Logaritmus. Předpoklady: 2909

Transkript

1 .9. Logritmus Předpokld: 909 Pedgogická poznámk: Následující příkld vždují tk jeden půl vučovcí hodin. V přípdě potřeb všk stčí dojít k příkldu 6 zbtek jen ukázt, což se dá z jednu hodinu stihnout (nedoporučuji). Pedgogická poznámk: Je potřeb, b studenti počítli ritm smi. Nedělá jim to problém, jen n úplném zčátku je třeb několik jednotlivcům zopkovt, co ritmus znmená. Při řešení příkldů n eponenciální závislosti i při řešení některých rovnic, jsme nebli schopni určit výsledek. Podobnou situci jsme už zžili při umocňování. Srovnáme obě situce n rovnicích: Kd to šlo: = Hledáme číslo, které se po umocnění n třetí bude rovnt. = = Kd to nešlo: = 0 Hledáme číslo, které se po umocnění n třetí bude rovnt 0. Nemáme tkové číslo k dispozici (žádné nám dosud známé číslo se po umocnění n třetí nerovná 0). = 0 Smbol 0 znmená číslo, které se po umocnění n třetí rovná dvceti. Nzýváme ho třetí odmocnin z 0. Můžeme ho určit přibližně n libovolný počet míst, npříkld n dvě: 0,. Správnost můžeme ověřit umocněním:, 9,9. = Hledáme číslo, n které musíme umocnit, b všlo. = = = Hledáme číslo, n které musíme umocnit, b všlo. Nemáme tkové číslo k dispozici ( n žádné dosud známé číslo se nerovná ). Z grfu vidíme, že tkové číslo eistuje: - 6 Funkce = má hodnotu musí eistovt číslo, n které umocníme, získáme. Z grfu je vidět, že bude pltit: < <. Číslo, téměř splňuje nše poždvk:, 6,96. Stejně jko u odmocnin se smíříme s tím, že nebudeme ve většině přípdů znát přesnou hodnotu hledného čísl budeme ji určovt

2 hodnotu hledného čísl budeme ji určovt jen přibližně n libovolný počet míst. Číslo pojmenujeme ritmus při zákldu ze ( ) (zákld, protože umocňujeme, ze protože po umocnění má vjít ). Nejpřesnější odpověď n otázku: N jké číslo musíme dát, b všl?, je. Pltí: =, právě kdž =. Logritmus při zákldu z je číslo (píšeme = ), n které musíme umocnit zákld, bchom získli číslo (píšeme = ). Ted =, právě kdž =. Předchozí definice pro nás teď bude velmi důležitá. Vžd kdž budeme potřebovt zjistit význm libovolného čísl vstupujícího okolo ritmů, odkážeme se n ni. Pedgogická poznámk: Definice smozřejmě není kompletní korektní. Jejím dokončením se studenti zbývjí později, ve chvíli, kd již určí několik ritmů zčnou se trochu orientovt ve význmu čísel,,. Pokud někdo n nekompletnost upozorní, řešíme ji ihned. Jká je hodnot? Hledáme číslo, n které musíme umocnit, b všlo. Hledné číslo je, protože pltí: = =. Poznámk: Všimni si, že stejně jko se při určování hodnot odmocnin odkzujeme n umocňování, při určování hodnot ritmu se odkzujeme n hodnot eponenciální funkce. Př. : Urči 9. Hledáme číslo, n které musíme umocnit, b všlo 9. Hledné číslo je, protože pltí: = 9 9 =. Poznámk: Příkld můžeme řešit tké jko rovnici. Hledáme číslo, n které musíme umocnit, b všlo 9. Kdž si ho oznčíme, musí pltit: = 9. = = 9 = Př. : Urči hodnot ritmů: d) e) 9

3 Hledáme číslo, n které musíme umocnit, b všlo 6. Hledné číslo je, protože pltí: = 6 9 =. Hledáme číslo, n které musíme umocnit 0, b všlo Hledné číslo je, protože pltí: 0 = =. Hledáme číslo, n které musíme umocnit, b všlo. Hledné číslo je, protože pltí: = =. d) Hledáme číslo, n které musíme umocnit, b všlo. Hledné číslo je, protože pltí: = =. e) Hledáme číslo, n které musíme umocnit ( ) ( ) = = = 9 9 =., b všlo 9. Hledné číslo je, protože pltí: Př. : Urči hodnot ritmů: 0 0, 000 d) 6 e) Hledáme číslo, n které musíme umocnit, b všlo. Pomůžeme si rovnicí: =. = = = Hledáme číslo, n které musíme umocnit 0, b všlo 0,000. Pomůžeme si rovnicí: 0 = 0, = 0 = 0 0, 000 = Hledáme číslo, n které musím umocnit, b všlo. Pomůžeme si rovnicí: =. 0 = = 0 = 0 (ritmus z se rovná nule bez ohledu n zákld) d) Hledáme číslo, n které musíme umocnit, b všlo 6. Pomůžeme si rovnicí: = 6. ( ) = = =

4 6 = e) Hledáme číslo, n které musíme umocnit, b všlo. Pomůžeme si rovnicí: ( ) 6 = =. = = = 6 Pedgogická poznámk: Většin studentů dokáže předchozí ritm určovt zpměti, což je smozřejmě lepší. Použití rovnice b mělo být zbrní poslední záchrn, přesto ho doporučuji poměrně brzo po zdání příkldu ukázt n tbuli, b studenti s horší schopností počítt zpměti zbtečně neztráceli čs. Př. : Urči hodnot ritmů: d) 6 Hledáme číslo, n které musíme umocnit, b všlo. Pomůžeme si rovnicí: =. = = = Hledáme číslo, n které musíme umocnit, b všlo. Pomůžeme si rovnicí: =. ( ) = = = Hledáme číslo, n které musíme umocnit, b všlo Pomůžeme si rovnicí: =. ( ). = = = d) Hledáme číslo, n které musíme umocnit, b všlo 6. Pomůžeme si rovnicí: ( ) 6 6 = =. = = = = =

5 Logritmus při zákldu z je číslo (píšeme = ), n které musíme umocnit zákld, bchom získli číslo (píšeme = ). Ted =, právě kdž =. Př. : Definice ritmu ze zčátku hodin není úplná korektní. Doplň ji tk, b bl správná. V definici zřejmě chbí předpokld o hodnotách. (číslo, které umocňujeme) stejné poždvk jko n zákld eponenciální funkce 0;. ( ) { } (výsledek umocňování) umocňujeme kldná čísl, různá od jedné výsledek musí být 0;. vžd kldný ( ) (mocnitel) může být libovolný R. Logritmus při zákldu z je číslo (píšeme = ), n které musíme umocnit zákld, bchom získli číslo (píšeme = ). Ted =, právě kdž =. Ted = právě kdž =. Pedgogická poznámk: Mslím, že použitá metod pozdějšího doplnění předpokldů je výhodnější. Studenti si nejdříve zžijí, jk se ritm počítjí teprve poté, kdž znjí význm jednotlivých čísel, sestvují předpokld. Tkto se nd předpokld zmslí, lespoň v okmžiku, kd je formulují. V klsickém přípdě je většinou zcel ignorují. Př. 6: Urči zpměti hodnot ritmů: π = ( musíme umocnit n, b všlo ) π = π ( musíme umocnit n druhou n π, b všlo π ) = = ( musíme umocnit n polovinu n, b všlo ) Pedgogická poznámk: Minimálně první bod b měli studenti oprvdu vřešit ( chápt) z hlv. Pokud ne, je potřeb ujsnění situce. Př. : Urči hodnotu výrzu. Pltí: =. je číslo, n které musíme umocnit, b všlo. A právě n toto číslo jsme dvojku umocnili. Pedgogická poznámk: Předchozí příkld b měl být opět všem zcel jsný. Překvpivě s ním mjí problém lepší studenti. Při vsvětlování je možné použít zdání, ze kterého je možné provést výpočet přímo: Urči hodnotu výrzu

6 = = (pltí = ). V kždém přípdě je potřeb, b kždý chápl rovnost = přímo bez určování hodnot ritmu, které jsme použili v této poznámce. Př. : Urči číslo, pokud pltí: = = = d) = Opkujeme význm čísel = je zákld mocnin (co umocňujeme), je číslo, které vjde po umocnění, hodnot ritmu () je číslo n které umocňujeme. Pltí ted: = = 6. Pltí: = =. Pltí: = ( ) =. = =. d) Pltí: ( ) Poznámk: Je vidět, že příkld tohoto tpu je možné řešit zcel utomtick. Zákld ritmu umocníme n jeho hodnotu získáme číslo, ze kterého jsme ritmus počítli. Př. 9: Urči číslo, pokud pltí: 6 = = = d) = 6 6 = Opkujeme význm čísel 6 = je zákld mocnin (co umocňujeme), 6 je číslo, které vjde po umocnění, hodnot ritmu () je číslo, n které umocňujeme. Pltí ted: 6 =. Ptáme se: Jké číslo musíme umocnit n, b všlo 6? = = = Jké číslo musíme umocnit n -, b všlo? = = = = = Jké číslo musíme umocnit n, b všl? = = = d) = 6 Jké číslo musíme umocnit n 6, b všlo? 6

7 6 = = 6 = Př. 0: Urči hodnotu výrzu: 90 0, Problém: Čísl, n která umocňujeme jsou jiná než číslo v zákldu ritmu. Uprvíme výrz, zkusíme přepst zákld mocnin: 0 = 9 = 9 = 0 = ( ) ( ) ( ) 0, = = = = Př. : Zjednoduš výrz uveď podmínk: = R { 0} = ( 0; ) { } Př. : Petáková: strn /cvičení 69 d) e) g) strn /cvičení 0 d) g) h) strn /cvičení d) g) (zákld ritmu nesmí být ) Shrnutí: je číslo, n které musíme umocnit, b všlo. Proto pltí =.