MODELOVÁNÍ A SIMULACE základní pojmy a postupy vytváření matematckých modelů na základě blancí prncp numerckého řešení dferencálních rovnc základy práce se smulačním jazykem PSI Základní pojmy matematcký model procesu je způsob vyjádření chování procesu (systému) formou matematckých vztahů dynamcké chování je chování procesu (systému) v čase matematcké modely: získané zpracováním expermentů (nduktvní, stochastcké) matematcký pops je formální, systém je považován za černou skříňku získané fyzkální analýzou procesu (deduktvní, determnstcké) matematcký pops vyjadřuje podstatu procesu, vychází z fyzkálních, fyzkálně-chemckých a chemckých zákonů Obecný postup vytváření nduktvních modelů vzruch reálný proces odezva experment odhad chování procesu naměřené časové řady vzruch - odezva formální matematcký vztah s neznámým parametry zpracování exper. dat za účelem určení hodnot parametrů vstupní funkce u(t) vstupní nformace výstupní funkce matematcký model y(t) algortmus řešení výstupní nformace smulační program využtí smulačního programu (pouze v oblast pokryté expermentem) Modelování a smulace 1 / 8
vzruch vzruch reálný proces analýza procesu teoretcký model matematcký pops odezva odezva vstupní funkce u(t) vstupní nformace výstupní funkce matematcký model y(t) algortmus řešení výstupní nformace smulační program model nevyhovuje VERIFIKACE model vyhovuje využtí smulačního programu Analýza procesu specfkace dějů probíhajících v procesu a určení jejch podstaty vymezení vlvů působících na proces určení velčn (fyzkálních,...) popsujících proces výběr dílčích dějů a vlvů podstatných pro pops procesu výběr možných zjednodušení a jejch realzace rozhodující pro kvaltu modelu Zásady: -- v úvahách vycházet z účelu vytvářeného modelu -- začínat od co nejjednoduššího modelu teoretcký model Obvyklé zjednodušující předpoklady rozdělení systému na subsystémy zavádění dealzovaných (neexstujících) forem hmoty nezávslost látkových vlastností na stavových velčnách homogenta a sotropnost materálu př současném průběhu pomalého a rychlého děje rychlý děj dosahuje okamžtě rovnovážného stavu zanedbávání ztrát lnearzace nelneárních závslostí používání emprckých vztahů a závslostí zavádění korekčních koefcentů zjednodušování geometrckých proporcí, volba vhodné souřadncové soustavy užtí představy systému se soustředěným parametry Modelování a smulace 2 / 8
Matematcký pops výběr matematckého vyjádření vztahů použtých v teoretckém modelu a) defnční rovnce: defnce velčn fyzky, cheme, fyzkální cheme,... b) matematcké vyjádření zákonů: pohybové rovnce rychlostní rovnce rovnovážné rovnce věty (zákony) o zachování vytvoření modelových rovnc a jejch základní kontrola určení podmínek řešení (počátečních, okrajových) rozměrová kontrola všech rovnc matematcký model Řešení modelových rovnc volba metody řešení rovnc matematckého modelu analýza přesnost řešení vytvoření algortmu řešení sestavení a odladění programu pro počítač (ve vhodném smulačním jazyce) defnce souboru vstupních dat a parametrů (velčny, jednotky) smulační program Verfkace modelu kontrola zachovávání ustálených stavů kontrola adekvátnost odezvy na defnovaný vzruch (logckou úvahou na základě fyzkálních představ) kontrola ustálených stavů po odeznění přechodových jevů kontrola reálnost výsledků smulace pro mezní stavy kontrola porovnáním smulovaných časových průběhů se známým daty (získaným expermentálně nebo z lteratury) další možné kontroly (podle povahy modelovaného procesu) použtelný matematcký model (ve formě smulačního programu) Modelování a smulace 3 / 8
Vytváření matematckých modelů na základě blancí Základní pojmy okolí systému blancovaná velčna blancovaný systém blanční časový nterval rozhraní základní blanční rovnce: AKUMULACE = VSTUP - VÝSTUP + ZDROJ Vytváření matematckých modelů na základě blancí AKUMULACE = VSTUP - VÝSTUP + ZDROJ AKUMULACE změna množství (zádrže) blancované velčny uvntř blancovaného systému za blanční časový nterval VSTUP (přítok) množství blancované velčny, které za blanční časový nterval vstoupí z okolí přes rozhraní do blancovaného systému VÝSTUP (odtok) množství blancované velčny, které za blanční časový nterval vystoupí z blancovaného systému přes rozhraní do okolí ZDROJ množství blancované velčny, které za blanční časový nterval přeměnou uvntř blancovaného systému vznkne (znaménko +) nebo zankne (znaménko -) Vytváření matematckých modelů na základě blancí Hrance a velkost blancovaného systému systémy se soustředěným parametry blancovaný systém obvykle totožný s modelovaným systémem hrance a geometrcké rozměry se volí podle tvaru a uspořádání modelovaného systému souřadncová soustava se nemusí zavádět systémy s rozloženým parametry pro blancovaný systém se volí jednoduché geometrcké tvary rozměr blancovaného systému ve směru souřadnce, která v popsu vystupuje jako nezávsle proměnná (x) je nfntesmálně malý (dx) souřadncová soustava se zavádí tak, aby pops byl co nejjednodušší Modelování a smulace 4 / 8
Vytváření matematckých modelů na základě blancí Blanční časový nterval blance ustáleného stavu systému (pro statcké modely) blanční časový nterval lbovolný (obvykle jednotkový) blance neustáleného stavu systému (pro dynamcké modely) blanční časový nterval nfntesmálně malý ( dt ) Vytváření matematckých modelů na základě blancí Znaménka členů blanční rovnce systémy se soustředěným parametry členy VSTUP a VÝSTUP formulovat jako kladné znaménko členu ZDROJ určt úvahou podle charakteru procesu znaménko členu AKUMULACE pak vychází automatcky systémy s rozloženým parametry ve vybrané souřadncové soustavě zvolt pro každou nezávsle proměnnou kladný směr a důsledně jej dodržovat znaménka členů VSTUP a VÝSTUP, které jsou funkcem souřadnc, pak vycházejí automatcky členy VSTUP a VÝSTUP, které nejsou funkcem souřadnc, formulovat jako kladné znaménko členu ZDROJ určt úvahou podle charakteru procesu znaménko členu AKUMULACE pak vychází automatcky Numercké řešení obyčejných dferencálních rovnc krokové metody pro řešení lneárních dferencálních rovnc 1.řádu s počátečním podmínkam Modelování a smulace 5 / 8
Eulerova metoda řešení lneární dferencální rovnce 1. řádu s počáteční podmínkou předpokládá dferencální rovnc zapsanou ve tvaru: dy dt g ( t, y ), y ( t ) y ( t... nezávsle proměnná (čas), y... závsle proměnná ) Eulerova metoda prncp spojtý nterval nezávsle proměnné t se rozdělí na n dílů (ekvdstatntně) t 1 t h, 1, 2,... n hodnoty závsle proměnné Y v bodech t se vypočtou podle vztahu kde t, Y, 1, 2, n Y 1 Y h. g... Y y t ) ( lmy h t, h y( t) konvergence numerckého řešení Eulerova metoda prncp grafcky dy g( t, y), dt y y(t ) y t 1 Y 1 t h Y h. g t, Y Y 2 Y 1 y anal t Y t Y y 1 2 t 1 t 2 Y1 Y 2 y t h t 1 h t 2 t Modelování a smulace 6 / 8
Přesnost krokových metod chyby chyba celková dskretzační zaokrouhlovací h opt krok řád metody n řádová přesnost výsledku h n Přesnost krokových metod praktcký postup pro dosažení požadované přesnost 1. Nalezneme řešení s krokem h 1, jehož velkost jsme odhadl podle řádu použté metody a požadované přesnost výsledků 2. Nalezneme řešení s krokem h 2 = h 1 / 2 3. Porovnáme výsledky obou řešení ve stejných bodech nezávsle proměnné: dekadcká místa (od nejvyšších), která jsou v obou výsledcích stejná, jsou správně POZOR, porovnání je třeba provést v několka bodech ntervalu řešení, protože chyba prncpálně není všude stejná! Eulerova metoda řešení lneární dferencální rovnce 1. řádu s počáteční podmínkou předpokládá dferencální rovnc zapsanou ve tvaru: dy dt g ( t, y ), y ( t ) y ( t... nezávsle proměnná (čas), y... závsle proměnná ) Modelování a smulace 7 / 8
t y y anal chyba, 1, 1,,,2 1,,968,392,4,92,8521,679,6,7728,6977,751,8,5873,5273,6 1,,3994,3679,315 1,2,2396,2369,27 1,4,1246,149 -,163 1,6,548,773 -,225 1,8,197,392 -,194 2,,55,183 -,128 2,2,11,79 -,68 2,4,1,32 -,3 2,6,,12 -,12 2,8,,4 -,4 3,,,1 -,1 t y y anal chyba, 1, 1,,,8 1,,5273,4727 1,6 -,28,773 -,3573 2,4,4368,32,4336 3,2-1,245, -1,245 4, 5,119, 5,119 4,8-27,5989, -27,5989 5,6 184,367, 184,367 6,4-1467,5114, -1467,5114 7,2 13559,851, 13559,851 řešení s krokem h=,2 řešení s krokem h=,8 MODELOVÁNÍ BIOPROCESŮ VYUČUJÍCÍ: Ústav kvasné technologe a bonženýrství Ing. Martn Halecký, Ph.D. Martn.Halecky@vscht.cz doc. Ing. Tomáš Brányk, Ph.D. Tomas.Branyk@vscht.cz Ústav počítačové a řídcí technky Ing. Jana Fnkeová, CSc. RNDr. Marta Palatová, CSc. doc. Ing. Mloš Kmínek, CSc. Jana.Fnkeova@vscht.cz Marta.Palatova@vscht.cz Mlos.Kmnek@vscht.cz UČEBNÍ TEXTY: http://uprt.vscht.cz/ucebnce/mb Modelování a smulace 8 / 8