Metrické vlastnosti v prostoru

Metrické vlastnosti v prostoru Ž2 Metrické vlastnosti v prostoru Odchylka přímek p, q v prostoru V planimetrii jsme si definovali pojem odchylky dvou přímek p, q pro různoběžky a pro rovnoběžky. Ve stereometrii rozšíříme pojem odchylky i pro mimoběžky. Odchylkou mimoběžných přímek p, q nazýváme odchylku různoběžných přímek p, q vedených libovolným bodem prostoru tak, že p p, q q. Píšeme α = p, q = p, q, π přičemž α 0,, resp. α (0,90. 2 vičení 1. Je dána krychle EFGH. Urči odchylku přímek: a), E b), c) E, F d), e), GH f), FG g), S E F a) přímky, E H G E F Přímky a E jsou vedlejší hrany. Krychli tvoří samé čtverce a boční strany čtverce jsou na sebe kolmé. Proto i přímky a E jsou na sebe kolmé ( E ). b) přímky, H G E F Přímky a jsou vedlejší hrany. Krychli tvoří samé čtverce a boční strany čtverce jsou na sebe kolmé. Proto i přímky a jsou na sebe kolmé ( ). 1

c) přímky E, F H G E F F je stěnová úhlopříčka přední stěny. Úhlopříčka ve čtverci půlí úhel při vrcholu, proto FE = 45 d) přímky, H G E F je stěnová úhlopříčka dolní podstavy. Úhlopříčka ve čtverci půlí úhel při vrcholu, proto = 45 e) přímky, GH H G E F a GH jsou protější hrany. Ve čtverci jsou protější strany rovnoběžné, protože čtverec je rovnoběžník. Proto také GH. 2

f) přímky, FG H G E F V krychli jsou boční stěny na sebe kolmé. Protější strany jsou rovnoběžné, a proto také FG. g) přímky, S E F H G E F K S E Nejdříve spočteme EFSE : Protože trojúhelník EFS E je pravoúhlý s pravým úhlem při vrcholu E, použijeme například a goniometrickou funkci tangens, protože EF = a, ES E =. 2 a ESE 2 1 tg EFS = E EF = a = EFS E = 26 33 54 2 Přímky a EF jsou rovnoběžky a přímka FS E je společná různoběžka. EFSE a SEK jsou úhly střídavé, které mají stejnou velikost. Proto přímky, S E F svírají úhel 26 33'54" 3

Příklad 1. Je dána krychle EFGH. Urči odchylku přímek: a), HF b) E, G c) H, E 4

Příklad 2. Je dána krychle EFGH. Urči odchylku přímek S E, S F G. Příklad 3. Je dán pravidelný trojboký hranol '''; odchylku přímek a '. = a = 5 cm, = v = 3 cm. Určete 5

Příklad 4. Je dána krychle EFGH. Urči odchylku přímek S GH, S E. 6

Kolmost přímek Přímky p, q nazýváme k sobě kolmými (navzájem kolmými) přímkami, právě když pro jejich odchylku platí p, q = 90. Píšeme pak p q, popř. q p. Kolmost přímky a roviny O přímce p a rovině ρ říkáme, že jsou navzájem kolmé (k sobě kolmé), jestliže přímka p je kolmá ke každé přímce roviny ρ. Také říkáme, že přímka p je kolmá (je kolmicí) k rovině ρ nebo že rovina ρ je kolmá k přímce p; píšeme p ρ nebo ρ p. Průsečík P přímky p ρ s rovinou ρ se nazývá pata kolmice p. O kolmosti přímek a rovin platí: Je-li přímka p kolmá ke dvěma různoběžným přímkám a, b roviny ρ, pak je kolmá k této rovině. aným bodem lze vést k dané rovině právě jednu kolmici. Všechny kolmice k téže rovině jsou navzájem rovnoběžné. aným bodem lze k dané přímce vést právě jednu kolmou rovinu. Všechny roviny kolmé k téže přímce jsou navzájem rovnoběžné. Rovina ρ, která prochází středem dané úsečky a je kolmá k přímce, se nazývá rovina souměrnosti úsečky. Vzdálenosti bodů, přímek a rovin Tyto pojmy definujeme pomocí kolmosti přímek a rovin. Vzdálenost bodu M od přímky p v prostoru lze definovat jako vzdálenost bodu M od bodu P, který je průsečíkem přímky p a k ní kolmé roviny τ vedené bodem M (viz obrázek). Značí se v M, p ; v = MP. v resp. ( ) Vzdálenost dvou rovnoběžek p, q v prostoru je rovna jejich vzdálenosti v rovině ρ jimi určené (viz obrázek). Značí se v resp. v( p, q ) ; v = PQ. Vzdáleností dvou mimoběžek p, q se rozumí délka úsečky PQ, kde P, Q jsou po řadě průsečíky mimoběžek p, q s takovou příčkou mimoběžek (tj. přímkou, jež obě mimoběžky protíná), která je k oběma v p, q ; v = PQ. z nich kolmá. Značí se opět v resp. ( ) Vzdáleností bodu M od roviny ρ nazýváme vzdálenost bodu M od paty P kolmice vedené bodem M k rovině ρ (viz obrázek). Značí se v M, ρ ; v = MP. v resp. ( ) Vzdáleností přímky p od roviny ρ s ní rovnoběžné rozumíme vzdálenost libovolného bodu M přímky p od roviny ρ (viz obrázek). v p, ρ ; v = MP, kde P je pata kolmice vedené Značí se v resp. ( ) bodem M k rovině ρ. Vzdáleností dvou rovnoběžných rovin ρ, σ rozumíme vzdálenost libovolného bodu jedné roviny od druhé roviny, např. bodu M roviny ρ od roviny σ (viz obrázek). 7

vičení 2. Je dán pravidelný čtyřboký jehlan V, = 4 cm, SV = 5 cm. Určete: a) vzdálenost bodu V od roviny b) vzdálenost bodu od roviny S S V c) vzdálenost bodu S od roviny V a) vzdálenost bodu V od roviny Z obrázku je vidět, že kolmým průmětem bodu V do roviny je střed podstavy S. Vzdálenost bodu V od roviny je tedy rovna v = 5 cm. V v S b) vzdálenost bodu od roviny S S V V S S Přímka je kolmá k rovině S S V, kolmým průmětem bodu do roviny S S V je tedy bod S. Vzdálenost bodu od roviny S S V je rovna = 2 cm. 2 8

c) vzdálenost bodu S od roviny V V Kolmým průmět bodu S (označíme si ho P) do roviny V bude určitě ležet v rovině S S V (je kolmá na rovinu V a prochází bodem S ). Vypočtu délku strany S V z pravoúhlého trojúhelníku S VS. 2 2 2 2 2 2 a 2 a + 4v = + = + = SV SS SV v 2 4 S V = a + 4v 4 2 2 2 2 a + 4v SV = 2 ava bvb cvc Úsečku PS určíme ze vzorce pro obsah trojúhelníka: S = = =. 2 2 2 Jednu dvojici stran tvoří úsečky S S a SV, druhou úsečky S V a PS : av a SS SV SV PS S = = = 2 2 2 S S SV = S V PS S P SS SV av 2av 2 4 5 PS = = = = = 3,71 cm S 2 2 2 2 2 2 V a + 4v a + 4v 4 + 4 5 2 Vzdálenost bodu S od roviny V je 3,71 cm. Příklad 5. Je dána krychle EFGH; a = 4 cm. Určete vzdálenost bodu E od roviny FH. S S 9

Příklad 6. Je dána krychle EFGH, a = 4 cm. Určete vzdálenost bodu rovin: a) a EFG b) a EFS G c) S F a S E FG d) FH a G 10

Příklad 7. Je dána krychle EFGH, a = 4 cm. Určete vzdálenost: a) přímky EG od rovin b) přímky S H F od roviny S F 11

Příklad 8. Je dána krychle EFGH, a = 4 cm. Určete vzdálenost přímek: a), EF b), EH c) F, EH d) EG, S S e) H, F 12

Odchylka dvou rovin Tento pojem lze definovat pomocí odchylky dvou přímek takto: Odchylka α dvou rovin ρ, σ je rovna odchylce průsečnic p, q těchto rovin s libovolnou rovinou τ kolmou k oběma rovinám ρ, σ (viz. obrázek). Značíme ji α = ρ, σ. Podle definice je π α = ρ, σ = p, q ; α 0,, resp. α (0,90. 2 Rovnoběžné roviny ρ, σ mají odchylku α = 0. Příklad 9. Je dána krychle EFGH. Urči odchylku rovin: a) F, b) FG, E c) G, 13

Příklad 10. Je dán pravidelný čtyřstěn. Urči odchylku stěn a. Kolmost dvou rovin Roviny ρ, σ se nazývají roviny k sobě (navzájem) kolmé, právě když jejich odchylka je α = ρ, σ = 90. Také říkáme, že rovina ρ je kolmá k rovině σ nebo že rovina σ je kolmá k rovině ρ, a píšeme ρ σ nebo σ ρ. Odchylka přímky a roviny Odchylkou přímky p a roviny ρ nazýváme odchylku přímky p a přímky q, která je průsečnicí roviny ρ s rovinou τ, která prochází přímkou p a je kolmá k rovině ρ (viz. obrázek). Značí se α = p, ρ = p, q. Jestliže přímka p není kolmá k rovině ρ, potom přímka q z definice odchylky přímky a roviny je určena jednoznačně; je to pravoúhlý průmět přímky p do roviny ρ. Přitom α = p, ρ = 0, právě když p ρ. Jestliže je p ρ, pak přímka q není sice určena jednoznačně, avšak vždy dostáváme α = p, ρ = p, q = 90. 14