. Komplexní čísla Inegrovaná sřední škola, Kumburská 846, Nová Paka Auomaizace maemaika v auomaizaci Maemaika v auomaizaci - pro řešení regulačních obvodů: Komplexní číslo je bod v rovině komplexních čísel. Číslo v komplexní rovině je udáno reálnou složkou, kerá se vynáší na vodorovnou osu a imaginární složkou, kerá se vynáší na svislou osu. Vzdálenos komplexního čísla od počáku (ampliuda): / U / = U + U Zápis komplexního čísla: U = U + ju gϕ = Goniomerický var : U = / U /(cosϕ + j sinϕ) aginární jednoka: j = jj = j = - j 3 = -j j 4 = j 5 = j ad. Použií v praxi: např: Činný výkon Jalový výkon Exponenciální var: U = / U / e jϕ P = U * I *cosϕ Q = U * I *sinϕ ϕ = arcg Zdánlivý výkon S = U * I Komplexní impedance Z = R + jω L + jωc srana /5
Inegrovaná sřední škola, Kumburská 846, Nová Paka Auomaizace maemaika v auomaizaci. Derivace časové funkce Vysvělíme na příkladu. Máme časovou funkci průběh dráhy na čase. s = s(), jejíž srmos ukazuje, jak rychle se ujeá dráha měnila v čase. V libovolném okamžiku pak můžeme z grafu vyjádři okamžiou rychlos. V okolí si zvolíme malý přírůsek času, jemu odpovídá přírůsek dráhy s. (Provedeme vlasně linearizaci.) Okamžiou s rychlos pak přibližně vyjádříme vzahem v. Chyba je ím věší, čím je věší zvolený přírůsek. Čím je zvolený přírůsek menší bude chyba menší. Bude-li se přírůsek blíži nule nazýváme ho diferenciálem a výsledek je zcela přesný. Sečna ve zvoleném přírůsku se posupně změnila v ečnu. Čím bude ečna srmější, ím bude okamžiá rychlos věší. Bude-li ečna rovnoběžná s osou x, bude rychlos nulová. Maemaický zápis se změnil ve var: v = Výraz určuje derivaci dráhy podle času a čeme jej ds podle ds Závěr: - derivace funkce je v podsaě směrnice ečny v daném bodě dané křivky. gα = s Soupá li křivka je derivace kladná, je li rovnoběžná s osou času pak je rovna nule a když klesá je záporná. / Fyzikální podsaou derivace dráhy podle času je okamžiá rychlos. dv d s / Budeme li derivova znovu okamžiou rychlos podle času získáme zrychlení. a = =. Zde mluvíme o druhé derivaci. Prakický přísroj je achomer, ohebný hřídel, kerý oáčí počíadlem ujeých kilomerů a současně permanenním magneem. Pomalejší nebo rychlejší oáčení způsobuje menší nebo věší vychýlení ručky achomeru. srana /5
Inegrovaná sřední škola, Kumburská 846, Nová Paka Auomaizace maemaika v auomaizaci 3. Inegrál časové funkce opačná maemaická operace k derivaci. Naopak z časového průběhu rychlosi získáme časový průběh fyzikální veličiny. Přírůsek dráhy vykonaný určiou rychlosí je dán vzahem: s v Celková délka dráhy vykonaná za čas je dána součem všech jednolivých přírůsků dráhy. n = + s3 +... + sn = v + v + v3 + + vn = vi i= s = s + s... Řecké písmeno sigma zde čeme suma. Chyba způsobená volbou zvolených přírůsků se bude zmenšova se zmenšujícím se zvoleným přírůskem. Zmenšíme-li až k nule změní se opě na d suma na značku určiého inegrálu. s ( ) = v ( ) Jedná se o určiý inegrál od dolní meze do horní meze. Geomerický výraz inegrálu souče všech ploch pod křivkou v určiém inervalu Někdy je řeba i počáeční podmínku s 0 : ( ) = s 0 + v V praxi Pioova rubice měří přímo leovou rychlos, kerou je řeba inegrova aby pilo měl informaci o vykonané dráze. Mechanický inegráor může bý mechanické počíadlo spřažené s vrulkou poháněnou proudem vzduchu. Velmi časo se inegruje a derivuje pomocí operačních zesilovačů. Maemaicky je o složié, proo : - derivaci - řešíme graficky, použijeme směrnici ečny ke křivce. - inegrál řešíme graficky, vyčíslíme poče čverečků na rasru přiloženého průsviného papíru. s ( ) srana 3/5
Inegrovaná sřední škola, Kumburská 846, Nová Paka Auomaizace maemaika v auomaizaci 4. Diferenciální rovnice je základním vyjádřením dynamických vlasnosí nějakého členu. Vsupním signálem členu je x () a výsupním signálem je x (). Proměnné v čase. dx ( ) a + a0 x( ) = x( ) oo je diferenciální rovnice. řádu (řád určuje supeň derivace) a x = x oo je diferenciální rovnice 0. řádu (lineární rovnice) 0 ( ) ( ) d x dx ( ) ( ) a + a + a0 x( ) = x( ) oo je diferenciální rovnice. řádu 5. Laplaceova ransformace Laplaceova ransformace je pomocný maemaický apará, kerý umožňuje nahradi obížné derivování a inegrování jednoduchým násobením a dělením zv. operáorem p. Složié procesy v auomaizační echnice jsou popisovány diferenciální rovnicí (derivace) a pokud je nuné maemaicky je řeši použije Laplaceova ransformace. Obecné schéma řešení problémů pomocí ransformace: Jednolivé funkce nahrazujeme novými funkcemi (obrazy) F(p). Obrazem derivování je v Laplaceově ransformaci násobení operáorem p. Obrazem inegrování je dělení operáorem p. df ( ) = pf( p) f ( ) p = F( p ) Jednokový skok f() Základní používanou časovou funkcí je jednokový skok l() (skoková funkce). V čase menším než nula je hodnoa funkce rovná nule. V čase rovném nebo věším než nula je hodnoa funkce rovna 0 jedné. originál - l() obraz / p Výhodou je jednoduchá elekronická realizace. srana 4/5
Inegrovaná sřední škola, Kumburská 846, Nová Paka Auomaizace maemaika v auomaizaci Lineární funkce Její symbolické označení () vyjadřuje f() skuečnos, že její funkční hodnoě v kladném čase rovná omuo času. Pro čas menší než nula je hodnoa funkce nulová. 0 (s) () = /p * /p = /p originál () obraz /p Tao funkce vzniká inegrací jednokového skoku. Dirakův (jednokový) impuls f() V čase menším i věším než nula je hodnoa nulová. V čase 0 se velikos impulsu blíží k nekonečnu a jeho šířka se blíží k nule. Plocha impulsu se rovná jedné. 0 (s) δ() = p*/p = originál - δ() obraz - Dirakův impuls je derivace jednokového skoku. Tabulky pro Laplaceovu ransformaci a Zpěnou ransformaci Z jsou v učebnici Auomaizace a auomaizační echnika - sr. 0 Diferenciální rovnice po ransformaci má var algebraické rovnice ( Laplaceovým operáorem p): a px + a x = x ( p) 0 ( p) ( p) Po arimeickém řešení pomocí násobení a dělení se provede Zpěná ransformace opě dle abulek. Časo však není pořebné uo zpěnou ransformaci provádě, proože forma obrazů je výhodná pro svoji přehlednos a snadnos konsrukce frekvenčních charakerisik. Srovnání: dx ( ) a + a0 x( ) = x a px + a x = x ( ) ( p) 0 ( p) ( p) srana 5/5