Varianta A Př.. Zloek 3 3 je roven číslu: a), b) 3, c), d), e) žádná z předchozích odpovědí není Řešení: Odocninu lze vždy vyjádřit jako ocninu se zlokový exponente. A pro práci s ocninai již áe jednoduchá pravidla. Výpočet: 3 3 ( 3 ) ( ) 3 3 + 3 0 Při výpočtu jse užili následujících pravidel (platí saozřejě oběa sěry, nejen zleva doprava!): n x x n (x n ) x n x n x n Př.. Výraz log 4 log 3 + log 4 5 je roven číslu: a) 0, b), c), d), e) žádná z předchozích odpovědí není Řešení: Odocniny vyjádříe ve tvaru ocnin. Pak užijee vztahy pro logaritus ocniny. Výpočet: log log 4 3 + log 4 5 log log 3 4 + log 5 4 3 4 + 5 4 Při výpočtu jse užili jen definice logaritu: log a x y x a y, ze které plyne log a a y y. Př.3. Všechna reálná řešení rovnice ( )x 4 náleží intervalu: a) ( 4, 3), b) 3, ), c), ), d), 4), e) žádná z předchozích odpovědí není Řešení: Převedee obě strany na společný základ: ( ) x 4 ( ) Jelikož je exponenciální funkce prostá, usí platit rovnost arguentů: x x 5
Př.4. Číslo log 4 3 je rovno číslu: a) 3, b) 5, c) 5, d) 3, e) žádná z předchozích odpovědí není Řešení: Z definice logaritu víe, že log 4 3 x je ekvivalentní s 4 x 3. Dostáváe tedy exponenciální rovnici, kterou vyřešíe převedení na společný základ : 4 x 5 ( ) x 5 x 5 x 5 x 5 Př.5. V aritetické posloupnosti je dán n-tý člen a n n+5. Člen a n+ je: a) a n+ n+8, b) a n+ n+9, c) a n+ n+0, d) a n+ n+, e) žádná z předchozích odpovědí není Řešení: Zadání je určen obecný předpis (jak spočíst libovolný člen). Stačí tedy dosadit n+ za n do tohoto předpisu: (n + ) + 5 n + a n+ Př.. Číslo [sin 5π 3π cos 3 ] se rovná číslu: a) 3, b) 3, c), d) 3+, e) žádná z předchozích odpovědí není Řešení: Funkce sinus i cosinus jsou periodické s periodou π, a tedy se jejich hodnota při odečtení libovolného násobku π v arguentu nezění: sin 5π ( ) ( ) 3π 5π 3π cos 3 sin 4π cos 3 4π sin π cos π 3 0 Př.. Maxiální definiční obore funkce f(x) log 4 x je nožina: a), 4), b), 4, c) (0, 4, d) (0, 4), e) žádná z předchozích odpovědí není Řešení: Při určování definičního oboru zaěříe pozornost na kritické operace. Ve funkční výrazu se objevují dvě: odocňování (arguent usí být nezáporný, aby byla druhá odocnina definovaná) a logaritus (arguent usí být kladný). Dostáváe tedy právě dvě podínky, které jsou nutné a postačující pro to, aby byla hodnota funkce f(x) log 4 x definována: Kvůli odocnině: log 4 x 0, tedy x 4 Kvůli logaritu: x > 0 Definiční obor je tedy průnike nožin daných výše uvedenýi podínkai: D(f) (, 4 (0, ) (0, 4 Př.8. Všechna reálná řešení rovnice x+ + x 3 0 náleží intervalu: a) 4, ), b), 0), c) 0, ), d), 4), e) žádná z předchozích odpovědí není Řešení: V rovnici se narozdíl od příkladu 3. vyskytují dva různé členy obsahující neznáou x. Tyto tedy zkusíe nejdříve sjednotit, a poté již převedee ocninné výrazy na společné základy jako ve jenované příkladě: x+ + x 3 x + x 3 3 x 3 3 ( x ) 0, odtud
x 0 x 0 Poznáka: Pokud se nedaří aplikovat uvedený postup, ůže jít o příklad analogický typovéu příkladu 3 ve variantě B, viz níže. Př.9. Počet všech kořenů rovnice sin(x + π ) π v intervalu (0, π je roven číslu: a), b), c) 3, d) 4, e) žádná z předchozích odpovědí není Řešení: Tento příklad je nástraha neboli chyták. Obor hodnot funkce sinus je,. Proto neůže sinus žádného arguentu nabýt hodnoty π.,. Neexistuje tedy žádné x vyhovující dané rovnici. Př.0. Absolutní hodnota (resp. velikost) koplexního čísla z ( + i)(3 i) je reálné číslo, které je prvke intervalu: a) 0, 4), b) 4, 8), c) 8, ), d), ), e) žádná z předchozích odpovědí není Řešení: Velikost koplexního čísla je určena jako (a + bi) a + b. Upravíe tedy zadaný součin do základního tvaru a pak jen spočtee odocninu ze součtu čtverců. ( + i)(3 i) 3 i + i 4i 4i + 4 49 + 5. 8. Nezapoeňe, že i! Př.. Počet všech reálných řešení gonioetrické rovnice cos x cos x v intervalu 0, π je roven číslu: a), b), c) 3, d) 4, e) žádná z předchozích odpovědí není Řešení: Zavedee-li substituci cos x y, budee nejprve řešit kvadratickou rovnici pro neznáou y a poté dopočítáe odpovídající x: y y y y 0 y(y ) 0, odtud buď y a pak: cos x x {0, π}, { π nebo y 0 a pak: cos x 0 x, 3 } π Celke jse tedy nalezli čtyři řešení v intervalu 0, π. Poznáka: Kdyby byl v zadání interval (0, π), byla by v toto intervalu jen dvě řešení! Poznáka: princip substituce tu spočívá v to, že se nejprve dopátráe, čeu se usí rovnat (cos x) jako celek, aby rovnice platila, přičež nehledíe na vnitřní strukturu substituovaného výrazu. Teprve ve druhé kroku se zajíáe o saotnou proěnnou x, v té chvíli již o ně ovše áe k dispozici inforace v jasnější forě, totiž znáe hodnotu výrazu cos x. Z ní není těžké hodnotu x zjistit. x Př.. Všechna reálná řešení rovnice log 4 náleží intervalu: a) (3, 5), b) (, 3), c) (, ), d) ( 3, ), e) žádná z předchozích odpovědí není
Řešení: Zavedee-li substituci log x y, budee nejprve řešit jednoduchou exponenciální rovnici pro neznáou y a poté dopočítáe odpovídající x: y 4 y, dosadíe do substituce log x ( ) x 4 Př.3. Uvažuje reálnou funkci f jedné reálné proěnné definovanou předpise Množina všech reálných čísel a, pro která platí f(x) x 3x. f(a) f(a ) < 0, je rovna nožině: a) (, 5), b) (5, ), c) ( 5, ), d) (, 5), e) žádná z předchozích odpovědí není Řešení: Nenecháe se zást šroubovaností zadání a statečně dosadíe za x v jedno případě a a v druhé a. Hrubou silou vypočítáe: f(a) f(a ) [a 3a] [(a ) 3(a )] a 3a [a 4a + 4 3a + ] 4a 0. Dále zbývá jen dořešit snadnou nerovnici: 4a 0 < 0 4a < 0 a < 5 Př.4. Gonioetrický (resp. polární) tvar koplexního čísla z 4 3i +i lze napsat takto: a) z (cos π 4 + i sin π 4 ), b) z (cos 3π 4 + i sin 3π 4 ), c) z (cos 5π 4 + i sin 5π 4 ), d) z (cos π 4 + i sin π 4 ), e) žádná z předchozích odpovědí není Řešení: Naší úkole je tedy upravit zadané číslo do tvaru z z (cos ϕ + i sin ϕ). Nejprve tedy spočtee velikost z, tj. z, pak ji vytknee z čísla z a nakonec najdee vhodný arguent koplexního čísla, tj. ϕ. Abycho ovše ohli spočíst velikost předhozeného koplexního čísla (je ve tvaru zloku), usíe užít fintu s rozšíření zloku výraze koplexně sdružený ke jenovateli. Sledujte: z 4 3i + i 4 3i i + i i Spočtee: 8 4i i + 3i 5 5i 49 i i vytknee velikost 50 ( ) i i + ( ). i i i. 8
Dosadíe do inulé rovnice: z 4 3i + i i i i i Zbývá zjistit, pro jaké ϕ je cos ϕ, sin ϕ. Je ožné postupovat například takto: á být ( i ) odtud tan ϕ sin ϕ cos ϕ ϕ π 4., Dostáváe tedy: z 4 3i ( + i cos π ) ( π + i sin cos π 4 4 4 + i sin π ). 4 Př.5. Uvažuje exponenciální funkci f(x) ( )x, kde x je reálná proěnná a je reálný paraetr. Množina všech hodnot paraetru, pro které je uvedená exponenciální funkce rostoucí, je rovna nožině: a) (, 0), b) (0, ), c) (, 0) (, ), d) (, 0) (0, ), e) žádná z předchozích odpovědí není Řešení: Upaatujee se, že exponenciální funkce je rostoucí právě když její základ je větší než jedna (stejně je tou u funkce logaritické). Stačí tedy vyřešit eleentární nerovnici: > > > 0 < 0 násobili jse záporný čísle nerovnost - otočilo se znaénko < 0 9