Definice limit I

Transkript

1 08 Definice limit I Předpokld: 006 Pedgogická poznámk: N úvod je třeb upozornit, že tto hodin je ze strn studentů snd nejvíce sbotovnou látkou z celé studium (podle rekcí 4B009) Jejich ochot brát n vědomí smsl vět, které si píší, je mizivá k řešení příkldů je nutné je víceméně nutit Všichni mjí plno řečí o stršně těžké, nepochopitelné látce tom, že jsou moc hloupí vůbec neví Přesto mé zkušenosti ukzují, že počet studentů, kteří nedokážou definice smosttně sestvovt je mizivý Jenom se jim nechce Z předchozího je zřejmé, že pokud jim budete definice diktovt, zbtečně plýtváte čsem, protože kromě mtemtických olmpioniků vás nikdo neposlouchá (lze sndno ověřit npříkld úmslnou chbou) To už je lepší rozdt studentům definice vtištěné n ppíře Př : Nkresli vedle sebe tři obrázk funkcí: ) funkce spojitá v bodě b) funkce nespojitá v bodě, s limitou v bodě c) funkce je v bodě nespojitá, bez limit v bodě U funkcí, které mjí limitu, vznč limitu n ose Jký je rozdíl mezi poždvk n eistenci limit poždvk n spojitostí funkce? f()= f() f() hodnot f ( ) může být jkákoliv limit se nezmění funkce směřuje v bodě z obou strn k jiné hodnotě nemá limitu Spojitost klde n funkci větší poždvk, funkce se musí blížit k číslu, které je její funkční hodnotou imit vůbec nezávisí n hodnotě funkce v zkoumném bodě definice spojitosti v bodě: f, Funkce f je spojitá v bodě, jestliže k libovolně zvolenému ε -okolí bodu eistuje tkové δ -okolí bodu, že pro všechn z tohoto okolí bodu ptří f hodnot f ( ) do zvoleného okolí bodu Vjádření pomocí nerovnic s bsolutní hodnotou: Funkce f je spojitá v bodě, jestliže ke kždému ε > 0 eistuje δ > 0 tk, že pro všechn reálná pltí: je-li δ f f < ε <, pk

2 Př : Prostuduj obě verze definice spojitosti v bodě Co budeme muset n definicích změnit, b se z nich stl definice limit? musíme změnit: nezáleží n situci v bodě mezi, které budeme vbírt z okolí bodu nesmí být smotný bod použijeme pouze redukovné okolí bodu ( nebo podmínku ) f okolí n ose, do kterého se při zobrzování musíme nemusí eistovt hodnot trefit, vbudujeme kolem limit Př 3: Sestv podle obou předchozích definic pro spojitost odpovídjící definice limit funkce definice limit v bodě: Funkce f má v bodě limitu, jestliže k libovolně zvolenému ε -okolí bodu, eistuje tkové δ -okolí bodu, že pro všechn z tohoto okolí bodu, f do zvoleného ε -okolí bodu ptří hodnot Vjádření pomocí nerovnic s bsolutní hodnotou: Funkce f má v bodě limitu, jestliže ke kždému ε > 0 eistuje δ > 0 tk, že pro všechn reálná pltí: je-li 0 δ f < ε < <, pk Př 4: (BONUS) Zpiš definici limit pomocí zkráceného zápisu mtemtickou smbolikou lim f = ε > 0 δ > 0 R : 0 < < δ f < ε Pro limit funkce v bodě pltí následující dvě vět: Funkce má v bodě nejvýše jednu limitu Funkce f je spojitá v bodě, právě kdž lim f ( ) = f Obě vět jsou z nšich obrázku zřejmé, le přesto vždují ektní mtemtický důkz Př 5: (BONUS) Dokž sporem větu, že funkce má v bodě nejvýše jednu limitu Spor předpokládáme opk = funkce má v bodě dvě limit Poloměr okolí n ose volíme libovolně ε = ε = Z definice vplývá (pro okolí n ose ): eistuje δ > 0 tkové, že je-li 0 δ f < ε eistuje δ > 0 tkové, že je-li 0 δ < <, pk < <, pk f < ε Zvolíme uvnitř menšího z obou okolí bodu : 0 min ( δ, δ ) měl vejít do okolí obou limit < < tto b se

3 = f + f = f + f 0 = f + f f + f (protože pltí + b + b ) Vužijeme: f = f < ε, f < ε f + f < ε + ε = ε < ε což je spor s původním předpokldem ε = vět pltí Př 6: (BONUS) Dokž přímých důkzem větu o souvislosti spojitosti limit Vět má tvr ekvivlence p q musíme ji dokázt oběm směr: p q : Je-li funkce f je spojitá v bodě, pk lim f ( ) = f vcházíme ze spojitosti máme dokázt limitu ε > δ > < δ < ε máme spojitost: R f f 0 0 : R ( f ) ε > δ > < < δ < ε chceme limitu: 0 0 : 0 stčí zpst = f přidt omezující podmínku 0 < první řádk se změní v druhou je-li splněn první řádk je splněn i druhá p q pltí q p : Je-li lim f ( ) = f, pk je funkce f je spojitá v bodě vcházíme z limit máme dokázt spojitost R ( f ) 0 0 R :( f f ) ε > δ > < < δ < ε máme limitu: 0 0 : 0 ε > δ > < δ < ε chceme spojitost: víme lim ε > 0 δ > 0 R :( 0 < < δ f f < ε ) zbývá zjistit, b podmínk f f < ε pltil i pro f = = f dopíšeme ji do definice ve výchozím řádku f (o hodnotě v limit nic neříká), le to je jsné pro = pltí f = f f f = f f = 0 obrz bodu leží tké v okolí f f < ε Dokázáno 3

4 Př 7: Nkresli obrázk sestv definici (v obou verzích) jednostrnné limit zlev ve vlstním bodě f() Funkce nemusí být nprvo od bodu (dokonce ni přímo v bodu ) definován, která se budeme snžit zobrzit do ε -okolí kolem limit musíme vbírt pouze nlevo od bodu zobrzujeme pouze z levého okolí bodu (vše osttní zůstává stejné) Funkce f má v bodě limitu zlev, jestliže k libovolně zvolenému ε -okolí bodu, eistuje tkové levé δ -okolí bodu, že pro všechn z tohoto okolí bodu, ptří f do zvoleného ε -okolí bodu hodnot Přes nerovnosti: Funkce f má v bodě limitu zlev, jestliže ke kždému ε > 0 eistuje δ > 0 tk, že pro všechn reálná pltí: je-li δ f < ε < <, pk Př 8: Nkresli obrázk sestv definici (v obou verzích) jednostrnné limit zprv ve vlstním bodě f()= Funkce nemusí být nlevo od bodu (dokonce ni přímo v bodu ) definován, která se budeme snžit zobrzit do ε -okolí kolem limit musíme vbírt pouze nprvo od bodu zobrzujeme pouze z prvého okolí bodu (vše osttní zůstává stejné) Funkce f má v bodě limitu zprv, jestliže k libovolně zvolenému ε -okolí bodu, eistuje tkové prvé δ -okolí bodu, že pro všechn z tohoto okolí bodu, ptří f do zvoleného ε -okolí bodu hodnot Přes nerovnosti: Funkce f má v bodě limitu zprv, jestliže ke kždému ε > 0 eistuje δ > 0 tk, že pro všechn reálná pltí: je-li δ f < ε < < +, pk 4

5 Př 9: Njdi vzth mezi eistencí jednostrnných limit funkce v bodě eistencí limit Kdž eistují obě jednostrnné limit jsou stejné, tk se funkce v bodě blíží z obou strn ke stejnému číslu má ted limitu imit funkce f v bodě eistuje, právě kdž eistují v bodě limit zprv zlev jsou si rovn Potom se limit funkce f v bodě rovná společné hodnotě limit zprv zlev Shrnutí: Definice limit jsou velmi podobné definicím spojitosti Vnecháváme pouze zobrzování bodu 5