SIGNÁLY A LINEÁRNÍ SYSTÉMY prof. Ing. Jiří Holčík, Sc. holcik@iba.muni.cz @iba.muni.cz,, Kamenice 3, 4. patro, dv.č.44.44 INVESTIE Institut DO biostatistiky ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ a analýz
VIII. SPOJITÉ SYSTÉMY FORMY ABSTRAKTNÍHO POPISU SPOJITÝH SYSTÉMŮ VNĚJŠÍ A VNITŘNÍ POPIS
PROČ ABSTRAKTNÍ SYSTÉMY? modely zkoumaných reálných (biologických) objektů (procesů) -; popis algoritmů pro zpracování dat (technické, resp. matematické systémy);
FORMÁLN LNÍ (MATEMATIKÝ) POPIS SYSTÉMU Matematické prostředky se různí podle: typu časové základny (spojité, diskrétní, nezávislé na časovém měřítku); charakteru proměnných (spojité, diskrétní, logické); determinovanosti proměnných a parametrů (deterministické, nedeterministické - pravděpodobnostní, fuzzy, ); vztahu k okolí (autonomní, neautonomní); proměnnosti parametrů (lineární, nelineární, časově proměnné); vztahu k minulosti (bez paměti, s pamětí);
TEHNIKÝ & BIOLOGIKÝ SYSTÉM základními vlastnostmi biologických systémů jsou: přirozenost (zpravidla nejsou vytvořeny člověkem); veliký rozměr (velký počet stavových proměnných a ne vždy je přesně znám); složitá hierarchická struktura; významná interakce na všech úrovních jejich struktury (často časově proměnná); velké rozdíly mezi jednotlivými realizacemi (jedinci) rozptyl uvnitř populace interindividuální variabilita; velké rozdíly v chování jednotlivých realizací (jedinců) v čase intraindividuální variabilita;
TEHNIKÝ & BIOLOGIKÝ SYSTÉM základními vlastnostmi biologických systémů jsou i: nestacionarita a neergodicita nedeterministického chování; předpoklady o linearitě představují velice hrubou a omezenou aproximaci; významné omezení počtu experimentů opakovatelných za dostatečně srovnatelných podmínek; významné omezení experimentů z hlediska prevence škod; experimenty na jedincích různého typu (člověk x zvířata) mohou přinášet různé výsledky jak z hlediska kvality, tak kvantity
VNĚJŠÍ VSTUPNÍ/VÝSTUPN /VÝSTUPNÍ POPIS předpokládejme konstantní parametry prvků R, L, obvodu u ur (t) + ul(t) + u(t) u(t) t i dτ a i L L t u L dτ
VNĚJŠÍ VSTUPNÍ/VÝSTUPN /VÝSTUPNÍ POPIS i i i L du. dt a tedy a i u ' L L u L. L di dt L L. di dt Pak lze psát R.i + L.i ' + u u
VNĚJŠÍ VSTUPNÍ/VÝSTUPN /VÝSTUPNÍ POPIS Po záměně pořadí členů na levé straně a po dosazení za proud i a jeho derivaci ze vztahu mezi proudem a napětím na kapacitě je L.u ''(t) + R.u '(t) + u(t) u(t) a protože napětí na kapacitě je současně i výstupním napětím, tj. u (t) u (t) lze psát matematický vztah mezi. výstupním u (t) a vstupním u (t) napětím obvodu L.u ''(t) + R.u '(t) + u(t) u(t) Vztah mezi vstupem a výstupem jedna z forem vnějšího popisu
VNĚJŠÍ VSTUPNÍ/VÝSTUPN /VÝSTUPNÍ POPIS obecně, spojitý systém n-tého řádu popisuje diferenciální rovnice n-tého řádu b n y (n) + b n- y (n-) + + b 0 y a m x (m) + a m- x (m-) + + a 0 x, která je, za předpokladu že parametry a n, a n-,, a 0, b m, b m-,, b 0 jsou konstantní, lineární; prakticky nelze realizovat takové systémy, jejichž výstupní signál by byl přesně úměrný derivacím vstupního signálu, proto musí platit m n;
LINEARITA Systém je lineární, platí-li pro něj princip superpozice Je-li yf(x) převodní funkce systému, pak pro lineární systém musí platit ) f(x ) + f(x ) f(x + x ); ) c.f(x) f(c.x), c konst.
LINEARITA A to je jen tehdy, je-li yk.x, kde k konst. ) k.x + k.x k.(x + x ) ) c.k.x k.c.x
LINEARITA A neplatí to ani, když yk.x-q, kde k,q konst., protože ) (k.x -q)+ (k.x -q) k.(x +x )-q ) c.(k.x-q) (k.c.x-q)
LAPLAEOVA TRANSFORMAE DEFINIČNÍ VZTAH F(p) kde p σ+jω. 0 f(t).e pt dt
LAPLAEOVA TRANSFORMAE DEFINIČNÍ VZTAH F(p) kde p σ+jω. 0 f(t).e pt dt Pamatujeme si ještě definiční vztah Fourierovy transformace?
LAPLAEOVA TRANSFORMAE DEFINIČNÍ VZTAH F(p) kde p σ+jω. 0 f(t).e pt dt Pamatujeme si ještě definiční vztah Fourierovy transformace? F(jω) f(t).e jωt dt
LAPLAEOVA TRANSFORMAE VLASTNOSTI spousta úžasných vlastností ekvivalentních vlastnostem Fourierovy transformace, navíc i něco co se neuvěřitelně hodí pro řešení diferenciálních rovnic (převádí diferenciální rovnice na mocninné algebraické) Laplacův obraz derivace: f (t) ~ p.f(p) - f(0) f (n) (t) ~ p n.f(p) - p n- f(0) p n- f (0) - - f (n-) (0)
PŘENOSOVÁ FUNKE L.u ''(t) + R.u '(t) + u(t) u(t) Vyjádřeme nyní tuto rovnici pomocí Laplacových obrazů obou veličin. Za předpokladu nulových počátečních podmínek pro Laplacův obraz n-té derivace funkce y(t) platí y (n) (t) p n Y(p) + 0 Do dosazení dostáváme L.p U (L.p (p) + R.pU + R.p + ).U (p) + U (p) (p) U (p) U (p)
PŘENOSOVÁ FUNKE Pro poměr obrazů výstupní a vstupní veličiny můžeme psát F(p) U(p) U (p) L.p + R.p + L. p + R p L + L Takto definovanou funkci za nulových počátečních podmínek (!!!!) nazýváme obrazovou (operátorovou) přenosovou funkci daného systému.
PŘENOSOVÁ FUNKE pro obecnou diferenciální rovnici n-tého řádu b n y (n) + b n- y (n-) + + b 0 y a m x (m) + a m- x (m-) + + a 0 x, má přenosová funkce lineárního systému za předpokladu nulových počátečních podmínek tvar F(p) Y(p) a p + a m m m m m m n n n X(p) bnp + bn.p + bn.p.p + a.p + K+ ap + a + K+ b p + b 0 0
PŘENOSOVÁ FUNKE polynom ve jmenovateli přenosové funkce n n n b np + bn.p + bn.p + K+ bp + b 0 nazýváme charakteristickým polynomem systému a rovnici n n n b p + bn.p + bn.p + K + bp + b0 n 0 nazýváme charakteristickou rovnicí systému
PŘENOSOVÁ FUNKE řešením charakteristické rovnice n n n b p + bn.p + bn.p + K + bp + b0 n 0 resp. n n n p + b' n.p + b' n.p + K+ b' p + b' 0 dostaneme n jejích kořenů p i, i,,n. 0
PŘENOSOVÁ FUNKE Podobně můžeme určit i kořeny z j, j,,m rovnice, která vznikne položením polynomu v čitateli přenosové funkce rovno nule, tj. m m m a p + am.p + am.p + K + ap + a0 m 0 Kořeny p i i z j mohou být obecně reálné i komplexní; za předpokladu, že koeficienty b i, resp. a j jsou reálné, pak kořeny p i i z j, jsou-li komplexní, jsou komplexně sdružené.
PŘENOSOVÁ FUNKE Pomocí hodnot kořenů z j a p i můžeme psát přenosovou funkci ve tvaru F(p) Y(p) X(p) c m (p z. (p p ).(p z ).(p p )....(p z )....(p p Kořeny z j nazýváme nulové body přenosové funkce a kořeny p i póly přenosové funkce F(p) m n ) )
FREKVENČNÍ HARAKTERISTIKA proměnná p má obecně komplexní charakter a tedy nabývá tvaru p σ + jω, kde σ je koeficient tlumení a ω πf je kruhová frekvence předpokládejme, že koeficient tlumení σ 0, pak po dosazení za p v operátorové přenosové funkci dostáváme F(jω) Y(jω) X(jω) F(jω).e jϕ( ω) což nazýváme frekvenční přenosovou funkcí systému
FREKVENČNÍ HARAKTERISTIKA frekvenční charakteristika je grafické vyjádření frekvenční přenosové funkce systému (geometrické místo koncových bodů vektoru přenosu pro frekvence, prakticky pouze v intervalu 0 ω < )
FREKVENČNÍ HARAKTERISTIKA frekvenční charakteristiky vyjadřujeme zpravidla dvěma způsoby: frekvenční charakteristika v komplexní rovině F(jω) Re [F(jω)] + j.im [F(jω)] modulová (amplitudová) a fázová frekvenční charakteristika F(jω) F(jω).e jϕ(ω)
FREKVENČNÍ HARAKTERISTIKA V KOMPLEXNÍ ROVINĚ v tomto případě kreslíme frekvenční charakteristiku nejčastěji v komplexní rovině s osami, na které vynášíme reálnou a imaginární složku přenosu; frekvenční vlastnosti systému vyjadřuje křivka v komplexní rovině, jejímž parametrem je kruhová frekvence ω
MODULOVÁ A FÁZOVF ZOVÁ FREKVENČNÍ HARAKTERISTIKA vlastnosti systému určují dvě funkce závislost modulu přenosu na frekvenci a závislost fáze na frekvenci;
MODULOVÁ A FÁZOVF ZOVÁ FREKVENČNÍ HARAKTERISTIKA v některých případech se využívá pro znázornění těchto charakteristik logaritmické měřítko amplitudu pak vyjadřujeme v decibelech F(jω) db 0.log F(jω) Tento způsob popisu je výhodný v případech, kdy je přenosová funkce systému určena součinem dílčích přenosových funkcí pak platí F(jω) F (jω). F (jω).. F k (jω); F(jω).e jϕ(ω) F (jω). F (jω) F k (jω).e j(ϕ + ϕ + + ϕ k )
MODULOVÁ A FÁZOVF ZOVÁ FREKVENČNÍ HARAKTERISTIKA
HRÁTKY S POČÁTE TEČNÍ FÁZÍ.5 0.5 0-0.5 - originál.5 0.5 0-0.5 - -.5-0 00 400 600 800 000 00 -.5-0 00 400 600 800 000 00 φ 0 φ 0 π/.5.5 0.5 0.5 0 0-0.5-0.5 - - -.5 φ 0 φ 0 π - 0 00 400 600 800 000 00 -.5 φ 0 π/4; φ 0 π/ - 0 00 400 600 800 000 00
VSTUPNÍ/VÝSTUPN /VÝSTUPNÍ POPIS NELINEÁRN RNÍHO SYSTÉMU nyní předpokládejme, že kapacita závisí na napětí na kondenzátoru ur (t) + ul(t) + u(t) u(t) u (u ) t i dτ a i L L t u L dτ
VSTUPNÍ/VÝSTUPN /VÝSTUPNÍ POPIS NELINEÁRN RNÍHO SYSTÉMU di dt di dt L u L L. L. a tedy i' L u L a tedy i R.i + L.i' + u u Pak se poněkud komplikuje určení i i ze vztahu u (u ) t i dτ
VSTUPNÍ/VÝSTUPN /VÝSTUPNÍ POPIS NELINEÁRN RNÍHO SYSTÉMU Platí, že Potom pro i platí t i dτ (u ). u [ (u ] ).u ' '(u ).u'.u (u ).u' i + Pro jednoduchost, nechť je (u ) k.u a tedy (u ) k ; pak i i k.u'.u + k.u.u' k.u.u' [ k.u.u' ]' k. ( u'.u' + u.u' ' ) k. ( u' ) k.u.u' i ' + i' '
VSTUPNÍ/VÝSTUPN /VÝSTUPNÍ POPIS NELINEÁRN RNÍHO SYSTÉMU A po dosazení dostáváme ( u' ) + k.l.u.u' ' + u u k.r.u.u' + k.l. Protože (u ) k.u, můžeme psát R.(u L.(u ).u' ).u' ' + L.'(u + ).u'.u' + L.(u ( R.(u ) + L.'(u ).u' ).u' + u u ).u' ' + u u A tedy obecně b n ( ).y (n) + b n- ( ).y (n-) + + b 0 ( ).y a m ( ).x (m) + a m- ( ).x (m-) + + a 0 ( ).x
VSTUPNÍ/VÝSTUPN /VÝSTUPNÍ POPIS NELINEÁRN RNÍHO SYSTÉMU b n ( ).y (n) + b n- ( ).y (n-) + + b 0 ( ).y a m ( ).x (m) + a m- ( ).x (m-) + + a 0 ( ).x ( ) znamená závislost na určité (dané, zvolené) proměnné popisující chování systému její průběh, ale obecně závisí na vstupním signálu ()Vlastnosti nelineárního systému nezávisí jen na systému samém, nýbrž i na jeho vstupu (buzení) () Laplacovu transformaci součinu funkce a derivace proměnné lze počítat (zda-li) jen pro konkrétní případ a tedy nelze obecně stanovit tvar operátorové přenosové funkce nelineárního systému
VNITŘNÍ (STAVOVÝ) POPIS předpokládejme konstantní parametry prvků R, L, obvodu t u τ u id a i il uldτ L ur (t) + ul(t) + u(t) u(t) t
VNITŘNÍ (STAVOVÝ) POPIS t u τ u id a i il uldτ L t u' u' i 0.u + i + 0.u ur (t) + ul(t) + u(t) u(t) R.i i' + L.i' L u + u R.i L u + L u
VNITŘNÍ (STAVOVÝ) POPIS t u τ u id a i il uldτ L u a i jsou stavové veličiny; z jejich hodnot, resp. jejich derivací a parametrů systému jsme schopni spočítat hodnoty všech dalších veličin popisujících chování daného systému t u R.i ; u L.i' ; u R L u
VNITŘNÍ (STAVOVÝ) POPIS u ' + 0.u + i 0. u i ' u.i + u L R L L u' i' 0 /L / u. R /L i + 0. /L [ u ] s ' A. s + B. x rovnice dynamiky
VNITŘNÍ (STAVOVÝ) POPIS u u u u + u i [ ] 0. + [ 0 ][. u ] 0.i + y. s + D. x 0.u výstupní rovnice
VNITŘNÍ (STAVOVÝ) POPIS A -matice vnitřních vazeb systému (též systémová matice nebo matice zpětných vazeb); rozměr: n x n B - matice vazeb systému na vstup (též vstupní matice); rozměr: m x n - matice vazeb výstupu na stav (výstupní matice); rozměr: n x r (r je počet výstupů) D - matice přímých vazeb výstupů na vstupy; rozměr: m x n (z hlediska zkoumání vlastností lineárních dynamických systémů nejsou tyto vazby podstatné a často je tato matice nulová)
VNITŘNÍ (STAVOVÝ) POPIS NELINEÁRN RNÍHO SYSTÉMU nyní opět předpokládejme, že kapacita závisí na napětí na kondenzátoru; pak u u'.(u u' ) (u t t u.(u ) idτ i.(u ) + u ) + u.'(u.'(u.i ) R i ' + L L ).u' L u.i u i Γ(u dτ.i )
VNITŘNÍ (STAVOVÝ) POPIS NELINEÁRN RNÍHO SYSTÉMU u'. i i ' u.i + u Γ(u ) L L L R u' i' 0 /L / Γ(u ) u. R /L i + 0. /L [ u ]
VNĚJŠÍ POPIS LINEÁRN RNÍH SYSTÉMŮ. diferenciální rovnice;. operátorová přenosová funkce (Laplacova transformace); 3. rozložení nul a pólů; 4. frekvenční přenosová funkce; 5. frekvenční charakteristiky v komplexní rovině; amplitudová, fázová;
VNĚJŠÍ POPIS LINEÁRN RNÍH SYSTÉMŮ. diferenciální rovnice;. operátorová přenosová funkce (Laplacova transformace); 3. rozložení nul a pólů; 4. frekvenční přenosová funkce; 5. frekvenční charakteristiky v komplexní rovině; amplitudová, fázová; 6. impulsní charakteristika; 7. přechodová charakteristika;
VNĚJŠÍ POPIS LINEÁRN RNÍH SYSTÉMŮ IMPULSNÍ HARAKTERISTIKA operátorová přenosová funkce H(p) Y(p)/X(p) Y(p) H(p).X(p) s(t) s(t) s( τ).s (t τ).dτ S(p).S (p) konvoluce t 0
VNĚJŠÍ POPIS LINEÁRN RNÍH SYSTÉMŮ IMPULSNÍ HARAKTERISTIKA y(t) h(t) L - (H(p).L (δ(t))) L - (H(p).) Y(p) H(p) L (h(t)*δ(t)) L (h(t)*l - ()) impulsní charakteristika a přenosová funkce tvoří transformační pár Laplacovy transformace. impulsní charakteristika a frekvenční přenosová funkce tvoří transformační pár Fourierovy transformace.
VNĚJŠÍ POPIS LINEÁRN RNÍH SYSTÉMŮ IMPULSNÍ HARAKTERISTIKA je-li přiveden na vstup signálu přiveden Diracův impulz, má systém reagovat na dvě nekonečně velké změny úrovně signálu v nekonečně krátkém intervalu; čím užší signál, tím širší spektrum jednotkový impulz má nekonečně široké konstantní spektrum, takže přivedeme-li na vstup systému Diracův impulz, je situace ekvivalentní současnému přivedení úplné rovnoměrné směsi harmonických signálů o frekvencích od 0 do Hz; takový signál není reálný systém schopen přenést bez deformace; impulsové charakteristice lze tedy rozumět jako systémem zdeformovaný Diracův impulz. Podle vlastností deformovaného výstupního signálu můžeme usuzovat na vlastnosti systému;
VNĚJŠÍ POPIS LINEÁRN RNÍH SYSTÉMŮ IMPULSNÍ HARAKTERISTIKA je-li h(t) 0 pro t > t 0, hovoříme o systému s konečnou impulsní charakteristikou (KIO FIR); není-li h(t) 0 pro t > t 0, resp. je-li h(t) 0 pro t <, hovoříme o systému s nekonečnou impulsní charakteristikou (NIO IIR);
VNĚJŠÍ POPIS LINEÁRN RNÍH SYSTÉMŮ PŘEHODOVÁ HARAKTERISTIKA přechodová charakteristika odezva systému na jednotkový skok L(σ(t)) /p Y(p) G(p) H(p).L(σ(t)) H(p)./p H(p)/p
Příprava nových učebních materiálů pro obor Matematická biologie je podporována projektem ESF č. Z..07/..00/07.038 VÍEOBOROVÁ INOVAE STUDIA MATEMATIKÉ BIOLOGIE INVESTIE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ