Mtemtik- opkování (009).ZÁKLADNÍ POZNATKY Z LOGIKY A TEORIE MNOŽIN, DŮKAZY VĚT ) Určete, které zápisy jsou výroky určete jejich prvdivostní hodnotu: ) Student gymnázi. Písek je hlvní město ČR. c) 0 Dnes je úterý. f) Zčněte prcovt! e) ) Znegujte výroky: ) Nejvýše tři dny bude mráz. Chybí právě čtyři židle. c) Kždé prvočíslo je kldné. Žádný člověk není nesmrtelný. e) R, 0 f) R, 0 g) Výstvu nvštíví Jn Pvel. h) Aspoň čtyři žáci přišli pozdě. i) Jestliže nepůjde Jn, pk půjde Pvel. ) Jsou dány množiny A =,;;;;;6;7;8;9;;}, B = { ;;;7;;7}, C = {;;6;8;0}. A B C A BC c) B A C Určete: ) ) Zpište pomocí intervlů znázorněte n číselné ose. A R,, B R,, C R, 6. Určete A B, A C B, A B C, A BC. ) ) Jsou dány množiny A = ;; B = N, 7. Určete jejich průnik, sjednocení rozdíl B - A. Zpište pomocí intervlů znázorněte n číselné ose sjednocení průnik množin A B. A = -;, B = R, -. 6) Dokžte, že pro kždé přirozené číslo pltí: ) jestliže dělí n +, pk nedělí n dělí n(n + ). 7) Dokžte větu: n N; / n / n. 8) Dokžte mtemtickou indukcí pro všechn n N ; ) 6 n nn c) nn 9 n 7 n n n n n n n. ROVNICE A JEJICH SOUSTAVY ) Řešte v R: ) 9 9 7 c) 0 6 Výsledky: ),, c) 8 ) Řešte v R: ) c) 8 Výsledky: ) 0,, c), 0;
) Řešte v R: ) 8 0 Výsledky: ) ;, ; ; ;, c) ; 9 7 9 0 c) ) Řešte v R: ) 8 8 7 6 0 c) 9 0 Výsledky: ) 0;,, c) ; ) Řešte soustvu v R : ) y z 0 y z c) y z y z y z y 7z y z 8 y z 68y 9z Výsledky: ) 0;;, ; ;, c) 0; ; 0 6) Turist má vykont cestu km. Kdyby urzil z hodinu o 0, km méně, došel by do cíle o hodinu později. Určete rychlost turistovy chůze. Výsledky: km.h - 7) Zemědělec měl do určité lhůty osít 00 h polí. Denně všk osel o h více, než bylo plánováno, proto ukončil setí dny před plánem. Z kolik dní tedy zemědělec pole osel? Výsledky: 8 dní 8) Odvěsny prvoúhlého trojúhelníku jsou v poměru :. Určete obvod tohoto trojúhelníku, je-li obsh cm. Výsledky: obvod je 6 cm 9) N diskotéce bylo třikrát tolik dívek než chlpců. Když osm chlpců osm dívek odešlo, zbylo pětkrát víc dívek než chlpců. Kolik dívek kolik chlpců bylo n diskotéce n zčátku? Výsledky: 8 dívek, 6 chlpců 0) Cen tkniny byl snížen o tolik procent, kolik korun stál jeden metr před snížením cen. O kolik procent byl tto cen snížen, jestliže se metr pk prodávl z 6 korun? Výsledky: 80 Kč, 80% nebo 0Kč, 0% ) Ve škole bylo přespolních žáků o 8 více než domácích. Domácích žáků je právě tolik % celého počtu žáků, kolik bylo všech žáků. Určete počet žáků. Výsledky: ) celkem 0 žáků, přespolních, domácích 6 celkem 0 žáků, přespolních 9, domácí ) Pumpou A se nplní nádrž z minut, pumpou B z minut. Z jk dlouho se nplní nádrž, prcuje-li minuty jen pump A potom obě pumpy součsně? Výsledky: 9 minut
. NEROVNICE A JEJICH SOUSTAVY ) Řešte v R: ) 6 0 c) 6 7 Výsledky: ) ; 0 ;, ; ;, c) ; ; ) Řešte početně i grficky v R: ) 0 6 c) 0 Výsledky: ) ;,, c) R ) Řešte v R: ) 9 6 c) Výsledky: ) ;, 8 ; ;, c) ;, ; ) V krtézské soustvě souřdnic znázorněte řešení dné soustvy: y 6 y ) y 0 y 0 c) y 0 y 0 6 y y y ) Řešte soustvu nerovnic pro R : Výsledky: ) ;, ) 9 9 0 0. ROVNICE S PARAMETREM ) Řešte v R rovnici s prmetrem ) p R : p p p p Výsledky: p 6 p c) p p p 6 0 ) 0 p K R p p R ; K p nelze p p p R ; K p p nelze K c) p K 6 p R K p p 0K R p K p K p ; 0 0; K p K p p p p ; ; 9 ; 9
) Určete, pro které m R má rovnice (s reálnou neznámou ): ) dv reálné kořeny; m m m 0 m m m 0 jeden kořen; Výsledky: ) m 8 0; ; 7, m 0; ) Řešte v R rovnici s prmetrem p R : p p p p K p K p K Výsledky: 0 ; 0, ; 0, ; ) Je dán soustv s reálným prmetrem k: k y ky Určete, pro která celá čísl k je řešením této soustvy ; y tková, že 0 y 0. Výsledky: k ; ; 0;;. ZÁKLADY PLANIMETRIE ) Je dán kružnice o poloměru r. Sestrojte trojúhelník ABC tk, by byl vepsán této kružnici. Jeho vrcholy dělí obvod kružnice v poměru ::7. Vypočtěte vnitřní úhly trojúhelníku ABC. Výsledky:,0, 0 ) Vypočtěte velikost vnitřních úhlů čtyřúhelníku ABCD, který dostnete tk, že spojíte n ciferníku hodinek body vyznčující čísl,, 7,. Výsledky:, 90,, 90 ) Nd strnmi čtverce vepsného do kružnice o poloměru r jsou opsány půlkružnice, které procházejí středem čtverce. Vypočtěte obsh obrzce ve tvru čtyřlístku. Výsledky: S r ) Vypočtěte obsh obvod útvru, je-li dáno: ) útvr vznikne sestrojením kružnic nd strnmi rovnostrnného trojúhelníku o strně délky útvr vznikne sestrojením shodných kružnic se středy ve vrcholech čtverce poloměrem, kde je hrn čtverce. Výsledky: ) 8 S, o S, o ) Je dán úsečk AB, AB cm. Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, pro které pltí AB cm, BC cm,. 6) Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno:
) v = cm, = 6 cm, v = cm, b = 6 cm, 0 c) = 6 cm, t =, cm, = cm,, t b = cm e) t = 9 cm, t b = 6 cm, f) AS, d(as) = 6 cm, AS je těžnice, dále je dáno 0, d(ab) = cm. 7) Sestrojte rovnoběžník ABCD, je-li dáno: ) 6 cm, b 8 cm, AC 0cm 6 cm, b 8 cm, v cm 6. FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI ) Určete definiční obor funkce: f : y 6 f : y f : y Výsledky: D f R, D f, D f 0;; ; ) Určete vlstnosti funkce ) y 6 pro ; y pro ;7 c) y pro ; ; ; ) Rozhodněte, zd je funkce sudá nebo lichá: ) y y c) y y Výsledky: ) lichá, ni lichá ni sudá, c) ni lichá ni sudá, sudá ) Dokžte, že funkce f : y pro ; je sudá. ) Dokžte, že funkce: ) f : y je klesjící f : y 9 je rostoucí 6) Je dán funkce f : y, ;. ) Dokžte, že k funkci eistuje funkce inverzní. Určete definiční obor inverzní funkce. c) Sestrojte grf inverzní funkce v soustvě Oy. Určete zápis inverzní funkce v soustvě Oy v soustvě Oy. 7) Je dán funkce f y, Z :. Určete, zd je funkce periodická, jká je nejmenší period ( pokud eistuje ) nčrtněte její grf. Výsledky: je, nejmenší period je 8) Rozhodněte, která z dných množin je funkce: A, y R R; y 8 ) B, yz Z; y c) C, yw R; y, W ;;; Výsledky: ) není, není, c) je
7. ABSOLUTNÍ HODNOTA REÁLNÉHO ČÍSLA ) Sestrojte grf funkce: ) y y c) y Řešte v R rovnici: ) 0 8 c) 6 e) 7 8 f) 0 Výsledky: ) K 7;, K ;, c) K ;, 9 K ; ) Řešte v R nerovnici: ) 8 c), e) K 0;6 f) K ; Výsledky: ) ; K, K ; ; ; 7 ) Sestrojte grf funkce: ) y y 9 e) ; ;, c) K y 6 c) y y ) Řešte v R rovnici: ) 9 9 c) Výsledky: ) K ; ;, ; ; K, c) K 0; 6) Řešte v R nerovnici: ) 6 9 c) 7 Výsledky: ) K ;, K ;, c) K ; 7) V krtézské soustvě souřdnic znázorněte, pro které y R R ; je splněno: ) z y c) y 8. RACIONÁLNÍ FUNKCE ) Njděte rovnici lineární funkce f, jejíž grf obshuje body A ;, ; 0 Výsledky: 8 y 7 7 B. ) Grf lineární funkce prochází body A6;, B ;, určete předpis funkce, obor hodnot této funkce, je-li její definiční obor. Určete funkční hodnoty pro ;0;. Určete,zd je funkce rostoucí nebo klesjící. ; f Výsledky: y, H ;, f, f 0, f
) ) Určete lineární funkci f, jestliže její grf prochází body A;, B;. Vypočtěte průsečíky grfu funkce s osmi souřdnými. c) Určete, zd body M;, N ; jsou body dné funkce. Výsledky: ) y ;0, 0;, X Y, c) M f, N f ) Je dán lineární funkce, pro kterou pltí : f f 7,. Určete její rovnici, průsečíky s osmi souřdnými hodnoty, pro které pltí 0 Výsledky: y 0, X ;0, Y 0;, ; 7 f. ) Určete rovnici kvdrtické funkce, pro kterou pltí: A ;, B ;, C 0;6 ) prochází body f 8, f 0, f c) funkce f je sudá v R, hodnot minim je -8 jeden z průsečíků grfu funkce s osou má souřdnice *;0+ funkce f je v intervlu ; rostoucí, v intervlu ; je klesjící, grf prochází počátkem soustvy souřdnic, hodnot mim je 8. Výsledky: ) y 6 6, y, c) y 8, y 6) Sestrojte grf funkce ) 9 f : y y 6 7) Sestrojte grf funkce ) y y c) y y 8) Zkreslete grfy funkcí ) f : y g : y c) h : y y e) y f) y 9. EXPONENCIÁLNÍ A LOGARITMICKÉ FUNKCE ) Určete definiční obor funkce: ) f : y log 7 c) f : y log f : y log f : y log8 7 e) f : y log f) f : y log Výsledky: ) D f ;, D f ; 7;, c) D f ; ; ; ; D f ;, e) D f, f) D f ; 7
) Nčrtněte grf funkce: ) g : y log f : y log c) h y ) Řešte v R eponenciální rovnici: ) 6 0 9 c) 9 7 0 e) 8 f ) : log 6 6 6 g ) 6 8 0 Výsledky: ) K, K, c) K, K ;, e) K, f) K, g) K ; ) Řešte v R rovnici: ) log log log c) log log log0 log log e) log 6 log f) log g) log log log log log log Výsledky: ) K 7, K, c) K 6, K 000;0,, e) K, f) K 0, g) K 7 6) Určete, jkému výrzu se rovná log n log log b log z log z log z log z 6 log log log log 9 ) z z z log log n logb c) Výsledky: ) bz n,, c) 0, n b ) Určete hodnotu výrzu: ) log 0, 0,006 log 8 0, log 7 loglog log 7 c) log 8 log 8 log 0, log 0, log0, log0 0 Výsledky: ),, c) 6,, 0, 0. GONIOMETRICKÉ FUNKCE 9 0 7 ) Určete zákldní velikosti dných úhlů: 67, 00,9, 9,,,, 6 Výsledky: 7, 7,,,,,, 6 ) Určete hodnotu výrzu: ) 6sin cos cos 6 cos cos sin Výsledky: ), c) sin sin cos 6, c), 7 cos sin sin 6
sin ) Zkreslete grf funkce: ) f : y f : y sin c) f : y cos cos f : y sin e) f : y tg f) f : y cot g sin sin ) Vyjádřete funkcemi jednoduchého úhlu: ) cos cos cos cos sin Výsledky: ) tg, k, k, k Z, tg, k, k, k Z ) Řešte v R rovnici: ) sin cot g tg tg sin cos cos e) sin cos sin 0 f) tg sin 0 c) g) 6cos 7sin 0 h) cos cot g i) cos cos 0 Výsledky: ) k; k kz, k kz, c) ; k k kz 8, d ) k ; k ; k kz, e) k ; k kz, f) k ; k ; k kz, g) k ; k, h) k ; k ; k, i) k ; k ; k kz kz 6) Řešte v R nerovnici: ) cos cos c) tg e) cot g f) sin g) cos 6 kz sin h) tg Výsledky: ) 7 k ; k, kz 7 9 k ; k, c) k; k kz kz k ; k, e) 6 kz k ; k, f) kz k ; k kz, g) k ; k, h) k; k kz 6 6 kz 7) Určete hodnoty osttních goniometrických funkcí, je-li: ) sin ; tg ; c) cos ; Výsledky: ) c) 6 cos, tg, cot g, cos, sin, cot g, sin, tg, cot g
. VYUŽITÍ VLASTNOSTÍ PRAVOÚHLÉHO A OBECNÉHO TROJÚHELNÍKA ) Pty dvou sousedních sloupů mjí výškový rozdíl 0,m. Jk dlouhé vodiče spojují ob sloupy, je-li sklon svhu, n kterém sloupy stojí, 9 0? Výsledky: 6, m ) Lnovk má přímou trť o délce 0 m s úhlem stoupání. Jký je výškový rozdíl mezi dolní horní stnicí? Výsledky: 8,69 m ) Dlekohled měřicího přístroje je,7 m nd vodorovnou rovinou je vzdálen 8 m od pty komín. Vypočtěte výšku komín, je-li změřen výškový úhel 9. Výsledky: v 0,8 m ) Z věže ve výšce 0 m nd hldinou moře je změřen loď v hloubkovém úhlu 9. Jk dleko je loď od věže? Výsledky: d 0, m ) Vlk jede rychlostí m s dešťové kpky kreslí n oknech čáry, které svírjí s vodorovným směrem úhel 60. Jkou rychlostí kpky dopdjí? Výsledky: v, m s 6) Vypočtěte velikosti sil působících n kždé lno, je-li těleso o hmotnosti 0 kg zvěšeno podle obrázku. 0 0 60 0 Výsledky: F 0 N, F N 7) Vypočtěte velikosti sil působících n kždé lno, je-li těleso o hmotnosti 00 kg zvěšeno podle obrázku. 60 0 Výsledky: F 09, N, F,7 N 8) Síl F = 00 N se rozkládá n dvě složky, které s ní svírjí úhly o velikostech α = 7 0, β = 7 0. Vypočítejte velikosti obou složek. Výsledky: F 9, N, F 9,8 N 9) Síl F = 00 N se rozkládá n dvě složky F = 0 N F = 00N. Vypočítejte úhel, který svírjí síly F F. Výsledky: 76 0) Je dán obdélník ABCD s rozměry AB, BC b. Určete vzdálenost pty kolmice vedené bodem A k přímce BD od bodu A. Výsledky:
) Je dán krychle ABCDEFGH o hrně délky. Určete vzdálenost bodu A od tělesové úhlopříčky EC. Výsledky: ) Určete délky všech strn velikosti vnitřních úhlů trojúhelníku ABC, je-li dáno: = 6 cm, c = 7 cm, γ = 0 0. Výsledky: b 0, cm, 6, 06 ) Vypočítejte velikosti zbývjících strn úhlů v prvoúhlém trojúhelníku ABC, je-li dáno: = 9, cm, β = 6 0. Výsledky: c 0,7 cm, b 8, cm, 7 ) Obsh trojúhelníku ABC je 6,6 cm, = 9, cm, β = 7 0. Vypočtěte délky strn b, c, poloměr kružnice opsné trojúhelníku velikosti vnitřních úhlů. Výsledky: 7, 676, b,89 cm, c, cm, r 7,7 cm ) V trojúhelníku ABC je b = 8, cm, c = 6,9 cm, α = 6 0. Vypočtěte délku strny, poloměr kružnice opsné trojúhelníku, velikosti vnitřních úhlů obsh trojúhelníku. Výsledky: 7, cm, r, cm, 7, 7, S,0 cm 6) Určete obsh trojúhelníku ABC poloměr jeho kružnice opsné, je-li dáno: = 6 cm, b = cm, = 0 0. Výsledky: S 7,79 cm, r cm 7) Určete obsh trojúhelníku ABC poloměr jeho kružnice opsné, je-li dáno: = 6 cm, c = 7 cm, = 0 0. Výsledky: S 0,8 cm, r, cm 8) N vrcholu kopce stojí rozhledn m vysoká. Ptu i vrchol vidíme z určitého míst v údolí pod výškovými úhly o velikosti 8 0 0. Jk vysoko je vrchol kopce nd vodorovnou rovinou pozorovcího míst? Výsledky: 69 m 9) Dvě přímé důlní chodby, které ústí do téhož míst A svírjí úhel 7 0 6, mjí být spojeny chodbou (prorážkou) BC, spojující bod B n jedné chodbě s bodem C n druhé chodbě. Jk dlouhá bude prorážk, je-li AB = 7,8 m AC = 0,m? Výsledky: BC 8,8 m 0) Silnice vedoucí po hrázi rybník, má být po zrušení rybník nhrzen přímou zkrtkou. Její krjní body A, B jsou změřeny z bodu C pod úhlem 60 0, Přičemž vzdálenost CA je m vzdálenost CB je m. Jk dlouhá bude zkrtk? Výsledky: 6, m ) Z kopce m nd horizontální rovinou je vidět vrchol továrního komín v hloubkovém úhlu 8 0 jeho ptu v hloubkovém úhlu 9 0. Jk vysoký je komín? Výsledky: 6 m ) Z okn domu stojícího těsně nd řekou vidíme kámen n protějším břehu v hloubkovém úhlu 0 0. Z okn, které leží 0 metrů nd prvním oknem, vidíme týž kámen v hloubkovém úhlu 0 0. Jk široká je řek? Výsledky: 99 m ) Při stvbě elektrického vedení lesem se má provést přímý průsek mezi body A, B, ležícími n krjích les. Mimo les bylo zvoleno stnoviště C, z něhož jsou ob konce průseku vidět pod úhlem 67 0 6. Vzdálenost AC je 6 m vzdálenost BC je m. Jk dlouhý bude průsek? Výsledky: 8, m ) Sestrojte úsečku délky: ) 0 j 7 j c) j j e) j
. SHODNÁ A PODOBNÁ GEOMETRICKÁ ZOBRAZENÍ ) Je dán úsečk AS, AS 6 cm. Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, které mjí těžnici AS, 0, AB cm. ) Je dán úsečk AA ( AA cm ). Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, pro které je AA těžnicí t b = 6 cm, β = 0. ) Je dán úsečk BB ( BB cm ). Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, pro které je BB těžnicí t b c = cm, γ = 0 0. ) Je dán úsečk AS, AS cm. Sestrojte všechny trojúhelníky ABC s těžnicí AS, je-li známo: ), 60 AC 6cm, tb 6cm c) t 6cm, t cm. c b 9 ) Je dán půlkruh s průměrem d = 8cm jeho vnitřní bod K. Sestrojte všechny úsečky UV, které mjí střed K krjní body n hrnici půlkruhu. 6) Je dán čtverec ABCD jeho vnitřní bod M. Sestrojte všechny rovnostrnné trojúhelníky KLM, které mjí vrcholy K, L n hrnici čtverce. 7) Je dán přímk p, bod A kružnice k se středem S. Sestrojte všechny rovnoběžníky SABC, které mjí vrchol B n přímce p vrchol C n kružnici k. 8) Dvě kružnice k, m se protínjí v bodech A, M. Sestrojte všechny rovnormenné trojúhelníky ABC, pro které pltí: B k, C m, velikost úhlu BAC je 0 0. 9) Jsou dány dvě kružnice k k přímk p. Sestrojte čtverec ABCD tk, by bod A ležel n kružnici k, bod C n kružnici k úhlopříčk BD n přímce p. 0) Jsou dány přímk p kružnice k (S, cm), vzdálenost středu S od přímky p je 7cm. Přímk kružnice nemjí společný bod. Je dán bod A, který je od bodu S vzdálen 6cm od přímky p je vzdálen cm. Sestrojte všechny čtverce ABCD, které mjí vrchol B n přímce p vrchol D n kružnici k. ) Jsou dány dvě různoběžné přímky p q kružnice k. Sestrojte čtverec ABCD tk, by pltilo: bod A leží n přímce q, bod C n kružnici k úhlopříčk BD n přímce p. ) Je dán kružnice k bod M v její vnitřní oblsti. Sestrojte všechny tětivy kružnice k, které procházejí bodem M jsou jím děleny n dvě úsečky v poměru :. ) Je dán kružnice k bod M v její vnitřní oblsti. Sestrojte všechny tětivy kružnice k, které procházejí bodem M jsou jím děleny n dvě úsečky v poměru :. ) Sestrojte dvojice kružnic k(o; cm), m(s; cm) jejich středy stejnolehlosti v přípdech, kdy: ) OS cm, OS 0,cm, c) OS cm, OS cm, e) 6, cm. ) Sestrojte spoň jeden trojúhelník ABC, který má tyto vlstnosti: ) AB : BC : AC : :, v cm 7, cm, BC : CA :. Nápověd:,,,, středová souměrnost 6, 8, 0 otočení 7 posunutí 9, osová souměrnost,,, stejnolehlost (homotetie) v c
. ZÁKLADY STEREOMETRIE ) Sestrojte řez kvádru ABCDEFGH rovinou KLM. Rozměry kvádru jsou: AB = 7 cm, BC = cm,ae= cm. Body K, L, M jsou vnitřní body hrn kvádru pltí: AK:KD = :,FM:FG = :, HL:GL = :. ) Sestrojte řez kvádru ABCDEFGH rovinou KLM. Rozměry kvádru jsou: AB = 7 cm,bc = cm, AE= cm. Body K, L, M jsou vnitřní body hrn kvádru pltí: AK:KB = :,CL:CG = :, HM:GH = :. ) Sestrojte řez krychle ABCDEFGH rovinou KLM. Body K, L, M jsou vnitřní body hrn krychle pltí: AK:KB= :,CL:LG = :, HM:GM = :. ) Sestrojte řez krychle ABCDEFGH rovinou KLM. Body K, L, M jsou po řdě středy hrn AE, CD FG. ) Je dán prvidelný čtyřboký jehln ABCDV s podstvnou hrnou cm výškou 6 cm. Sestrojte řez jehlnu rovinou MNP. Pro body M, N, P pltí: M je středem hrny DV, N leží n polopřímce DC z bodem C CN:DN= :, bod P je vnitřním bodem hrny AB AP:PB = :. 6) Je dán prvidelný čtyřboký jehln ABCDV s podstvnou hrnou 6 cm výškou 0 cm. Sestrojte řez jehlnu rovinou MNP. Pro body M, N, P pltí: M je středem hrny DV, N leží n polopřímce DC z bodem C CN:DN= :, bod P je vnitřním bodem hrny AB AP:PB = :. 7) Je dán prvidelný čtyřboký jehln ABCDV s podstvnou hrnou 6 cm výškou 0 cm. Sestrojte řez jehlnu rovinou MNP. Pro body M, N, P pltí: M je středem hrny AV, P leží n polopřímce AB z bodem B BP:AP= :, bod N je vnitřním bodem hrny CV CN:VN = :. 8) Je dán krychle ABCDEFGH o hrně. Určete odchylku přímek BP HF, P je střed hrny GH. Výsledky: 9) Je dán krychle ABCDEFGH o hrně. Vypočtěte odchylku přímek BH DM, M je střed hrny BC. Výsledky: 9 0) Je dán krychle ABCDEFGH o hrně. Body M N jsou po řdě středy hrn EF AE. Určete odchylku rovin EFG MNH. Výsledky: 8 ) Je dán kvádr ABCDEFGH o rozměrech AB = cm, BC = 6 cm, AE = 8 cm, bod M je středem hrny AE. Určete odchylku přímek AG MH. Výsledky: 8 ) Je dán prvidelný trojboký hrnol ABCDEF, AB = cm, AD = 6 cm. Vypočtěte odchylku přímek AE, BC. Výsledky: 7 0 ) Je dán krychle ABCDEFGH o hrně. Body K L jsou postupně středy hrn CD CG. Určete odchylku rovin ABC KBL. Výsledky: 8 ) Je dán krychle ABCDEFGH o hrně. Body L N jsou postupně středy hrn FB HD. Určete odchylku přímky AE roviny NGL. Výsledky: ) Je dán prvidelný trojboký hrnol ABCDEF, AB =, AD =. Vypočtěte odchylku přímek BF, DE. Výsledky: 77 6) Vypočítejte odchylku přímek BP EC v krychli ABCDEFGH o hrně = 6cm. Bod P je střed hrny GH. Výsledky:
7) Čtyřboký jehln ABCDV má rozměry AB= cm,bc= cm, v = 6cm. Vypočtěte vzdálenost bodu B od přímky DV. 60 Výsledky: cm,6cm 8) Je dán prvidelný čtyřboký hrnol ABCDEFGH s rozměry AB=BC=, AE= b. Vypočítejte vzdálenost bodu C od roviny BDG. b Výsledky: b 9) Prvidelný čtyřboký jehln ABCDV má rozměry AB=, SV= v (výšk). Určete vzdálenost bodu A od přímky BV. Výsledky: v v 0) Vypočítejte vzdálenost rovin ACH BGE v krychli ABCDEFGH, je-li délk tělesové úhlopříčky HB 6cm. Výsledky: cm ) Je dán kvádr ABCDEFGH který má rozměry AB AD cm, AE c 6cm. Určete vzdálenost bodu B od roviny ACF. c Výsledky:, cm,6cm c 88 ) Vypočítejte povrch prvidelného šestibokého jehlnu s délkou hrny podstvy = 6cm výškou v = cm. Výsledky: S 6, cm ) Vypočítejte objem čtyřbokého hrnolu jehož povrch je 7 cm délky hrn jsou v poměru :b:c = ::. Výsledky: V cm ) Vypočítejte objem čtyřbokého hrnolu jsou - li délky hrn v poměru : : povrch hrnolu je cm. Výsledky: V cm ) Osovým řezem válce je obdélník s úhlopříčkou délky 0 cm. Výšk válce je dvkrát větší než průměr podstvy. Vypočítejte objem povrch válce. Výsledky: V 60 cm, S 00cm 6) Obsh podstvy rotčního kužele se má k plášti jko :. Jeho tělesová výšk je cm. Vypočítejte povrch objem kužele. Výsledky: s cm, V cm 7) Povrch rotčního kužele má se k obshu podstvy jko 8 :. Určete objem povrch kužele, je-li jeho tělesová výšk cm. Výsledky: V 00 cm, S 90cm 8) Nádob tvru duté polokoule je nplněn vodou do výšky 0 cm. Určete objem vody v nádobě, je-li vnitřní průměr nádoby 8cm. Výsledky: V cm 9) Určete objem kulové vrstvy, která vznikne z polokoule o poloměru cm odříznutím úseče, jejíž výšk je, cm. Výsledky: V 0cm 0) Osovým řezem válce je čtverec o obshu cm. Vypočítejte povrch objem válce. Výsledky: S 7,cm 7,8 cm, V, cm 98,7 cm
) Vyjádřete v litrech objem koše n ppír, který má tvr prvidelného čtyřbokého komolého jehlnu. Hrny podstv mjí délky 8 cm 0 cm, boční hrn má délku 6 cm. Výsledky: V 0,6 litru ) Rotční komolý kužel má podstvy o poloměrech 6 cm cm. Vypočítejte jeho objem, rovná-li se jeho plášť součtu obshů obou podstv. Výsledky: V 8 cm. KOMPLEXNÍ ČÍSLO i i i i ) Vypočítejte: ) ii i c) ii i i i 9 6 i i i i e) i i i i i f) 7 i i i i 9 i i Výsledky: ) i c) i e) i f) 0 ) Zobrzte v Gussově rovině: ) z i z i b ) i z c) z i z i z i i z i z ) Určete bsolutní hodnotu: ) i i i i i i i i Výsledky: ) i i y 9 6i ) Určete reálná čísl, y, která jsou řešením rovnice: ) i y 7 i c) i y i iy i y i 7 i i y i e) 7 i iy i i Výsledky: ), y 7, y c), y, y,, y,, y,, y e), y ) Řešte rovnici pro z C : ) i z i i z 8 zi i z c) z i i z y 0 i z i z 0 Výsledky: ) z i z i c) z 8 i z i 6) Je dáno komplení číslo u, určete mocninu tohoto čísl výsledek zpište v lgebrickém tvru: 6 7 7 ) u cos i sin, u u cos i sin, u c) u cos i sin, u 6 Výsledky: ) u 6 u i c) u i
7) Řešte v množině C rovnice: ) 7 0 9 6 0 0 c) 0 0 0 i i 0 e) i 0 f) i 7i 0 Výsledky: ) 7 7 i; i 6 6 6 6 e) i; i i; i f) i; i c) i; i i; i 8) Řešte v množině C rovnici výsledek zkreslete v Gussově rovině: ) 8 7 0 6 0 c) 7 8 0 8 0 e) i Výsledky: ) 0 i ; ; i 0 ; i; ; i c) 0 ; i; i i ; i ; i ; i 0 e) i i 0 ; i; 9) Určete, pro která m R Výsledky: ) m ; má rovnice: ) m m m m m m m; 0 dv imginární kořeny 0 dv komplení sdružené kořeny.. KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA ) Kolik různých pěticiferných čísel lze zpst číslicemi 0,,,,, 7, 9, nemá-li se žádná číslice opkovt kolik jich je sudých? Výsledky: 60 pěticiferných, 660 sudých ) Určete počet všech přirozených čísel větších než 000, v jejichž zápisech se vyskytují cifry,,, 6, 8, to kždá nejvýše jednou. Výsledky: 6 ) Kolik způsoby lze 0 dětí rozdělit do tří skupin tk, by v první bylo 0 dětí, ve druhé bylo 6 dětí ve třetí zbytek? Výsledky: 8 798 760 ) V soutěži je 8 závodníků. Z předpokldu, že kždou z medilí získá právě jeden závodník, vypočítejte, kolik je možností rozdělení medilí zlté, stříbrné bronzové mezi závodníky. Výsledky: 6 ) Kolik způsoby lze postvit do řdy vedle sebe n poličku různých knih? Výsledky: 07 67 68 000
6) N běžecké trti běží 8 závodníků. Do finále postupují první tři. Kolik je možností n postupující trojici? Výsledky: 6 7) Zvětší-li se počet prvků o, zvětší se počet kombincí druhé třídy bez opkování vytvořených z těchto prvků o 0. Určete původní počet prvků. Výsledky: původní počet prvků je 6 8) Zmenší-li se počet prvků o 7, zmenší se počet vricí druhé třídy bez opkování vytvořených z těchto prvků desetkrát. Určete původní počet prvků. Výsledky: původní počet prvků je 0 9) Zmenší-li se počet prvků o, zmenší se počet permutcí vytvořených z těchto prvků dvcetkrát. Určete původní počet prvků. Výsledky: původní počet prvků je 0) V krbici je 0 výrobků, z toho jsou vdné. Kolik způsoby můžeme vybrt výrobky tk, by mezi nimi ) byl právě jeden vdný byl nejvýše jeden vdný c) byly lespoň tři vdné? Výsledky: ) 8 c) 0 ) Ve skupině osob jsou ženy. Kolik způsoby můžeme vybrt osob tk, by mezi nimi ) byly právě dvě ženy byl nejvýše jedn žen c) byly lespoň čtyři ženy? Výsledky: ) 68 66 c) 0 ) Ve skupině je 0 dětí, kždé dvě děti mjí jiné jméno. Jsou mezi nimi i Alen Jn. Kolik způsoby lze vybrt 8 dětí tk, by mezi vybrnými: ) byl Alen byl lespoň jedn z dívek Alen, Jn nebyl Alen e) byl nejvýše jedn z dívek Alen, Jn c) byl Alen Jn f) nebyl ni Alen, ni Jn? Výsledky: ) 0 88 7 8 c) 8 6 8 e) 07 06 f) 78 ) Řešte rovnici pro N : K, K, K 0, 0 ) K, 6 K, 0 c) 7,, V, V V K K, K 6,, e) f) Výsledky: ) g) 88 h)!! ; 0; c) 9 8 e) f) g) 6 h) ) Určete čtvrtý člen mnohočlenu, který vznikne po výpočtu 7 Výsledky: b b 6) Určete R tk, by pátý člen binomického rozvoje byl roven 06. Výsledky: 7) Určete R tk, by sedmý člen binomického rozvoje 6 9 Výsledky: ; b pomocí binomické věty. 0; b 0 9 byl roven 6.
y 8) V binomickém rozvoji y njděte člen, který ) obshuje Výsledky: ) 7 mý člen tý člen 0 y obshuje 9) V osudí je 6 koulí modrých koule bílé, náhodně vybereme koule. Určete prvděpodobnost že: ) budou všechny bílé lespoň koule budou bílé c) nejvýše jedn koule bude bílá žádná koule nebude bílá. Výsledky: ) p A 0 7 pb 0,07 c) pc 0,9 pd 6 6 6 7. 0,9 0) V bedně je 7 bílých koulí modré koule. Náhodně vybereme koule. Jká je prvděpodobnost, že mezi nimi budou: ) nejvýše modré koule smé modré koule? 0 Výsledky: ) p A 0,967 0 pb 0 ) Určete prvděpodobnost, že při hodu dvěm kostkmi ) pdne lespoň jedn šestk pdne součet 9 nebo součet nepdne ni součet 9, ni součet. Výsledky: ) p A pb c) pc 6 6 6 ) N výrobku se objevují tři druhy závd ; ; Z Z Z, přičemž prvděpodobnost výskytu jednotlivých závd je 0,; 0,0; 0,0. Předpokládejte, že jednotlivé závdy jsou jevy nvzájem nezávislé. Určete prvděpodobnost, že výrobek bude bez vdy. Výsledky: p 0,88 ) Petr přijde n večerní trénink s prvděpodobností 0,9, ztímco Pvel přijde s prvděpodobností 0,7, to nezávisle n Petrovi. Určete prvděpodobnost, že: ) n trénink nepřijde ni jeden z nich n trénink přijde lespoň jeden z nich c) n trénink přijdou ob dv. Výsledky: ) p A 0,0 pb 0,97 c) pc 0,67 ) Při písemné práci dosáhli studenti těchto výsledků: výborný, 8 chvlitebný, dobrý, dosttečný nedosttečný. Sestvte tbulku rozdělení četností, určete reltivní četnosti, průměrnou známku, modus, medián znázorněte rozdělení četností grficky. 8 Výsledky:,8; Mod ; Med 0 ) Vypočtěte ritmetický, hrmonický geometrický průměr čísel,;,7;,8;,9;,8. Výsledky:,66;,6;,6 h G 6) Zprcujte následující tbulku 0 hodnot délek získných měřením. Sestvte tbulku rozdělení četností, určete reltivní četnosti. Určete ritmetický průměr, modus, medián, rozptyl, směrodtnou odchylku vriční koeficient. Rozdělení četností znázorněte grficky.,8,7,,,7,0,,7,0,,0,8,0,8,,,,0,9,,,9,,8,0,9,9,,8,9,,7,8,0,8,0,0,,0,0,9,,0,0,,,,9,,,998; Mod,0; Med,0; s 0,079; s,06; v,% Výsledky:
6. POSLOUPNOSTI A ŘADY ) Posloupnost n je dán rekurentně: n n ; n n. Vyjádřete tuto posloupnost vzorcem pro n-tý n člen uvedenou hypotézu ověřte mtemtickou indukcí. Výsledky: n n ) Zdejte posloupnost n n rekurentně. nn n n Výsledky: ; n n n n ) Vyjádřete posloupnost rekurentně: ) nn n n n Výsledky: ) ; n n n nebo ; n n n n ; n n n ) Je dán posloupnost. Určete její vlstnosti, limitu zkreslete grf. (Vyslovené hypotézy dokžte.) n n n Výsledky: posloupnost je rostoucí, omezená, konvergentní, lim n n ) Zjistěte, zd dná posloupnost je rostoucí nebo klesjící. (Hypotézu ověřte) n ) n n n n nn n Výsledky: ) klesjící rostoucí c) klesjící n c) n n n n n n 6) Vypočtěte: ) lim e) n Výsledky: ) 0 n n n n lim n n n c) n n lim n n 6 c) f) lim e) n n n n f) lim n n n n n lim n n n 8 8 9 7 7) Řešte v množině R rovnice: ) 0 8 c) log log log log 8 6 Výsledky: ) 6 6; c) 0 8) Vypočtěte součet nekonečné geometrické řdy: ) Výsledky: ) 7 9 7 8 6 6 6 8 6, 0 c) c)
n 9) Určete podmínku konvergence dných řd potom vypočtěte jejich součet ) n n n Výsledky: ) ; ; ; s R; s m 0) Dná periodická čísl npište jko zlomky ve tvru, kde m Z n N : ) 0, 6, c)0, n 7 Výsledky: ) c) 6 7. ARITMETICKÁ A GEOMETRICKÁ POSLOUPNOST n ) Zjistěte, zd dná posloupnost je ritmetická nebo geometrická: ) n n n n n c) n n e) n n n n Výsledky: ) je ritmetická není ritmetická ni geometrická c) je ritmetická není ritmetická ni geometrická e) je geometrická ) V tbulce pro ritmetickou posloupnost doplňte chybějící údje d n n s n 8 0 0 0, 0 Výsledky: ) d ; n d ; s n 7, c) n; n ) Určete, ve které ritmetické posloupnosti pltí ( určete, 8 ; 0 0 6 7; c) 7 0 8 8 7 88 e) 9 f) 9 8 Výsledky: ) 9; d ; d c) ; d ; d 7 7 ; d nebo ; d f) ; d e) ) V tbulce pro geometrickou posloupnost doplňte chybějící údje 6 6 q N n s n 0, 8 7 8 67 87 Výsledky: ) 6; s n 0 q; s n 86 c) 7; n ) Určete, ve které geometrické posloupnosti pltí ( určete, q): ) 8 6
c) e) f) 0 Výsledky: ) ; q nebo 6; q 0, ; q nebo ; q c) ; q nebo ; q 6; q 0, nebo ; q e) ; q f) ; q 0 nebo ; q 6) Mezi čísl vložte tolik čísel, by s dnými čísly tvořil ritmetickou posloupnost o součtu 7. Určete vložená čísl jejich počet. Výsledky: počet : 7, čísl : ; 7;0;;6;9; 7) Součin tří po sobě jdoucích členů ritmetické posloupnosti se rovná jejich součtu. Určete tyto členy, víte-li, že diference posloupnosti je. Výsledky: ; 0; nebo ; ; 9 nebo 9; ; 8) Délky strn prvoúhlého trojúhelníku tvoří tři po sobě jdoucí členy ritmetické posloupnosti. Delší odvěsn má délku cm. Jk velké jsou jeho strny? Výsledky: 8 cm, cm, 0cm 9) Délky strn prvoúhlého trojúhelníku tvoří tři po sobě jdoucí členy ritmetické posloupnosti. Jk jsou dlouhé, je-li jeho obsh 6 dm? Výsledky: dm, dm, dm 0) Rozměry kvádru tvoří tři po sobě jdoucí členy ritmetické posloupnosti. Součet délek všech hrn kvádru je 96 cm, povrch kvádru je cm. Určete objem kvádru. Výsledky: V cm ) N střeše tvru lichoběžníku jsou srovnány tšky do řd tk, že při hřebenu je 8 tšek v kždé následující řdě je o jednu tšku více než v řdě předcházející. Kolik tškmi je pokryt střech, má-li řd při okpu 00 tšek? Výsledky: 80 tšek ) Délky hrn kvádru tvoří tři po sobě jdoucí členy geometrické posloupnosti, součet délek všech hrn kvádru je 8 cm. Vypočítejte povrch kvádru, víte-li, že jeho objem je 8 cm. Výsledky: cm, cm, cm nebo cm, cm,cm ) Povrch kvádru je 78 cm, součet jeho rozměrů je cm. Jk velký je jeho objem, tvoří-li rozměry tři po sobě jdoucí členy geometrické posloupnosti? Výsledky: V 7cm ) Součet čtyř po sobě jdoucích členů geometrické posloupnosti je 80. Určete je, víte-li, že člen poslední je devětkrát větší než člen druhý. Výsledky: ; 6;8; nebo ;; 6;08 ) V určitém roce dosáhl hrubý objem výroby v jednom závodě 0 miliónů korun. Jký hrubý roční objem výroby můžeme očekávt z let při 0 % ročním přírůstku výroby? Výsledky: 6000 Kč 6) Určete přibližný počet obyvtel měst n zčátku roku 00, jestliže počet obyvtel n zčátku roku 99 byl 80 000 předpokládný kždoroční přírůstek je %. Výsledky: 8 77 obyvtel
7) Původní nákldy n výrobu jednoho výrobku činily 00 Kč. Jká bude výše nákldů n jeden výrobek z roky, jestliže se tyto nákldy kždoročně snižují o %? O kolik procent se sníží nákldy n jeden výrobek z roky vzhledem k původním nákldům? Výsledky: nákldy :,80 Kč; snížení : o 8, % 8) Ve městě s 0 000 obyvteli je průměrný roční přírůstek obyvtel n 000 lidí. Kolik obyvtel bude žít v tomto městě z 0 let? Výsledky: 800 obyvtel 9) Do bnky uložíme 000 Kč. Kolik budeme mít po letech, jestliže roční úroková mír je 7% úročení probíhá pololetně? (Dň z úroků je %, z účtu po celou dobu nevybíráme ni n účet neukládáme dlší peníze.) Výsledky: 7,80 Kč 0) Klient získl od bnky úvěr ve výši 00 000 Kč, to n dobu let s roční úrokovou mírou % (úrokovcí období je rok ). Úvěr bude splácet v šesti stejných ročních splátkách, první po jednom roce od poskytnutí úvěru. Kolik korun bude činit jedn splátk kolik korun celkem klient bnce zpltí? Výsledky: splátk :8 78,80 Kč, celková částk : 77 7,0 Kč ) Vkldtel uložil n počátku roku n termínovný vkld n roky částku 000 Kč. Roční úroková mír je 9,%. Jk vysokou částku bude mít n konci druhého roku, jestliže si v průběhu celé doby nevybírl úroky je-li úrokovcí období ) rok, polovin roku, c) čtvrt roku, měsíc? (Dň z úroků je %) Výsledky: ) 7 76,70 Kč 7 89,0 Kč c) 7 8,0 Kč 7 88,0 Kč ) Cen nového stroje je 8 60 Kč. Při kždoroční inventuře se odepisuje % hodnoty stroje z předcházejícího roku (tzv. mortizce). Jká bude cen stroje po 0 letech? Výsledky: 06 Kč 8.VEKTOROVÁ ALGEBRA AB d, A m ; ;, B ; m ;, d 6 ) Určete číslo m tk, by pltilo: ) AB d A m B m d Výsledky: ) m, m m, m, ;;, ; ; 0, ) Určete čísl r, s tk, by pltilo: ) u AB, Ar ; 6, B r;, u ; s u AB, A;, Br ;, u ; s Výsledky: ) r, s 9 r, s ) Zjistěte, zd vektor w je lineární kombincí vektorů uv, w 0; 6;, u ; 0;, v ; ; Výsledky: ) není není c) je ) Určete lineární kombinci u bv cw vektorů: ) u ; ;, v 6; 0;, w ; ;,, b, c 0 u ; ;, v 6; 0;, w ; ;,, b, c : ) w ; ; 8, u ; ;, v ; 0; c) w ;;, u ; ;, v ; ; 0 Výsledky: ) ; ; ; ; 0 ) Určete čísl m, n tk, by pltilo: ) m; ; n 7; 6 ; m n; ; Výsledky: ) m, n m, n 6
6) Určete vektor u, který je kolmý k vektoru v ; Výsledky: u ; 9, u ; 9 má velikost jednotek. 7) Určete vektor u, který je kolmý k vektoru v ; Výsledky: 8 0 8 0 u ;, u ; má velikost jednotky. 8) Jsou dány body A;, B;, C ;. ) Dokžte, že body tvoří trojúhelník. Určete délku strny AB. c) Určete souřdnice těžiště trojúhelníku. Určete velikost úhlu. e) Určete obsh trojúhelníku. Výsledky: AB j c) T ; 6 e) S j 9) Jsou dány body A; 0;, B ; ;, C ; ; 6, které tvoří trojúhelník. Určete: ) délky strn trojúhelníku souřdnice těžiště T trojúhelníku c) velikost nejmenšího úhlu trojúhelníku obsh trojúhelníku e) souřdnice bodu D tk, by body ABCD tvořily rovnoběžník. ; ; Výsledky: ) AB 6, AC 6, BC 6 T c) S 8 j e) D; ;0 0) Jsou dány body A; ;, B ; ;, C; ;, které tvoří trojúhelník. Určete: ) délky strn trojúhelníku souřdnice těžiště T trojúhelníku c) velikost největšího úhlu trojúhelníku obsh trojúhelníku e) souřdnice bodu D tk, by body ABCD tvořily rovnoběžník. 8 Výsledky: ) AB, AC, BC 8 T ; ; c) 07 66 S j B 6; vzdálenost 0. ) Vypočtěte souřdnice bodu A, který leží n ose y má od bodu Výsledky: A0;, A 0; e) D; ; ) Vypočítejte objem rovnoběžnostěnu ABCDEFGH je-li dáno: ) A;; 0, B; ;, D; ;, E ;; 0 A; ;, B;;, D ; ;, E; 0; Výsledky: ) V j V j ) Vypočítejte objem čtyřbokého jehlnu ABCDV je-li dáno: ) A; ;, B; ;, D0; ;, V ; ; A;;, B; ;, D; 6;0, V ; ; Výsledky: ) V j V 96 ) Jsou dány body A;;, B ;;, C; 6;0, D; ; j. Vypočítejte: ) objem čtyřstěnu ABCD povrch stěny BCD c) obvod stěny ABC velikost vnitřních úhlů stěny ABC. Výsledky: ) V j S 796 j c) O 7 j 8, 8, 70
9.ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ ) Jsou dány body A;, B ;, C ;. ) Dokžte, že body A, B, C jsou vrcholy trojúhelníku. Npište obecnou rovnici přímky, n níž leží těžnice t trojúhelníku ABC. c) Npište obecnou rovnici přímky, n níž leží výšk v b trojúhelníku ABC. Npište obecnou rovnici osy úsečky AC. Výsledky: 6y 0 c) y 6 0 y 0 ) Jsou dány body A; 0, B0;, C ;, které tvoří trojúhelník. Určete: ) obecnou rovnici přímky, n které leží výšk v c velikost výšky v c c) těžnici t c přímku procházející bodem C rovnoběžnou s přímkou AB. Výsledky: ) y 0, 9 9 9 vc, c) t; t, t 0;, y 6 0, t; t, t R ) Určete vzájemnou polohu přímky p úsečky AB. Pokud eistuje průsečík, určete jeho souřdnice. p 7 t; 8 t, t R, A ;, B ; ) p : y 7 0, A; 7, B ; 0 různoběžné nemjí průsečík různoběžné, P0;, Výsledky: ), ) Npište obecnou rovnici přímky p, která prochází bodem M ; je rovnoběžná s přímkou : ) y 0 t; t, t R Výsledky: ) y 0 y 7 0 ) Npište obecnou rovnici přímky q, která je kolmá n přímku p prochází bodem A, je-li dáno: ) p : y 0, A ; p : t; t, t R, A; Výsledky: ) y 0 y 0 6) Npište obecnou rovnici přímky m, která prochází průsečíkem přímek p : 7y 8 0, q : y 0 bodem A;. Určete směrnici přímky m odchylku přímky m od osy. Výsledky: ) m : y 0, k, 7) N přímce p : y 0 určete bod A, který má od přímky q : y 0 vzdálenost. 7 Výsledky: ) A ;, A ; 6 8 bod ;; 0 8) Jsou dány roviny : y z 0, : y z 0 Určete: ) vzájemnou polohu rovin jejich průsečnici (pokud eistuje) vzdálenost rovin c) přímku p, která prochází bodem A je kolmá k rovině průsečík přímky p roviny. Výsledky: ) různoběžné, t; t; t, t R P 0; ; A. v, 0 c) p r; r; r, r R
9) Určete vzájemnou polohu rovin. Jsou-li různoběžné, určete jejich průsečnici. Jsou-li roviny rovnoběžné, vypočítejte jejich vzdálenost. ) : y 8z 7 0, : y 8z 0 : y z 0, : y z 7 0 c) : y 6z 8 0, : 6y 9z 7 0 Výsledky: ) rovnoběžné různé, v, c) rovnoběžné totožné, v ; 0 0) Určete vzájemnou polohu roviny přímky p : různoběžné, t; t; t, t R ) r s; r s; 7 r s, r R, s R, ; 7 ; 6, r s; r s; r 7 s, r R, s R, p t; 6; t, t R c) r s; r 6 s; r s, r R, s R, ; ; 6, p t t t t R p t t t t R Výsledky: ) přímk p leží v rovině, přímk p je s rovinou rovnoběžná, přímk p je s rovinou různoběžná, P ;; c) ) Určete vzdálenost bodu A od přímky p, je-li dáno: ) A6; 6;, p ; 6 t; 6 t, t R Výsledky: ) v A, p 6 v A, p 6 ) Je dán přímk A ; ;, p t; t; t, t R p t; t; t, t R roviny : y 9 0 : y 7z 0. ) Určete odchylku přímky p od roviny. Určete odchylku přímky p od roviny. c) Určete odchylku rovin. Výsledky: ) 9 7 c) 6 8 ) Určete vzájemnou polohu přímek pq, v prostoru. V přípdě, že jsou různoběžné, určete jejich průsečík. ) 7 ; ;,, ; ; 8, p t; t; 6 t, t R, q s; s; s, s R c) ; ; 6,, 7 ; 0,, ; 9, p t; t; t, t R, q s; s; s, s R Výsledky: ), 0; 7; p t t t t R q s s s s R p t t t t R q s s s s R různoběžné P totožné c) rovnoběžné různé mimoběžné ) Jsou dány body A0;;, B0; 0;, C ; ;, M ;;, N ; 0; Určete: ) obecnou rovnici roviny ABC vzdálenost bodu M od roviny ABC c) odchylku přímky MN od roviny ABC vzdálenost bodu C od přímky MN. ; Výsledky: ) y z 6 0. v M ABC c) ; v C MN ) Je dán bod M ; ; 0 přímk přímek KM p byl 0. K ; ;, K 8; ; Výsledky: p t; t;, t R. N přímce p určete bod K tk, by odchylk
0.ANALYTICKÁ GEOMETRIE KVADRATICKÝCH ÚTVARŮ ) Určete rovnici kružnice, která je určen body: ) A7;, B; 9, C ; A0;, B0;, C; 6 Výsledky: ) y y 6 8 0 y y 8 0 ) Určete rovnici kružnice, která prochází body AB, jejíž střed leží n přímce p. ) ;, ; c) A ;, B; A B, p : y 8 0, p : y 0 Výsledky: ) y ;, 6; 0 A B, p : y 0 8 9 0 c) y 7 y y ) Určete vzájemnou polohu kružnice k : y 0 přímky p : y c 0 v závislosti n prmetru c. Výsledky: c0 ;0 sečn, c 0 ;0 tečn, c; 0 0 ; vnější přímk ) Určete vzájemnou polohu přímky kružnice souřdnice společných bodů, pokud eistují. ) p : y 0, k : y y 0 p : y 6 0, k : y y 0 6 6 6 6 Výsledky: ) sečn, P ;, P ; 0 0 sečn, P ;, P ;, ) Npište rovnice tečny kružnice v dném bodě: ) k : y, T ; k : y, T ; y 0 c) k : y 0, T ; 0 Výsledky: ) y 0 y 0 c) y 0, y 0 6) Je dán kulová ploch se středem S; ;, která prochází počátkem soustvy souřdné úsečk AB, kde A;;, B; 0;. Určete rovnici kulové plochy společné body útvrů(pokud eistují). Výsledky: : y z, společný bod B; 0; 7) Npište rovnici elipsy, která má ohnisk v bodech ;, ; E F vedlejší poloosu. Určete souřdnice význčných bodů. y Výsledky:, S ;, A 0;, B 0;, C;, D; 0 9 8) Npište rovnici elipsy, která má ohnisk v bodech E;, F ; hlvní vrchol A 7;. Určete souřdnice význčných bodů. y, S ;,, B ;, C ; 8, D ; 8 9 8 Výsledky: 9) Npište rovnici tečny elipsy v dném bodě: 9 00 y 9 00 y 09 0, T 9; y ) 0 9 6y 6 y 9 0, T 8; y. 0 Výsledky: ) 0y 9 0, 0y 0 8y 6 0, 8y 0 0) Určete společné body elipsy přímky: ) elips : 9 y 6, přímk : y 6 0 elips : 9y 6, přímk : y 6 0 P ; 0, R 0; Výsledky: ) ; 0, 0; P R
) Je dán hyperbol 9 y 8 00y 6 0. Určete souřdnice středu, velikosti poloos ecentricitu. Určete společné body hyperboly úsečky AB, A ; 6, B ;. Výsledky: S ;,, b, e, společné body neeistují ) Je dán hyperbol y 8 6y 0. Určete souřdnice středu, velikosti poloos ecentricitu. Určete společné body hyperboly úsečky AB, A ;, B;. Výsledky: S ;,, b 0, e, společné body neeistují ) Určete rovnice všech přímek, které procházejí dným bodem hyperboly mjí s ní právě jeden společný bod. y T0 ; 6 Výsledky: t : y 6 0, t : y 6 0, p : y 0 0, p : y 0 0 p : y 0 0, p : y 0 0 ) Určete rovnice všech přímek, které procházejí dným bodem hyperboly mjí s ní právě jeden společný bod. y T ; y 0 Výsledky: t : y 0, t : 6 y 0, p : y 0, p : y 0 p : y 0, p : y 0 ) Určete rovnice tečen hyperboly y 6 0, které jsou kolmé k přímce y 0. Výsledky: tečn neeistuje 6) Určete rovnice tečen hyperboly y 6 0, které jsou rovnoběžné s přímkou y 0. Výsledky: t: y 0, t: y 0 7) Npište rovnici hyperboly, která má vrcholy A ; 0, B ; jedno ohnisko ; y Výsledky: 8) Npište rovnici hyperboly, která má vrchol A ; ohnisk ;, F; 6 y Výsledky: E. E. 9) Je dán prbol y 0, určete souřdnice vrcholu, ohnisk, rovnici řídící přímky průsečíky s polopřímkou AB, A ;, B ;. V 0;, p, F 0;, d : y 0, společné body neeistují Výsledky: 0) Je dán prbol y y 0, určete souřdnice vrcholu, ohnisk, rovnici řídící přímky průsečíky A ;, B ;. s úsečkou AB, Výsledky: V 0;, p, F ;, d :, společné body neeistují ) Určete rovnice všech prbol, které procházejí body ;, B ; 7, C ; Výsledky: y ) Určete rovnice všech prbol, které procházejí body ;, B0;, C ; 6 Výsledky: y 6 9 A mjí osu rovnoběžnou s osou y. A mjí osu rovnoběžnou s osou.
) Určete rovnice všech přímek, které mjí s prbolou y y 7 právě jeden společný bod procházejí jejím M 0 ;. bodem Výsledky: M 9;, m : y, t : 8y 0 ) Určete rovnice všech přímek, které mjí s prbolou y právě jeden společný bod procházejí jejím M ; y. bodem 0 Výsledky: M ;, m :, t : y 7 0 ) Určete rovnice tečen k prbole 8 y, které procházejí bodem ; A. Výsledky: t : y 0 6) Rozhodněte o typu kuželosečky, která je dán rovnicí 6 9y 8y 9 0. Určete souřdnice význčných bodů nčrtněte polohu kuželosečky. Výsledky: elips, A;, B;, C;, D;, E ; 7, F ; 7, S ;. ÚPRAVY VÝRAZŮ ) Uprvte dné výrzy určete podmínky. ) b b b b b y y y y y c) : 8 b b : b b b b b b y y e) y : y y f) b b b b b g) : pq p q q p p p q p q p q b Výsledky: ), 0, b 0, b b b, b e) y, 0, y 0, y y, 0, y 0, y y b f), b, 0 b c), p g), p 0, q 0, p q p q ) Uprvte dné výrzy určete podmínky. ) c) : b b b b : b b b b b Výsledky: ), 0 b, 0 c), 0, 0, b 0
) Uprvte dné výrzy určete podmínky. ) 6 y : y t z tz y y z t c) y z 9 8 6 y z y 6 y y Výsledky: ), 0, 0, 0, 0, 0 c) yz, 0, y 0, z 0 z y, y 0 ) Uprvte dné výrzy určete podmínky. n! n n ) n! n n n! n!!! n n n! n! n! c) n n n!!! n n! n! n! n 9 6!!! e) n n n f) n n! n! Výsledky: ), n N n, n N n c), n N n f) n n n, n N n 0, nn 0 e) n ) Uprvte dné výrzy určete podmínky. cos sin cos sin ) sin cos cos c) sin cos sin cos sin sin cos cos e) sin sin cos cos sin sin f) sin cos sin Výsledky: ) tg, R k, k Z sin, R c) 0, R k, k Z tg, R k, k, k, k Z e), tg R k, k Z sin f), R k, k Z cos,! n N 7 6) Vypočtěte: ) sin tg cos cot g 6 cos 0 tg70 sin 67 cos00 cos80 c) cos sin 8tg sin sin cos0 tg00 cot g 0 Výsledky: ) 6 c) 6 7) Vypočtěte: ) Výsledky: ) 7 0 8 6 9 7 6 8 c) 6 : 6 6 c) 0 8 8 : 8
. LIMITA A DERIVACE ) Vypočtěte limity funkcí: 6 6 6 6 ) lim lim c) lim lim e) lim 8 9 f ) lim g) lim h) lim i) lim j) lim 0 9 0 0 7 k) lim 7 l) lim 9 m) lim n ) lim 8 Výsledky: ) 0,, c), 8, e), f) 6, g), h) 6, i), j) 7 9, k) 7, l), m), n) 6 ) Vypočtěte limity funkcí: sin cos sin sin sin cos ) lim lim c) lim tg lim e) lim sin sin cos sin 0 0 6 6 f ) lim g) lim h) lim i) lim j) lim 7 sin cos cos cos tg sin cos k) lim l) lim m) lim n) lim o) lim cos cos cot g cos 6 0 7 8 8 p) lim q) lim r) lim s) lim t) lim u) lim v) lim w) lim 0 y) lim Výsledky: ),, c), 0, e), f), g), h) 0, i), j), k) 7, l) 6, m), n), o), p) 7, q) 8, r), s), t) 7, u), v) 0, w), y) ) Vypočítejte derivce funkcí: ) y y 6 c) y y sin cos e) y 7 cot g f ) y sin g) y sin tg h) y i) y j) y k) y l) y ln m) log n) y e o) y e sin p) y cos q) y e cos sin
Výsledky: ) y 8, y, c) y, y cos sin, e) y, 6 6 sin cos sin cos, g) y, h) y, i) y cos f) cos sin j) y, k) y sin cos n) y e sin, o) y e sin cos ) Určete derivce implicitně zdné funkce: ) Výsledky: ), l) y, m) y sin, p) y, q) sin y e cos cos y y 7 6 ln0 c) 6 y 0 y 0 y y c) y y y y y y ) Určete rovnici tečny křivky v bodě T: ) y, T ; y y T y 0, ; 0 y 6, T 0; c) y y, T ; y, T 0; e) f) y, T ; y0 g) y 6y 0, T ; Výsledky: ) 6 y6 0 y 0 c) 7 y 0 y 0 e) y 0 f) y g) y 6) Určete rovnici normály křivky v bodě N: ) y 9, N ; y, N 6; Výsledky: ) y8 0 y 0 0,, 7) Vypočítejte druhou derivci funkce v bodě 0 : ) y, 0 Výsledky: ) y 6 y 7 y, 0. UŽITÍ DIFERENCIÁLNÍHO POČTU ) Určete intervly monotonie, konveity, konkávity etrémy funkce. ) y y c) y 6 y e) y Výsledky: rostoucí klesjící konvení konkávní m min ) 0; ;0 ; ; ; 0 ;0 ; ; 0; ; ; ; 0 c) 0; ;0 ; ; ; 0 ; ; ; ; 0; ;0 ; e) ; ; ; ; ; ;
) Uzvřená válcová nádob má povrch Výsledky: r cm, v cm 7m bylo potřeb n její vyzdění nejmenší množství mte- ) Určete rozměry válcové silážní jámy tk, by při objemu riálu. 7 7 Výsledky: r m,0 m, v m,0m 6m. Určete její rozměry, je-li její objem mimální. ) Njděte tkové kldné číslo by součet čísl jeho převrácené hodnoty byl minimální. Výsledky: ) Do kružnice o poloměru r vepište rovnormenný trojúhelník o mimálním obshu. Výsledky: rovnostrnný, r 6) Nádrž n vodu má mít čtvercové dno, objem 6m tvr kvádru. Vypočítejte rozměry nádrže tk, by spotřeb mteriálu n vyzdění stěn dn byl nejmenší. Výsledky: 8 m, 8 m, m 7) Rozložte číslo 8 n součet dvou kldných sčítnců tk, by součet třetí mocniny prvního sčítnce druhé mocniny druhého sčítnce byl nejmenší. 6 8 Výsledky: 8) Njděte válec, který má při dném objemu minimální povrch. V Výsledky: r, v r 9) Přímočrý pohyb hmotného bodu je dán vzthem st kt lt m. Určete jeho zrychlení. Výsledky: k 0) Vyšetřete průběh funkce nčrtněte její grf: ) f : y f : y 8 c) f : y f : y 6 e) f : y Výsledky:
. PRIMITIVNÍ FUNKCE ) Vypočtěte: ) d d c) d d e) 6 d f) d g) cos d cos sin d sin cos i) h) tg d j) cos d k) d Výsledky: ) C c) C c ln C e) C f) C g) sin cos C h) cot g tg C i) tg C j) tg C k) 9 C ) Vypočtěte s použitím integrčních metod: ) cos d f) sin d e d c) d g) d h) d i) Výsledky: ) sin cos C e e e C d e) d j) sin d c) 6 C d ln C e) 6 C f) cos sin C g) 8 C ln C i) 0 h) 6 C j) cos C ) Vypočtěte s použitím úprv: sin ) d cos cos cos d c) d sin cos d cos sin sin sin e) cos d f) sin cos tg d g) sin cot g d h) cos d Výsledky: ) ln cos C tg C c) tg cot g C cot g tg C e) cos C f) C g) cot g C h) tg C
) Vypočtěte: ) sin cos f) 0 d ln d c) d cos d g) 0 e d h) Výsledky: ) ln c) 9 d i) cos d e) ln d 0 d j) 0 0 d e) ln f) g) e h) 98 i) j) 0 ) Určete křivku, která prochází : ) bodem ; Výsledky: ) y bodem ; c) bodem ; A jejíž tečn v libovolném bodě ; A jejíž tečn v libovolném bodě ; A jejíž tečn v libovolném bodě ; c) y y y má směrnici y má směrnici y má směrnici. OBSAHY GEOMETRICKÝCH ÚTVARŮ A OBJEMY TĚLES V INTEGRÁLNÍM POČTU ) Určete obsh obrzce omezeného dnými křivkmi: ) y y 0,, ; y, y, y 0, c) y, y, y y, y 0 e) y 0, y 6,, f) y sin, 0, g) y, y,, h) y y, y i) y, y Výsledky: ) 9 ln c) 9 e) 6 f) g) h) 6 i) 9 ) Určete objem těles, které vznikne rotcí množiny ohrničené dnými křivkmi kolem osy. ) y, y y, y, y 0, c) y, y y 6, e) y, y f) y, y Výsledky: ) 6 6 c) 7 e) 6 f) ) Odvoďte vzorec pro výpočet objemu rotčního kužele, který má poloměr podstvy r výšku v. ) Odvoďte vzorec pro výpočet objemu koule o poloměru r. Použitá litertur: Příprv k mturitě n vysoké školy ( J. Petáková); Repetitorium středoškolské lgebry v příkldech, (F. Jneček); Sd učebnic mtemtiky pro gymnázi; Sbírk úloh z mtemtiky pro příprvu k mturitní zkoušce k přijímcím zkouškám ( J. Kubát); Sbírk úloh z mtemtiky pro SVVŠ; Sbírk mturitních příkldů; Řešené příkldy z mtemtiky pro střední školy k mturitě k přijímcím zkouškám n vysokou školu