TANGRAM VEVÝUCE MATEMATIKY NA 2. STUPNI

TANGRAM VEVÝUCE MATEMATIKY NA 2. STUPNI Jaroslava Brincková, Miroslav Haviar * a Iveta Dzúriková ÚVOD Uení je na jedné stran výsledek innosti, ale zárove se inností také rozvíjí. Mezi innosti velmi asto využívané ve výuce jsou asto matematické hry. Pokud tyto hry probíhají podle uritých pravidel, které odpovídají didaktickým cílm, nazýváme je didaktickými hrami ve výukovém procesu. Mezi didaktické hry patí i geometrické skládaky, mezi nž adíme také starovkou ínskou skládaku nazývanou tangram. Z hlediska vzdlávacího procesu tangramy pomáhají pi výuce geometrie, protože rozvíjejí: 1. znalosti z oblasti geometrie, 2. odvodování, 3. geometrickou pedstavivost. Geometrickou pedstavivostí rozumíme schopnost vnímat: geometrické útvary, jejich velikost a pozici v prostoru, konkrétní geometrický útvar rzn umístný v prostoru, zmny velikosti, struktury atd. útvar, útvar v prostoru podle projekce v rovinn a slovního popisu, znázornní konkrétného útvaru v rovin. * Pedagogická Fakulta, Univerzita Mateja Bela, Banská Bystrica, Slovenská Republika. 8. roné evanjelické gymnázium, Banská Bystrica, Slovenská Republika. 1

Hlavní pilotáž Jaroslava Brincková a Iveta Dzúriková Pi výuce geometrie lze díky modelování tangramu z papíru v E 2 (rovin) i ze stavebnicových díl v E 3 (prostoru) provozovat innosti, které rozvíjejí geometrickou pedstavivost. Pravidla používání tangramu Obrázek 1: Tangram Pi tvoení libovolného tvaru musí být vždy použito všech 7 dílk tangramu. Žádné dílky tangramu se nesmjí pekrývat. Všechny dílku tangramu lze v pípad poteby použít i z rubové strany. Pi výuce geometrie lze dílky tangramové skládaky použít v zásad dvma zpsoby: Pro modelování pedem ureného útvaru takto lze procviovat a rozvíjet geometrickou pedstavivost, smysl pro geometrické útvary a jejich vlastnosti; dít vnímá plochu. Pro zaplnní ohraniené plochy danými dílky v tomto pípad existují ti možnosti: o Tvar je daný ohraniením plochy. o Všechny body útvaru mají stejnou barvu vyplnný útvar. o Útvar je umístn ve tvercové síti. Pi modelování pedem ureného útvaru musejí žáci porovnávat hranice jednotlivých útvar a vybrat vhodný dílek tangramu, který do vytváeného útvaru pi uritém natoení pasuje. Žáci si vybavují geometrické útvary, jejich velikost a umístní v prostoru, vnímají jeden útvar v rzných umístních v prostoru atd. Pi zaplování ohranieného prostoru jednotlivými dílky existuje nkolik úrovní obtížnosti. Výzkum ukazuje, že žáci nejnižších roník nevnímají tvercovou sí jako nástroj, který jim pomáhá pi práci s pravidelnými tyúhelníky, ale vnímají ji jako dvoubarevné prostedí, tedy jako papír s obrázky. Teprve postupn se uí vnímat rovnobžky a kolmice. Nejúspšnjší jsou tehdy, pokud jsou dány hranice zadaného útvaru. Pi výuce geometrie na 2. stupni základních škol a nižším gymnáziu lze tangram využívat pi rzných motivaních úkolech, pi procviování obsahu, obvodu, osové soumrnosti a podobnosti útvar, pi dokazování Pythagorovy vty a pi výkladu 2

racionálních ísel. Také pomáhá pi procviování zobrazování ve tvercové síti. Není však ideálním nástrojem pro výuku geometrických pojm, protože se skládá pouze z jednoho ze sedmi typ trojúhelník (pravoúhlého rovnoramenného trojúhelníku), ze dvou tyúhelník (tverce a rovnobžníku) a neobsahuje kruh. Hlavní myšlenky Vliv jednobarevné a mnohobarevné vyuovací pomcky na úspšnost žák. Rozvoj schopnosti vnímat obvod a obsah nekonvexního obrazce v rovin. Vliv grafického prostedí (tverekovaný papír, barevný papír, ist bílý papír) na schopnost zobrazit uritý model v rovin. Zjistit obvod a obsah rzných dílk skládaky. 1. Název: Tangram pro mní obvodu a obsahu 2. Rozvíjené matematické oblasti: Mení obrazc v rovinn s použitím nestandardních jednotek mení. 3. Popis úlohy Obecným cílem tohoto návrhu je, aby si studenti budoucí uitelé matematiky uvdomili, jaký význam mají úlohy s mením pro matematický rozvoj žák. Hru s tangramem využíváme v semináích pro studenty uitelství 2. stupn v rámci píparvy na výuku geometrie na 2. stupni základních škol a na nižších gymnáziích (vk 11 14 let). Hlavním cílem je rozvoj tvoivého myšlení a geometrické pedstavivost žák. Naším zámrem je pipravit takovou školní úlohu, ve které se v rzném kontextu pracuje s pojmy obvod a obsah. Tangram chceme využít pro názorné pedvedení zobrazování ve tvercové síti pi mení obvodu a obsahu. Zamujeme se na následující dílí cíle: Didaktické vysvtlení posloupnosti krok pi modelování geometrických pojm obvod a obsah dvojrozmrných obrazc: pozorování modelování zobrazování v rovin mení rýsování odvození funkních vztah. Popis van Hielových1 úrovní geometrického myšlení, obzvlášt se zamením na odvozování funkních vztah s použitím geometrických termín. Modelování ve svt ísel a tvar s použitím úseky a jednotky. Nalezení vztah mezi obvodem a obsahem pro rzné obrazce. Pouze pro 14ti leté žáky: mení velikosti rzných obrazc a vypoítání jejich obvodu a obsahu s pomocí Pythagorovy vty a algebraických výraz. 4. Cíle Pro žáky 2. stupn ZŠ a nižších gymnázií Kombinace využití aritmetiky, algebry a geometrie v rámci zadaných úkol. 1 Van Hiele, P.M.: Structure & Insight. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1983 3

Využití skládaky tangram pro modelování a mení obvodu obsahu v geometrii v rovin. Formulování hypotéz, rozhodování, kontrola a ovení výsledk. Pro studenty uitelství V matematice: Zkoumat rzné úlohu mením v geometrii (modelovat vztah mezi ísly a tvary). V metodologii: Skupinová práce tvorba didaktického materiál pro podporu motivace žák. Testování tchto materiál ve 4 krocích: o vnímání, modelování a zobrazování; o definice pojm a mení; o postup pi skládání; o rozkládání. Pro vyuující VŠ Vést studenty uitelství k tomu, aby upravili svj plán hodiny s ohledem na vk, úrove a specifické poteby žák a aby zodpovdn vybírali jednotlivé úlohy atd. Poskytnout zadání a zptnou vazbu. 5. Zadání Pro studenty uitelství Vnímání, modelování a zobrazování Úloha. 1 Studenti uitelství se seznámí s pravidly hry Tangram. Podle obrázku jedna narýsují jednotlivé dílky skládaky na papír. Studenti hru pipraví ve dvou verzích, bílé a barevné, což v praxi znamená, že ve verzi 1 zstanou tvary 1 7 ist bílé a ve verzi dv se obarví tak, aby sousedící tvary mly vždy jinou barvu. V obou verzích dílky skládaky tangram vystihnou. Studenti používají dílky obou verzí tangramu oddlen k modelování rzných složených tvar z obrázku 2. Studenti uitelství používají všechny dílky tangramu k vytvoení rzných tvar z obrázku dv i k tvorb jiných tvar, napíklad tvaru dívka, svíka atd. Obkreslí (run) každý vytvoený model v obou verzích (bílý vs. barevný) na ti rzné listy papíru: bílý, tverekovaný a barevný. Prodiskutují vliv rzného pozadí na listech papíru i obou verzí tangramu na schopnost obkreslit pesný obrys složených tvar tangramu. Poté prodiskutují vliv rznobarevných dílk na schopnost vnímat obrys obrazce. Mli by si také uvdomit, jak rzn ovlivují ob verze tangramu (bílá vs. barevná) schopnost vnímat hranice nakreslených obrázk. V další fázi studenti uitelství prodiskutují, jaké jsou možnosti hry tangram pi výuce klasifikace tyúhelník pro vkovou skupinu 11 14 let. 4

Definice pojm a mení Obrázek 2: Složené tvary Úloha. 2 (Viz také Pojmové mapy Mení v Píloze nebo slovenskou webovou stránku www.zoznam.sk/katalogy/vzdelavanie/slovniky/.) Studenti uitelství ve výkladovém slovníku vyhledají význam pojm obvod a obsah v rzném kontextu. Zkoumají význam pojmu obvod a obsah v rzných oblastech (zempis, literatura, elektrotechnika, obanská nauka, umní, geometrie, ). Tento postup má vést k tomu, aby studenti uitelství chápali, že pojem obvod (obsah) v matematice znamená délku uzavené kivky urené (uspoádanou) dvojicí [íslo, jednotka], nikoli hranici (plochu) rovinného obrazce. Postup skládání [viz Obrázek 1] Mžeme používat dv jednotky jednou jednotkou mže být strana tverce 4 (nazývejme ji s), druhou jednotkou je pepona trojúhelníku 7 (nazývejme ji h). Ukazujeme, že známe-li obvod (obsah), je možné podle instrukcí vytvoit rovinné obrazce s rzným obsahem (obvodem). Úloha. 3 S použitím dvou shodných trojúhelník (tedy bu z trojúhelník 1 a 2, nebo 6 a 7), vytvote takové útvary, aby mly strany se stejnou délkou. Vymodelované ešení pekreslete do sešit. Obvod vymodelovaných útvar vyjádete pomocí jednotek s a h. Úloha. 4 S použitím tverce 4 a dvou trojúhelník 6 a 7 tangramu vytvote takové rovinné útvary, aby nly strany stejné dély. Najdte všechan ešení a roztite je podle obvodu, podle potu a velikosti úhl a podle rovnobžných stran. Položí-li obrazce k sob, žáci vidí, že jedna strana trojúhelníku je delší než strana tverce. Což otevírá možnost zahájit zajímavou a didakticky pínosnou diskusi co s tím mžeme udlat? Za pedpokladu, že nemžeme mit jak mžeme urit obrazce? Které obrazce mají stejný obvod? Mžeme používat dv jednotky s a h. Takže obvody jsou: A je 6s, B je 4s + 2h, C je 4s + 2h, atd. (Všimnte si, že všechny obvody krom obvodu obrazce A jsou 4s + 2h.) To by mlo podporovat používání znak (s, h) pi ešení úlohy a také otevírá následující otázku: 5

Jaký obvod mají všechny ostatní útvary tangramu? Postup rozkládání [viz Obrázek 1] Obrázek 3: Výsledky Úloha. 5 Žáci složí všechny ásti tangramu a vytvoí: a) trojúhelník, b) tverec, c) obdélník. Peliv si prohlédnou rozdíly mezi bílým a obarveným tangramem. Úloha. 6 Vytvote trojúhelníky z 2, 3, 4, 5, 6 a všech dílk barevného tangramu. Nakreslete barevné modely. Najdte všechan ešení složená z pti ástí. Úloha. 7 Barborka vytvoila ptiúhelník. Podívejte se na obrázek 4 a vytvo nový s použitím dílk. 3 a 5. Které další ásti tangramu potebujete k vytvoení stejného tvaru? Jednou z možností je použít ásti 4, 6 a 7. Najdte všechna ešení. s h Obrázek 4: Ptiúhelník Obsah a obvod obrazc v rovin [viz Obrázek 1] Úloha. 8 Z trojúhelník 6 a 7 vytvote všechny možné tvary. Pokud stanovíme, že jednotkou dílk tangramu je délka strany tverce s a délka pepony trojúhelník h, sledujte vztah mezi obvodem a obsahem. Abyste byli schopni klasifikovat jednotlivé útvary, nemusíte znát výšku trojúhelník ani mit obsah. Mžeme použít jednotku obsahu T (obsah trojúhelníku 6 nebo 7). Všechny tvary mají stejný obsah 2T. Úloha. 9 Utvote tvary na obrázku 3 z trojúhelník 6 a 7 a tverce 4 tangramu. Porovnejte jejich obvody a obsahy. Úloha. 10 Je-li jednotkou obsahu obsah nkterého z nejmenších trojúhelník tangramu T, urete obsahy rzných dílk puzzlu. 6

Rozšiující úloha [viz Obrázek 1] Honza piložil trojúhelník. 3 tangramu k vrcholu proti pepon velkého trojúhelníku. 1 tangramu, viz obrázek 5. Vypoítejte s pomocí jednotek s a h obsah nov vytvoeného lichobžníku (je mode vybarven). (Ml by být stejný jako obsah trojúhelníku 3?) Obsah vyjádete pomocí cm 2 : délka krátké strany trojúhelníku 1 je 6 cm a délka pepony je 62 cm. 6 2 3 1 Pro žáky 2. stupn ZŠ a nižších gymnázií 6cm Obrázek 5: Trojúhelník Žáci podle obrázku 1 narýsují dílky skládaky na papír. Hru pipraví ve dvou verzích, bílé a barevné, což v praxi znamená, že ve verzi 1 zstanou tvary 1 7 ist bílé a ve verzi dv se obarví tak, aby sousedící tvary mly vždy jinou barvu. V obou verzích dílky skládaky tangram vystihnou. Žáci používají dílky obou verzí tangramu (bílé a barevné) oddlen k modelování rzných složených tvar z obrázku. Pitom se nauí pravidla hry tangram. Obkreslí (run) každý vytvoený model v obou verzích (bílá vs. barevná) na ti rzné listy papíru: bílý, tverekovaný a barevný. Prodiskutují vliv rzného pozadí na listech papíru i obou verzí tangramu na schopnost obkreslit pesný obrys složených tvar tangramu. Poté prodiskutují vliv rznobarevných dílk na schopnost vnímat obrys obrazce. Mli by si uvdomit, jak rzn ovlivují ob verze tangramu (bílá vs. barevná) schopnost vnímat hranice nakreslených obrázk. Pak žáci s použitím dílk tangramu vytvoí koku, psa, zajíce a proberou možnosti práce se skládakou tangram pi urování tyúhelník. Žáci se nauí potebnou terminologii v anglitin: základna, výška, pepona, pravý úhel, kolmice a (v pípad tangramu) rovnoramenný, a dále pojmy týkající se podobnosti, tedy otoení, posun a zobrazení. Vysvtlí, jak se v rzných kontextech používají pojmy obvod a obsah. Mohou používat dv jednotky jednou jednotkou je strana tverce 4 (oznaovaná s), druhou jednotkou je délka pepony trojúhelníku 7 (oznaovaná h). Žáci postupn 7

zjistí, že, je-li dán obvod (obsah), mohou podle instrukcí modelovat rovinné obrazce s rzným obsahem (obvodem). Žáci vytvoí obrazce z úlohy 3 a 4. Tvary mohu vytváet pouze tak, že k sob pikládají shodné strany. Ve skupinách prodiskutují, kolik možných ešení tyto úlohy mají. Je-li jednotkou obsahu jeden z dvou nejmenších trojúhelník tangramu T, zjistí obsah jednotlivých dílk skládaky. Formulování hypotéz, rozhodování, kontrola a ovení výsledk. Bonusovým materiálem, na kterém pracují nejlepší žáci samostatn, jsou úlohy 6 a 7 a rozšiující úloha. Pro vyuující VŠ Vést studenty uitelství k tomu, aby upravili svj plán hodiny s ohledem na vk, úrove a specifické poteby žák a aby zodpovdn vybírali jednotlivé úlohy atd. Poskytovat instrukce a zptnou vazbu Závr Tento návrh byl vytvoen pro studenty uitelství pedmtu matematika pro 2. stupe (6. 9. tída základní školy, vk 11 15 let nebo nižší gymnázium). Je povinnou souástí pedmtu Didaktika matematiky. Místo konání: Univerzita Mateje Bela, Pedagogická fakulta, Banská Bystrica. Vyuující na VŠ: tým složený z univerzitních uitel, 1 vedoucího kurzu, 2 uitel matematiky a 1 uitele anglického jazyka. Studenti uitelství: 18 budoucích uitel v seminái Didaktika matematiky. asové rozvržení 2 vyuovací hodiny týdn Týden 1. Studenti Práce na doma Aktivity pipravte tangram bílý a barevný seznamte se s pravidly práce se skládakou tangram a použijte je v praxi s použitím pojmové mapy z Pílohy 1 vysvtlete geometrické pojmy Mení vymyslete motivaní úkoly pro urování tyúhelník pi práci použijte Internet ve dvojicích vypracujte pípravu hodiny 8

2. 3. 4. Studenti Práce na doma Studenti Práce na doma Studenti Práce na doma Tangram Vevýuce Matematiky na 2. Stupni ve dvojicích a skupinách prodiskutujte rzné postupy ešení na barevné tabuli ukažte rozdíly vytvote mapy jazykových pojm používejte správnou terminologii z rzných vyuovacích pedmt (slovenština, fyzika, výtvarná výchova, pírodní vdy, tlesná výchova atd.) provete kritický rozbor pedvedených píprav na hodinu dokonete pípravu na hodinu s využitím mezipedmtových vztah provete rozbor cíl výuky v píprav popište jednotlivé kroky a úkoly pro žáky plan projdte pípravy na hodinu pipravte závrenou diskusi o jednotlivých fázích pípravy na hodinu píprava dvou student uitelství, kteí budou vyuovat v reálné škole ostatní studenti komentují a kontrolují + pipravují poízení videozáznamu analýza plánovaných sekvencí pipravte vyuovací hodinu pro žáky, kteí nerozumli materiálm, které jim uitel poskytl studenti a uitel sledují videonahrávku a analyzují hodinu. Sousteují se na komunikaci mezi uitelem a žáky. vedoucí kurzu ohodnotí studenty uitelství a poskytne komentá k odvedené tvrí práci s použitím tangramu vytvote vlastní logo, které budete používat s seminái Didaktika matematiky Realizace navržených sekvencí Realizace ve výuce Evangelické gymnasium Banská Bystrica, Skuteckého 5. Gymnázium navštvují studenti 8 roník nižšího a vyššího gymnázia. Kvarta, vk žák 12/13, poet žák ve tíd 21. Matematika v anglickém jazyce, geometrie v anglickém jazyce. Dva uitelé matematiky a anglického jazyka. Uitelé se pi výuce stídali. Student uitelství poídil videozáznam. Základní škola Amos v Martine, Východná, 5. tída, stídavá výuka matematiky a pírodních vd. Poet žák ve tíd 23. Dva vyuující uitel a student uitelství. Uitel vyuoval. Jiný student uitelství poídil videozáznam. Ve tíd Modelování v rovin (E2) Uitel motivuje žáky. Urování tyúhelník. Postup skládání a rozložení. Obvod a obsah. 9

DOPORUENÁ LITERATURA Tangram Vevýuce Matematiky na 2. Stupni Brincková, J. (1996). Didaktická hra v geometrii. (Didactical games Bratislava: DONY. in geometry). Brincková, J. (2001). Tvorivé dielne 2. (Zamerané na didaktické hry). Banská Bystrica: PFUMB 2001. Millington, J. (1998) Tangram. Puzzle picture to make you think!. Stockholm. 10

MAPA termín - MENÍ BOD Bez rozmr KIVKA ROVINNÁ A PROSTOROVÁ 1 ROZM R DÉLKA OTEVENÁ UZAVENÁ ROVINA - E2 Dva rozmry DÉLKA, ŠÍKA (POLOM R, VÝŠKA) OBSAH HRANICE OBRAZCE POVRCH TLESA OBSAH PODSTAVA OBSAH PLÁŠ OBSAH STNA TLESA PLOCHA OBSAH PÍMKA LOMENÁ KIVKA OBLOUK JEDNODUCHÁ JORDANOVA OBVOD DÉLKA STRANA OBRAZCE HRANA TLESA TLESA E3 Ti rozmry DÉLKA, ŠÍKA, VÝŠKA OBJEM PÍMKA 11

Druhá pilotáž Brunetto Piochi * Úkolem pro studenty uitelství je vymodelovat co nejvtší poet tvar i geometrických obrazc v rovin za použití 7 dílk klasického tangramu (který pozdji sami vytvoí). Poté se zamí na geometrické vlastnosti (konvexnost, poet vrchol ) tchto rznorodých obrazc a tvar s cílem objevit obecné vztahy i obrazce urit. Dalším zadáním pro studenty je vymodelovat pravidelné mnohoúhelníky s použitím pouze uritých dílk. U tchto (neshodných) obrazc potom pracují s vlastnostmi obvodu a obsahu. Podobné úkoly budou následn zadány i žákm a studenti uitelství prodiskutují výsledky tohoto pilotování. Matematická témata Návrh se vnuje vlastnostem geometrických obrazc, obzvlášt mení obsahu a obvodu a podobnosti. Cíle Pro vyuující VŠ Usnadnit studentm uitelství pechod od teorie k praxi. Nechat studenty uitelství vyzkoušet si úlohu sami na sob pedtím, než ji zadají žákm. Poskytovat instrukce a zptnou vazbu. Pro studenty uitelství Prodiskutovat základní geometrické pojmy i zpsob, jak je prezentovat. Uvdomit si náronost definování a pojmenování geometrického obrazce. Vyzkoušet si úlohu na urování nestandardních obrazc. Pro stedoškolské studenty Znát základní názvy a pojmy z oblasti bžných mnohoúhelník. Umt zmit délku úseky (pímo i v pípad poteby s pomocí Pythagorovy vty). Uvdomit si shodnost geometrických obrazc, které je možné rozložit do stejných ástí. Pracovat s obrazci v rovinn na základ podobnosti a skládání, uvdomit si, že nové obrazce jsou s pedchozími shodné. * Dipartimento di Matematica, Università di Firenze, Itálie. 12

Popis úlohy Tangram Vevýuce Matematiky na 2. Stupni Aktivita probhla v rámci instituce pipravující uitele pro stední školy v Itálii (SSIS). Práce se úastnilo 42 poslucha prvního a druhého roníku SSIS, kteí chtjí získat kvalifikaci pro výuku matematiky a pírodních vd pro 2. stupe. Fáze a asový rozvrh Pedstavení tangramu a úlohy s geometrickými obrazci (1 h 30 ) Prodiskutování a vytvoení návrhu, podle kterého bude provedena výuka v reálné tíd (45 ) Pilotování v reálné tíd (v rozsahu 3 až 5 hodin, podle tídy) Závrená diskuse (30 ) SSIS posluchai dostali k vystižení tangram okopírovaný na lepenku. Poté dostali zadání tí následujících úkol a spolen je okomentovali: Vytvoit tvercovou sí o rozmrech 8 x 8 a do ní zanést souadnice vrchol, které je teba spojit, aby vznikly strany obrazc, které jsou souástí skládaky tangram: (8, 0) a (0, 8); (0, 0) a (4, 4); (8, 4) a (4, 8); (2, 6) a (4, 8); (6, 2) a (6, 6); (4, 4) a (6, 6). Vytvoit všechny existující geometrické tvary s použitím tverce a dvou malých trojúhelník s tím, že lze k sob pikládat pouze shodné strany. Vytvoené obrazce dále urit podle potu vrchol, obsahu a obvodu. Využít všech dílk tangramu k složení známého mnohoúhelníku: trojúhelníku, tverce, obdélníku. V diskusi, která následovala po zadání jednotlivých úloh, mli posluchai odpovdt na následující otázky, které je mly nasmrovat k tomu, aby se soustedili na didaktické aspekty úloh: Jaké kompetence jsou rozvíjeny v jednotlivých úlohách? Jaké vstupní znalosti se pedpokládají? Jaký uební styl je rozvíjen? S jakými obtížemi jste se pi ešení tchto úloh setkali? Pedpokládáte, že žáci by mli pi ešení i další potíže? Jak jim mžete pomoci tyto potíže zvládnout? Jak mžeme využít tento nástroj ve výuce? Na jakém stupni? Na co je podle Vašeho názoru nejdležitjší se zamit? Pozdji dva posluchai SSIS provedli experiment ve své výuce. Byli vybráni proto, že mohli pi experimentu pracovat se žáky, které znali, v rámci standardního uebního plánu. Návrh pípravy na hodinu, který vznikl v pípravné debat, si tito dva posluchai upravili tak, aby vyhovoval jejich kontextu; experiment probhl ve tyech tídách (celkem asi 80 žák ve vku 11 a 14); jedna ze tíd úlohy použila pro výuku spolužák z prvního stupn. Žáci dostali klasický tangram skládající se ze 7 dílk (bu ve form k vystižení, nebo tak, aby dílky sami podle souadnic narýsovali do tvercové sít). Byli vyzváni, aby s použitím dílk vytváeli rzné útvary v rovin (bu zábavné obrázky, nebo geometrické obrazce), poté aby vyslovili hypotézy a tyto hypotézy ovili. Dále jim 13

bylo zadáno, aby tvoili obrazce z nkterých konkrétních dílk (v nkterých pípadech i ze všech), aby zjišovali, které z tchto obrazc jsou shodné, aby vyslovovali hypotézy o možné klasifikaci tchto obrazc a aby uvažovali o délce i obvodu takto vytvoených obrazc. Na závr informovali ti posluchai, kteí experiment realizovali, o jeho prbhu a vyjádili se k hypotézám, které byly vysloveny v pípravné debat. V samém závru celá skupina vybrala, které z úloh byly obzvlášt užitené a hodí se k dalšímu rozboru. PREZENTACE Výuka geometrie na 1. a 2. stupni základní školy je nesmírn dležitá. Nejde jen o sadu nauených termín z urité oblasti. Geometrie má klíový význam pi formování racionálního myšlení, protože pomáhá orientovat se v prostoru a také prostor racionáln popsat. Geometrizace našeho svta je primární matematická innost, která pedchází i základním potm. Dti mají obvykle tendenci spontánn zprostedkovávat své zážitky pomocí graficko-obrazových aktivit a teprve pozdji zanou vci kolem sebe vyíslovat. Tato graficko-obrazová innost znázoruje i interpretuje naše zkušenosti reálného svta; jde o matematiku, která v urité chvíli poskytuje konkrétní nástroje pro popis skutených pedmt: pímky, body, obrazce,. Geometrie má tedy své koeny v pozorování jednoduchých pedmt, v manipulaci s nimi, v jejich modelování a znázorování. Vychází z ohýbání, stíhání, skládání, ze sledování sebe sama i okolního svta v zrcadle Následná geometrizace rozhodn není snadná ani jednoduchá. Vyžaduje velkou míru schopnosti interpretovat, abychom získali odstup od naivního pohledu a dosáhli komplexního racionálního porozumní. Geometrické myšlení se rozvíjí a utváí na všech stupních v prbhu celé školní docházky. I když v rzných fázích pevažují konkrétní nebo racionální stránky geometrie, postupn dochází k jejich sbližování a propojování. Pro ilustraci tohoto tvrzení se budeme vnovat geometrickým obrazcm. První pístup je práce se (základními a pravidelnými) geometrickými obrazci, popis jejich tvaru a vlastností: to mžeme definovat jako vizuální fázi. Tento pístup je charakteristický pro první roníky 1. stupn (pro žáky ve vku 6 až 8 let). Pozdji už žáci obrazce popisují s pomocí nauených vlastností, jde tedy o deskriptivní analytickou fázi. Poté žáci sami vytváejí definice, hledají charakteristické vlastnosti, musejí argumentovat a dokazovat: zde jde o nejvyšší, abstraktní fázi, která vede k formální fázi, kde jsou již možné dkazy vt a studium geometrického axiomatického systému (i spíše axiomatických systém). Schopnost práce s obrazci a schopnost je narýsovat je dležitým nástrojem pi výuce geometrie: schopnost narýsovat obrazce nám umožuje vizualizaci jednotlivých vlastností, protože tímto zpsobem vlastnosti penášíme pomocí vztah v prostoru. Opaný pístup (od grafického znázornní ke geometrickému obrazci) však vychází z aktu interpretace: rozpoznání vizuálních vlastností geometrického objektu 14

v prostoru není spontánní innost, a proto potebuje, abychom se jí vdom nauili. (Geometrický) obrazec mže být v rzných kontextech vysvtlen mnoha rznými zpsoby a vnímání pichází teprve po interpretaci: to ovšem mže být problém, obzvlášt pokud jsou teoretické znalosti pozorujícího omezené a znemožují mu vidt za hranice bžného vnímání. Pechod od pedmtu ke geometrickému znázornní pomocí urení základních vlastností a od znázornní ke geometrickému objektu pomocí interpretace ukazují, že grafická innost a její postupné zdokonalování je zárove dsledkem i zdrojem uení. Díky tomu je napíklad možné poukázat na rozpory v teoretických mylných pedstavách. Jinou možností je ukázat na výhody teorie, která nám umožuje pedpovídat obecné dsledky (shodnost tetí strany dvou trojúhelník, jejichž dv strany a úhel, který svírají, jsou stejné ). Pi tomto pojetí vyuování geometrie hrají klíovou roli takové innosti, které leží na hranici mezi hrou a grafickou inností a zárove otevírají pole pro abstraktní matematizaci. Velmi asto bohužel dochází ve výuce k tomu, že se tyto propojující innosti zanedbávají. Práv v kritické chvíli v prvních ronících 2. stupn je asto kladen píliš velký draz na definice a vzorce odtržené od skuteného života. To vede (asto bohužel již definitivn) k zkreslení pohledu na matematiku. Geometrické vlastnosti jsou vnímány jako nco, co vychází z mnemonických znalostí definic a vzorc. Proto je nezbytn nutné, abychom pi píprav budoucích uitel popsali a vyhodnotili dostatené množství tohoto typu propojujících úloh. Pilotovaný návrh používání skládaky tangram patí práv k takovému typu vzdlávacích aktivit. ÚKOLY PRO POSLUCHAE SSIS Všichni posluchai SSIS dostali kopii skládaky tangram na papíe, ze kterého šly jednotlivé dílky snadno vystihnout2. V úvodní ásti jsme se odklonili od postupu slovenských koleg: vzhledem k nedostatku asu jsme vynechali tu ást, ve které slovenští studenti z tangramu tvoili libovolné tvary. Upozornili jsme ale naše posluchae, že pi této i podobných úlohách, které zahrnují manipulaci, musejí v úvodní ásti žákm nechat dostatený prostor pro samostatné zkoumání; tedy nechat žákm as si hrát, prozkoumat rozdíly mezi jednotlivými dílky a použít je pro tvorbu vlastních tvar. Poté jsme na fóliích poslucham ukázali skládaku tangram a sadu tvar, které se z ní dají složit. Upozornili jsme je, že v praxi by žáci mli pracovat samostatn nebo ve dvojicích a tyto i další tvary sami složit. Tato fáze hodiny se sice z pohledu matematiky mže zdát jako zbytená (tento názor mlo i nkolik poslucha SSIS, ale pozdji zmnili názor), ale z hlediska motivace je absolutn nezbytná. Navíc žákm umožuje se dobe s materiálem seznámit a intuitivn prozkoumat potenciál I hranice práce s ním. 2 Posluchai SSIS také mimo jiné dostali peklad sady cviení vytvoené kolegy z Banské Bystrice (SK), takže všichni studetni uitelství mli pro diskusi všechny dostupné materially. 15

Pi sledování fólií mli posluchai SSIS íci, zda jim pipadá tato úloha pro žáky snadná a zda by byli schopni vymyslet, jak tuto fázi obohatit o matematický obsah (aniž by ale zanedbali herní a motivaní prvky). V následné diskusi se posluchai shodli na tom, že jde o snadný úkol, významný z hlediska mezipedmtových vztah (vztahy s výtvarnou výchovou a pracovním vyuováním), ale z hlediska matematiky v podstat zbytený. Domníváme se, že tyto názory souvisejí s tím, na co jsme upozorovali díve: navzdory jiným dílnám si posluchai SSIS neuvdomují potenciál vyuování geometrie v innostech, kde pevládá neformální pístup3. Zde je vhodné podotknout, že pozdji, v reálném vyuování, tato innost pedcházela samotné práci v geometrii. V závrené diskusi posluchai SSIS konstatovali, že žákm pipadal tento úkol snadný a zobrazené tvary skládali pomrn bez potíží. Posluchai ale upozornili, že tato innost vedla k tomu, že si žáci uvdomili celou adu vlastností obrazc, které uitelé považují za známé. Týkalo se to hlavn dynamických vlastností, které získávají obrazce v rovin (je všeobecn známo, že mnoho žák si geometrické obrazce vizualizuje staticky), nebo rzného uspoádání hranic mezi jednotlivými dílky tangramu, ze kterých se skládá vytvoený tvar: tato hranice mže být tvoena bodem nebo úsekou, mže ji tvoit celá strana základního geometrické obrazce nebo pouze její ást atd. Práce, pi které žáci hledali vhodné definice pro tyto rzné situace, vedla k obohacení slovní zásoby v oblasti geometrie a byla dobrým základem pro další fázi. Vzhledem k tomuto poznání je otázkou, zda by nebylo užitené tuto fázi práce zahrnout do výuky poslucha SSIS. Pro aktivitu 1 je teba mít základní znalosti kartézské roviny (a dále pelivost a manuální zrunost). Posluchai SSIS s touto úlohou nemli nejmenší problémy, ale pedpovídali, že žáci by na problémy narazili, protože nemají dostatené znalosti kartézské roviny. Pokud by se ukázalo, že nedostatek znalostí z této oblasti je skutenou obtíží, bylo by podle poslucha SSIS dobré ukázat jednotlivé dílky tangramu a zadat jen nkteré souadnice. V diskusi posluchai také upozornili na to, že z dvod symetrie a velikosti zvolené tvercové sít 8=23 budou mít všechny úhlopíky dílk tangramu celoíselné souadnice, pestože mnoho stran má iracionální délku. Z hlediska didaktiky je velmi zajímavé si uvdomit, že k propojení bod urených souadnicemi i k urení souadnic bod v rovin je poteba nkolik kompetencí: tímto zpsobem je tedy možné klást rzné požadavky na rozvoj tch kompetencí, jež jsou pro uritou skupinu žák žádoucí. Aktivita 2 pinesla poslucham dv skupiny problém (což zaskoilo i je samé ): potebu urit a definovat mechanismus klasifikace dvou shodných obrazc a nemožnost tyto obrazce pojmenovat. Práv druhý problém je dkazem toho, že geometrizací asto rozumíme pouhé pojmenovávání. Je absolutn bez pochyb, že tato úloha byla pro naše posluchae užitená, protože jim zjednodušila pozdjší práci se žáky pi objevování nestandardních mnohoúhelník. Posluchai také upozorovali na dležitou roli, kterou tato úloha hraje v rozvoji tvrích kompetencí 3 Pipomínáme, že posluchai SSIS, kteí se úastnili tohoto projektu, jdou pevážn uitelé pírodních vd, nikoli matematiky. Jejich vztah k matematice i chápání této vdy asto odpovídá tomu, co cítí jejich žáci. 16

žák v rámci celého projektu, nebo jim umožuje vyzkoušet si autonomní matematické urování. Zárove jsme se ale dohodli, že tato úloha bude probíhat formou práce ve skupinách, protože nelze pedpokládat, že by požadovanými kompetencemi disponoval každý žák v námi diskutované vkové skupin: Práce ve skupin umožuje výmnu informací, což je pro tuto úlohu výhodou. Úvaha, která posluchae napadla okamžit, ale která pravdpodobn nenapadne žáky (to se pak skuten stalo), je, že není možné obrazce složené ze stejných dílk urovat podle obsahu, a to i pesto, že jde o obrazce shodné, protože se dají rozložit na stejné dílky. Problémy, které vyvstaly pi aktivit 3, lze v podstat shrnout do obtíží (známých z celostní psychologie) s rozložením a znovu sestavením vlastních pedstav, což umožuje vnímat konkrétní obrazec jako souást jiného obrazce, jehož obraz je v mysli také silný a nemnný. Je zajímavé, že žáci pi výuce ve tíd byli pi ešení této úlohy mnohem rychlejší a schopnjší, pravdpodobn práv proto, že jejich pedstavy o geometrických obrazcích ješt nejsou tak rigidní. Je pravda, že tuto skutenost pedvídala vtšina poslucha SSIS. Pedpokládali, že žákm tato úloha pjde lépe, protože mají lepší vizuální schopnosti. REALIZACE EXPERIMENTU VE VÝUCE tyi z poslucha SSIS se nabídli, že úlohy použijí ve své výuce. Na pesném schématu návrhu se posluchai dohodli v rámci diskuse. Návrh upravili podle poteb konkrétních tíd i podle tématických plán. Posluchai, kteí se experimentu úastnili (kmenový uitel a další poslucha), mli soustedit svoji pozornost na problémy, jež vyvstaly v diskusi, a také mli ovit hypotézy týkající se užitenosti a náronosti jednotlivých úloh. Co bylo spolené ve všech tídách, které se experimentu úastnily (také kvli tomu, že experiment probhl v únoru), byl malý poet pítomných žák jako dsledek chipkové epidemie i dalších zimních mimoškolních aktivit. Následuje výtah ze závrených protokol poslucha. 6. roník, 5 hodin, 12 žák [Tangram byl vytvoen s pomocí tvercové sít, což umožnilo zopakovat si základní pojmy z oblasti kartézské roviny. Poté uitel nechal žákm volnost si s dílky skládaky hrát.] Jakmile žáci 7 dílk skládaky vystihli, zaali je skládat k sob, rzn natáet a pokládat, aby vytváeli obrázky. Byl jsem až udiven, jaké nadšení z nich pi této innosti vyzaovalo. To jsem vbec nepedpokládal. Nejvíce m zarazila poznámka: Tohle je skutená matematika!, ímž její autor (podle svého pozdjšího vysvtlení) myslel, že se zárove bavíme, hodn pemýšlíme a lámeme si hlavu. Pak jsem navrhl, že stanovíme závazná pravidla: dílky se nesmjí pekrývat, musejí sousedit stranami a musíme vždy použít VŠECHNY dílky. Chvíli bylo rozpaité ticho], ale pak se u všech lavic zaalo s dílky ile pracovat. Svoji chvilku slávy si 17

užila ínská holika, která do této tídy pišla teprve ped dvma týdny a neumla italsky. V tichosti obkreslila a vystihla jednotlivé dílky skládaky a s úsmvem zaala vytváet stále komplikovanjší tvary: první ženu, první loku, Nemohl a ani jsem nechtl žáky perušit až do chvíle, kdy jeden žák složil lichobžník, pane uiteli, lichobžník! Toho jsem využil: Ano, a zdá se mi, že mžeme skládat i trojúhelníky, tverce, obdélníky. To byla pro žáky nová výzva: a vždy s použitím všech sedmi dílk. K tomuto zkoumání se pipojili tém všichni žáci a obdélník, který jsme my, posluchai SSIS, sestavovali 5 až 6 minut, byl na svt za necelou minutu a pl. Holiku, která ho složila, jsem požádal, aby ho opatrn ním zakryla, protože jsem chtl, aby ho složili i ostatní žáci: netrvalo to ani pt minut a ped každým žákem byl složený obdélník. V této chvíli jsem žákm ekl, aby zaali sledovat velikost každého tvaru. Zaali jsme u obrazc, které zabírají stejnou plochu. Pak jsme zaali pemýšlet o tvarech, které se skládají se stejných dílk a uvdomili si, že pestože jsou dílky umístny rzn a vytváejí rzné obrazce, zstává pokrytá plocha stále stejná. [ ] Tato fáze práce se žákm moc líbila, protože každý mohl podle libosti manipulovat s dílky a porovnávat je, dlat chyby a zkoušet to znovu. Zcela jiné otázky zaznly, když žáci dostali za úkol sledovat hranice obrazc, pokládat je na tverekovaný papír a mit jejich obvod: Jak je možné, že obrazce se stejným obsahem mají tolik rzných délek obvodu? 6. roník, 4 hodiny, 16 žák Už díve jsem si všiml, že žáci mívají velké potíže, když si mají vybavit geometrické obrazce mimo kontext vyuovací hodiny geometrie. Nkdy se mi stalo i to, že jsem je musel dovést k tomu, aby urili obrazce, které už rýsovali v rámci pracovního vyuování a které mli v mé hodin pouze reprodukovat. Na zaátku hodiny jsem zjistil, že tída, ve které chci experiment realizovat, se skládá hlavn z žák, kteí se s tangramem seznámili už na 1. stupni. [Pestože práci s tangramem nemli v živé pamti], usoudil jsem, že bude lepší, když budou žáci s tangramem pracovat jinak než minule. Proto jsme se pemístili do poítaové uebny a pipojili si na webovou stránku4, na které je popsaná hra umožující ze sedmi dílk tangramu vytváet obrázky nebo geometrické obrazce. Dílky je možné otáet (v jednom tahu o 45 ), posunovat nebo v pípad rovnobžníku obrátit vzhru nohama. Všichni se u toho bavili a zárove zaznly velmi zajímavé poznámky, jako napíklad: to je divné, takhle otáet geometrické obrazce [rovnobžník] tam pasuje, když ho obrátím vzhru nohama, jako by zmnil tvar. Celkov vzato se mi zdálo, že se všichni zapojili a postupn jsme se dostali k tomu, že všechny tvary získáváme ze stejných obrazc díky posunu, otáení a osové 4 www.math.it 18

soumrnosti. Do této aktivity se s velkým zájmem zapojila i autistická žákyn z osmé tídy a pekvapiv byla schopna rychle a správn složit vtšinu tvar. 7. roník. 5 hodin, 15 žák Všichni rozumli zadaným úkolm. Dokonce i ti žáci, kteí mívají vtší problémy, se samostatn zapojili a byli schopni nalézt správná ešení. Pi první hodin jsem žáky vyzval, aby pracovali s dvma shodnými rovnoramennými trojúhelníky a vytvoili co nejvtší možný poet rzných tvar, piemž k sob smli pikládat pouze shodné strany [ ] chtl jsem, aby objevili jak zjistit, zda dva útvary mají stejný obvod i nikoli. Tída pišla s tím, že by obvod mohli mit pravítkem, ale když zjistili, že délka nkterých stran je desetinné íslo, rozhodli se použít jinou jednotku mení, tzn. že nejmenší stranu na používaných dílcích oznaili jako jednotku délky (to jsme probrali spolen) a ostatní délky stran urili s pomocí Pythagorovy vty. Pak jsem se zeptal, zda jsou vytvoené obrazce shodné. Správn odpovdlo jen 10 % žák. Proto jsme museli zopakovat to, co jsme probrali už díve. Navrhl jsem jim, aby spoítali poet (papírových) tverc. Následující týden jsme pracovali se tvercem a trojúhelníkem a postupovali jsme stejn jako v pedchozí hodin. Tentokrát na otázku, zda jde o shodné obrazce a zda mají stejný obvod, odpovdlo správn 85 % žák. Za dva dny jsem žáky vyzval, aby s použitím všech dílk tangramu vytvoili obdélník. Chvíli tápali, ale pak objevili dva nebo ti zpsoby, jak toho dosáhnout. Zeptal jsem se, zda je vytvoený obdélník a tverec shodný a zda mají stejný obvod. Tentokrát odpovdli správn všichni žáci. Obecn lze íci, že tato úloha žáky vedla k tomu, aby svoji odpov (a už správnou nebo chybnou) dlouho zvažovali. Mli jsme mnoho ešení, i když nebyla zase až tak moc rozdílná. Je zajímavé, že nikoho nenapadlo opisovat od souseda, jako by cítili, že vznikající obrazec je nco osobního. Samozejm že spolupracovali, ale funkn, jak si to vyžadovalo ešení jednotlivých úkol. Je také zajímavé, že premiantka tídy nebyla schopna úlohu vyešit [nebyla schopna zjistit obsah jednoho z vytvoených obrazc], protože ji nenapadlo k tomu využít dílky. Pozdji piznala, že když eší úlohy z geometrie, nárty kreslí jen proto, abych byl spokojený já Jiná žákyn, spíše slabší, úlohu bleskov vyešila položením trojúhelníku (který si oznaila obrazec 1) na rovnobžník (obrazec 2). Zapsala A 2 =2A 1. 7. roník, 4 hodiny vnované úvodní fázi + další 4 hodiny na výuku mladších spolužák, 14 žák [Úvodní fáze se velmi podobala tomu, jak se zaínalo v 6. ronících, a to i proto, že tída, která se úastnila výuky spolužák ze 3. roníku 1. stupn (ve vku 8 let), byla pomrn slabá. Uitelka doufala, že budou-li žáci muset vysvtlovat nkteré pojmy mladším spolužákm, budou stimulováni k jejich upevnní v metakognitivní rovin.] Fáze vyuování spolužák probhla ve dvou 3. ronících a to ve dvou samostatných fázích. 19

V první fázi mladší žáci pod vedením sedmák nakreslili dílky tangramu o velikosti 8x8 na tverekovaný papír s tvereky o délce stran 1 cm; žáci jednotlivé dílky vystihli a zaali ze všech 7 dílk skládat rzné obrazce s tím, že každý složený tvar pojmenovali. V závru hodiny žáci tyto tvary pekreslili do sešit. Ve druhé fázi se ve spolupráci s uitelem pracovního vyuování pracovalo ve velkém : s obím tangramem o rozmrech 60 x 60 cm vytvoeném na tverekovaném papíru se tverci 2,5 x 2,5 cm. Dílky tangramu byly nalepeny na lepenku a poté vystiženy; dti pak byly vyzvány, aby znovu složily tvary z minulé hodiny a podle libosti je vybarvily. Jednotlivé dílky každého tvaru dti pilepily lepící páskou, celý tvar podložily bambusovými tyemi a tvary pak nosily jako masky. Na závr v rámci spolené diskuse dti piznaly, jak pekvapené byly, že se z jedné úpln stejné skládaky dá vytvoit tolik odlišných tvar. Starší spolužáci se mladším pokusili vysvtlit, pro nkteré tvary vypadají delší, pestože nemohly vyrst a co se zmnilo, když zpoátku mezi tangramy nebyl žádný rozdíl. Mezi vty, které mladší dti uspokojily, vybíráme ty, které podle nás dokazují, že starší žáci pochopili, o co jde, a jsou to schopni verbáln vyjádit: Ty tvary jsou stejn velké jako pedtím, ale zmnila se poloha jednotlivých dílk. Zmnily se dílky bez lepenky, tedy prázdná místa (za touto vtou se schovává pojem stejného zvtšení, což její autor chápal ). SPOLENÁ DISKUSE NAD VÝSLEDKY EXPERIMENTU Poté, co posluchai SSIS, kteí experiment realizovali ve své výuce, seznámili ostatní se svými záznamy, byla zahájena diskuse zamená na motivaní hodnotu této úlohy (na tom se shodli všichni), pedevším na její potenciál zaujmout i žáky slabé i žáky s malým zájmem o matematiku. Velmi zajímavé byly reakce žák rzných vkových skupin: Posluchai SSIS v úvodní diskusi pedpokládali, že starší žáci budou o úlohu projevovat mnohem menší zájem. Tento pedpoklad ale experiment nepotvrdil. Jediné, co bylo znát, byl vtší zájem mladších student o skládání obrázk podle vlastní fantazie. Starší žáci rychleji pešli ke skládání geometrických obrazc. Všimli jsme si také, jak práce na této úloze pirozen stimuluje akvizici technik, metod a terminologie týkajících se podobnosti v geometrii. Proto posluchai SSIS navrhli, aby se tato úloha ve vyšších ronících (po skonení 6. roníku) používala jako pípravná ást pro modul dílny geometrie, který by byl zaazen za výuku mnohoúhelník. Cílem tohoto modulu by bylo procviování izometrie a shodnosti (jmenovit symetrie, otáení a posunu), ale též rozvoj kompetencí v oblasti vizualizace a urování geometrických obrazc obecn. NÁVRHY NA DALŠÍ ROZŠÍENÍ V závru této diskuse padly návrhy dvou dalších rozšiujících úloh, jednu vytvoil a v praxi vyzkoušel jeden z poslucha, druhou navrhl jeden z pednášejících v SSIS kurzu: 20

Tangram na webu. Zadáte-li slovo tangram do libovolného internetového vyhledávae, zobrazí se vám ohromné množství odkaz na webové stránky, na mnoha z nich najdete výukové aktivity. Zdá se proto, že vhodným úkolem pro posluchae SSIS by bylo z této obrovské nabídky vybrat takové výukové aktivity, které odpovídají vku a schopnostem jejich žák; pro žáky by takováto úloha mohla mít formu pipojení k uritým stránkám, na kterých najdou další informace o tangramech. 3-dimenzionální skládaky. Nkteí žáci, stejn jako nkteí dosplí, mají ohromnou prostorovou pedstavivost a schopnost grafického znázorování, jiným to iní obrovské potíže. Je také známo, že tyto schopnosti nemusejí být na stejné úrovni jako schopnosti matematické. Nkteí žáci mají velké dovednosti ve verbální oblasti a je pro n snazší zapamatovat si vtu jako tleso s osmi vrcholy než si vybavit obrázek; naopak jiní žáci si snadno vybaví krychli, ale poet vrchol i hran si musejí pokaždé znovu spoítat Tyto rozdíly v kognitivních stylech vyžadují, abychom všem žákm zadávali úlohy, které spojují prostorovou pedstavivost i slovní popis tles. Tak žákm umožníme propojit tyto dv dovednosti a také umožníme vyniknout žákm, kteí jsou v potech i algebe podprmrní, ale mají jiné pednosti. Pro ilustraci tohoto mechanismu byly poslucham SSIS pedloženy následující úlohy: A. Pedstavte si tystn a napište, kolik má stn, hran a vrchol. Pak si pedstavte, že tystn rozložíte. Jak bude v rozloženém stavu v rovin vypadat? Existuje pouze jeden možný tvar? Chlapec vymodeloval tleso z tverc a rovnostranných trojúhelník, ale nevíme, z kolika pesn. Víme však, že toto tleso má 5 stn, 5 vrchol a 8 hran. O jaké tleso jde? Otázky nebyly doplnny žádnými nárty. Vše záleželo na prostorové pedstavivosti poslucha SSIS. Posluchai SSIS cítili potebu si ujasnit, že tystn je jehlan s trojúhelníkovou základnou a tymi stranami ( jako iont silikátu kemene upozornila jedna posluchaka absolventka oboru chemie). Toto ujasnní si pojmu jim umožnilo pomrn snadno vyešit první ást úlohy; pak pokraovali v ešení dalších ásti a pomáhali si pi tom modelováním tlesa rukama ve vzduchu. B Pedstavte si dva rzné jehlany se tvercovou základnou, jejichž boní stny tvoí rovnostranné trojúhelníky. Tyto jehlany postavte do roviny tak, aby se dotýkaly pouze jednou hranou základny. Mezi jehlany vznikne prázdný prostor. Dokážete popsat tleso, které by tento prázdný prostor vyplnilo a pi spojení s obma jehlany vytvoilo konvexní tleso? 21

Dva prostorové jehlany C. Vezmte 3 tverce o velikosti 10 x 10 a na jedné stran každého odstihnte pravoúhlý trojúhelník o délce strany 5. Dále vezmte pravidelný šestiúhelník o stran 52. Tchto 7 díl k sob piložte tak, abyste vytvoili tleso, které vidíte na obrázku. Pokud dv taktovytvoená tlesa položíte k sob, jaké tleso vznikne? Vzniklé tleso se sedmi stnami Odpovdi na otázky B a C (tystn a krychle) nejsou intuitivní a takovýto typ úlohy je dkazem našeho dívjšího tvrzení, že vizualizace v prostoru je nároná; navíc se v tomto kurzu i ve tídách, kde byly úlohy zadány, ukázalo, že nkteí posluchai a žáci (nkdy pekvapiv) jsou schopni vybavit si ešení mnohem díve a stávají se pro ostatní spolužáky rádci. D. Vezmte jednoduché krychliky (jako devné kostky) a pokuste se z uritého pedem daného potu vytvoit tleso. Pro takto vytvoené tleso potom zakreslete jeho prmty do tvercové sít z rzných úhl pohledu (zepedu, shora, zleva, zprava. A naopak, znovu sestavte tleso podle takto zakreslených pohled. Je zejmé, že tato úloha je obtížná kvli znázorování rzných rovin, z nichž nkteré nevidíme. To klade velké nároky na naši prostorovou pedstavivost. Pedností této úlohy je její propojitelnost s jinými pedmty, napíklad pracovním vyuováním i výtvarnou výchovou. Navíc tato úloha slouží jako popis toho, co se nám podaí vytvoit. DOPORUENÁ LITERATURA Gardner, M.(1956). Mathematics, Magic and Mistery. Dover Pub. Kanizsa, G. (1973). Il problem-solving nella psicologia della gestalt, in Mosconi, G. e D'Urso, V., La soluzione dei problemi. Firenze: Giunti-Barbera. 22

Jaglom, I.M. (1972). Le isometrie. Bologna: Zanichelli. Pellegrino, C. (1999). Prospettiva: Il punto di vista della Geometria. Bologna: Pitagora Ed. UMI-CIIM (2001). Matematica 2001, Materiali per il XXVII Convegno Nazionale sull Insegnamento della matematica. Lucca: Liceo Scientifico A. Vallisneri. Tetí pilotáž (Jihoeská Univerzita, eské Budjovice, eská Republika) a Závr Jaroslava Brincková a Iveta Dzúriková Obecným cílem návrhu Tangram pilotovaného na Slovensku bylo vést studenty uitelství k tomu, aby si uvdomili, jak dležité jsou tvoivé úlohy na mení pro rozvoj žák v matematice. Skládaku tangram jsme využívali v semináích pro studenty uitelství v rámci jejich pípravy na výuku geometrie pro vkovou skupinu 11-14 let, tedy pro 2. stupe základních škol a nižší gymnázia. Hlavním cílem projektu byl rozvoj tvrího myšlení a geometrické pedstavivosti žák s pomocí tangramu. Snažili jsme se vytvoit výukovou aktivitu, která by nám pomohla pracovat s pojmy obvod a obsah v rzných kontextech. Tangram jsme chtli využít také pro studium izometrických transformací pi mení a výpotech obvodu a obsahu. Zamili jsme se na následující dílí cíle: Didaktické vysvtlení posloupnosti krok pi modelování geometrických pojm obvod a obsah obrazc v rovin: pozorování modelování zobrazování v rovin mení odvození funkních vztah. Popis van Hielových úrovní geometrického myšlení, obzvlášt se zamením na odvozování funkních vztah s použitím geometrických termín. Modelování ve svt ísel a tvar s použitím velikosti úseky. Hledání vztah mezi obvodem a obsahem u rzných obrazc. Italští kolegové z Florencie, kteí se podíleli na pilotování projektu Tangram, nám poskytli následující hodnocení (jejich názor na projekt): Návrh se týká geometrických vlastností obrazc, jmenovit obvodu a obsahu a podobnosti. Má formu dílny, takže žáci musejí používat pozorovací, manuální a logické dovednosti. Zaínají u konkrétních objekt a postupn rozvíjejí své geometrické i grafické kompetence. V závru úlohy se oekává, že žáci budou znát názvy a pojmy z oblasti základních mnohoúhelník umt zmit délku úseky (pímo, nebo v pípad poteby s pomocí Pythagorovy vty) uvdomovat si shodnost takových obrazc v rovin, které se dají rozložit na stejných dílky 23

pracovat s obrazci v rovin s využitím podobnosti a jejich skládání a uvdomit si, že nové obrace jsou shodné s pedchozími. Naši partnei z eské republiky spolupracovali pi této pilotáži s další institucí pipravující uitele (Jihoeská Univerzita v eských Budjovicích, pedagogická fakulta, VŠ pedagog Helena Binterová). Poskytli nám následující modifikaci cíl asktivity: Cílem bylo seznámit budoucí uitele na základních školách s didaktickými možnostmi tangramu, aby tuto skládaku perspektivn využívali ve vyuování planimetrie a metrické geometrie. Hlavním cílem bylo definovat pojmy, rozvíjet tvrí myšlení a geometrickou pedstavivost. Studenti uitelství si také mli uvdomit, jaké didaktické potíže s tím souvisí. Jedním z povinných zadání pro studenty uitelství bylo dokázat Pythagorovu vtu a odvodnit zvolený postup. Cíle všech tí úastník projektu Tangram byly v podstat identické. Žákm byl umožnn rozvoj geometrické pedstavivosti pomocí didaktické hry. Zárove si žáci upevnili znalosti v oblastech izomerie a metrické geometrie. Studenti uitelství byli schopni pipravit výuku pro velmi rozdílné tídy. Problém zobrazení v metrické geometrii pedem prostudovali v a priori analýze. A posteriori analýza jim poskytla nový pohled na celou problematiku modelování v geometrii. 24