Spojitý popis plazmatu, magnetohydrodynamika

Spojitý popis plazmatu, magnetohydrodynamika

Spojitý popis plazmatu V mnoha případech nepotřebujeme znát detailně popis plazmatu, dalším možným popisem plazmatu je tzv. spojitý (fluidní), tj. makroskopický popis V tomto případě nahlížíme na plazma jako na vodivou tekutinu a důležité jsou pro nás makroskopické fyzikální veličiny (tlak, hustota, střední hodnota rychlosti, ) Takový popis nám tedy nepřináší příliš detailní informace o studovaném systému, ale s výhodou se použije např. při počítačovém modelování (řeší se velmi malý počet rovnic oproti částicovému přístupu)

Rovnice ideáln lní MHD

Rovnice kontinuity

Pohybová (Eulerova) rovnice

Indukční rovnice rovnice pro magnetické pole

Rovnice pro energii (tlak)

Rovnováha a stabilita plazmatu V ustáleném stavu, kdy se plazma nepohybuje, musí být pravá strana pohybové rovnice nulová Pokud navíc zanedbáme gravitační pole, dostáváme pro rovnovážný (ustálený) stav následující podmínku

Numerickéřešen ení rovnic MHD Pro numerické řešení rovnic MHD je vhodné je převést do konzervativního tvaru: Pro řešení MHD rovnic v konzervativním tvaru existuje mnoho numerických algoritmů, existují i sofistikované profesionální numerické kódy, např. Athena, Pluto, FLASH

Hyperbolické rovnice Základní rovnice (transportní rovnice), která nás bude zajímat, má následující tvar: Pro jednoduchost budeme předpokládat pouze skalární hyperbolickou rovnici Analytické řešení: Jak ale takový typ rovnice vyřešit numericky?

Taylorův rozvoj a Eulerova metoda Taylorův rozvoj vpřed a vzad Dopředná a zpětná Eulerova metoda Centrovaná Eulerova metoda

Eulerova metoda

Diskretizace

Numerické schéma pro transportní Použijeme-li rovnici A dosadíme do transportní rovnice Dostaneme následující schéma Jediným, ale dost podstatným problémem tohoto schématu je, že je pro numerické výpočty nepoužitelné, je tzv. nepodmíněně nestabilní

Použijeme-li Godunovova metoda A dosadíme do transportní rovnice Dostaneme tzv. Godunovovo neboli (upwind) schéma S podmínkou stability

Lax-Friedrichs Friedrichsův a Lax Wendroffův algoritmus Lax-Friedrichs Lax-Wendroff

Lax-Friedrich Friedrichs, Lax Wendroff,, 2D Velmi často používaný je dvoukrokový Lax-Wendroffův algoritmus Artificial smoothing : Lax-Friedrichs

MacCormackovo schéma 1D Toto schéma je založeno na metodě prediktor-korektor Krok vytvořený prediktorem Krok vytvořený korektorem Výsledný krok

Adaptive Mesh Refinement Jedná se o metodu zjemňování mříže v oblastech, kde dochází k velkým skokům ve fyzikálních veličinách (teplota, hustota, atd.) a kde by vznikala velká numerická chyba

Numerické kódy http://v-fedun.staff.shef.ac.uk/vf/uselin.html

Dodatek simulace v nízkoteplotním m plazmatu Spojité modelování Studium fyzikálních procesů na makroskopické úrovni Výhoda rychlý výpočet, v modelu se řeší malý počet rovnic ~ 10 Nevýhoda malá přesnost díky makroskopickému přístupu, o polohách a rychlostech částic nevíme nic

Dodatek simulace v nízkoteplotním m plazmatu Studium fyzikálních procesů na makroskopické úrovni teplota, tlak, koncentrace, rychlost proudění, Popis jevu odpovídá úrovni experimentální fyziky Rovnice spojitého modelování parciální diferenciální rovnice Jednoduché srovnání výsledků výpočtů s výsledky z experimentu Malý počet rovnic rovnice jsou ale složitější a obtížné na naprogramování

Jednoduchý spojitý model n t n i t e + e = J ρ 0 + J ρ i = 0 U e = n i n e ε ( ) ρ J ρ J e i ρ = µ n E e i e ρ = µ n E i D D e i n e n i E ρ = grad U

Řešení spojitých rovnic Klasická metoda metoda sítí Jednou z poměrně silných metod je metoda konečných prvků FME FME pro numerické řešení diferenciálních rovnic je moderní variantou klasických variačních metod Obtížný matematický aparát

Metoda konečných ných prvků metoda používaná od poloviny padesátých let dvacátého století zakladatelem R. Courant (1943) původně užívána výhradně inženýry => zejména fyzika materiálů nyní se užívá i k řešení soustav diferenciálních rovnic n-tého řádu v současnosti prudký rozvoj

Metoda konečných ných prvků numerická metoda s exaktním matematickým základem vycházejícím z teorie funkcionální analýzy základní myšlenka: aproximovat hledanou spojitou funkci po částech spojitou funkcí převést úlohu vyřešit diferenciální rovnici s neznámou spojitou funkcí na úlohu hledat minimum funkcionálu z po částech spojité funkce, kterou lze převést na úlohu vyřešit soustavu algebraických rovnic

Algoritmus FME Generování uzlů Delaunayův algoritmus Generování konečných prvků Řešení soustavy alg. rovnic Výsledek Zavedení bázových funkcí Transformace funkcionálu na soustavu alg. rovnic Definice vhodného skalárního součinu

Generování sítě planárn rní sonda

Generování sítě válcová sonda

Typy konečných ných prvků

Hybridní modelování v plazmatu kombinace spojitého a částicového přístupu snaha o využití předností obou předchozích přístupů rychlost ze spojitého modelování přesnost z částicového modelování výsledkem je kompromis v přesnosti i rychlosti výpočtu

Hybridní modelování ve fyzice plazmatu Kombinace částicového a spojitého modelování, s cílem využít předností obou metod rychlostní hybridní model Hybridní model prostorový hybridní model

Hybridní model rychlostní Výpočet různými technikami pro různé typy částic V modelu mohou existovat rychlé elektrony, pomalé elektrony, ionty,. Každý typ částic se tedy pohybuje různě rychle => různé techniky modelování

Hybridní model rychlostní Část Monte Carlo Spojitá část Kombinace Monte Carlo a spojité části A. Bogaerts, R. Gijbels, W. J. Goedheer: Hybrid Monte Carlo fluid model of a direct current glow discharge, J. Appl. Phys. 78 (4) A. Bogaerts, R. Gijbels, W. J. Goedheer: Two-Dimensional Model of a Direct Current Glow Discharge: Description of the Electrons, Argon Ions, and Fast Argon Atoms, Analytical Chemistry, Vol. 68, No. 14 Jelínek, P., Hrach, R., Bartoš, P., Techniques for computational study of plasma-solid interaction at higher pressures, Vacuum 82, 240-243, 2007.

Spojit Spojitáčást st Výpočet pro ionty a rychlé elektrony e e e r x j t n = + i i i r x j t n = + ( ) 0, 0 2 2 = + fast e e i n n n e x V ε x n D x V n j e e e e e = µ x n D x V n j i i i i i = µ

Hybridní model prostorový Základní myšlenka je modelovat odlišné části v pracovní oblasti různými technikami V našem případě je možno rozdělit pracovní oblast na tzv. sheath a presheath Použití částicových technik v oblasti tzv. sheathu, kde je maxwellovské rozdělení porušeno V oblasti tzv. presheathu, kde je rozdělení maxwellovské, je možno používat spojité techniky počítačového modelování

Modely plazmatu v okolí sond různých typů Šimek, J., Hrach, R., Jelínek, P., Computational Study of Negative Ions Influence on Plasma Sheath Formation, Comp. Phys. Commun. 177 (1-2), 137, 2007. Jelínek, P., Hrach, R., Bartoš, P., Techniques for computational study of plasma-solid interaction at higher pressures, Vacuum 82, 240-243, 2007. Bartoš, P., Hrach, R., Jelínek, P., Multidimensional fluid-particle modelling technique in low-temperature argon plasma at low pressure, Vacuum 82, 220-223, 2007. Jelínek, P., Virostko, P., Hubička, Z., Bartoš, P., Modelling of RF discharge in argon plasma, Computation in Modern Science and Engineering 2, 1240-1243, 2007. Bartoš, P., Hrach, R., Jelínek, P., Computer simulations of probe measurements in argon plasma: Effects of finite dimensions of the probe, Contrib. Plasma Phys. 48, No. 5-7, 406-411, 2008. P. Bartoš, J. Blažek, P. Jelínek, P. Špatenka, Hybrid Computer Simulations: Electrical Charging of Dust Particles in Low-Temperature Plasma, Eur. Phys. J. D 54, 319-323, 2009.