Stručný průvodce konečněrozměrnou kvantovou mechanikou České vysoké učení technické v Praze Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská Úvod do kryptologie 6. 5. 2010
Program 1 Od klasické mechaniky k mechanice kvantové 2 3
Program 1 Od klasické mechaniky k mechanice kvantové 2 3
Stavy systému Klasická mechanika Stavovým prostorem je konfigurační nebo fázový prostor. Stav systému je určen hodnotou všech poloh a rychlostí (hybností).
Stavy systému Klasická mechanika Stavovým prostorem je konfigurační nebo fázový prostor. Stav systému je určen hodnotou všech poloh a rychlostí (hybností). Kvantová mechanika Stavový prostorem je komplexní Hilbertův prostor H. Stavu systému odpovídá paprsek tj. jednorozměrný podprostor v H. Charakterizujeme ho jako třídu ekvivalence obyčejně jednotkovým vektorem.
Pozorovatelné (veličiny) Klasická mechanika Pozorovatelné veličiny jsou reprezentovány funkcemi na stavovém prostoru.
Pozorovatelné (veličiny) Klasická mechanika Pozorovatelné veličiny jsou reprezentovány funkcemi na stavovém prostoru. Kvantová mechanika Každé pozorovatelné přísluší jeden samosdružený lineární operátor na H.
Realizace měření Mějme pozorovatelnou A a stav ϕ. 1 Naměřit lze pouze čísla λ σ(a) R.
Realizace měření Mějme pozorovatelnou A a stav ϕ. 1 Naměřit lze pouze čísla λ σ(a) R. 2 Číslo λ naměříme s pravděpodobností P(ϕ, λ) = (ϕ, E λ ϕ) = E λ ϕ 2 < 0, 1 >.
Realizace měření Mějme pozorovatelnou A a stav ϕ. 1 Naměřit lze pouze čísla λ σ(a) R. 2 Číslo λ naměříme s pravděpodobností P(ϕ, λ) = (ϕ, E λ ϕ) = E λ ϕ 2 < 0, 1 >. 3 Stav ϕ po naměření přejde na stav ψ = E λϕ E λ ϕ.
Realizace měření Mějme pozorovatelnou A a stav ϕ. 1 Naměřit lze pouze čísla λ σ(a) R. 2 Číslo λ naměříme s pravděpodobností P(ϕ, λ) = (ϕ, E λ ϕ) = E λ ϕ 2 < 0, 1 >. 3 Stav ϕ po naměření přejde na stav 4 Střední hodnota < A > ϕ = ψ = λ σ(a) E λϕ E λ ϕ. λ (ϕ, E λ ϕ) = (ϕ, Aϕ).
Příklad 1 Mějme stav ϕ = ( ) 3 a pozorovatelnou A = 4 ( ) 1 i. i 1
Příklad 1 Mějme stav ϕ = ( ) 3 a pozorovatelnou A = 4 ( ) 1 i. i 1 Jaká je střední hodnota < A > ϕ? Jaká je pravděpodobnost, že naměříme 0?
Příklad 1 Mějme stav ϕ = ( ) 3 a pozorovatelnou A = 4 ( ) 1 i. i 1 Jaká je střední hodnota < A > ϕ? Jaká je pravděpodobnost, že naměříme 0? ( ) Nápověda 1: Vlastní vektory jsou ϕ 0 = 1 i 2 a 1 ( ) ϕ 2 = 1 1 2. i
Příklad 1 Mějme stav ϕ = ( ) 3 a pozorovatelnou A = 4 ( ) 1 i. i 1 Jaká je střední hodnota < A > ϕ? Jaká je pravděpodobnost, že naměříme 0? ( ) Nápověda 1: Vlastní vektory jsou ϕ 0 = 1 i 2 a 1 ( ) ϕ 2 = 1 1 2. i Nápověda 2: (ϕ, E 0 ϕ) = (ϕ, (ϕ 0, ϕ)ϕ 0 ) = (ϕ, ϕ 0 ) 2.
Příklad 1 Mějme stav ϕ = ( ) 3 a pozorovatelnou A = 4 ( ) 1 i. i 1 Jaká je střední hodnota < A > ϕ? Jaká je pravděpodobnost, že naměříme 0? ( ) Nápověda 1: Vlastní vektory jsou ϕ 0 = 1 i 2 a 1 ( ) ϕ 2 = 1 1 2. i Nápověda 2: (ϕ, E 0 ϕ) = (ϕ, (ϕ 0, ϕ)ϕ 0 ) = (ϕ, ϕ 0 ) 2. Výsledek: < A > ϕ = 1 a P(ϕ, 1) = 1 2.
Kompatibilní pozorovatelné Mějme nyní pozorovatelné A 1 a A 2. Kdy neovlivní měření A 1 výsledek měření A 2?
Kompatibilní pozorovatelné Mějme nyní pozorovatelné A 1 a A 2. Kdy neovlivní měření A 1 výsledek měření A 2? Stav ϕ po naměření A i přejde na stav ψ = E (A i ) λ ϕ E (A i ) λ ϕ.
Kompatibilní pozorovatelné Mějme nyní pozorovatelné A 1 a A 2. Kdy neovlivní měření A 1 výsledek měření A 2? Stav ϕ po naměření A i přejde na stav ψ = E (A i ) λ ϕ E (A i ) λ ϕ. Musí být jedno, v jakém pořadí je měřím. [E (A 1) t, E (A 2) t ] = 0 [A 1, A 2 ] = 0.
Program 1 Od klasické mechaniky k mechanice kvantové 2 3
Definice Máme-li vektor, charakterizovaný vlastností k zapisujeme ho k a říkáme mu ket. Pomocí tohoto vektoru a skalárního součinu zkonstruujeme funkcionál (bra) k. Teď dává smysl bra-ket. k l := ( k, l ).
Bra-ketová gymnastika S bra-kety lze snadno pracovat, aniž člověk musí příliš přemýšlet, co dělá. Projektor na { ϕ } lin : Relace úplnosti pro bázi { n }: E ϕ = ϕ ϕ. 1 = n n. n=1
Stavový prostor více částic Mějme 2 částice, každá se stavovým prostorem H i. Stavový prostor systému dvou částic je H 1 H 2. Vektory jsou lineární kombinací objektů ϕ 1 ψ 2 =: ϕ 1 ψ 2 = ϕ, ψ
Program 1 Od klasické mechaniky k mechanice kvantové 2 3
Pauliho matice σ 1 := Vlastnosti: ( ) 0 1, σ 1 0 2 := ( ) 0 i i 0 1 σ j = σ j, det σ j = 1 a Tr σ j = 0. 2 Spolu s 1 tvoří bázi C 2. a σ 3 := ( ) 1 0. 0 1 3 σ j σ k = δ jk 1 + iɛ jkl σ l. 4 [ 1 2 σ j, 1 ] 2 σ 1 k = iɛ jkl 2 σ l
Měření spinu Mám-li elektron, a zajímá-li mě pouze jeho spin, je pro mě důležitý H = C 2. Měříme projekci spinu ( ± 1 2) do jedné z os (nejčastěji osa z = x 3 ) pomocí operátorů S i. S i = 1 2 σ i. S i nejsou kompatibilní pozorovatelné, protože [S j, S k ] = iɛ jkl S l.
Entanglement Mějme dvoučásticový stav ψ = 1 2 ( 1 0 0 1 ).
Entanglement Mějme dvoučásticový stav ψ = 1 2 ( 1 0 0 1 ). Změřme spin na první částici. A naměřme třeba + 1 2. Jak se změní stav ψ? ( ( ψ E + 1 1 ) ψ = 2 ( ) = 1 1 1 0 Do tohoto stavu přejde systém okamžitě! 1 1 1 ) ( 1 0 0 1 ) ( ) 1 1 0 1 = 1 0.
Entanglement Mějme dvoučásticový stav ψ = 1 2 ( 1 0 0 1 ). Změřme spin na první částici. A naměřme třeba + 1 2. Jak se změní stav ψ? ( ( ψ E + 1 1 ) ψ = 2 ( ) = 1 1 1 0 Do tohoto stavu přejde systém okamžitě! 1 1 1 ) ( 1 0 0 1 ) ( ) 1 1 0 1 = 1 0. Pokud se nyní pokusíme měřit spin na druhé částici, 100% naměříme spin 1 2.
No-clone teorém Ve kvantové mechanice nejde naklonovat částici.
No-clone teorém Ve kvantové mechanice nejde naklonovat částici. Neexistuje lineární operátor U s vlastností a, X H U( a X ) = a a.
No-clone teorém Ve kvantové mechanice nejde naklonovat částici. Neexistuje lineární operátor U s vlastností a, X H U( a X ) = a a. Selže to kvůli linearitě U.
Děkuji za pozornost.