Analýza stavebních konstrukcí

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Analýza stavebních konstrukcí Příklady Petr Konvalinka prof. Ing. Petr Konvalinka, CSc. a kolektiv 009

prof. Ing. Petr Konvalinka, CSc. Ing. Dagmar Jandeková, Ph.D. Ing. Radoslav Sovják, Ph.D. Ing. Jindřich Fornůsek Ing. Karel Mach, Ph.D. Ing. Petr Máca Ing. Michal Hlobil Datum poslední revize: 3.10.014

Obsah Předmluva... 5 1 Příčinkové čáry... 6 1.1 Příčinkové čáry na staticky určitých konstrukcích... 7 1.1.1 Příčinkové čáry na prostém nosníku... 7 1.1. Winklerovo kritérium... 8 1. Řešené příklady... 10 1..1 Příčinkové čáry na spojitém nosníku... 10 1.3 Příčinkové čáry na staticky neurčitých konstrukcích... 13 1.3.1 Určení pořadnic příčínkové čáry... 13 1.3. Příklady příčinkových čar na spojitém nosníku... 13 Princip virtuálních prací... 15.1 Shrnutí problematiky... 15. Řešené příklady... 17..1 Vzorový příklad, silové zatížení... 17.. Vzájemné pootočení desek na Gerberově nosníku, silové zatížení... 19..3 Šikmý prut, silové zatížení a pokles podpory... 0..4 Poddajnost kyvného prutu, silové zatížení a rovnoměrná změna teploty.....5 Pootočení průřezu, zatížení nerovnoměrnou změnou teploty... 5..6 Příhradová konstrukce, kombinace silového zatížení, změny teploty a poklesu podpory... 6..7 Redukční věta... 9 Řešení staticky neurčitých konstrukcí - silová metoda... 30.1 Úvod... 30.1.1 Rozbor konstrukce... 30.1. Vzorový příklad... 31.1.3 Vliv poddajnosti kyvného prutu... 37.1.4 Kombinace silového zatížení a změny teploty... 40.1.5 Kombinace silového zatížení a poklesu podpory... 45.1.6 Příhradová konstrukce... 49 3 Plošné konstrukce... 5 3.1 Desky metoda sítí... 5 3.1.1 Základní pojmy a vztahy... 5

3.1. Metoda sítí... 53 3. Řešené příklady... 56 3..1 Příklad 1... 56 3.. Příklad... 60 3..3 Příklad 3... 63 3..4 Příklad 4... 64 3.3 Stěny metoda sítí... 65 3.3.1 Základní pojmy a vztahy... 65 3.3. Metoda sítí... 66 3.4 Řešené příklady... 68 3.4.1 Příklad 1... 68 3.4. Příklad... 7 3.4.3 Příklad 3... 76 3.4.4 Příklad 4... 77 4 Kroucení tenkostěnných otevřených průřezů... 78 4.1 Průřezové charakteristiky... 78 4. Příklad výpočtu výsečových charakteristik... 79 4.3 Napjatost průřezu... 8 4.3.1 Normálové napětí... 8 4.3. Smyková napětí... 8 4.4 Příklad: stanovení průběhu napětí... 83 4.4.1 Příklad: Normálové napětí... 88 4.4. Příklad: Smykové napětí... 90

5 Předmluva Předmluva Příkladové skriptum Analýza stavebních konstrukcí je určeno jako pomůcka studentům ke stejnojmennému předmětu ANKC, který je vyučován ve 3. ročníku bakalářského studia na oborech K a C. Spolu s přednáškami a cvičením tvoří komplexní podklad pro přípravu k testům během semestru a ke zkoušce. Příkladové skriptum pokrývá všechny hlavní kapitoly vyučované v předmětu ANKC příčinkové čary na staticky určitých i neurčitých nosnících, řešení desek a stěn metodou sítí a kroucení tenkostěnných otevřených průřezů. Dále jsou součástí skript i příklady na silovou metodu. Skriptum je připraveno pro oboustranný tisk a svázání. Tomu jsou také přizpůsobeny okraje na lichých a sudých stránkách.

6 Příčinkové čáry 1 Příčinkové čáry Dosud jsme předpokládali, že na konstrukci působí stálé zatížení poloha a velikost zatížení byla konstantní. U inženýrských konstrukcí (mosty, jeřábové dráhy atd.) hraje významnou roli pohyblivé zatížení (pohyblivá soustava sil), které je zpravidla svislé. Mění se pouze poloha soustavy (velikost a vzájemná vzdálenost sil jsou neměnné stálé veličiny). V každém průřezu tedy vzniká nekonečné množství hodnot M, V, N (pro každý z nekonečného množství zatěžovacích stavů jedna hodnota M, V, N). Příčinkové čáry jsou tedy grafickým znázorněním funkční závislosti polohy zatížení na velikosti příslušné statické veličiny. Určují se: a) z definice postupujeme tak, že pro každou polohu jednotkové zatěžovací síly vypočteme příslušnou statickou veličinu z podmínek rovnováhy konstrukce, b) kinematicky do místa, ve kterém určujeme příčinkovou čáru statické veličiny vložíme vazbu umožnující příslušný deformační impuls. Deformace konstrukce určuje tvar příčinkové čáry. Vkládané nebo uvolňované vazby vazby jsou: vložený klub příčinková čára M, vložené posuvné vetknutí příčinková čára V, uvolnění vazby v místě a směru dané zjišťované reakce příčinková čára R. Definice příčinkové čáry: Obr. 1.1: Vložené a uvolňované vazby Příčinková čára statické veličiny (M, V, N, R, ) je čára, jejíž pořadnice η udávají velikost statické veličiny ve vyšetřovaném průřezu při pohybu osamělé síly F = 1 [-] po nosníku.

Analýza stavebních konstrukcí příklady 7 1.1 Příčinkové čáry na staticky určitých konstrukcích Příčinková čára na staticky určitých konstrukcích je vždy lineární. Ve vnějších podporách původního nosníku má příčinková čára nulové pořadnice, ve vnitřních kloubech má zlomy. 1.1.1 Příčinkové čáry na prostém nosníku Obr. 1.: Příčinková čára reakce R Obr. 1.3: Příčinková čára posouvající síly V

8 Příčinkové čáry 1.1. Winklerovo kritérium Obr. 1.4: Příčinková čára ohybového momentu M Winklerovo kritérium je kritérium pro výpočet maximálního momentu v daném průřezu x od dané soustavy sil. Otázka tedy zní: Za jaké polohy soustavy sil vzniká v daném průřezu maximální moment (max M)? Do průřezu x umístíme břemeno F r (F r je jedno břemeno ze zadané soustavy sil, avšak my nevíme které), které určíme podle Winklerova kriteria (platí za předpokladu, že celá soustava sil působí nad polygonem a-b-c) Winklerovo kriterium: Břemeno F r v nejúčinnější poloze mění znamení nerovnosti! > F 1. F i R x < (1.1) l Pomocí Winklerova kritéria určete polohu soustavy sil na nosníku, která vyvodí extrémní účinek momentu v průřezu x. Max M v bodě x vyčíslete. Obr. 1.5: Prostý nosník s převislým koncem

Analýza stavebních konstrukcí příklady 9 Obr. 1.6: Příčinková čára momentu v bodě x Jako první stanovíme velikost výslednice sil pohyblivého zatížení. R = F i = 40 + 0 + 0 = 80kN (1.) Za druhé spočítáme pravou stranu Winklerova kritéria; R x l = 80 3 5 = 48kN (1.3) "x" je vzdálenost vlevo od myšleného řezu na nosníku, pokud soustava sil najíždí na nosník zprava. F 1. F i > < 40 < 48 R x l 40 + 0 > 48 Druhá síla F nám změnila znaménko nerovnosti a právě protu tuto sílu umístíme do průřezu "x". (1.4) Obr. 1.7: Vyčíslení maximálního momentu maxm = F 1 0,4 + F 1, + F 3 0,6 = 40 0,4 + 0 1, + 0 0,6 maxm =5 knm (1.5)

10 Příčinkové čáry 1. Řešené příklady 1..1 Příčinkové čáry na spojitém nosníku Velikost výsledného maximálního momentu v průřezu x spočítáme dle vykreslené příčínkové čáry. Příčinková čára na spojitém nosníku se dá řešit dvěma způsoby: a) z definice příčinkové čáry: rozkreslíme nosník na části nesoucí a nesené, vyřešíme příčinkovou čáru na tom nosníku, kde je zadán průřez, příčinková čára pokračuje na všech nosnících vyšší úrovně (nesených). Ve vnějších podporách původního nosníku má příčinková čára nulové pořadnice, ve vnitřních kloubech má zlomy. Je vždy lineární (platí pro staticky určité konstrukce). b) kinematicky uvolníme nebo do konstrukce vložíme vazbu, která odpovídá uvažované statické veličině, zavedeme příslušnou jednotkovou deformaci, tvar deformace konstrukce odpovídá hledané příčinkové čáře (předpokládáme lineární průběh deformací), určíme jednu pořadnici příčinkové čáry, ostatní dopočítáme z podobnosti trojúhelníků.

Analýza stavebních konstrukcí příklady 11 Příklad 1: Vypočtěte a do obrázku zakreslete příčinkové čáry spojitého nosníku. Rozměry jsou udávány v [m], zatížení v [kn]. Vyčíslete Q p x pro zadané stálé zatížení a dále určete max M x1 pro pohyblivou soustavu sil. Obr. 1.8: Příčinkové čáry na staticky určitém nosníku Vyčíslení posouvající síly Q x zprava: Q x = 0,75 10 6 0,5 4 0,5 = 7,5 3 = 10,5 kn Vyčíslení maximálního momentu max M x1 : max M x1 = 5 1,5 + 10 1,5 + 10 0,5 + 5 0,5 = 7,5 knm

1 Příčinkové čáry Příklad : Vypočtěte a do obrázku zakreslete příčinkové čáry spojitého nosníku. Rozměry jsou udávány v [m], zatížení v [kn]. Vyčíslete M g pro zadané stálé zatížení a dále určete max M x pro pohyblivou soustavu sil. Obr. 1.9: Příčínkové čáry na staticky určitém nosníku Vyčíslení momentu M g : M g = 15 3 0,5 1 1,5 10 + 0,5 3 10 + 0,5 3 10 = 7,5 knm Vyčíslení momentu max M x : M x = 4 0,7 + 8 0,4 = 4,44 knm

Analýza stavebních konstrukcí příklady 13 1.3 Příčinkové čáry na staticky neurčitých konstrukcích 1) Tvar určíme kinematicky: uvolníme nebo přidáme vazbu, vyřešíme příčinkovou čáru jako tvar deformace nosníku od jednotkového deformačního impulsu. Ve vnějších podporách má příčinková čára nulové pořadnice, ve vnitřních kloubech má zlomy. Je nelineární na staticky neurčitých částech konstrukce, na staticky určitých částech pak lineární. ) Pořadnice určíme SM nebo ZDM. 1.3.1 Určení pořadnic příčínkové čáry Stanovíme body, ve kterých budeme zjišťovat hodnoty pořadnic příčinkové čáry o všech. Do těchto bodů umístíme postupně zatěžovací sílu o jednotkové velikosti a každý případ řešíme jako samostatný zatěžovací stav. K řešení použijeme metody pro řešení staticky neurčitých konstrukcí ZDM, SM. Vypočtené pořadnice pak vynášíme do místa působiště příslušné zatěžovací síly 1.3. Příklady příčinkových čar na spojitém nosníku

14 Příčinkové čáry Obr. 1.10: Průběh příčinkových čar na spojitém nosníku Chceme li zjistit pořadnice příčinkové čáry na staticky neurčité konstrukci, musíme na konstrukci vyvodit takový zatěžovací stav, který odpovídá dané pořadnici. V našem příkladu chceme vyčíslit pořadnice všech příčinkových čar v průřezu 1. Vložíme tedy do průřezu 1 sílu o velikosti F=1kN. Daný zatěžovací stav spočítáme (ZDM, SM) a dané pořadnice příčinkových čar doplníme. Obr. 1.11: Průběh vnitřních sil na spojitém nosníku

Analýza stavebních konstrukcí příklady 15 Princip virtuálních prací.1 Shrnutí problematiky Virtuální znamená myšlený, fiktivní, virtuální posun je tedy myšlený, fiktivní posun, který nemusí vůbec nastat, a který neporušuje vazby soustavy. Virtuální síla je myšlená, fiktivní síla, která neporušuje rovnováhu soustavy. Princip virtuálních prací lze použít buď jako princip virtuálních posunutí (PVP), kdy na soustavě působí skutečné síly a posunutí jsou virtuální, nebo jako princip virtuálních sil (PVS), kdy posuny jsou skutečné a síly virtuální. Pokud máme řešit přetvoření konstrukcí principem virtuálních prací, musíme použít variantu PVs. Při výpočtu přetvoření principem virtuálních prací vycházíme z podmínky, že součet virtuálních prací sil vnějších a vnitřních je roven nule Virtuální práce vnějších sil L ext je dána vztahem L ext + L int = 0. (.1) L ext = F i i + R i r j, (.) i kde F i jsou vnější virtuální síly, R j reakce od virtuálních sil, i posuny ve směru virtuálních sil F i, r j vnesené (zadané) posuny podpor ve směru reakcí R j. Pro výpočet virtuální práce vnitřních sil L int použijeme vztah i L int = [ M dψ + V dw + N du], (.3) kde M, V a N jsou vnitřní síly od virtuálních sil F i. Výrazy dψ, dw a du vyjadřují přetvoření diferenciálního elementu prutu: dψ = M t dx + α EI h dx (.4) dw = β V G A dx (.5) du = N EA dx + αt sdx. (.6) M, N, V jsou vnitřní síly od reálného zatížení konstrukce, E je Youngův modul pružnosti, G modul pružnosti ve smyku, A průřezová plocha, I moment setrvačnosti průřezu, α součinitel teplotní délkové roztažnosti, t je rozdíl přírůstků teplot při spodních a horních

16 Princip virtuálních prací vláknech průřezu, t s změna teploty na střednici průřezu a β součinitel vyjadřující vliv tvaru průřezu na deformaci elementu. Dosazením výrazů (.) až (.6) do rovnice (.1) a nahrazením i F i hodnotou 1 dostaneme po malé úpravě výraz pro výpočet přetvoření 1 i = MM EI dx + β VV GA + N αt s dx R j NN t dx + dx + M α EA h dx j r j. (.7) Vliv posouvajících a normálových sil od reálného stavu většinou zanedbáváme. Výjimku tvoří části konstrukcí, které jsou v reálném stavu namáhané pouze normálovou silou jako jedinou z vnitřních sil. Patří k nim všechny vzpěry a táhla, které nemají příčné silové zatížení. Zvláštní skupinu tvoří příhradové konstrukce. Pro výpočet jejich přetvoření přejde vzorec (.7) na tvar 1 i = NN EA pruty l + N pruty αt s l R j j r j. (.8) Na závěr je ještě třeba se zmínit o výpočtu přetvoření staticky neurčitých konstrukcí. Uplatníme-li redukční větu, řešíme virtuální stav na libovolné (staticky přípustné) staticky určité základní soustavě. Vzorce a princip výpočtu se nemění.

Analýza stavebních konstrukcí příklady 17. Řešené příklady..1 Vzorový příklad, silové zatížení PVP určete pootočení průřezu (a). Při výpočtu uvažujte pouze vliv ohybových momentů. EI 0 = 4000 knm Řešte: a) přímou integrací, b) pomocí tabulky pro slučování ploch, c) Vereščaginovým pravidlem. Obr..1: Schéma konstrukce a zatížení, průběh M od reálného stavu Analytické vyjádření ohybových momentů od zadaného zatížení: a; c M (x) = 4,x c; b (x ) M (x) = 4,x 4(x ) = x + 4,x + 4 Virtuální = jednotkový stav: do místa a směru hledaného přetvoření umístíme virtuální jednotkové zatížení. Pro výpočet pootočení je to jednotkový moment. Obr..: Virtuální stav, průběh M od virtuálního stavu

18 Princip virtuálních prací Analytické vyjádření ohybových momentů od jednotkového (virtuálního) stavu: a; c M (x) = 1 0,x c; b M (x) = 1 0,x a) Řešení přímou integrací 1 φ a = MM EI dx φ a = 1 4,x EI 0 0 φ a = 6,16 EI 0 + 6,39 EI 0 = 9,355 EI 0 5 (1 0,x)dx + 1 ( x + 4,x + 4) (1 0,x)dx EI 0 Po dosazení EI 0 = 4000 knm vyjde pootočení φ a : φ a =,339 10 3 rad = 0,134 b) Řešení integrace pomocí tabulky pro slučování ploch Momentovou plochu vykreslenou pro reálný stav na intervalu c; b v tabulce přímo nenajdeme. Je třeba ji vhodně rozdělit. Obr..3: Rozdělení momentové plochy V tabulce budeme tedy vyhledávat slučování následujících ploch: 1 φ a = MM dx = 1 8,4 { } + 1 8,4 { } + 1,5 { } EI EI 0 3 EI 0 EI 3 0 φ a = 1 1 1 8,4(1 + 0,6) + [ 1 EI 0 6 EI 0 3 8,4 0,6 3 + 1,5 0,6 3] 3 φ a = 9,355 EI 0 =,339 10 3 rad = 0,134 1 0,6 0,6 3 0,6 3

Analýza stavebních konstrukcí příklady 19 c) Integrace pomocí Vereščaginova pravidla Ponecháme rozdělení momentové plochy od reálného stavu na intervalu c; b jako při slučování pomocí tabulky. Navíc rozdělíme momentovou plochu od virtuálního stavu na 0,6 intervalu a; c na obdélník a trojúhelník. 1 φ a = MM EI dx = 1 EI 0 [ 1 8,4 0,6 + 1 8,4 1 3 0,4] + + 1 [ 1 EI 0 3 8,4 3 0,6 + 3 3,5 1 9,355 0,6] = EI 0 φ a =,339 10 3 rad = 0,134 Pootočení průřezu nad podporou (a) je,339 10 3 rad, to je 0,134. Pootočení vyšlo kladné, je tedy shodně se zavedenou 1. 0,4.. Vzájemné pootočení desek na Gerberově nosníku, silové zatížení PVP určete vzájemné pootočení desek v kloubu (k ). Při výpočtu uvažujte pouze vliv ohybových momentů. EI = 5000 knm Obr..4: Schéma konstrukce s reálným zatížením, jednotkový stav a průběhy M a M

0 Princip virtuálních prací EI φ k = 1 ( 0,5)(10 16) + 1 ( 16)( 0,5) 1 + 1 ( 4)(1 + 3 ) 4 = 6 3 1 10-16 -0,5-16 1-0,5 1 4-4 1 4 = 1,833 + 1,333 56 = 5,833 φ k = 5,833 5000 = 0,01056 rad = 0,61. Vzájemné pootočení desek v kloubu (k ) je -0,61 o, to je proti smyslu zavedených jednotkových momentů...3 Šikmý prut, silové zatížení a pokles podpory PVP určete svislé posunutí průřezu (c) w c. Nosník je zatížen spojitým rovnoměrným zatížením a poklesem podpory (b) o 0,05 m. EI = konst. =,8 10 4 knm Vypočtěte: a) svislé posunutí w c f průřezu (c) od silového zatížení (uvažujte pouze vliv ohybových momentů), b) svislé posunutí w c r průřezu (c) od poklesu podpory (b), c) výsledné svislé posunutí w c průřezu (c) od obou vlivů. Obr..5: Schéma konstrukce s reálným zatížením a průběh M

Analýza stavebních konstrukcí příklady 1 Obr..6: Jednotkový stav a průběh M a) w c f od silového zatížení 1 w c f = MM EI ds EI w f c = 1 1 6,858 5 + 1 1 6,858 4 + 1 4 1 4 3 7 3 7 3 7 5 6,858 w c f = 44,413,8 10 4 = 1,586 10 3 m 5 1 7 6,858 3 1 7 3 4 4 1 7 3 r b) w c od poklesu podpory (b) 1 w r c = R r podpory w c f = R b w b = ( 3 7 ) 0,05 = 1,49 10 3 m c) Výsledný svislý posun w c od obou vlivů w c = w f c + w r c = 1,586 10 3 + 1,49 10 3 w c = 3,015 10 3 m =,3 cm Výsledné svislé posunutí je,3 cm a je směrem dolů (ve smyslu zavedené 1 ). Poznámka: V případě přímého řešení integrálu je možné vyjádřit M a M na šikmém prutu v závislosti na vodorovné proměnné x (viz. Obr..7). Integrovat je však nutné podle proměnné s ve směru střednice prutu.

Princip virtuálních prací Obr..7: Zavedení proměnných na prutech Vztah mezi ds a dx: ds dx ds = dx cos α cos α = 3 (z rozměrů konstrukce) 5 < a; c > M (x) =,86 x M (x) = 4 7 x < b; c > M (x ) = 5,714 x x M (x ) = 3 7 x 1 w c f = MM EI w c f = 1 EI [0,4354x3 cos α ] 0 w c f = 1,586 10 3 m 3,86 x ds = EI 3 0 4 7 x + 1 EI [0,8163 x 3 0,1071x 4 ] 0 4 4 dx + (5,714 x x ) 3 7 x dx cos α EI 0..4 Poddajnost kyvného prutu, silové zatížení a rovnoměrná změna teploty Betonový nosník s převislým koncem je podepřen pevným kloubem a ocelovým kyvným prutem. PVP vypočtěte svislý posun volného konce nosníku w c. Určete: a) svislý posun w c f od silového zatížení (při výpočtu uvažujte vliv ohybových momentů a vliv poddajnosti kyvného prutu), b) svislý posun w c t od rovnoměrného ochlazení kyvného prutu, c) celkový svislý posun w c od obou vlivů. beton: E b =,1 10 4 MPa ocel: E o =,1 10 4 MPa y 0,4 y 0,1 α = 1 10 6 1 0, z [m] z 0,1 [m]

Analýza stavebních konstrukcí příklady 3 Obr..8: Schéma konstrukce s reálným zatížením a reakcemi beton: I y,b = 1 1 0, 0,43 = = 1,066 10 3 m 4 ocel: A o = π 4 (0,1 0,1 ) = = 345,575 10 5 m E b I y,b = 400 knm E o A o 75708 kn Obr..9: Průběhy M a N od reálného zatížení

4 Princip virtuálních prací Obr..10: Jednotkový (virtuální) stav a průběhy M a N d) w c f od silového zatížení Vliv poddajnosti kyvného prutu započítáme pomocí členu NN EA dx. 1 w c f = MM EI dx + NN EA dx w c f = 1 E b I y,b [ 1 3 ( 8)( ) 3 + 1 3 4,5 ( ) 3 + 1 4 50 3 5 3 + 1 E o A o ( 50 3 ) ( 5 3 ) 3-8 w c f = 15 400 + 55,555 75708 = 7,46 10 4 m 3-3 4,5 - -8 o - 3 ( 8)( ) ] + e) w c t od rovnoměrného ochlazení kyvného prutu 1 w c t = N αt s dx = αt s N dx = 1 10 6 ( 10) ( 5 3 ) = +4 10 4 m plocha N včetně znaménka (na intervalu, který je ochlazený) f) Výsledný posun w c od obou vlivů w c = w c f + w c t = 7,46 10 4 + 4 10 4 = 11,46 10 4 m (= 1 mm) Průřez (c) se posune směrem dolů (ve smyslu zavedené 1 ) o 11,46 10 4 m.

Analýza stavebních konstrukcí příklady 5..5 Pootočení průřezu, zatížení nerovnoměrnou změnou teploty PVP určete pootočení průřezu (a) nad levou podporou od nerovnoměrné změny teploty. α = 1 10 6 1 schéma průřezu: t h = 1 h =0,4 m t s = 4 t d = 0 t s - změna teploty na střednici t d - změna teploty při dolních vláknech t h - změna teploty při horních vláknech t = t d t h = 0 ( 1) = 3 t s = t d+t h = 0 1 = 4 1 φ a = M α t h dx + N αt s dx Obr..11: Schéma konstrukce a zatížení Obr..1: Jednotkový stav a průběhy M a N

6 Princip virtuálních prací 1 φ a = α t h M dx + αt s N dx plocha M včetně znaménka plocha N včetně znaménka φ a = 1 10 6 3 0,4 [1 4 + 1 1 5] + 1 10 6 4 [ 1 5 4 1 5 ] φ a = 6,59 10 3 rad = 0,36 Průřez (a) se pootočí o 0,36 po směru hodinových ručiček (shodně se zavedeným jednotkovým momentem)...6 Příhradová konstrukce, kombinace silového zatížení, změny teploty a poklesu podpory Příhradová konstrukce je zatížena silou F = 0 kn, rovnoměrným ohřátím prutů a 6 a poklesem podpory (a). Určete: a) vodorovné posunutí styčníku (c) u c f od zatížení břemenem, b) vodorovné posunutí styčníku (c) u c t od rovnoměrné změny teploty, c) vodorovné posunutí styčníku (c) u c r od poklesu podpory, d) výsledné vodorovné posunutí u c od kombinace všech tří vlivů. Průřezová plocha prutů A = 3,6 10 4 m,youngův modul pružnosti E =,1 10 8 kpa, α = 1 10 6 K 1. Obr..13: Schéma příhradové konstrukce a zatížení

Analýza stavebních konstrukcí příklady 7 Výsledné vodorovné posunutí u c od kombinace všech tří vlivů vypočteme jako součet přetvoření od jednotlivých vlivů: u c = u c f + u c t + u c r u c f = pruty N N l EA u c t = N α t s l pruty u r c = podpory R r, kde R je reakce od jednotkového stavu, ve směru zadaného poklesu r. a) Normálové síly N v jednotlivých prutech je možné vyřešit například zjednodušenou metodou styčných bodů. Vypočtené hodnoty jsou na obrázku.14. Obr..14: Normálové síly N od reálného zatížení Jednotkový stav a normálové síly N jsou zobrazeny na Obr..15. Vyřešíme i reakci A z, kterou budeme potřebovat při řešení u c r. Reakci A z zavedeme shodně s orientací poklesu podpory.

8 Princip virtuálních prací u c f = = Obr..15: Normálové síly N od virtuálního zatížení a reakce A z pruty N N l = EA 1,1 10 8 3,6 10 4 [33,33 1,66,5 + ( 53,33 ) ( 1,33 ) ] u c f = 3,718 10 3 m t b) Vodorovné posunutí u c vypočteme ze vzorce: u t c = N α t s l. pruty Osové síly N jsou patrné z Obr..15. u t c = 1,33 1 10 6 30 = 0,96 10 3 m r c) Vodorovné posunutí u c od poklesu podpory (a) vypočteme podle: u r c = A z w a Reakce A z je znázorněna na Obr..15. u r c = 1,33 0,015 = 0 10 3 m d) Výsledné posunutí u c : u c = u f c + u t c + u r c = (3,718 0,96 0) 10 3 u c = 17,4 10 3 m = 1,7 cm Průřez (c) se posune o 1,7 cm proti smyslu zavedené 1.

Analýza stavebních konstrukcí příklady 9..7 Redukční věta Pomocí redukční věty určete průhyb uprostřed oboustranně vetknutého nosníku. Při výpočtu uvažujte pouze vliv ohybových momentů. EI = konst. 1 w (c) = MM EI dx Průběh momentů M najdeme např. v tabulce momentů v dokonalém vetknutí pro deformační metodu. Jednotkový stav a průběh M vyřešíme na libovolné, staticky přípustné základní soustavě (ZS). Obr..16: Schéma nosníku s reálným zatížením, průběh M, jednotkový stav a průběh M 1 w c = 1 [ { 4 } + { }] = EI = EI [1 6 l fl ( 4 1 + fl 4 ) l + 1 3 l 4 1 8 f (l ) l ] w c = fl4 384 EI fl 1 fl l/ l/4 l/ 1 8 f (l ) l/ l/4 Průhyb uprostřed oboustranně vetknutého nosníku o délce l, zatíženém po celé délce spojitým rovnoměrným zatížením f, je w c = jako vzorec. fl4 384 EI. Tuto hodnotu lze nalézt v literatuře

30 Řešení staticky neurčitých konstrukcí - silová metoda Řešení staticky neurčitých konstrukcí - silová metoda.1 Úvod Silová metoda je jednou z metod řešení staticky neurčitých konstrukcí. U těchto konstrukcí je počet reakcí (vnějších a vnitřních) vyšší než počet podmínek rovnováhy pro jejich výpočet. Počet chybějících rovnic udává stupeň statické neurčitosti konstrukce. Princip výpočtu: 1. Určíme stupeň statické neurčitosti konstrukce s.. Ze staticky neurčité konstrukce vytvoříme konstrukci staticky určitou = základní soustavu (ZS); počet odebraných vazeb se rovná stupni statické neurčitosti (vazby smíme odebírat, nikde nesmíme přidávat, ZS musí být staticky i přetvárně určitá a nesmí být výjimkovým případem podepření). 3. Odebrané vazby nahradíme staticky neurčitými veličinami X i. 4. Pokud mají být reakce a vnitřní síly na ZS stejné jako na původní konstrukci, musí být stejné i přetvoření obou konstrukcí; sestavujeme tedy přetvárné = deformační podmínky, z nichž vypočteme neznámé silové veličiny X i..1.1 Rozbor konstrukce Určete stupeň statické neurčitosti konstrukce, zvolte základní soustavu, vyznačte na ní působící zatížení a staticky neurčité veličiny X i a sestavte v symbolickém tvaru přetvárné podmínky pro jejich výpočet. Obr. 3.1: Schéma konstrukce se zatížením

Analýza stavebních konstrukcí příklady 31 Nejprve určíme stupeň statické neurčitosti konstrukce s: s = 3 ( 3 + + 1) = 3. desky vetknutí o 3 stupních volnosti Pokud budeme kyvný prut považovat za další desku, změní se výpočet s, ale výsledek zůstane stejný: s = 3 3 ( 3 + 3 ) = 3. 3 desky vetknutí o 3 stupních volnosti 1 vnitřní kloub 3 vnitřní klouby 1 kyvný prut Obvykle existuje více možností, jak vytvořit základní soustavu. V našem případě by mohla vypadat třeba takto Obr. 3.: Základní soustava. Pro výpočet staticky neurčitých veličin X 1, X a X 3 budeme psát celkem tři přetvárné podmínky: δ 1 = 0 (1) δ = 0 () δ 3 = 0 (3) kde δ 1 je relativní vodorovné posunutí průřezů ve smyslu veličiny X 1 v místě přerušení táhla, δ relativní svislé posunutí v místě a směru X a δ 3 relativní vodorovné posunutí v místě a směru veličiny X 3..1. Vzorový příklad Silovou metodou vyřešte průběhy vnitřních sil na konstrukci. Při výpočtu koeficientů δ ik a δ i0 uvažujte pouze vliv ohybových momentů. EI = konst.

3 Řešení staticky neurčitých konstrukcí - silová metoda Stupeň statické neurčitosti konstrukce: s = 3 ( 3 + ) = desky vetknutí o 3 stupních volnosti Obr. 3.3: Schéma konstrukce se zatížením 1 vnitřní kloub Konstrukce je x staticky neurčitá, ZS vytvoříme např. odstraněním vnitřního kloubu. Odebereme tak právě vnitřní vazby. Obr. 3.4: Základní soustava δ 1 je relativní vodorovné posunutí desek I a II v průřezu (c), δ je relativní svislé posunutí desek I a II, rovněž v průřezu (c). Desky jsou v původní konstrukci spojeny vnitřním kloubem, k žádnému relativnímu posunutí v průřezu (c) tedy dojít nemůže. Přetvárné podmínky proto zapíšeme ve tvaru: δ 1 = 0 (1) [i] δ = 0 ().

Analýza stavebních konstrukcí příklady 33 Přetvoření δ 1 a δ získáme superpozicí přetvoření od X 1 = 1, X = 1 a od zadaného zatížení: δ 1 : δ 11 X 1 + δ 1 X + δ 10 = 0 (1) [ii] δ : δ 1 X 1 + δ X + δ 0 = 0 (). Dílčí přetvoření δ 11, δ 1 = δ 1, δ, δ 10 a δ 0 jsou naznačena na následujících obrázcích. Základní soustavu budeme postupně zatěžovat veličinami X 1, X a zadaným zatížením a vypočteme potřebná přetvoření. Hodnotu veličin X 1 a X neznáme. Nahradíme je proto X 1 = 1 a X = 1. Výsledná přetvoření od veličin X 1 a X budou podle principu proporcionality X 1 krát větší, respektive X krát větší než přetvoření od 1 (viz. [ii]). Obr. 3.5: Průběhy M1 od X 1 = 1 a M od X = 1 δ 11 relativní vodorovné posunutí v místě a směru veličiny X 1 od X 1 = 1 na ZS, δ 1 relativní vodorovné posunutí v místě a směru veličiny X 1 od X = 1 na ZS, δ 1 relativní svislé posunutí v místě a směru veličiny X od X 1 = 1 na ZS, δ relativní svislé posunutí v místě a směru veličiny X od X = 1 na ZS. Obr. 3.6: Průběh M0 od zadaného zatížení δ 10 relativní vodorovné posunutí v místě a směru veličiny X 1 od zadaného zatížení na ZS, δ 0 relativní svislé posunutí v místě a směru veličiny X od zadaného zatížení na ZS.

34 Řešení staticky neurčitých konstrukcí - silová metoda Tato přetvoření vypočteme pomocí principu virtuálních prací podle vzorce (.7). Při zanedbání vlivu ohybových momentů dostaneme pro jejich výpočet po mírné úpravě výrazy: ik = M im k EI dx (3.1) i0 = M im 0 EI dx (3.) Tuhost EI = konst. na celé konstrukci. Můžeme ji proto vytknout před integrály a počítat EI-násobky přetvoření. Pro výpočet integrálů použijeme tabulku na slučování ploch. EIδ 11 = M 1 M 1 dx = 1 3 + ( ) ( ) 3 = 14, 66 [m 3 ] - 3-3 EIδ 1 = M 1 M dx = 1 ( ) ( 3) 3 = 9 [m3 ] - 3-3 3 EIδ 1 = M M 1 dx = EIδ 1 EIδ = M M dx = 1 3 ( 3) ( 3) 3 + 1 3 EIδ 10 = M 1 M 0 dx = ( ) 8 3 = 48 [m 3 ] -3 3-3 3 4 4 4 4 = 30, 33 [m 3 ] 4 4 4-3 3 8 EIδ 0 = M M 0 dx = 1 ( 3) 8 3 + 1 4 4 ( 64) 4 = 9 [m3 ]. -3 3 3 8 4 4 4-64 Dosadíme vypočtené hodnoty do přetvárných podmínek a po vykrácení EI dostaneme: 14, 66 X 1 + 9 X 48 = 0 (1) 9 X 1 + 30, 33 X 9 = 0 () X 1 = 3,1 kn X = 10,58 kn Z podmínek rovnováhy na konstrukci lze dopočítat všechny reakce a následně vykreslit průběhy vnitřních sil.

Analýza stavebních konstrukcí příklady 35 Obr. 3.7: Zatížení a reakce [kn, knm] Obr. 3.8: Výsledné ohybové momenty M [knm] Obr. 3.9: Výsledné posouvající síly V [kn] Obr. 3.10: Výsledné normálové síly N [kn]

36 Řešení staticky neurčitých konstrukcí - silová metoda Na závěr je třeba provést kontrolu správnosti výsledků. Nejprve zkontrolujeme rovnováhu ve styčnících. Obr. 3.11: Vnitřní síly ve styčnících [kn], [knm] 0,779 4 + 3,1 = 0 3,1 + 3,1 = 0 10,58 + 0 10,58 = 0 10,58 10,58 = 0 14,44 + 8 + 6,44 = 0 Kontrola správnosti výpočtu redukční větou: Principem virtuálních prací budeme kontrolovat přetvoření, jehož hodnotu předem známe (je nulová). Jednotkový stav vyřešíme na libovolné ZS. Je vhodné zvolit ZS jinou než tu, která byla použita ve výpočtu. Vyvarujeme se tak opakování stejných chyb. Obr. 3.1: Jednotkový stav na základní soustavě a průběh M Chceme ověřit, zda vodorovné posunutí v podpoře (b), tj. v místě uvolněné vazby, je nulové (u b = 0?). Pokud máme správně vyřešené vnitřní síly, musí být přetvoření na základní soustavě stejné jako na soustavě původní. Podpora (b) je na původní konstrukci vetknutím, k vodorovnému posunutí zde tedy nemůže dojít. Při výpočtu dosaď EI = 1000 knm. 1 u b = MM dx = 1 EI EI [1 ( 17,304 + 14,44) 3 + 1 ( 6,44)( ) ] 3-17,304 14,44 3-6,44 -

Analýza stavebních konstrukcí příklady 37 u b = 8,586 + 8,589 1000 = 0 [m] Vodorovné posunutí u b = 0, výpočet silovou metodou je správně..1.3 Vliv poddajnosti kyvného prutu Silovou metodou vyřešte průběhy vnitřních sil. Uvažujte vliv poddajnosti kyvného prutu. Na zbylé části konstrukce uvažujte při výpočtu koeficientů δ ik a δ i0 pouze vliv ohybových momentů. E =,1 10 5 MPa. Obr. 3.13: Schéma konstrukce a zatížení EI = 10500 knm = 10,5 10 3 knm EA = 1050000 kn = 10,5 10 5 kn Stupeň statické neurčitosti: S = 1 3 ( + 1 + 1) = 1 nebo S = 3 ( + 1 + ) = 1 Základní soustavu vytvoříme přerušením kyvného prutu. Obr. 3.14: Základní soustava Nejprve vykreslíme na základní soustavě průběhy momentů od jednotkového stavu i od skutečného zatížení. Kromě toho je třeba určit hodnotu normálové síly v kyvném prutu.

38 Řešení staticky neurčitých konstrukcí - silová metoda Obr. 3.15: Průběhy M 1 [m] a N 1 [ ] Přetvárná podmínka: Obr. 3.16: Průběhy M 0 [knm] a N 0 [kn] δ 1 = 0 δ 11 X 1 + δ 10 = 0 Na kyvném prutu vzniká pouze normálová síla, ohybový moment i posouvající síla jsou nulové. Vliv poddajnosti kyvného prutu na výsledné vnitřní síly, tj. jeho zkrácení či prodloužení, zahrneme do výpočtu prostřednictvím členů N 1N 1 dx a N 1N 0 dx: EA EA δ 11 = M 1M 1 EI dx + N 1N 1 EA dx = táhlo = 1 10500 [1 3 + ( ) 3] + 1 1050000 1 3 = 16 3 +1 + 3 = 10500 1050000 = 1,6537 10 3 [ m kn ] δ 10 = M 1M 0 EI dx + N 1N 0 EA dx = táhlo = 1 10500 [1 373, 33 ( )( 40 0) + ( )( 40) 3] = 6 10500 = 0,0355555 [m] 1,6537 10 3 X 1 + 35,5555 10 3 = 0 X 1 = 1,5 kn

Analýza stavebních konstrukcí příklady 39 Nyní můžeme dopočítat a vykreslit výsledné vnitřní síly. Obr. 3.17: Výsledné vnitřní síly Kontrola správnosti výpočtu pomocí redukční věty: Zvolíme, pokud je to možné, jinou ZS než tu, kterou jsme použili pro řešení vnitřních sil. Obr. 3.18: ZS s jednotkovým stavem, průběhy M a N Budeme kontrolovat, zda je vzájemné pootočení desek v průřezu (c) rovno nule ( φ c = 0?). 1 φ c = MM EI dx + NN EA dx, táhlo kde M, N jsou výsledné vnitřní síly, M, N vnitřní síly od jednotkového stavu. 1 φ c = 1 10500 [1 1 ( 3 0) + 1 ( 1)( 3 + 0) + 3 1 3] + 6 6 3-0 1-3 0-1 3 3 3 1

40 Řešení staticky neurčitých konstrukcí - silová metoda + 1 1050000 ( 1,5) ( 1 ) 3 = 1 10 6 = 0-1,5 -½ 3 3 φ c vyšlo rovné nule, výsledné vnitřní síly jsou tedy vypočteny správně..1.4 Kombinace silového zatížení a změny teploty Silovou metodou vyřešte průběhy vnitřních sil na rámu zatíženém kombinací silového zatížení a změny teploty. Při výpočtu koeficientu δ ik a δ i0 f uvažujte pouze vliv ohybových momentů. EI = konst. = 5000 knm, α = 1 10 6 1, výška obdélníkového průřezu h = 0, m. Obr. 3.19: Schéma konstrukce se zatížením Stupeň statické neurčitosti: S = 1 3 (3 + ) = Konstrukce je x staticky neurčitá. Rozdíly teplot při spodních a horních vláknech a ohřátí střednice na intervalech: a; c, c; d, d; e t = t d t h = 30 8 = t s = t d + t h d; b = 30 + 8 = 19 t = 0 t s = 30

Analýza stavebních konstrukcí příklady 41 Přetvárné podmínky: Obr. 3.0: Základní soustava δ 1 = 0: δ 11 X 1 + δ 1 X + δ 10 = 0 (1) δ = 0: δ 1 X 1 + δ X + δ 0 = 0 (). δ 10 = δ f t 10 + δ 10 δ 0 = δ f 0 + δ t 0, kde δ f 10 a δ f t t 0 jsou přetvoření od zadaného silového zatížení, δ 10 a δ 0 přetvoření způsobená změnou teploty. K výpočtu přetvoření f i0 použijeme vzorec (3.), při výpočtu přetvoření δ t i0 vyjdeme z výrazu (.7) a dostaneme: t i0 = M i α t h dx + N i αt s dx (3.3) Obr. 3.1: Momenty M 1, M a M 0

4 Řešení staticky neurčitých konstrukcí - silová metoda Obr. 3.: Normálové síly N 1 a N (N 0 k výpočtu nepotřebujeme). Výpočet koeficientů δ ik, δ i0 : δ 11 = M 1M 1 EI δ 1 = δ 1 = M 1M EI δ = M M EI dx = 1 5000 [1 1 4 + 1 3 1 1 3] = 5 5000 = 10 10 4 [ 1 knm ] dx = 1 5000 [1 1 4 4 + 1 1 1 4 3] = 3 5000 = 4 10 4 [ 1 kn ] dx = 1 5000 [1 3 4 4 4 + 1 4 4 3] = 74,666 10 4 [ m 3 kn ] δ f 10 = M 1M 0 dx = 1 EI 5000 [1 1 ( 1) + 1 ( 1) + 1 3 = 114 10 4 [rad] t δ 10 = M 1 α t h dx + N 1αt s dx = α t h M 1dx + αt s N 1 dx = = 1 10 6 0, 1 4 + 1 10 6 19 1 3 4 = 55,84 10 4 [rad] δ 10 = δ f t 10 + δ 10 = 58,16 10 4 [rad] δ f 0 = M M 0 dx = 1 EI 5000 [1 3 ( 1) + 1 ( + 4) ( 1) + 1 3 = 344 10 4 [m] t δ 0 = M α t h dx + N αt s dx = α t h M dx + αt s N dx = 1 ( 1) 3] = = 1 10 6 0, 1 4 4 + 1 10 6 19 4 3 4 + 1 10 6 30 1 3 = = 18,56 10 4 [m] δ 0 = δ f t 0 + δ 0 = 15,44 10 4 [m] 4 ( 1) 3]

Analýza stavebních konstrukcí příklady 43 Dosazení do přetvárných podmínek: (rovnice jsou vynásobeny 1 10 4 ) 10 X 1 + 4 X = 58,16 (1) 4 X 1 + 74,666 X = 15,44 (). X 1 = 4,85 knm X = 4,445 kn Výsledné reakce a vnitřní síly: Obr. 3.3: Silové zatížení konstrukce a výsledné reakce v [kn], [knm] Obr. 3.4: Výsledné vnitřní síly

44 Řešení staticky neurčitých konstrukcí - silová metoda Nyní zkontrolujeme rovnováhu vnitřních sil ve styčníku (d). Obr. 3.5: Vnitřní síly ve styčníku (d) [kn], [knm] 4,445 4,445 = 0,691,691 = 0 9 8,073 0,97 = 0 Kontrola správnosti výpočtu pomocí redukční věty: 1 w b = MM EI Obr. 3.6: ZS s jednotkovým stavem, průběhy M a N dx + M α t h dx + N αt s dx w b = 1 5000 [1 ( 4,85 7,96) 3 + 1 ( 7,96 + 0,97) 3 + 1 ( 8,073) 3 3] + 3 +1 10 6 0, 3 4 + 1 10 6 19 1 4 w b = 0,016753 + 0,01675 w b = 0 [m] Svislé posunutí v podpoře (b) w b je rovné nule, výpočet je tedy správně.

Analýza stavebních konstrukcí příklady 45.1.5 Kombinace silového zatížení a poklesu podpory Silovou metodou vyřešte průběhy vnitřních sil na konstrukci. Při výpočtu koeficientů δ ik a δ i0 f uvažujte pouze vliv ohybových momentů. EI = konst. = 10 000 knm. Stupeň statické neurčitosti: S = 3 ( 1 + + 3) = 1 Konstrukce je 1x staticky neurčitá. Obr. 3.7: Schéma konstrukce se zatížením Při zatížení konstrukce přemístěním podpor může volba základní soustavy ovlivnit tvar přetvárných podmínek. Ukážeme si proto dvě různá řešení. a) ZS vytvoříme odstraněním podpory (a) Obr. 3.8: Základní soustava V místě a směru odstraněné vazby nebylo předepsané posunutí. Přetvárnou podmínku zapíšeme tedy ve tvaru: δ 1 = 0: δ 11 X 1 + δ 10 = 0, kde δ 10 = δ f 10 + δ r 10.

46 Řešení staticky neurčitých konstrukcí - silová metoda Koeficient δ f r 10 vypočteme podle rovnice (3.). Při výpočtu δ 10 vyjdeme z rovnice (.7) a dostaneme výraz δ i0 r = R j j r j. (3.4) V našem případě pak vychází δ r 10 = B 1 w b C x,1 u c, kde B 1 a C x,1 jsou reakce od X 1 = 1, jak je patrné z obrázku (3.9). Obr. 3.9: Průběhy M 1 a M 0 Reakce B 1 a C x,1 je třeba zavést shodně se zadanými posuny podpor. Výpočet koeficientů δ 11, δ 10 : δ 11 = M 1M 1 EI dx = 1 10000 [1 3 3 3 + 1 3 3 4] = 0,001 [ m kn ] δ f 10 = M 1M 0 dx = 1 EI 10000 [1 3 40 3 + 1 3 3 40 4 + 1 3 3 (1 8 4 ) 4] = = 0,0356 [m] δ r 10 = B 1 w b C x,1 u c = 0,75 0,04 0 0,018 = 0,018 [m] δ 10 = δ f 10 + δ r 10 = 0,0176 [m]. Dosazení do přetvárné podmínky: δ 1 = 0: 0,001 X 1 + 0,0176 = 0 X 1 = 8,381 kn

Analýza stavebních konstrukcí příklady 47 Výsledné reakce a průběhy vnitřních sil: Obr. 3.30: Reakce a zatížení Obr. 3.31: Výsledné vnitřní síly Kontrola rovnováhy ve styčníku (d): Obr. 3.3: Vnitřní síly ve styčníku (d) v [kn], [knm]

48 Řešení staticky neurčitých konstrukcí - silová metoda 1 1 = 0 8,667 8,381 0,86 = 0 14,857 14,857 = 0 b) ZS vytvoříme odstraněním podpory (b) Obr. 3.33: Základní soustava V místě a směru odstraněné vazby byl předepsán posun w b = 0,04 m. Přetvárnou podmínku píšeme tedy ve tvaru: δ 1 = 0,04: δ 11 X 1 + δ 10 = 0,04, kde δ 10 = δ f r 10 + δ 10 f = M 1M 0 ds δ 10 EI δ r 10 = C x,1 u c (obr. 3.34). Obr. 3.34: Průběhy M 1 a M 0

Analýza stavebních konstrukcí příklady 49 Výpočet koeficientů δ 11, δ 10 : δ 11 = M 1M 1 EI dx = 1 10000 [1 3 4 3 + 1 3 4 4] = 0,00373 [ m kn ] δ f 10 = M 1M 0 dx = 1 EI 10000 [1 6 (40 16) 4 3 + 1 4 ( 16) 4] = 0,0048 [m] 4 δ r 10 = C x,1 u c = 0 0,018 = 0 [m] δ 10 = δ f 10 + δ r 10 = 0,0048[m] Dosazení do přetvárné podmínky: δ 1 = 0,04: 0,00373 X 1 0,0048 = 0,04 X 1 = 7,714 kn Veličina X 1 odpovídá svislé reakci v podpoře (b), vyšel nám tedy stejný výsledek jako v řešení a). Stejně vyjdou i vnitřní síly..1.6 Příhradová konstrukce Silovou metodou vyřešte normálové síly na příhradové konstrukci zatížené kombinací silového zatížení a rovnoměrného ohřátí. Všechny pruty mají stejnou průřezovou plochu A = 3 10 4 m, Youngův modul pružnosti je E =,1 10 8 kpa. Obr. 3.35: Schéma konstrukce se zatížením Pozn.: Pruty (3) a (4) se volně kříží a nevytvářejí další styčník. Stupeň statické neurčitosti: S = 4 ( + 1 + 6) = 1 Konstrukce je 1x staticky neurčitá, přičemž se jedná o vnitřní statickou neurčitost. Základní soustavu vytvoříme přerušením prutu (4).

50 Řešení staticky neurčitých konstrukcí - silová metoda Obr. 3.36: Základní soustava Přetvárná podmínka: δ 1 = 0: δ 11 X 1 + δ 10 = 0. Při uvážení výrazu (.8) dostáváme pro výpočet koeficientů δ 11, δ f t 10 a δ 10 vztahy: δ 11 = pruty N 1 N 1 EA δ 10 = δ f t 10 + δ 10 δ f 10 = pruty N 1 N 0 EA l l t δ 10 = pruty N 1 α t s l. Nejprve vyřešíme normálové síly v jednotlivých prutech od X 1 = 1 a od daného zatížení konstrukce. Obr. 3.37: Hodnoty normálových sil N 1 a N 0

Analýza stavebních konstrukcí příklady 51 Pro větší přehlednost uspořádáme výpočet do tabulky: Tab. 3.1: Výpočet normálových sil na příhradové konstrukci silovou metodou. prut l [m] N 1 [ ] N 0 [kn] N 1 N 1 l[m] N 1 N 0 l [knm] N 1 α t s l[m] Výsledné vnitřní síly N = N 1 X 1 + N 0 [kn] 1 3-0,6 0 1,08 0 0,864 10 3-4,14 4-0,8 0,56 0 0-5,5 3 5 1 10 5 50 0 16,9 4 5 1 0 5 0 0 6,9 5 4-0,8-8,56 5,6 1,536 10 3-13,5 6 3-0,6-6 1,08 10,8 0,864 10 3-10,14 EA δ 11 = 17,8 EA δ f 10 = 86,4 t δ 10 = 3,64 10 3 Dosazení do přetvárné podmínky: δ 1 = 0: 17,8,1 10 8 3 10 4 X 86,4 1 +,1 10 8 3 10 4 3,64 10 3 = 0 Výsledné normálové síly určíme superpozicí: N = N 1 X 1 + N 0. Jejich hodnoty jsou v tab. 3.1 a v Obr. 3.38. 0,74 X 1 1,893 = 0 X 1 = 6,9 kn Obr. 3.38: Výsledné normálové síly

5 Plošné konstrukce 3 Plošné konstrukce 3.1 Desky metoda sítí 3.1.1 Základní pojmy a vztahy Desky jsou rovinné konstrukce zatížené kolmo na svoji střednicovou plochu. Poměr tloušťky h ku délce l (resp. šířce) by se měl pohybovat v rozmezí: 1 100 h l 1 10 (5.1) Při tomto rozmezí lze desku považovat za tenkou a je možné jí řešit pomocí tzv. Kirchhoffovy teorie (tzn. zanedbání vlivu posouvajících sil). Primární neznámou je v teorii desek průhyb w(x,y), který získáme řešením deskové rovnice: kde: w(x,y) je Laplaceův operátor Δ = x + y je funkce průhybu [m] p je intenzita zatížení [N/m ] D kde: E ΔΔw(x, y) = p D, (5.) je desková tuhost [Nm], která se určí pomocí rovnice: D = je modul pružnosti [Pa] je Poissonovo číslo [-] h je tloušťka desky [m] Eh 3 1(1 ν ), (5.3) Obr. 4.1: Zavedení souřadného systému

Analýza stavebních konstrukcí příklady 53 3.1. Metoda sítí Principem metody sítí je diskrétní rozdělení konstrukce na uzly a převod diferenciální rovnice (4.) s neznámou w(x,y) na systém lineárních algebraických rovnic pouze pro uzlové hodnoty tzv. redukovaného průhybu: W i,j = D a w i,j, (5.4) kde W i,j D a w i,j je redukovaný průhyb [N] je desková tuhost (4.3) [Nm] je diferenční krok [m] je skutečný průhyb [m]. Diferenční náhrada za rovnici (4.) má tvar lineární rovnice (obr. 4.): 0W i,j 8(W i,j 1 + W i+1,j +W i,j+1 + W i 1,j ) + (W i+1,j 1 + W i+1,j+1 + W i 1,j+1 + W i 1,j 1 ) + W i,j + W i+,j + W i,j+ + W i,j = P i,j, (5.5) kde W i,j P i,j je hodnota redukovaného průhybu v jednotlivých uzlech sítě [N] je hodnota uzlového zatížení [N]: P i,j = p i,j a + F i,j, (5.6) kde p i,j je hodnota plošného zatížení na konstrukci [N/m ] a je diferenční krok [m] F i,j je osamělé břemeno v uzlovém bodě [N].

54 Plošné konstrukce Obr. 4.: Schéma zavedení diferenčních náhrad Pro výpočet je nutné rovnici (4.5) doplnit o okrajové podmínky. Tyto podmínky závisí na způsobu podepření desky. Pro běžné výpočty postačí uvést tři základní vetknutí, kloubové podepření a volný okraj (obr. 4.3) Obr. 4.3: Schéma zavedení okrajových podmínek Pro redukované průhyby ve vetknutí platí tyto okrajové podmínky: W A = 0, W a = W 1 (5.7) pro kloubové podepření platí: W A = 0, W a = W 1 (5.8)

Analýza stavebních konstrukcí příklady 55 a pro volný okraj platí: m x = 0 W B W + W 5 + ν(w 1 W + W 3 ) = 0 (5.9) q x = 0 W D W B + W 5 W 7 + ( ν)(w A W B + W C W 4 + W 5 W 6 ) = 0 (5.10) Měrné momenty [Nm/m] na desce se pak vypočítají podle rovnic: m x,ij = [W i+1,j W i,j + W i 1,j + ν(w i,j+1 W i,j + W i,j 1 )] (5.11) m y,ij = [W i,j+1 W i,j + W i,j 1 + ν(w i+1,j W i,j + W i 1,j )] m xy,ij = 1 ν 4 [ W i+1,j 1 + W i+1,j+1 W i 1,j+1 + W i 1,j 1 ] (5.1) (5.13)

56 Plošné konstrukce 3. Řešené příklady 3..1 Příklad 1 Metodou sítí vyřešte průběh funkce průhybů a všech měrných momentů na zadané betonové stropní desce (obr. 4.4). Deska je zatížena rovnoměrným zatížením p = 5 kn/m a dále pak silami F = 10 kn v bodech 4, 5 a 6. Tloušťka desky h = 0,1 m, modul pružnosti E = 30 GPa a Poissonův součinitel = 0,. Obr. 4.4: Příklad 1 - zadání Řešení: Nejprve je třeba si desku vhodně rozdělit a zvážit, zda je možné pro výpočet využít symetrie. V tomto příkladě desku rozdělíme dle (obr. 4.5). Z podepření desky a rozmístění osamělých břemen vyplývá, že deska je symetrická jak podle osy x (úsečka 4-6), tak podle osy y (úsečka -8). Pro kompletní výpočet bude tedy zapotřebí vyřešit pouze 4 neznámé redukované průhyby v libovolném kvadrantu desky místo všech devíti. V tomto příkladě byly vybrány redukované průhyby W 1, W, W 4, W 5 (obr 4.5).

Analýza stavebních konstrukcí příklady 57 Obr. 4.5: Schéma rozložení redukovaných průhybů a symetrie Dle okrajových podmínek jsou všechny redukované průhyby W A, W B, W C a W D v místě uložení rovny nule (jedná se o vetknutí a kloubové uložení): W A = W B = W C = W D = 0 Redukované průhyby mimo desku v místě kloubového uložení W b a W a jsou rovny záporným hodnotám W 1 a W : W a = W ; W b = W 1 V místě vetknutí jsou redukované průhyby vně desky W c a W d rovny hodnotám W 1 a W 4 : W c = W 1 ; W d = W 4 Nyní pro čtyři neznámé W 1, W, W 4 a W 5 sestavíme soustavu čtyř lineárních rovnic (diferenčních náhrad) pro každou neznámou jednu rovnici (4.5): 0W 1 8(0 + W +W 4 + 0) + (0 + W 5 + 0 + 0) W 1 + W 1 + W 1 + W 1 = P 1 0W 8(0 + W 1 +W 5 + W 1 ) + (0 + W 4 + W 4 + 0) W + 0 + W + 0 = P 0W 4 8(W 1 + W 5 +W 1 + 0) + (W + W + 0 + 0) + 0 + W 4 + 0 + W 4 = P 4 0W 5 8(W + W 4 +W + W 4 ) + (W 1 + W 1 + W 1 + W 1 ) + 0 + 0 + 0 + 0 = P 5 Dále je třeba zjistit hodnoty uzlových břemen P v jednotlivých uzlech dle rovnice (4.6) P 1 = pa + F 1 = 5 1 + 0 = 5 kn P = pa + F = 5 1 + 0 = 5 kn P 4 = pa + F 4 = 5 1 + 10 = 15 kn P 5 = pa + F 5 = 5 1 + 10 = 15 kn

58 Plošné konstrukce V tuto chvíli je již možné vypočítat jednotlivé redukované průhyby W 1, W, W 4 a W 5. Soustava rovnic má tvar: tedy: W 1 8W 8W 4 + W 5 = P 1 16W 1 + 0W + 4W 4 8W 5 = P 16W 1 + 4W + W 4 8W 5 = P 4 8W 1 16W 16W 4 + 0W 5 = P 5 8 8 W 1 P 1 16 0 4 8 W [ ] ( P ) = ( ) 16 4 8 W 4 P 4 8 16 16 0 W 5 P 5 Ze soustavy rovnic vypočteme hodnoty W 1, W, W 4 a W 5 (možností je mnoho, např. Gaussova eliminace, inzerze matice 4x4 a následné přenásobení pravé strany atd.). W 1 =,60; W = 3,98; W 4 = 4,09 W 5 = 6,17 Skutečné průhyby lze vypočítat pomocí vzorce (4.4), k tomu je třeba znát deskovou tuhost ze vzorce (4.3) D = Skutečné průhyby pak jsou: Eh 3 1(1 ν ) = 30 106 0,1 3 1(1 0, = 4500,00 knm ) w 1 = W 1a D w = W a D w 4 = W 4a D w 5 = W 5a D =,91 1 4500,0 = 5,78 10 4 m = 4,37 1 4500,0 = 8,85 10 4 m = 4,71 1 4500,0 = 9,10 10 4 m = 6,85 1 4500,0 = 13,71 10 4 m Nyní už zbývá dopočítat pouze měrné momenty (4.11), (4.1), (4.13), pro jejichž výpočet již jsou všechny hodnoty známé. Nesmíme zapomenout, že měrné momenty se mohou vyskytovat v místě uložení desky. Měrné momenty m x a m y budou zpravidla nabývat nenulových hodnot ve vetknutí (m xy bude 0) a moment m xy bude zpravidla nabývat nenulových hodnot v kloubovém uložení (m x a m y budou 0). m x,d = [4,09 0 + 4,09 + 0,(0 0 + 0)] = 8,19 knm/m m x,4 = [0 4,09 + 6,17 + 0,(,60 4,09 +,60)] =,6 knm/m m x,5 = [4,09 6,17 + 4,09 + 0,(3,98 6,17 + 3,98)] = 5,03 knm/m m y,d = [0 0 + 0 + 0,(4,09 0 + 4,09)] = 1,64 knm/m m y,4 = [,60 4,09 +,60 + 0,(0 4,09 + 6,17)] = 3,39 knm/m m y,5 = [3,98 6,17 + 3,98 + 0,(4,09 6,17 + 4,09)] = 5,1 knm/m

Analýza stavebních konstrukcí příklady 59 m xy,b = 1 0, [ ( 3,98) + 3,98 0 + 0] = 1,59 knm/m 4 m xy,1 = 1 0, [ 0 + 6,17 0 + 0] = 1,3 knm/m 4 m xy,4 = 1 0, [ 3,98 + 3,98 0 + 0] = 0 knm/m 4 Ostatní měrné momenty je možné snadno dopočítat obdobným způsobem čímž lze také ověřit předchozí tvrzení o měrných momentech v místě uložení. Vykreslené a dopočtené měrné momenty a skutečné průhyby jsou uvedeny na (obr. 4.6). Obr. 4.6: Měrné momenty m x, m y, m xy a skutečný průhyb w(x,y)

60 Plošné konstrukce 3.. Příklad Metodou sítí vyřešte průběh funkce průhybů a všech měrných momentů na zadané betonové stropní desce s jedním volným okrajem (obr. 4.7). Deska je zatížena rovnoměrným zatížením p = 6 kn/m. Tloušťka desky h = 0,1 m, modul pružnosti E = 5 GPa a Poissonův součinitel = 0,5. Diferenční krok a = 1,0 m. Řešení: Obr. 4.7: Příklad - zadání Na tomto příkladu můžeme opět využít symetrie (obr. 4.8). Budeme tedy řešit úlohu pro neznámé W D, W 1 a W 3. Obr. 4.8: Schéma redukovaných průhybů a symetrie

Analýza stavebních konstrukcí příklady 61 Z okrajových podmínek pro vetknutí a kloubové uložení je zřejmé, že: W G = W H = W I = W J = 0 Redukovaný průhyb mimo desku v místě kloubového uložení W j je rovnen záporné hodnotě W 3 : W j = W 3 V místě vetknutí jsou redukované průhyby vně desky W g, W h a W i rovny hodnotám W D, W 1 a W 3 : W g = W D ; W h = W 1 ; W i = W 3 Na volném okraji pak platí podmínky (4.9) a (4.10): m xd = 0 W d W D + W 1 + ν(0 W D + W D ) = 0 q xd = 0 W a W d + W 1 W 3 + ( ν)(w c W d + W d 0 + W 1 W 1 ) = 0 Z těchto okrajových podmínek pak vyplývá: m xg = 0 W c 0 + 0 + ν(w D 0 + W D ) = 0 W c = νw D = 0,5W D W d = ( + ν)w D W 1 =,5W D W 1 W a = 4,5W D W 1 W 1 + W 3 ( ν)(0,5w D +,5W D W 1 W 1 0 4,5W D + W 1 + W 1 ) = 4,5W D 4W 1 + W 3 ( ν)( 1,75W D + W 1 ) = 7,565W D 7,5W 1 + W 3 Nyní můžeme přistoupit k sestavení lineárních rovnic dle (4.5): 0W 1 8(W D + W 1 +W 3 + 0) + (W D + W 3 + 0 + 0) +,5W D W 1 + 0 + 0 + W 1 = P 1 0W 3 8(W 1 + W 3 + 0 + 0) + (W 1 + 0 + 0 + 0) + W D + 0 W 3 + W 3 = P 3 0W 3 8(,5W D W 1 + W D + W 1 + 0) + (,5W D W 1 + W 1 + 0 + 0,5W D ) + 7,565W D 7,5W 1 + W 3 + 0 + W 3 + W D = P D Uzlová břemena P v jednotlivých uzlech dle rovnice (4.6). Nesmíme zapomenout, že v uzlu D působí zatížení pouze na poloviční ploše. P 1 = pa = 6 1 = 6 kn P = pa = 6 1 = 6 kn P D = p a = 6 1 = 6 kn (u volného konce se síla násobí ) Z čehož vyplyne soustava rovnic: 1 6 3,75 W 1 [ 6 1 1 ] ( W 3 ) = ( 7,5 8,065 W D Nyní již snadno dopočteme redukované průhyby W 1, W 3 a W D P 1 P P D )

6 Plošné konstrukce Desková tuhost (4.3): D = Skutečné průhyby pak jsou (4.4): w 1 = W 1a D W 1 = 1,55; W 3 = 1,15; W D = 1,53; Eh 3 1(1 ν ) = 5 106 0,1 3 1(1 0,5 =, knm ) = 1,55 1, = 6,99 10 4 m ; w 3 = 5,17 10 4 m ; w D = 6,89 10 4 m Výpočet měrných momentu se provede naprosto totožně, jako tomu bylo v příkladu č. 1 (4.11), (4.1), (4.13). m xg = [1,53 0 + 1,53 + 0,(0,77 0 + 0)] = 3,6 knm/m m yg = [0,77 0 + 0 + 0,(1,53 0 + 1,53)] = 1,53 knm/m m xy,j = 1 0,5 [ 1,15 + ( 1,15) 0 + 0] = 0,43 knm/m 4 Kompletní výsledky měrných momentů jsou vykresleny na následujícím obrázku (obr. 4.9). Obr. 4.9: Měrné momenty m x, m y, m xy a skutečný průhyb w(x,y)

Analýza stavebních konstrukcí příklady 63 3..3 Příklad 3 Metodou sítí vyřešte průběh funkcí průhybu a všech měrných momentů na zadané betonové stropní desce s uložení viz (obr. 4.10). Deska je zatížena rovnoměrným zatížením p = 4 kn/m a osamělými břemeny F = 16 kn v bodech 1 až 4. Tloušťka desky h = 0, m, modul pružnosti E = 8 GPa a Poissonův součinitel = 0,. Diferenční krok a =,0 m. Obr. 4.10: Příklad 3 - zadání Výsledky: Redukované průhyby W 1 = W = 6,85; W 3 = W 4 = 6,09 Desková tuhost D = 19444,44 knm Skutečné průhyby w 1 = w = 1,41 10 3 m ; w 3 = w 4 = 1,5 10 3 m Vybrané měrné momenty m x1 = 8,38 knm/m ; m x3 = 7,16 knm/m m y1 = 8,99 knm/m ; m y3 = 6,55 knm/m m xy1 = 1, knm/m ; m xy3 = 1,37 knm/m

64 Plošné konstrukce 3..4 Příklad 4 Metodou sítí vyřešte průběh funkcí průhybu a všech měrných momentů na zadané betonové stropní desce s uložením viz (obr. 4.11). Deska je zatížena rovnoměrným zatížením p = 3 kn/m a silami F = 1 kn v bodech a 3. Tloušťka desky h = 0,15 m, modul pružnosti E = 30 GPa a Poissonův součinitel = 0,. Diferenční krok a =,0 m. Návod: Obr. 4.11: Příklad 4 - zadání Využijte diagonální symetrii a řešte soustavu rovnic pro 3 neznámé redukované průhyby. Výsledky: Redukované průhyby Desková tuhost Skutečné průhyby W 1 = 3,3; W = W 3 = 3,0; W 4 =,58 D = 8789,06 knm w 1 = 1,47 10 3 m ; w = w 3 = 1,46 10 3 m ; w 4 = 1,18 10 3 m Vybrané měrné momenty m x,1 = 3,90 knm/m ; m x, = 3,94 knm/m ; m x,c = 6,41 knm/m m y,1 = 3,90 knm m ; m y, = 4,46 knm m ; m y,3 = 1,8 knm/m m xy,e =,58 knm m ; m xy,a = 1,8 knm m ; m xy,b = 1,9 knm/m

Analýza stavebních konstrukcí příklady 65 3.3 Stěny metoda sítí 3.3.1 Základní pojmy a vztahy Za stěnu lze považovat rovinnou tenkostěnou konstrukci, která je zatížená ve střednicové rovině. Aby bylo možné konstrukci považovat za stěnu musí splňovat tyto rozměrové podmínky (obr. 4.1): b ( 1 5 až 1 4 ) l (5.14) h 1 10 min (b, l) (5.15) Obr. 4.1: Zavedení souřadného systému a označení Pouze v těchto případech lze považovat napjatost ve stěně za rovinou pole napětí { } = { x, y, z, yz, zx, xy } bude obsahovat poze tyto nenulové složky napětí { } = { x, y, xy }. Složky napětí jsou v teorii desek vyjádřeny tzv. Airyho funkcí napětí F, pro kterou, ve speciálním případě zatížení stěny pouze na okrajích, platí: kde: ΔΔF = 0, (5.16) F je Laplaceův operátor Δ = x + y je Airyho funkce napětí [N]

66 Plošné konstrukce 3.3. Metoda sítí Metoda sítí převádí diferenciální rovnici (4.16) na soustavu lineárnich algebraických rovnic s neznámou F (Airyho funkcí nikoliv síly!), tak, jako tomu bylo u výpočtu desek metodou sítí. Schéma rovnice je patrné z (obr. 4.13): 0F i,j 8(F i,j+1 + F i+1,j + F i,j 1 + F i 1,j ) + (F i+1,j+1 + F i+1,j 1 + F i 1,j 1 + F i 1,j+1 ) + F i,j+ + F i+,j + F i,j + F i,j = 0, (5.17) kde F je hodnota Airyho funkce [N] Je zcela zřejmé, že rovnice (4.17) má naprosto totožnou strukturu jako rovnice (4.5) v předchozí kapitole o deskách s jediným rozdílem, pravá strana se rovná nule. Obr. 4.13: Schéma zavedení diferenčních náhrad Ještě před tím, než přistoupíme k výpočtu Airyho funkce je nutné převézt liniové zatížení stěny f i,j na plošné i,j a bodové zatížení P i,j na liniové p i,j, což se provede dle následujicích rovnic: σ i,j = f i,j h, p i,j = P i,j h, (5.18) kde i,j je napětí na hraně stěny [N/m ] f i,j p i,j P i,j h je původní liniové zatížení na hraně stěny [N/m] je liniové zatížení na hraně stěny [N/m] je původní bodové zatížení na hraně stěny [N] je tloušťka desky [m]