35 brazy Bar ve Foles-Berge re Edouarda Maneta okouzluje dv ky od roku 882, kdy byl namalov n.» st jeho vabu soëìv v kontrastu mez ublkem raven m k edstavenì a barmankou, jejìû oë rozrazujì navu. Ale jeho vab z vsì takè na drobn ch odchylk ch od skuteënost, kterè Manet skryl v malbï ó odchylk ch, kterè dod vajì scènï oct tajemna, dokud nerozozn te, co je ÑchybnÏì. Naleznete je?
35.2 RVNNÉ ZRCADL 92 35. DVA TYPY BRAZŮ Abychom vděl, řekněme, tučňáka, musí naše oko zachytt některé z arsků šířících se od tučňáka a nasměrovat je na sítnc v ozadí oka. Zrakový systém, očínaje sítncí a konče zrakovým centry v zadní část mozku, zracovává odvědomě normace oskytnuté světlem. Tento systém dentkuje hrany, orentace, výlně loch (textury), tvary a barvy a ak rychle řenese do našeho vědomí obraz (rerodukc odvozenou ze světla) tučňáka: vnímáme a oznáváme tučňáka nacházejícího se ve směru, odkud řchází světlo a vdíme ho ve srávné vzdálenost. Toto zracování a rozoznávání rovádí zrakový systém také tehdy, neřcházejí-l světelné arsky k nám římo od tučňáka, ale odrážejí-l se k nám od zrcadla nebo lámou-l se na čočkách brýlí. Te ovšem vdíme tučňáka v tom směru, odkud řcházejí světelné arsky o odrazu nebo lomu a vzdálenost, kterou vnímáme, může být zcela odlšná od jeho skutečné vzdálenost. drážejí-l se naříklad světelné arsky směrem k nám na obyčejném rovnném zrcadle, zdá se nám, že tučňák je za zrcadlem, rotože arsky, které řjímáme, řcházejí z tohoto směru. Tučňák ovšem za ním není. Tento ty obrazu, kterému se říká vrtuální obraz, exstuje oravdě ouze v našem mozku, ale řesto říkáme, že exstuje v oloze, kterou vnímáme. Reálný obraz se lší tím, že může být vytvořen na ovrchu, jakým je aír nebo rojekční látno. Reálný obraz můžeme vdět (jnak by bogray byly rázdné), ale exstence obrazu nezávsí na tom, jestl jej vdíme. braz tam bude, když ho nkdo nebude ozorovat. V této katole budeme zkoumat několk zůsobů vytváření vrtuálních a reálných obrazů odrazem (na zrcadlech) a lomem (na čočkách). ba tyy obrazu od sebe jasněj rozlšíme. Nařed však jeden říad řrozeného vrtuálního obrazu. Fata morgana Všeobecně známým říkladem vrtuálního obrazu je kaluž vody, která se objeví ve slunných dnech na slnc v určté vzdálenost řed nám, kterou ale nkdy nemůžeme dosthnout. Tato kaluž je ata morgana (druh řeludu) a je vytvářena arsky řcházejícím od část oblohy řed nám nízko nad obzorem (obr. 35.a). Blíží-l se arsky k vozovce, rocházejí ostuně telejším vzduchem ohřátým vozovkou, která je relatvně horká. S rostoucí telotou mírně roste rychlost světla, rotože mírně klesá ndex lomu vzduchu. Sestuující arsky ostuně rocházejí oblastm s nžším ndexy lomu a jejch směr se sojtě blíží vodorovnému směru (obr. 35.b). světelný arsek telý vzduch telejší vzduch slnce kaluž (ata morgana) rychle rychlej (c) slnce telý vzduch telejší vzduch (d) slnce br. 35. Parsek řcházející z dolní část oblohy se láme ve vzduchu ohřátém slncí (anž na n doadne). Pozorovatel, který zachytí toto světlo, je vnímá tak, jako by ocházelo od kaluže vody na vozovce. Změna směru (zahnutí) sestuujícího arsku na omyslném rozhraní mez telým vzduchem a vzduchem o něco telejším (nakresleno zvelčeně). (c) Parsek ostuující vodorovně se zahne roto, že sodní část vlnolochy se ohybuje v telejším vzduchu rychlej. (d) Stouající arsek se zahne na omyslném rozhraní mez telejším vzduchem a vzduchem o něco chladnějším. hýbání arsku okračuje oté, co arsek běží vodorovně oněkud nad ovrchem slnce, rotože dolní část říslušné vlnolochy se nachází v mírně telejším vzduchu a ohybuje se o něco rychlej než horní část vlnolochy (obr. 35.c). Rozdílná rychlost ohybu částí vlnolochy zůsobuje ohýbání arsku směrem nahoru. Protože arsek stouá vzhůru a rochází rostředím s ostuně se zvětšujícím ndexem lomu, ohýbá se dále (obr. 35.d). Zachytí-l naše oko některé z těchto arsků světla, náš zrakový systém vyvodí automatcky, že řcházejí od ředmětu nacházejícího se ve směru zětného rodloužení zachycených arsků, tedy z kaluže vody na vozovce. Modravé zbarvení kaluže je zůsobeno tím, že světlo ochází z modré oblohy. Protože v zahřátém vzduchu je ravděodobně turbulence, ata morgana se třytí, jako by se voda vlnla. Modravé zbarvení a třyt zvyšují dojem, že jde o kaluž vody; řesto však to, co vdíme, je vrtuální obraz sodní část oblohy. 35.2 RVNNÉ ZRCADL Zrcadlo je ovrch, který odráží úzký svazek světelných arsků raktcky do jedného směru. Jné ovrchy jej roztylují do mnoha směrů nebo jej ohlcují. Leštěný ovrch kovu ůsobí jako zrcadlo, betonová stěna nkol. V tomto článku vyšetříme obrazy vytvořené rovnným zrcadlem (rovnnou odraznou lochou). Na obr. 35.2 je bodový zdroj světla (nazveme jej ředmětem) a ten leží ve vzdálenost řed zrcadlem.
922 KAPTLA 35 BRAZY Které znaky nás normují, zda není tato otografie vzhůru nohama? Je jch několk. zrcadlo θ θ br. 35.2 Bodový zdroj světla, nazývaný ředmětem, je ve vzdálenost řed zrcadlem. Světelné arsky z doadající na zrcadlo se od něj odrážejí. Zachytí-l naše oko odražené arsky, vnímáme bodový zdroj světla, jako by se nacházel za zrcadlem ve vzdálenost od něj. Vnímaný zdroj je vrtuální obraz ředmětu. Světlo doadající na zrcadlo je znázorněno arsky, které se šíří ze zdroje. draz světla je znázorněn arsky Část z toho, co vdíme ř ohledu do kaledoskou, jsou ředměty nacházející se na vzdálenějším konc trubce; zbytek sestává z obrazů těchto ředmětů vytvořených zrcadly, která jsou vložena odélně do trubce. Kolk zrcadel je v trubc a jak jsou usořádána? (dověb naleznete ve výsledcích kontrolních úloh.) šířícím se od zrcadla. Prodloužíme-l odražené arsky dozadu (za zrcadlo), zjstíme, že rodloužené arsky se rotínají v bodě ležícím ve vzdálenost za zrcadlem. Díváme-l se na zrcadlo na obr. 35.2, zachytí naše oko některé z odražených arsků. Vnímáme bodový zdroj světla umístěný v růsečíku rodloužených arsků. Tento bodový zdroj je obraz ředmětu. Nazveme ho bodovým obrazem, rotože je to bod, a je to vrtuální obraz, rotože jím arsky ve skutečnost nerocházejí. (V říadě reálného obrazu, jak uvdíme, arsky růsečíkem skutečně rocházejí.) br. 35.3 Dva arsky vybrané z mnoha arsků na obr. 35.2. Parsek A svírá s normálou k zrcadlové loše lbovolný úhel θ. Parsek B je kolmý k zrcadlu. θ B θ θ θ A zrcadlo Z mnoha arsků na obr. 35.2 jsou na obr. 35.3 vybrány dva. Jeden doadá kolmo na zrcadlo v bodě B. Druhý doadá od úhlem θ v lbovolném bodě A. ba odražené arsky rodloužíme za zrcadlo. Pravoúhlé trojúhelníky AB a AB mají solečnou stranu AB a tř stejné úhly,
35.2 RVNNÉ ZRCADL 923 jsou tedy shodné. Shodné jsou jejch vodorovné strany, tj. B = B, (35.) kde B je vzdálenost obrazu a B je vzdálenost ředmětu od zrcadla. Rov. (35.) říká, že obraz je tak daleko za zrcadlem, jako je ředmět řed ním. Podle dohody je ředmětová vzdálenost brána jako kladná velčna a obrazová vzdálenost jako záorná. Pak rov. (35.) můžeme zasat jako = nebo = (rovnné zrcadlo). (35.2) Po odrazu na zrcadle mohou vstout do oka ouze ty arsky, které jsou těsně u sebe. Pro olohu oka znázorněnou na obr. 35.4 se ro vytvoření obrazu využje jen malá část zrcadla v okolí bodu A (část menší než oční ula). Abychom j nalezl, zavřeme jedno oko a ozorujme zrcadlový obraz malého ředmětu, nař. ščku tužky. Potom ohybujme konečkem rstu o zrcadlové loše, až zakryjeme obraz. braz je vytvářen jen malou částí zrcadla od konečkem rstu. br. 35.4 Úzký svazek arsků z bodu vstuuje o odrazu na zrcadle do oka. Př odrazu těchto arsků je využta malá část zrcadla blízko A. Zdá se, jako by světlo ocházelo z bodu za zrcadlem. Rozlehlé ředměty zrcadlo Ška ve vzdálenost řed zrcadlem na obr. 35.5 ředstavuje rozlehlý ředmět. Každá malá část ředmětu se chová jako bodový ředmět z obr. 35.2 a 35.3. Zachytíme-l světlo odražené zrcadlem, vnímáme vrtuální obraz, který se skládá z vrtuálních bodových obrazů všech těchto částí ředmětu a který se zdá být ve vzdálenost za zrcadlem. Vztah mez a udává rov. (35.2). A Polohu obrazu rozlehlého ředmětu můžeme určt stejně, jak jsme určl olohu bodového ředmětu na obr. 35.3: nakreslíme některé z arsků, které doadají na zrcadlo z vrcholu šky, nakreslíme odovídající odražené arsky a ak rotáhneme odražené arsky za zrcadlo, až nalezneme jejch růsečík. Ten je obrazem vrcholu ředmětu. Pak uděláme totéž ro arsky ze sodního konce šky. Z obr. 35.5 zjstíme, že vrtuální obraz má stejnou orentac a výšku (měřenou rovnoběžně se zrcadlem) jako ředmět. Manetův Foles-Bergère Na obraze Bar ve Foles-Bergère vdíme sál s barem odrazem na velkém zrcadle, zavěšeném na stěně za ženou obsluhující bar. draz je však oněkud chybný ve třech věcech. Předně s ovšmněme lahví vlevo. Manet namaloval jejch odraz v zrcadle, ale nevhodně jej umístl tím, že je namaloval daleko blíže k řední část baru, než ve skutečnost jsou. Nyní s všmněme odrazu ženy. Protože se na ženu díváte římo zeředu, její odraz by měl být za ní a měla by být vdtelná ouze jeho malá část (jestl vůbec); řesto Manet namaloval její odraz zcela naravo. Nakonec s všmněme odrazu muže, který na n hledí. To musíte být vy, rotože jak odraz ukazuje, muž stojí římo řed ženou, a tudíž to musí být ten, kdo s rohlíží malbu. Díváte se na Manetovo dílo a vdíte svůj odraz zcela vravo. braz ůsobí tajemným dojmem, rotože nesouhlasí s tím, co bychom očekával od odrazu na zrcadle a od jeho malby. KNTRLA : Na obrázku se díváte do soustavy dvou svslých rovnoběžných zrcadel A a B ve vzdálenost d od sebe. Šklebící se obluda sedí na bdélku v bodě ve vzdálenost 0,2d od zrcadla A. Každé zrcadlo vytváří rvní (nejblžší) obraz obludy. Vytváří však také druhý obraz, jehož ředmětem je rvní obraz vytvořený rotlehlým zrcadlem. Vytváří třetí obraz, jehož ředmětem je druhý obraz na rotlehlém zrcadle.a tak dále můžete ozorovat stovky obrazů šklebící se obludy. Jak daleko za zrcadlem A je rvní, druhý a třetí obraz vytvořený zrcadlem A? br. 35.5 Rozlehlý ředmět a jeho vrtuální obraz v rovnném zrcadle. A B 0,2d d
924 KAPTLA 35 BRAZY PŘÍKLAD 35. Výška Charlese Barkleye je 98 cm. Jak vysoké musí být svslé zrcadlo, aby v něm vděl svou ostavu celou? ŘEŠENÍ: V obr. 35.6 je bod H umístěn ve výšce vrcholu Barkleyovy hlavy, bod E ve výšce jeho očí a bod F ve výšce sodku jeho choddel. (Pro řehlednost byl bod H nakreslen oněkud výše.) brázek ukazuje dráhy arsků vycházejících z jeho hlavy a jeho choddel a vstuujících do jeho očí o odrazu na zrcadle v bodě A, res. v bodě C.Zrcadlomusí okrývat ouze svslou vzdálenost h mez těmto body. Zgeometreazrov.(34.43)lyne AB = 2 HE a BC = 2 EF. Potřebná délka je tedy h = AB + BC = 2 ( HE + EF ) = = 2 (98 cm) = 99 cm. (dově ) Zrcadlo tedy nemusí být delší než olovna atletovy výšky. A tento výsledek nezávsí na jeho vzdálenost od zrcadla. (Máte-l k dsozc dlouhé zrcadlo, můžete exermentovat tak, že řeleíte novnam ty část zrcadla, které neřsívají k vašemu obrazu. Zjstíte, že délka, kterou jste onechal nezakrytou, je rávě jedna olovna vaší výšky. Zrcadla umístěná od bodem C vám umožní rohlížet s obraz odlahy.) choddla hlava H oč E F zrcadlo br. 35.6 Příklad 35.. Zrcadlo, v němž můžete vdět celou výšku své ostavy, nemusí být delší než olovna vaší výšky. A B 35.3 KULVÉ ZRCADL Přejděme nyní od obrazů vytvářených rovnným zrcadly k obrazům vytvářeným zrcadly se zakřveným ovrchy. C h Budeme uvažovat zejména kulová (sércká) zrcadla, což jsou rostě zrcadla ve tvaru část kulové lochy. Rovnné zrcadlo můžeme okládat za kulové zrcadlo s nekonečně velkým oloměrem křvost. d rovnného ke kulovému zrcadlu Začněme u rovnného zrcadla na obr. 35.7a, obráceného doleva k ředmětu,který je zakreslen,a k ozorovatel,který zakreslen není. Vyduté zrcadlo (též konkávní) vytvoříme zakřvením ovrchu zrcadla tak, že tvoří vydutou lochu, jaká je na obr. 35.7b. Tímto zakřvením ovrchu se mění některé charakterstky zrcadla a obrazu jím vytvářeného:. Střed křvost C (střed kulové lochy,jejíž část tvoří ovrch zrcadla) byl u rovnného zrcadla nekonečně vzdálený; u vydutého zrcadla je blíže, ale stále ještě řed zrcadlem. 2. Zorné ole rozsah scény, která je odrážena k ozorovatel bylo šroké; nyní je menší. 3. braz ředmětu byl tak daleko za rovnným zrcadlem, jako byl ředmět řed ním; u vydutého zrcadla je obraz ještě dále za ním, tj. je větší. 4. Výška obrazu byla rovna výšce ředmětu; nyní je výška obrazu větší. Pro tuto vlastnost jsou makeuová zrcátka a zrcátka k holení vydutá vytvářejí totž větší obraz tváře. Vyuklé zrcadlo (též konvexní) vytvoříme zakřvením ovrchu zrcadla tak, že tvoří vyuklou lochu, jaká je na obr. 35.7c. Takové zakřvení ovrchu řesouvá střed křvost C za zrcadlo a zvětšuje zorné ole. Posouvá též obraz ředmětu blíže k zrcadlu a zmenšuje jej. Zrcadla sloužící k dozoru v obchodních domech bývají obvykle vyuklá; díky zvětšení zorného ole jm lze sledovat větší část rodejny. hnska kulových zrcadel U rovnného zrcadla je velkost obrazové vzdálenost vždy rovna ředmětové vzdálenost. Dříve, než určíme, v jakém vztahu jsou tyto vzdálenost ro sércké zrcadlo, musíme se zabývat odrazem světla od ředmětu umístěného v nekonečné vzdálenost řed kulovým zrcadlem na centrální ose (nebol otcké ose) zrcadla. Tato osa rochází středem křvost C a vrcholem V zrcadla. Protože vzdálenost mez ředmětem a zrcadlem je velká, světelné vlny šířící se z ředmětu odél centrální osy jsou ř doadu na zrcadlo rovnné. To znamená, že všechny arsky ředstavující tuto vlnu jsou ř doadu rovnoběžné s centrální osou. Po doadu těchto rovnoběžných arsků na vyduté zrcadlo (obr. 35.8a) se arsky blízké centrální ose odrážejí tak, že rocházejí solečným růsečíkem F ; dva z těchto arsků jsou zakresleny na obrázku.umístíme-l do bodu F
35.3 KULVÉ ZRCADL 925 C reálné ohnsko F V centrální osa r C centrální osa V centrální osa V vrtuální ohnsko F C r V centrální osa C br. 35.8 Vyduté zrcadlo soustředí doadající rovnoběžné arsky do reálného ohnska F, které leží na téže straně jako arsky. Vyuklé zrcadlo odráží doadající rovnoběžné arsky tak, jako by se rozbíhaly z vrtuálního ohnska F, ležícího na oačné straně zrcadla. r (c) br. 35.7 Rovnné zrcadlo vytváří vrtuální obraz ředmětu. Je-l zrcadlo rohnuto tak, že se stane vydutým, řesune se obraz dále od něj a zvětší se. (c) Je-l zrcadlo rohnuto tak, že se stane vyuklým, řesune se obraz blíže k němu azmenšíse. lst aíru, objeví se na něm bodový obraz nekonečně vzdáleného ředmětu. (To by nastalo ro jakýkol ředmět nekonečně vzdálený ve směru osy.) Bod F nazýváme ohnskem (nebo ohnskovým bodem) zrcadla a jeho vzdálenost od vrcholu zrcadla ohnskovou vzdáleností zrcadla. Nahradíme-l vyduté zrcadlo vyuklým, zjstíme, že rovnoběžné arsky jž nerocházejí o odrazu solečným bodem. Místo toho se rozbíhají, jak ukazuje obr. 35.8b. r Jestlže však naše oko zachytí některé z odražených arsků, vnímáme světlo tak, jako by řcházelo z bodového zdroje za zrcadlem. Tento zdroj je umístěn ve solečném bodě (F na obr. 35.8b), kterým rocházejí rodloužené odražené arsky. Tento bod je ohnsko F vyuklého zrcadla a jeho vzdálenost od vrcholu zrcadla je ohnsková vzdálenost zrcadla. Umístíme-l do ohnska lst aíru, neobjeví se na něm obraz ředmětu. Toto ohnsko tedy není stejné ovahy jako ohnsko vydutého zrcadla. Abychom odlšl skutečné ohnsko vydutého zrcadla od ohnska vyuklého zrcadla, které ouze vyvolává vjem bodového zdroje, nazveme rvní z nch skutečným (reálným) ohnskem a druhé zdánlvým (vrtuálním) ohnskem. Kromě toho ohnskovou vzdálenost okládáme za kladnou velčnu u vydutého zrcadla a za záornou velčnu u vyuklého zrcadla. Pro zrcadla obou tyů jsou ohnsková vzdálenost a oloměr křvost r vázány vztahem = 2r (kulové zrcadlo), (35.3)
926 KAPTLA 35 BRAZY kde r je kladné u vydutého a záorné u vyuklého zrcadla v souladu se znaménky ohnskové vzdálenost. vrtuální obraz 35.4 ZBRAZENÍ KULVÝM ZRCADLEM F Máme-l denováno ohnsko kulového zrcadla, můžeme najít vztah mez obrazovou vzdáleností a ředmětovou vzdáleností ro vydutá a vyuklá kulová zrcadla. Začneme s říadem, kdy ředmět je umístěn mez vyduté zrcadlo a jeho ohnsko F (obr. 35.9a). Potom může ozorovatel vdět v zrcadle vrtuální obraz ředmětu : obraz se vytváří za zrcadlem a je stejně orentován jako ředmět. Jestlže nyní ohybujeme ředmětem dále od zrcadla až do ohnska, obraz ostuuje dále za zrcadlo až do nekonečna (obr. 35.9b). Pak je obraz nejasný a nerozeznatelný, rotože an odražené arsky, an arsky rodloužené za zrcadlo se nerotnou v konečné vzdálenost, aby vytvořly obraz bodu. Pohybujeme-l ředmětem ještě dále od ohnska, tj. tak, že jeho vzdálenost od zrcadla je větší než ohnsková vzdálenost, budou se arsky odražené od zrcadla sbíhat a vytvoří řevrácený obraz ředmětu řed zrcadlem (obr. 35.9c). Tento obraz ostuuje z nekonečna, řemís ujeme-l ředmět z ohnska. Kdybychom v místě, kde se nachází obraz, održel kousek aíru, bude na něm obraz vdtelný říkáme, že obraz je zaostřený nebol okusovaný na aír. Protože obraz na aíře skutečně vznká, je to reálný obraz arsky se skutečně rotnou a vytvoří obraz nezávsle na tom, zda je řítomen ozorovatel. brazová vzdálenost reálného obrazu je kladná velčna na rozdíl od obrazové vzdálenost vrtuálního obrazu. Dále vdíme, že latí: ( =+ ) reálný obraz rovnoběžné arsky F F = ( = ) Reálné obrazy vznkají na téže straně zrcadla, kde se nachází ředmět, vrtuální obrazy na oačné straně. Jak dokážeme v čl. 35.8, svírají-l světelné arsky jen malé úhly s centrální osou kulového zrcadla, jsou ředmětová vzdálenost, obrazová vzdálenost a ohnsková vzdálenost vázány jednoduchým vztahem + = (kulové zrcadlo). (35.4) (V obrázcích jako nař. obr. 35.9 jsou ro názornost úhly arsků zvelčeny.) Velkost ředmětu, res. obrazu měřená kolmo kcentrální ose zrcadla se nazývá výška ředmětu, res.obrazu. značme výšku ředmětu h a výšku obrazu h. Pak oměr h /h nazveme říčným zvětšením m zrcadla. Podle (c) br. 35.9 Předmět mez vydutým zrcadlem a jeho ohnskem a jeho vrtuální obraz. Předmět v ohnsku F.(c)Předmět ve vzdálenost větší než ohnsková vzdálenost a jeho reálný obraz. dohody oatříme říčné zvětšení znaménkem lus, jsou-l orentace obrazu a ředmětu stejné a znaménkem mnus, jsou-l oačné. Proto íšeme vztah ro m takto: m = h h (říčné zvětšení). (35.5)
35.4 ZBRAZENÍ KULVÝM ZRCADLEM 927 B 2 2 C F V A 4 C D E F 3 V 3 2 V F C V F C (c) (d) br. 35.0 (a, b) Čtyř arsky, jejchž narýsováním můžeme nalézt obraz lbovolného ředmětu vytvořený vydutým zrcadlem. Pro olohu ředmětu na obrázku vznkne reálný a řevrácený obraz menší než ředmět. (c, d) Čtyř odobné arsky ro říad vyuklého zrcadla. Toto zrcadlo vytvoří vždy vrtuální obraz orentovaný stejně jako ředmět a menší než ředmět. (Parsek 2 v obr. (c) směřoval ůvodně do ohnska F.) 4 Brzy dokážeme, že říčné zvětšení můžeme zasat takto: m = (říčné zvětšení). (35.6) Pro rovnné zrcadlo, kde =, dostaneme m =+. Zvětšení rovné znamená, že velkost obrazu a ředmětu jsou stejné. Znaménko lus značí, že obraz a ředmět mají stejnou orentac. Pro vyduté zrcadlo na obr. 35.9c je m =.. =,5. Rov. (35.3) až (35.6) latí ro všechna rovnná, kulová vydutá a kulová vyuklá zrcadla. Kromě těchto rovnc je otřeba, abyste zvládl množství dalších normací o těchto zrcadlech. Vylněním tab. 35. byste s je měl usořádat. Ve slouc BRAZ/PLHA rozhodněte, zda je obraz na téže straně zrcadla jako ředmět, nebo na oačné straně. Ve slouc BRAZ/TYP rozhodněte, zda je obraz reálný,nebo vrtuální. Ve slouc BRAZ/RENTACE rozhodněte, zda obraz má stejnou orentac jako ředmět, nebo zda je řevrácený. Ve sloucích ZNAMÉNK uve te znaménko velčny, nebo vylňte ±, může-l se vyskytnout znaménko obojí. Nalezení olohy obrazu arskovou konstrukcí Na obr. 35.0a, b je znázorněn ředmět umístěný řed vydutým zrcadlem. Polohu obrazu lbovolného bodu ředmětu, který neleží na ose, můžeme určt omocí arskového Tabulka 35. Usořádání normací o zrcadlech TYP PLHA BRAZ ZNAMÉNK VELČNY ZRCADLA PŘEDMĚTU PLHA TYP RENTACE r m Rovnné kdekol Vyduté < > Vyuklé kdekol
928 KAPTLA 35 BRAZY obrazce s využtím kterýchkol dvou arsků z následujících čtyř secálních arsků rocházejících tímto bodem.. Parsek ůvodně rovnoběžný s osou se odráží do ohnska (arsek na obr. 35.0a). 2. Parsek,který se o růchodu ohnskem odráží od zrcadla,vystuuje rovnoběžně s osou (arsek 2 na obr. 35.0a). 3. Parsek, který se odráží o růchodu středem křvost C od zrcadla, se vrací o stejné římce (arsek 3 na obr. 35.0a). 4. Parsek, který se odráží od zrcadla v růsečíku V zrcadla s osou, se odráží symetrcky odle této osy (arsek 4 na obr. 35.0b). braz zvoleného bodu je v růsečíku lbovolných dvou secálních arsků. braz ředmětu nalezneme určením olohy obrazů dvou nebo více jeho bodů. Př užtí těchto arsků u vyuklých zrcadel je zaotřebí oněkud změnt jejch os (obr. 35.0c, d). dvození rov. (35.6) Nyní jsme schon odvodt rov. (35.6) (m = /), tj. výraz ro říčné zvětšení ředmětu zobrazeného zrcadlem. Uvažujme arsek 4 v obr. 35.0b. Ten se odráží v bodě V tak, že doadající a odražený arsek svírají týž úhel s osou zrcadla. Dva ravoúhlé trojúhelníky ABV a DEV v obrázku jsou odobné, takže můžeme nasat DE AB = VD VA. Podíl na levé straně (necháme-l stranou otázku znaménka) ředstavuje říčné zvětšení zrcadla. Protože ozorujeme řevrácený obraz a tedy zvětšení je záorné, označíme jej m. Jenže VD =, VA =, takže dostáváme ŘEŠENÍ: Můžeme z tyu obrazu, který zrcadlo vytváří, určt ty zrcadla? Ne, rotože vrtuální obraz může být vytvářen oběma tyy zrcadel. Můžeme určt ty zrcadla nalezením znaménka z rov. (35.3) a (35.4)? Ne, na to nemáme dostatek normací. Jedný ostu, který nám zbývá, je uvážt normace o zvětšení. Víme, že odíl obrazové výšky h a výšky ředmětu h se rovná 0,20. Z rov. (35.5) vychází m = h h = 0,20. Protože ředmět obraz jsou orentovány shodně, víme, že m musí být kladné: m =+0,20. Dosazením do rov. (35.6) a jejím řešením, řekněme ro, dostaneme = 0,20, což se nezdá být užtečné ro nalezení. Užtečným se stane o dosazení do rov. (35.4). Z rovnce vychází = + = 0,20 + = ( 5 + ), odkud nalezneme = /4. Protože je kladné, musí být záorné, což znamená, že zrcadlo je vyuklé a jeho ohnsková vzdálenost je = 40 cm. (dově ) KNTRLA 2: Netoýr klímající na centrální ose kulového zrcadla je zobrazen se zvětšením m = 4. Je jeho obraz reálný, nebo vrtuální, řevrácený, nebo stejně orentovaný jako netoýr a (c) na téže straně jako netoýr, nebo na oačné straně? m = (zvětšení). (35.7) 35.5 KULVÝ LÁMAVÝ PVRCH PŘÍKLAD 35.2 Tarantule výšky h sedí řed kulovým zrcadlem s ohnskovou vzdáleností = 40 cm. braz tarantule vytvořený zrcadlem je orentován shodně jako ředmět a má výšku h = 0,20h. Je obraz reálný, nebo vrtuální a leží na stejné straně jako tarantule, nebo na oačné? ŘEŠENÍ: Protože obraz je stejně orentován jako ředmět (tarantule), musí být vrtuální a musí ležet na oačné straně zrcadla. (Tento výsledek snadno zjstíte, máte-l vylněnu tab. 35..) Je zrcadlo vyduté, nebo vyuklé a jaká je jeho ohnsková vzdálenost (včetně znaménka)? d obrazů vytvářených odrazem (relexí) řejdeme k obrazům vytvářeným lomem (rerakcí) na ovrších růhledných materálů, nař. skla. Budeme uvažovat ouze kulové ovrchy; jejch oloměr křvost označme r a střed křvost C. Bodový ředmět umístěný v rostředí s ndexem lomu n bude vysílat světlo,které se bude lámat na kulovém rozhraní do rostředí s ndexem lomu n 2. Zajímáme se o to, kdy světelné arsky o lomu na loše ovrchu nebo rozhraní vytvoří reálný obraz (jehož exstence není odmíněna řítomností ozorovatele), nebo vrtuální obraz (odmíněný tím, že ozorovatel zachytí arsky). dově závsí na oměru ndexů n a n 2 ana geometrcké stuac.
35.5 KULVÝ LÁMAVÝ PVRCH 929 Na obr. 35. je znázorněno šest možných výsledků. V každé část obrázku je vystínováno rostředí s větším ndexem lomu a ředmět je vždy nalevo od lámavého ovrchu v rostředí s ndexem lomu n. V každé část je zakreslen chod jednoho tyckého arsku o lomu na loše. (Tento arsek solu s arskem šířícím se ve směru otcké osy určuje ve všech říadech olohu obrazu.) Normálou k lámavé loše v bodě doadu tyckého arsku je radála rocházející středem křvost C. Vstuuje-l arsek do rostředí s větším ndexem lomu, láme se ke kolmc. Vstuuje-l do rostředí s menším ndexem lomu, láme se od kolmce. Směřuje-l ak lomený arsek k centrální ose, vytvoří solu s ostatním (v obrázku nezakresleným arsky) reálný obraz na otcké ose. Směřuje-l arsek od centrální osy, nemůže se reálný obraz vytvořt; zětné rodloužení tohoto arsku a také ostatních může vytvořt vrtuální obraz za ředokladu (stejného jako u zrcadel), že některé z těchto arsků zachytí oko ozorovatele. Reálné obrazy (v obrazové vzdálenost ) se tvoří v obr. 35.a, b tam, kde lomené arsky směřují k centrální ose. Vrtuální obrazy vznkají v obr. 35.c, d tam, kde lomené arsky směřují od centrální osy. Povšmněme s, že v těchto čtyřech říadech vznkají reálné obrazy tehdy, nachází-l se ředmět oměrně daleko od lámavé lochy a vrtuální obrazy tehdy, je-l ředmět blíže lámavé lochy. V osledních dvou říadech (obr. 35.e, ) směřují lomené arsky vždy od centrální osy a vytváří vrtuální obraz nezávsle na ředmětové vzdálenost. Povšmněme s hlavního rozdílu orot obrazům vznklým odrazem: Reálné obrazy vznkají na oačné straně lámavé lochy, než se nachází ředmět; vrtuální vznkají na téže straně. V čl. 35.8 ukážeme, že ro arsky svírající malé úhly s centrální osou latí n + n 2 = n 2 n. (35.8) r Předmětová vzdálenost je stejně jako u zrcadel kladná; obrazová vzdálenost je kladná ro reálný obraz a záorná ro vrtuální obraz. Abychom však měl v rov. (35.8) všechna znaménka srávně,musíme ještě užít následujícího ravdla ro znaménko oloměru křvost r: Nachází-l se ředmět řed vyuklou lámavou lochou, je oloměr křvost r kladný. Nachází-l se řed vydutou lochou, je r záorné. C n n 2 vrtuální vrtuální (c) r C n n 2 C n n 2 reálný C n n 2 vrtuální vrtuální r C n n 2 (d) reálný (e) ( ) br. 35. Šest možných zůsobů, ř nchž vznkne obraz lomem na kulovém ovrchu oloměru r se středem křvost C. Povrch (rozhraní) odděluje dvě rostředí s ndexy lomu n a n 2. Bodový zdroj je vždy v rostředí s n nalevo od ovrchu. Prostředí s menším ndexem lomu není vystínováno (myslete s, že je to vzduch, zatímco druhé rostředí je vylněno sklem). Reálné obrazy vznkají v říadech a, vrtuální obrazy vznkají v ostatních čtyřech říadech. C n n 2 Pozor: toto ravdlo je rávě obrácené než ravdlo ro zrcadla. PŘÍKLAD 35.3 Moskyt z jurského období byl nalezen zaltý v kusu jantaru s ndexem lomu,6. Jeden ovrch jantaru tvoří vyuklá kulová locha s oloměrem křvost 3,0 mm (obr. 35.2). Hlava moskyta leží na centrální ose ovrchu. Prohlížíme-l j ve směru osy, jeví se vnořena 5,0 mm do jantaru. V jaké hloubce je ve skutečnost? ŘEŠENÍ: Předně s musíme uvědomt, co znamená jeví se : znamená to, že ozorovatel (ve vzduchu) vdí obraz hlavy moskyta v jantaru 5,0 mm od kulového ovrchu jantaru. Protože ředmět (hlava) a jeho obraz jsou na téže straně lámavé lochy, musí být obraz vrtuální a tedy = 5,0 mm. ndex lomu rostředí, v němž leží ředmět, je vždy označen n ; musíme tedy oložt n =,6 an 2 =,0. Konečně rotože ředmět leží řed vydutou lámavou lochou, je její oloměr křvost záorný, r = 3,0 mm. Hledáme olohu řed-
930 KAPTLA 35 BRAZY mětu. Dosazením těchto údajů do rov. (35.8) dostaneme n2 n2 n n + =, r tedy,0,0,6,6 + = 5,0 mm 3,0 mm a = 4,0 mm. (dověb) C r br. 35.2 Příklad 35.3. Moskyt z jurského období ohřbený v kusu jantaru; jeho hlava se nachází v bodě. Kulový lámavý ovrch na ravé straně se středem křvost C vytváří obraz vnímaný ozorovatelem, který zachytí arsky šířící se z ředmětu. 3: Včela se vznáší řed vydutým kulovým KNTRLA lámavým ovrchem skleněné sochy. Který z říadů na obr. 35. odovídá této stuac? Je obraz vytvořený tímto ovrchem reálný, nebo vrtuální a nachází se na stejné straně jako včela, nebo na oačné? 35.6 TENKÁ ČČKA Čočka je růhledné (transarentní) těleso se dvěma lámavým locham, jejchž centrální osy slývají. Solečná centrální osa je centrální osou čočky. Je-l čočka obkloena vzduchem, láme se světlo ze vzduchu do čočky, rochází čočkou a znovu se láme do vzduchu. Př každém lomu se může změnt směr chodu světla. Čočku, která zůsobí, že arsky ůvodně rovnoběžné s centrální osou se sbíhají (konvergují), nazveme sojkou nebol sojnou (konvergentní) čočkou. Jestlže čočka místo toho zůsobí, že takové arsky se rozbíhají (dvergují), jde o roztylku nebol čočku roztylnou (dvergentní). Umístíme-l ředmět řed čočky obou tyů, mohou lomené světelné arsky vytvořt obraz tohoto ředmětu. Budeme se zabývat ouze secálním říadem tenké čočky, tj. čočkou, jejíž nejtlustší část je tenká ve srovnání Hmyz ohřbený v jantaru řblžně řed 25 mlony let. Protože ho ozorujeme řes zakřvený lámavý ovrch, nesouhlasí obraz, který vdíme, s olohou ředmětu. s ředmětovou vzdáleností, s obrazovou vzdáleností a s oloměry křvost r a r2 obou ovrchů čočky. Budeme také uvažovat ouze světelné arsky, které svírají malé úhly s centrální osou (v obrázcích jsou tyto úhly zvelčeny). V čl. 35.8 dokážeme, že za těchto ředokladů má tenká čočka ohnskovou vzdálenost, která je vázána se vzdálenostm a vztahem = + (tenká čočka). (35.9) Tento vztah má stejný tvar, jaký měla rovnce ro kulová zrcadla. Dokážeme také, že ro tenkou čočku s ndexem lomu n obkloenou vzduchem je ohnsková vzdálenost dána vztahem (tenká čočka = (n ) (35.0) ve vzduchu), r r2 kde r je oloměr křvost ovrchu blžšího k ředmětu a r2 je oloměr křvost druhého ovrchu. Znaménka těchto oloměrů určíme odle ravdla ro oloměry lámavých loch v čl. 35.5. Pro čočku obkloenou jnou látkou než
35.6 TENKÁ ČČKA 93 vzduchem (řekněme rostlnným olejem) s ndexem lomu n m nahradíme n v rov. (35.0) odílem n/n m. Z ředcházejících úvah, na nchž jsou založeny rov. (35.9) a (35.0), vylývá: Čočka může vytvářet obraz nějakého ředmětu jen tím, že mění směr světelných arsků. To však může jen tehdy, je-l její ndex lomu odlšný od ndexu lomu látky, která j obklouje. Na obr. 35.3a je tenká čočka s vyuklým lámavým ovrchy nebol stranam čočky (dvojvyuklá). Procházejí-l jí arsky, které byly ůvodně rovnoběžné s její centrální osou, lámou se dvakrát, což ukazuje zvětšený obr. 35.3b. Tento dvojí lom zůsobuje, že se arsky sbíhají a rocházejí solečným bodem F 2 ve vzdálenost od středu čočky. Tato čočka je tedy sojná, má v bodě F 2 reálné ohnsko (rotože arsky jím skutečně rocházejí) a její ohnsková vzdálenost je. Pošleme-l čočkou arsky rovnoběžné s otckou osou v oačném směru, nalezneme jné reálné ohnsko v bodě F na druhé straně čočky. V říadě tenké čočky ve vzduchu jsou tato ohnska stejně vzdálena od čočky. Protože ohnska sojné čočky jsou reálná, okládáme její ohnskové vzdálenost za kladné, stejně jako u vydutého zrcadla s reálným ohnskem. Jenže znaménka v otce mohou být záludná, roto oužjeme ke kontrole rov. (35.0). Je-l kladné, je levá strana rovnce kladná; a co ravá strana? Vyšetřeme j člen o členu. ndex lomu n skla nebo jakéhokol materálu je větší než, tedy výraz (n ) musí být kladný. Protože zdroj světla (kterým je ředmět) leží nalevo řed vyuklou levou stranou čočky, Zažehnutí ohně okusací slunečního světla na novny omocí sojné čočky zhotovené z čstého ledu. Čočka byla zhotovena tak, že v mělké nádobě (se zakřveným dnem) zmrzla voda. (Čočka musí mít hodně velký růměr, rotože led slně ohlcuje nračervené záření.) musí být oloměr křvost r této strany odle ravdla ro lámavou lochu kladný. Podobně rotože ředmět leží řed vydutou ravou stranou čočky, je oloměr křvost r 2 této strany záorný. Čntel (/r /r 2 ) je tedy kladný a znaménka souhlasí. Na obr. 35.3cje tenká čočka s oběma dutým stranam (dvojdutá). Procházejí-l touto čočkou arsky rovnoběžné s její centrální osou, lámou se dvakrát, jak je zvětšeně nakresleno na obr. 35.3d. Tyto arsky se rozbíhají a nkdy nerocházejí solečným bodem; roto je tato čočka br. 35.3 Parsky ostuující ůvodně rovnoběžně s centrální osou sojné čočky se sbíhají do ohnska F 2 čočky. Čočka je tenčí než na obrázku, její tlouš ka je srovnatelná s tlouš kou svslé římky rocházející čočkou, na níž mění arsky směr. Zvětšená horní část čočky z obr. ; normály k ovrchům jsou vyznačeny čárkovaně. Povšmněte s, že oba lomy arsku na ovrších směrují arsky dolů k centrální ose. (c) Tytéž ůvodně rovnoběžné arsky se o růchodu roztylnou čočkou stanou rozbíhavým. Prodloužené arsky vycházejí z vrtuálního ohnska F 2.(d)Zvětšená horní část čočky z obr. (c). Povšmněte s, že ř obou lomech se odchylují arsky nahoru, od otcké osy. C 2 F F 2 r 2 r C C F 2 F C 2 r r 2 (c) rodloužení (d)
932 KAPTLA 35 BRAZY roztylná (dvergentní). Prodloužení těchto arsků však rochází solečným bodem F 2 ve vzdálenost od středu čočky. Nazýváme ho vrtuální ohnsko. (Zachytí-l vaše oko některé z rozbíhavých arsků, vnímáte jasnou stou v F 2, jako by tam byl zdroj světla.) Je-l čočka tenká, leží druhé vrtuální ohnsko na oačné straně čočky v bodě F umístěném symetrcky. Protože ohnska roztylky jsou vrtuální, okládáme její ohnskovou vzdálenost za záornou. Zobrazování čočkou Uvažujme nyní, jaké tyy obrazu jsou vytvářeny sojkam a roztylkam. Na obr. 35.4a je ředmět umístěn řed ohnskem F sojné čočky (nalevo od F ). Z chodu dvou arsků zakreslených v obrázku vdíme, že čočka vytváří reálný řevrácený obraz na oačné straně čočky, než se nachází ředmět. Na obr. 35.4b je ředmět umístěn mez ohnskem F a čočkou (naravo od F ); čočka ak vytvoří vrtuální obraz na téže straně čočky a se stejnou orentac jako ředmět. Sojka tedy může vytvořt jak reálný, tak vrtuální obraz v závslost na tom, je-l ředmět nalevo nebo naravo od ohnska. br. 35.4cznázorňuje ředmět řed roztylnou čočkou. Nezávsle na ředmětové vzdálenost (nezávsle na tom, zda je nalevo nebo naravo od vrtuálního ohnska) vytvoří tato čočka vrtuální obraz, který je na téže straně a má stejnou orentac jako ředmět. Stejně jako u zrcadel bereme obrazovou vzdálenost jako kladnou, je-l obraz reálný, a záornou, je-l vrtuální. Ncméně umístění reálných a vrtuálních obrazů vytvořených čočkam je oačné než u zrcadel: Reálné obrazy se tvoří na oačné straně čočky a vrtuální obrazy na téže straně čočky, jako je ředmět. Příčné zvětšení m obrazů vytvořených sojným a roztylným čočkam je dáno rov. (35.5) a (35.6), latným ro zrcadla. V tomto odstavc se o vás chce, abyste s zaamatoval množství normací; měl byste s je utřídt tím, že vylníte tab. 35.2 ro tenké čočky. Ve slouc BRAZ/PLHA C 2 F r 2 F r (c) br. 35.4 Reálný řevrácený obraz vytvoří sojná čočka tehdy, je-l ředmět umístěn řed ohnskem F sojné čočky (nalevo od něj). braz je vrtuální a má stejnou orentac jako, je-l mez ohnskem a čočkou (naravo od F ). (c) Roztylná čočka vytváří vrtuální obraz stejně orentovaný jako ředmět nezávsle na tom, zda ředmět leží nalevo od ohnska nebo naravo od něj. C C C 2 r r 2 rozhodněte, zda je obraz na téže straně, nebo na oačné straně čočky jako ředmět. Ve slouc BRAZ/TYP rozhodněte, zda je obraz reálný, nebo vrtuální. Do slouce Tabulka 35.2 Usořádání normací o čočkách TYP UMÍSTĚNÍ BRAZ ZNAMÉNK VELČNY ČČKY PŘEDMĚTU PLHA TYP RENTACE m Sojná < > Roztylná kdekol
35.6 TENKÁ ČČKA 933 BRAZ/RENTACE našte, zda má obraz stejnou orentac jako ředmět, nebo zda je řevrácený. 3 F 2 RADY A NÁMĚTY Bod 35.: Problémy se znaménky u zrcadel a čoček Pozor: zrcadlo s vyuklým ovrchem má ohnskovou vzdálenost záornou; naoak čočka s vyuklým ovrchy (dvojvyuklá, bkonvexní) kladnou. Zrcadlo s vydutým ovrchem má kladnou ohnskovou vzdálenost; naoak čočka s dutým ovrchy (dvojdutá, bkonkávní) má záornou. bvyklou chybou je, že se tyto vlastnost zrcadel a čoček zaměňují. Nalezení olohy obrazu rozlehlého ředmětu arskovou konstrukcí Na obr. 35.5a je znázorněn ředmět řed ohnskem F tenké sojné čočky (nalevo od něj). Umístění obrazu jeho lbovolného bodu, který neleží na ose (nař. vrcholu šky na obrázku), můžeme nalézt grackou konstrukcí arskového obrazce omocí dvou ze tří secálních arsků rocházejících tímto bodem. Ke secálním arskům, vybraným ze všech arsků rocházejících čočkou a vytvářejících obraz, atří tyto:. Parsek ůvodně rovnoběžný s osou čočky rochází o růchodu čočkou ohnskem F 2 (arsek na obr. 35.5a). 2. Parsek, který ůvodně rocházel ohnskem F, vystouí z čočky rovnoběžně s osou (arsek 2 na obr. 35.5a). 3. Parsek, který ůvodně směřoval do středu čočky, z ní vystouí beze změny směru (arsek 3 na obr. 35.5a), rotože rošel dvěma ovrchy čočky, které jsou téměř rovnoběžné. braz bodu je umístěn na druhé straně čočky v růsečíku těchto tří arsků. braz celého ředmětu nalezneme určením obrazů několka jeho bodů. br. 35.5b ukazuje, jak se určí oloha obrazu, je-l ředmět umístěn za ohnskem F sojné čočky: využje se rodloužení tří secálních arsků. Povšmněme s, že os arsku 2 vyžaduje modkac (je to nyní arsek, jehož zětné rodloužení rochází bodem F ). Je-l ředmět umístěn kdekol řed roztylnou čočkou (obr. 35.5c), je k určení olohy obrazu zaotřebí ozměnt os chodu arsků a 2. Soustava dvou čoček Je-l ředmět umístěn řed soustavu dvou čoček, jejchž osy slývají (obr. 35.6a), můžeme určt olohu konečného obrazu (tj. obrazu vytvořeného čočkou, která je dále od ředmětu) ostuným řešením. Čočku blžší k ředmětu očíslujeme, vzdálenější 2; směr řed čočku je směrem k. F F F 2 2 (c) br. 35.5 Pomocí tří secálních arsků určíme olohu obrazu vytvořeného tenkou čočkou, leží-l ředmět nalevo od ohnska sojné čočky ( >), mez ohnskem a sojnou čočkou ( <), (c) kdekol řed roztylnou čočkou. KRK. Vzdálenost ředmětu řed čočkou označíme. Potom užtím rov. (35.9) nebo arskovou konstrukcí nalezneme vzdálenost obrazu vytvořeného čočkou. KRK 2. Nyní obraz nalezený v rvním kroku okládáme za ředmět ro čočku 2 (tzn. = 2 ); řtom jž gnorujeme čočku. Vznkne-l tento nový ředmět řed čočkou 2, bereme ředmětovou vzdálenost 2 ro čočku 2 kladně, jak jsme byl zvyklí. Může však vznknout za čočkou 2, a ak bereme vzdálenost 2 záornou: 2 < 0. Užtím rov. (35.9) nebo arskovou konstrukcí otom nalezneme vzdálenost 2 (konečného) obrazu vytvořeného čočkou 2. Podobné řešení o krocích můžeme oužít ro lbovolný očet čoček nebo v říadě, kdy se čočka 2 nahradí zrcadlem. Celkové říčné zvětšení M soustavy dvou čoček je 2 3 F 2 F 3 2
934 KAPTLA 35 BRAZY součn říčných zvětšení čoček m a m 2 : M = m m 2. (35.) PŘÍKLAD 35.4 Kudlanka nábožná loví na ose tenké symetrcké čočky ve vzdálenost 20 cm od ní. Její říčné zvětšení ř zobrazení čočkou je m = 0,25 a ndex lomu materálu čočky je,65. Určete ty obrazu vytvořeného čočkou, druh čočky, zda se ředmět nachází blíže k čočce, nebo dále od ní než ohnsko, na které straně čočky vznkne obraz a zda je obraz řevrácený. ŘEŠENÍ: Z rov. (35.6) (m = /) a z dané hodnoty m dostaneme = m = 0,25. Na otázky jsme schon odovědět dokonce bez výočtů. Protože je kladné, musí být také kladné. To znamená, že obraz je reálný a dále že čočka je sojná (jen sojky mohou vytvořt reálný obraz). Předmět se nachází dále od čočky než ohnsko (jen v tomto říadě se vytvoří reálný obraz). braz je řevrácený a na oačné straně čočky než ředmět. (Takové jsou vlastnost reálného obrazu vytvářeného sojkou.) Jakájevelkostr obou oloměrů křvost čočky? ŘEŠENÍ: Čočka je symetrcká, roto r (ro ovrch blžší k ředmětu) a r 2 mají stejnou velkost r. Protože jde o sojnou dvojvyuklou čočku, je r = +r a r 2 = r. Pouze rov. (35.0) obsahuje oloměry křvost ovrchů čočky; ostrádáme však hodnotu, abychom mohl dosadt do této rovnce. Můžeme j dostat z rov. (35.9), jestlže nařed nalezneme. Takže nezbývá než dokončt výočet dosazením dané hodnoty : = m = ( 0,25)(20 cm) = 5,0cm. Nyní dostaneme z rov. (35.9) = + = (20 cm) + (5,0cm), z níž vyočteme = 4,0cm. Rov. (35.0) dává ( = (n ) ) ( = (n ) r r 2 +r ) r a o dosazení známých hodnot což dává (4,0cm) = (,65 ) 2 r, r = 2(0,65)(4,0cm) = 5,2cm. (dově ) PŘÍKLAD 35.5 blné zrnko na obr. 35.6a je umístěno řed dvojcí tenkých souosých čoček a 2 s ohnskovým vzdálenostm = =+24 cm a 2 =+9,0 cm a se vzdáleností L = 0 cm mez nm. Zrnko je 6,0 cm od čočky. Kde je jeho výsledný obraz? čočka čočka 2 L čočka 2 2 L čočka 2 2 2 (c) br. 35.6 Příklad 35.5. Zrnko je ve vzdálenost od rvé čočky soustavy; vzdálenost mez čočkam je L. Zrnko zobrazíme škou. braz je vytvořen samotnou čočkou. (c) braz je ředmětem 2 ro zobrazení samotnou čočkou 2, ta vytváří konečný obraz 2. ŘEŠENÍ: Tento roblém řešíme ostuně o krocích. Nejrve s nevšímáme čočky 2 a najdeme obraz ředmětu vytvořený samotnou čočkou. Rov. (35.9) nasaná ro čočku je + =. 2
35.7 PTCKÉ PŘÍSTRJE 935 Dosazením zadaných hodnot dostaneme (+6,0cm) + = (+24 cm), což dává = 8,0cm. Z výsledku vylývá, že obraz je 8,0 cm od čočky a je vrtuální. (To, že je obraz vrtuální, jsme mohl určt z olohy zrnka; zrnko se nachází mez čočkou a jejím ohnskem.) Protože obraz je vrtuální, nachází se na téže straně čočky a je stejně orentovaný jako ředmět, jak je znázorněno v obr. 35.6b. Ve druhém kroku našeho řešení okládejme obraz za ředmět 2 ro druhou čočku; čočku jž neotřebujeme. Protože tento ředmět 2 leží od čočky 2 dále než její ohnsko, můžeme ředem odhadnout, že obraz vytvořený čočkou 2 je reálný, řevrácený a na oačné straně čočky než ředmět 2. Přesvědčme se o tom. Předmětová vzdálenost 2 mez ředmětem 2 a čočkou 2 je odle obr. 35.6c, b 2 = L + =(0 cm) + (8,0cm) = 8 cm. Potom rov. (35.9), nasaná nyní ro čočku 2, je tedy (+8 cm) + = 2 (+9,0cm), 2 =+8 cm. (dově ) Kladné znaménko otvrzuje náš odhad: obraz 2 vytvořený čočkou 2 je reálný,řevrácený a na oačné straně čočky 2 než 2, jak vdíme na obr. 35.6c. KNTRLA 4: Tenká čočka zobrazí otsk rstu se zvětšením +0,2, je-l otsk o,0 cm dále od čočky než její ohnsko. Jaký je druh obrazu a jeho orentace a o jaký druh čočky se jedná? 35.7 PTCKÉ PŘÍSTRJE Ldské oko je ozoruhodně účnný orgán. Jeho možnost můžeme navíc rozšířt ještě mnoha zůsoby omocí otckých řístrojů, nař. brýlem, jednoduchou zvětšující čočkou (luou), lmovým rojektory, kameram (včetně televzních), mkroskoy a dalekohledy. Mnohá z takových zařízení rozšřují oblast našeho vdění mmo vdtelnou oblast; uve me jako říklad nračervené kamery a rentgenové mkroskoy. Vztahy ro zobrazení zrcadlem a tenkou čočkou můžeme oužít ro důmyslné otcké řístroje jen jako aroxmace. Čočky v tyckém laboratorním mkroskou nejsou v žádném říadě tenké. U většny otckých řístrojů jde o složené čočky (objektvy), které se skládají z několka rvků a jejchž rozhraní nemusí mít kulový tvar. Dále robereme tř otcké řístroje a budeme ro jednoduchost ředokládat latnost rovncro tenkou čočku. Lua (jednoduchá zvětšující čočka) Normální ldské oko může zaostřt obraz na sítnc (v zadní část oka), je-l ředmět umístěn kdekol od nekonečna až o určtý bod, který nazýváme blízkým bodem P n.posouvá-l se ředmět blíže k oku, řed blízký bod, vnímaný obraz na sítnc se rozostří. Poloha blízkého bodu se mění s věkem. Všchn známe ld, kteří neužívají brýle, ale ř čtení drží novny v natažených rukou; jejch blízký bod se vzdáll. Chcete-l najít svůj blízký bod, odložte brýle nebo kontaktní čočky, zavřete jedno oko a řblžujte stránku k otevřenému oku, až se stane nezřetelnou. V následujícím textu klademe blízký bod do vzdálenost 25 cm od oka, trochu dále, než je jeho tycká vzdálenost ve dvacet letech. Na obr. 35.7a je ředmět umístěn do blízkého bodu P n oka. Velkost obrazu vytvořeného na sítnc závsí na úhlu θ, který ředmět zabírá v zorném ol oka (zorném úhlu). Posouváním ředmětu blíže k oku (obr. 35.7b) se zvětší zorný úhel a tedy možnost rozlšení detalů ředmětu. Protože je však ředmět blíže než blízký bod, není jž zaostřený, tzn. je nezřetelný. strost obrazu můžeme obnovt tím, že jej rohlížíme řes sojnou čočku (obr. 35.7c); tu umístíme tak, že se ředmět nachází blízko ohnska F,mez ohnskem a čočkou. Pak rohlížíme vrtuální obraz ředmětu vytvořený čočkou. Tento obraz je mnohem dále než blízký bod a oko jej vdí ostře. Zorný úhel θ, od kterým vdíme vrtuální obraz, je navícvětší než největší úhel θ, od nímž vdíme ostře samotný ředmět. Úhlové zvětšení m θ (nezaměňovat s říčným zvětšením m) denujeme jako odíl m θ = θ /θ. Slovy: úhlové zvětšení luy dostaneme orovnáním zorného úhlu obrazu vytvořeného luou a zorného úhlu ředmětu umístěného do blízkého bodu ozorovatele. Z obr. 35.7 lyne za ředokladu, že ředmět je umístěn v ohnsku čočky, θ. = tg θ = h/25 cm a θ. = tg θ = h/,
936 KAPTLA 35 BRAZY h P n P n P n (c) θ 25 cm h ke vzdálenému vrtuálnímu ředmětu br. 35.7 Předmět výšky h v blízkém bodě P n našeho oka zaujímá zorný úhel θ. Aby se zorný úhel zvětšl, osuneme ředmět blíže k sobě. Pak však nedokážeme ředmět zaostřt. (c) Mez ředmět a oko umístíme sojnou čočku tak, že ředmět leží blízko ohnska F čočky (mez nm a čočkou). braz vytvořený čočkou je ak dostatečně daleko, abychom na něj mohl oko zaostřt. Zorný úhel θ obrazu je nyní větší než zorný úhel ředmětu v říadě. h F okud úhly θ a θ jsou malé. Potom latí m θ. = 25 cm Mkrosko θ (lua). (35.2) Na obr. 35.8 je nakreslen mkrosko složený z tenkých čoček. Přístroj sestává z objektvu (čočka blžší ředmětu) s ohnskovou délkou ob azokuláru (čočka blžší oku) s ohnskovou délkou ok. Užívá se k rohlížení malých ředmětů, které se kladou blízko objektvu. Pozorovaný ředmět se umís uje nalevo od rvého ohnska F natolk blízko k němu, že můžeme řblžně nahradt ředmětovou vzdálenost ohnskovou vzdáleností ob. Vzdálenost mez čočkam nastavujeme tak, že zvětšený a řevrácený reálný obraz vytvořený objektvem se nachází blízko ohnska F okuláru (mez ohnskem a okulárem). Délka tubusu s (řesněj nazývaná otckým ntervalem) vyznačená na obr. 35.8 je odstatně větší než ob a můžeme jí řblžně nahradt vzdálenost mez objektvem a obrazem. okulár objektv F 2 F F rovnoběžné arsky ke vzdálenému vrtuálnímu obrazu ob ob s ok br. 35.8 Znázornění mkroskou složeného z tenkých čoček (není v měřítku). bjektv vytváří reálný obraz ředmětu blízko ohnska F okuláru. braz se ak stane ředmětem ro okulár, který vytváří konečný vrtuální obraz ; ten je rohlížen ozorovatelem. hnsková vzdálenost objektvu je ob, ohnsková vzdálenost okuláru je ok, délka otckého ntervalu (tubusu) je s. Užjeme-l těchto aroxmací ro a, můžeme odle rov. (35.6) zasat říčné zvětšení objektvu takto: m = = s. (35.3) ob Protože obraz je umístěn blízko ohnska okuláru F (mez F a okulárem), slouží okulár jako lua; ozorovatel vdí řes n výsledný (vrtuální, řevrácený) obraz. Celkové zvětšení řístroje je součn říčného zvětšení m objektvu (rov. (35.3)) a úhlového zvětšení m θ okuláru (rov. (35.2)), tj. M = mm θ = s 25 cm (mkrosko). (35.4) ob ok Dalekohled Jsou dalekohledy různých tyů. Poíšeme jednoduchý rerakční dalekohled sestávající z objektvu a okuláru. Na obr. 35.9 jsou oba rvky rerezentovány jednoduchým čočkam, ačkol v rax u většny dalekohledů jsou tvořeny složtým systémy čoček. Usořádání dalekohledů a mkroskoů jsou odobná, dalekohledy jsou však navrhovány k ozorování velkých ředmětů ve velkých vzdálenostech, jako nař. galaxí, hvězd a lanet, zatímco mkroskoy jsou navrhovány k účelům rávě oačným. Tento rozdíl vyžaduje, aby u dalekohledu na obr. 35.9 slývalo druhé ohnsko objektvu F 2 s rvním ohnskem okuláru F, zatímco u mkroskou na obr. 35.8 jsou tato ohnska oddělena otckým ntervalem (délkou tubusu) s.
35.8 TŘ DVZENÍ 937 objektv rovnoběžné arsky řcházející od vzdáleného ředmětu S ob k obrazu ob okulár θ ob F 2 = F θ ok θ ob F 2 = F h X ok θ ok S ok rovnoběžné arsky br. 35.9 Schéma rerakčního dalekohledu složeného z tenkých čoček. bjektv vytváří reálný obraz vzdáleného světelného zdroje (ředmětu); arsky vstuující do objektvu jsou řblžně rovnoběžné. (Předokládáme, že jeden konecředmětu leží na centrální ose.) Ve solečných ohnscích F 2 a F vznká obraz, který je ředmětem ro okulár; okulár vytváří ve velké vzdálenost od ozorovatele konečný vrtuální obraz. bjektv má ohnskovou vzdálenost ob, okulár má ohnskovou vzdálenost ok. braz má výšku h = F 2 X ; arsek S ob X svírá s osou úhel θ ob, arsek XS ok svírá s osou úhel θ ok. Na obr. 35.9a doadají na objektv rovnoběžné arsky ze vzdáleného ředmětu svírající s osou dalekohledu úhel θ ob a o růchodu objektvem vytvoří reálný, řevrácený obraz ve solečném ohnsku F 2 = F. Tento obraz je ředmětem ro okulár; ozorovatel vdí řes okulár vzdálený (stále řevrácený) vrtuální obraz. Parsky určující tento obraz svírají s osou dalekohledu úhel θ ok. Úhlové zvětšení m θ dalekohledu je odíl θ ok /θ ob.podle obr. 35.9b za ředokladu, že arsky svírají malé úhly s osou, můžeme sát θ ob = h / ob a θ ok = h / ok ; z toho dostaneme m θ = ob ok (dalekohled), (35.5) kde záorné znaménko značí, že obraz je řevrácený. Slovy: Úhlové zvětšení dalekohledu dostaneme jako odíl zorného úhlu obrazu vytvořeného dalekohledem a zorného úhlu vzdáleného ředmětu, od kterým ozorujeme ředmět bez dalekohledu. Př návrhu astronomckého dalekohledu je ožadované zvětšení ouze jedním, snadno dosažtelným aktorem. Dobrý telesko by měl mít jasný obraz, což je určeno jeho světelností. To je důležté ř ozorování slabých objektů, jakým jsou nař. vzdálené galaxe. Dosahuje se toho volbou co možná největšího růměru objektvu. U dalekohledu je též důležtá jeho rozlšovací schonost, cožje schonost rozlšt dva objekty (řekněme hvězdy), jejchž úhlová vzdálenost je malá. Dalším důležtým aktorem je zorné ole dalekohledu. Telesko určený ro ozorování galaxí (které zaujímají malou část zorného ole) se v mnohém lší od teleskou navrženého ro sledování meteorů (které se ohybují v šrokém rozmezí zorného ole). Konstruktér dalekohledu musí též řhlédnout k rozdílům mez reálným čočkam a deálním tenkým čočkam, o nchž jsme dskutoval. Reálná čočka s kulovým ovrchy nevytvoří ostré obrazy; tato vada se nazývá sércká aberace (otvorová vada). Protože dále úhel lomu na dvou ovrších skutečné čočky závsí na vlnové délce, reálná čočka neokusuje světlo rozdílných vlnových délek do téhož bodu; tato vada se nazývá chromatcká aberace (barevná vada). Stručná dskuse v žádném říadě nevyčerala aktory ro návrh astronomckých dalekohledů; je jch ještě mnohem více. Podobný výčet bychom ovšem mohl sestavt ro každý další otcký řístroj s vysokým rozlšením. 35.8 TŘ DVZENÍ Kulové zrcadlo rov. (35.4) Na obr. 35.20 je bodový ředmět na centrální ose vydutého kulového zrcadla dále od zrcadla než jeho střed křvost C. Parsek vycházející z, který svírá s osou úhel α, se odrazí v bodě A od zrcadla a rotne osu v. Parsek šířící se z ve směru osy se odrazí ve vrcholu V zrcadla nazět a také rochází bodem. Je tedy obrazem ; je to reálný obraz, rotože jím arsky skutečně rocházejí. Hledejme obrazovou vzdálenost. K tomu užjeme věty, která říká, že vnější úhel v trojúhelníku se rovná součtu dvou rotlehlých vntřních úhlů. Alkujme j na trojúhelníky AC aa v obr. 35.20; dostaneme β = α + θ a γ = α + 2θ. Vyloučíme-l z těchto dvou rovnc θ, dostaneme α + γ = 2β. (35.6) Úhly α, β a γ můžeme nasat v radánech takto: α. = AV V = AV, β = AV VC = AV r
938 KAPTLA 35 BRAZY a γ =. AV V = AV. (35.7) Pouze vztah ro β je řesný, rotože oblouk AV má střed v C. Vztahy ro α a γ latí jen řblžně, jsou-l tyto úhly dostatečně malé (tj. jsou-l arsky blízké centrální ose). Dosazením rov. (35.7) do rov. (35.6), dosazením 2 za r odle rov. (35.3) a dělením délkou oblouku AV dostaneme rov. (35.4), tedy vztah, který jsme měl dokázat. θ θ α β γ osa C V zrcadlo br. 35.20 Vyduté kulové zrcadlo vytváří reálný bodový obraz odrazem světelných arsků z bodového ředmětu. Lámavá locha rov. (35.8) Parsek vycházející z bodového ředmětu v obr. 35.2 a doadající do bodu A se láme odle rov. (34.44), n sn θ = n 2 sn θ 2. Je-l úhel α malý, jsou také úhly θ a θ 2 malé a sny těchto úhlů mohou být nahrazeny samotným úhly. Předcházející rovnce bude mít tvar. n θ = n2 θ 2. (35.8) ět užjeme aktu, že vnější úhel v trojúhelníku se rovná součtu dvou rotlehlých vntřních úhlů. Alkujme jej na trojúhelníky CA aca a dostaneme θ = α + β a β = θ 2 + γ. (35.9) Vyloučíme-l θ a θ 2 z rov. (35.8) užtím rov. (35.9), dostaneme n α + n 2 γ = (n 2 n )β. (35.20) Úhly α, β a γ v radánech jsou rovny α =. AV ; β = AV r ; γ =. AV. (35.2) Pouze druhá z těchto rovnc latí řesně. statní dvě latí ouze řblžně, rotože a nejsou středy kruhového oblouku AV. Pro dostatečně malý úhel α (ro arsky blízké ose) jsou však neřesnost zanedbatelné. Dosazení rov. (35.2) do rov. (35.20) vede římo k rov. (35.8), tedy ke vztahu, který jsme měl dokázat. r A Tenká čočka rov. (35.9) a (35.0) Budeme ostuovat tak, že každý ovrch čočky budeme okládat za samostatnou lámavou lochu a obraz vytvořený rvním ovrchem užjeme jako ředmět ro druhý ovrch. Začneme s tlustou skleněnou čočkou tlouš ky L zobrazenou na obr. 35.22a, jejíž levý a ravý ovrch mají oloměry r a r. Bodový ředmět umístíme oblíž levého ovrchu. Parsek vycházející z a ostuující odél centrální osy se ř vstuu do čočky nebo výstuu z ní nevychyluje. Druhý arsek, vycházející z od úhlem α (od centrální osy), rotíná levý ovrch v bodě A,lámesearotíná druhý (ravý) ovrch v bodě A. Parsek se oět láme a kříží osu v bodě.bod je růsečíkem dvou arsků vycházejících z a tedy výsledným obrazem bodu vytvořeným o lomu na obou lochách. br. 35.22b ukazuje, že rvní (levý) ovrch vytváří také obraz ředmětu vrtuální obraz. K nalezení jeho olohy užjeme rov. (35.8) n + n 2 = n 2 n. r Položíme-l n = an 2 = n a uvědomíme-l s, že obrazová vzdálenost je záorná (tj. = ), dostaneme n = n r. (35.22) V této rovnc je kladné číslo, rotože záorné znaménko odovídající vrtuálnímu obrazu bylo jž do ní zahrnuto. br. 35.22cukazuje druhý ovrch. Pokud ozorovatel v bodě A neví o exstenc rvního ovrchu, myslí s, že světlo doadající do tohoto bodu vychází z bodu aže oblast nalevo od druhého ovrchu je vylněna sklem, jak je v obrázku vyznačeno. Vrtuální obraz vytvořený rvním ovrchem slouží tedy jako reálný ředmět ro druhý ovrch. Vzdálenost tohoto ředmětu od druhého ovrchu je = + L. (35.23) Než oužjeme rov. (35.8) na druhý ovrch, musíme oložt n = n a n 2 =, rotože ředmět je jakoby vnořen do skla. Rov. (35.8) o dosazení z rov. (35.23) je n + L + = n r. (35.24) Předokládejme nyní, že tlouš ka L čočky z obr. 35.22a je tak malá, že j můžeme zanedbat rot jným délkám (nař.,,,, r, r ). V následujícím textu zavedeme tuto aroxmac ro tenkou čočku. Položíme-l L = 0 a uravíme-l ravou stranu rov. (35.24), dostaneme z ní n + = n r. (35.25)
35.8 TŘ DVZENÍ 939 θ A θ 2 br. 35.2 Parsky vycházející z bodového ředmětu se lámou na kulovém vyuklém rozhraní dvou rostředí a vytvářejí reálný bodový obraz α β osa V C γ n n 2 >n r A A α osa V C C V n sklo vzduch r L r A br. 35.22 Dva arsky vycházející z bodového ředmětu se o lomu na dvou kulových ovrších čočky rotínají v bodě reálném bodovém obraze. Předmět leží řed vyuklým ovrchem na levé straně a vydutým ovrchem na ravé straně čočky. Parsek jdoucí body A a A rochází ve skutečnost čočkou o dráze blízké ose. Lomy na levém ovrchu a (c) na ravém ovrchu jsou nakresleny odděleně. n =,0 A n 2 =,0 V C V α V C vzduch sklo n 2 = n r (c) n = n sklo vzduch r L Sečtení rov. (35.22) a (35.25) vede na vztah + ( = (n ) r ) r. Změníme-l označení vzdálenost ůvodního ředmětu na a vzdálenost konečného obrazu na, dostaneme + ( = (n ) r ) r, (35.26) což jsou až na malé změny v označení rov. (35.9) a (35.0), tedy vztahy, které jsme měl dokázat.