1 DYNMIK Dynamika-úvod Dynamika je třetím oboem technické mechaniky těles. V ámci dynamiky studujeme hlavně pohyby a vzájemné inteakce mezi tuhými tělesy pohybujícími se jako celek s nenulovým zychlením. Po její aplikace je tedy nezbytné komě zvládnutí popisu silových účinků při jejich působení na tělesa umět popsat i pohybové stavy těles tj. kinematiku. Základními veličinami s kteými se v dynamice pacuje jsou síly, posto, čas a jako paamet geometicko- hmotnostní chaakteistiky těles. Na závě kusu dynamiky jsou však také uvažovány důsledky defomací těles tj. popsán vznik a chaakte kmitání eálných těles. Ve statice základní úlohou bylo nalezení vztahů mezi působícími silovými účinky za předpokladu že zychlení studovaných těles jsou nulová. Síly zde měly přitom hlavně význam míy inteakce mezi tělesy při jejich vzájemném kontaktu. Po řešení úloh měly ve statice základní význam ovnice statické ovnováhy, kteé umožnily ozhodnout zda při daném silovém působení a daném uložení jsou studované hmotné objekty (tělesa, soustavy těles) v klidu nebo pohybu s konstantní ychlostí. V dynamice zkoumáme tělesa aniž bychom předem omezovali jejich pohybový stav tj. zychlení těles jsou obecně ůzná od nuly, působící síly pak mají hlavně význam jako příčiny změn pohybového stavu těles. Základní úlohou dynamiky je nalezení vztahů mezi působícími silovými účinky a vyvolanými pohyby tj. sestavení pohybových ovnic. Z fomálního hlediska tva základních vztahů tj. ovnic statické ovnováhy a ovnic pohybových existuje jistá fomální analogie tj. na statiku se můžeme dívat jako na zvláštní případ dynamiky. Po matematické stánce se však obě discipliny liší tím, že statika pacuje se systémy ovnic algebaických, zatímco dynamika se systémy ovnic difeenciálních. Z toho také okamžitě vyplývá obtížnost hledání řešení pohybových ovnic, kdy často je možné nalézt řešení jen numeicky za pomoci počítače. Další odlišností poti statice souvisí s tím, že v někteých případech je nutné pacovat i se soustavami neineciálními tj. se soustavami, kteé vůči nehybnému pozoovateli otují nebo jejich počátek zychluje. V těchto soustavách pak musíme komě standadních působících silových účinků známých ze statiky uvažovat i silové účinky související s neineciálností vztažné soustavy tj. setvačné síly a setvačné RVNICE STTICKÉ RVNVÁHY PHYBVÉ RVNICE ΣF i =0 - silová podmínka statické ovnováhy ΣM oi =0 - momentová podmínka statické ovnováhy vzhledem k ose o ΣF i =ma pohybová ovnice po tanslační pohyb tělesa ΣM oi =I o α - pohybová ovnice po otační pohyb tělesa kolem stálé osy otáčení -1-
momenty. Dynamika je tedy svým způsobem jakousi syntézou statiky a kinematiky. Po zvládnutí řešení dynamiky je poto nezbytná znalost základních úloh těchto disciplin, a to zejména zvládnutí pocesu uvolnění těles, zjišťování eakčních silových účinků, popis působení pasivních odpoů a řešení úloh na zjišťování zákonů pohybu při zadaném zychlení. Z hlediska matematiky jsou nezbytné základní znalosti řešení difeenciálních ovnic. Základní úlohy dynamiky jsou členěny na přímé, kdy hledáme pohyby těles při působení zadaných silových účinků, a nepřímé (invezní, kinetostatické), kdy hledáme síly, kteé definovaný pohyb způsobily. Po fomulování základních pincipů dynamiky bylo nezbytné zvládnutí přesného měření času (poto pincipy dynamiky byly fomulovány později (17.st.) než pincipy statiky (jejíž počátky základní pincipy byly známy již ve staověku). Různé je také pojetí hmoty těles. Ve statice je hmotnost těles chápána pouze jako veličina učující gavitační sílu mezi tělesy, v dynamice hmotnost těles je nejen míou gavitačních účinků ale i míou setvačných účinků tj. vyjadřuje odpo těles vůči změně ychlosti. Při sestavování pohybových ovnic můžeme postupovat dvěma způsoby. V případě vektoové mechaniky (Newton, D lembet, Galileo Galilei přelom 17. a 18.stol.) skládáme vektoově působící síly a momenty a dáváme je do elace s vyvolanými pohyby podle. Newtonova zákona, podobně jako ve statice přitom používáme pincip uvolňování. Poněkud jiný přístup konstukce pohybových ovnic používá mechanika analytická (Lagange, Eule, Leibnitz.pol. 18.st.), kteá vychází ze skaláních veličin (páce, enegie apod.) a pohybové ovnice dovozuje z vaiačních pincipů. Každý z obou přístupů má své výhody a nevýhody. Předností vektoové mechaniky je její názonost, častými zdoji chyb však bývají znaménka při zápisu složek vektoů v pohybových ovnicích. Po složitější soustavy těles jsou také systémy pohybových ovnic již značně komplikované a jejich řešení vyžaduje použití počítače. Poto po složitější soustavy s velkým počtem stupňů volnosti popř. v případech, kdy nás nezajímají hodnoty eakcí, je výhodnější používání metod analytické mechaniky. Z vaiačních pincipů analytické mechaniky také vychází v současné době velmi často ve stojíenství používaná numeická metoda konečných pvků ( MKP). --
3 5 Dynamika hmotného bodu Základní zjednodušení eálných těles je jejich nahazení hmotným bodem (bodovým tělesem). Z hlediska dynamiky je hmotný bod modelem eálného tělesa, kteé koná tanslační pohyb pod působením centální silové soustavy, jejíž výslednice pochází v těžištěm. Rozložení hmotnosti pak není podstatné, tělesa mohou mít libovolný ozmě, např. za hmotný bod můžeme považovat auto, velkou loď, letadlo apod. Hmotný bod tedy nemá ozměy, celková hmotnost je lokalizovaná do těžiště. Po takto pojatá tělesa platí Newtonovy pohybové zákony, kteé jsou základem vektoové mechaniky. 5.1 Newtonovy pohybové zákony Zákon setvačnosti (pvní pohybový zákon): Nepůsobí-li na těleso žádná vnější síla, zůstává těleso v elativním klidu nebo se pohybuje ovnoměně přímočaře. Jde o kvalitativní definici síly jako příčiny změny pohybového stavu. Matematicky můžeme 1. Newtonův zákon vyjádřit pomocí vztahu: Je-li F = 0 je v = konst. (5.1) Po chaakteizaci pohybového stavu při tanslačním pohybu ( míou pohybu ) Newton zavedl pojem hybnosti jako součin hmotnosti tělesa a ychlosti h=mv. (5.) Přímočaý ovnoměný pohyb je tedy chaakteizován konstantní hybností. Pvní pohybový zákon tedy říká, že bez vnějšího působení zachovává těleso svou hybnost tj. pohybuje se ovnoměně přímočaře. Zákon síly (duhý pohybový zákon):. Časová změna hybnosti hmotného bodu je úměná působící síle a má stejný smě jako působící síla. Jde o kvantitativní definici síly, kteá dává do elace vnější sílu a vyvolané zychlení. Duhý Newtonův zákon je základním zákonem klasické mechaniky. Působí-li tedy na těleso po dobu t konstantní působící síla F, pak Je-li hmotnost m konstantní, pak p ( m v ) F = =. (5.3) t t v F = m (5.4) t a v limitě můžeme psát F = ma, (5.5a) kde a je zychlení tělesa. Jestliže na bodové tělesio působí více sil, pak výslednice je učena vektoovým součtem všech působících sil tj. FV = F. V tomto obecném případě i -3-
4 pak vztah mezi výslednicí centální soustavy působících sil a vyvolaným zychlením můžeme zapsat ve tvau Fi = ma (5.5b) Zychlení hmotného bodu je tedy učeno výslednicí všech působících sil. F i b. 5.1 Působící síly a vyvolané zychlení hmotného bodu Duhý Newtonův zákon (5.5) neplatí v libovolné soustavě souřadnic, ale platí jen v ineciálních soustavách tj. soustavách kteé ani neotují a ani jejich počátek se nepohybuje zychleně vůči nehybnému pozoovateli. Hodnota zychlení a bodového tělesa (kteé bychom naměřili v ineciální soustavě při působení vnější síly F) tedy odpovídá absolutnímu zychlení a zavedenému v kinematice. Příkladem ineciální soustavy je např. soustava a spojená se stálicemi. Z hlediska technické mechaniky však takovému požadavku zpavidla vyhovují i soustavy spojené s ámem tj. s povchem zemským. Zákon akce a eakce (třetí Newtonův zákon): kce a eakce jsou síly stejně velké, mají společnou nositelku, ale jsou opačně oientované. Každá síla působící na těleso z vnějšku (akce) vyvolává stejně velkou, opačně oientovanou sílu (eakci). Poznámka: Zákon akcee a eakce přitom platí jak v případě přímého kontaktu mezi tělesy, tak i po působení mezi tělesy na dálku postřednictvím silových polí. 5. Newtonův gavitační zákon Definuje velikost přitažlivé síly mezi dvěma tělesy. Tělesa o hmotnostech m 1, m se vzájemně přitahují silou velikosti F F m1 m = κ, (5.5) kde je vzdálenost mezi těžišti obou těles. K tomuto zákonu dospěl Newton dedukcí na základě výsledků astonomických pozoování. Pohybuje-li se planeta ovnoměně po kuhové dáze kolem Slunce, pak mezi nimi musí působit síla, kteá leží stále ve spojnici těchto dvou těles. Velikost této síly podle. Newtonova zákona je úměná velikosti adiálního zychlení a, kteou můžeme vyjádřit pomocí poloměu dáhy a úhlové fekvence ω -4-
5 v 4π a = = ω =, kde T je doba oběhu planety. (a) T Síla, kteou působí Slunce na planetu hmotnosti m, má velikost 4π F = ma = m, kde m je hmotnost planety. (b) T 3 T k Dosadíme-li do této ovnice 3.Kepleův zákon na tva F m k =, kde k je konstanta, pak ovnici (a) můžeme přepsat =. (c) Podle zákona akce a eakce planeta také působí na Slunce silou stejně velkou, ale opačně oientovanou. Tato síla má velikost 4π M F = M T = k, kde M je hmotnost Slunce. (d) F = F, tj. Dále platí položíme-li Tedy k m M k = k km = k M, (e) κ = k k M = m, kde 11 κ = 6, 67. 10 N..m. kg - je gavitační konstanta. = κ M a ovnici (a) můžeme přepsat na tva Mm F = κ. (f) Tento výsledek zobecnil Newton po libovolná dvě tělesa. Tíha tělesa na povchu Země je výslednicí gavitační síly mezi tělesem a Zemí a odstředivé síly učené otací Země. Poto je tíha tělesa největší na pólech a nejmenší na ovníku. Po stojíenskou paxi můžeme působení odstředivé síly zanedbat a po tíhovou (gavitační) sílu F g na povchu zemském můžeme předpokládat že směřuje do středu země a je ovna hodnotě Fg Z = mg0, kde g0 RZ M = κ (5.6) kde κ je gavitační konstanta, M Z je hmotnost Země a R Z je polomě Země, g 0 je tíhové zychlení na povchu Země. Po hodnotu nomálního tíhového zychlení na povchu zemském platí g 0 =9.81 m/s. Se zvyšováním nadmořské výšky h se hodnota tíhového zychlení snižuje, potože oste vzdálenost mezi tělesem a středem Země. Ve výšce h je síla tíže mm z Fgh = κ mg 0 h ( Rz + h ) (5.7) Vydělením vztahů (5.6) a (5.7) pak dostáváme po změnu tíhového zychlení vztah RZ g( h) = ( R + h) Z g 0 (5.8) -5-
6 5.3 Sestavování pohybových ovnic po hmotný bod podle. Newtonova zákona 5.3.1 Zápis pohybových ovnic po hmotný bod ve složkách Hledání vztahů mezi působícími silovými účinky a vyvolanými zychleními těles tj. sestavování pohybových ovnic je jednou ze základních úloh dynamiky. K sestavení pohybových ovnic po hmotné body používáme.newtonův zákon F = ma, kde F je výslednice všech sil působících na bodové těleso. Při pohybu volného hmotného bodu, na kteý působí síly obecného směu, nelze obvykle o chaakteu pohybu nic říci předem. V takovém případě volíme zpavidla pavoúhlý katézský souřadný systém xyz.. Působící sílu F ozkládáme na složky ozkládáme i složky zychlení na F, F, F ve směu souřadnicových os (ob 5.) a podobně x y x z a, a, a. y z Vektoovou pohybovou ovnici b. 5. 1 Fi = ma (5.9) pak můžeme ozepsat do třech ovnic složkových: x : F = ma = mx ɺɺ ix x y : F = ma = my ɺɺ iy y (5.10) z : F = ma = mz ɺɺ iz z -6-
7 Jde o řešení simultánních difeenciálních ovnic duhého řádu. Jejich analytické řešení lze nalézt integováním každé z ovnic samostatně pouze po případ, kdy F i jsou konstantní nebo jsou-li pouze funkcemi času. Z pavidla v úlohách dynamiky vyšetřujeme pohyby těles na základě daných akčních silových účinků. bychom při zápisu složkových ovnic předešli chybám ve znaménkách, je vhodné účelně volit vztažnou soustavu. Např. pokud pohyb je přímočaý, ztotožníme smě pohybu s někteou z os katézského souřadného systému a volíme kladný smě této osy tak, aby souhlasil se směem pohybu (ten je učen směem vektou ychlosti). V případě nejasnosti (např. smě ychlosti se mění nebo není definovaný), pak kladný smě souřadné osy volíme ve směu odečítání výchylky (např. u hamonického pohybu). Vekto zychlení pak do pacovního diagamu keslíme jako vekto souhlasně kolineání se souřadnou osou. V případě, že je jeho skutečná oientace je opačná (tj. pohyb je zpožděný), pak souřadnice vektou zychlení nám ve výsledku vyjde záponá. V případě ovinného pohybu bodového tělesa po známé dáze nebo při pohybu bodu vázaného k dané křivce je vhodné použít přiozený souřadný systém (vekto zychlení leží v oskulační ovině a ozkládáme jej tedy jen do dvou složek). Složkové ovnice pak mají tva po tečný smě t: d s it = t =, (5.11) F ma m dt po nomálový smě n: sɺ Fin = man = m R, (5.1) kde R je polomě oskulační kužnice a po smě binomály b: F ib = 0. (5.13) Při vyšetřování otačních pohybů v ovině je někdy pohyb popsán pomocí souřadnic poláních. Složkové pohybové ovnice pak mají tva po příčný smě ϕ: F i = ma = m( ρϕ ɺɺ + ɺɺ ρϕ ), (5.14) ϕ ϕ po adiální smě ρ: F i = ma = m( ɺɺ ρ ρϕ ɺ ). (5.15) ρ ρ U vázaných těles složkové pohybové ovnice po směy, v kteých je pohyb možný (zychlení jsou ůzná od nuly), budeme dále nazývat hlavní pohybové ovnice. Podobně jako ve statice zavádíme pojem vlastní pohybové ovnice po ovnice kteé neobsahují eakce. V případě, že hlavní pohybové ovnice obsahují eakce (např. ovnice po pohyb se smýkáním obsahuje nomálovou složku eakce), pak z těchto ovnic pak dostaneme ovnice vlastní, jestliže eakce vyjádříme z ostatních ovnic postřednictvím zadaných působících sil. Hlavní význam vlastních pohybových ovnic je v tom, že z nich již lze přímou integací řešit pohyb těles. -7-
8 Poznámka : Pohybové ovnice (5.9) platí i po tuhá tělesa (nezanedbatelných ozměů vůči okolí), jestliže tato tělesa konají čistě tanslační pohyb. 5.3. Sestavování pohybových ovnic po volný a vázaný hmotný bod podle. Newtonova zákona Pohyb hmotného bodu může být volný nebo vázaný. Volný pohyb nastává, když pohybující se hmotný bod není ve styku s žádným jiným tělesem. V tomto případě uvažujeme v pohybových ovnicích komě akčních působících sil jen síly od okolí (potenciálové, odpo postředí apod.) Při sestavování pohybových ovnic po vázaná tělesa tj. tělesa kteá jsou v neustálém kontaktu s ámem nebo okolními tělesy, postupujeme podobně jako ve statice tj. používáme pincip uvolňování (tj. vazby nahazujeme silovými účinky). Při uvolňování těles přitom dodžujeme pavidla po oientaci sil (např. tah lana musí mířit z tělesa, opoa musí mířit do tělesa, eakční moment kolem han posouvajícího se hanolu musí mířit do tělesa, třecí síla poti směu elativního pohybu apod.). Pohybové ovnice zpavidla zapisujeme i po složky pohybu, kde je hodnota zychlení nulová - např. po hanol sesouvající se po nakloněné ovině to je smě kolmý na smě posuvu. To nám umožní zjistit hodnoty eakcí. V případě, že nám po vyřešení systému pohybových ovnic hodnota u někteého z vypočítaných eakčních silových účinků vyjde záponá, měli bychom u takového eakčního účinku přehodit smě. V případě, že to není možné (např. jestliže síla v laně by mířila do tělesa), není pak předpokládaný pohyb eálný. Příklad 5. 1 Sestavte pohybové ovnice akety při zapnutých pomocných tažných motoech H, odpo postředí F D =kv. H F g b. 5. Pohybová ovnice ve vektoovém vyjádření je dána vztahem H + FD + Fg = ma -8-
9 Po velikost odpoové síly platí F D =k ( xɺ + yɺ + zɺ ) a po hodnotu xɺ yɺ zɺ souřadnic F D x = F D cosα = F D, FD y = FD cos β = FD, FD z = FD cos γ = FD. v v v ientujeme-li souřadnou soustavu tak, aby vekto ychlosti akety směřoval z 1.kvadantu, pak ve složkách pak platí: x: k xɺ ( xɺ + yɺ + zɺ ) + H x = mx ɺɺ y: k yɺ ( xɺ + yɺ + zɺ ) Fg + H y = my ɺɺ z: k zɺ ( xɺ + yɺ + zɺ ) + H z = mz ɺɺ Řešením uvedené soustavy difeenciálních ovnic bychom dostali půběhy x(t), y(t), z(t), jimiž by byla vyjádřena tajektoie v paametickém tvau. Vzhledem k tomu, že se jedná o soustavu simultánních, nelineáních difeenciálních ovnic.řádu, pakticky by bylo možné dosáhnout jejich řešení jen přibližnými metodami. Je-li pohybující se hmotný bod ve stálém styku s jiným tělesem, pak jde o pohyb vázaný. V pohybových ovnicích po uvolněné těleso pak komě akčních sil uvažujeme i eakce vazeb. Jejich smě a oientaci přitom získáme metodou uvolňování, stejným způsobem jako ve statice. Uvolněný hmotný bod pak vyšetřujeme jako pohyb volný, k působícím silám přidáme i síly vazební. Jestliže z pohybové ovnice nezískáme kompletní infomace o pohybu, použijeme po jeho úplný popis kinematické vztahy. Přitom oientace os souřadného systému použitého po kinematické ovnice musí být stejná jako souřadného systému použitého při konstukci pohybových ovnic. Poznámka :Jestliže neznáme velikost a smysl někteých souřadnic vektoů v nebo a, pak je z důvodu matematické jednoduchosti považujeme za kladně oientované tj. ve směu os použitého souřadného systému. Příklad 5. Učete zychlení hmotného bodu posouvajícího se po hoizontální ovině při působení vnější síly o velikosti F působící pod úhlem α (ob.5.4), součinitel smykového tření je f. b. 5. 3 Řešení: Vektoová pohybová ovnice: F + T + N + G = ma. -9-
10 Rozložíme-li sílu na složku kolmou a tečnou k ovině pak ve složkách platí x : F cosα T = ma y : F sinα + N G = 0 Po nomálovou sílu pak vychází: N = G F sinα. Uvážíme-li že třecí síla: T = Nf dostáváme po zychlení F cosα ( G F sinα ) f a =. m Příklad 5. 3 Sestavte pohybovou ovnici hmotného bodu o hmotnosti m, kteý se posouvá po nakloněné ovině s úhlem sklonu α. Na bod působí vnější síla F v působící pod úhlem svíajícím s nakloněnou ovinou úhel β, součinitel smykového tření je f (ob. 5.5). b. 5. 4 Řešení: Vektoová pohybová ovnice: G + F + N + F = a (a) v v t m x : F cos β mg sinα F = ma (b) t Fv cos β mg sinα Nf = ma (c) Zychlení ve směu osy y je ovno 0: y : Fv sin β + mg cosα N = 0 N = Fv sin β + G cosα Dosazením do (c) dostaneme vlastní pohybovou ovnici: v ( β β ) ( α α ) F cos f sin mg sin + f cos = ma (d) -10-
11 Příklad 5. 4 Jakou silou F l je namáháno lano klece výtahu při ozjíždění a) směem nahou; b) při ozjíždění směem dolů; c) při zastavování klece při pohybu směem dolů. Hmotnost klece s nákladem je m = 500 kg a hodnota zychlení (tj. jeho velikost) je vždy a = 3 m/s? Řešení: Vazbu lanem nahadíme silou F l. Ve všech 3 případech je zápis vektoové pohybové ovnice stejný tj. Fl + G = ma. Kladný smě osy y volíme vždy podle směu pohybu, ve složkové ovnici po smě y přiřazujeme znaménka souřadnic vektoů podle oientace půmětů do osy. Pak a) Při ozjíždění ve směu nahou je F l souřadnice zychlení a y =3 m/s y : Fl G = may Fl = m g + may = m( g + ay ) l ( ) F = 500 10 + 3 = 6500 N b. 5.6a F l b) Při ozjíždění směem dolů volíme smě osy y ve směu pohybu tj. dolů. Souřadnice vektou zychlení je opět a y =3 m/s : y : F + G = m a F = mg ma = m g a l ( ) ( ) l y l y y F = 500 10 3 = 3500 N y b. 5.6 b c) Při zastavování pohybu směem dolů je y-ová souřadnice zychlení a y = - 3 m/s : y : F + G = m a F = mg ma = m g a l ( ) ( ) l y l y y F = 500 10 ( 3) = 6500 N a F l y b.5.6c -11-
1 Příklad 5. 5 Hmotný bod je zavěšen na nehmotném vlákně délky l. Učete dobu kyvu T k a závislost síly v laně na okamžité výchylce. Řešení: Jde o vyšetření pohybu hmotného bodu po vázané křivce kužnici o poloměu l. Použijeme polání souřadnice s tím, že ρ=const.=l F l F g Vektoová pohybová ovnice: Fg + Fl = ma. Použijeme polání souřadnice. Pak platí v příčném směu ϕ : -mgsinφ= ma ϕ =m lϕɺɺ a v adiálním směu ρ : -F l + mgcosφ=ma ρ = - m l Pvní ze složkových ovnic je vlastní pohybová ovnice (nejsou v ní neznámé složky eakcí) a můžeme ji využít po učení kinematických závislostí. Po úpavách dostáváme g ɺɺ ϕ + sinϕ = 0 l Vzhledem k φ(t) jde o nelineání ovnici. Po malé výchylky však můžeme předpokládat sin ϕ ϕ, takže původní ovnice se zjednoduší na g ɺɺ ϕ + ϕ = 0 l To je ovnice hamonického pohybu. Po řešení tedy můžeme psát φ=c.sin (ωt+γ). Dosazením do původní ovnice dostáváme g π l Ω =, takže doba kyvu matematického kyvadla T k = = π l Ω g Chceme-li učit sílu ve vlákně, vyjdeme ze složkové pohybové ovnice ve směu adiálním. Z ní dostáváme F = mlɺ ϕ + mg cosϕ. l b. 5. 7 ϕɺ -1-
13 bvykle nás zajímá síla F l v závislosti na poloze. Ze zákona zachování mechanické enegie vyplývá: m ( v v 0 ) = mgl ( cos ϕ 0 cos ϕ ). Při počáteční hodnotě ychlosti v 0 a počáteční výchylce ϕ 0 pak uvážením vztahu v=lϕɺ dostáváme v 0 Fl = m g cosϕ0 + 3g cosϕ. l Poznámka. 1: V pohybových ovnicích jsou dvě neznámé tj. F l a ϕɺɺ. Závislosti φ(t) a ϕɺ ( t ) učíme s uvážením počátečních podmínek integací ϕɺɺ tj. nejsou to další neznámé. Poznámka : Kyvadlo umístěné v kostele (tím byla dosažena dlouhá doba kyvu a tím poměně vysoká přesnost) bylo používáno po učování gavitačního zychlení g. Příklad 5. 6 Zjistěte závislost na ychlosti na čase t a závislost ychlosti na vzdálenosti x, jestliže se hmotný bod pohybuje tak, že komě odpou postředí F = k +k v nepůsobí F odp v 0 odp 1 žádné jiné síly a počáteční ychlost bodu je v o. Zjistěte na jaké dáze l z se těleso zastaví (ob. 5.8) a x b. 5. 8 Vektoová pohybová ovnice: F odp =ma x: -k 1 k v = ma x Pokud se zajímáme o závislost ychlosti na vzdálenosti pak použijeme vztah známý 1 d ( v ) z kinematiky tj. k + k v x 0 1 a md( v ) = ( dx) dv dx = m k + k v Pak v v 0 1 =. Pak dx v ( k1 + kv ) ( + ) dv m x = m = ln (k + k v ) k k k v kx m 1 0 1 1 v( x ) = ( k + k v )e k k v 0 1 1 0 Po zjištění dáhy na kteé se těleso zastaví položíme honí mez ovnu nule: 0 dv m k1 lz = m = ln v0 (k 1 +k v ) k 1 + k v 0-13-
14 Pokud se zajímáme o vývoj ychlosti v čase, pak vyjdeme ze vztahu v dv dv k 1 +kv = m t = v v( t) dt = m( k +k v ) Příklad 5. 7 vo 1 1 = ( k + k v )e k k t m 1 0 1 Sáně s nákladem mají hmotnost 3.0 kg a jsou taženy silou F=kt, kde k=0 N/s. Vypočtěte ychlost saní v po čas t =s, počáteční ychlost saní je v 0 =0,9 m.s -1, součinitel smykového tření saní f=0,3. b. 5. 9 Řešení: I když sáně nesplňují podmínku po hmotný bod (působící silová soustava není centální), jejich pohyb je tanslační. Poto po sestavení pohybových ovnic můžeme použít.newtonův zákon: F + G + F + F = a n t m Uvážíme-li po třecí sílu vztah Ft x : F F f + m g sin30 = ma n = f F, pak ve složkách platí n y : Fn m g cos 30 = 0 Řešením dostáváme po nomálovou složku eakce F = mg cos 30 = ( 3 ) 9, 81cos 30 = 195, 4 N. n F F f + m g sin30 0t 58, 6 + 11, 8 a = = = 0, 87t +, 35 m/s m 60. Vzhledem k tomu, že zychlení je funkce času, ychlost saní získáme integací vztahu dv = a dt n Zychlení: ( ) v ( 0 87 35) dv =, t +, dt 0. 3 0 v 0, 43t, 35t 0, 3 = + + v Po t = s tedy dostáváme v = 6,7 m/s Pozn. 1. věřte tento výsledek pomocí zákona zachování mechanické enegie -14-
15 Pozn.. Součinitel tření při pohybu na sněhu silně závisí na teplotě (s poklesem teploty jeho hodnota oste). Zanedbáním této skutečnosti bylo jednou z příčin tagédie výpavy W. Scota k pólu. Zvýhodňuje to také těžší sjezdaře na lyžích, pod kteými dochází vzhledem k vyšší hodnotě tíže k vyššímu ohřevu mezi lyží a sněhem což má za následek snížení součinitele smykového tření. 5.4 Sledování pohybu hmotného bodu v neineciální vztažné soustavě Při sledování pohybů těles v soustavách, jejichž počátek vůči nehybnému pozoovateli akceleuje nebo kteé vůči nehybnému pozoovateli otují (takové soustavy budeme nazývat neineciální), je při konstukci pohybových ovnic nutné k akčním působícím silám přidat ještě další doplňkové (setvačné) síly. Tyto síly setvačné síly jsou přitom eakcí, kteou se těleso bání poti změně pohybového stavu. Nyní si povedeme diskusi všech možných typů setvačných sil souvisejících s neineciálností vztažné soustavy. 5.4.1 Setvačná síla unášivá při akceleaci počátku vztažné soustavy Uvažujme vozík o hmotnosti m se pohybující se přímočaře po vodoovných kolejnicích se zanedbatelným třením (ob. 5.10). b. 5. 10 Působením vnější síly F se vozík pohybuje vůči nehybné soustavě x 1 y spojeném se zemí se 1 zychlením a 1= a (ob.5.11). Soustava x 1 y je nehybná a platí v ní. Newtonův zákon tj. 1 můžeme psát F = ma (5.16) Pokud bychom po sledování pohybů těles použili soustavu x y spojenou s vozíčkem, pak v takové soustavě se pozoovateli vozíček jeví jako nehybný tj. a =0. Pavá stana ovnice (5.16) tedy musí být ovna nule. by byl dosažen tento ovnovážný stav, musíme k vnější působící síle přidat takovou nějakou doplňkovou sílu, označíme ji S F. Jak vyplývá z ovnice (5.16), velikost a smě této síly je učena hmotností tělesa a vyvolaným zychlením tj. platí S F = ma, kde a = a je zychlení počátku xy pohybující se vztažné soustavy souřadnic. Tato síla má opačný smě než je zychlení počátku pohybující se vztažné soustavy, budeme ji nazývat setvačnou silou unášivou počátku, do pacovního -15-
16 schématu ji budeme zakeslovat jako vekto s působištěm v těžišti. V soustavě x y tedy platí S F F = 0 + (5.17) V soustavě jejíž počátek zychluje komě standadních působících sil musíme tedy uvážit i S sílu setvačnou unášivou F = ma. Tato síla je přitom úměná hmotě tělesa a vyvolanému zychlení, její smě je namířen poti zychlení a její působiště je v těžišti. Zvolíme-li smě pohybu jako kladný smě souřadné osy, pak do příslušné složkové pohybové ovnice ji zapisujeme jako vekto o záponé souřadnici tj. S F = m a = ma. 5.4. Sestavování pohybových ovnic po hmotný bod pomocí D lembetova pincipu Spojíme-li vztažnou souřadnou soustavu s pohybujícím se bodovým tělesem, pak po sestavení pohybové ovnice můžeme použít vztah (5.17), kteý slovně můžeme vyjádřit pomocí d lembetova pincipu: V soustavě spojené s pohybujícím se tělesem jsou síly setvačné v ovnováze s vnějšími působícími silami. Při použití vztažné soustavy spojené s bodovým tělesem můžeme tedy pohybové ovnice popř. působící síly zjišťovat z ovnováhy součtu působících sil a sil setvačných. Toto tzv. kinetostatické řešení dynamikých úloh používáme hlavně v případech, kdy je pohyb těles zadán. Vyšetřují se pak akční silové účinky potřebné po udžení zadaného pohybu, eakce ve vazbách, vnitřní silové účinky apod. Poznámka: Do složkové pohybové ovnice zapisujeme souřadnici setvačné síly s F = ma s tím, že pokud je pohyb zadán (tj. známe velikost a smě zychlení vzhledem ke směu pohybu), za souřadnici a budeme dosazovat číselně kladnou hodnotu při pohybu zychleném a hodnotu záponou při pohybu zpomaleném. Příklad 5.8 Jakou silou F l je namáháno lano klece výtahu při ozjíždění a) směem nahou, b) při ozjíždění směem dolů. Hmotnost klece s nákladem je m = 500 kg a zychlení a = 3 m/s. Řešte pomocí d'lembetova pincipu tj. pomocí souřadné soustavy spojené s kabinou výtahu. Řešení: Vektoová pohybová ovnice je S Fl + Fg + F = 0 Smě osy y oientujeme vždy ve směu pohybu, setvačnou sílu oientujeme vždy poti směu pohybu a do složkové ovnice zapisujeme 0 ma = ma. Pak a) Při ozjíždění směem nahou: y : F mg ma = 0 l y F l S F o F g -16- b. 5. 14a
17 Pohyb je zychlený tj. souřadnice zychlení ve směu y má hodnotu dosazení dostáváme F = 500 10 + 3 = 6500 N l ( ) a = 3 m / s. Po 0 b) Při ozjíždění směem dolů je pohyb opět zychlený tj. souřadnice zychlení ve směu y 0 má hodnotu a = 3 m / s. F l y : F + mg ma = 0 l l ( ) F = 500 10 3 = 3500 N s F o y F g Příklad 5. 9 b. 5.14b Dužice Země o hmotnosti m d =00 kg se pohybuje po kuhové tajektoii v ovině poledníku s oběžnou dobou T d = hod, polomě Země R Z =6378 km. Učete: a) výšku h d dužice nad povchem Země; b) ychlost dužice v d ; c) jaká musí být ovina dáhy a jakou výšku h ds musí mít dužice, aby byla dužicí stacionání b. 5.15 Řešení: Po úlohu nalezení výšky dužice (výška učuje velikost působící gavitační síly) použijeme d lembetův pincip tj. zavedeme přiozenou soustavu souřadnic spojenou s dužicí. Vůči takové soustavě se dužice nepohybuje tj. musí být ovnováha mezi působícími a setvačnou silou. V daném případě musí tedy být ovnováha mezi silou tíže a -17-
18 S silou setvačnou počátku souřadnic tj. musí platit F + F = 0. Zychlení počátku přiozené d soustavy souřadnic a je v daném případě ovno nomálovému zychlení a n v místě polohy dužice. a) Podle ovnice (5.8) ve výšce h d na dužici působí gavitační síla g RZ md Fg ( hd ) =. R + h ( ) Z d Po velikost setvačné síly unášivé počátku v daném případě tedy platí: S F vd = m d, v = R + h ω = R + h R + h ( ) Z d kde ychlost dužice ( ) ( ). Podle d lembetova pincipu tedy platí S F + F = 0 n: Po nomálový smě tedy platí κ M Z d d ( R + h ) Z m Po dosazení dostáváme výsledek g g d Z d d Z d π T κ M. = mωd ( RZ + hd ) 3 Z Td g R 3 Z Td hd = R Z = R Z. 4π 4π h = d 6 1,7 10 m. b) ( ) ( ) π vd = RZ + hd ωd = RZ + hd = 7040 m/s. Td c) Podle statiky, dvě síly mohou být v ovnováze tehdy a jen tehdy, jestliže jejich nositelky jsou totožné. Z toho pak vyplývá, že oviny kuhových dah dužic Země musí pocházet středem Země. U stacionání dužice musí být navíc splněno, že ychlost dužice v ss musí být ovna obvodové ychlosti kuhového pohybu s úhlovou fekvencí ovnající se zemské otaci ω Z tj. musí platit v = ω ( R + h ). Z toho pak vyplývá, že ovina dáhy totožná s ovinou ds Z ds ovníku. Výšku dužice učíme podle předchozího vztahu tak, že dosadíme Tds = TZ = 4 hodin h g. R 3 ZTZ ds = R Z = 35800 km 4π Poznámka 1: Úlohu nalezení výšky stacionání dužice bychom také řešit tak, že bychom použili soustavu spojenou s otující Zemí a uvažovali ovnováhu mezi silo tíže a silou odstředivou. Poznámka : Všechny stacionání dužice jsou tedy lokalizovány na kužnici nad ovníkem, v současné době již v poměně velké hustotě. Poznámka 3: U nestacionáních dužic s dáhou skloněnou vůči ovině ovníku je elativní ychlost vůči soustavě spojené se Zemí ůzná od nuly. Na dužice pak komě síly setvačné odstředivé působí i síla setvačná Coiolisova. V důsledku jejího působení dochází ke stáčení oviny dáhy dužice. Podobně ke stáčení oviny dáhy dochází i při pohybu kyvadla. d -18-
19 Příklad 5. 10 Učete pod jakým úhlem θ má být klopená zatáčka zkušebního závodního okuhu po její bezpečný půjezd. Polomě =183 m, auto jede v zatáčce konstantní ychlostí v=30,48 m/s. b. 5. 16 Řešení: Po bezpečný půjezd zatáčkou je nutné, aby tečné složky eakcí mezi vozovkou a boky kol byly nulové tj. aby zatáčka nebyla sklopená ani moc (vozidlo by se sesouvalo vlastní vahou) ani málo (vznikalo by nebezpečí smyku v důsledku působení odstředivé síly). Tečné složky na bocích kol zřejmě nebudou vznikat, jestliže součet odstředivé síly a váhy vozu bude v ovnováze s nomálovou složkou eakce N C. V soustavě spojené s vozovkou má vektoová pohybová ovnice má pak tva F + N = a g c m Vzhledem ke kuhovému pohybu auta je vhodné tto vektoovou ovnici ozepsat do přiozených souřadnic tj. F = 0 : N cosθ mg = 0. ib c mv Fin = man : Nc sinθ = Po převedení mg v 1. ovnici na pavou stanu dostaneme po vydělení obou ovnic: v 30, 48 tan θ = = = 0, 517 θ = 7, 36. g 9, 81 183-19-
0 Poznámka: Předpokládáme-li nulovou hodnotu tečné složky eakce u vířící kapaliny, dostáváme na základě výsledků tohoto příkladu po tva povchu otující kapaliny otační dy ω x paaboloid-dokažte! [Návod-po tečnu k povchu použijte vztah tg Θ = =, kde ω je dx g úhlová ychlost víření kapaliny]. Příklad 5. 11 Letadlo letí ychlostí 70 km/h po kuhovém oblouku o poloměu = 40 m. Jaká odstředivá síla působí na letce hmotnosti m = 7 kg? Za předpokladu, že polomě letu zůstane konstantní učete jakou největší ychlostí může letadlo letět, jestliže letec snese 10x větší zychlení, než je zychlení gavitační? Řešení: v = 70 km/hod = 00 m/s s s s v v 00 Fn = m = 7 = 6857 N 40 F = 10mg = 10 7 9, 81 = 7063, N F max nmax nmax v = m max F 7063 40. omax, = = = m 7 03 m/s Příklad 5. 1 Hmotný bod se pohybuje po nakloněné ovině, kteá přejde ve válcovou oblinu poloměu. Učete úhel φ k, ve kteém se hmotný bod oddělí od válcové plochy. Počáteční ychlost hmotného bodu je v, délka nakloněné oviny je l a úhel sklonu nakloněné oviny je α, tření zanedbejte. s F t s F n N b. 5. 17-0-
1 Řešení: Zavedeme soustavu poláních souřadnic s počátkem ve středu válce. V této soustavě musí existovat ovnováha mezi působícími vnějšími silami a silami setvačnými S S m g + Ν + F + F = 0 Z hlediska odpoutání kuličky od válcové plochy je ozhodná složková ovnice ve směu adiálním po kteou platí: S S mv ρ: N mg cosϕ + Fn = 0, kde Fn = Hmotný bod opustí válcovou plochu při takové hodnotě úhlu ϕ= φ k, kdy nomálová složka eakce N je ovna nule. Tento stav nastane, jestliže síla odstředivá bude v ovnováze s nomálovou složkou tíže tj. bude platit mvk mg cosϕ k = Rychlost kuličky v místě odpoutání v k od válcové plochy zjistíme ze zákona zachování enegie: mvk mv0 = mgh vk = v0 + gh, kde h = l sinα + cosα cosϕk Dosazením za h dostáváme vztah odkud ( + [ sinα + cosα cosϕ ]) 0 k m v g l mg cos ϕ0 =, n t v0 l sinα + g + cosα cos ϕk =. 3g 5.4.3 Setvačné síly při otaci vztažné soustavy V technické mechanice jsme však často nuceni pacovat se soustavami spojenými s otujícími tělesy. Při sledování pohybů těles v takových soustavách komě standadních působících sil musíme uvažovat i setvačné síly související s neineciálností otující vztažné soustavy. Směy a oientaci jednotlivých typů setvačných sil souvisejících s otací vztažné soustavy si ukážeme na základě pocitů člověka pohybujícího se na plošině otujícího kolotoče. Uvažujme 3 případy pohybu kolotoče a člověka : a ) kolotoč se otáčí s konstantní úhlovou ychlostí ω, člověk je vůči disku v klidu (ob. 5.11). Na člověka v tomto případě působí síla odstředivá (setvačná síla nomálová) S F n= - m (ωx (ω x )). Pokud by nebylo tření, pak v důsledku působení odstředivé síly by se člověk začal odvalovat ovnoměně zychleně ve směu adiálním. -1-
ω z y S F n x b. 5. 11 b) kolotoč se oztáčí z klidu s úhlovým zychlením α. V opačném smyslu než se oztáčí kolotoč začne člověku podážet nohy ve směu tečném á síla Euleova (setvačná síla s tečná) F = ma = m( α x ) (ob. 5.1). t α z y x S F t b. 5. 1 c) člověk káčí od středu po disku otujícího disku otujícím s konstantní úhlovou ychlostí ω ve směu adiálním elativní ychlostí v (ob. 5.13). Dostává se tedy z místa s nižší obvodovou ychlostí do místa s vyšší obvodovou ychlostí. Ke změně hodnoty ychlosti je přitom potřeba síla, kteá bude při pohybu od středu kolotoče člověku podážet nohy ve směu jeho pavé uky. Tato síla je setvačnou silou Coiolisovou S F C= -(ma C )= - m(ω x v ). V obecné poloze člověka na kolotoči tato síla působí současně se silou odstředivou, její samotné působení je omezeno na okamžik půchodu středem kolotoče --
3 ω z y x v S F c b. 5. 13 Pokud bychom otující disk umístil na akceleující vozík, pak v soustavě spojené s diskem by pohyb bodového tělesa byl obecně popsán pomocí vztahu F + F + F + F + F = ma, (5.17) S S S S n t C kde a je elativní zychlení bodového tělesa vůči soustavě spojené s diskem. Při sledování těles v pohybujících soustavách musíme tedy k působícím silám musíme přidat i síly setvačné související s neineciálností vztažné soustavy. 5.4.4 Sestavování pohybových ovnic při složeném pohybu hmotného bodu Při pohybu hmotného bodu na jiné pohybující se těleso (tj. při složeném pohybu hmmotného bodu) můžeme tedy pohybové ovnice sestavovat dvěma způsoby: a) Použijeme soustavu spojenou s pohybujícím se tělesem (tj. soustavu neineciální) a hodnotu elativního zychlení a vůči pohybujícímu se tělesu nalezneme s uvážením příslušných sil setvačných tj. pomocí vztahu (5.17). Např. v případě otující přímé vidlice (viz ob. 5.18) je zřejmě vhodná soustava x y, jejíž osa x je totožná s otující vidlicí. Tato soustava je však podle předchozích odstavců neineciální, a poto v ní musíme uvážit i síly setvačné kde S F F + F + F + F + F = a, (5.18a) S S S S n t C m = ma je setvačná síla unášivá počátku (je dána zychlením počátku vztažné souřadné soustavy - ta je v našem případě nulová), S F = ( mω x ω x ) je setvačná síla nomálová (odstředivá), S F t = mα x je setvačná síla tečná (Euleova), S F C = mω x v je setvačná síla Coiolisova. K nalezení setvačných sil přitom použijeme vztahy po ozklad ovinného pohybu. Unášivé zychlení a bodu ozložíme na zychlení počátku souřadné u n -3-
4 soustavy a u a zychlení a u otačního pohybu bodu kolem tj. u = u + a a a u = a u + a n + a τ = a u +ωx(ω x ) +αx, kde ω a α je úhlová ychlost a úhlové zychlení otace soustavy vzhledem k nehybnému pozoovateli. Relativní zychlení a, můžeme po případ otující přímé vidlice přepsat na tva F + ( mω x ( ω x )) + ( mα x ) + ( mωx v ) = ma, (5.18b) a x y b. 5. 18 b) Použijem soustavu spojenou s ámem (tj. soustavu ineciální) a sestavíme pohybovou ovnici pomocí. Newtonova zákona Hodnotu F = ma. (5.19a) a pak hledáme ozkladem zychlení při složeném pohybu tj. a a = aa - au - a C (5.19b) Pvní způsob je vhodný po učení směu eakcí. Např. můžeme pedigovat oztáčivý efekt setvačné Coiolisovy síly (kteá zvyšuje tlakovou sílu působící na lopatku tubiny) v případě Kaplanovy tubiny s vetikální osou otace (tzv. eakční tubiny) viz ob. 5.19. Částice kapaliny vstupují mezi otující lopatky v adiálním směu, přitom jsou unášeny lopatkami tubiny. Dochází tedy k přemisťování hmot v adiálním směu při otačním unášivém pohybu, -4-
5 lopatky voda b. 5.19 což vyvolává vznik Coiolisových setvačných sil, kteé zvyšují otáčky a tím i účinnost tubiny. Můžeme také předpovídat směy pohybů - např. můžeme učit smysl otace víu v nálevce na sevení a jižní polokouli, předvídat důsledky působení setvačných sil v příodě (např. pavé břehy na seve tekoucích sibiřských řek jsou více vymílány), vznik pasátních větů popř. Tonád. V někteých případech je však tento způsob po numeický výpočet a málo vhodný.- např. Při zkřiveném vztahu otující vidlice-viz ob. 5.0a a 5.0b. Poznámka 1 : V případě pohybu hmotného bodu po kužnici, je nutné jako vztažnou soustavu uvažovat soustavu poláních nebo přiozených souřadnic (viz ob. 5.0a a 5.0b). α 1 α 1 b. 5. 0a -5- b. 5. 0b
6 Jestliže počátek neineciální souřadné soustavy otuje (ob. 5.0b), pak S F může mít obecně dvě složky tj. sílu unášivou počátku tečnou S Ft a sílu unášivou počátku nomálovou S F n (zychlení počátku má v tomto případě dvě složky tj. a = a + a ). τ n Poznámka : Vzhledem k tomu, že se nacházíme na Zemi tj. otujícím tělese, s nenulovou hodnotou Coiolisovy síly bychom se měli setkávat poměně často. Vzhledem k nízké hodnotě úhlové otace Země však hodnota Coiolisovy síly bývá zpavidla v příodě zanedbatelná. V technické paxi však v někteých případech sledujeme elativní pohyby těles po ychle ostoucích vedeních a v těchto případech již hodnoty Coiolisovy síly zanedbatelné být nemusí. Vliv Coiolisovy síly se mohou také pojevit při pohybech na velké vzdálenosti. Např. při výstřelu z děla Beta používaného po ostřelování Paříže na vzdálenost 110 km byla odchylka zásahu v důsledku Coioloisovy síly 1600 m. Při pohybu setvačné síly závisí obecně na souřadnicích tj. vytváří silová pole. V někteých případech tato pole jsou přitom neozlišitelná od působení polí potenciálových- např. v ozjíždějícím se výtahu nemůžeme ozlišit, zda zychlení padajících těles je pouze od zvýšené gavitace nebo od akceleace výtahu. Např. při úloze nalezení doby kyvu matematického kyvadla nacházejícího se v akceleujícím výtahu směem vzhůu se zychlením a můžeme výsledek najít úvahou tak, že výsledek při působení vetikální gavitační síly Fg = mg zaměníme za vztah Tk vetikální síly T k g = π odvozený po nepohybující se výtah l g + a = π odpovídající působení l ' F = F + a. Změřením doby kyvu bychom tedy mohli zjistit zychlení výtahu. g g ( m ) Pokud bychom měli řešit úlohu nalezení vnitřních silových účinků mezi na sobě položenými tělesy při jejich zychleném zvedání (viz ob. 5.1), můžeme zřejmě výsledek získat snadno z ovnic statické ovnováhy s tím, že ke spojitému zatížení silami tíže bychom přidali spojité zatížení setvačnými silami unášivými stejného směu. Z hlediska vnitřních silových účinků, za pohybu dochází k jejich změnám nejen důsledku změn hodnot eakcí, ale také v důsledku působení sil setvačných. Při úloze nalezení úhlu α výstřelu pojektilu po zasažení padajícího objektu (vypuštěného pod úhlem ϕ ze vzdálenosti L současně s výstřelem viz ob. 5.), nemusíme řešit obtížně kinematické ovnice po šikmý vh vzhůu a volný pád. Zavedeme-li totiž soustavu spojenou s padajícím objektem, pak ke gavitační síle působící na střelu musíme přidat sílu setvačnou unášivou mg. V takové soustavě je pak zychlení střely nulové (gavitační síla je v ovnováze se silou setvačnou unášivou. Zychlení střely je v takové soustavě nulové tj. střela se v ní pohybuje pohybuje přímočaře, objekt je nepohyblivý. Při přímočaém pohybu cíl zasáhneme zřejmě tehdy, jestliže položíme α=φ. -6-
7 Kontolní otázky 1) Jak oientujeme smě souřadných os při přímočaém pohybu? ) Co jsou to stacionání dužice, jaký je polomě jejich dáhy? 3) Kteý břeh řeky tekoucí na sevení polokouli od jihu k seveu je více podemletý? 4) Při pohybu tělesa po povchu Země podél ovníku ve směu otace zemské, bude v důsledku Coiolisovy síly tíhové zychlení nabývat nižší nebo vyšší hodnoty nebo se nezmění? 5) Poč se při otaci kapaliny částice písku pohybují v blízkosti osy kádinky nikoliv po jejím obvodu? 6) Poč vzniká ví v nálevce? 7) Co je podstatotou cyklonů a pasátních větů? 8) Poč je výhodné používat při pohybu po kužnici při ozepsání pohybové ovnice do složek polání souřadnice? 9) Při otaci kádinky s vodou je tvořící křivkou povchu paabola-dokažte! 10) Co je podstatou metody uvolňování? 11) Kdy je soustava ineciální? 1) Co je to D lembetův pincip? 13) Jaké setvačné síly mohou vznikat v neineciálních soustavách 14) Jak se změní tíha kádinky s vodou, ponořím-li do kádinky těleso o známém objemu a známé hustotě ρ, jestliže těleso a) bude zavěšeno na niti b) odstřihneme od niti c) v důsledku odpoové síly bude klesat se známou konstantní ychlostí v max d) klesne na dno kádinky. 15) Člověk běží po obvodu otujícího kolotoče tak, že jeho absolutní hodnota ychlosti je ovna obvodové ychlosti otujícího kolotoče. V soustavě spojené s kolotočem tedy na s člověka působí jednak síla odstředivá F = mω R a jednak v opačném směu síla Coiolisova s F C b. 5.1 b. 5. n = mω. Působí na člověka ještě tečná složka eakce ve směu adiálním? -7-
8 5.5 Základní věty dynamiky hmotného bodu Při sledování pohybu těles v potenciálových silových polích je možné pohybové ovnice integovat. Slovním vyjádření těchto integálních vztahů vznikly zákony zachování hybnosti, momentu hybnosti a mechanické enegie. Používáme je hlavně v případech, kdy známe pohybový stav tělesa na začátku děje a zajímáme se o polohu nebo ychlost na konci děje. Vzhledem k tomu, že příslušné integace byly pováděny z. Newtonova zákona, příslušné integální vztahy platí jen po soustavy ineciální tj. všechny kinematické veličiny v nich vystupující (např. ychlosti) musí být vztaženy vzhledem k soustavám nepohyblivým. 5.4.1 Hybnost a impuls síly, moment hybnosti a impuls momentu Jak již bylo zmíněno v úvodu, základní veličinou popisující pohybový stav hmotného bodu je hybnost: h = v =, (5.18) -1 m kg.m.s N.s kde m je hmotnost, v ychlost hmotného bodu. Podle duhého Newtonova zákona v případě, že hmotnost m je konstantní platí h v F = d m d dt = dt. (5.19) Veličinou chaakteizující časový účinek síly je impuls síly I Z ovnice (5.19) pak vyplývá vztah t = I F ( t) dt. (5.0) 1 t1 I = h - h =m(v -v 1). (5.1) Příůstek hybnosti v učitém časovém intevalu je dán impulsem působících sil v témže časovém intevalu (věta o změně hybnosti). Známe-li tedy závislost síly na čase tj. F = F( t ) mezi časy t 1 a t, pak můžeme z tohoto vztahu zjistit změnu hybnosti změnu ychlosti. Název impuls znamená vlastně náaz. Náazové síly však mají stálý smě (např. náaz kladiva) a z hlediska jejich velikosti je můžeme zpavidla nahadit střední hodnotou F. Po tyto náazové síly popř. po děje při kteých je působící síla konstantní pak můžeme ve směu působící síly psát t ( ) ( 1) (5.) t1 I = F t dt = F t t = F t kde t je doba tvání náazu. Známe-li hybnost před a po náazu a dobu tvání náazu, pak můžeme z předchozí ovnice učit velikost působící impulsní síly. Předpoklad konstantní hodnoty impulsní síly někdy také nahazujeme nějakou jednoduchou závislostí na čase F(t). -8-
9 Příklad 5. 4 Učete maximální hodnotu údeu kladiva, jestliže těleso o hmotnosti m=5kg je z klidu uychleno náazem kladiva z nulové ychlosti na hodnotu v =5m/s, doba tvání náazu 3 je t = τ = 10 s Řešení: Po náaz kladiva můžeme předpokládat lineání náůst tlakové síly až do hodnoty F max, následně pak opět lineání pokles tlakové síly (ob. 5.4). F F max Dosazením do vztahu (5.3) pak dostáváme po výsledný impuls tlakové síly působící na těleso τ / τ / kτ 6 - kτ I = kt dt = = mv k = 6, 0. 10 kg ms I = kt dt mv k 6, 0. 10 kg ms = = = 0 K maximální hodnotě tlakové síly dojde za čas τ tj. po její hodnotu dostáváme τ Fmax = k =,. 3 3 0 10 N b. 5. 4 0 6 - Rovnice (5.1) je ovnice vektoová a obvykle ji ozepisujeme do složek ve směech souřadnicových os. Jestliže na těleso nepůsobí z vnějšku žádné síly (těleso je izolováno od okolí), pak výsledný impuls je nulový a těleso nemění svoji ychlost. To v paxi zřejmě nemůže nikdy nastat (např. nemůžeme odstanit působení gavitačních sil). Můžou však nastat případy, kdy můžeme zanedbat síly působící v učitých směech nebo ovinách. Potom hovoříme v daném směu nebo v dané ovině o pseudoizolaci od okolí. Např. při kolmém výstřelu střely s počáteční ychlostí výstřelu v 1y = v s z vozíku jedoucího hoizontálně konstantní ychlostí v v ve směu osy x je při zanedbání odpou postředí nulová hodnota impulsu ve směu osy x tj. I x = F x dt=0. Střela se tedy ve směu x tedy pohybuje pořád stejnou ychlostí jakou měla na začátku tj. je ovna ychlosti vozíku (pohybuje se tedy neustále nachází nad vozíkem). Po návatu do hoizontální oviny střela dopadne na vozík ve vzdálenosti x od bodu výstřelu, vzhledem k zákonu zachování mechanické enegie musí být velikost ychlosti dopadu ovna ychlosti výstřelu v y = vs. Vozík dáhu x uazí za čas τ t x x t = =. v v sx v -9-
30 Ve směu vetikálním během letu působí na střelu konstantní tíhová síla F y =F g,, její impuls t I = F dt = F t = m( v ( v )) = mv y g g s s s 0 výstřelu v vátit na sedadlo. F t m. Z doby dopadu střely tedy můžeme učit počáteční ychlost g s =. Podobně jestliže pasažé sedící v autobuse jedoucím s konstantní ychlostí se musí zase Nechť vazby působící na hmotný bod jsou takového chaakteu, že bod koná při působení vnějších sil kuhový pohyb kolem pevné osy o. Pak po vynásobení vztahu (5.19) vektoově původičem platí d ( x m v ) d d ( m v ) d( m v ) = x m v + x = x = x F (5.3) dt dt dt dt Výsledný moment působících sil M = x F tedy můžeme vyjádřit vztahem o d o M o = b, (5.4) dt kde bo = ( x m v ) je moment hybnosti ( mía pohybu při otaci hmotného bodu kolem osy o). Po bodové těleso tedy platí věta o časové změně momentu hybnosti: Časová změna momentu hybnosti hmotného bodu k učité ose je dána momentem všech působících sil k této ose. Rovnice (5.4) je pohybovou ovnicí po hmotný bod konající otační pohyb kolem stálé osy otáčení o. Podobně jako byl zaveden impuls síly, zavedeme i impuls momentu L o (časový účinek momentu) vztahem t o = odt = o o1 t1 L M b - b. (5.5) Platí opět věta o změně momentu hybnosti: Příůstek momentu hybnosti k učité ose v uvažovaném časovém intevalu je dán impulsem momentů všech působících sil k téže ose v témže časovém intevalu. Pokud L o =const, pak těleso koná pohyb ovnoměný kuhovýnapř. planety kolem Slunce. Příklad 5. 5 Těleso hmotnosti m=10 kg se začne pohybovat působením konstantní síly F=150 N. a) S jakým zychlením se těleso pohybuje. b) Jakou ychlost dosáhne při t=8 s. c) Jakou dáhu přitom vykoná. d) Jak velký je impuls zadané síly. -30-
31 Řešení: a) F = ma F 150 a = = = 15, 0 m/s m 10 b. 5. 5 b) F = konst. je v1 = 0, km/s, t = 8s. Pak podle ovnice(5.5): I = F t = mv mv = mv 1 F t 150 8 v = = = 10, 0 m/s m 10 c) a = konst., poto můžeme použít z kinematiky po pohyb přímočaý ovnoměně zychlený: 1 s = s0 + v0t + at a s0 = v0 = 0 1 s = at 1 15 8 s = = 480 m d) I = F t = 150 8 = 100 N.s Příklad 5. 6 Učete závislost ychlosti letounu o hmotnosti m=1800kg na čase, jestliže letounu pohybujícího se přímočaře ychlostí 10 m/s je zapnut přídavný moto o síle F=8500N. t v F Fdt = m dv v = vo + t =10+4,7t [m/s] m 0 vo Větu o změně hybnosti (nebo momentu hybnosti) tedy používáme tehdy, když během nějakého děje jsou působící síly konstantní poopř. známe jejich závislost na čase, známe dobu působení a zajímáme se o ychlost na konci děje. 5.5. Páce, enegie, výkon -31-
3 ž dosud jsem pohybový stav hmotného bodu chaakteizovali vektoovými veličinami tj. zychlením, hybností či momentem hybnosti. Někdy je však výhodné chaakteizovat skalání veličinou. Síla koná páci, když se v důsledku jejího působení mění poloha hmotného bodu z polohy do polohy B, je to tedy dáhový účinek síly B. B = F d (5.6) Poznámka: V ovnici (5.6) se vyskytuje skalání součin vektou síly F a vektou přemístění d. V případě že působící síly jsou tedy kolmé na přemístění, jejich páce je nulová. Poto také nomálové složky eakcí označujeme za síly nepacovní. Páci tedy koná jen tangenciální složka síly vzhledem k dáze. Elementání páci vykonanou vnějšími silami můžeme vyjádřit pomocí skalání veličiny kteou budeme dále nazývat kinetickou enegií E k. Platí: dv dv 1 d( mv ) d = F. d = m. d = m. vdt = md( v.v ) = = dek (5.7) dt dt Změna kinetické enegie E k při změně polohy tělesa je tedy ovna páci všech sil na těleso působících B E E = F. d (5.8) kb k Časová změna kinetické enegie je dána okamžitým výkonem pacovních sil tj. F. d P = = F. v = Ft v, (5.9) dt kde F t je složka síly ve směu pohybu (ten je dán vektoem ychlosti). Jsou-li vazby takového chaakteu, že hmotný bod pod působením vnějších sil koná pohyb po kužnici o poloměu se středem v bodě, pak d = x dϕ, kde dφ je vekto pootočení kolem osy o. Výaz po páci (5.6) pak můžeme přepsat do tvau B B B B ( ϕ ) ( ) = F.d = F. x dϕ = x F.d ϕ = M.dφ, (5.30) kde M je výsledný moment působících sil k bodu. Při kuhovém pohybu bodu je ychlost v = ω a okamžitý výkon je pak dán vztahem P = M p ω, (5.31) kde M p je půmět působícího momentu do osy otace. Síla je mía inteakce mezi tělesy. Přitom tato inteakce se může ealizovat buď stykem (stykové síly) nebo působením na dálku (síly-gavitační, jadené, elmg. apod.) Ke změně pohybového stavu těles tedy dochází nejen v důsledku jejich vzájemného kontaktu ale také v důsledku působení silových polí. Silovým polem přitom nazýváme posto, ve kteém je -3-
33 působící síla funkcí jeho polohy tj. v každém bodě postou známe hodnotu síly F = F ( F,F,F ). Jestliže po silové pole platí x y z Fx y Fy =, x Fy F z =, z Fz y y Fy =, z (5.3) pak při přemisťování hmotného bodu vykonaná páce nezávisí na pošlé dáze ale pouze na počáteční a koncové poloze. Takové silové pole pak nazýváme potenciálové (konzevativní). Z ovnic (5.3) pak vyplývá, že sílu pole F můžeme vyjádřit pomocí totálního difeenciálu skalání veličiny tj. potenciálu U. Platí tedy, že lze nalézt takovou skalání funkci U(x,y,z), po kteou platí Tuto ovnici můžeme zapsat vektoově U U U du = Fxdx + Fydy + Fz dz = dx + dy + dz x y z (5.33) F= gad U (5.34) Místo potenciálové funkce U je zpavidla používána její záponá hodnota potenciální enegie E p =-U. V potenciálovém poli pak páci při přemístění hmotného bodu z polohy do polohy B můžeme vyjádřit pomocí ozdílu potenciálních enegií tj. B B =. B F = p p = p (5.35) d E E E Poznámka: Rozdíl potenciálové enegie je přitom kladný (tj. E P >0), jestliže při přemístění musíme páci vykonávat poti silám pole, záponý ( E P <0) jestliže je naopak páce působením potenciálových sil vykonána. Např. při zvednutí tělesa v zemském gavitačním mm mm poli o výšku h <<R vykonáme páci = E p = κ d = κ mg h, při přemístění tělesa o výšku h směem dolů je E R+ h p R mg h. Po technické aplikace (především po analýzu kmitů mechanických soustav) je důležitý vztah po potenciální enegii pužiny. Při stlačení popř. podloužení pužiny z ovnovážné polohy o délku x působí na těleso diekční síla pužiny F=-kx, kde k je tuhost pužiny (znaménko vyjadřuje to, že síla pužiny působí vždy poti směu výchylky x). Pak při stlačení nebo potažení pužiny se hodnota potenciálové enegie změní o hodnotu p B R+ h x 1 (5.36) 0 E = = kx dx = k x R -33-