LKTŘINA A MAGNTIZMUS II. Coulombův zákon Obsah COULOMBŮV ZÁKON.1 LKTRICKÝ NÁBOJ. COULOMBŮV ZÁKON.3 PRINCIP SUPRPOZIC 4.4 LKTRICKÉ POL 5.5 SILOKŘIVKY LKTRICKÉHO POL 6.6 SÍLA PŮSOBÍCÍ NA NABITOU ČÁSTICI V LKTRICKÉM POLI 8.7 LKTRICKÝ DIPÓL 9.7.1 LKTRICKÉ POL DIPÓLU 9.8 DIPÓL V LKTRICKÉM POLI 11.8.1 POTNCIÁLNÍ NRGI LKTRICKÉHO DIPÓLU 1.9 HUSTOTA NÁBOJ 13.9.1 OBJMOVÁ HUSTOTA NÁBOJ 13.9. PLOŠNÁ HUSTOTA NÁBOJ 14.9.3 LINÁRNÍ HUSTOTA NÁBOJ 14.1 LKTRICKÉ POL ROVNOMĚRNĚ ROZLOŽNÉHO NÁBOJ 14.11 SHRNUTÍ.1 TCHNIKY ŘŠNÍ PŘÍKLADŮ 3.13 ŘŠNÉ ÚLOHY 4.14 TÉMATICKÉ OTÁZKY 3.15 NŘŠNÉ ÚLOHY 33
Coulombův zákon.1 lektický náboj xistují dva duh náboje, kteé v příodě pozoujeme. Označujeme je jako kladné a záponé a džíme se konvence, kteou při svých expeimentech zavedl Benjamin Fanklin. Při tření skleněné tče hedvábím vznikl na tči náboj, kteý označil jako kladný, naopak náboj, kteý vznikl na pečetním vosku při tření kožešinou, označil jako záponý. Souhlasné náboje se navzájem odpuzují, opačné náboje se naopak přitahují. Jednotkou elektického náboje je jeden Coulomb (C). Nejmenší jednotkou volného náboje, kteý se vsktuje v příodě, je náboj elektonu a nebo potonu, kteý má velikost 19 e 1,6 1 C. (.1.1) Náboj jakéhokoli tělesa je možné vjádřit v násobcích náboje e. lekton nese záponou hodnotu náboje ( e), zatímco poton je nositelem kladného náboje (+e). V izolované soustavě zůstává celkové množství náboje zachováno, z čehož plne, že elektický náboj nelze nijak zničit. Lze jej ovšem přenášet z jednoho tělesa na duhé.. Coulombův zákon Předpokládejme, že jsou ve vakuu umístěn dva bodové náboje, q 1 a q, nacházející se ve vzdálenosti. Síla, kteou působí náboj q 1 na náboj q, je dána Coulombovým zákonem: qq 1 F1 ke ˆ, (..1) kde k e je konstanta úměnosti a ˆ = / je jednotkový vekto mířící od q 1 do q, jak ukazuje obázek..1 (nalevo). Ob...1: Síla působící meze dvěma náboji. Poznamenejme, že elektická síla je vekto, kteý má komě velikosti také smě. V soustavě SI je konstanta úměnosti k e dána výazem kde k e 1 9 8,9875 1 N m /C 4 (..) 1 8,851 C / N m 9 4 (8,991 N m /C ) 1 (..3)
je takzvaná pemitivita vakua. Podobně síla, kteou působí náboj q 1 na q je daná výazem F 1 = F 1, jak ukazuje obázek..1 (napavo). To vplývá ze třetího Newtonova zákona. Jako příklad si vezměme atom vodíku, v jehož jádře se nachází jeden poton. Ve vzdálenosti 11 5,31 m se nachází elekton. lektostatická síla, kteá mezi těmito dvěma částicemi působí je přibližně gavitační silou, kteá je přibližně 8 Fe ke e / 5, 1 N. Tto částice na sebe ale také působí opoti elektostatickému naposto zanedbatelné! Animace.1: Van de Gaaffův geneáto 47 F g 3, 6 1 N. Vidíme, že gavitační působení je Obázek.. (nalevo) znázoňuje odpudivou sílu, kteá působí mezi dvěma souhlasně nabitými těles, pomocí jejich elektických polí. Soustava obsahuje nabitou kovovou kouli Van de Gaaffova geneátou, kteá je v postou pevně umístěná a nemůže se pohbovat. Duhým objektem soustav je malá nabitá koule, kteá je pohblivá (gavitační působení mezi koulemi zanedbáváme). V souladu s Coulombovým zákonem se souhlasné náboje odpuzují a poto bude na malou kouli působit odpudivá síla, kteá ji bude tlačit směem od Van de Gaaffova geneátou. Obázek..: Nalevo dva souhlasné náboje se navzájem odpuzují dík silám, přenášeným elektickým polem. Po znázonění pole je vužito jak metod šumové textu, tak znázonění silokřivek elektického pole. Napavo dva opačné náboje se dík účinkům silového pole přitahují. Animace ukazuje po daný případ pohb malé koule a tva elektického pole. Všimněte si, že abchom v této animaci mohli pohb kuličk zopakovat, musíme ji nejdříve odazit od malé podložk umístěné v postou v učité vzdálenosti od Van de Gaaffova geneátou. Než budeme diskutovat o této animaci, podívejme se na obázek.. (napavo), kteý ukazuje jeden snímek animace inteakce opačně nabitých nábojů. Podle Coulombova zákona se tto náboje přitahují, a poto se menší kulička pohbuje k větší, potože na ni působí přitažlivá síla. Abchom mohli animaci zopakovat, necháme opět kuličku odazit od překážk, kteou tentokát umístíme mezi menší kuličku a geneáto. Cílem těchto dvou animací je ukázat fakt, že Coulombova síla mezi dvěma náboji není nějakým okamžitým působením na dálku. Spíše b se dalo říci, že silové působení je přenášeno dík přímému kontaktu Van de Gaafova geneátou s okolním postoem postřednictvím elektického pole jeho náboje. Silové působení je pak kontinuálně z jednoho elementu postou přenášeno na okolní element až do blízkosti menší koule a odtud pak přímo na ni. Přestože se obě koule navzájem nedotýkají, jsou v přímém kontaktu s mechanismem silového působení, kteé mezi nimi existuje. Toto působení je (konečnou 3
chlostí) přenášeno pouchami v okolním postou, vvolanými přítomností obou nabitých těles. Zakeslování silokřivek pole vužíval i Michael Faada, tvůce teoie elektomagnetického pole. Bl pvním, kdo ukázal, že tato pole, kteá spojitě vplňují posto mezi nabitými těles, přenášejí pouch, jejichž výsledkem jsou vzájemná silová působení mezi objekt..3 Pincip supepozice Coulombův zákon popisuje silové působení mezi jakýmikoli dvěma náboji. Pokud na sebe navzájem působí více nábojů, je celková síla, působící na libovolný náboj, dána jednoduchým vektoovým součtem jednotlivých silových účinků ostatních nábojů. Například po případ tří nábojů je výsledná síla, kteou působí náboje q 1 a q na náboj q 3 dána vztahem: F F F. (.3.1) 3 13 3 Pincip supepozice osvětluje následující příklad. Příklad.1: Soustava tří nábojů Předpokládejte, že tojice nábojů je umístěna v ovině tak, jak ukazuje obázek.3.1. Nalezněte sílu, kteá působí na náboj q 3, je-li q 1 = 6 1 6 C, q = 6 1 6 C, q 3 = 3 1 6 C, a = 1 m. Řešení: Ob..3.1: Soustava tří nábojů Vužitím pincipu skládání sil platí po výslednou sílu, působící na náboj q 3 : 1 qq 1 3 qq 3 F3 F13F3 ˆ 13 ˆ 3. 4 13 3 V tomto případě bude mít duhý člen v závoce záponý koeficient, potože náboj q je záponý. Jednotkové vekto ˆ 13 a ˆ 3 nemíří stejným směem. Abchom učili žádaný součet, můžeme každý vekto vjádřit v katézských složkách a síl sečíst podle pavidel vektoového součtu. Z obázku je patné, že jednotkový vekto ˆ 13, kteý míří od q 1 do q 3, můžeme vjádřit jako 4
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 13 cos i sin j ( i j ). Obdobně jednotkový vekto ˆ ˆ 3 imíří od q do q 3. Dosazením dostaneme po celkovou sílu 1 qq 1 3 q q 3 1 3 13 3 1 3 ( 1 ) ˆ ˆ qq ˆ ˆ q q 3 ˆ F 4 13 3 4 ij i a a Velikost výsledné síl je 1 qq 1 3 ˆ 1 ˆ. 4 a 4 i j 4 1/ 1 qq 1 3 F3 1 3N. 4 a 4 4 Úhel, kteý v kladném směu svíá síla s osou x je 1 F3, 1 /4 tan tan 151,3. F 3, x 1 /4 Všimněte si, že tato ovnice má dvě řešení. Duhé řešení f =-8,7je nespávné, potože b znamenalo, že síla má kladnou složku î a záponou složku ĵ. Po soustavu N nábojů bude výsledná síla působící na j-tou částici N Fj F ij, (.3.) i 1 i j kde Fij je síla, kteá působí mezi částicemi i a j. Z pincipu supepozice plne, že síla působící mezi dvěma libovolnými náboji je nezávislá na přítomnosti ostatních nábojů. To platí za předpokladu, že se náboje nepohbují..4 lektické pole lektostatická síla působí podobně jako gavitační síla do dálk, přestože se objekt nijak nedotýkají. Abchom tuto skutečnost dokázali popsat, zavádíme představu silového pole vtvořeného jedním nábojem, pomocí kteého tento náboj působí na ostatní náboje. lektický náboj q vtváří elektické pole v celém svém okolí. Abchom vjádřili intenzitu tohoto pole, vložíme do tohoto pole testovací náboj q a změříme sílu, jaká bude na tento náboj působit. lektické pole je popsáno intenzitou, kteou definujeme jako F (.4.1) e lim q q Náboj q volíme nekonečně malý z toho důvodu, ab jím geneované pole nijak neovlivňovalo zdojový náboj zkoumaného pole. Analogii mezi elektickým polem a gavitačním polem g lim F / m znázoňuje Ob..4.1. m g 5
Ob..4.1: Analogie mezi gavitačním polem g a elektickým polem. Z hlediska teoie pole říkáme, že náboj q vtváří elektické pole, kteé na testovací částici q působí silou F = q. Ze vztahu (.4.1), kteý je definičním vztahem elektického pole, a s vužitím Coulombova zákona, je elektické pole ve vzdálenosti od bodového náboje q dáno vztahem 1 q ˆ. (.4.) 4 Z pincipu supepozice sil vplývá, že celkové elektické pole soustav nábojů je ovno vektoovému součtu polí jednotlivých nábojů: 1 q ˆ. (.4.3) i i 4 i i i Animace.: lektické pole bodových nábojů Obázek.4. ukazuje snímk z animací elektického pole pohbujícího se kladného a záponého náboje za předpokladu, že chlost náboje je malá ve sovnání s chlostí světla. i Ob..4.: lektické pole kladného náboje (nalevo) a záponého náboje (napavo), kteé se pohbují chlostí malou vzhledem k chlosti světla..5 Silokřivk elektického pole Silokřivk elektického pole jsou gafickým znázoněním elektického pole v postou. Silokřivk elektického pole kladného a záponého náboje ukazuje obázek.5.1. 6
Ob..5.1: Silokřivk pole bodového kladného (nalevo) a záponého (napavo) náboje. Všimněte si, že silokřivk míří adiálně a to směem ven po kladný náboj a směem dovnitř po náboj záponý. Po dvojici nábojů stejné velikosti, ale opačného znamení (elektický dipól), jsou silokřivk elektického pole vkeslen na obázku.5.. Ob..5.: Silokřivk pole elektického dipólu. Tva a ozložení silokřivek elektického pole můžeme obdžet za následujících předpokladů: 1. Smetie: Po každý bod nad spojnicí dvou nábojů existuje ekvivalentní bod, kteý leží pod ní. To znamená, že výsledné ozložení silokřivek je smetické podél spojnice obou nábojů.. Pole v blízkosti náboje: V těsné blízkosti náboje převládá pole tohoto náboje. Poto jsou silokřivk adiální a kulově smetické. 3. Pole ve velké vzdálenosti: Ve velké vzdálenosti od soustav nábojů má pole velmi podobné vlastnosti jako pole bodového náboje Q=å Q. Pokud není Q =, mají silokřivk adiální smě. 4. Nulový bod: Jedná se o bod, ve kteém je =, a kteým nevedou žádné silokřivk. Vlastnosti silokřivek elektického pole můžeme shnout do následujících bodů: Vekto intenzit elektického pole má v každém bodě smě tečn k silokřivkám pole. Počet silokřivek pocházejících jednotkovou plochou kolmou k jejich směu můžeme chápat jako úměný velikosti elektického pole v dané oblasti. i i 7
Silokřivk elektického pole mají počátek v kladných nábojích (nebo v nekonečnu) a končí v záponých nábojích (nebo v nekonečnu). Množství silokřivek, majících počátek v kladném náboji nebo konec v záponém náboji, musí být úměné velikosti nábojů. Dvě silokřivk se nikde nemohou křížit, v opačném případě b vekto intenzit v daném bodě mířil současně dvěma ůznými smě..6 Síla působící na nabitou částici v elektickém poli Předpokládejme, že se náboj +q pohbuje mezi dvěma paalelními deskami opačného náboje podle obázku.6.1. Ob..6.1: Náboj pohbující se v konstantním elektickém poli Nechť je intenzita elektického pole mezi deskami ˆ j, kde >. (V kapitole 4 ukážeme, že elektické pole v postou mezi dvěma nekonečně velikými deskami opačného náboje je homogenní). Na částici bude působit směem dolů síla F q (.6.1) e Povšimněte si ozdílu mezi nábojem q, na kteý působí síla, a náboji na deskách, kteé jsou zdojem elektického pole. Přestože náboj q je také zdojem elektického pole, nemůže jeho postřednictvím působit sám na sebe. Poto je intenzita pole dána pouze zdojovými náboji. Podle duhého Newtonova zákona bude působící síla udělovat náboji zchlení F q e q a ˆj. (.6.) m m m Předpokládejme, že částice má v okamžiku, kd je vpuštěna z kladně nabité desk, nulovou počáteční chlost (v = ). Rchlost částice při pohbu směem k záponé desce bude pak dána vztahem q v a, (.6.3) m kde je vzdálenost mezi deskami. Kinetická enegie částice bude ve chvíli dopadu na záponou desku ovna 1 K mv q. (.6.4) 8
.7 lektický dipól lektický dipól je tvořen dvěma náboji stejné velikosti ale opačné polait, +q a q, kteé se nacházejí ve vzdálenosti a, jak ukazuje obázek.7.1. Ob..7.1: lektický dipól. Vekto dipólového momentu p, kteý míří od q do +q, je dán vztahem p qa ˆj. (.7.1) Velikost elektického dipólu je p = qa, kde q>. Po celý elektick neutální sstém, kteý obsahuje N nábojů, je vekto dipólového momentu p definován jako kn p qk k, (.7.) k 1 kde k je polohový vekto náboje q k. Příkladem dipólů mohou být polání molekul jako HCl, CO nebo H O. V pincipu mohou být dipólem apoximován všechn molekul, u nichž nesplývají centa kladných a záponých nábojů. V Kapitole 5 dále ukážeme, že i u nepoláních molekul může být jejich vložením do elektického pole indukován dipólový moment..7.1 lektické pole dipólu Jaký je půběh elektického pole dipólu? Podíváme-li se na Ob..7.1, zjistíme, že x-ová složka vektou intenzit elektického pole v bodě P je kde x q cos cos q x x 4 3/ 3/ 4 [ x ( a) ] [ x ( a) ] (.7.3) a acos x ( a) (.7.4) Podobně po -ovou složku platí q sin sin q a a 4 3/ 3/ 4 [ x ( a) ] [ x ( a) ] (.7.5) 9
Po případ elementáního dipólu, kde asi můžeme ověřit, (viz řešená úloha.13.4) se výše uvedené výaz zjednodušují na 3p x sin cos (.7.6) 3 4 a p (3cos 1), (.7.7) 3 4 kde sin= x/ a sin= /. Po dosazení 3 p cos = 3p. a následných úpavách dostaneme po intenzitu elektického pole dipólu výsledný vztah 1 p 3( p. ) () 4 3 5. (.7.8) Poznamenejme, že ovnice (.7.8) platí také po tříozměný případ, kde x ˆi ˆj zk ˆ. Z ovnice vplývá, že intenzita elektického pole dipólu klesá se třetí mocninou vzdálenosti, na ozdíl od intenzit pole bodového náboje, kteá klesá se duhou mocninou vzdálenosti. To se dalo očekávat, neboť celkový náboj dipólu je nulový, takže intenzita pole musí klesat chleji než 1/. Silokřivk elektického pole dipólu a bodového (elementáního) dipólu ukazuje Ob..7.. Ob..7.: lektické pole dipólu (nalevo) a elementáního dipólu (napavo). Inteaktivní simulace.3: lektický dipól Obázek.7.3 ukazuje inteaktivní ShockWave simulaci, kteá znázoňuje vznik elektického pole dipólu. Ukazuje elektické pole obou nábojů v bodu pozoovatele záoveň s vektoovým součtem jejich výsledného pole. Abchom znázonili výsledné elektické pole, užíváme zobazení šumovou textuou. Místo pozoování (malá čená kulička) můžeme měnit kuzoovými klávesami a sledovat pole v ůzných oblastech v okolí obou nábojů. Scénu lze natáčet pomocí mši. 1
Ob..7.3: Inteaktivní ShockWave simulace elektického pole dvou stejně velikých, ale opačných nábojů..8 Dipól v elektickém poli Co se stane, kdž umístíme elektický dipól do homogenního elektického pole ˆitak, ab vekto dipólového momentu p svíal s osou x nenulový úhel? Z obázku.8.1 vidíme, že jednotkový vekto, kteý míří ve směu p je cos ˆi sin ˆj. Odtud dostaneme p qa(cos ˆisin ˆj ). (.8.1) Ob..8.1: lektický dipól v homogenním elektickém poli. Jak je z obázku patné, na každý náboj působí stejné síl opačného směu, kteé vzhledem ke středu dipólu působí výsledným momentem ( acosˆi asin ˆj ) ( F ˆi) ( acosˆiasin ˆj ) ( F ˆi ) asin F ( kˆ) asin F ( kˆ) afsin ( kˆ), τ F F (.8.) kde jsme použili F + = F = F. Smě momentu je k ˆ, neboli směem do papíu (obazovk). Výsledkem působení momentu je stáčení dipólu po směu hodinových učiček tak, ab bl dipólový moment p ovnoběžný s vektoem intenzit elektického pole. S vužitím vztahu F = q můžeme po velikost momentu psát a po obecné vjádření momentu dostáváme aq ( )sin ( aq ) sin psin τ p (.8.3) 11
Vidíme ted, že výsledkem vložení dipólu do elektického pole je vznik momentu, působícího na dipól..8.1 Potenciální enegie elektického dipólu Páce, vkonaná elektickým polem na pootočení dipólu d je dw d p sind. (.8.4) Záponé znaménko značí, že moment působí poti zvětšujícímu se úhlu. Celkové množství páce vkonané elektickým polem při otaci dipólu z úhlu na je ( sin ) (cos cos ). (.8.5) W p d p Z výsledku plne, že pole koná kladnou páci, kdž cos > cos. Změna potenciální enegie U dipólu je ovna záponě vzaté páci elektického pole: U U U W p(cos cos ), (.8.6) kde U Pcosje potenciální enegie v efeenčním bodě. Refeenční bod si vbeeme tak, ab /, takže potenciální enegie U. lektický dipól vložený do vnějšího elektického pole má ted potenciální enegii U pcos p. (.8.7) Sstém je v ovnovážném stabilním stavu, pokud je jeho potenciální enegie minimální. K tomu dojde, kdž je dipólový moment p oientován stejným směem jako vekto intenzit, a potenciální enegie Umin p je minimální. V opačném případě, kd vekto p a míří opačným směem, je potenciální enegie maximální, p, a sstém je nestabilní. Umax Pokud bude dipól umístěn do nehomogenního elektického pole, bude na dipól komě silového momentu působit ještě další síla, a výsledkem bude pohb dipólu složený z otace a přímého zchleného pohbu. Obázek.8. ukazuje situaci, kd je intenzita pole + v bodě +q odlišná od intenzit v bodě q. Ob..8.: Síl působící na dipól Za předpokladu, že je dipól dostatečně malý, mžeme intenzitu vjádřit ozvojem podle x: d d ( xa) ( x) a, ( xa) ( x) a dx dx. (.8.8) Sílu, kteá působí dipól, pak můžeme vjádřit jako F d ˆ d ˆ e q( ) qa p dx i dx i. (.8.9) Příkladem takové síl působící na dipól je přitahování malých útžků papíu hřebenem, kteý bl nabit třením o vlas. V papíu došlo k indukci dipólového momentu (o kteé budeme 1
podobněji mluvit v kapitole 5), a elektické pole v okolí hřebenu je z důvodu jeho nepavidelného tvau nehomogenní. Ob..8.3: lektostatické přitahování mezi kousk papíu a hřebenem..9 Hustota náboje Půběh elektického pole v okolí malého počtu nabitých částic můžeme snadno odvodit vužitím pincipu supepozice. Co však v případě, kd máme velké množství částic ozložených v učité postoové oblasti? Předpokládejme existenci sstému zobazeného na obázku.9.1: Ob..9.1: lektické pole malého elementu náboje q i..9.1 Objemová hustota náboje Nechť je naším úkolem učit intenzitu elektického pole v nějakém bodě P. Předpokládejme malý element objemu V i, kteý obsahuje celkové množství náboje q i. Vzdálenosti mezi náboji uvnitř objemového elementu V i jsou velmi malé ve sovnání s délkou, kteá učuje vzdálenost V i a P. V limitním případě, kd je element V i nekonečně malý, můžeme definovat objemovou hustotu náboje () jako qi dq () lim. (.9.1) V dv Vi Jednotkou objemové hustot náboje () v soustavě SI je [C/m 3 ]. Celkové množství náboje obsaženého v objemu V je i 13
i. (.9.) i V Q q () dv Způsob zavedení objemové hustot náboje je analogický hustotě hmot m (). V případě, že je v objemu obsaženo velké množství částic, můžeme také celkovou hmotnost vjádřit integálem M m () dv. (.9.3) V.9. Plošná hustota náboje Podobným způsobem můžeme zavést plošnou hustotu náboje po případ, kd je náboj ozložen po ploše S o obsahu A: dq (). (.9.4) da Plošná hustota udává množství náboje na plochu a v soustavě SI má ozmě [C/m ]. Toto množství je ovno Q () da. (.9.5) S.9.3 Lineání hustota náboje Po případ, kd je náboj ozložen po křivce k délk l, zavádíme lineání hustotu náboje : dq (), (.9.6) dl kteou udáváme v jednotkách [C/m]. Celkový náboj je pak dán integálem přes křivku k: Q () dl. (.9.7) k Pokud jsou náboje ovnoměně ozložené, jsou hustot, a po dané entit konstantní..1 lektické pole ovnoměně ozloženého náboje Intenzita elektického pole, příslušná jednotlivým elementům náboje dq, je v bodě P dána Coulombovým zákonem: 1 dq d, ˆ (.1.1) 4 kde je vzdálenost mezi dq a P a ˆ je příslušný jednotkový vekto (viz obázek.9.1). Vužitím pincipu supepozice můžeme celkovou intenzitu vjádřit součtem (integálem) všech infinitezimálních příspěvků: 1 ˆ dq 4. (.1.) V Toto je příklad vektoového integálu, kteý počítáme tojnásobnou integací po jednotlivých složkách elektického pole. 14
Příklad. lektické pole na ose tče Nevodivá tč délk l ovnoměně nabitá kladným nábojem s hustotou a celkovou velikostí Q leží podél os x, viz obázek.1.1. Ob..1.1: lektické pole tče podél os tče. Vpočtěte intenzitu pole v bodě P, ležícím na ose tče ve vzdálenosti x od jejího konce. Řešení: Lineání hustota náboje podél tče konstantní a je ovna = Q / l. Množství náboje obsažené v malém segmentu délk dx je dq = dx. Potože je tč nabitá kladným nábojem Q, míří vekto intenzit v bodě P v záponém směu os x a jednotkový vekto, kteý míří ze zdoje do bodu P je ˆ ˆi. Příspěvek elementu dq k intenzitě elektického pole je Integací podél celé délk tče dostaneme 1 dq 1 ˆ 1 ˆ dx ( ) Qdx d i ˆi. 4 4 4 x lx 1 Q x l dx ˆ 1 Q 1 1 ˆ d 4 x l x i 4 l x x l i 1 Q ˆ i. 4 x ( l x ) (.1.3) Povšimněte si, že pokud je bod P od tče dostatečně vzdálen, x l, přechází poslední výaz na tva 1 Q ˆi. (.1.4) 4 x Tento výsledek je důsledkem faktu, že ve velkých vzdálenostech je ozdíl mezi ovnoměně ozloženým nábojem a bodovým nábojem zanedbatelný. Příklad.3: lektické pole na ose kolmé k tči Nevodivá tč délk l ovnoměně nabitá kladným nábojem s hustotou a celkovou velikostí Q leží podél os x, viz obázek.1.. Vpočtěte intenzitu elektického pole v bodě P, kteý leží na kolmé ose tče ve vzdálenosti od středu tče. 15
Řešení: Ob.1.. Budeme postupovat obdobným způsobem jako v příkladu.. Příspěvek malého elementu dx, nesoucího náboj dq = dx, k celkové intenzitě pole je 1 dq 1 d 4 4 dx x. (.1.5) Vzhledem k smetii, ilustované na obázku.1.3, se x-ové složk vektou intenzit navzájem vuší. Ob..1.3: Dík smetii se x-ové složk vuší a ted x =. Po -ovou složku d platí: d 1 dx 1 dx d cos 4 x 4 ( ) 3/ x x. (.1.6) 16
Integací přes celou délku tče dostaneme po intenzitu pole výaz: 1 l/ dx l/ dx d 4 4 (.1.7) l/ 3/ / 3/ ( x ) l ( x ) Dosazením za x tan, odkud, dostává předchozí integál tva dx sec d l / l / dx sec d ( x ) (sec 1) 3/ 3 3/ odkud dosazením dostaneme 1 sec d 1 sec d 3/ 3 (sec 1) sec 1 d 1 sin cos d, sec V limitním případě, kd V opačném případě, kd je l, dostáváme 1 sin 1 l / l 4 4 (/) (.1.8). (.1.9) l, se výaz (.1.9) edukuje na případ bodového náboje: 1 l/ 1 l 1 Q. (.1.1) 4 4 4 1. (.1.11) 4 V tomto případě, kd má tč nekonečnou délku, má sstém válcovou smetii a po výpočet vztahu (.1.11) můžeme vužít Gaussova zákona, jak ukážeme v kapitole 4. Tpický půběh /, kde Q/4 l jako funkce /l je znázoněn na obázku.1.4. Ob..1.4: lektické pole nevodivé tče jako funkce /l. 17
Příklad.4: lektické pole na ose pstence Nevodivý pstenec o poloměu R nabitý ovnoměně nábojem Q s hustotou leží v ovině x, jak ukazuje obázek.1.5. Vpočtěte elektické pole v bodě P, umístěném ve vzdálenosti z od středu pstence na jeho ose smetie. Řešení: Ob..1.5: lektické pole v bodě P způsobené elementem dq. Předpokládejme, že se pstenec skládá z malých elementů dl. Množství náboje, obsažené v tomto elementu, je dq = dl = Rd. Jeho příspěvek k celkové intenzitě v bodě P je 1 dq 1 Rd d ˆ ˆ (.1.1) 4 4 Ob..1.6. Ze smetie soustav, kteou vidíme na obázku.1.6, vplývá, že vekto intenzit musí mít v bodě P smě v kladném smslu os z. d z 1 Rd z Rzd d cos 4 R z 4 ( ) Po integaci přes celý pstenec dostaneme 3/ R z R z. (.1.13) 18
z Rz Rz 1 Qz d 4, (.1.14) 4 4 3/ 3/ 3/ ( R z ) ( R z ) ( R z ) kde celkový náboj Q = (R). Závislost intenzit pole jako funkce z je vkeslena na obázku.1.7. Ob..1.7: Intenzita elektického pole podél os smetie nevodivého pstence poloměu R, po = Q / 4 R. Všimněte si, že ve středu pstence je dík smetii elektické pole nulové. Příklad.5: lektické pole ovnoměně nabitého disku Disk o poloměu R ovnoměně nabitý nábojem Q leží v ovině x. Nalezněte elektické pole v bodě P podél os z, kteá pochází středem disku a je na něj kolmá. Diskutujte limitní případ R z. Ob..1.8: Rovnoměně nabitý disk poloměu R. 19
Řešení: Rozdělením disku na soustavu koncentických pstenců můžeme příklad vřešit s pomocí výsledku, kteý jsme obdželi v příkladu.4. Předpokládejme, že pstence mají polomě a tloušťku d, jak je uvedeno na obázku.1.8. Ze smetie úloh vplývá, že vekto intenzit míří v bodě P v kladném směu os z. Potože pstenec má náboj dq = ( d ) (z ovnice.1.14), přispívá pstenec k celkovému poli intenzitou 1 zdq 1 z( d) dz. (.1.15) 4 3/ 4 3/ ( z ) ( z ) Integací v intevalu od = do = R dostáváme po intenzitu pole v bodě P z R d z dz 3/ ( z ) R z 1/ z R z du z u 4 z 3/ (.1.16) u 4 ( 1/) z 1 1 z z, z R z z R z Rovnici můžeme přepsat po dva možné případ z z z 1, z >, R z z 1, z. R z Relativní intenzita z / ( = / ) jako funkce z/r je vkeslena na obázku.1.9. (.1.17) Ob..1.9: lektické pole nevodivé ovnoměně nabité ploch.
Abchom dokázali limitní přechod k poli bodového náboje po z R, použijeme Taloova ozvoje: Odtud dostáváme 1/ z R 1 R 1 R 1 1 1 1 1 z z z R z. (.1.18) z R 1 R 1 Q, (.1.19) 4 4 z z z což je skutečně očekávaný výaz po intenzitu pole bodového náboje. Můžeme se také zabývat opačným případem, kd R z, ted případem, kd je plocha velmi velká, nebo bod P leží v těsné blízkosti jejího povchu. Intenzita elektického pole má v tomto případě v zápisu pomocí jednotkového vektou tva ˆ k, z, kˆ, z. Půběh elektického pole v tomto limitním případě je znázoněn na obázku.1.1. (.1.) Ob..1.1: lektické pole nekonečně velké ovnoměně nabité nevodivé ovin. Všimněte si nespojitého přechodu při půchodu ovinou. Tato diskontinuita je dána vztahem z z z. (.1.1) Jak bude ukázáno v kapitole 4, mění se při plošné hustotě náboje nomálová složka vektou intenzit elektického pole při půchodu plochou nespojitě o /. n 1
.11 Shnutí lektická síla, kteou působí náboj q 1 na duhý náboj q je dána Coulombovým zákonem: kde konstanta úměnosti je k e qq 1 qq F, ˆ 1 1 1 ke ˆ 4 1 9 8,98751 N m /C. 4 Intenzita elektického pole v daném bodě postou je definovaná jako elektická síla působící na jednotkový náboj q : Fe lim. q q Intenzita elektického pole ve vzdálenosti od bodového náboje q je 1 q. ˆ 4 S vužitím pincipu supepozice můžeme výslednou intenzitu elektického pole soustav nábojů q i ve vzdálenosti i vjádřit vztahem 1 q ˆi. 4 lektické pole s intenzitou uděluje částici hmotnosti m s nábojem q zchlení i q a. m lektický dipól je tvořen dvěma náboji stejné velikosti a opačné polait. Vekto dipólového momentu p míří od záponého náboje ke kladnému a má velikost p aq. Silový moment, působící na dipól umístěný v homogenním poli intenzit je i i τ p. Potenciální enegie elektického dipólu ve vnějším elektickém poli intenzit je U p. Příspěvek spojitého nábojového elementu dq k celkové intenzitě pole je 1 dq d. ˆ 4 V dostatečně veliké vzdálenosti od ovnoměně nabitého elementu konečného ozměu je možné intenzitu pole apoximovat intenzitou pole bodového náboje stejné velikosti.
.1 Technik řešení příkladů V této kapitole si ukážeme, jak je možné vpočítat intenzitu elektického pole po případ jak diskétního tak spojitého ozložení nábojů. Po pvní případ vužíváme platnosti pincipu supepozice: 1 q = å ˆ i, 4pe v duhém případě musíme řešit vektoový integál i i i 1 ˆ dq 4, kde je vzdálenost elementu dq od bodu P, ve kteém intenzitu počítáme, a ˆ je příslušný jednotkový vekto. Abchom ovnici vřešili, můžeme postupovat tímto naznačeným způsobem: 1) Začněme s ovnicí 1 dq d. ˆ 4 ) Nábojový element dq vjádříme jako dl dq da dv (křivka), (plocha), (objem) v závislosti na tom, jestli je náboj ozmístěn podél křivk, na ploše nebo v celém objemu. 3) Za dq dosadíme do výazu po d. 4) Učíme příslušný souřadnicový sstém (Katézský, clindický nebo sféický) a vjádříme difeenciální element (dl, da nebo dv) a v daných souřadnicích (viz přehled v tabulce.1). Katézské (x,, z) válcové (,, z) sféické (,, ) dl dx, d, dz d, d, dz d, d, sin d da dx d, d dz, dz dx ddz,d dz, d d d d, sindd, sindd dv dx d dz d ddz sind dd Tabulka.1 Difeenciál elementů délk, ploch a objemu v ůzných souřadnicových sstémech. 5) Přepíšeme d pomocí integační poměnné (integačních poměnných) a z chaakteu smetie učíme nenulovou složku vektou intenzit elektického pole. 6) Dokončíme integaci a učíme. Následující tabulka ukazuje použití výše popsaného postupu k výpočtu elektického pole ovnoměně nabité úsečk, pstence a disku. 3
přímka pstenec disk nákes () vjádření dq pomocí hustot náboje (3) dosazení do d (4) vjádření a difeenciálu elementu v příslušné souřadnicové soustavě (5) identifikace nenulových složek d ze smetie úloh dq dx dq dl dq da d k dx e dx cos x d d cos dx k ( x ) e 3/ d k dl d da e e dl Rd z cos R z dz d cos k Rzd ( R ) e 3/ k da d z cos z dz d cos zd k ( ) e 3/ (6) konečná integace l / l / k dx e 3/ ( x ) ke l / (/) l z k k kr e z d 3/ ( R z ) ( R) z e 3/ ( R z ) Qz e 3/ ( R z ) z R k e kzd e 3/ ( z ) z z z z R.13 Řešené úloh.13.1 Atom vodíku V klasickém modelu atomu vodíku obíhá elekton okolo potonu po dáze o poloměu =,53 1 1 m. Velikost náboje elektonu i potonu je e = 1,6 1 19 C. (a) Jaká je velikost síl, působící mezi elektonem a potonem? (b) Jaká je intenzita elektického pole potonu ve vzdálenosti? (c) Jaký je pomě elektické síl a gavitační síl, kteými na sebe působí poton a elekton? Závisí výsledek na vzdálenosti potonu a elektonu? 4
(d) Na základě (c) vsvětlete, poč elektické síl neovlivňují oběh planet okolo Slunce. Řešení: (a) Velikost síl je dána vztahem F 1 e. e 4 Postým dosazením hodnot do vztahu zjistíme, že velikost síl působící mezi elektonem a potonem je 8 F e 8, 1 N. (b) Intenzita elektického pole potonu je (c) Hmotnost elektonu je 1 q 11 5,76 1 N / C. 4 31 m e 9,11 kg a hmotnost potonu je Pomě velikosti elektické a gavitační síl je ted 1 1 4 4, 1 mm p e Gmpme G e e 39 Tento pomě ted nezávisí na vzdálenosti potonu a elektonu.. 7 m p 1, 7 1 kg. (d) lektická síla, působící mezi potonem a elektonem, je o 39 řádů silnější než gavitační síla. Poč jsou ted pohb planet učován silou gavitační a nikoli elektickou? Odpověď je daná tím, že velikost náboje elektonu a potonu je totožná. Dosud nejpřesnější expeiment ukazují, že jejich velikosti jsou shodné nejméně do řádu 1 4. Potože objekt, jako jsou planet, obsahují stejné množství potonů a elektonů, jsou celkově elektick neutální, a poto jsou pohb planet učován gavitací..13. Millikanův expeiment s olejovou kapkou Olejová kapka o poloměu = 1,64 1 6 m a hustotě = 8,51 1 kg/m je z klidu vpuštěna do oblasti s konstantní intenzitou elektického pole, kteá míří směem dolů. Olejová kapka nese náboj q neznámé velikosti (dík ozařování entgenovými papsk). Velikost elektického pole nastavíme tak, ab se gavitační síla F ˆ g mgmg j působící na olejovou kapku vovnala elektické síle Fe q. Předpokládejme, že tato ovnost nastane při intenzitě pole ˆ 5 j(1, 9 1 N / C) ˆ 5 j se složkou 1,9 1 N / C. (a) Jaká je hmotnost olejové kapk? (b) Jaký je náboj olejoví kapk v jednotkách elementáního náboje e = 1,6 1 19 C? Řešení: (a) Hmotnost kapk oleje získáme, vnásobíme-li její hustotu jejím objemem V, 4 3 M V 3, 5
kde předpokládáme, že kapka má kulový tva, polomě a objem V = 43/3. Nní do výazu dosadíme zadané hodnot a vpočteme hmotnost 4 3 14 M 1,571 kg. 3 (b) Olejová kapka se bude nacházet v ovnovážné poloze, pokud bude výslednice působící gavitační a elektické síl nulová: F g + F e =. Potože gavitační síla působí směem dolů, musí elektická síla působit opačný směem. Odtud dostaneme m q mg q g. Potože vekto intenzit elektického pole míří směem dolů, musí být kapka nabita záponým nábojem. Všimněte si, že vekto ĵ jsme zvolili tak, ab mířil vzhůu. Náboj kapk nní vpočteme mg 19 q 8, 3 1 C. Potože elekton má náboj e = 1,6 1 19 C, je náboj kapk v jednotkách náboje e oven q N 5. e Můžeme být překvapeni tím, že výsledkem je přiozené číslo. Millikanův expeiment bl pvním přímým potvzením faktu, že náboj je kvantován. Po zadaná data dospíváme k závěu, že na kapce se ve skutečnosti vsktuje 5 elektonů!.13.3 Náboj pohbující se kolmo na elektické pole lekton je hoizontálně vpuštěn do homogenního elektického pole mezi dvěma opačně nabitými deskami, jak ukazuje obázek.13.1. Částice má počáteční chlost v vˆ i kolmou na vekto intenzit. Ob..13.1: Náboj pohbující se kolmo na elektické pole (a) Jaká síla bude působit na elekton mezi deskami? (b) S jakým zchlením se bude mezi deskami elekton pohbovat? (c) Desk mají v x-ovém směu délku L 1. V jakém čase t 1 opustí elekton posto mezi deskami? (d) Předpokládejte, že elekton vstoupí do elektického pole v čase t =. Jaká je jeho chlost v čase t 1, kd opouští posto mezi deskami? 6