Zadání 5. séie Temín odeslání: 15. dubna Úloha. 1... řetízek babičky Julie Na stole leží stříbný řetízek po babičce Julii. Část, kteá je dlouhá a, isí přes hanu stolu, zbytek délky b ještě leží na stole, jak je idět na ob. 1. Deska stolu je e ýšce H nad podlahou, še se nachází klidu. čase t = řetízek uolníme a ten začne klouzat dolů ze stolu. Za jak dlouho spadne celý řetízek na zem (měřeno od chíle, kdy se přestane dotýkat stolu)? Ob. A b H a Úloha.... spotující elektony H > a + b Ampémety na ob. jsou šechny shodné. Odpoy R x se také neliší sými hodnotami. chní ampémet ukazuje hodnotu poudu I 1 = 1 ma, střední poud I = 4 ma. Na spodní ampémet neidíme, neboť je umístěn ideální tmě. Bateie je plochá, tedy má napětí U = 4,5. Jaký poud I 3 teče spodním ampémetem a jaká je hodnota odpou R x? Úloha. 3... ucpaná oua tubce čtecoého půřezu S (iz ob. 3) je umístěn hanol se stěnami skloněnými o úhly α, β. Na obou stanách hanolu je plyn o tlaku p. Kteým směem a s jakým zychlením se začne hanol pohyboat, jestliže byl půodně klidu? Ob. B A Ob. C I 1 I I 3 A A U R x R x R x p α β p Úloha. 4... baon Pášil Na ledoou plochu ybníka o teplotě o C dopadne ozehřátá děloá koule o poloměu R, měné tepelné kapacitě c k a teplotě 1 o C. Jak hluboko se koule ponoří do ledu, jestliže měná tepelná kapacita ledu je c l? Předpokládáme, že se eškeé teplo yužije na taení ledu. Stana 1
Úloha. 5... otující kyadýlka Předstate si, že máte na tyčce připeněno pomocí dou záěsů několik kuliček tak, že se mohou pohyboat po kužnici o poloměu l n (e sislé oině), kde n je pořadoé číslo kuličky. Potom celou soustau oztočíme podél sislé osy úhloou ychlostí ω a nepatně do kuliček šťouchneme (aby nebyly přímo na ose otace). Co se děje s jednotliými kuličkami a jak bude ypadat pohled z boku na tuto otující soustau? ω Ob. D l n Úloha. 6... expeimentální úloha z mechu a kapadí Křemílek a ochomůka mají poblém. Upostřed zimního spánku je pobudil kapající odood, nenechal je usnout a nutil je přemýšlet na téma kapající odoody současném sětě. Byl tak dotěný, že pokud neumřeli, přemýšlejí dodnes. Zkuste doma objeit nějaký kapající odood, zamyslete se a poté změřte, jaké pochoé napětí ykazuje oda kapající z kohoutku. Soutěž o Logo FKS Touto séií uzaíáme soutěž o logo našeho semináře, yhlášenou duhé séii. Spolu s ýsledky soutěže dostanete také bodoé ohodnocení ašich pací, příslušný sloupeček bodů snadno naleznete pořadí po třetí séii. Abychom byli hodnocení pokud možno objektiní, bodoalo aše náhy asi deset oganizátoů a ýsledné počty bodů jsou pak pouhým aitmetickým půměem. Mnohé z ašich náhů byly elice inspiující, bohužel gafické zpacoání nebylo ždy yhoující (mám tím na mysli, že obázky byly příliš kontastní, obsahoali mnoho podobností apod.). Těžko se mi ybíají ty nejzajímaější obázky, poštoní obálku FKS padající do čené díy či máčka Fyzíka jste měli možnost idět minulé séii. Z noě došlých náhů se asi nejíce líbila zducholoď FKS ubíající se e fyzikální dálay aška Daliboa. Nyní šak již k definitiním ýsledkům soutěže. ítězi se stáají da řešitelé; Sataa yialoá sým náhem nejlépe splnila naše předstay o tom, jak by oficiální znak měl ypadat, od této chíle bude FKS poázet písmeno S důěně objímající písmena F a K, a aby si nás nikdo nepletl s Batislaským seminářem, je še kounoáno UK. Matouš Jiák si získal sdce oganizátoů bezelstným, možná až tochu nainím pohledem sého miláčka pteodaktyla, jenž se od této chíle stáá maskotem FKS. Počínaje touto séií nás bude Matoušů pteodaktyl poázet uáděje jednotlié části séie. ítězné náhy si můžete pohlédnout na úodní staně této séie šem účastníkům soutěže moc děkujeme, snad jste se při keslení obázků baili tak, jako my při jejich pohlížení. Halef Stana
Řešení 3. séie Úloha III. 1... yhlodaný hanol (maximum 5 bodů, řešilo 119 studentů) Čím začít? Snad tím, že asi čttina lidí nepochopila poblém a řešila, kdy se malý kád μ uede do pohybu tím, že do něj naazí kád m. Jenže o to ůbec nešlo, poč by tam jinak byla podmínka o pohybu hanolu M bez tření? Dtiá ětšina to počítala pomocí sil. Pní kok: m klouže dolů a působí na hanol M e odooném směu silou F: F = mgsinα cosα. (1) Tato síla působí na M a μ, takže jejich zychlení je F a = 1 M + μ, () a pokud půmět tohoto zcadlení do oiny pohybu μ je ětší než půmět tíhy μ tamtéž, čili Fs = μ( a1 cosα gsin α) > ; (3) potom μ stoupá. Sloučením zoců (1),(),(3) dostaneme podmínku mcos α > M + μ, (4) kteá je ŠPATNĚ. Síla F totiž působí nejen na M a μ, ale je třeba zít do úahy i hmotu m a to s faktoem sin α. Poč? Tíhu mg ozložíme do směu kolmého k podložce, tato složka je ykompenzoána, a do směu onoběžného s oinou: F = mgsinα. Tuto sílu ozložíme opět do dou směů: odooného a sislého, tím dostaneme sílu (1). odooná část síly uychluje hanol M, zatímco sislá část má stejný účinek, jako by na hanolu M leželo přidané záaží o tíze msin α. Tedy F a =, M + μ + msin α F = μ s ( mgsin α cos α ( M + μ + msin α ) gsin α ) > ; m cos α > M + μ, kde cosα = cos α sin α. Aby paá stana mohla být ětší než stana leá, musí být ětší než, poto cosα > α < 45, po nezáponé hodnoty hmotností. Jan Mocek Úloha III.... dálkoý půzkum (maximum 6 bodů, řešilo 74 studentů) Chtěl bych se omluit za poněkud chybné číselné údaje zadání. Spáně mělo být t 1 = 17,156 4 s, t = 17,17 5 s, f 1 = 99,977 398 94 MHz, f = 99,9774 95 MHz. Nyní již k samotnému řešení. Abychom si nekomplikoali žiot, předpokládejme, že se Meku pohybuje ychlostí daleko menší než je ychlost sětla, a poto se jeho poloha během měření příliš nemění. Radioý signál se odáží pouze od přiácené polokoule, časoá podlea mezi začátkem a koncem ozěny bude tedy /c, takže c = ( t t ). 1 Stana 3
zdálenost středu Mekuu ypočteme jednoduše ze ztahu c x = t, potože za čas t, uazí papsek dáhu dakát. Signály o fekencích f 1 a f jsou odazy od dou potilehlých bodů na oníku Mekuu, přesně na okaji pozooatelné polokoule. Z bodu A, kteý se liem otace zdaluje ještě íce než střed, pochází signál f 1, od bodu B, kteý se zdaluje nejpomaleji, se odáží f. K Doppleou jeu dojde ždy dakát: a) e ztahu ysílač-meku. Pozooatel stojící bodě A na Mekuu by egistoal fekenci c = f ω 1 f, c b) e ztahu Meku-přijímač. soustaě spojené s bodem A má odažený signál fekenci f 1, soustaě spojené s obseatoří je to šak c f1 = f1. c + + ω Celkem tedy dostááme c f1 = ω c f, f = + ω f. c+ + ω c+ ω Potože je A c a ω A c, můžeme po zanedbání přibližně psát f1 = 1 ω f, = 1 + ω. f c c f c c Kombinacemi těchto onic dojdeme ke ztahům c f + f = 1 1 f f1 1 4π f ω = T = ( t t1) f f t t f f 1 1 Číselně (použijeme-li spáné zadání): = 44 km, x = 1,64.1 11 m = 1,73 AU, = 33,875 km.s -1, ω = 1,3.1 6 s 1, T = 5,1.1 6 s = 59 dní. Doba otace Mekuu tedy není 88 dní, jak se astonomoé dříe domníali, ale 59 dní. Nejpřijatelnější hypotéza ázané otace tedy padla. Po zeřejnění adaoých měření dokázal italský fyzik Giusseppe Colombo, že se u planety s hodně ýstřednou dahou může pomě oběžné doby a otace ustálit na hodnotě :3. Tím byla yřešena otázka pohybu této neobyklé planety. Michal Fabinge Úloha III. 3... Pinocchioa čepička (maximum 4 body, řešilo 161 studentů) Na úod si objasníme několik faktů a zaedeme společné značení. ýok dokonale hladká tomto případě znamená, že tření mezi čepičkou a hlaou je nuloé, nebo se alespoň k nule blíží, poto dalších ýpočtech nebudeme tření uažoat. Dále je chybný názo, že čepice je kužel Ob. E ( je tau kužele neříká, že jde o kužel); jde o plášť kužele. a) b) Základní předpoklad úspěchu je zjistit, jak bude mít Pinocchio čepici nasazenou. Buď způsobem a) nebo b) na ob. 5. případě a) musí být s = C > a = A (iz ob. 6), s =, a = cosα tgα. Stana 4
Po dosazení s = 3, 9cm,, a = 5,98 cm s < a. Z ýpočtu idíme, že čepička ze zadání je na ob. 5 b). Je jasné, že těžiště čepičky se bude nacházet někde mezi podstaou a cholem kužele. Dále je zřejmé, že těžiště bude ždy nad osou otáčení, našem případě středem hlaičky, a čepička spadne. nejlepším případě ji lze postait do polohy labilní onoáhy a spadne taky. Ob. F α A S B s T C D C D Po nenechace ozebeeme i případ a). Nejpe učíme, kde má čepička těžiště, a poté jaké poloze se těžiště nachází ůči středu koule hlay. Těžiště lze učit: a) integací. Potože plášť kužele je symetický podle ýšky, použijeme zoce po ýpočet pochu otační plochy S = y + y 1 π d x, kde yx ( ) = xtgα je křika, jejíž otací získáme otační plochu, a dosadíme do x T xd m = = d m xσπxtgα 1+ tg α d x σπxtgα 1+ tg α d x = σπ tgα 1+ tg α x d x σπ tgα 1+ tg α xd x =. = 3 x 3 x 1 3 = 3 = 1 3, kde σ je plošná hustota kužele a dm = σ ds. b) pohledem. Po ty, co neumějí integoat, je zde ob. 7. Plášť kužele si ozdělíme na elmi malé onoamenné tojúhelníky, u kteých hlaní ýška splýá s těžnicí, a poto je u každého z nich těžiště e / 3 od cholu. Poněadž to je těleso symetické, bude těžiště e / 3 ýšky pláště kužele. Když už známe těžiště, musíme ještě zjistit délku S. S = = sinα 3 cm (platí pouze po s a) Ob. G Stana 5
T = 3. Je-li S > T, můžeme čepičku optimálním případě dostat pouze do polohy labilní onoáhy. Je-li S = T, čepička se bude nacházet poloze olné onoáhy, česky: bude poloze onoážné indifeentní. Po S < T bude čepice poloze stabilní a nespadne. Záěem se omlouám, že se e fyzikálním semináři objeila matematická úloha, nicméně doufám, že ás takoé... neodadí. Macel Fuciman Úloha III. 4... lednička (maximum 3 body, řešilo 163 studentů) Místnost je tepelně izoloána a do místnosti je dodáána enegie ze zásuky teplota místnosti se zýší. Pozo: Někteří z ás psali: Kdyby lednička byla ideální, teplota místnosti by se nezměnila. Tato ideální lednička by šak poušoala. temodynamický zákon: teplo samoolně přechází z tělesa teplejšího na těleso studenější. Pokud chcete, aby se teplo předáalo z tělesa studenějšího na těleso teplejší, musíte dodat páci, a tuto páci nemůžete zanedbat ani ideálním případě. Poto se ledničce nachází onen kompeso to je ta ěc, kteá dodáá páci, aby teplo ze studenějšího tělesa přešlo na teplejší. Jáa Hamle Úloha III. 5... odní kyadlo (maximum 5 bodů, řešilo 138 studentů) Těleso se přeátí, pokud bude labilní onoážné poloze. Je k tomu sice nutná jistá, byť malá, nější síla, ale ta znikne třeba už tím, že led nemzne paidelně (ne nutně musí foukat ít, jak uedl jistý řešitel). Jak oste při mznutí objem ledu, oste i ýška těžiště ledoého kádu. Zřejmě nejyšší je po zamznutí celého objemu ody. Těžiště pak je poloině ýšky ledoého kádu. íme, že hmotnost ody je obou skupenstích stejná. Tedy můžeme psát: ρ ρ = ρ LL L = (z tabulek ρ L = 917 kg.m 3, ρ = 998 kg.m 3 ) ρ L a) Led se může ozpínat pouze nahou, takže ytoří kád o podstaě a a a ýšce h. Těžiště bude e ýšce h. Pokud zaěsíme těleso níže, bude labilní onoážné poloze. Pokud zaěsíme těleso e ýšce přesně h, bude teoeticky poloze indifeentní, ašak hmotnost nádoby je sice zanedbatelná, leč nenuloá, takže to bude e skutečnosti stejně poloha labilní. Čili maximální ýška záěsu, kde se ještě nádoba přeátí, je h, ρ 3 ρ a h = a h = a = 54, a. ρ L ρ L b) Led se ozpíná do šech stan, ale ýška těžiště oste, neboť led se po stěnách klouže. Takže platí totéž co případě a) s tím ozdílem, že ýsledné ledoé těleso bude kychle s ozměy h h h, 3 ρ 3 1 ρ ( h) = a h = 3 a = 51, a. ρ ρ L L Schéma ledničky Hězdík Mažák Čepadlo Redukční entil ýměník tepla Stana 6
Komentář k řešením: Napostá ětšina řešení byla (skoo) úplně spáná. Pokud místo poměu hustot si řešitel našel tabulkách hodnotu jakési oztažnosti, ětšinou značně nepřesné, sthnul jsem mu bod. Pokud řešitel uedl něco o tom, že bez nější síly se těleso z labilní onoážné polohy neychýlí, dostal symbolický bonus půl bodu, potože má koneckonců naposto ideálních podmínkách padu; bohužel skoo nikoho nenapadlo, že led eálu mzne nepaidelně, takže ta nější síla přijde zenitř. yšší bonusy pak byly za ýpočty bez zanedbání hmotnosti zduchu (oliní třetí desetinné místo ýsledku) a hmotnosti nádoby. Nejčastější chybou bylo užití zoce po teplotní objemoou oztažnost látek, kde se hooří o změně objemu záislosti na změně teploty, což je jaksi nesmysl, neboť při C se teplota nemění, kdežto objem se poněkud zětší. Daid Stanoský Úloha III. 6... gaitační zychlení (maximum 8 bodů, řešilo 14 studentů) Gaitační zychlení lze měřit mnoha způsoby, jak si mnozí z ás zkusili této expeimentální úloze. Naskytly se i takoé ýjimky, kteé nás dosloa zahltily měřeními, čítajíce deset i íce ůzných měření. Mezi nejčastější měření, kteé jste poáděli, patří dobře známé měření olného pádu, ůzných kyadel, alení po nakloněné oině, mechanický osciláto, ytékání kapaliny z tubice a mnoho jiných. Nyní už ás nebudu unaoat a átím se k měřením. Tochu ozebeu někteé metody měření a yjádřím se i k nejčastějším chybám, kteých jste se dopouštěli. 1. olný pád Metoda olného pádu je nejčastější metodou u ás se yskytující. Tato úloha je totiž technicky, fyzicky i jinak nenáočná. Stačí k ní nějaký ten předmět (neozbitný či jinak nedefomoatelný, to po ícenásobné měření), stopky a nějaká ta ýška, z kteé pokud možno hozený předmět nikomu nespadne na hlau. Z již klasického zoce po olný pád si yjádříme gaitační zychlení: g = s a dále, jak je z tohoto ztahu idět, t měříme čas t a dáhu (ýšku) s.. Kyadla a) Matematické kyadlo Rozumíme jím hmotný bod hmotnosti m upeněný na konci nehmotného záěsu délky l. Pokud se omezíme jen na malé ýchylky (asi do 5 ) lze ze zoce po dobu kmitu T učit místní tíhoé zychlení: g = 4 π l. T b) Reezní kyadlo Toto kyadlo kýá se stejnou dobou kmitu kolem dou onoběžných os ležících oině, kteá pochází těžištěm kyadla. Tyto osy mohou být buď symeticky položeny zhledem k těžišti nebo zdáleny o edukoanou délku kyadla l. Z doby kmitu po úpaě dostaneme: g = 4 π l. Zbýá tedy nalézt kyadle obě osy. Leží-li T tyto osy oině pocházející těžištěm tak, že jsou ůči němu nesymeticky ozložené, pak zdálenost mezi nimi je páě námi hledaná edukoaná délka. 3. Mechanický osciláto Jestliže těleso zaěsíme na pužinu, zaujme osciláto onoážnou polohu, e kteé je onoáze tíhoá síla (F G = mg) a síla pužnosti (F p = kδl, kde Δl je podloužení pužiny). Při okamžité ýchylce y z onoážné polohy působí na osciláto ýsledná Stana 7
síla F směřující do onoážné polohy. elikost této síly je přímo úměná elikosti okamžité ýchylky a po její souřadnici na ose y platí: F = ky.. (*) Podle. pohyboého zákona platí: ma = ky, přičemž a = ω y,, ω = k m, a tedy m po dobu T kmitání máme T = π, ze kteé učíme tuhost pužiny. k Dosadíme do (*) a dostaneme po tíhoé zychlení g = 4 π y. (1) T 4. Rychlost kapaliny ytékající otoem nádobě blízkosti otou, kteý je hloubce h pod olnou hladinou, se mění tlakoá enegie kapaliny EP = p na n kinetickou enegii E K = 1 ρ. Tzn. EK = EP, a tedy po ychlost kapaliny dostááme = gh. Z onice kontinuity plyne, že ychlost je ona objemu kapaliny yteklé půřezem S za čas t. Tedy =. Poonáním obou St ychlostí obdžíme ztah g =. S th 5. Nakloněná oina Těleso má e ýšce h potenciální enegii E p = mgh, liem tíhoé síly se bude pohyboat dolů. Jeho kinetická enegie se bude onat součtu tanslační a otační enegie. EKT = 1 m a E J KR = 1 Po kouli: J = m, po álec: J = 1 m. 5 Ze zákona zachoání enegie dostaneme po kouli g = 7 1h, g = 3 4h, kde J je moment setačnosti. po álec. zooé zpacoání úlohy: MECHANICKÝ OSCILÁTOR Teoie: iz ýše. Místní tíhoé zychlení učíme tedy z doby kmitu tělesa a to tak, že těleso zaěsíme na pužinu, změříme y a pak těleso ozkmitáme. ýsledky měření: Měření jsem poáděla pouze po jednu pužinu (to abyste se neunudili opakoáním). Naměřené hodnoty jsem zpacoala do následující tabulky: Tabulka A Měření tuhosti pužin a tíhoého zychlení Měření m [g] l [cm] N T [s] y [cm] k [Nm 1 ] 1 5 43.7 5.6 7.4 6.77 1 36.4 1 7.8 14.5 6.76 3 1 33.88 1 8. 17.6 6.9 4 15 9.41 1 9. 1.53 6.83 5.4 1 1.7 8.54 6.87 Stana 8
ýsledky jsem statisticky zpacoala. Tuhost pužiny je: k = (6,83 ±,3) Nm 1 Tíhoé zychlení jsem ypočetla ze ztahu (1): g = (1, ±, ) ms, g je uedeno jako aitmetický půmě měření spolu s paděpodobnou chybou. Relatiní chyba je ρ g =. Diskuse: Hodnotu tuhosti pužiny jsem učila metodou statistickou. Hodnota tíhoého zychlení je učena s chybou, kteá byla způsobena nepřesností při měření doby kmitu. Po zmenšení chyby měření by bylo zapotřebí změřit čas ětšího počtu kmitů. To se ošem nepodařilo, neboť k tomu by bylo třeba užít ětších hmotností. Ošem pužina po zaěšení ětšího počtu záaží začala ykonáat nejen kmity etikální, ale i hoizontální, což se pojeilo chybě měření, ale i e ýsledku. Nepřesnost měření byla způsobena také tím, že pužina byla částečně defomoána. Záě: Tuhost pužiny jsem učila metodou statistickou: k = (6,83 ±,3) Nm 1 Po tuto pužinu jsem učila tíhoé zychlení: g = (1, ±,) ms Liteatua: [1] Slaínská: Fyzikální paktikum 1, SPN Paha 1989 [] Bož a kol.: Základy fyzikálního měření, SPN Paha 1967 Nejčastější chyby, kteých jste se dopouštěli: 1. Píšete ýsledky i meziýsledky na stašnou spoustu desetinných míst. Stačí tolik desetinných míst, na kolik je 1. platná cifa chyby. Př.: g = (9,8 ±,1) ms.. Pokud jste uáděli chyby, elmi často jste zapomínali uádět chyby ýsledku. Př.: uedená chyba T a zapomenutá g. 3. Skoo šichni jste uáděli někteé eličiny (ýška, délka... ), aniž by jste je změřili ícekát a zniklou chybu započítali do chyby ýsledné. 4. Nechci ás už unaoat šelijakýma zoečkama na ýpočet chyb, myslím, že jich bylo napsáno až až předchozích séiích, ale někteří z ás se ještě nenaučili chyby počítat. 5. Spoustě z ás chyběla teoie, uedení zoečků bez jediného sloa ysětlení není ono. Můžete sice namítnout, že se jedná o známé ztahy, ale copak máme ědět, že jste použili spáný ztah na spánou situaci (zde se jedná předeším o kyadla). 6. Mnozí z ás se také ani neunaoali s tím, aby uedené ýsledky a chyby podiskutoali. Je třeba ědět poč, jak, nač a za jakých podmínek bylo docíleno takoých ýsledků, chyb. A nakonec 7. Úpaa! Nejde o písmo či paopisné chyby, každý jsme nějaký, ale někteří z ás by se měli zamyslet nad tím, jak jeho řešení ypadá. ýsledky na othaných cáech papíu, stánka íce čená od šktání a šelijak nepřehledné stánky opadu nepůsobí dobým dojmem. Také se objeili tací, kteří chání naše lesy a posílají řešení na minipapících, to opadu není nutné, sice je to chályhodné, ale šetřit se dá i jinak. Ale abych jen nepsala to nepříjemné, musím se zmínit, že mnozí z ás příjemně překapili, ba až šokoali a pokusili se přiést opaoatele na pokaj šílenstí a ty, kteří už tam byli na... A teď k bodoání. Body byly ozděleny podle množstí naměřených géček. Přičemž kandidáti na učitý ozsah bodů byli dále hodnoceni dle způsobu zpacoání, zajímaosti měření a podání, podle toho, zda uedli chyby a tak dále a tak dále. Ještě na záě malý dluh. Někteří z ás se mě ptali, co že je to ten padostoj. Kdo í, nečte, kdo neí, ten ať.... 1. 1. Stana 9
P 1 Padostoje slouží k yšetřoání onoměně zychleného pohybu tíhoém poli zemském. U Atwoodoa padostoje je onoměně zychlený pohyb použitím kladky podstatně zpomalen poti olnému pádu. Na ob. 8 je idět, že se skládá z ysokého stojanu S, na jehož cholu je upeněna kladka K, přes kteou jde lákno nesoucí na koncích dě záaží Z stejné hmoty m. Po obou stanách Ob. H Atwoodů padostoj K stojanu opatřeného měřítkem jsou posuné plošinky. Jedna plošinka P 1 býá opatřena elektomagnetem, kteý umožňuje přidžet jedno záaží a e hodný čas je uolnit. Na duhé staně stojanu je komě plné Z plošinky P i plošinka P 3 s kuhoým otoem, kteým pojde záaží, ale nepojde příažek o hmotě P 3 m 1, kteý přikládáme na jedno z obou záaží, abychom dosáhli zychlení, po kteé plyne z Newtonoa zákona m S 1 a = g, jestliže m+ m1 neuažujeme tření a kladka i lákno jsou nehmotné. Z Dále změříme odpoídající doby pádu záaží. Po a z s onoměně zychleného pohybu platí: a = t P A to už je še přátelé. Budka Seiál na pokačoání Řešení úlohy S. 3 (maximum 3 body, řešilo 95 studentů) Možná byla poslední úloha příliš úahoá, ošem myšlenkoé postupy tohoto duhu jsou e fyzice časté a mnohdy po yřešení poblému klíčoé. Při odození tlaku na stěnu nádoby jsme uažoali objem, kteý byl učen plochou S (e stěně nádoby) a hanou x dt. Chceme-li počítat náazy molekul na stěnu nádoby, musíme e sých úahách zabánit molekulám, aby se sážely mezi sebou. Z definice střední olné dáhy molekuly íme, že molekula naazí na jinou půměně po uběhnutí dáhy l. Hana x dt objemu tedy musí být menší než l. Časoý okamžik dt, e kteém děj uažujeme, musíme tedy olit podle elace l d t <. Stana 1 x Ještě si doolím napsat dodatek k definici střední olné dáhy molekuly l. Střední olnou dáha molekul plynu λ lze pomocí ní definoat takto: z jsme ododili ze ztahu z = σ N, (*) kde je střední ychlost molekuly ůči ostatním, kteé uažujeme klidu. Budemeli uažoat i pohyb ostatních molekul, kteé budou mít půměu také ychlosti,
potom se budou dě molekuly ůči sobě pohyboat ychlostí. Situace je načtnuta na ob. 9. yjádříme to kosinoou ětou = cosα, po střední hodnotu potom = cos α, přičemž cosα = (kosinus dáá hodnoty 1 až 1 obou směech shodným způsobem). Můžeme psát: = a dosadit místo do (*): z = σ N. Místo l = z píšeme λ = = l z. Koeficienty tohoto duhu úahách ošem kinetické teoii nemají takoou důležitost. Pozn.: omlouám se za chybu e ztahu (3) části seiálu e třetí séii (nebylo uedeno N ). další kapitole seiálu se budeme zabýat tanspoty částic plynech difúzí. Předpokládejme tubici o půřezu S umístěnou podélně e směu osy x. Nechť hustota částic N záislosti na souřadnici x není konstantní. Toho dosáhneme např. tím, že umístíme do tubice přepážku a oddělíme tak da stejné plyny o ůzných hodnotách staoých eličin (N = p/kt; k = 1,38.1 3 J.K 1 je Boltzmannoa konstanta, T temodynamická teplota, p tlak plynu). Na obě stany od místa x, kde chceme zjišťoat podmínky, učíme e zdálenosti l hodnoty funkce N ( x), N + a N (iz( ob. 1). Počet molekul, kteé pojdou za čas dt plochou S zlea dopaa je oen n x, t = N = N S( d) t = N x l, t S( d) t + ( ) x π ( ) (potože x = π, což lze odůodnit tak, že půmět x takoých t ychlostí do osy x, kde Ob. J x má smě zlea dopaa je x x = cosγ =. Střední x hodnota cosγ na intealu ( π ; π ) je S +, což lze zjistit N N π integoáním). Obdobně počet molekul, kteé pojdou zpaa x l x + l x dolea: n ( x, t) = π N ( x + l, t) S( d t). Hustota difúzního toku i je ona počtu částic, kteé pojdou plochou S zlea dopaa za jednotkoý čas: n+ n i = = ( N ( x + l, t ) N ( x l, t )). Sd t π Rozdíl hustot částic N + a N lze l yjádřit spádem (gadientem) této hustoty bodě x po p Δx = l (, ) d N ( x, t) ΔN x t N( x + l, t) N( x l, t) = l = l. Δx d x Ob. I Celkoě tedy: i D N = d, kde D= 4l π. d x Přesnější ýpočty, kde je započteno i např. siloé působení mezi molekulami, edly k ýsledku d =, 599l. α Stana 11
Úloha S. 5 Q d T e ztahu po tepelnou odiost q = = λ u tyče spádu teploty d T Sd t d x d x a půřezu S a se pokuste najít yjádření po konstantu λ, pokud tyčí pojde za čas dt teplo Q. Nápoěda: střední enegii jedné molekuly lze yjádřit jako u = m c T. Stana 1 Naše adesa: FKS, KTF MFF UK
Holešoičkách, 18 Paha Stana 13