3.2.1 hodnost trojúhelníků I Předpokldy: 3108 v útvry jsou shodné, pokud je možné je přemístěním ztotožnit. v prxi těžko proveditelné hledáme jinou možnost ověření shodnosti v útvry jsou shodné, pokud se všechny odpovídjící si vzdálenosti shodují. prolémy: musíme dát pozor, který od ptří ke kterému musíme zkontrolovt nekonečně mnoho dvojic vzdáleností vznikjí prvidl pro konkrétní útvry hodnost trojúhelníků píšeme KL (od odpovídá odu K, od odpovídá odu L, od odpovídá odu ) Věty o shodnosti trojúhelníků Vět sss: v trojúhelníky, které se shodují ve všech třech strnách, jsou shodné. Vět sus: v trojúhelníky, které se shodují ve dvou strnách úhlu jimi sevřeném, jsou shodné. Vět usu: v trojúhelníky, které se shodují v jedné strně úhlech přilehlých k této strně jsou shodné. věty o shodnosti jsou zároveň i věty o jednoznčném sestrojení trojúhelník pokud se dv trojúhelníky djí sestrojit ze stejných hodnot postup jejich sestrojování je jednoznčný, musí ýt shodné ke kždému jednoznčnému postupu odpovídá jedn vět o shodnosti Jk se pomocí předchozích vět dokzuje shodnost dvou trojúhelníků? příkld úhlopříčk dělí odélník n dv stejné trojúhelníky. Proč? u Úhlopříčk rozděluje odélník n dv trojúhelníky oznčíme si je modře zeleně. Protilehlé strny odélník jsou stejné o trojúhelníky mjí jednu strnu jednu strnu (oznčené stejnou rvou), třetí strnu trojúhelníky sdílejí (úhlopříčk u) o trojúhelníky mjí strny,, u shodují se ve všech třech strnách jsou shodné podle věty sss. Př. 1: okž pomocí kždé z předchozích vět, že úhlopříčk dělí rovnoěžník n dv stejné trojúhelníky. Při důkzech využij vlstnosti rovnoěžník: protější strny jsou shodné rovnoěžné, protější vnitřní úhly jsou shodné. ) vět sss 1
u protější strny rovnoěžník jsou shodné, o trojúhelníky mjí úhlopříčku jko společnou strnu o trojúhelníky mjí strny,, u shodují se ve všech třech strnách jsou shodné podle věty sss ) vět sus protější strny rovnoěžník jsou shodné, protější úhly v rovnoěžníku jsou shodné o trojúhelníky mjí strny, úhel α shodují se ve dvou strnách úhlu, který tyto strny svírjí jsou shodné podle věty sus c) vět usu protější strny rovnoěžník jsou shodné, protější úhly v rovnoěžníku jsou shodné, úhly, které svírá úhlopříčk s vodorovnými strnmi jsou shodné (rovnoěžky proťté příčkou) o trojúhelníky mjí shodnou strnu shodné úhly α, β, které k této strně přiléhjí shodují se ve strně přilehlých úhlech jsou shodné podle věty usu Pedgogická poznámk: Předchozí příkld je smozřejmě velmi jednoduchý, le jde o záměr. velkou prvděpodoností jde o první příkld tohoto typu, se kterým se studenti setkjí. Př. 2: od je středem zákldny rovnormenného trojúhelníku. odem jsou vedeny kolmice k rmenům. Pty těchto kolmici oznčíme K, L. okž, že trojúhelník K je shodný s trojúhelníkem L. kreslíme si náčrtek situce: 2
K L Oznčíme si trojúhelníky zčneme hledt shodné strny neo shodné úhly: K L k k O trojúhelníky se shodují: v zákldné k (od je středem strny ) v prvém úhlu při vrcholech K L (jde o pty kolmic n rmen trojúhelníku ) v úhlech α při vrcholech, (trojúhelník je rovnormenný se zákldnou ) v úhlech při vrcholu (zytek do 180 ) o trojúhelníky mjí shodnou strnu k shodné úhly α, β, které k této strně přiléhjí shodují se ve strně přilehlých úhlech jsou shodné podle věty usu Pedgogická poznámk: Předchozí příkld je nutné studentům necht udělt smosttně pečlivě je kontrolovt. Znčná část z nich příkld dokáže podle věty usu, le se strnmi K L. tudenti totiž nevnímjí poždvky n spolehlivost dosttečně striktně vycházejí z rovnosti strn K L ez toho, že y ji jkkoliv dokázli (nejčstěji to komentují slovy je to přece jsný ). Je tře trvt n tom, že shodnost strn musí ýt dokázán neo přímo vycházet ze zdání (jko z něj vychází shodnost úseček, která vyplývá ze zdné informce, že od je střed. chopnost zjistit ze zdání o jké informce se můžeme při řešení opírt je jednou z dovedností, které se doře procvičují právě u geometrie. Př. 3: Jsou dány dvě rovnoěžky,. Přímk p je liovolná příčk těchto rovnoěžek, ody, jsou její průsečíky s přímkmi, od je středem úsečky. okž, že když sestrojíme pomocí liovolné přímky p různoěžné s procházející odem ody, ude od středem úsečky. kreslíme si náčrtek situce: 3
p áme dokázt shodnost dvou strn zkusíme dokázt shodnost dvou trojúhelníku, které mjí tyto strny pokud se udou trojúhelníky shodovt musí se shodovt i jejich odpovídjící strny Pokusíme se dokázt shodnost trojúhelníků. Hledáme v oou trojúhelnících shodné strny shodné úhly: p O trojúhelníky se shodují: v strně (od je středem strny ) v úhlu α při vrcholech (rovnoěžky proťté příčkou) v úhlech β při vrcholech, (rovnoěžky proťté příčkou) v úhlech γ při vrcholu (zytek do 180 ) o trojúhelníky mjí shodnou strnu shodné úhly α, γ, které k této strně přiléhjí shodují se ve strně přilehlých úhlech jsou shodné podle věty usu Př. 4: Je dán ostroúhlý trojúhelník. d strnmi jsou sestrojeny rovnostrnné trojúhelníky. okž, že pltí =. kreslíme si orázek situce: usíme njít dv trojúhelníky, které oshují strny jsou shodné. 4
Při důkzu udeme určitě využívt rovnostrnnost trojúhelníků vyznčíme si do orázku všechny strny o délce : Je zřejmé, že k důkzu použijeme trojúhelníky : O trojúhelníky se shodují: v strně (strny ) v strně (strny ) v úhlech δ při vrchol (pltí δ = γ + 60 ) o trojúhelníky mjí dvě shodné strny shodný úhel strnmi sevřený jsou shodné podle věty sus Př. 5: Petáková: strn 86/cvičení 18 strn 86/cvičení 19 hrnutí: Při důkzech musíme zčít pouze od jistých informcí. 5