Využití GeoGebry ve výuce matematiky a geometrie Workshop na konferenci 3µ 2015

Využití GeoGebry ve výuce matematiky a geometrie Workshop na konferenci 3µ 2015 Horní Lomná, 1. 3. června 2015 Jana Bělohlávková Dagmar Dlouhá Radka Hamříková Zuzana Morávková Radomír Paláček Petra Schreiberová Jana Volná Petr Volný Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava

3µ 2015 Workshop: Využití GeoGebry ve výuce matematiky a geometrie GeoGebra je multiplatformní matematický software, který umožňuje každému získat neobvyklý rozhled, který nám dává matematika. Poskytuje špičkový software a materiály do rukou učitelů a studentů po celém světě. Co je GeoGebra? GeoGebra je dynamický matematický software pro všechny úrovně vzdělávání, který spojuje geometrii, algebru, tabulkový procesor, grafy, statistiku a analýzu do jednoho snadno použitelného balíčku. GeoGebra je rychle rostoucí komunita milionů uživatelů žijících prakticky ve všech zemích světa. GeoGebra se stala špičkovým poskytovatelem dynamického matematického softwaru podporujícího vědu, technologii, inženýrství a matematiku (STEM). Stručný přehled Geometrie, algebra a tabulkový procesor vzájemně dynamicky propojené. Snadno použitelné ovládání, mnoho užitečných funkcí. Nástroj na tvorbu interaktivních výukových materiálů v podobě webových stránek. V Češtině a mnoha dalších jazycích, pro miliony našich uživatelů po celém světě. Open source software volně dostupný nekomerčním uživatelům. http://www.geogebra.org Studenti ji milují, protože... dělá matematiku hmatatelnou. GeoGebra propojuje geometrii a algebru novým, vizuálním způsobem. Studenti mohou konečně matematiku vidět a zažít na vlastní dotyk. Učitelé ji milují, protože... umožňuje učitelům pokračovat v učení. GeoGebra nenahrazuje učitele. Pomáhá jim dělat to, co umí nejlépe učit. Školy ji milují, protože... Studenti používající GeoGebru = Studenti s větší motivací = Studenti s lepšími výsledky. II

Workshop: Využití GeoGebry ve výuce matematiky a geometrie 3µ 2015 Co se naučíte na našem workshopu? První pohled na 3D v GeoGebře Jana Volná, Petr Volný (jana.volna@vsb.cz, petr.volny@vsb.cz) V rámci první lekce našeho workshopu se seznámíme s 3D modulem, který je nově v GeoGebře obsažen. 3D GeoGebra ve výuce Matematiky II Petra Schreiberová (petra.schreiberova@vsb.cz) V rámci kurzu Matematika II se věnujeme geometrickým aplikacím určitého integrálu a funkci dvou proměnných. Studentům občas dělá problémy si představit rotační těleso vzniklé rotací rovinného útvaru či graf funkce dvou proměnných, příp. tečnou rovinu. GeoGebra poskytuje nástroj k vizualizaci těchto problémů. Numerická integrace Zuzana Morávková (zuzana.moravkova@vsb.cz) Ukážeme si práci s objektem seznam. Dále užití příkazu Posloupnost pro vytvoření seznamu hodnot, příkazu Prvek, který slouží k výběru jednoho prvku ze seznamu a příkazu Vyber, který vybere část ze seznamu. Cyklus for a iterace v GeoGebře Jana Bělohlávková (jana.belohlavkova@vsb.cz) V Geogebře (5.0.106.0-3D, May 2015) neexistuje přímá podpora pro cyklus. Standardně se nabízí dva způsoby, jak se vypořádat s opakujícími se konstrukcemi. Bud vytvořit tzv. nástroj, nebo použít tabulku. Ani jeden z výše uvedených způsobů není zcela uspokojující, protože ani v jednom nemůžeme zadat počet opakování a jsme nuceni bud jednotlivé kroky naklikat ručně nebo ručně roztáhnout tabulku. Příspěvek popisuje jiný způsob, který tento nedostatek odstraňuje a nahrazuje tím chybějící příkaz pro cyklus for. Řezy rotační kuželové plochy Radomír Paláček (radomir.palacek@vsb.cz) Prostřednictvím vytvořeného apletu se seznámíme s řezy na rotační kuželové ploše. K jeho tvorbě využijeme 3D grafický náhled, který je v GeoGebře nově k dispozici. Aplet je možné použít také ve výuce, kde může nápomoci ke zdokonalení prostorové představivosti studentů a zlepšení pochopení dané problematiky. GeoGebra 3D v deskriptivní geometrii Radka Hamříková, Dagmar Dlouhá (radka.hamrikova@vsb.cz, dagmar.dlouha@vsb.cz) Pro zájemce jsme připravily 2 jednoduché úlohy jak začít ve 3D GeoGebře. III

Využití GeoGebry ve výuce matematiky a geometrie 3µ 2015 První pohled na 3D v GeoGebře Jana Volná, Petr Volný Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB-TU Ostrava Abstrakt: V rámci první lekce našeho workshopu se seznámíme s 3D modulem, který je nově v GeoGebře obsažen. Od páté verze GeoGebra obsahuje 3D modul, který je plně propojen se všemi ostatními částmi GeoGebry. V rámci 3D zobrazení je možné používat veškeré manipulace s nákresnou tak, jak je to možné realizovat s nákresnou pro 2D zobrazení. Objekty ve 3D lze zadávat bud výběrem příslušného nástroje z menu aplikace, nebo s využitím příkazového řádku. V našem příspěvku se zaměříme především na seznámení se s 3D modulem. Na naši úvodní lekci pak naváže série lekcí, z nichž některé již budou zaměřeny na konkrétní problémy ve 3D. Pracujeme s GeoGebrou verze 5.0.119.0-3D. Autoři děkují za podporu svému pracovišti.

Workshop: Využití GeoGebry ve výuce matematiky a geometrie 3µ 2015 Při otevření aplikace GeoGebra na vašem počítači na vás vyskočí úvodní okno s nabídkou modulů. Vybereme modul 3D grafika. Pokud nabídka zmizí, je možné zapnout 3D zobrazení volbou z menu aplikace: Zobrazit Grafický náhled 3D. Otevřete 2D okno: Zobrazit Nákresna Zkuste přepínat mezi 2D a 3D zobrazením prostým kliknutím myši do prostorů jednotlivých oken a pozorujte, jak se mění nabídka v menu. Pro každý modul, at už 2D nebo 3D je k dispozici odpovídající sada nástrojů. J. Volná, P. Volný, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava V

3µ 2015 Workshop: Využití GeoGebry ve výuce matematiky a geometrie Příklad 1: Schodiště Zadání: Sestrojte trojboký hranol s podstavnou stěnou ležící v půdorysné rovině. Pomocí translace a rotace hranolu vytvořte točité schodiště. Konstrukce 1. Klikneme myší do 2D okna - nákresny. 2. Pomocí tohoto nástroje posuneme nákresnu podle potřeby. 3. Zadáme tři body: A=(0,0), B=(2,-3) a C=(3,-2). 4. Sestrojíme trojúhelník ABC. 5. Vytvoříme posuvník; Název: vyska, Interval: od 0.1 do 1, Krok: 0.1. 6. Klikneme do 3D okna. Zvolíme nástroj Vytažení do hranolu nebo válce - klikneme na trojúhelník ve 3D zobrazení a poté do dialogového okna zapíšeme hodnotu danou posuvníkem, zapíšeme tedy hodnotu vyska. Skryjeme 2D nákresnu. Zrušíme popisy hran a vrcholů hranolu. V algebraickém okně postupně klikáme pravým tlačítkem myši na Bod Zobrazit objekt; Hranol Zobrazit popis; Úsečka Zobrazit popis. 3D pohledem je možné otáčet pomocí nástroje Otočit Grafický náhled 3D a Pohybovat s nákresnou. Rozklikneme nabídku Grafický náhled 3D (Přepnout formátovací panel). Tato nabídka se mění podle výběru konkrétního nástroje nebo objektu. Vyzkoušejte jednotlivé ikony, které nabídka nabízí. My se soustředíme nejdříve na ikonu pro ro- VI J. Volná, P. Volný, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava

Workshop: Využití GeoGebry ve výuce matematiky a geometrie 3µ 2015 tace - Začít nebo zastavit otáčení panelu -. Po rozkliknutí nabídky Začít nebo zastavit otáčení panelu je možné nastavit na liště rychlost rotace a její orientaci, bud ve směru anebo proti směru chodu hodinových ručiček. Poznamenejme, že je také možné otáčet pohledem, pokud na 3D nákresnu klikneme a přidržíme pravé tlačítko myši. Další položkou je ikona pohledu - Směr pohledu - přenastaví na defaultní nastavení. Po rozkliknutí nabídky pohledy v pořadí - půdorys - nárys - bokorys.. Po kliknutí na tuto ikonu se pohled máme možnost zvolit základní Konstrukce 1. Změníme barvu hranolu na zelenou. Klikneme na hranol v Algebraickém okně a z nabídky (lišta v horní části 3D okna) vybereme zelenou barvu. 2. Zobrazíme 2D nákresnu: Zobrazit Nákresna. 3. Změříme úhel α =BAC. 4. Vytvoříme posuvník; Název: pocet, Interval: od 1 do 20, Krok: 1. 5. Posloupnost[Posun[Rotace[d,n*α],Vektor[(0,0,n*vyska)]],n,1, pocet-1]. Vytvořili jsme schodiště, u kterého je možné měnit počet a výšku schodů. Pomocí nástroje Pohybovat s nákresnou přesuneme půdorysnou rovinu úplně dolů. Horizontální vs. vertikální posun měníme kliknutím levého tlačítka myši na půdorysnou rovinu. Zkuste schodištěm rotovat a využívat různé směry pohybu. J. Volná, P. Volný, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava VII

3µ 2015 Workshop: Využití GeoGebry ve výuce matematiky a geometrie Na závěr ještě vyzkoušíme jedno velmi zajímavé zobrazení 3D objektů. Jedná se o anaglyfické zobrazení, které umožňuje pomocí speciálních 3D brýlí simulovat prostorový vjem. Volíme položku Vyberte typ promítání Promítání pro anaglyfické brýle. VIII J. Volná, P. Volný, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava

Využití GeoGebry ve výuce matematiky a geometrie 3µ 2015 3D GeoGebra ve výuce Matematiky II Petra Schreiberová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB-TU Ostrava Abstrakt: V rámci kurzu Matematika II se věnujeme geometrickým aplikacím určitého integrálu a funkci dvou proměnných. Studentům občas dělá problémy si představit rotační těleso vzniklé rotací rovinného útvaru či graf funkce dvou proměnných, příp. tečnou rovinu. GeoGebra poskytuje nástroj k vizualizaci těchto problémů. První úloha Ukážeme si způsob, jak lze využít 3D GeoGebru k vizualizaci a tvorbě rotačního tělesa. Druhá úloha Využijeme GeoGebru k pochopení pojmu tečné roviny ke grafu funkce dvou proměnných. Autorka děkuje za podporu svému pracovišti.

3µ 2015 Workshop: Využití GeoGebry ve výuce matematiky a geometrie Příklad 2: Rotační těleso Zadání: Zakreslete rovinný útvar ohraničený grafy funkcí f(x) = x 3 2x + 1, h(x) = x 1. Vytvořte rotační těleso vzniklé rotací tohoto útvaru kolem osy x. Řešení: 1. Otevřeme GeoGebru. 2. Vykreslíme grafy funkcí, které ohraničují daný rovinný útvar. Klikneme do vstupu a zadáme příkaz. 3. Do vstupu zadáme předpis funkce f(x). 4. Do vstupu zadáme předpis funkce h(x). V menu Zobrazit zvolíme možnost Grafický náhled 3D. 5. Nalezneme průsečíky obou funkcí. a následným klikem na obě funkce v ná- Průsečík lze nalézt i klikem na ikonu průsečík kresně. Z grafů funkcí si necháme znázorněné pouze části omezující rovinný útvar. 6. Vykreslíme graf funkce f(x) v mezích x(a), x(b). 7. Vykreslíme graf funkce h(x) v mezích x(a), x(b). V algebraickém okně změníme viditelnost funkcí f(x) a h(x). X P. Schreiberová, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava

Workshop: Využití GeoGebry ve výuce matematiky a geometrie 3µ 2015 Vzniklý rovinný útvar začneme rotovat kolem osy x. Potřebujeme vytvořit úhel rotace. Toto provedeme využitím posuvníku v Nákresně. 8. Klik na ikonu posuvníku, následně na nákresnu a vytvoříme si posuvník pro úhel α - interval zvolíme s krokem 1. 9. Dáme použít. Navolíme osu rotace. 10. Do vstupu zadáme předpis y = 0. Začneme rotovat. Nejdříve si musíme vyjádřit dané křivky parametricky. P. Schreiberová, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava XI

3µ 2015 Workshop: Využití GeoGebry ve výuce matematiky a geometrie 11. 12. Zadáme do vstupu příkaz Rotace[objekt,úhel,osa], kde objekt je p(x), úhel α a osou je objekt a. Zadáme do vstupu příkaz Rotace[objekt,úhel,osa], kde objekt je r(x), úhel α a osou je objekt a. Pomocí posuvníku volbou úhlu začne rovinný útvar rotovat. Pro znázornění tělesa, které touto rotací vznikne, musíme zaškrtnout u parametrických křivek volbu stopa zapnuta a v posuvníku zvolíme animace zapnuta (pravým klikem na objekty v algebraickém okně). 13. Pro lepší názornost lze v grafickém náhledu odstranit rovinu xy. XII P. Schreiberová, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava

Workshop: Využití GeoGebry ve výuce matematiky a geometrie 3µ 2015 Příklad 3: Tečná rovina Zadání: Zakreslete graf funkce f(x, y) = 0.5x 2 + 2y 2 a nalezněte rovnici tečné roviny ke grafu funkce v daném bodě. Tečnou rovinu znázorněte. Řešení: skryjeme ro- Otevřeme GeoGebru a zobrazíme grafický náhled 3D. V 3D náhledu pomocí vinu xy. 1. Znázorníme graf funkce zadáním předpisu do vstupu. Zvolíme bod na ploše. 2. Volbou bod na objektu a následným klikem na osu x a y dostaneme 2 body A, B. 3. Vytvoříme bod v rovině xy se souřadnicemi [x(a), y(b)]. 4. Znázorníme bod na ploše grafu se souřadnicemi [x(a), y(b), f(x(a), y(b))]. V 3D náhledu pomocí lze pootočit graf. Bod na ploše lze dynamicky měnit posunutím bodů A, B. P. Schreiberová, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava XIII

3µ 2015 Workshop: Využití GeoGebry ve výuce matematiky a geometrie Pro nalezení rovnice tečné roviny a normály je potřeba určit normálový vektor, tzn. parciální derivace funkce. Do vstupu zadáme příkaz Derivace[funkce, proměnná]. 5. Získáme parciální derivaci podle x. 6. Získáme parciální derivaci podle y. Nalezené parciální derivace schováme a vytvoříme směrové vektory (příkaz Vektor[počáteční bod,koncový bod]). 7. Směrový vektor odpovídající parciální derivaci podle x v bodě D. 8. Směrový vektor odpovídající parciální derivaci podle y v bodě D. Pro lepší přehlednost můžeme změnit tloušt ku a barvu směrových vektorů (pravý klik na objekt vektorů a zvolit možnost Vlastnosti). Pomocí vektorového součinu určíme normálový vektor. 9. Normálový vektor v bodě D. 10. Znázorníme tečnou rovinu, bod je D a vektor n. Nalezli jsme rovnici tečné roviny. XIV P. Schreiberová, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava

Workshop: Využití GeoGebry ve výuce matematiky a geometrie 3µ 2015 Postřehy a poznámky Při tvorbě bodů lze zápis zpřehlednit volbou a = x(a), b = y(b) a následně C = (a, b), D = (a, b, f(a, b)). P. Schreiberová, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava XV

Využití GeoGebry ve výuce matematiky a geometrie 3µ 2015 Numerická integrace Zuzana Morávková Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB-TU Ostrava Abstrakt: Ukážeme práci s objektem seznam. Dále užití příkazu Posloupnost pro vytvoření seznamu hodnot, příkazu Prvek, který slouží k výběru jednoho prvku ze seznamu a příkazu Vyber, který vybere část ze seznamu. Numerická integrace lichoběžníkovým pravidlem Sestrojíme aplikaci na výpočet přibližné hodnoty určitého integrálu lichoběžníkovým pravidlem. Aplikace umožní uživateli zadat funkci a integrační meze pomocí textových polí. Numerická integrace složeným lichoběžníkovým pravidlem Sestrojíme aplikaci na výpočet přibližné hodnoty určitého integrálu složeným lichoběžníkovým pravidlem. Aplikace umožní uživateli zadat funkci a integrační meze pomocí textových polí. Dále je k dispozice posuvník, kterým lze volit hodnotu n = 1, 2, 4, 8, 16, 32,... Příspěvek vznikl za podpory projektu FRVS2015/158 Inovace předmětu Numerická matematika na Fakultě strojní Vysoké školy báňské-technické univerzitě Ostrava. Autorka také děkuje za podporu svému pracovišti.

Workshop: Využití GeoGebry ve výuce matematiky a geometrie 3µ 2015 Příklad 4: Numerická integrace lichoběžníkovým pravidlem Zadání: Sestrojíme aplikaci na výpočet přibližné hodnoty určitého integrálu lichoběžníkovým pravidlem. Aplikace umožní uživateli zadat funkci a integrační meze pomocí textových polí. Obrázek 1: Náhled na aplikaci Konstrukce Nejprve si vytvoříme textová pole pro zadání integrované funkce a mezí. 1. Zadáme funkci: f(x)=exp(x^2) 2. Vytvoříme textové pole s popisem f(x)= a propojíme s objektem f(x). 3. Zadáme integrační mez: a=1 4. Vytvoříme textové pole pro integrační mez s popisem a= a propojíme s objektem a. 5. Zadáme integrační mez: b=2 6. Vytvoříme textové pole s popisem b= a propojíme s objektem b. Poznámka: Textovým polím pro zadání integračních mezí lze změnit délku. viz. Vlastnosti - Styl. Z. Morávková, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava XVII

3µ 2015 Workshop: Využití GeoGebry ve výuce matematiky a geometrie Integrovanou funkci na intervalu a, b interpolujeme lineární funkcí. Hodnotu určitého integrálu b a f(x) dx tedy nahradíme obsahem lichoběžníku. 7. Zadáme body: A=(a,f(a)) a B=(b,f(b)) 8. Vytvoříme úsečku: Usecka[A,B] 9. Zadáme body: C=(b,0) a D=(a,0) 10. Vytvoříme lichoběžník určený body ABCD. Klikneme postupně na jednotlivé body a zadávání ukončení kliknutím na první bod. 11. Obsah lichoběžníku je přibližnou hodnotou určitého integrálu. Příklad 5: Numerická integrace složeným lichoběžníkovým pravidlem Zadání: Sestrojíme aplikaci na výpočet přibližné hodnoty určitého integrálu složeným lichoběžníkovým pravidlem. Aplikace umožní uživateli zadat funkci a integrační meze pomocí textových polí. Dále je k dispozice posuvník, kterým lze volit hodnotu n = 1, 2, 4, 8, 16, 32,... Obrázek 2: Náhled na aplikaci XVIII Z. Morávková, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava

Workshop: Využití GeoGebry ve výuce matematiky a geometrie 3µ 2015 Popis metody Na intervalu a, b vytvoříme ekvidistantní sít x i = a + ih pro i = 0, 1,..., n, kde h = b a n. Integrovanou funkci na každém intervalu x i 1, x i, i = 1,..., n interpolujeme lineární funkcí. Označme hodnoty funkce v uzlech y i = f(x i ), i = 0,..., n. Pak přibližná hodnota integrálu je: I h 2 (y 0 + y 1 ) + h 2 (y 1 + y 2 ) + h 2 (y 2 + y 3 ) + + h 2 (y n 1 + y n ) = h 2 ( y 0 + 2 n 1 1 y i + y n ) ( ) Konstrukce Nejprve si vytvoříme textová pole pro zadání integrované funkce a integračních mezí. 1. Zadáme funkci: f(x)=exp(x^2) 2. Vytvoříme textové pole s popisem f(x)= a propojíme s objektem f(x). 3. Zadáme integrační mez: a=1 4. Vytvoříme textové pole s popisem a = a propojíme s objektem a. 5. Zadáme integrační mez: b=2 6. Vytvoříme textové pole s popisem b = a propojíme s objektem b. Proměnná n určující počet dílů, na který rozdělíme interval a, b, bude nabývat hodnot n = 1, 2, 4, 8, 16, 32,... 7. Zadáme: r=6 8. Vytvoříme posuvník pro celá čísla. Název má k a jeho hodnoty jsou od 1 do r. 9. 10. Budeme počítat s prvními r prvky z posloupnosti {1, 2, 4, 8, 16, 32,...}. Tedy pomoci příkazu Posloupnost vytvoříme seznam hodnot {2 j 1 } r 1: nn=posloupnost[2^(j-1),j,1,r] Nastavíme hodnotu n jako k-tý prvek ze seznamu nn pomocí příkazu Prvek: n=prvek[nn,k] Nyní můžeme postupovat dvěma způsoby. Z. Morávková, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava XIX

3µ 2015 Workshop: Využití GeoGebry ve výuce matematiky a geometrie První možnost je sestrojit lichoběžníky a sečíst jejich obsahy. 11.a Vypočítáme krok dělení: h=(b-a)/n 12.a 13.a 14.a 15.a Vytvoříme body (x i, f(x i )) i = 0,... n ležící na grafu funkce (viz Obrázek 3): F=Posloupnost[(a+i*h,f(a+i*h)),i,0,n] A vytvoříme lomenou čáru procházející body F j (viz Obrázek 3): lomena=posloupnost[usecka[prvek[f,j],prvek[f,j+1]],j,1,n] Vytvoříme body (x i, 0) i = 0,... n ležící na ose x (viz Obrázek 3): X=Posloupnost[(a+i*h,0),i,0,n] A vytvoříme lichoběžníky určené body F j F j+1 X j+1 X j, j = 1,..., n: lich=posloupnost[mnohouhelnik[prvek[f,j],prvek[f,j+1], Prvek[X,j+1],Prvek[X,j]],j,1,n] 16.a Sečteme obsahy lichoběžníků: I=Suma[lich] F j+1 F j y i+1 f f y i h h a X j X j+1 b a x i x i+1 b Obrázek 3 Obrázek 4 Druhá možnost je vypočítat přibližnou hodnotu integrálu podle vzorce ( ). 11.b Vypočítáme krok dělení: h=(b-a)/n 12.b Vytvoříme hodnoty x i = a + ih, i = 0,..., n (viz Obrázek 4): xx=posloupnost[a+i*h,i,0,n] 13.b A vypočítáme funkční hodnoty f(x i ) (viz Obrázek 4): yy=f(xx) 14.b Podle vzorce ( ) spočítáme přibližnou hodnotu určitého integrálu: II=h/2*(Prvek[yy,1]+2*Suma[Vyber[yy,2,n]]+Prvek[yy,n+1]) XX Z. Morávková, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava

Využití GeoGebry ve výuce matematiky a geometrie 3µ 2015 Cyklus for a iterace v GeoGebře Jana Bělohlávková Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB-TU Ostrava Abstrakt: V GeoGebře (5.0.106.0-3D, May 2015) neexistuje přímá podpora pro cyklus. Standardně se nabízí dva způsoby, jak se vypořádat s opakujícími se konstrukcemi. Bud vytvořit tzv. nástroj, nebo použít tabulku. Ani jeden z výše uvedených způsobů není zcela uspokojující, protože ani v jednom nemůžeme zadat počet opakování a jsme nuceni bud jednotlivé kroky naklikat ručně nebo ručně roztáhnout tabulku. Příspěvek popisuje jiný způsob, který tento nedostatek odstraňuje a nahrazuje tím chybějící příkaz pro cyklus for. Autorka děkuje za podporu svému pracovišti.

3µ 2015 Workshop: Využití GeoGebry ve výuce matematiky a geometrie Příklad 6: Seznámení s příkazy Zadání: Vytvořte n bodů (i,i) s názvem A i tak, aby se se změnou hodnoty n měnil jejich počet. Než přistoupíme k řešení příkladu, seznamme se s příkazy, které budeme potřebovat. Příkazy zadáváme do vstupního pole. Posloupnost[<Výraz>,<Proměnná>,<Počáteční hodnota>,<koncová hodnota>] vytvoří seznam objektů definovaných výrazem a proměnnou. Vykonat[<Seznam textů>] vykoná seznam příkazů vložených jako text. Názvy příkazů musí být anglicky. Smazat[<Objekt>] smaže objekt. Jeho anglická verze je Delete[<Objekt>]. Vyzkoušejte si: S0={1,4,5} S1={"n=5","A=(1,3)","k=Circle[A,n]"} Vykonat[S1] Vykonat[{"Delete[k]"}] S3=Posloupnost[(i,i),i,1,n] S4=Posloupnost["A_{i}=(i,i)",i,1,n] S5=Posloupnost["A_{"+i+"}=("+i+","+i+")",i,1,n] Konstrukce 1. Vytvoříme posuvník n od 0 do 50 s krokem 1. 2. Do dialogového okna posuvníku n v záložce Skriptování, Po aktualizaci vložíme příkazy Vykonat[Posloupnost["A_{"+i+"}=("+i+","+i+")",i,1,n]] Vykonat[Posloupnost["Delete[A_{"+i+"}]",i,n+1,50]] podle Obrázku 1. Obrázek 1: Dialogové okno pro skriptování XXII J. Bělohlávková, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava

Workshop: Využití GeoGebry ve výuce matematiky a geometrie 3µ 2015 Příklad 7: Regula-falsi Zadání: Zobrazte n iterací metody regula-falsi. Příkazy, které budeme potřebovat: Obrázek 2: Regula falsi Spoj[<Seznam seznamů>] spojí seznam seznamů v jeden seznam. Kdyz[<Podmínka>,<Pak>,<Jinak>] pokud je splněna podmínka, definuje objekt jako Pak, není-li splněna jako Jinak. Anglická verze If[<Podmínka>,<Pak>,<Jinak>]. NastavitPodminkuZobrazeni[<Objekt>,<Podmínka>] nastaví podmínku viditelnosti daného objektu. Usecka[<Bod>,<Bod>] vytvoří úsečku, anglická verze Segment[<Bod>,<Bod>]. Vyzkoušejte si: S1={{"n=5","A=(1,3)"},{"B=(2,4)","C=(5,1)"}} Vykonat[S1] Ohlásí chybu. S2=Spoj[S1] Vykonat[S2] u=kdyz[n>3,usecka[a,b], Usecka[A,C]] NastavitPodminkuZobrazeni[A,n>0] Máme-li více příkazu v jedné iteraci, bude výsledný příkaz sestaven takto: Vykonat[Spoj[Posloupnost[{"prikaz1","prikaz2","prikaz3"},i,0,n]]] J. Bělohlávková, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava XXIII

3µ 2015 Workshop: Využití GeoGebry ve výuce matematiky a geometrie V našem případě budou v jedné iteraci tyto příkazy: Ai=(ai,f(ai)) Bi=(bi,f(bi)) ui=usecka[ai,bi] ci=ai-(bi-ai)/(f(bi)-f(ai))*f(ai), a(i+1)=if[sgn(f(ai))==sgn(f(ci)),ci,ai] b(i+1)=if[sgn(f(bi))==sgn(f(ci)),ci,bi] Ri=(ci,0) Konstrukce 1. Vytvoříme posuvník n od 0 do 10 s krokem 1. 2. f(x)=2*xˆ3-4*xˆ2+3*x 3. a0=-1 4. b0=1 5. Tlacitko[] Do dialogového okna tlačítka v záložce Sriptovaní, Po kliknutí vložíme příkaz: Vykonat[Spoj[Posloupnost[{ "A"+i+"=(a"+i+",f(a"+i+"))", "B"+i+"=(b"+i+",f(b"+i+"))", "u"+i+"=segment[a"+i+",b"+i+"]", 6. "c"+i+"=a"+i+"-(b"+i+"-a"+i+")/(f(b"+i+")-f(a"+i+"))*f(a"+i "a"+(i+1)+"=if[sgn(f(a"+i+"))==sgn(f(c"+i+")),c"+i+",a"+i+"]", "b"+(i+1)+"=if[sgn(f(b"+i+"))==sgn(f(c"+i+")),c"+i+",b"+i+"]", "R"+i+"=(c"+i+",0)"}, i,0,n]]] viz. Obrázek 3. Podmínky viditelnosti nastavíme přidáním příkazů: Vykonat[Posloupnost["SetConditionToShowObject[A"+i+",n>="+i+"] 7. ",i,0,n]] A podobně pro body Bi,Ri a úsečky ui. Obrázek 3: Pozor na správné vložení příkazu XXIV J. Bělohlávková, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava

Workshop: Využití GeoGebry ve výuce matematiky a geometrie 3µ 2015 Poznámky Další příkazy, které by mohly být užitečné: NastavitStylBodu[<Bod>,<Číslo>] NastavitVelikostBodu[<Objekt>, <Číslo> ] NastavitBarvu[<Objekt>,"<barva>"] ZobrazitPopis[<Objekt>, <Logická hodnota> ] NastavitTloustkuCary[<Čára>,<Číslo>] NastavitStylCary[<Čára>,<Číslo>] Zdroj https://wiki.geogebra.org/en/main_page J. Bělohlávková, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava XXV

Využití GeoGebry ve výuce matematiky a geometrie 3µ 2015 Řezy rotační kuželové plochy Radomír Paláček Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB-TU Ostrava Abstrakt: Prostřednictvím vytvořeného apletu se seznámíme s řezy na rotační kuželové ploše. K jeho tvorbě využijeme 3D grafický náhled, který je v GeoGebře nově k dispozici. Aplet je možné použít také ve výuce, kde může nápomoci ke zdokonalení prostorové představivosti studentů a zlepšení pochopení dané problematiky. Řezy rotační kuželové plochy Vytvořte aplet, který bude demonstrovat řezy rotační kuželové plochy rovinou. Autor děkuje za podporu svému pracovišti.

Workshop: Využití GeoGebry ve výuce matematiky a geometrie 3µ 2015 Příklad 8: Řezy rotační kuželové plochy Zadání: Vytvořte aplet, který bude demonstrovat řezy rotační kuželové plochy rovinou. Obrázek 4: Náhled na aplet Řezem rotační kuželové plochy rovinou může být elipsa, parabola, hyperbola a další singulární kuželosečky. Označme rovinu řezu ρ. Dále označme α odchylku roviny řezu ρ od roviny libovolné povrchové kružnice kuželové plochy a β označíme odchylku povrchových přímek plochy od roviny povrchové kružnice. Dále označme V vrcholem kuželové plochy. Pokud se jedná o tzv. eliptický řez kuželové plochy, má rovina protnout všechny její površky. To nastane právě tehdy, když α < β, viz obrázek 5 a), kde je nárys dané situace. Její ohniska jsou dotykové body vepsaných sfér do kuželové plochy, které se také dotýkají roviny ρ. Je-li navíc rovina kolmá k ose této plochy (α = 0), pak je řezem kružnice jakožto speciální případ elipsy. R. Paláček, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava XXVII

3µ 2015 Workshop: Využití GeoGebry ve výuce matematiky a geometrie V případě tzv. parabolického řezu musí nastat rovnost odchylek, tedy α = β. Situace je znázorněna na obrázku 5 b). Poslední možností je tzv. hyperbolický řez a to, když α > β, obrázek 5 c). Obrázek 5: Řezy rotační kuželové plochy rovinou ρ. Na obrázku 5 jsou dále u každého řezu ještě znázorněny řezy vrcholovými rovinami ρ, které jsou rovnoběžné s rovinami ρ. Výsledkem jsou potom singulární kuželosečky: bod - vrchol kuželové plochy, přímka procházející vrcholem kuželové plochy - jedna její površka, dvě různoběžné přímky se společným bodem - vrcholem kuželové plochy. XXVIII R. Paláček, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava

Workshop: Využití GeoGebry ve výuce matematiky a geometrie 3µ 2015 Konstrukce Celou konstrukci můžeme rozdělit na dvě části. Nejprve vytvoříme ovládací prvky a rovinu řezu, poté budeme konstruovat samotný kužel. K vytvoření apletu budeme potřebovat Nákresnu a Grafický náhled 3D. Ovládací prvky budou umístěny v nákresně, kužel a rovina řezu v Grafickém náhledu 3D. 1. Řezy rotační kuželové plochy. 2. Do nákresny vložíme bod A. 3. Vytvoříme čtverec a pojmenujeme ho poly. Do vstupu zapíšeme Mnohouhelnik[A+(-2,-2), A+(-2,2), A+(2,2), A+(2,-2)]. 4. Dovnitř čtverce vložíme bod B (velikost 9, styl +). 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. V Grafickém náhledu 3D vytvoříme bod C, který vznikne tak, že přičteme k bodu (1,1,1) vektor určený body A a B. Do vstupu zapíšeme Posun[(1, 1, 1), Vektor[A, B]]. Vytvoříme mnohoúhelník v Grafickém náhledu 3D a pojmenujeme ho poly1. Do vstupu zapíšeme Mnohouhelnik[C+(-5,-5), C+(-5,5), C+(5,5), C+(5,-5)]. Vytvoříme posuvníky pro úhly α od 0 do 180 (vodorovně), β od 0 do 360 (svisle). V Grafickém náhledu 3D vytvoříme rotací mnohoúhelníku poly1 okolo osy x o úhel α mnohoúhelník poly2. Do vstupu zapíšeme Rotace[poly1, α, OsaX]. (Rovinu poly1 dáme nezobrazovat). V Grafickém náhledu 3D vytvoříme rotací mnohoúhelníku poly2 okolo osy z o úhel β mnohoúhelník poly3. Do vstupu zapíšeme Rotace[poly2, β, OsaZ]. (Rovinu poly2 dáme nezobrazovat). Vytvoříme posuvník pro posun roviny poly3 ve směru osy z h od -5 do 5 (svisle). V Grafickém náhledu 3D vytvoříme posunutím roviny poly3 o hodnotu h rovinu poly4. Do vstupu zapíšeme Posun[poly3, Vektor[(0, 0, h)]]. (Rovinu poly3 dáme nezobrazovat, popisek: $\rho$ ). Nyní přejdeme ke konstrukci samotného kužele. R. Paláček, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava XXIX

3µ 2015 Workshop: Využití GeoGebry ve výuce matematiky a geometrie 12. Vytvoříme posuvník, jehož hodnota bude definovat úhel, který bude svírat kužel s kladným směrem osy z. uhel od 0 do 90 (vodorovně, popisek: úhel kužele). 13. Do vstupu zapíšeme NekonecnyKuzel[(0, 0, 0), OsaZ, uhel]. V tomto okamžiku nás bude zajímat průnik kužele s rovinou řezu. V našem případě je rovina reprezentována mnohoúhelníkem. Bohužel, GeoGebra neumožňuje udělat průnik mnohoúhelníku s takto konstruovaným kuželem přímo, ale musíme nejdříve proložit našim mnohoúhelníkem pomocnou rovinu. 14. Do vstupu zapíšeme Rovina[poly4]. 15. Zaklikneme Průnik dvou ploch a klikneme na kužel a rovinu z bodu 14). Výsledkem bude Průniková čára k těchto objektů. GeoGebra nám v tomto případě také umožňuje vytvořit samostatné okno, které představuje rovinný pohled na průnik daných objektů. To lze udělat například tak, že v Algebraickém okně klikneme pravým tlačítkem na výsledek průniku a z nabídky vybereme Vytvořit 2D náhled z k (viz. obr. 6) Obrázek 6: Náhled na nabídku průnikové čáry. XXX R. Paláček, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava

Workshop: Využití GeoGebry ve výuce matematiky a geometrie 3µ 2015 Do nově vytvořeného okna umístíme texty, které budou slovně charakterizovat vzniklé řezy kužele a roviny ρ. Do nákresny umístíme přes sebe následující texty a nastavíme u každého z nich podmínky pro zobrazení objektu: Kružnice podmínky: (α = 0 ) (α = 180 ), 16. Elipsa podmínky: (0 < α < 90 -uhel) (90 +uhel< α < 180 ), Parabola podmínky: (α = 90 -uhel) (α = 90 +uhel), Hyperbola podmínky: 90 -uhel< α < 90 +uhel. Dále, ve vlastnostech všech textů, v záložce Pro pokročilé, v kolonce Umístění musí být zatrhnuto Extra Views. Zdroj 1. http://www.karlin.mff.cuni.cz/katedry/kdm/diplomky/vera.setmanukova.dp/?page=qdvk& pqdv=1 R. Paláček, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava XXXI

Využití GeoGebry ve výuce matematiky a geometrie 3µ 2015 GeoGebra 3D v deskriptivní geometrii Radka Hamříková, Dagmar Dlouhá Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava Abstrakt: Pro zájemce jsme připravily 2 jednoduché úlohy jak začít ve 3D GeoGebře. Konstrukce tečné roviny kulové plochy ve 3D Geogebře. Motivační úloha: ukázat studentům princip konstrukce úlohy, kterou dále řešíme v kótovaném promítání nebo v Mongeově projekci. Autorky děkují za podporu svému pracovišti.

Workshop: Využití GeoGebry ve výuce matematiky a geometrie 3µ 2015 Příklad 9: Tečná rovina Zadání: Je dána kulová plocha středem S = (0, 3.5, 5) a poloměrem r = 3cm. V bodě T = (2, 2,?) sestrojte tečnou rovinu. Po spuštění programu si vybereme z nabídky 3D grafika. Konstrukce 1. 2. 3. střed kulové plochy, zadáme v souřadnicích do příkazového řádku S = (0, 3.5, 5) zvolíme tlačítko,koule středem a poloměrem, klikneme na bod S a zadáme poloměr 3 zadáme půdorys bodu T, např. Q = (2, 2, 0) (ideálně napsat do příkazového řádku) 4. bodem Q vedeme přímku b kolmo k půdorysně 5. najdeme průsečíky přímky b a kulové plochy - přejmenujeme je na T a T 6. spojíme střed S s bodem T a pak S s bodem T 7. tečná rovina v bodě T je kolmá k ST, tečná rovina v bodě T je kolmá k ST R. Hamříková, D. Dlouhá, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava XXXIII

3µ 2015 Workshop: Využití GeoGebry ve výuce matematiky a geometrie Ukázka otáčení roviny do průmětny ve 3D Geogebře. Motivační úloha: ukážeme studentům princip otáčení, dále ho můžeme využít v kótovaném promítání nebo v Mongeově projekci. Přidáme si nová tlačítka do nabídky okna 3D grafika: nástroje - nastavit panel nástrojů - grafický náhled 3D kolmice - vložit - použít posuvník - vložit - použít XXXIV R. Hamříková, D. Dlouhá, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava

Workshop: Využití GeoGebry ve výuce matematiky a geometrie 3µ 2015 Příklad 10: Otočení bodu do průmětny Zadání: Je dána rovina α body A = (4, 0, 0), B = (0, 3, 0), C = (0, 0, 2). Otočte bod C do průmětny. Po spuštění programu si vybereme z nabídky 3D grafika. Dále si přidáme nákresnu - zobrazit - nákresna. Konstrukce 1. rovina je dána třemi body, zadáme v souřadnicích do příkazového řádku A = (4, 0, 0), B = (0, 3, 0), C = (0, 0, 2) 2. zvolíme tlačítko,rovina třemi body a klikneme postupně na body A, B, C 3. najdeme stopu roviny jako průsečnici zadané roviny a půdorysny, přímku přejmenujeme na p 4. vedeme spádovou přímku s bodem C kolmo ke stopě p 5. najdeme stopník spádové přímky jako průsečík stopy a spádové přímky - střed otáčení R. Hamříková, D. Dlouhá, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava XXXV

3µ 2015 Workshop: Využití GeoGebry ve výuce matematiky a geometrie 6. nakreslíme kružnici, která prochází bodem C a její osa je stopa roviny p 7. průsečíky kružnice z bodu 6 a průmětny D, E odpovídají otočenému bodu C 8. spojíme body D, E a dostaneme přímku d 9. změříme úhel mezi přímkami s a d α = 39, 81 a dopočítáme si úhel β = 180 39, 81 = 140, 19 10. posuvník β v rozmezí 0 140, 19 11. rotuje bod C o úhel β, u bodu zatrhneme,stopa zapnuta Vyzkoušejte si: Sestrojte v rovině α čtverec nad úhlopříčkou BC. Najděte jeho půdorys. XXXVI R. Hamříková, D. Dlouhá, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava

Obsah První pohled na 3D v GeoGebře............................... IV Příklad 1: Schodiště.................................... V 3D GeoGebra ve výuce Matematiky II........................... IX Příklad 2: Rotační těleso................................. X Příklad 3: Tečná rovina.................................. XIII Numerická integrace..................................... XVI Příklad 4: Numerická integrace lichoběžníkovým pravidlem............. XVII Příklad 5: Numerická integrace složeným lichoběžníkovým pravidlem....... XVIII Cyklus for a iterace v GeoGebře.............................. XXI Příklad 6: Seznámení s příkazy............................. XXII Příklad 7: Regula-falsi................................... XXIII Řezy rotační kuželové plochy................................ XXVI Příklad 8: Řezy rotační kuželové plochy........................xxvii GeoGebra 3D v deskriptivní geometrii...........................xxxii Příklad 9: Tečná rovina..................................xxxiii Příklad 10: Otočení bodu do průmětny.........................xxxiv XXXVII