1 Úvod Lokální extrémy funkcí více proměnných verze 14 Následující text popisuje výpočet lokálních extrémů funkcí více proměnných Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT1 na Univerzitě Hradec Králové k přípravě na zkoušku Mohou se v něm vyskytovat některé chyby; autor ocení, když jej na chyby a nejasnosti upozorníte na emailu jirilipovskyzavináč uhkcz Teorie Definice 1 Řekneme,že bod A R n je stacionárním bodem funkce f : R n R, pokud f i (A 0 Ekvivalentní podmínkou pro stacionární bod je, že totální diferenciál je nulový df(a 0 Věta Nechť na nějaké otevřené množině má funkce f všude parciální derivace prvního řádu Pak nutnou podmínkou pro existenci lokálního extrému na této množině je stacionární bod Věta 3 Nechť f : R n R je aspoň dvakrát spojitě diferencovatelná na okolí bodu A R n Pak je-li 1 d f(a > 0, funkce má v bodě A ostré lokální minimum, d f(a < 0, funkce má v bodě A ostré lokální maximum Omezíme se nyní na dvě proměnné Druhý diferenciál lze vyjádřit jako součin d f(a ( dx dy ( f (A f (A (dx (A (A dy To, zda je druhý diferenciál pozitivně nebo negativně definitní, ( lze vyjádřit z tzv Sylvestrova kritéria Označme D 1 f (A f (A a D det (A (A (A Protože máme funkci dvakrát spojitě diferencovatelnou, jsou druhé smíšené parciální derivace záměnné Věta 4 Při označení výše platí pro stacionární bod A funkce f: 1 Je-li D 1 > 0 a D > 0, pak má f v bodě A ostré lokální minimum, Je-li D 1 < 0 a D > 0, pak má f v bodě A ostré lokální maximum, 1
3 Je-li D < 0, pak funkce f v bodě A nemá extrém, jedná se o tzv sedlový bod Pro D 0 nelze o existenci a charakteru extrému rozhodnout, někdy můžeme extrém určit tak, že se podíváme na hodnoty funkce f v okolí stacionárního bodu Pro více proměnných se určují znaménka minorů, tj částečných determinantů, matice druhých derivací 3 Příklady Příklad 31 Určete lokální extrémy funkce f(x, y x 3 3xy + 3y Řešení: Nejdříve určíme parciální derivace prvního řádu f 3x 3y, f 3x + 6y Parciální derivace položíme rovny nule a vyřešíme soustavu rovnic Z rovnice 3x+6y 0 vyjádříme x y a dosadíme do rovnice 3x 3y 0 Dostáváme y(4y 1 0 Odsud y 0 nebo y 1/4 Dopočítáme x a získáváme stacionární body A 1 [0, 0], A [ 1, 4] 1 Matice parciálních derivací je ( Pro jednotlivé stacionární body máme 0 3 Q(A 1 6x 3 3 3 Pro bod A 1 dostáváme D 9 < 0, extrém tedy neexistuje Pro bod A máme D 1 3 > 0, D 9 > 0, máme tedy ostré lokální minimum Příklad 3 Najděte lokální extrémy funkce f(x, y x 4 + y 4 4xy + 30 Řešení: Vypočteme parciální derivace a položíme je rovny nule 4x 3 4y 0, 4y 3 4x 0 Odsud y x 3 a z toho x(x 8 1 0 x může tedy nabývat hodnot 0, 1 a 1 Dopočítáme y a získáváme body A 1 [0, 0], A [1, 1] a A 3 [ 1, 1] Určíme matici parciálních derivací ( 1x 4 4 1y
Pro jednotlivé stacionární body máme 1 4 Q(A 1 4 1 3 1 4 4 1 Pro bod A 1 dostáváme D 16 < 0, máme tedy sedlový bod Pro body A a A 3 máme D 18 > 0, D 1 1 > 0, jedná se o lokální minima Příklad 33 Najděte lokální extrémy funkce f(x, y x y x y Řešení: Vypočteme parciální derivace a položíme je rovny nule x(y 1 0, y(x 1 0 Odsud x 0 nebo y 1 nebo y 1 Z druhé rovnice dopočítáme druhou proměnnou a získáváme následující stacionární body: A 1 [0, 0], A [1, 1], A 3 [ 1, 1], A 4 [1, 1] a A 5 [ 1, 1] ( (y 1 4xy 4xy (x 1 Pro jednotlivé stacionární body máme 0 0 4 Q(A 1 0 4 0 3, 0 4 Q(A 4 4 0 5 Pro bod A 1 dostáváme D 4 > 0, D 1 < 0, jde o lokální maximum Pro ostatní body máme D 16 < 0, není v nich tedy extrém Příklad 34 Určete lokální extrémy funkce f(x, y y ln (x + y Řešení: Definiční obor funkce je x + y > 0 Vypočteme parciální derivace a položíme je rovny nule xy x + y 0, ln (x + y + y x + y 0 Musíme tedy rozebrat dva případy x 0 a y 0 V prvním případě máme Pro y 0 dostáváme ln y + y y 0 ln y 1 y 1 e ln x 0 x ±1 Máme tedy tři stacionární body A 1 [0, 1 e ], A [1, 0], A 3 [ 1, 0] ( ( y yx (x +y x 3 (x +y x 3 (x +y 1 x +y + 3 x (x +y
Pro jednotlivé stacionární body máme 0 0 Q(A 1 0 e 3 0 Pro bod A 1 dostáváme D e > 0, D 1 > 0, lokální minimum Pro oba ostatní body máme D 4 < 0, nejsou zde extrémy Příklad 35 Určete lokální extrémy funkce f(x, y x 3 + y 3 Řešení: Položíme parciální derivace rovny nule 3x 0, 3y 0 Řešením soustavy je stacionární bod A [0, 0] ( Q(A ( 0 0 0 0 6x 0 0 6y Dostáváme tedy D 1 D 0, nemůžeme tedy o lokálním extrému nic říct Lokální extrém musíme tedy zjistit z chování funkce na okolí bodu A Jsou-li jak x, tak y záporné, je hodnota funkce f záporná Naopak pro malé kladné x a y je hodnota funkce f kladná Lokální extrém tedy neexistuje 4 Příklady k samostatnému procvičování Příklad 41 Nalezněte lokální extrémy funkce f(x, y 3xy x + y Příklad 4 Nalezněte lokální extrémy funkce f(x, y x xy + 3x + y + 3 Příklad 43 Nalezněte lokální extrémy funkce f(x, y x + 3xy x 3y + 5y + 3 Příklad 44 Nalezněte lokální extrémy funkce f(x, y x 4xy + 4x + 9 y 15y Příklad 45 Nalezněte lokální extrémy funkce f(x, y (x + 4xy + y Příklad 46 Nalezněte lokální extrémy funkce f(x, y 1 3 x3 + 1 x 6x + 1 3 y3 + 1 y 0y 4
5 Řešení příkladů k samostatnému procvičování 41 Stacionární bod A [ 3, 1 3] extrém neexistuje 4 Stacionární bod A [1, 5] extrém neexistuje 43 Stacionární bod A [1, 0] ostré lok minimum 44 Stacionární bod A [1, 7] ostré lok minimum 45 Stacionární body A 1 [0, 0] extrém neexistuje, A [ 4, 0] extrém neexistuje, A 3 [, ] ostré lok minimum 46 Stacionární body A 1 [, 4] ostré lok minimum, A [, 5] extrém neexistuje, A 3 [ 3, 4] extrém neexistuje, A 4 [ 3, 5] ostré lok maximum 6 Použitá a doporučená literatura 1 Kopáček Jiří, Příklady z matematiky pro fyziky II, Matfyzpress, Praha, 003, kapitola 38 Robert Mařík, Inženýrská matematika, lokální extrémy funkcí dvou proměnných, dostupné z www: https://wwwmathmunicz/~pribylova/lokalniextremy-czpdf 3 mathonlinefmevutbrcz/downloadaspx?id file317? 4 http://mathfeldcvutcz/tiser/web7pdf 5 homenvsbcz/~kre40/esfmat/kapitoly/kapitola 6 1pdf? 5