Vzoový pojekt do MF Gvitˇcní pˇithování sáˇzk dvou tˇeles Alois Ntvdlý, OFMF. oˇcník, lois.ntvdly@upol.cz. dubn 206. Fomulce poblému Dvˇe tˇeles o hmotnostech m = kg se ncházejí ve vzdálenosti = km od sebe ve volném postou gvitˇcnˇe n sebe působí. Z jk dlouho se szí? Jkou ychlostí se szí? Jk vypdá půbˇeh pohybu? Z jk dlouho se zkátí vzdálenost mezi tˇelesy n polovinu? 2. Řešení (nlýz, teoie, numeik) Anlýz poblému Obˇe tˇeles se vzájemnˇe gvitˇcnˇe pˇithují nkonec se szí ve spoleˇcném tˇeˇzišti. Rychlost sáˇzky bude záviset n ozmˇeu tˇeles, pˇi mlých ozmˇeech objektů pooste teoeticky do nekoneˇcn, coˇz bude uˇcitˇe dˇelt poblémy pˇi numeickém i nlytickém ˇešení. Pohyb pobíhá po spojnici obou tˇeles, tˇeˇzištˇe soustvy tˇeles leˇzí upostˇed mezi obˇem tˇelesy. Zvedeme souˇdnou soustvu tˇeˇzištˇem soustvy tˇeles, díky symetii poblému je pohyb jednoho tˇeles x(t) duhého x(t), kdex(t) je popsáno Newtonovou pohybovou ovnicí mẍ= κ m2 4x 2, nebo, t ktuální vzdálenost obou tˇeles je2x. Poˇcáteˇcní podmínky jsoux(0)= 2 ẋ(0)=0. Pokud zvedeme dˇeji vzdálenost mezi tˇelesy =2x, nbude ovnice po(t) tvu = 2κm 2 () poˇcáteˇcní podmínky budou(0)= ȧ(0)=0. Musíme tedy vyˇešit n pvní pohled zdánlivˇe jednoduchou difeenciální ovnici (). Anlytické ˇešení ovnice () je, jk uvidíme dále, docel komplikovné, ovnice () je le vhodná k numeické integci. Kvlittivní odhd Pohyb je zpoˇcátku velmi pomlý zbee tedy nejvˇetší ˇcást z doby pádu, pvní odhd doby pádu dostneme z pˇedpokldu stálého zychlení 0 = 2κm 2,
odtud je dob pádu T 0 2 000 0 κm 2 let. 6.67 0 Pohyb se ve skuteˇcnosti uychluje, jk oste pˇitˇzlivá síl vlivem pˇibliˇzování tˇeles, můˇzeme poto oˇcekávt skuteˇcnou dobu pádu ktší T < 2 let. Odhdneme ještˇe ychlost sáˇzky pomocí zákon zchování enegie 2 mv2 0+ 2 mv2 0 κ m2 2 0 = κ m2. (2) Pˇedpokládejme sféický tv tˇeles o polomˇeu 0, ze zákon zchování enegie (2) vyjde ychlost sáˇzkyv 0 v 0 = κm κm, 2 0 2 0 nebo, t ozmˇe tˇeles je mnohem menší neˇz poˇcáteˇcní vzdálenost tˇeles. Pokud budou obˇe tˇeles npˇíkld z oceli o hustotˇeρ 7800kg/m, bude jejich polomˇe oven / m 0.cm. 4πρ Po ychlost sáˇzky ocelových koulí tk máme odhd v 0 = κm 6.67 0. 0 5 m/s. 2 0 2 0.0 Vidíme, ˇze temín sáˇzk tu si není tk docel n místˇe pˇi ychlosti setkání v ˇádu desítek mikometů z sekundu. Numeické ˇešení Po numeické ˇešení je vhodné ovnici pˇeškálovt do bezozmˇených veliˇcin kde ρ= τ = t T 0, T 0 = je náš pvní odhd doby pádu. Pˇi zmˇenˇe zdání nemusíme ˇešit celou numeiku znov, le stˇcí upvitt 0. Z pohybové ovnice () tk dostneme bezozmˇenou difeenciální ovnici κm d 2 ρ dτ 2 = 2 ρ 2
spolu s poˇcáteˇcními podmínkmiρ(0)= ρ(0)=0. Elementání numeické ˇešení (explicitní Euleov metod) spoˇcívá v ozdˇelení integˇcního ˇcsu τ n dobné díly τ v postupném výpoˇctu ychlosti v n+ polohyρ n+ v novém ˇcseτ n+ =τ n + τ z ychlostiv n polohy n v dˇívˇejším ˇcseτ n. Z definice ychlosti máme pvní potˇebnou ovnici z pohybového zákon duhou ρ n+ =ρ n +v n τ () v n+ =v n + n τ =v n 2 ρ 2 τ. (4) n Potoˇze známe poˇcáteˇcní hodnoty ρ 0 = v 0 = 0, můˇzeme pomocí iteˇcních vzoců () (4) vypoˇcístρ v, z nichρ 2 v 2 td. Výpoˇcet musíme zstvit pˇi dosˇzení ρ = 0. Jko dobý test pˇesnosti výpoˇctu slouˇzí zákon zchování enegie, kteá je dán pˇedpisem E= 2 v2 2. Pˇi dostteˇcnˇe pˇesném výpoˇctu by se hodnot E n numeicky vypoˇctené enegie soustvy nemˇel pˇíliš lišit od teoetické hodnoty E = 2. Numeické výsledky po kok τ = 0.0 sovnání s pˇesným ˇešením vpvo uvádí tbulk. t _num v_num E_num v E 0.0000 0-2.0000.0000 0-2.0000 0.0500 0.9970-0.002-2.000 0.9975-0.002-2.0000 0.000 0.9890-0.20-2.002 0.9900-0.20-2.0000 0.500 0.9758-0.046-2.002 0.977-0.046-2.0000 0.2000 0.9574-0.4-2.0045 0.9595-0.42-2.0000 0.2500 0.95-0.522-2.0060 0.96-0.5224-2.0000 0.000 0.909-0.6400-2.0078 0.907-0.6400-2.0000 0.500 0.8682-0.7662-2.002 0.8720-0.766-2.0000 0.4000 0.8258-0.9042-2.02 0.80-0.9042-2.0000 0.4500 0.7760 -.0580-2.075 0.78 -.058-2.0000 0.5000 0.779 -.244-2.029 0.724 -.246-2.0000 0.5500 0.650 -.449-2.04 0.657 -.444-2.0000 0.6000 0.570 -.7057-2.0522 0.5788 -.706-2.0000 0.6500 0.4749-2.0595-2.0906 0.4852-2.0602-2.0000 0.7000 0.566-2.602-2.2020 0.696-2.68-2.0000 0.7500 0.949 -.8228-2.9566 0.240 -.80-2.0000 0.7800 0.0266-7.2569-48.949 0.062-7.700-2.0000
Z tbulky vidíme, ˇze bezozmˇená dob pádu jeτ 0 0.78, odtud máme skuteˇcnou dobu pádut 0 = T 0 τ 0 2 0.78 96 let. Pokud zkátíme kok ( podlouˇzíme výpoˇcet) stokát, bude τ = 0.000 dob pádu τ 0 = 0.785. Jk ukáˇzeme dále, pˇesné nlytické ˇešení je τ 0 = π/4 0.7854, tedy numeická metod dává spávný výsledek n 4 pltná míst. Numeické výsledky po kok τ = 0.000 sovnání s pˇesným ˇešením vpvo uvádí tbulk. t _num v_num E_num v E 0.0000 0-2.0000.0000 0-2.0000 0.0500 0.9975-0.002-2.0000 0.9975-0.002-2.0000 0.000 0.9900-0.20-2.0000 0.9900-0.20-2.0000 0.500 0.977-0.046-2.0000 0.977-0.046-2.0000 0.2000 0.9594-0.42-2.0000 0.9595-0.42-2.0000 0.2500 0.96-0.5224-2.000 0.96-0.5224-2.0000 0.000 0.907-0.6400-2.000 0.907-0.6400-2.0000 0.500 0.879-0.766-2.000 0.8720-0.766-2.0000 0.4000 0.802-0.9042-2.000 0.80-0.9042-2.0000 0.4500 0.782 -.058-2.0002 0.78 -.058-2.0000 0.5000 0.7240 -.246-2.0002 0.724 -.246-2.0000 0.5500 0.6572 -.444-2.000 0.657 -.444-2.0000 0.6000 0.5787 -.706-2.0005 0.5788 -.706-2.0000 0.6500 0.485-2.0602-2.0009 0.4852-2.0602-2.0000 0.7000 0.695-2.68-2.009 0.696-2.68-2.0000 0.7500 0.28 -.80-2.0084 0.240 -.80-2.0000 0.785 0.0029-29.786-250.2074 0.0044-0.0080-2.0000 Anlytické ˇešení Po nlytické ˇešení je vhodnˇejší zˇcít ovnou se zákonem zchování enegie esp. po tnsfomcix =2x E= 2 mẋ2 + 2 mẋ2 κ m2 2x = κm2, ṙ 2 =4κm. Odtud máme difeenciální ovnici pvního ˇádu d dt = 4κm,
kde jsme zvolili znménko minus s ohledem n skuteˇcnost, ˇze vzdálenost obou tˇeles s ˇcsem t klesá. Sepcí pomˇenných dostneme ovnici 4κm d= t. Integál vlevo vyˇešíme npˇíkld substitucí=cos 2 u, tk dostneme ccos d=2 cos 2 udu. 0 Integál vpvo jiˇz sndno vypoˇcteme, kdyˇz si uvˇedomíme goniometickou identitu cos 2 u= 2 (+cos2u), integce pk dává cos 2 udu= 2 cosusinu+ 2 u, tkˇze výsledek nší integce zní d= +ccos. Odtud máme nlytické ˇešení (t) ve tvu implicitní funkce 4κm +ccos = t, po exktní dobu pádu do sáˇzky=0 odtud máme výsledek t 0 = π 2 4κm = π2 6κm = π 2 000 96.42 let. (5) 6 6.67 0 Dob pádu do poloviˇcní vzdálenosti= 2 je t /2 = 2+π 4 4κm = 2+π 2π t 0 0.88t 0 78.9 let,. Závˇe Sestvili jsme pohybové ovnice zákon zchování po pdjící tˇeles. Vypoˇcetli jsme půbˇeh pádu numeicky pomocí Euleovy metody s kokem 0.0 0.000 ukázli, ˇze pˇesnost numeických výsledků se se zmenšujícím se kokem τ zlepšuje. Z pˇipojených výsledků je tké vidˇet, ˇze chyb Euleovy integˇcní metody n
kˇzdém koku je ˇádu τ 2 kumulovná chyb vypoˇctených dt oste zhub jko τ τ. Vypoˇcetli jsme půbˇeh pádu tké nlyticky. Obˇem metodmi nám vyšlo, ˇze pád tˇeles tvá zhub 96 let, z toho pvní polovin pádu tvá si 79 let. Z ozmˇeové nlýzy je ptné, ˇze pokud bychom zmˇenili hmotnostimtˇeles nebo jejich poˇcáteˇcní vzdálenost, dob pádut 0 pooste úmˇenˇe veliˇcinˇe /m. Poto npˇíkld, kdyby byl poˇcáteˇcní vzdálenost tˇeles =m, szí se jiˇz z000 /2 kát ktší dobu, tj. zhub z27 hodin. Dále jsme ukázli, ˇze ychlost sáˇzky tˇeles je velmi mlá, typicky v ˇádu desítek mikometů z sekundu. Numeický výpoˇcet by bylo moˇzno povést pohodlnˇeji pˇesnˇeji tké pomocí speciálních zbudovných funkcí MATLABu (npˇ. pomocí integˇcní poceduy ode45). Koneˇcnˇe, pˇesnou dobu pádu, tj. vzoec (5), je moˇzno nlézt elementánˇe tké pomocí. Kepleov zákon [] T 2 = κ(m +m 2 ) 4π 2. Potoˇze tjektoii pádu kˇzdého z tˇeles lze chápt jko nekoneˇcnˇe úzkou elipsu, dosdíme do Kepleov zákon zm =m 2 m, z poloosueltivního pohybu polovinu nší poˇcáteˇcní vzdálenosti tˇeles, tedy 2 z peiodu pohybu T dvojnásobek nší doby pádu, tedyt 2t 0. Litetu [] J. Bje: Mechnik 2, chlup.net Olomouc 2008, st. 452 Zdojovy kod pogmu po MATLAB % szk dvou teles - vzoovy pojekt do MF dt=0.0; =;v=0;t=0; % kok % poctecni podminky t_vek=t; _vek=; v_vek=v; while >0 t=t+dt; =-2/^2; v=v+*dt; % integcni smyck % modifikovn Euleov metod
=+v*dt; % spvne mji byt dky po v pohozeny t_vek=[t_vek;t]; v_vek=[v_vek;v]; _vek=[_vek;]; end t_vek(end)=[]; % vymzt posledni udje v_vek(end)=[]; _vek(end)=[]; dob_pdu=t_vek(end) figue();plot(t_vek,_vek);title( (t) ) figue(2);plot(t_vek,v_vek.^2/2-2./_vek);title( Zkon zchovni enegie )