Vícekriteriální optimalizace portfólia

Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Alena Malá Vícekriteriální optimalizace portfólia Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Vedoucí bakalářské práce: Studijní program: Studijní obor: RNDr. Ing. Miloš Kopa, Ph.D. Matematika Finanční matematika Praha 2012

Děkuji všem, kteří mi při psaní této bakalářské práce byli oporou. Zejména bych chtěla poděkovat vedoucímu mé bakalářské práce panu RNDr. Ing. Miloši Kopovi, Ph.D. za jeho odborné vedení a trpělivost. Dále děkuji panu RNDr. Petrovi Pospíšilovi, CSc., který mi umožnil provádět své výpočty na hardwaru Centra pro intenzivní výpočty, díky čemuž se mé výpočty značně zrychlily. V neposlední řadě bych chtěla na tomto místě poděkovat Martinovi Scholtzovi, Ph.D. za jeho bezmeznou podporu a obětavost.

Prohlašuji, že jsem tuto bakalářskou práci vypracovala samostatně a výhradně s použitím citovaných pramenů, literatury a dalších odborných zdrojů. Beru na vědomí, že se na moji práci vztahují práva a povinnosti vyplývající ze zákona č. 121/2000 Sb., autorského zákona v platném znění, zejména skutečnost, že Univerzita Karlova v Praze má právo na uzavření licenční smlouvy o užití této práce jako školního díla podle 60 odst. 1 autorského zákona. V Praze dne... Podpis autora

Název práce: Vícekriteriální optimalizace portfólia Autor: Alena Malá Katedra: Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Vedoucí bakalářské práce: RNDr. Ing. Miloš Kopa, Ph.D. Abstrakt: Cílem této práce je shrnutí tří základních přístupů řešících problém vícekriteriální optimalizace. Těmito třemi postupy jsou lineární kombinace účelových funkcí, postup s epsilonovým omezením a cílové programování. Všechny uvedené přístupy jsou následně aplikovány na soubor dat reprezentující měsíční nadvýnosy deseti reprezentativních portfólií na americkém trhu, která slouží jako základní aktiva. Následně tato základní aktiva kombinujeme do portfólií s cílem nalezení eficientních portfólií. V práci se dále zkoumá složení těchto eficientních portfólií a vzájemné vztahy eficientních hranic. Součástí práce je nastavování příslušných parametrů a následné vykreslení eficientních hranic. Všechny výpočty uvedené v této práci jsou prováděny v softwaru Mathematica 8. Klíčová slova: vícekriteriální optimalizace, lineární kombinace účelových funkcí, postup s epsilonovým omezením, cílové programování Title: Multiobjective portfolio optimization Author: Alena Malá Department: Department of Probability and Mathematical Statistics Supervisor: RNDr. Ing. Miloš Kopa, Ph.D. Abstract: The goal of this thesis is to summarize three basic principles of solving multi-objective programming problems. We focus on three approaches: a linear combination of objective functions, ε-constrained approach and a goal programming. All these methods are subsequently applied to US data. We consider monthly excess returns of ten US representative portfolios based on individual stock market capitalization of equity that serve as basic assets. Our aim is to find the efficient portfolios. Next we investigate a structure of these portfolios and their mutual relationships. Graphic representation of efficient frontiers is also included in the thesis. All calculations were performed using Mathematica software version 8. Keywords: multi-objective programming, linear combination of objective functions, ε-constrained approach, goal programming

Obsah 1 Úvod 2 2 Vícekriteriální optimalizace 4 2.1 Lineární kombinace účelových funkcí................ 5 2.2 Postup s epsilonovým omezením................... 7 2.3 Cílové programování......................... 8 3 Markowitzův model 11 3.1 Míry rizika............................... 12 3.2 Diskrétní scénáře........................... 13 3.2.1 Rozptyl............................ 14 3.2.2 VaR.............................. 14 3.2.3 CVaR............................. 15 3.2.4 Absolutní odchylka...................... 15 3.2.5 Semivariance......................... 15 4 Empirická studie 17 4.1 Lineární kombinace účelových funkcí................ 17 4.2 Postup s epsilonovým omezením................... 22 4.3 Cílové programování......................... 25 5 Závěr 32 A Obsah přiloženého CD 34 Literatura 36 Seznam tabulek 37 Použité symboly a značení 38 1

Kapitola 1 Úvod V běžném životě se často objevují problémy, přístup k jejichž řešení závisí na více - zpravidla protichůdných - kritériích. Člověk, který takovýto problém řeší, obvykle nedokáže najít řešení, při kterém by dosáhl nejlepšího možného výsledku podle každého jednoho kritéria. Daleko častěji se musí rozhodnout, které z kritérií je pro něj nejpodstatnější a podle něj zvolit nejpřijatelnější řešení. Pokud se například rozhodneme koupit nový notebook, budeme kromě výkonnosti, šířky úhlopříčky či výdrže baterie sledovat i prodejní cenu. Je nemožné najít takový počítač, který bude nejvýkonnější, nejlevnější a ještě k tomu bude mít nejvyšší výdrž baterie a nejširší obrazovku. Vždy nastane situace, kdy si budeme muset zvolit prioritu, na jejímž základě se nakonec rozhodneme. Řešení takovýchto problémů spadá do kategorie vícekriterální optimalizace. V naší práci se v kapitole 2 zabýváme třemi základními přístupy řešení těchto problémů - lineární kombinací účelových funkcí, postupem s epsilonovým omezením a cílovým programovaním. Vícekriteriální optimalizace se kromě běžných životních situací hojně využívá i ve financích. V naší práci se zaměříme na využití postupů vícekriteriální optimalizace při sestavování portfólia akcií. Tímto problémem se jako první zabýval H. M. Markowitz v padesátých letech 20. století, který poprvé ve svém modelu zohlednil kromě výnosu i rizikovost investice. Jeho model pracuje s mnoha zjednodušeními reality, kromě jiného se v něm vyskytují pouze dvě protichůdná kritéria, a to právě výnos a riziko, které je modelováno rozptylem. Na jeho práci navázalo v následujících letech mnoho matematiků, kteří původní Markowitzův model rozšířili a tím přiblížili více realitě. Spolu s tím se začaly objevovat i nové míry rizika, jako jsou semivariance, střední absolutní odchylka, VaR či CVaR. Definice těchto moderních měr rizika se spolu s popisem základního Markowitzova modelu nachází ve 3. kapitole. V naší práci pracujeme se souborem deseti základních aktiv amerického trhu, která kombinujeme do portfólií. Při našich výpočtech vycházíme ze známých měsíčních nadvýnosů těchto základních aktiv za posledních osmdesát šest let. Pomocí postupů řešících problémy vícekriteriální optimalizace uvedených výše hledáme složení eficientních portfólií. Pro každé eficientní portfólio počítáme také hodnoty jednotlivých měr rizika a výnos daného portfólia. V kapitole 4 lze nalézt přehledné tabulky s výsledky řazené do jednotlivých podkapitol v závislosti na postupu, který byl při jejich výpočtu použit. Tyto tabulky mohou sloužit případným investorům, kteří uvažují o investici do reprezentativních portfólia na americkém trhu. V tabulkách lze dohledat, jak velké prostředky je vhodné in- 2

vestovat do jednotlivých základních aktiv, a to dle osobního vztahu investora k výnosu a riziku. Kromě toho jsme v naší práci také zjišťovali procento případů, ve kterých se eficientní portfólio skládá právě z jednoho reprezentativního portfólia. Dále jsme se v naší práci zaměřili na vykreslení eficientní hranice představující závislost výnosu na jednotlivých mírách rizika. Nakonec jsme zjišťovali procento případů, ve kterých pokud se portfólio nachází na eficientní hranici pro jednu míru rizika, se nachází na eficientní hranici i pro jinou míru rizika. Všechny tyto výsledky jsou opět uvedeny v kapitole 4, a to řazené do podkapitol dle použitých metod vícekriteriální optilmalizace. Všechny výpočty byly prováděny v softwaru Mathematica 8, jako hardware byl použitý dvanáctijádrový počítač v Centru pro intenzivní výpočty ČVUT. K použití softwaru Mathematica na vícejádrových systémech i k implementaci některých finančních funkcí jsme využili publikace [7, 1]. Všechny použité kódy a rozsáhlejší tabulky jsou uvedeny na přiloženém CD. Seznam všech položek lze nalézt v příloze A. 3

Kapitola 2 Vícekriteriální optimalizace Lidé se téměř každodenně dostávají do situací, ve kterých se musí rozhodovat na základě navzájem protichůdných kritérií. Typickým příkladem na poli finančnictví může být Markowitzův model řešící maximalizaci výnosů při minimálním riziku, viz kapitola 3. V této kapitole se budeme zabývat třemi základními přístupy k řešení takovéhoto problému. Naší snahou bude minimalizovat K 2 účelových funkcí f 1,... f K, f k : R n R (v praxi K požadavků, které na naši úlohu klademe) na uzavřené množině X R n, tedy řešit problém vícekriteriální optimalizace min f(x) na uzavřené množině X. (2.1) Pod slovem minimalizace nerozumíme minimalizaci v pravém slova smyslu; v našem případě je totiž velmi komplikované a obvykle nemožné nalézt řešení, které by minimalizovalo všechny účelové funkce najednou. Pokud takovéto řešení skutečně existuje, nazýváme ho ideálním řešením. Definice elementárních matematických pojmů přebíráme z publikací [9, 8], ostatní definice a věty uvedené v této kapitole pak z publikace [4] a tam uvedených referencí. Definice 2.1. Ideální řešení x X problému (2.1) je definováno vztahem x K arg min x X f k(x). Takovéto řešení však existuje jen velmi zřídka, proto řešením problému (2.1) fakticky rozumíme nalezení takového řešení, pro které na množině X neexistuje stejnoměrně lepší řešení. Takové řešení nazveme řešením eficientním. Definice 2.2. Eficientní řešení ˆx X problému vícekriteriální optimalizace (2.1) je takové řešení, pro které neexistuje žádné x X splňující f(x) f(ˆx) a zároveň f(x) f(ˆx). Definice 2.3. Množina X R n se nazývá konvexní, jestliže s každými dvěma body obsahuje také všechny jejich konvexní lineární kombinace, tj. pro každé x, y X a λ (0, 1) je také λx + (1 λ)y X. 4

Definice 2.4. Funkce f : X R se nazývá konvexní, jestliže pro každé x, y X, X R n a λ (0, 1) platí f(λx + (1 λ)y) λf(x) + (1 λ)f(y). Věta 2.1. Nechť X R n je neprázdná kompaktní množina, nechť funkce f k : R n R jsou spojité pro k = 1,... K, nechť funkce h : R K R je spojitá a neklesající. Potom alespoň jedno řešení úlohy je eficientním řešením problému (2.1). min h(f 1(x),... f K (x)) (2.2) x X Důkaz. Nechť ˆx je optimálním řešením úlohy (2.2), nechť zároveň není eficientním řešením (2.1). Potom existuje eficientní řešení x X, které podle definice 2.2 splňuje f(x ) f(ˆx) a současně f(x ) f(ˆx). To znamená, že existuje index j, pro který f j (x ) < f j (ˆx) a současně f k (x ) f k (ˆx) pro všechna k j. Díky předpokládané monotónnosti funkce h platí h(f(x )) h(f(ˆx)). V případě ostré nerovnosti by toto tvrzení odporovalo předpokladu, že ˆx je optimálním řešením úlohy (2.2). Proto nutně nastává rovnost, a tedy x je také optimálním řešením úlohy (2.2). Tím jsme dokázali, že eficientní řešení x úlohy (2.1) je zároveň optimálním řešením úlohy (2.2). Nyní uvedeme tři základní přístupy, kterými můžeme nalézt eficientní řešení daného problému (2.1). 2.1 Lineární kombinace účelových funkcí Nejpřirozenějším a také nejjednodušším způsobem nalezení eficientního řešení našeho problému je přiřadit daným účelovým funkcím váhy dle stupně důležitosti, který na konkrétní kritéria klademe. V našem případě se snažíme minimalizovat K účelových funkcí, proto kritériu, které je pro naše rozhodovaní nejpodstatnější, přiřadíme nejvyšší váhu. Zvolíme tedy speciální tvar funkce h(x) = K t k f k (x), kde pro vektor parametrů t platí t k 0, t 0 a t k jsou váhy příslušící f k pro k = 1,... K. Níže uvedená tvrzení nám stanovují podmínky, za kterých lze tuto jednoduchou ideu realizovat. Věta 2.2. Nechť 0 t R K + je vektor parametrů, nechť x je optimální řešení úlohy min x X K t k f k (x). (2.3) 5

i) Pokud je vektor parametrů t kladný, tedy t k > 0 pro všechna k, pak x je eficientním řešením úlohy (2.1). ii) Pokud x je jednoznačným optimálním řešením problému (2.3), pak x je eficientním řešením úlohy (2.1). Důkaz. i) Nechť x X není eficientním řešením úlohy (2.1). V tom případě existuje eficientní řešení úlohy x X, pro které z definice 2.2 platí f(x ) f( x) a současně f(x ) f( x). To znamená, že existuje index j, pro který f j (x ) < f j ( x) a současně f k (x ) f k ( x) pro všechna k j. Přenásobíme-li obě strany nerovnosti kladnými váhami t, dostáváme t k f k (x ) t k f k ( x), k {1,... K}\{j}, t j f j (x ) < t j f j ( x). Sečteme-li obě nerovnosti, docházíme ke vztahu K t k f k (x ) < K t k f k ( x), který je ve sporu s předpokladem, že x minimalizuje úlohu (2.3). ii) Nechť x X není eficientním řešením úlohy (2.1), ale je jednoznačným řešením úlohy (2.3). V tom případě platí ( x X : x x) : K t k f k (x) > K t k f k ( x). V tom případě existuje eficientní řešení úlohy x X, pro které z definice 2.2 platí f(x ) f( x) a současně f(x ) f( x). To znamená, že existuje index j, pro který f j (x ) < f j ( x) a současně f k (x ) f k ( x) pro všechna k j. Přenásobíme-li obě strany nerovnosti nezápornými váhami t, dostáváme t k f k (x ) t k f k ( x), k {1,... K}\{j}, t j f j (x ) < t j f j ( x). Sečteme-li obě nerovnosti, docházíme ke vztahu K t k f k (x ) K t k f k ( x), 6

protože nyní není vyloučen případ, kdy t j = 0. Tato nerovnost však odporuje předpokladu o jednoznačnosti řešení úlohy (2.3). Následující tvrzení platí pouze pro konvexní účelové funkce f k, z tohoto důvodu je možnost aplikace Věty 2.3. v praxi na konkrétní data omezená. Věta 2.3. Nechť X je neprázdná kompaktní konvexní množina, nechť funkce f k jsou konvexní pro všechna k = 1,... K. Nechť ˆx X je libovolné eficientní řešení úlohy (2.1). Pak existuje vektor parametrů t R K +, t 0 takový, že x je optimálním řešením (2.3). Důkaz. Důkaz je uveden v publikaci [4]. Jak vidíme, použití přímočarého postupu přiřazení vah jednotlivým kritériím nemusí být díky silnému předpokladu konvexity účelových funkcí možné. 2.2 Postup s epsilonovým omezením Další možností, jak dospět k eficientnímu řešení úlohy (2.1), je vybrat si libovolně jednu z účelových funkcí, kterou budeme klasickým zbůsobem minimalizovat, a zbylé účelové funkce shora omezit vektorem parametrů ε. Tento postup nazvaný postup s epsilonovým omezením je popsán v následující větě. Věta 2.4. Vyberme libovolně jednu z účelových funkcí, například funkci f 1 a dále zvolme vektor horních omezení ε R K 1. Řešme standardní optimalizační úlohu minimalizovat f 1 (x) vzhledem k x X za podmínek f k (x) ε k, k = 2,... K. (2.4) Jestliže je množina X ε := {x X : f k (x) ε k, k = 2,... K} neprázdná, potom platí i) Nechť x je jednoznačným optimálním řešením úlohy (2.4), pak x je i eficientním řešením problému (2.1). ii) Nechť ˆx je eficientním řešením problému (2.1), pak existuje ε R K 1 takové, že ˆx je optimálním řešením úlohy (2.4). Důkaz. i) Nechť x X ε není eficientním řešením problému (2.1). Pak existuje eficientní řešení x X splňující definici 2.2, podle které f(x ) f( x) a současně f(x ) f( x). Z toho vyplývá, že x X ε. Zároveň tedy platí, že f 1 (x ) f 1 ( x), což je ve sporu s předpokladem jednoznačnosti minima v x v úloze (2.4). 7

ii) Nechť ˆx je eficientním řešením úlohy (2.1). Stačí zvolit ε k = f k (ˆx) pro všechna k = 2,... K a tím pádem ˆx řeší úlohu minimalizovat f 1 (x) vzhledem k x X za podmínek f k (x) f k (ˆx), k = 2,... K. Vidíme, že postup s epsilonovým omezením můžeme využít při řešení větší škály optimalizačních problémů, než nám umožňuje přístup hledající eficientní řešení pomocí speciální volby funkce h. Jediným předpokladem Věty 2.4 je neprázdnost množiny X ε, na rozdíl od přístupu hledající eficientní řešení pomocí speciální volby funkce h (viz výše) nejsou v tomto případě kladeny žádné požadavky na vlastnosti účelových funkcí f k. Při řešení problému (2.1) může být v závislosti na našich datech výhodné oba výše popsané způsoby vhodně zkombinovat. To znamená pro konvexní účelové funkce f k, k = 1,... K 0 využít přístup speciálně volené funkce h, tj. min x X K 0 t k f k (x) a na zbylé účelové funkce f k aplikovat postup s epsilonovým omezením: f k (x) ε k, k = K 0 + 1,... K. Tento postup může být výhodný zejména v případě, že tato množina je konvexní. 2.3 Cílové programování Cílové programování je posledním z postupů vedoucích k nalezení eficientního řešení, který zde uvádíme. Princip cílového programování je založen na myšlence nalezení takového x z množiny X, pro které je vektor funkcí f(x) co nejblíže ideálnímu vektoru funkcí fk, který minimalizuje každou složku f k, tedy fk = min f k(x), k = 1,... K. x X Definice 2.5. L p norma vektoru v R n je pro 1 p < definována vztahem v p = n p v i p, pro p = definována vztahem v = max( v 1,... v n ). Pro měření vzdáleností funkcí f k a f k můžeme využít libovolnou váženou L p vzdálenost, 1 p. Řešíme tedy problém i=1 min T(f f(x)) p, (2.5) x X kde T = diag{t 1,... t K } je diagonální matice s nezápornými prvky t k, t 0. Následující věta popisuje vlastnosti řešení minimalizačního problému (2.5). Věta 2.5. 8

i) Pokud je vektor parametrů t kladný, tedy t k > 0 pro všechna k, a 1 p <, pak optimální řešení x úlohy (2.5) je eficientním řešením (2.1). ii) Pokud je x jednoznačným optimálním řešením úlohy (2.5) pro 1 p <, pak x je eficientním řešením (2.1). iii) Pro p = je alespoň jedno z optimálních řešení problému (2.5) zároveň eficientním řešením problému (2.1). Důkaz. i) Nechť x X není eficientním řešením úlohy (2.1). Dle definice 2.2 existuje eficientní řešení x X, pro které platí f(x ) f( x) a současně f(x ) f( x). To znamená, že existuje index j, pro který f j (x ) < f j ( x) a současně f k (x ) f k ( x) pro všechna k j. Odečteme-li od obou stran nerovnosti ideální řešení f úlohy (2.1), přenásobímeli obě strany nerovnosti nezápornými váhami t, dáme-li obě strany nerovnosti do absolutní hodnoty a umocníme-li obě strany nerovnosti parametrem p, přičemž 1 p <, docházíme ke vztahu t k (f k (x ) f k ) p t k (f k ( x) f k ) p, k {1,... K}\{j}, t j (f j (x ) f j ) p < t j (f j ( x) f j ) p. Sečteme-li a aplikujeme-li následně p-tou odmocninu na obě strany nerovnosti, dostáváme vztah K p t k (f k (x ) fk ) p < K p t k (f k ( x) fk ) p, který je ve sporu s předpokladem, že x minimalizuje úlohu (2.5). ii) Nechť x X není eficientním řešením úlohy (2.1), ale je jednoznačným řešením úlohy (2.5). V tom případě platí p ( x X : x x) : K t k (f k (x) fk ) p > K p t k (f k ( x) fk ) p. V tom případě existuje eficientní řešení úlohy x X, pro které z definice 2.2 platí f(x ) f( x) a současně f(x ) f( x). To znamená, že existuje index j, pro který f j (x ) < f j ( x) a současně f k (x ) f k ( x) pro všechna k j. 9

Postupujeme-li obdobně jako v případě (i), docházíme ke vztahu K p t k (f k (x ) fk ) p K p t k (f k ( x) fk ) p, protože nyní není vyloučen případ, kdy t j = 0. Tato nerovnost však odporuje předpokladu o jednoznačnosti řešení úlohy (2.5). iii) Nechť x X není eficientním řešením úlohy (2.1), ale je jedním z řešení úlohy (2.5). V tom případě platí ( x X : x x) : max{ t k (f k (x) f k ) } max{ t k (f k ( x) f k ) }. (2.6) V tom případě existuje eficientní řešení úlohy x X, pro které z definice 2.2 platí f(x ) f( x) a současně f(x ) f( x). To znamená, že existuje index j, pro který f j (x ) < f j ( x) a současně f k (x ) f k ( x) pro všechna k j. Postupujeme-li obdobně jako v případě (i), docházíme ke vztahu V případě, že platí dostáváme t k (f k (x ) f k ) t k (f k ( x) f k ), k {1,... K}\{j}, t j (f j (x ) f j ) < t j (f j ( x) f j ). max{ t k (f k (x ) f k ) } = t j (f j (x ) f j ), T(f(x ) f ) = t j (f j (x ) f j ) < t j (f j ( x) f j ) T(f( x) f ), což je ve sporu s předpokladem, že x je optimálním řešením úlohy (2.5). V případě, že max{ t k (f k (x ) f k ) } = t i (f i (x ) f i ), i j, docházíme k výrazu T(f(x ) f ) = t i (f i (x ) f i ) t i (f i ( x) f i ) T(f( x) f ), což spolu s podmínkou (2.6) dává rovnost norem. Tudíž eficientní řešení x úlohy (2.1) je zároveň optimálním řešením úlohy (2.5). 10

Kapitola 3 Markowitzův model Za zakladatele teorie portfólia je považován H. M. Markowitz, který svůj základní model týkající se investic do portfólia akcií představil v roce 1952 v publikaci Portfolio selection. Při popisu tohoto modelu postupujeme podle článku [2] a tam uvedených referencí. Původní Markowitzův model využíval zjednodušené předpoklady ideálního trhu, mimo jiné předpokládal, že všichni investoři investují ve stejný okamžik a na stejně dlouhý časový úsek, na trhu neexistuje riziko arbitráže, investice na tomto trhu nejsou zatíženy žádnými daněmi ani transakčními náklady, na trhu operují pouze malí investoři, kteří nemohou ovlivnit tržní cenu obchodovaných akcií, všichni investoři mají neomezenou možnost investování i vypůjčování, a to za stejnou bezrizikovou míru, na trhu existují pouze nekonečně dělitelná aktiva, na trhu obchodují racionální investoři, kteří preferují vyšší výnos a menší riziko aktiv, všichni investoři mají totožné informace, všichni investoři se rozhodují pouze na základě střední hodnoty, rozptylu a kovariance výnosností obchodovaných akcií. Jak vidíme, základní Markowitzův model pracuje s výrazným zjednoduššením reality. Největším přínosem tohoto modelu bylo, že v něm Markowitz vůbec jako první zohlednil kromě maximálního výnosu portfólia i riziko, které investor podstupuje. Základní Markowitzův model předpokládá portfólio obsahující N aktiv, do i- tého aktiva vlastník investuje podíl x i, i = 1,... N, x i = 1. Investice do i-tého aktiva přináší vlastníkovi portfólia dopředu neznámý náhodný výnos ρ i. Rozdělení náhodného vektoru výnosů ρ odhadujeme známým vektorem středních hodnot E ρ = r a varianční maticí V = [cov(ρ i, ρ j ), i = 1,... N, j = 1,... N]. Očekávaný výnos celého portfólia je tedy r(x) = E N x i ρ i = r T x (3.1) i=1 11

a riziko celého portfólia je dáno rozptylem jeho celkové výnosnosti σ 2 (x) = N N x i [cov(ρ i, ρ j )] x j = x T Vx. (3.2) i=1 j=1 Naším cílem je nalézt portfólio s takovými váhami, které by maximalizovaly jeho výnosnost r(x) a zároveň minimalizovaly jeho rizikovost σ 2 (x). Definice 3.1. Portfólio s váhami x je eficientní vzhledem ke střední hodnotě a rozptylu, jestliže neexistují jiné váhy x splňující N x i = 1, pro které r(x) r(x ) a současně σ 2 (x) σ 2 (x ) a alespoň jedna z nerovností je ostrá. Definice zůstane nezměněna i v případě, že váhy omezíme dalšími podmínkami, například budeme požadovat jejich nezápornost. i=1 Hledáme tedy řešení jedné z ekvivalentních úloh max {r(x), x X σ2 (x)}, respektive min { r(x), x X σ2 (x)}, kde X = { x R N : } x i = 1, i = 1,... N. Eficientní portfólia můžeme najít vyřešením vhodně zvolené optimalizační úlohy. 1. V prvním přístupu za parametr volíme investorův vztah k riziku. Dostáváme úlohu kvadratického programování ( λr T x + 1 ) 2 xt Vx. min x X Je-li parametr λ = 0, investor je velmi opatrný a zajímá ho pouze rizikovost investice, nikoliv její výnosnost. 2. Ve druhém přístupu si jako parametr zvolíme minimální přijatelnou výnosnost portfólia r p, řešíme tedy úlohu 3.1 Míry rizika min x X xt Vx za podmínky r T x r p. (3.3) Definice 3.2. Míru rizika definujeme jako funkcionál na prostoru náhodných veličin, tedy zobrazení z prostoru náhodných veličin Ω do množiny reálných čísel R. Pro přesnější definici viz [10]. K určení úrovně rizika se v praxi využívá řada měr, v naší práci zmíníme nejvýznamnější z nich. Označme ρ náhodný výnos portfólia a L jeho náhodnou ztrátu, platí tedy ρ = L. Základní mírou rizika, představenou v Markowitzově modelu, je rozptyl výnosnosti portfólia (viz (3.2)). V současné době se využívají i další, modernější, míry rizika jako je VaR, CVaR, semivariance či střední absolutní odchylka. 12

Definice uvedené v této kapitole přebíráme z publikace [6, 3] a tam uvedených referencí. Definice 3.3. Pro náhodnou veličinu L vyjadřující ztrátu portfólia a míru spolehlivosti α (0, 1) zavádíme hodnotu v riziku na hladině α (anglicky Value at Risk, zkráceně VaR α ) definujeme vztahem VaR α (L) = inf{λ R : P[L > λ] 1 α}. Podle této definice vyjadřuje VaR α nejmenší možnou hodnotu ztráty, jejíž pravděpodobnost je rovna nebo menší než 1 α. Protože standardně volíme α = 99% či α = 95%, je pravděpodobnost ztráty větší, než je hodnota VaR α, velmi malá. Pokud chceme při měření rizika zohlednit i velikost ztráty, jejíž výše přesahuje hodnotu VaR α, využijeme míru CVaR α. Definice 3.4. Pro náhodnou veličinu L vyjadřující ztrátu portfólia a míru spolehlivosti α (0, 1) zavádíme podmíněnou hodnotu v riziku na hladině α (anglicky Conditional Value at Risk, zkráceně CVaR α ) vztahem { CVaR α (L) = inf a R : a + 1 } E[max(0, L a)]. 1 α Posledními mírami určujícími úroveň rizika, které zde uvádíme, jsou absolutní odchylka a semivariance. Definice 3.5. Pro náhodnou veličinu L vyjadřující ztrátu portfólia definujeme absolutní odchylku vztahem h a (L) = E L E L. Definice 3.6. Pro náhodnou veličinu L vyjadřující ztrátu portfólia zavádíme semivarianci vztahem h s (L) = E[[max(0, L E L)] 2 ]. 3.2 Diskrétní scénáře V této práci budeme pracovat s modelem předpokládajícím existenci M scénářů vývoje ceny jednotlivých akcií daného portfólia. Postupujeme při tom dle publikace [6] a tam uvedených referencí. Výnos konkrétní akcie při realizaci jednoho scénáře označme r j i, kde index i značí i-tou akcii, i = 1,... N, a j označuje příslušný scénář, j = 1,... M. Pro přehlednost označme vektor výnosností všech akcií při realizaci j-tého scénáře r j. V našem modelu dále předpokládejme, že pravděpodobnost realizace každého scénáře je stejně vysoká, tuto pravděpodobnost označme p j. Jistě tedy platí p j = 1, j = 1,... M. V našem modelu budeme M uvažovat pouze ty případy, kdy počet scénářů výrazně převyšuje počet akcií v daném porfóliu. Celková očekávaná výnosnost portfólia je r = 1 M N x i r j i M = 1 M x T r j. M j=1 i=1 Dále uvedeme formulace optimalizačních úloh pro jednotlivé míry rizika. 13 j=1

3.2.1 Rozptyl Rozptyl je základní mírou rizika a odhaduje se pomocí výběrové kovarianční matice V. V našem případě tuto kovarianční matici získáme z daných scénářů. kde ˆV = 1 M 1 M (r j ˆr)(r j ˆr) T, j=1 ˆr = 1 M M r j. j=1 Nyní sestavíme optimalizační úlohu odpovídající (3.3): 3.2.2 VaR min x T ˆV x, x za x T ˆr r p N x i = 1 i=1 x i R, i = 1,... N. Naším úkolem je minimalizovat VaR α (x), který určíme jako příslušný kvantil skokovité distribuční funkce L, úloha je tedy ve tvaru min x za VaR α (x) 1 M M x T r j r p j=1 N x i = 1 i=1 x i R, i = 1,... N. 14

3.2.3 CVaR Při konstrukci optimalizační úlohy pro CVaR pro zjednodušení nahradíme výraz max(0, L a) proměnnou z j. Dostáváme úlohu ve tvaru ( ) 1 M min a + z j x,z j M(1 α) za j=1 z j a x T r j, j = 1,... M z j 0, j = 1,... M 1 M x T r j r p M j=1 N x i = 1 i=1 3.2.4 Absolutní odchylka x i R, i = 1,... N. V případě absolutní odchylky h a, kde odhadneme střední hodnotu průměrem, je naším cílem minimalizovat 1 M M xt r j 1 M x T r k. M j=1 Pokud si uvědomíme, že v v a v v a absolutní hodnotu substituujeme za z j, můžeme zadanou úlohu převést na úlohu lineárního programování a tím si ji výrazně usnadnit. 1 min x,z j M za M j=1 z j z j x T r j 1 M z j x T r j + 1 M 1 M M x T r j r p j=1 N x i = 1 i=1 3.2.5 Semivariance M x T r k, j = 1,... M x i R, i = 1,... N. M x T r k, j = 1,... M V posledním zde uvedeném případě semivariance h s budeme při konstrukci optimalizační úlohy postupovat obdobně, jako v případě absolutní odchylky. Opět zavedeme proměnnou z j, která bude tentokrát představovat výraz max(0, L E L), 15

a střední hodnotu, stejně jako výše, odhadneme průměrem. Získáváme optimalizační úlohu 1 min x,z j M za M (z j ) 2 j=1 z j x T r j + 1 M z j 0, j = 1,... M 1 M x T r j r p M j=1 N x i = 1 i=1 x i R, i = 1,... N. M x T r k, j = 1,... M 16

Kapitola 4 Empirická studie V této kapitole uvádíme jednotlivé postupy řešení úlohy (2.1) formulované v kapitole 2, tedy řešení zadaného problému pomocí lineární kombinace účelových funkcí, postupu s epsilonovým omezením, cílového programování. Všechny tři postupy jsme aplikovali na data převzatá z knihovny Kenneth French data library. Tato data představují deset reprezentativních portfólií amerického trhu, která jsou sestavena na základě tržní kapitalizace. První portfólio, nazývané small, představuje vzorek firem, jejichž kapitalizace je mezi deseti procenty nejnižšími. Společnosti spadající do této skupiny mívají vysoký růstový potenciál, stejně tak je ovšem investice do těchto firem riziková. Naopak poslední z deseti reprezentativních portfólií, nazývané large, tvoří deset procent velkých, stabilních společností obchodujících na americkém trhu. Naše data představují měsíční nadvýnosy těchto reprezentativních potfólií pozorované od července roku 1926 do prosince roku 2011. Tato data interpretujeme jako 1026 možných scénářů vývoje cen deseti různých portfólií. Původní data, která lze nalézt na přiloženém CD, představovala absolutní hrubé výnosy. Proto jsme všechny uvedené nadvýnosy pro potřeby našich výpočtů převedli na procenta vztahem a j i aj i 100 1. Naše výpočty mohou posloužit jako návod případným investorům, kteří by uvažovali o investici do reprezentativních portfólií na americkém trhu. V přiložených tabulkách může investor dohledat, jak efektivně rozložit své finance mezi jednotlivá reprezentativní portfólia, a to s přihlédnutím k osobním preferencím týkajících se výše výnosu a rizika. 4.1 Lineární kombinace účelových funkcí Postup minimalizace lineární kombinace účelových funkcí s cílem nalezení eficientního řešení problému (2.1) spočívá v přiřazení vah jednotlivým účelovým funkcím dle důležitosti, kterou jednotlivým kritériím přikládáme, viz Věta 2.3. Jednotlivé 17

účelové funkce, které chceme minimalizovat, jsou v našem případě směrodatná odchylka, VaR, CVaR, absolutní odchylka a semivariance. Kromě toho je naším záměrem také maximalizovat výnos, což odpovídá úloze minimalizace ztráty. Proto jako poslední účelovou funkci zvolíme ztrátu. V našich výpočtech jsme VaR i CVaR uvažovali na hladině α = 95%. V úvahu jsme brali pouze portfólia, ve kterých jsou zakázány prodeje nakrátko, což odpovídá podmínce nezápornosti vah, tedy x 0. Konkrétní přepis úlohy (2.3) je ve tvaru min ( r(x) t 1 + σ(x) t 2 + VaR 0,95 (x) t 3 + CVaR 0,95 (x) t 4 + h a (x) t 5 + h s (x) t 6 ) x X za podmínek N x i = 1, x i 0, i = 1,... N, i=1 kde t k jsou zvolené parametry 6 t k = 1, t k 0, k = 1,... 6 a r(x) představuje očekávaný výnos portfólia daný (3.1). Následně jsme přiřazovali různé váhy jednotlivým účelovým funkcím, což v praxi odpovídá různým vztahům investora k riziku, respektive výnosu. Vybraným účelovým funkcím jsme přiřazovali váhy rovnoměrně. Nejprve jsme uvalili váhu rovnou jedné pouze na jednu účelovou funkci (výnos, směrodatná odchylka a tak dále), následně jsme brali v úvahu dvě účelové funkce, mezi které jsme váhu rozdělili rovnoměrně. Takto jsme postupně zvyšovali počet účelových funkcí a propočítali všechny možnosti. Jako poslední jsme uvažovali rovnoměrné rozdělení vah mezi všechny účelové funkce. Výpočtem jsme pro každou volbu vah získali eficientní řešení úlohy (2.1), tedy složení eficientního portfólia. Pro každou zvolenou kombinaci vah jsme rovněž spočítali hodnoty jednotlivých účelových funkcí. Výsledky jsou uvedené v tabulce 4.1 na straně 19. Nejvyššího výnosu, ale zároveň i nejvyšší směrodatné odchylky dosáhneme přiřazením veškeré váhy první účelové funkci, tedy ztrátě. Tento závěr není nijak překvapující, ovšem stejného výsledku dosáhneme i v případě přiřazení váhy 0, 5 zisku a stejné váhy semivarianci. Zajímavým poznatkem může být, že dosáhneme vyššího výnosu v případě, kdy nám na jeho výši vůbec nezáleží (uvalíme tedy na ztrátu váhu nula), přičemž váhu přidělíme rovnoměrně směrodatné odchylce, VaRu, absolutní odchylce a semivarianci, než v libovolném případě, ve kterém přiřadíme rovnoměrně čtvrtinovou váhu ztrátě a libovolným třem rizikovým mírám. Rozdíly mezi jednotlivými výnosy jsou však malé, konkrétně se projevují až na třetím či čtvrtém desetinném místě. Není vyloučeno, že je tento výsledek způsoben numerickou nepřesností výpočtu. Dá se očekávat, že nejnižšího výnosu dosáhneme přiřazením celé váhy na libovolnou účelovou funkci představující míru rizika. Naše výpočty ukázaly, že všechny možnosti dávají stejný výsledek, výjimku tvoří pouze případ uvalení jednotkové váhy na VaR. Tato kombinace dává vyšší výnos, a tím pádem i vyšší riziko, než právě uvedené možnosti. Minimálního výnosu však lze docílit i mnoha dalšími kombinacemi přiřazení vah, například 18

Tabulka 4.1: Lineární kombinace složení eficientního portfólia a jeho charakteristiky 19

přiřazením poloviční váhy ztrátě a poloviční váhy směrodatné odchylce či rovnoměrným rozdělením vah mezi ztrátu, směrodatnou odchylku a CVaR. Všechny námi uvažované možnosti přiřazení vah jednotlivým účelovým funkcím jsou k nahlédnutí v tabulce 4.1. V dalších výpočtech jsme se zaměřili na složení eficientního portfólia. Jak bylo uvedeno výše, na americkém trhu existuje deset základních aktiv, přičemž vybrané společnosti jsou do těchto skupin rozděleny na základě výše kapitalizace. My jsme chtěli zjistit, která konkrétní reprezentativní portfólia se nejčastěji objevují v eficientním portfóliu. Zaměřili jsme se na první a poslední základní aktiva, tedy portfólia small, resp. large. Tato jediná dvě základní aktiva se objevují ve výsledném portfóliu samostatně, ve všech ostatních případech dochází k diverzifikaci portfólia mezi více reprezentativních portfólií. Pochopitelně bychom procentuální zastoupení pouze portfólií small, pouze portfólií large a případnou diverzifikaci eficientního portfólia mohli spočítat z již napočítaných dat uvedených v tabulce 4.1. Protože však tato tabulka obsahuje pouze malý vzorek možností přiřazení vah jednotlivým účelovým funkcím, výsledky by neměly požadovanou vypovídající hodnotu. Z tohoto důvodu jsme vytvořili diskrétní mřížku s velikostí jednoho kroku 0, 1 představující varianty přiřazení vah jednotlivým účelovým funkcím. Dříve napočítané hodnoty, které uvádíme v tabulce 4.1, jsou v diskrétní mřížce také obsaženy. Na této mřížce jsme následně spočítali hodnoty všech účelových funkcí a rovněž zjistili složení eficientního portfólia pro každou kombinaci vah. Z důvodu prostorové náročnosti jsou tyto výsledky uvedeny na přiloženém CD. Následně jsme snadným výpočtem zjistili procentuální zastoupení pouze základního aktiva large a pouze základního aktiva small ve výsledných eficientních portfóliích. Naše výpočty ukázaly, že zhruba v padesáti procentech případů dochází k diverzifikaci portfólia. Obdobně v necelé polovině všech případů eficientní portfólio preferuje spoléhat se výhradně na reprezentativní portfólio large, což odpovídá přiřazení váhy jedna tomuto portfóliu. Naopak procento případů, ve kterém se investorovi vyplatí veškeré své finance vložit na reprezentativní portfólio small, je mizivé. Tyto výsledky, které shrnuje tabulka 4.2, odpovídají ochotě investovat do stabilních firem s jistým výdělkem a naopak neochotě investovat do menších firem, jejichž budoucnost je nejistá. Dále jsme se zaměřili na grafické znázornění eficientní hranice. Vygenerovali jsme sto různých portfólií pro každou dvojici účelových funkcí, přičemž jednou z účelových funkcí byla vždy ztráta. Pro všechna tato portfólia jsme spočítali hodnoty všech účelových funkcí a zjistili složení eficientních portfólií. Následně jsme vykreslili grafy závislosti výnosu na jednotlivých mírách rizika. Jediný problém nastal v případě kombinace ztráty a VaRu, která díky povaze VaRu a z ní vyplývající nepřesnosti výpočtu (citlivost použitého minimalizačního algoritmu na vstupní data), nedávala hladkou křivku. Z toho důvodu jsme daty získanými zmíněnou kombinací proložili polynom druhého stupně a získali tak hladkou křivku. Podíl large Podíl small Podíl diverzifikace 46,287% 0,2997% 53,4133% Tabulka 4.2: Podíl eficientních portfólií, která sestávají pouze ze základního aktiva large, resp. small, a podíl diverzifikovaných eficientních portfólií. 20

0.012 0.010 0.008 0.006 0.004 0.002 Vynos 0.000 Smerodatna odchylka 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 Obrázek 4.1: Eficientní hranice závislost výnosu na směrodatné odchylce 0.012 Vynos 0.012 Vynos 0.010 0.010 0.008 0.008 0.006 0.006 0.004 0.004 0.002 0.002 0.000 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 VaR 0.000 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 a) Závislost výnosu na VaR b) Závislost výnosu na CVaR Obrázek 4.2: Eficientní hranice Všechny grafy znázorňující eficientní hranice jsou na obrázcích 4.1 až 4.3. Data získaná za účelem vykreslení eficientních hranic jsme využili i následně. Zaměřili jsme se na zjištění procenta portfólií, která, jestliže se nacházejí na eficientní hranici v jednom případě, se nacházejí na eficientní hranici i v případě druhém. Postupně jsme procházeli všechny přípustné kombinace, porovnávali jsme tedy závislost výnosu na jednotlivých mírách rizika. V prvním kroku algoritmu jsme nejprve pro portfólio, které je eficientní v prvním případě, zjistili příslušný výnos, který toto portfólio dává. Ve druhém kroku algoritmu jsme porovnali, zda stejný výnos dává ve druhém případě totožné portfólio. Ve třetím kroku jsme zjišťovali, zda toto hledané portfólio leží na eficientní hranici. Tímto postupem jsme vzájemně porovnali veškeré závislosti výnosu na jednotlivých mírách rizika. Při našich výpočtech jsme dospěli k závěru, že nejstriktnější mírou rizika je v tomto ohledu semivariance - pokud se portfólio nacházelo na eficientní hranici představující závislost výnosu na semivarianci, pak se zcela jistě nacházelo i na eficientní hranici vyjadřující závislost výnosu na libovolné výše zmíněné míře rizika, viz tabulka 4.3 na straně 22. CVaR Vynos 0.012 0.010 0.008 0.006 0.004 0.002 Vynos 0.012 0.010 0.008 0.006 0.004 0.002 0.000 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 Abs. odchylka 0.000 0.000 0.001 0.002 0.003 0.004 Semivariance a) Závislost výnosu na abs. odchylce b) Závislost výnosu na semivarianci Obrázek 4.3: Eficientní hranice 21

Směr. od. VaR CVaR Abs. od. Semi Směr. odchylka 100 33,3 33,3 50 33,3 VaR 60 100 40 60 60 CVaR 28,6 0 100 42,9 42,9 Abs. odchylka 100 66,6 100 100 100 Semivariance 100 100 100 100 100 Tabulka 4.3: Prvek v m-tém řádku a v n-tém sloupci tabulky vyjadřuje, kolik procent ze všech eficientních portfólií získaných přiřazením váhy pouze na výnos a m-tou rizikovou míru je zároveň eficientních v případě přiřazení váhy pouze výnosu a n-té rizikové míře. 4.2 Postup s epsilonovým omezením Minimalizace problému (2.1) s cílem nalezení eficientního řešení se dá kromě lineární kombinace účelových funkcí řešit pomocí postupu s epsilonovým omezením. Tento postup spočívá v minimalizaci jedné libovolně zvolené účelové funkce a stanovení vektoru horních omezení pro zbylé účelové funkce, viz Věta 2.4. V našich výpočtech jsme jako onu minimalizovanou funkci zvolili ztrátu a stejně jako v předchozím případě jsme uvažovali VaR a CVaR na hladině α = 95%. Navíc jsme opět brali v úvahu pouze portfólia počítající se zákazem prodeje nakrátko, tedy x 0. Námi sestavená úloha je ve tvaru za podmínek min ( r(x)) x X σ(x) ε 1 VaR 0,95 (x) ε 2 CVaR 0,95 (x) ε 3 h a (x) ε 4 h s (x) ε 5 N x i = 1 i=1 x i 0, i = 1,... N. Vektor horních omezení ε jsme stanovili jako k-násobek ideálního řešení. Vektor ideálních řešení f jsme získali samostatným řešením úlohy minimalizace jednotlivých účelových funkcí, přičemž jedinou omezující podmínkou byla i v tomto případě nezápornost vah. Má hodnotu f = {0, 0513241; 0, 076317; 0, 116621; 0, 0361599; 0, 00136488}. Nejnižší možná hodnota k, pro kterou se ukázalo, že má zadaná úloha smysl, je 1, 45. Naopak od 2, 5-násobku ideálního řešení se již hodnoty účelových funkcí ani složení eficientního portfólia nemění. Pro takto vysokou hodnotu k se navíc hodnoty účelových funkcí, stejně jako složení eficientního portfólia (které sestává 22

vynos 0.012 0.010 0.008 0.006 0.004 0.002 0.000 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 k Obrázek 4.4: Eficientní hranice závislost výnosu na k-násobku ideálního řešení pouze ze základního aktiva small), shodují s výsledky získanými metodou lineární kombinace funkcí pro variantu přidělení vešekeré váhy pouze ztrátě. Podrobnější výsledky jsou uvedeny v tabulce 4.4 na straně 24. I pro minimalizaci problému (2.1) postupem s epsilonovým omezením jsme získali eficientní hranici vyjádřenou závislostí výnosu na k-násobku ideálního řešení, viz obrázek 4.4. 23

Tabulka 4.4: Epsilonové omezení složení eficientního portfólia a jeho charakteristiky 24

4.3 Cílové programování Posledním zde námi uváděným příkladem postupu spějícího k dosažení eficientního řešení úlohy (2.1) je postup cílového programování, viz (2.5). Všechny výpočty jsme prováděli pro L 1, L 2 a L normu. Nechť f = { r, σ, VaR 0,95, CVaR 0,95, h a, h s} je ideální řešení úlohy (2.1) získané samostatným řešením úlohy minimalizace jednotlivých účelových funkcí. V cílovém programování považujeme za optimální takové řešení, jehož vzdálenost od ideálního řešení je minimální. Pod vzdáleností těchto dvou řešení se myslí L p norma (2.5). Při našich výpočtech jsme pro každou volbu diagonální matice T počítali normu L 1, L 2 a L. Dále jsme stejně jako v předchozích případech uvažovali VaR i CVaR na hladině 95% a zákaz prodeje nakrátko, tedy x 0. Konkrétní formulace úlohy zní min x X ( r (x) + r(x)) t 1 + (σ (x) σ(x)) t 2 + (VaR 0,95(x) VaR 0,95 (x)) t 3 +(CVaR 0,95(x) CVaR 0,95 (x)) t 4 + (h a(x) h a (x)) t 5 + (h s(x) h s (x)) t 6 p, za podmínky N x i = 1, x i 0, i = 1,... N, i=1 kde uvažujeme p rovno 1, 2 a. Volené parametry t k matice T, které vyhovují podmínkám jsou prvky diagonální 6 t k = 1, t k 0, k = 1,... 6, a r(x) představuje očekávaný výnos portfólia daný (3.1). V našich výpočtech jsme postupně volili různé hodnoty prvků diagonální matice T a pro každou volbu matice T počítali L 1, L 2 a L normu. Prvky diagonální matice T odpovídají váhám, které chceme jednotlivým účelovým funkcím přiřadit. Při volbě diagonály matice T jsme tedy postupovali obdobně jako u přiřazování vah jednotlivým účelovým v případě lineární kombinace. Nejprve jsme přiřadili váhu jedna postupně všem prvkům diagonály, následně jsme váhu rozdělili rovnoměrně mezi dva prvky diagonály atd. Poslední námi uvažovaný tvar diagonální matice T odpovídal rovnoměrnému rozdělení vah mezi všechny diagonální prvky. Obecně neplatí, že se výsledky získané postupem lineární kombinace účelových funkcí shodují s výsledky vypočítanými pomocí cílového programování ve variantě počítající s L 1 normou diagonální matice T. V mnoha případech se však data získaná oběma metodami rovnají. Stejně jako v případě lineární kombinace účelových funkcí i u cílového programování platí, že pokud matice T má jednotkový prvek na libovolném místě diagonály (vyjma prvního místa, které odpovídá přiřazení jednotkové váhy ztrátě), eficientní portfólio sestává pouze ze základního aktiva large. Jedinou výjimku tvoří - stejně jako v postupu lineární kombinace 25

účelových funkcí - varianta, kdy se jednotkový prvek na diagonále matice T nachází na místě odpovídajícím přidělení veškeré váhy VaRu. V tomto případě dojde u všech L p norem k diverzifikaci eficientního portfólia, navíc složení tohoto portfólia je v případě lineární kombinace účelových funkcí jiné než v případě cílového programování. Z toho můžeme usoudit, že změnu výsledků získaných pomocí jedné a druhé metody způsobuje přidání VaR mezi ostatní účelové funkce. Nejvyšší výnos a zároveň nejvyšší směrodatnou odchylku přináší volba diagonání matice T, při které je první diagonální prvek roven jedné. Pro všechny tři zvolené L p normy vychází totožný výsledek, který se současně shoduje s nejvyšším výnosem (a tedy i směrodatnou odchylkou) portfólia zmíněným v případě lineární kombinace účelových funkcí i v postupu s epsilonovým omezením. Obecně nemůžeme tvrdit, že pro stejnou volbu diagonální matice T dává L 1 norma nižší výnos i směrodatnou odchylku než L 2 norma a ta zase nižší výnos než norma L. V některých případech tomu tak je, například pokud diagonála matice T je ve tvaru {1/6, 1/6, 1/6, 1/6, 1/6, 1/6} či ve tvaru {1/2, 1/2, 0, 0, 0, 0}. Naopak například při volbě diagonály {1/2, 0, 1/2, 0, 0, 0} dává nejvyšší hodnoty L p norma pro p = 1, pro {0, 1/3, 0, 1/3, 0, 1/3} žádnou vzestupnou tendenci výnosu se zvyšující se normou nepozorujeme. Námi napočítané výsledky jsou uvedeny v tabulkách 4.5-4.7 na stranách 27 až 29. Dále jsme se v našich výpočtech zaměřili na složení eficientního portfólia. Stejně jako u lineární kombinace účelových funkcí jsme došli k závěru, že množství dosud napočítaných dat není dostatečné, aby z něj napočítané výsledky vyjadřující výskyt akcie small či large v eficientních portfóliích měly vypovídající hodnotu. Vygenerovali jsme proto diskrétní mřížku s velikostí jednoho kroku 0, 1. Každý bod mřížky představuje jinou kombinaci vah, která se přiřazuje jednotlivým účelovým funkcím. V případě cílového programování tedy představuje každý bod mřížky volbu diagonály matice T. Následně jsme na mřížce napočítali hodnoty účelových funkcí a složení eficientních portfólií pro L 1, L 2 i L normu. Tyto výpočty pochopitelně obsahují i data napočítaná výše, která jsou shrnuta v tabulkách 4.5-4.7. Všechny výpočty spočítané na mřížce, a to pro L 1, L 2 i L normu, jsou uvedeny na přiloženém CD. Z těchto podrobnějších dat jsme jednoduchým výpočtem spočítali procentuální zastoupení eficientních portfólií sestávájícich pouze ze základního aktiva large, resp. pouze small. V případě L 1 normy jsme došli k obdobným závěrům jako u postupu lineární kombinace účelových funkcí, viz výše. Naopak výsledky pro L 2 a L normu dávají totožné výsledky, které se navíc od výsledků L 1 normy značně liší. Tento výsledek nás poněkud překvapil, proto jsme výpočet zopakovali i pro L 3 normu. I v tomto případě se výsledek shoduje s výsledky pro L 2 a L normu. V případě L 1 normy je četnost diverzifikace eficientního portfólia zhruba rovna jedné polovině, stejně jako četnost výsledku, kdy se eficientní portfólio skládá pouze z reprezentativního portfólia typu large. Naproti tomu v případě L 2 a L normy je zhruba devadesát procent eficientních portfólií diverzifikováno a necelých deset procent eficientních portfólií sestává pouze ze základního aktiva large. Konkrétní výsledky jsou uvedeny v tabulce 4.8. Následně jsme se zaměřili na grafické znázornění eficientních hranic, a to pro L 1, L 2 i L normu. Stejně jako v případě lineární kombinace účelových funkcí jsme nejprve vygenerovali sto různých portfólií pro každou dvojici účelových funkcí, přičemž jednou z dvojice byla pokaždé ztráta. Následně jsme vykreslili 26

Tabulka 4.5: L 1 norma složení eficientního portfólia a jeho charakteristiky 27

Tabulka 4.6: L 2 norma složení eficientního portfólia a jeho charakteristiky 28

Tabulka 4.7: L norma složení eficientního portfólia a jeho charakteristiky 29

Norma Podíl large Podíl small Podíl diverzifikace L 1 45,455% 0,299% 54,246% L 2 9,524% 0,033% 90,443% L 3 9,524% 0,033% 90,443% L 9,524% 0,033% 90,443% Tabulka 4.8: Podíl eficientních portfólií, která sestávají pouze ze základního aktiva large, resp. small, a podíl diverzifikovaných eficientních portfólií. 0.012 0.010 0.008 0.006 0.004 0.002 Vynos 0.000 Smerodatna odchylka 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 Obrázek 4.5: Eficientní hranice závislost výnosu na směrodatné odchylce. Modře L 1 norma, hnědě L 2 norma, růžově norma L. jednotlivé grafy vyjadřující závislost výnosu na jednotlivých mírách rizika, viz obrázky 4.5 až 4.7. Jediný problém nastal - obdobně jako u lineární kombinace účelových funkcí - v případě eficientní hranice představující závislost výnosu na VaRu, a to jak u L 1, L 2 tak i u L normy. Tento problém jsme opět vyřešili vyhlazením křivky proložením dat polynomem druhého stupně. Z obrázků je patrné, že se eficientní hranice rizikových měr pro jednolivé L p normy příliš neliší. V poslední fázi našich výpočtů jsme porovnávali, kolik procent eficientních portfólií vzhledem k jedné kombinaci účelových funkcí je eficientních i ke kombinaci jiné. Postupovali jsme pro všechny tři L p normy obdobně jako v případě lineární kombinace funkcí. Postupně jsme tedy procházeli všechny přípustné kombinace, porovnávali jsme závislost výnosu na jedné rizikové míře a závislost výnosu na druhé rizikové míře. V prvním kroku algoritmu jsme nejprve pro portfólio, které je eficientní v prvním případě, zjistili příslušný výnos, který toto portfólio dává. Ve druhém kroku algoritmu jsme porovnali, zda stejný výnos dává ve druhém případě totožné portfólio. Ve třetím kroku jsme zjišťovali, zda toto hledané portfólio leží na eficientní hranici. Tímto postupem jsme vzájemně po- 0.012 Vynos 0.012 Vynos 0.010 0.010 0.008 0.008 0.006 0.006 0.004 0.004 0.002 0.002 0.000 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 VaR 0.000 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 a) Závislost výnosu na VaR b) Závislost výnosu na CVaR Obrázek 4.6: Eficientní hranice. Modře L 1 norma, hnědě L 2 norma, růžově norma L. CVaR 30

Vynos 0.012 0.010 0.008 0.006 0.004 0.002 Vynos 0.012 0.010 0.008 0.006 0.004 0.002 0.000 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 Abs. odchylka 0.000 0.000 0.001 0.002 0.003 0.004 Semivariance a) Závislost výnosu na abs. odchylce b) Závislost výnosu na semivarianci Obrázek 4.7: Eficientní hranice. Modře L 1 norma, hnědě L 2 norma, růžově norma L. rovnali veškeré závislosti výnosu na jednotlivých mírách rizika. Opět se potvrdilo, že nejstriktnější mírou rizika je v tomto ohledu semivariance, pro kterou platí, že pokud portfólio leží na eficientní hranici vyjadřující závislost výnosu na semivarianci, pak zcela jistě leží i na eficientní hranici představující závislost výnosu na ostatních jednotlivých mírách rizika. V případě L normy se stejně striktně jeví i absolutní odchylka. Výsledky shrnuje tabulka 4.9. Směr. od. VaR CVaR Abs. od. Semi Směr. odchylka 100 33,3 33,3 50 33,3 VaR 60 100 40 60 60 CVaR 28,6 0 100 42,9 42,9 Abs. odchylka 100 33,3 100 100 100 Semivariance 100 100 100 100 100 L 1 norma Směr. od. VaR CVaR Abs. od. Semi Směr. odchylka 100 33,3 16,7 33,3 16,7 VaR 60 100 60 60 40 CVaR 28,6 14,3 100 71,4 28,6 Abs. odchylka 100 66,7 100 100 100 Semivariance 100 100 100 100 100 L 2 norma Směr. od. VaR CVaR Abs. od. Semi Směr. odchylka 100 33,3 33,3 33,3 50 VaR 40 100 60 40 20 CVaR 14,3 14,3 100 100 100 Abs. odchylka 100 100 100 100 100 Semivariance 100 100 100 100 100 L norma Tabulka 4.9: Význam řádků a sloupců totožný s tabulkou 4.3. 31