Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14

Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14

Co je to diferenciální rovnice? Definice: Diferenciální rovnice je vztah mezi hledanou funkcí y(x), jejími derivacemi y (x), y (x), y (x),... a nezávisle proměnnou x. Např: y x y 2 y y = x 2 sinx Definice: Řešením diferenciální rovnice je funkce y(x), x I (vždy interval!) taková, že x I splňuje danou DR. Definice: obecné řešení... množina všech řešení diferenciální rovnice partikulární řešení... jedno konkrétní řešení integrální křivka... graf partikulárního řešení V aplikacích DR... nejčastěji úloha nalézt partikulární řešení, které pro danou hodnotu x 0 nabývá předepsanou hodnotu y 0, tj. řešení splňující počáteční podmínku y(x 0 ) = y 0. 2/14

3/14 Typy diferenciálních rovnic V této kapitole se naučíme řešit dif. rovnice 2 typů: 1 Separovatelné DR y = f (x) g(y) 2 Lineární DR 1. řádu a 0 (x)y + a 1 (x)y = b 1 (x), a 0 (x) 0 resp. y + a(x)y = b(x) Poznámka: Řád DR je řád nejvyšší derivace vyskytující se v rovnici.

Rovnice typu y = f (x) g(y). 4/14 Věta: (O existenci a jednoznačnosti) ( bez DK) Uvažujme rovnici y = f (x) g(y). Je-li f (x) spojitá na intervalu (a, b) a g(y) spojitá na intervalu (c, d), pak každým bodem obdélníku O = (a, b) (c, d) prochází právě jedna integrální křivka. Tj. pro každý bod [x 0, y 0 ] O existuje právě jedno řešení rovnice y = f (x) g(y) splňující počáteční podmínku y(x 0 ) = y 0. Geometrický význam: V každém bodě [x, y] obdélníku O nakreslíme krátkou úsečku o směrnici k = f (x) g(y), tím obdržíme směrové pole. Úsečka je tečná k integrální křivce procházející bodem [x, y]. Příklad: y = x y na obdélníku O = (, ) (0, )

5/14 Metoda separace proměnných pro y = f (x) g(y). 1 Najdeme všechny body y 0, pro které g(y 0 ) = 0. Potom y y 0 je konstantní řešení DR y = f (x) g(y). 2 dy dx = f (x)g(y), 3 Separujeme proměnné: dy g(y) = f (x)dx 4 dy g(y) = f (x)dx 5 Spočteme primitivní funkce: G(y) + C 1 = F(x) + C 2, G(y) = F(x) + C, kde C = C 2 C 2. kde C 1, C 2 R lib. konstanty 6 Vyjádříme y: y(x) = G 1 (F(x) + C), kde x I.

Metoda separace proměnných - shrnutí 6/14 Věta: Necht je funkce f (x) spojitá na intervalu (a, b) a funkce g(y) spojitá na intervalu (c, d). Potom: 1 Je-li g(y 0 ) = 0 pro nějaké y 0 (c, d), je konstantní funkce y(x) y 0 definované na (a, b) řešením rovnice y = f (x) g(y). 2 Je-li g(y) 0 pro každé y (c, d), pak obecné řešení rovnice y = f (x) g(y) na obdélníku (a, b) (c, d) má tvar y(x) = G 1 (F(x) + C), kde F(x) = f (x)dx a G(y) = 1 g(y) dy.

Aplikační úloha na separaci proměnných 7/14 Příklad: V nádrži je 100 l roztoku 10 kg soli ve vodě. Do nádrže přitéká čistá voda rychlostí 5 l/s. Z nádrže odtéká vznikající roztok rychlostí 5 l/s. Předpokládáme, že roztok je v nádrži ideálně promíchán. a) Jaké množství soli bude v nádrži v čase t? b) Kdy klesne množství soli v nádrži na polovinu? Výsledek: a) m(t) = 10 e t 20 b) t = 20 ln 2 =. 13, 9 s.

Lineární dif. rovnice 1. řádu 8/14 Předpokládejme, že funkce a 0 (x), a 1 (x), b 1 (x), a(x), b(x) jsou spojité na intervalu I = (α, β) Definice: Lineární diferenciální rovnice 1. řádu je DR tvaru a 0 (x)y + a 1 (x)y = b 1 (x), a 0 (x) 0 x I nebo y + a(x)y = b(x) y + a(x)y = 0 se nazývá homogenní lineární diferenciální rovnice (HLDR) 1. řádu. y + a(x)y = b(x), x I : b(x) 0 se nazývá nehomogenní lineární diferenciální rovnicí (NLDR) 1. řádu.

Věta o existenci a jednoznačnosti pro LDR 1. řádu 9/14 Věta: ( bez DK) Uvažujme rovnici y + a(x)y = b(x). Jsou-li funkce a(x), b(x) spojité na intervalu I = (a, b), pak pro každý bod [x 0, y 0 ] O = I R existuje právě jedno řešení rovnice y + a(x)y = b(x) splňující počáteční podmínku y(x 0 ) = y 0. Pozn. 1: Totéž pro a 0 (x)y + a 1 (x)y = b 1 (x), a 0 (x) 0 x I. Pozn. 2: Definičním oborem řešení je vždy celý interval I.

Struktura řešení LDR 10/14 Věta: Obecné řešení NLDR 1. řádu je ve tvaru y + a(x)y = b(x) y = y H + y p kde y H jsou všechna řešení HLDR a y p je jedno libovolné partikulární řešení NLDR. Věta: Množina všech řešení HLDR 1. řádu má tvar kde A(x) = y + a(x)y = 0 y H (x) = C e A(x), C R, a(x)dx. Pozn.: Vzorec pro y H se není třeba učit zpaměti.

11/14 Řešení NLDR - metoda variace konstanty. Uvažujme NLDR y + a(x)y = b(x), x I. 1 Řešíme HLDR y + a(x)y = 0 y H vyjde vždy ve tvaru: y H (x) = C ϕ(x), C R ( možno použít vzorec y H (x) = C e A(x) ) 2 Variace konstanty = hledáme y p ve tvaru y p (x) = c(x) ϕ(x), kde c(x) je nějaká funkce definovaná na I. Dosadíme y p do NLDR, dostaneme rovnici pro c (x) c (x)ϕ(x) = b(x). Z této rovnice vypočteme c (x) a integrací vypočteme c(x). Všechna řešení NLDR tedy jsou: y = y p + y H = C ϕ(x) + c(x) ϕ(x), C R

Variace konstanty - shrnutí. 12/14 Věta: Necht je dána NLDR y + a(x)y = b(x) (resp. a 0 (x)y + a 1 (x)y = b 1 (x), a 0 (x) 0 x I) a necht obecné řešení přiřazené HLDR má tvar Splňuje-li funkce c(x) rovnici je funkce c (x)ϕ(x) = b(x) řešením uvažované NLDR. y H (x) = C ϕ(x). (resp. c (x)ϕ(x) = b 1(x) a 0 (x) ) y p (x) = c(x)ϕ(x)

13/14 Aplikační úloha na LDR 1.řádu Příklad: V 1. nádrži je 100 l roztoku 10 kg soli ve vodě. V 2. nádrži je 100 l roztoku čisté vody. Do 1. nádrže přitéká čistá voda rychlostí 5 l/s. Z 1. nádrže přetéká rychlostí 5 l/s vznikající roztok do 2. nádrže. Z 2. nádrže odtéká rychlostí 5 l/s vznikající roztok pryč. Předpokládáme, že roztok je v nádržích ideálně promíchán. a) Jaké množství soli bude v 2. nádrži v čase t? b) Kdy se koncentrace soli v obou nádržích vyrovnají? Výsledek: a) m 2 (t) = t 2 e t 20 b) t = 20s. Potom m 1 (t) = m 2 (t) = 10 e 1. = 3, 68 kg.

14/14 Eulerova metoda. Numerická metoda pro výpočet přibližného řešení diferenciální rovnice: y = f (x, y) y(x 0 ) = y 0. Po n krocích dostaneme přibližné řešení bodech x 0, x 1,..., x n. Označme tuto přibližnou hodnotu y i. = y(xi ). Získáme tedy funkci zadanou tabulkou: x 0 x 1 x n y 0 y 1 y n Přibližné hodnoty vypočteme Eulerovou metodou takto: x i+1 = x i + h, y i+1 = y i + f (x i, y i ) h i = 0, 1,..., n kde h je krok metody. Chyba E(h) = y n y(x n ) je přímo úměrná veličině h (= h 1 ). Eulerova metoda je metoda 1. řádu.