Analýza časových řad Klasický přísup k analýze ČŘ dekompozice časové řady - rozklad ČŘ na složky charakerizující různé druhy pohybů v ČŘ, keré umíme popsa a kvanifikova rend periodické kolísání cyklické T sezónní S krákodobé náhodná složka Trend + periodická složka = deerminisická složka Y
Základní modely časových řad: adiivní y Y T S muliplikaivní smíšený y Y. T. S. y T. S
Popis rendové složky vyrovnání ČŘ = nahrazení empirických hodno ČŘ řadou eoreických hodno, keré charakerizují vývoj ČŘ za předpokladu, že je očišěn od sezónní a náhodné složky klasický přísup - popisujeme rend řady analyickou funkcí (j. modelem s neměnnými paramery) adapivní přísup - paramery modelu se mění, j. reagují na měnící se charaker ČŘ (klouzavé průměry)
Analyické vyrovnání ČŘ ( popis rendu ČŘ analyickou funkcí) volba analyické funkce: grafický rozbor logický rozbor vývoje saisická krieria (MSE) Nejčasěji používané analyické funkce popisující rend Lineární Kvadraický (parabola) Exponenciální T a b S-křivka (nejznámější logisická funkce) 2 T a b c T T 1 ab k ab odvození paramerů MNČ k odvození paramerů nelze použí MNČ
základní meoda k odvození paramerů rendových funkcí lineárních v paramerech: Meoda nejmenších čverců (MNČ) Lineární funkce - přímka (přímkový rend) T 0 1 ˆT b0 b1 eoreická rendová přímka Výběrová rendová přímka i n Cílem je nají přímku, kerá nejlépe popisuje průběh závislosi, j. přímku, kerá je zjišěným hodnoám časové řady nejblíže ( y Tˆ ) e 0 ˆ 2 2 ( y T ) e min. i i i 1 i 1 n i n i i i 1 i 1 n
Lineární rend odhady paramerů rendové přímky (odvozeny MNČ) odhady paramerů rendové přímky b n y y 2 2 ( ) n a y b
Vypočíeje rovnici rendové přímky b měsíc y y 1 1 40 1 40 2 2 56 4 112 3 3 55 9 165 4 4 60 16 240 5 5 53 25 265 6 6 70 36 420 7 7 72 49 504 8 8 86 64 688 9 9 89 81 801 45 581 285 3235 n y y 2 2 ( ) n a y b 2 b T = 37,05 + 5,5 9.3265 45.581 9.285 45.45 5,5
Parabolický rend ds db 0 ds db ds db 2 1 T a b c 2 n 2 2 ( ) min 1 S y a b c... 0... 0... 0 sousava normálních rovnic y na b c 2 y a b c 2 3 y a b c 2 2 3 4
Odhady paramerů rendových funkcí nelineárních v paramerech Příklady: T = a b exponenciální funkce T = a b T 1 k ab mocninná funkce S-křivka (logisická funkce) nelze použí MNČ k odhadu paramerů rendové funkce nelineární v paramerech Posup odhadu paramerů: 1.Najdeme vhodný zv. počáeční odhad 2. en posupně zlepšujeme ieračními posupy ak dlouho, až dosaneme odhad s požadovanou přesnosí
Funkce nelineární v paramerech Exponenciální rend T = a b použijeme meodu linearizující ransformace log T = log a + log b MNČ odvodíme paramery log a, log b odlogarimováním získáme paramery a, b inerpreace: a = geomerický průměr hodno ČŘ b = průměrný koeficien růsu Modifikovaný exponenciální rend T = k + a 0 a 1 je časým modelem ekonomických jevů, keré vycházejí z omezených zdrojů nebo u nichž exisuje mez nasycení
S - křivky Logisický rend T 1 k ab - inflexní bod rozděluje křivku na dvě sejné čási Gomperzova křivka T ka b asymerická křivka, ěžišě je až za inflexním bodem
Posouzení vhodnosi analyické vyrovnávací křivky Používají se různé míry založené na základě reziduálních souču čverců n ˆ 2 QR ( y T ) SSE 1 MSE (Mean Squared Error) = sřední čvercová chyba MSE n 1 ( y Tˆ ) n p 2 Minimalizace
princip: Klouzavé průměry ČŘ vyrovnáváme posupně polynomickými křivkami definovanými pro kráké úseky řady (délky m), keré nazýváme "klouzavá čás". Empirické hodnoy ČŘ pak nahrazujeme průměry vypočíanými z příslušné klouzavé čási. délku klouzavé čási volíme: ČŘ ročních údajů m = 3,5,7,... ČŘ čvrleních údajů m = 4 ČŘ měsíčních údajů m = 12 ČŘ ýdenních údajů m = 7
Prosé klouzavé průměry klouzavou čás vyrovnáváme přímkou klouzavý průměr je vypočíán jako průměr z: p hodno, keré předcházejí vyrovnávané hodnoě y, vyrovnávané hodnoy y, p hodno, keré následují za hodnoou y. klouzavá čás má délku prosý klouzavý průměr yˆ k p y m 2p 1 i, i p y p y p 1... y... y p m m
Příklad: Vyrovnání ČŘ ročních údajů klouzavými průměry délky m = 3 a m = 5. Rok y 3-leé klouzavé úhrny 3-leé klouzavé průměry 5-leé klouzavé úhrny 5-leé klouzavé průměry 1 3 2 4 15 5 3 8 18 6 28 5,6 4 6 21 7 35 7,0 5 7 23 7,67 39 7,8 6 10 25 8,33 41 8,2 7 8 28 9,33 49 9,8 8 10 32 10,67 54 10,8 9 14 36 12 10 12
1 y [ y y y ] 3 1 y [1,1,1] y 3 3 k, 1 1 3 k, y 5 k, 1 [1,1,1,1,1] 5 y
cenrované klouzavé průměry používání v případě sudé klouzavé čási: m = 4, m =12) cenrovaný klouzavý průměr = průměr ze dvou za sebou jdoucích klouzavých průměrů Čvrleí y 4-členné klouz. úhrny 4-členné kl. průměry Cenrované kl.průměry I/1 3 I/2 4 I/3 8 5,75 I/4 6 7,00 II/1 7 7,75 II/2 10 8,25 II/3 8 II/4 10 21 25 31 31 35 5,25 6,25 7,75 7,75 8,75
1 y [ y 2 y 2 y 2 y y ] 8 1 y [1,2,2,2,1] y 8 4 k, 1 1 2 4 k,