zeě. Největší vliv á ale otace Zeě. Podíváe-li se na obázek Ob..5.-4, vidíe, že na těleso na povchu zeě působí avitační síla F. Ale potože Zeě otuje, působí na toto těleso i odstředivá síla F o = ω. Úhlová ychlost otace Zeě je na všech zeěpisných šířkách stejná, ale poloě otáčení <R se sěe od ovníku ( = R) zenšuje. Výsledná tíhová síla působící na těleso je dána vektoový součte avitační a odstředivé síly zanedbáe-li ostatní éně význané síly. G o Ob..5.-4 F = F + F.5.- Podělíe-li tento vztah hotností na kteou síly působí, dostanee vztah souvislosti tíhového a avitačního zychlení = a + a o.5.- Učete ozdíl ezi avitační a tíhový zychlení na ovníku. Uvažujte jen vliv otace Zeě.
Uvažuje těleso hotnosti. Na ovníku je jeho avitační zychlení (tabulka závislosti avitačního zychlení na výšce) a = 9,83.s -. Velikost setvačné odstředivé síly bude na ovníku F o π = ω R = T R, kde T = 4 h je doba jednoho oběhu Zeě. Tíhová síla bude ovna avitační síle zenšené o odstředivou sílu: π π 6 FG = F Fo = a R = 9,83 6,37.0 =. 9,8 T ( 4.60.60) N. Je tedy tíhové zychlení na ovníku = 9,8.s -. Z řešeného příkladu je vidět, že ozdíl ezi tíhový a avitační zychlení není velký. Na ovníku je tento ozdíl vlive otace 0,03.s -, postupně klesá k pólu, kde je nulový. Přihlédnee-li k jiný dříve popsaný vlivů, je ve skutečnosti naěřené tíhové zychlení na ovníku 9,78.s -. Z toho všeho je vidět, že po paktické oientační výpočty není třeba k těto odchylká přihlížet, běžně se počítá s hodnotou tíhového zychlení = 9,8.s -, případně 0.s -. U.5.-3 Učete hotnost Masu, jestliže avitační zychlení na Masu při jeho povchu á velikost 3,63 N.k - a jeho poloě je 3 400 k..5.4 Pohyb těles v blízkosti povchu Zeě V této kapitole si budee všíat pohybu těles v tíhové poli Zeě. Oezíe se na pohyby, jejichž dáha je kátká vzhlede k ozěů Zeě. Půjde tedy například o výkop balónu na hřišti, již ziňovaný pád květináče z okna, ale ne o vystřelenou obitální aketu. Postupně podle jednoduchosti se budee zabývat volný páde, vhe svislý vzhůu a šiký vhe. Všechny případy budee řešit za zjednodušených podínek. Budee uvažovat pouze působení jediné síly tj. tíhové síly a zanedbávat odpoové síly (odpo vzduchu apod.). Volný pád O volné pádu jse již hovořili v kineatice v kapitole..3.5 Volný pád, a tak si teď pouze zopakujee závěy této kapitoly. Ob..5.-5 Na těleso padající volný páde působí tíhová síla F G = jak je vidět na Ob..5.-5. Volný pád je pohyb ovnoěně zychlený chaakteizovaný tíhový zychlení. Rychlost a dáha volného pádu jsou popsány ovnicei: v = t, s = ½ t. Všiněte si, že ychlost ani dáha nezávisí na hotnosti tělesa. To bude platit i po následující vhy. Vh svislý vzhůu
Řeknee-li vh, ozuíe tí, že se jedná o pohyb, kteý si ůžee představit složený z více pohybů. Pvní pohybe je pohyb, kdy tělesu udělíe počáteční ychlost v o. Těleso by se pohybovalo ovnoěně příočaý pohybe ve sěu ychlosti. Duhý pohybe je pohyb pod vlive tíhové síly, tedy volný pád. O jaký vh konkétně půjde záleží na vzájené oientaci počáteční ychlosti a oientaci tíhové síly. Jednotlivé duhy vhů si ůžete pohlédnout na Ob..5.-6. Po svislý vh vzhůu je chaakteistické, že počáteční ychlost a tíhová síla jsou opačně oientované jak je patné z Ob..5.-7. Výsledný pohyb je pohyb ovnoěně zpoalený s počáteční ychlostí v o a zychlení ( ). Použijee-li vztahů po ychlost a dáhu ovnoěně zychleného pohybu z kineatiky, dostanee po ychlost a výšku tělesa v čase t ovnice: ) v = v o t, h = v o t ½ t. Ob..5.-6 Vodoovný vh U vodoovného vhu je počáteční ychlost oientována vodoovně (ve sěu osy x) a tíha působí ve sěu svislé (- y) jak je znázoněno na Ob..5.-8. Složení ovnoěného příočaého pohybu ve sěu x a volného pádu ve sěu y vznikne křivočaý pohyb. Tajektoií tohoto pohybu je část paaboly s vchole v ístě vhu A. Ob..5.-8 Pokud nás zajíá, kde bude vžené těleso za čas t (bod B), pak si stanovíe jeho souřadnice. Souřadnice x bude dáhou pohybu Ob..5.-7 3
ovnoěného s počáteční ychlostí v o, jeho souřadnice y je dána dáhou volného pádu za čas t. ) x = v o t, y = h ½ t. Učete, ka až dohodíte káen hotnosti 0,5 k z věže vysoké 0? Počáteční ychlost vašeho vhu bude 5.s -. Hledáe vzdálenost d bodu D z obázku Ob..5.-8. Této vzdálenosti se říká délka vhu. Co vlastně znáe? V pvé řadě áe zadanou počáteční ychlost v o = 5.s -.. Tu použijee po výpočet vzdálenost d, vlastně x-ové souřadnice hledaného bodu, d = v o t. Neznáe však čas, za kteý káen do bodu D dopadne. Ten získáe z ovnice po y-ovou souřadnici bodu D. Tato souřadnice je ovna nule. Potože víe z jaké výšky h byl káen hozen, áe v ovnici po y pouze jednu neznáou a to hledaný čas t. V naše případě platí 0 = h ½ t. Z poslední ovnice vyjádříe čas t a ten dosadíe do ovnice po hledanou délku vhu. Dostanee vztah h.0 d = vo = 5 = 0. 0 Káen dopadne do vzdálenosti 0 od paty věže. Vh šiký vzhůu Tento vh se liší od předešlého tí, že počáteční ychlost nesěřuje vodoovně, ale pod úhle α šiko vzhůu Ob..5.-9. Touto úhlu říkáe elevační úhel. Jinak ale budee postupovat téěř stejně jako v předešlé případu. Tentokáte ale budee skládat pohyby tři. Ob..5.-9 Pvní pohybe bude ovnoěný pohyb ve sěu osy x. Poti vodoovnéu vhu se ale uplatní pouze složka počáteční ychlosti v x = v o cosα. Souřadnice x libovolného bodu dáhy B bude x = v o t cosα. Ve sěu osy y se těleso bude pohybovat vhe svislý vzhůu. Tento pohyb je složen z příočaého ovnoěného pohybu s počáteční ychlostí danou y-ovou složkou počáteční 4
ychlosti v y = v o sinα a z volného pádu. Souřadnice bodu B ve sěu osy y v čase t tedy bude dána vztahe y = v o t sinα ½ t. Délku vhu stanovíe stejný postupe jako v případě vodoovného vhu. Souřadnice x a y zadávají paabolickou tajektoii. Uvažujee-li působení odpoové síly (odpo vzduchu) pak paabola je íně defoovaná, hovoříe o balistické křivce. pohybu. V následujících kontolních otázkách a úlohách počítejte s avitační zychlení = 0. s- TO.5.-7 Těleso padá volný páde z výšky 40. Odpo postředí neuvažujte. Učete jeho okažitou ychlost na konci duhé sekundy od začátku TO.5.-8 Těleso padá volný páde z výšky 40. Odpo postředí neuvažujte. Učete čas, za kteý těleso dopadne na podložku. TO.5.-9 Těleso padá volný páde z výšky 50. Odpo postředí neuvažujte. Učete dáhu, kteou těleso uazí za pvní tři sekundy svého pohybu. TO.5.-0 Těleso je vženo v tíhové poli Zeě svisle vzhůu a vystoupí do výše 0, odpo postředí neuvažujte. Jakou počáteční ychlostí bylo těleso vženo? TO.5.- Těleso je vženo v tíhové poli Zeě svisle vzhůu počáteční ychlostí v o, odpo postřední neuvažujte. Do jaké výšky těleso vystoupí? 5 Ob..5.-0 TO.5.- Těleso je vženo v tíhové poli Zeě počáteční ychlostí v o pod elevační úhle α, odpo postředí neuvažujte (Ob..5.-0). Souřadnice ychlosti tělesa v libovolné bodě A jeho dáhy jsou: a) v x = v o sinα v y = v o cosα - t b) v x = v o cosα v y = v o sinα - t c) v x = v o cosα v y = v o sinα d) v x = v o sinα - t v y = v o cosα TO.5.-3 Těleso je vženo v tíhové poli Zeě počáteční ychlostí v o pod elevační úhle α, odpo postředí neuvažujte (Ob..5.-). Souřadnice ychlosti tělesa ve vcholu V jeho dáhy jsou: a) v x = 0 v y = v o sinα b) v x = 0 v y = v o cosα c) v x = v o cosα v y = 0 d) v x = v o sinα v y = 0
Ob..5.- U.5.-4 Těleso bylo vženo svisle vzhůu počáteční ychlostí 30 /s. Učete a) okažitou ychlost tělesa za dobu 3 s od okažiku vhu, b) výšku tělesa nad íste vhu v toto čase. U.5.-5. Učete, jakou ychlostí byl vystřelen pake káen svisle vzhůu, jestliže se vátil za 8 sekund. Vypočítejte, jaké axiální výšky káen dosáhl. U.5.-6 Káen vžený vodoovný sěe dopadl na vodoovný povch Zeě ve vzdálenosti d = 5 od ísta vhu za dobu 0,6 s od okažiku vhu (Ob..5.-) a) Jak velká byla počáteční ychlost kaene a s jak velkou ychlostí dopadl káen na Ze? b) Z jaké výšky h byl káen vžen? Ob..5.- U.5.-7 Z vcholu věže 80 vysoké je vženo těleso vodoovný sěe počáteční ychlostí 5 /s. Za jakou dobu a v jaké vzdálenosti od paty věže dopadne těleso na vodoovný povch Zeě? U.5.-8 Hasiči stříkají vodu pod úhle 60 o do vzdálenosti 00. Jak velkou ychlostí tyská voda z hadice?.5.5. Pohyb těles ve velkých výškách od povchu Zeě Budee se teď zajíat o výšky, ve kteých se pohybují ůzné dužice, aketoplány, kosické sondy, planety apod. Otázka zní, poč někteá tělesa, například balistické akety se vátí z velkých výšek na Zei. Jiná jako kounikační dužice obíhají kole ní na stabilních dahách a kosické sondy se od Zeě pořád vzdalují bez ožnosti návatu. Musíe si uvědoit, za jakých podínek se tyto objekty pohybují. Zapvé, ve velkých výškách (řádově stovky a tisíce kiloetu) jsou avitační síly Zeě poěně alé (tabulka závislosti avitačního zychlení na výšce). Zaduhé, v těchto výškách je pakticky vakuu a poti pohybu nepůsobí odpoové síly. Oezíe si výpočty na iniu, výpočty dah kosických sond zabíají supe výkonný počítačů NASA stovky hodin. Představte si, že aketoplán vynesl kosické těleso hotnosti do velké výšky, řekněe 400 k (Ob..5-3). Raketoplán teď těleso vypustí ve sěu tečné k povchu Zeě s počáteční ychlostí v o. Jak se bude kosický objekt chovat závisí pávě na této ychlosti. Budee tuto 6
ychlost postupně zvětšovat. Je-li počáteční ychlost: Nulová,satelit spadne na Ze (tajektoie ). Ob..5-3 Malá, satelit s bude pohybovat po eliptické tajektoii a čase spadne na Ze (tajektoie ). Kitická, satelit se bude zase pohybovat po eliptické tajektoii, ale na Ze již nespadne (tajektoie 3). Kuhová, satelit se bude pohybovat po kuhové tajektoii kole Zeě (tajektoie 4). Eliptická, satelit se bude pohybovat opět po eliptické tajektoii (tajektoie 5), Zeě leží v její ohnisku. Úniková, satelit se odpoutá od avitačního pole Zeě (tajektoie 6). Fyzika by nebyla fyzikou bez nějakých výpočtů. Tak aspoň jeden. Vypočítáe si oientačně velikost kuhové ychlosti v k. Aby se satelit pohyboval po kuhové dáze, usí být v ovnováze síly, kteé na něj působí. Gavitační síla usí být stejně veliká jako setvačná síla odstředivá M vk κ = a odtud v k κ M =. Pokud bude dužice obíhat nízko nad Zeí ( R), bude velikost kuhové ychlosti κ M v = 7,9 k.s -. Této ychlosti se říká pvní kosická ychlost. R Důležitá je i ychlost úniková. Na obázku je tajektoie 6 paabolická. Aby kosické těleso bylo navedeno na tuto dáhu, usí získat tzv. paabolickou ychlost v = v. Pokud bude kosická sonda statovat z oběžné dáhy nízko nad Zeí ( R), pak paabolická ychlost bude v = v =, k.s -. To je tzv. duhá kosická ychlost. p k 7
U.5.-9 Vypočítejte: a) ychlost pohybu Měsíce kole Zeě. Předpokládejte kuhovou oběžnou dáhu. b) dobu oběhu Měsíce kole Zeě..5.6. Kepleovy zákony Když už se zabýváe pohybe v kosické oblasti, podíveje se ještě na pohyb planet. Astonoové již od staověku zkouali naši sluneční soustavu a sledovali pohyby planet. Skutečně seiozně se títo poblée zabýval v 7. století Johannes Keple. Ze svých pozoování vyvodil své tři slavné zákony, nyní znáé jako Kepleovy zákony.. Kepleův zákon. Planety se pohybují kole Slunce po elipsách álo odlišných od kužnic, v jejichž společné ohnisku je Slunce. Keple sice fouloval své zákony po planety obíhající kole Slunce, ale tyto zákony platí i po uělé dužice a jiné objekty obíhající kole Zeě. Potože planety obíhají po elipsách, nebude jejich pohyb ovnoěný. I na to yslel Keple a zfouloval svůj další zákon.. Kepleův zákon. Obsahy ploch opsaných původiče planety za stejnou dobu jsou stejné. Po vysvětlení tohoto zákona se obátíe k obázku (Ob..5.-4). Nejdříve co je to původič? Je to úsečka spojující planetu se Slunce. Jak se planeta otáčí kole Slunce, ění se délka původiče. V obázku je odře vyznačena plocha, kteou opíše původič za jednotku času. Z kineatiky víte, že bod uazí za jednotku času dáhu ovnající se velikosti ychlosti (tak je vlastně ychlost definována). V naše obázku tedy dáha s uzavíající podbavené plochy je ovna velikosti ychlosti. Z obázku je vidět, že planeta se nejychleji pohybuje v blízkosti Slunce (peiheliu - přísluní) a nejpoaleji v největší vzdálenosti od něj (aféliu odsluní). Ob..5.-4 Po Keplea již nebylo obtížné (jednoduchá ateatika) vypočítat také jak závisí oběžná doba planety na vzdálenosti od Slunce. 3. Kepleův zákon. Poě duhých ocnin oběžných dob T dvou planet se ovná poěu třetích ocnin délek hlavních poloos a jejich tajektoií. T a = T a 3 3 U.5.-0 Vzdálenost Zeě od Slunce je AU. Jaká je oběžná doba Satuna, je-li jeho vzdálenost od Slunce,4.0 9 k? 8
. Gavitační pole tělesa je posto v jeho okolí, ve kteé se pojevují účinky avitační síly na jiná hotná tělesa. Gavitační silové působení ezi tělesy je vzájené.. Newtonův avitační zákon říká, že dvě tělesa se vzájeně přitahují avitační silou F, jejíž velikost je přío úěná součinu jejich hotností, a nepřío úěná duhé ocnině vzdálenosti jejich středů. o F = κ, κ je avitační konstanta. 3. Intenzita avitačního pole K je definována jak avitační síla jednotkové hotnosti F K =. 4. Potenciál avitačního pole V je potenciální eneie avitačního pole jednotkové E hotnosti V = p 5. Potenciál avitačního pole souvisí s intenzitou avitačního pole podle vztahů: d V K. espektive K = adv. = 6. Ekvipotenciální hladiny jsou eoetická ísta bodů o stejné potenciálu. 7. Gavitační zychlení a v avitační poli Zeě ve výšce h nad povche je úěné hotnosti Zeě M a nepřío úěné duhé ocnině vzdálenosti od středu Zeě = R + h. M a = κ. 8. Tíhová síla F G působící na těleso je odlišná od avitační síly F. Tíhová síla je dána součine hotnosti tělesa a tíhového zychlení. F G =, 9,8.s -. 9. Volný pád je pohyb ovnoěně zychlený chaakteizovaný tíhový zychlení. Rychlost a dáha volného pádu jsou popsány kineatickýi ovnicei. 0. Vh svislý vzhůu je pohyb složený z ovnoěného příočaého pohybu s počáteční ychlostí v o sěřujícího vzhůu a z volného pádu. Rychlost a výška tohoto jsou popsány kineatickýi ovnicei.. Vodoovný vh je pohyb složený z volného pádu a z ovnoěného příočaého pohybu s počáteční ychlostí v o ve sěu kolé na sě pádu. Tajektoií pohybu je část paaboly, souřadnice jejich bodů jsou dány kineatickýi ovnicei.. Vh šiký vzhůu je pohyb složený z volného pádu a z ovnoěného příočaého pohybu s počáteční ychlostí v o pod úhle α. Tajektoií pohybu je část paaboly, souřadnice jejich bodů jsou dány kineatickýi ovnicei. 3. Tajektoie satelitu závisí na jeho počáteční ychlosti. Rozlišujee eliptické, kuhové a paabolické tajektoie. 0.. Kepleův zákon. Planety se pohybují kole Slunce po elipsách álo odlišných od kužnic, v jejichž společné ohnisku je Slunce. 9
.. Kepleův zákon. Obsah ploch opsaných původiče planety za stejnou dobu jsou stejné.. 3. Kepleův zákon. Poě duhých ocnin oběžných dob T dvou planet se ovná 3 T a poěu třetích ocnin délek hlavních poloos a jejich tajektoií. = 3 T a Klíč TO.5.-5 -κm Z / TO.5-6 5 J/k TO.5.- 44 N TO.5.- 44 N TO.5.-3 a) TO.5.-4 c) TO.5.-7 0.s -. v = t TO.5.-8,83 s. Vyjdee ze vztahu po dáhu volného pádu. h = ½ t h t = = TO.5.-9 45. s = ½ t TO.5.-0 4,.s -. Vyjdee z ovnice po ychlost v = v o t, kteá je v nejvyšší bodě nulová. Z této ovnice stanovíe dobu výstupu. Tento čas dosadíe do ovnice po dáhu h = v o t ½ t a z ní vypočítáe počáteční ychlost. v o TO.5.-. Vyjdee z ovnice po ychlost v = v o, kteá je v nejvyšší bodě nulová. Z této ovnice stanovíe dobu výstupu. Tento čas dosadíe do ovnice po hledanou dáhu h = v o t ½ t TO.5.- TO.5.-3 U.5.- U.5.-3 b c U.5.- 7,8.0 3.s -. Vycházíe z toho, že aby se satelit udžel na své kuhové dáze, usí na něj působit dvě stejně velké síly opačného sěu. Silai jsou síla odstředivá F o = s. v / a avitační síla F = κ.( s. Z )/. Z ovnost obou sil vypočítáe v. 0,03 N. Vznikají slapové jevy příliv a odliv. 6,9.0 3 k. Hotnost Masu je asi 0 kát enší než Zeě. U.5.-4 0.s -, 45. Vyjdee z ovnice po ychlost v = v o do kteé dosadíe zadaný čas. Vyjde ná nulová ychlost. Z toho vyplývá, že těleso se dostalo do nejvyššího bodu své dáhy. Pak začne padat dolů. Tento čas tedy dosadíe do ovnice po dáhu h = v o t ½ t výšku tělesa v toto čase. 0
U.5.-5 40.s -, 80. Označíe si dobu výstupu t, dobu pádu t. Řešíe ovnice po ychlost a výšku vhu svislého vzhůu v čase t a po dáhu volného pádu za čas t. Zjistíe, že oba časy t a t jsou stejné. Z doby výstupu vypočítáe počáteční ychlost a nejvyšší bod dáhy. U.5.-6 5.s -, 5,6.s -,,8. Jedná se o pohyb složený z ovnoěného příočaého pohybu ve sěu osy x a volného pádu ve sěu osy y. Vzdálenost dopadu je souřadnice x v dané čase, použijee tedy ovnici x = v o t po ni. Hledáe-li ychlost v bodě dopadu, usíe si uvědoit, že ychlost bude ít dvě složky. Pvou bude x-ová složka ovna počáteční ychlosti. Duhou složkou bude ychlost volného pádu v = t za daný čas v y = t. Obě složky vektoově sečtee. Výšku stanovíe z dáhy volného pádu s = ½ t - h = ½ t. U.5.-7 4 s, 60. Zase jde o pohyb složený z příočaého ovnoěného v ose x a z volného pádu. Hledaný čas si stanovíe z dáhy volného pádu s = ½ t. Místo dopadu pak z dáhy ovnoěného pohybu x = v o t v ose x. U.5.-8 34.s -. Vyjdee z ovnice po x-ovou a y-ovou složku ísta dopadu vody. U.5.-9 k.s -, 7 dní hodin. Rychlost vypočítáe z ovnosti avitační a M vm M M setvačné odstředivé síly: = κ. Oběžnou dobu stanovíe jako podíl dáhy π ěsíce a jeho ychlosti: T =. v M U.5.-0 9,7 oku. Počítáe ze třetího Kepleova zákona. Jedna AU (astonoická jednotka) je ovna půěné vzdálenosti Zeě Slunce. AU = 49,6.0 6 k.