rozumíme obdélníkovou tabulku
|
|
- Hynek Kovář
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Přednáška : Matice Matice poskytují velmi účinný způsob jak úsporně zapisovat mnoho lineárních problémů. Navíc je tento způsob velmi vhodný pro jejich zadání do počítačových programů, které dokáží tyto problémy řešit mnohem rychleji než člověk..1. Definice Maticí A typu ( r s) rozumíme obdélníkovou tabulku a11 a1 a13 a1s a1 a a3 as A = ar1 ar ar3 ars utvořenou z libovolných r s reálných (či v případě potřeby komplexních) čísel uspořádaných do r řádků a s sloupců. Čísla a, kde i { 1,, r} a j { 1,, s}, nazýváme prvky matice. Jelikož prvek a leží na průsečíku i -tého řádku a j -tého sloupce, nazýváme číslo i (první index) řádkovým indexem a číslo j (druhý index) sloupcovým indexem. Obrázek.1: Sloupcové a řádkové indexy v matici.. Poznámky. (i) Matice označujeme velkými písmeny, jejich prvky odpovídajícími malými písmeny, B = b mn. (ii) Zpočátku se uvažovaly pouze čtvercové matice (řádu r ), tedy matice se stejným počtem řádků jako sloupců, kde r = s. Zejména pro tyto matice často počítáme s její hlavní diagonálou, vektorem ( a11, a,, arr ) a1 r, a, r 1, a3, r,, ar1. tedy A ( a ) =, ( ), a vedlejší diagonálou ( ) Matici, která má všechny prvky neležící na hlavní diagonále nulové, tedy a = 0 pro i j, nazýváme diagonální. (iii) Matici, která má pouze jeden řádek, tedy matici typu (1 s), nazýváme řádkovým vektorem, a tedy můžeme každý řádek matice A chápat jako s -rozměrný vektor. Podobně matici, která má pouze jeden sloupec, tedy matici typu ( r 1), nazýváme sloupcovým vektorem, a proto také každý sloupec matice A můžeme chápat jako r -rozměrný vektor. 1
2 Historická poznámka. Prvním dokladem použití maticových metod je návod k řešení soustavy rovnic ve staročínském textu označovaném jako Devět kapitol (Jiu zhang suan shu), který pochází pravděpodobně z 1. století našeho letopočtu. Chceme-li například vyřešit soustavu dvou rovnic o dvou neznámých, x + y = 7, x y =, můžeme tuto soustavu kompaktně zapsat pomocí matice (viz čtvrtá přednáška, Definice 4.1) V evropské matematické tradici je ale pojem matic mnohem mladší, vyvinul se až velmi pozdě při formalizování teorie determinantů (Cayley, 1858), zato však jeho použití je mnohem širší. Krom soustav lineárních rovnic a teorie determinantů se matice využívají zejména v teorii kvadratických forem, lineárních transformací, operátorové algebře či při v teorii diferenciálních rovnic. Aplikace těchto teorií se nakonec prosadily snad v každém odvětví moderní fyziky, zejména v kvantové teorii, která si vynutila rychlé osvojení maticových metod v roce 196. Za přetí maticových metod v inženýrství vděčíme zejména vhodnosti maticové formulace úloh pro řešení pomocí počítačů, což souvisí s rozšířením počítačů po druhé světové válce..3. Příklady Začneme s několika význačnými maticemi: 1. Nulovou maticí rozumíme matici libovolného typu (značíme ji vždy O ), která má všechny prvky nulové, O = 0 0, O =, atp Jednotkovou maticí rozumíme libovolnou diagonální čtvercovou matici E n, která má všechny prvky na hlavní diagonále rovny jedné, platí tedy 1 pro i = j, e = 0 pro i j. Například E, 0 1 0, atd. = E3 0 1 = Matici nazveme horní trojúhelníkovou, má-li pod hlavní diagonálou pouze nulové prvky, tedy je-li a = 0 vždy když je i > j. Analogicky dolní trojúhelníkovou matici poznáme podle nulových prvků nad hlavní diagonálou (tedy pro i < j ). V aplikacích se ale situace komplikuje jsou-li také některé diagonální prvky nulové. Proto zejména kvůli řešení soustav lineárních rovnic zavádíme pojem matice ve schodovitém tvaru. To je matice, ve které každý nenulový řádek začíná více nulami než ten předchozí. 1 Například matice 1 Výjimku tvoří jen první řádek, který nemusí začínat vůbec žádnými nulovými prvky, a také nulové řádky ty mají všechny prvky nulové a jsou umístěny pod všemi nenulovými řádky.
3 A = 0 3, B = 0 0 3, C = jsou sice všechny horní trojúhelníkové, ale ve schodovitém tvaru jsou pouze matice A, C. Matice C je navíc ve speciálním tvaru, který je obzvláště výhodný pro řešení soustav lineárních rovnic, nazýváme jej Gaussovým Jordanovým tvarem..4. Aplikace (i) Čtvercové matice můžeme chápat jako rovnice popisující lineární transformace, tedy známá geometrická zobrazení, například otáčení, zrcadlení nebo stejnolehlost. Speciálně čtvercové matice řádu popisují zobrazení v rovině. Například matice R cos ϕ sin ϕ = ϕ (.1) sinϕ cosϕ popisuje rotaci v rovině o úhel ϕ v matematicky kladném smyslu (proti směru hodinových ručiček). Konkrétně matice Rπ =, Rπ =, π popisují rotace v rovině o úhel ϕ =, respektive ϕ =. π K analýze vlastností těchto zobrazení se používají také algebraické metody, například se hledají tzv. vlastní čísla a vlastní vektory. Jejich výklad však přesahuje záběr tohoto textu. (ii) Velmi důležitou roli hrají matice kvantové mechanice, popisují totiž amplitudy pravděpodobnosti pro jednotlivé pozorovatelné veličiny elementárních částic. Například Pauliho matice i 1 0 σ x =, σ y =, σ z =. (.) 1 0 i popisují veličinu zvanou spin (vnitřní moment hybnosti). Přesněji řečeno, Pauliho matice popisují projekci spin elektronu 3 ve směrech uvedených os ( x, y nebo z ) ve třírozměrném prostoru. Spinu se využívá například při implementaci q-bitů v experimentech s kvantovými počítači. (iii) Matice se také využívaly ve starých šifrovacích systémech. Nejjednodušší způsob spočívá v přepsání písmen pomocí číslic (např. pořadí v abecedě), rozdělení zprávy na skupiny po n číslicích ( n -rozměrné vektory) a jejich vynásobení kódovací maticí K (vhodnou čtvercovou maticí řádu n ). Tím se dosáhne toho, že stejné písmeno je pokaždé zakódováno jiným znakem. Příjemce pak zprávu rozluští tak, že přaté vektory vynásobí 1 inverzní maticí K. Mimochodem, vzhledem k lineárnímu charakteru matic jsou tyto šifry poměrně jednoduše rozluštitelné a byly záhy nahrazeny. (iv) V teorii grafů, bioinformatice nebo chemii se používají matice k popisu vzdálenosti bodů nebo vrcholů grafu. Jde např. o matice vzdálenosti, matice sousednosti nebo matice podobností proteinů. Platí, že pro množinu n bodů potřebujeme k zaznamenání informace čtvercovou matici řádu n, tedy n čísel. Jelikož je matice symetrická (podle hlavní Je významný tím, že všechny nejlevější nenulové prvky na řádcích (nazýváme je pivoty) jsou rovny jedné, a dále jsou všechny ostatní prvky ve sloupci s pivotem (nad i pod ním) nulové. 3 1 nebo jiné elementární částice s hodnotou spinu s =. Pro tuto hodnotu spinu nabývá částice jen dva spinové stavy obvykle označované nahoru a dolů ) 3 3
4 diagonály, tedy ars čísel. = a ), stačí nám zaznamenat horní trojúhelníkovou matici, tedy 1 n( n + 1) sr Operace s maticemi Při definici základních operací se využívá toho, že řádky a sloupce matice lze chápat jako vektory. Nic nám tedy nebrání použít vektorovou definici těchto operací:.5. Definice Buďte A = ( a ) a B ( b ) = matice stejného typu ( r s) a buď k R. Součtem matic A, B rozumíme matici C = A + B, která je rovněž typu ( r s) a pro jejíž prvky platí c = a + b, pro i { 1,, r} a j { 1,, s}. Podobně k -násobkem matice A rozumíme matici D = ka, rovněž typu ( r s), pro jejíž prvky platí d k a i 1,, r j 1,, s. =, pro { } a { }.6. Příklad Pro matice A =, B = spočítejme matice A + B, A, 3A B. Platí:.7. Věta Pro každá r, s { 1,, n, } tvoří množina všech matic typu ( r s) s výše definovanými operacemi sčítání a násobení reálným číslem vektorový prostor. Značíme jej M ( R ), resp. v případě čtvercových matic ( ) n M R. Důkaz. rs 4
5 Mnohem komplikovanější situace nastává při pokusu definovat součin matic. V případě vektorů jsme součin nedefinovali, 4 takže jej nemůžeme přímo zobecnit. Proto definujeme součin matic se zřetelem na očekávané vlastnosti součinu (zejména asociativitu a distributivitu) a také použitelnost definice součinu v aplikacích..8. Definice Součinem matice A ( a ) ( ) ik = typu ( m n) s maticí B ( b jk ) C = c = A B typu ( m p), pro jejíž prvky platí = typu ( n p) je matice ik i1 1k i k in nk jk j= 1 n c = a b + a b + + a b = a b. (.3) Tedy, prvek c ik vznikne jako skalární součin i -tého řádku první matice a k -tého sloupce druhé matice..9. Příklad K zápisu násobení je výhodné použít tzv. multiplikační schéma: A =, B =, A B C které nás navádí ke správnému výběru řádku a sloupce z matic A, B. Například 0 na druhém řádku a v prvním sloupci výsledné matice C vznikla jako skalární součin druhého řádku matice A a prvního sloupce matice B, tedy ( 3) ( 1) = 0. Obrázek.: Multiplikační schéma.10. Vlastnosti Mějme dány matice A, B, C. Součin matic splňuje následující pravidla: 1. asociativní zákon ( A B) C = A ( B C) a. distributivní zákony ( A + B) C = A C + B C, C ( A + B) = C A + C B, 3. Jedničkou vzhledem k násobení je příslušná jednotková matice, tedy pro matici A = ( a ) typu ( r s) platí 4 Připomeňme, že dva způsoby násobení vektorů jsou známe již ze střední školy, a to skalární a vektorový součin. 5
6 A Es = A = Er A Dále, pro násobení nulovou maticí platí, že A O = O = O A. 4. Součinem dvou nenulových matic můžeme dostat nulovou matici (bez ohledu na typ součinitelů), např = Násobení matic není komutativní, tedy A B B A. (.4) Nejenže nemusí být oba součiny zároveň definovány, jako například pro matici A typu ( m n) a matici B typu ( n p), kde m p, ale i když oba součiny definovány jsou, nemusí souhlasit typ matic na jednotlivých stranách rovnice (.4): jsou-li matice A, B obdélníkové, řekněme A typu ( m n) a B typu ( n m), kde tedy m n, pak je na levé straně matice typu ( m m) a na pravé straně matice typu ( n n). Ale i pro čtvercové matice stejného řádu (pro které jsou obě strany nerovnosti vždy definovány) jejich součin velmi často závisí na pořadí, např. pro matice A, B z předchozího příkladu.9 platí B A = = A B. Jediným typem matic, jejichž součin je komutativní, jsou diagonální matice stejného řádu. 5 Poslední dvě vlastnosti patří mezi ty méně příjemné, přesto (nebo možná právě proto) mají velký význam v aplikacích..11. Aplikace Součin matic se podstatně využívá při studiu geometrických zobrazení. Například součin A u čtvercové matice A řádu n a sloupcového vektoru u, tedy matice typu (1 n), popisuje vektor A( u ), tedy obraz vektoru u při zobrazení A. Konkrétně např. Rπ e 1 = = = e Obrázek.3: Výpočet obrazu vektoru vynásobením matice zobrazení a sloupcového vektoru. Dále, součin matic popisuje složená zobrazení. Máme-li matice R, R ϕ ψ, popisující rotace o úhly ϕ, ψ, pak složenou rotaci o úhel ϕ + ψ popisuje matice Rϕ + ψ = Rϕ Rψ, např Rπ = = Rπ π = Rπ Rπ, + = Mimochodem, diagonální matice tvoří podprostor ve vektorovém prostoru M n ( R ). 6
7 Nakonec na základě tohoto požadavku se ustálila námi výše zvolená definice maticového násobení. Pro mnoho praktických problémů v aplikované matematice se používá tzv. LU-rozklad. Je to zápis zadané matice A jako součin A = L U, kde L je dolní trojúhelníková matice a U je horní trojúhelníková matice. Toho se využívá např. při výpočtu determinantů. Dále budeme často používat dvě tzv. unární maticové operace, tedy operace T M rs( R) M rs( R ), a to transpozici A A a maticovou inverzi A A 1, kterou ovšem definujeme až v příští přednášce..1. Definice Buď A ( a ) = matice typu ( r s). Maticí transponovanou k A rozumíme matici ( s r), a pro jejíž prvky platí T a = a ji, pro i { 1,, r} a j { 1,, s}. Tedy, transponovaná matice vznikne výměnou řádků za sloupce. T A typu.13. Věta. Pro transpozici součinu matice A ( a ) = typu ( m n) ( ) T T T A B = B A. s maticí B ( b jk ) = typu ( n p) platí Důkaz. Na obou stranách máme matici typu ( p m). Rovnost prvků snadno ověříme rozepsáním násobení pomocí rovnice (.3). Ekvivalentní řádkové úpravy matice Krom operací s celými maticemi můžeme manipulovat jen s řádky nebo sloupci matice. Při vhodných úpravách se důležité vlastnosti matice nemění, přitom můžeme matice převést na vhodnější tvar, zejména nám jde o převod matice do schodovitého nebo Gaussova Jordanova tvaru. Z nich jsou mnohé vlastnosti matice mnohem lépe patrné..14. Definice Ekvivalentní řádkovou úpravou rozumíme 1. výměnu pořadí řádků matice,. vynásobení libovolného řádku reálným číslem k 0, 3. přičtení (k některému řádku) libovolné lineární kombinace zbývajících řádků, speciálně přičtení k -násobku některého řádku k jinému řádku a 4. vynechání řádku, který je lineární kombinací ostatních řádků, speciálně vynechání řádku, který je nulový nebo stejný jako jiný řádek v matici. Matici B ve schodovitém tvaru, která vznikla ekvivalentními řádkovými úpravami matice A, nazýváme ekvivalentní s A a označujeme to A B..15. Příklad Převeďte matici A na ekvivalentní matici ve schodovitém tvaru. 7
8 A = B Poznámky Analogicky můžeme zavést ekvivalentní sloupcové úpravy: v předchozí definici se pouze slovo řádek nahradí slovem sloupec. Řádkové a sloupcové úpravy spolu souvisejí prostřednictvím transpozice, která se dá chápat jako pátá ekvivalentní úprava. Libovolnou elementární sloupcovou úpravu lze tedy získat kombinací transpozice, elementární řádkové úpravy a zpětné transpozice. Pozor je třeba dávat jen při řešení soustav lineárních rovnic, jelikož sloupcové úpravy matice soustavy mění řešení soustavy, např. výměna sloupců znamená výměnu neznámých. Hodnost matice V minulé přednášce jsem zavedli užitečný pojem lineární (ne)závislosti vektorů. Nyní si ukážeme efektivní způsob jak lineární (ne)závislost vektorů určit..17. Definice Hodností matice A rozumíme číslo h( A) = r označující maximální počet lineárně nezávislých řádků matice A..18. Příklad 1. Hodnost jednotkové matice je rovna jejímu řádu n, tedy h( En) = n.. Hodnost nulové matice je rovna nule, tedy h( O ) = 0. Ekvivalentní řádkové úpravy matice nám poskytují efektivní způsob, jak hodnost matice určit. Platí totiž:.19. Věta Hodnost matice se aplikací ekvivalentních řádkových úprav nezmění..0. Důsledek (1) Hodnost matice A je rovna počtu nenulových řádků ekvivalentní matice B A ve schodovitém tvaru. T () Hodnost matice transponované je rovna hodnosti matice původní, tedy h( A ) = h( A). (3) Pro matice A typu ( m n) je hodnost h( A) = r menší nebo rovna menšímu z čísel m, n, tedy 8
9 r min( m, n). Dodejme, že nenulovým řádkem rozumíme každý řádek, který není nulový, tedy každý řádek, který má alespoň jeden prvek různý od nuly..1. Příklady (i) Určete hodnost matice A z předchozího příkladu. Hodnost matice učíme tak, že matici A převedeme na schodovitý tvar A = 0 1 B a spočítáme nenulové řádky ekvivalentní matice B. Tedy, h( A ) = 3. (ii) Zjistěte, zda jsou vektory u = (1,,3), v = (1,1, 0), w = ( 1, 0, 0) lineárně závislé. Sestavíme z vektorů u, v a w matici, tu převedeme na schodovitý tvar a určíme její hodnost. Jelikož platí h( A ) =, jsou vektory u, v a w lineárně 9
Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace
Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi
VíceOperace s maticemi
Operace s maticemi Seminář druhý 17.10. 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice 3 Regulární matice 4 Inverzní matice Matice Definice (Matice). Reálná matice typu m n je obdélníkové schema A =
VíceOperace s maticemi. 19. února 2018
Operace s maticemi Přednáška druhá 19. února 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice (opakování) 3 Regulární matice 4 Inverzní matice 5 Determinant matice Matice Definice (Matice). Reálná matice
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
VíceLineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití)
Lineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 2. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 40 Obsah 1 Vektory
VíceMatice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n
[1] Základní pojmy [2] Matice mezi sebou sčítáme a násobíme konstantou (lineární prostor) měníme je na jiné matice eliminační metodou násobíme je mezi sebou... Matice je tabulka čísel s konečným počtem
VíceZáklady matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 2. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 20 Co nás dneska čeká... Závislé a nezávislé
VíceMatematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
VíceMatematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
VíceMaticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:
3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...
VíceMatice. Předpokládejme, že A = (a ij ) je matice typu m n: diagonálou jsou rovny nule.
Matice Definice. Maticí typu m n nazýváme obdélníkové pole, tvořené z m n reálných čísel (tzv. prvků matice), zapsaných v m řádcích a n sloupcích. Značíme např. A = (a ij ), kde i = 1,..., m, j = 1,...,
VíceLineární algebra. Matice, operace s maticemi
Lineární algebra Matice, operace s maticemi Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo
VíceMATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]
MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě
VíceLineární algebra Operace s vektory a maticemi
Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................
Více10. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo
0. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo (PEF PaA) Petr Gurka aktualizováno 9. prosince 202 Obsah Základní pojmy. Motivace.................................2 Aritmetický vektorový
VíceZáklady maticového počtu Matice, determinant, definitnost
Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Matice a vektory Matice Matice typu m n je pravoúhlé (nebo obdélníkové) schéma, které má m řádků a n
VíceÚvod do lineární algebry
Úvod do lineární algebry 1 Aritmetické vektory Definice 11 Mějme n N a utvořme kartézský součin R n R R R Každou uspořádanou n tici x 1 x 2 x, x n budeme nazývat n rozměrným aritmetickým vektorem Prvky
VíceKapitola 11: Vektory a matice 1/19
Kapitola 11: Vektory a matice 1/19 2/19 Prostor R n R n = {(x 1,..., x n ) x i R, i = 1,..., n}, n N x = (x 1,..., x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i =
VíceČíselné vektory, matice, determinanty
Číselné vektory, matice, determinanty Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny
VíceIB112 Základy matematiky
IB112 Základy matematiky Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory Jan Strejček IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 2/53 Obsah Soustava lineárních rovnic
VíceDeterminanty. Obsah. Aplikovaná matematika I. Pierre Simon de Laplace. Definice determinantu. Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu.
Determinanty Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Determinanty Definice determinantu Sarrusovo a křížové pravidlo Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu Výpočet determinantů 2 Inverzní
VíceDeterminant matice řádu 5 budeme počítat opakovaným použitím rozvoje determinantu podle vybraného řádku nebo sloupce. Aby byl náš výpočet
Řešené příklady z lineární algebry - část 2 Příklad 2.: Určete determinant matice A: A = 4 4. Řešení: Determinant matice řádu budeme počítat opakovaným použitím rozvoje determinantu podle vybraného řádku
VíceMnožinu všech matic typu m n nad tělesem T budeme označovat M m n (T ), množinu všech čtvercových matic stupně n nad T pak M n (T ).
Matice Definice 4.1 Necht (T ; +, je číselné těleso, m, n N a dále necht a ij T pro všechny indexy i = 1, 2,..., m a j = 1, 2,..., n. Potom schéma a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n... = (a ij m n a m1
Více2. ZÁKLADY MATICOVÉ ALGEGRY 2.1. ZÁKLADNÍ POJMY
2. ZÁKLADY MAICOVÉ ALGEGRY 2.1. ZÁKLADNÍ POJMY V této kapitole se dozvíte: jak je definována reálná nebo komplexní matice a co rozumíme jejím typem; co jsou to prvky matice, co vyjadřují jejich indexy
VíceHisab al-džebr val-muqabala ( Věda o redukci a vzájemném rušení ) Muhammada ibn Músá al-chvárizmího (790? - 850?, Chiva, Bagdád),
1 LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 Lineární algebra Slovo ALGEBRA pochází z arabského al-jabr, což znamená nahrazení. Toto slovo se objevilo v názvu knihy islámského matematika Hisab al-džebr val-muqabala ( Věda o redukci
VíceVI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku
VI Maticový počet VI1 Základní operace s maticemi Definice Tabulku a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n, a m1 a m2 a mn kde a ij R, i = 1,, m, j = 1,, n, nazýváme maticí typu m n Zkráceně zapisujeme (a ij i=1m
VíceKapitola 11: Vektory a matice:
Kapitola 11: Vektory a matice: Prostor R n R n = {(x 1,, x n ) x i R, i = 1,, n}, n N x = (x 1,, x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i = 1,, n : x i = y i
VíceMENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného
VíceMENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného
VíceUspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ). Čísla a 1, a 2,..., a n se nazývají složky vektoru
1 1. Lineární algebra 1.1. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Hodnost matice Aritmetické vektory Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ).
Více1 Vektorové prostory.
1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které
Více8 Matice a determinanty
M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou
VíceDEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY
DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které
VíceSoustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém
1 1.2. Soustavy lineárních rovnic Soustava lineárních rovnic Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2...
VíceSoustavy lineárních rovnic
Přednáška MATEMATIKA č 4 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel 973 442029 email:jirineubauer@unobcz 27 10 2010 Soustava lineárních rovnic Definice Soustava rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a
Více(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice)
KMA/MAT1 Přednáška a cvičení, Lineární algebra 2 Řešení soustav lineárních rovnic se čtvercovou maticí soustavy (Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) 16 a 21 října 2014 V dnešní přednášce
VíceHODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s
VíceHODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s
VíceVĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY
VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. věta Nechť M = {x 1, x 2,..., x k } je množina vektorů z vektorového prostoru
VíceCílem této kapitoly je uvedení pojmu matice a jejich speciálních typů. Čtenář se seznámí se základními vlastnostmi matic a s operacemi s maticemi
2.2. Cíle Cílem této kapitoly je uvedení pojmu matice a jejich speciálních typů. Čtenář se seznámí se základními vlastnostmi matic a s operacemi s maticemi Předpokládané znalosti Předpokladem zvládnutí
VíceČtvercové matice. Čtvercová matice je taková matice, jejíž počet řádků je roven počtu jejích sloupců
Determinant matice Čtvercové matice Čtvercová matice je taková matice, jejíž počet řádků je roven počtu jejích sloupců Determinant je zobrazení, které přiřadí každé čtvercové matici A skalár (reálné číslo).
Více2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC
.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC V této kapitole se dozvíte: jak jsou definována vlastní (charakteristická) čísla a vektory čtvercové matice; co je to charakteristická matice a charakteristický polynom
Více1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější
VíceVektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,
Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),
VíceSoustavy lineárních rovnic a determinanty
Soustavy lineárních rovnic a determinanty Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny
Vícepříkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.
Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl
Více1 Determinanty a inverzní matice
Determinanty a inverzní matice Definice Necht A = (a ij ) je matice typu (n, n), n 2 Subdeterminantem A ij matice A příslušným pozici (i, j) nazýváme determinant matice, která vznikne z A vypuštěním i-tého
VíceP 1 = P 1 1 = P 1, P 1 2 =
1 Výpočet inverzní matice Věta 1 Necht P U elementární matice vzniklá el úpravou U Pak je P U regulární Důkaz: Protože elementární úprava U je invertovatelná, existuje el úprava U, která vrací změny U
VíceSlovo ALGEBRA pochází z arabského al-jabr, což znamená nahrazení. Toto slovo se objevilo v názvu knihy
1 Lineární algebra Slovo ALGEBRA pochází z arabského al-jabr, což znamená nahrazení. Toto slovo se objevilo v názvu knihy islámského matematika Hisab al-džebr val-muqabala ( Věda o redukci a vzájemném
VíceVektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
VíceV: Pro nulový prvek o lineárního prostoru L platí vlastnosti:
Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz. Základní vlastnosti abstraktních lineárních prostorů. Lineární závislost, nezávislost, báze, souřadnice vzhledem k bázi, matice lineárního zobrazení vzhledem k bázím.skalární
VíceDrsná matematika I 5. přednáška Vektory a matice
Drsná matematika I 5. přednáška Vektory a matice Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 20. 3. 2007 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Vektory 3 Matice nad skaláry 4 Ekvivalentní úpravy matic
Více[1] Determinant. det A = 0 pro singulární matici, det A 0 pro regulární matici
[1] Determinant je číslo jistým způsobem charakterizující čtvercovou matici det A = 0 pro singulární matici, det A 0 pro regulární matici používá se při řešení lineárních soustav... a v mnoha dalších aplikacích
VíceMatematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34
Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická
VícePoznámka. V některých literaturách se pro označení vektoru také používá symbolu u.
Vektory, operace s vektory Ž3 Orientovaná úsečka Mějme dvojici bodů, (na přímce, v rovině nebo prostoru), které spojíme a vznikne tak úsečka. Pokud budeme rozlišovat, zda je spojíme od k nebo od k, říkáme,
VíceSoustavy lineárních rovnic
Soustavy lineárních rovnic Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného
Více6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet
6. Vektorový počet Budeme se pohybovat v prostoru R n, což je kartézská mocnina množiny reálných čísel R; R n = R R. Obvykle nám bude stačit omezení na případy n = 1, 2, 3; nicméně teorie je platná obecně.
VíceLineární algebra. Soustavy lineárních rovnic
Lineární algebra Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo projektu: CZ.1.07/2.2.00/28.0326
Víceoznačme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,
Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání
VícePřednáška 4: Soustavy lineárních rovnic
Přednáška 4: Soustavy lineárních rovnic Touto přednáškou vrcholí naše snažení o algebraický popis řešení praktických problémů. Většina inženýrských úloh má totiž lineární charakter (alespoň přibližně)
VíceÚlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2,
Úlohy k přednášce NMAG a : Lineární algebra a geometrie a Verze ze dne. května Toto je seznam přímočarých příkladů k přednášce. Úlohy z tohoto seznamu je nezbytně nutné umět řešit. Podobné typy úloh se
VíceVšechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat
Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních
VíceZáklady matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 3. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 21 Co nás dneska čeká... Co je to soustava lineárních
VíceMatice. a m1 a m2... a mn
Matice Nechť (R, +, ) je okruh a nechť m, n jsou přirozená čísla Matice typu m/n nad okruhem (R, +, ) vznikne, když libovolných m n prvků z R naskládáme do obdélníkového schematu o m řádcích a n sloupcích
Více12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25
12. Determinanty 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty p. 2/25 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant
Více1 Řešení soustav lineárních rovnic
1 Řešení soustav lineárních rovnic 1.1 Lineární rovnice Lineární rovnicí o n neznámých x 1,x 2,..., x n s reálnými koeficienty rozumíme rovnici ve tvaru a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, (1) kde koeficienty
VíceVybrané kapitoly z matematiky
Vybrané kapitoly z matematiky VŠB-TU Ostrava 2017-2018 Vybrané kapitoly z matematiky 2017-2018 1 / 19 Základní informace předmět: 714-0513, 5 kreditů přednáší: Radek Kučera kontakt: radek.kucera@vsb.cz,
VíceNecht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru
2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních
VíceVektory a matice. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
Vektory a matice Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu
Více7 Analytické vyjádření shodnosti
7 Analytické vyjádření shodnosti 7.1 Analytická vyjádření shodných zobrazení v E 2 Osová souměrnost Osová souměrnost O(o) podle osy o s obecnou rovnicí o : ax + by + c =0: x = x 2a (ax + by + c) a 2 +
Více7. Lineární vektorové prostory
7. Lineární vektorové prostory Tomáš Salač MÚ UK, MFF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 1 / 62 7.1 Definice a příklady Definice 7.1 Množina G s binární
Více1 Projekce a projektory
Cvičení 3 - zadání a řešení úloh Základy numerické matematiky - NMNM20 Verze z 5. října 208 Projekce a projektory Opakování ortogonální projekce Definice (Ortogonální projekce). Uvažujme V vektorový prostor
Vícea počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:
Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se
Více1 Linearní prostory nad komplexními čísly
1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)
Víceftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/
Petr Olšák Výcuc z textu Lineární algebra určeno pro promítání na přednášce Úvod do algebry http://www.olsak.net/linal.html ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/ http://math.feld.cvut.cz/skripta/ua/
Vícez textu Lineární algebra
2 Úvodní poznámky Petr Olšák Výcuc z textu Lineární algebra určeno pro promítání na přednášce Úvod do algebry http://www.olsak.net/linal.html ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/ http://math.feld.cvut.cz/skripta/ua/
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního
Více2. Lineární algebra 2A. Matice a maticové operace. 2. Lineární algebra
2 Lineární algebra 2A Matice a maticové operace 2 Lineární algebra Verze října 201 Teorie matic a determinantů představuje úvod do lineární algebry Nejrozsáhlejší aplikace mají matice a determinanty při
VíceV předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti
Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení
VíceFaculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague
Tomáš Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague 1 / 63 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 / 63 Aritmetický vektor Definition 1 Aritmetický vektor x je uspořádaná
VíceVEKTORY. Obrázek 1: Jediný vektor. Souřadnice vektoru jsou jeho průměty do souřadných os x a y u dvojrozměrného vektoru, AB = B A
VEKTORY Vektorem se rozumí množina všech orientovaných úseček, které mají stejnou velikost, směr a orientaci, což vidíme na obr. 1. Jedna konkrétní orientovaná úsečka se nazývá umístění vektoru na obr.
VíceVlastní čísla a vlastní vektory
5 Vlastní čísla a vlastní vektor Poznámka: Je-li A : V V lineární zobrazení z prostoru V do prostoru V někd se takové zobrazení nazývá lineárním operátorem, pak je přirozeným požadavkem najít takovou bázi
Více6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE
Vektorová algebra 6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE Pravoúhlé souřadnice bodu v prostoru Poloha bodu v prostoru je vzhledem ke třem osám k sobě kolmým určena třemi souřadnicemi, které tvoří uspořádanou trojici reálných
VíceMETRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY
PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme
VíceAplikovaná numerická matematika - ANM
Aplikovaná numerická matematika - ANM 3 Řešení soustav lineárních rovnic iterační metody doc Ing Róbert Lórencz, CSc České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových
VíceVEKTOROVÝ PROSTOR. Vektorový prostor V n je množina všech n-složkových vektorů spolu s operacemi sčítání, odčítání vektorů a reálný násobek vektoru.
VEKTOROVÝ PROSTOR Vektorový prostor V n je množina všech n-složkových vektorů spolu s operacemi sčítání, odčítání vektorů a reálný násobek vektoru. Soubor n-složkových vektorů je libovolná skupina vektorů,
VíceSoustavy linea rnı ch rovnic
[1] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení a) soustavy, 10, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l.
VíceVektorový prostor. d) Ke každému prvku u V n existuje tzv. opačný prvek u, pro který platí, že u + u = o (vektor u nazýváme opačný vektor k vektoru u)
Hodnost matice Vektorový prostor Vektorový prostor V n je množina všech n-složkových vektorů spolu s operacemi sčítání vektorů a reálný násobek vektoru, přičemž platí: a) V n je uzavřenou množinou vůči
VíceSymetrické a kvadratické formy
Symetrické a kvadratické formy Aplikace: klasifikace kvadrik(r 2 ) a kvadratických ploch(r 3 ), optimalizace(mpi) BI-LIN (Symetrické a kvadratické formy) 1 / 20 V celé přednášce uvažujeme číselné těleso
VíceUniverzitní licence MATLABu. Pište mail na: se žádostí o nejnovější licenci MATLABu.
Univerzitní licence MATLABu Pište mail na: operator@service.zcu.cz se žádostí o nejnovější licenci MATLABu. * násobení maticové K = L = 1 2 5 6 3 4 7 8 Příklad: M = K * L N = L * K (2,2) = (2,2) * (2,2)
VíceMatematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29
Matematika 1 11. přednáška MA1 1 Opakování 2 Determinant 3 Adjungovaná matice 4 Cramerovo pravidlo 5 Vlastní čísla a vlastní vektory matic 6 Zkouška; konzultace; výběrová matematika;... 11. přednáška (15.12.2010
Více1 Zobrazení 1 ZOBRAZENÍ 1. Zobrazení a algebraické struktury. (a) Ukažte, že zobrazení f : x
1 ZOBRAZENÍ 1 Zobrazení a algebraické struktury 1 Zobrazení Příklad 1.1. (a) Ukažte, že zobrazení f : x na otevřený interval ( 1, 1). x x +1 je bijekce množiny reálných čísel R (b) Necht a, b R, a < b.
VíceLineární algebra : Násobení matic a inverzní matice
Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice (8. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
VíceSoustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.
[1] Terminologie [2] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová matice.
VíceÚvodní informace Soustavy lineárních rovnic. 12. února 2018
Úvodní informace Soustavy lineárních rovnic Přednáška první 12. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace 2 Soustavy lineárních rovnic 3 Matice Frobeniova věta Úvodní informace Olga Majlingová : Na Okraji, místnost
Vícematiceteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést
Úlohy k zamyšlení 1. Zdůvodněte, proč třetí řádek Hornerova schématu pro vyhodnocení polynomu p v bodě c obsahuje koeficienty polynomu r, pro který platí p(x) = (x c) r(x) + p(c). 2. Dokažte, že pokud
VíceMATEMATIKA PRO PŘÍRODNÍ VĚDY LINEÁRNÍ ALGEBRA, DIFERENCIÁLNÍ POČET MPV, LADP TUL, ZS 2009/10
1 MATEMATIKA PRO PŘÍRODNÍ VĚDY LINEÁRNÍ ALGEBRA, DIFERENCIÁLNÍ POČET 2 koncepce/slides: Jan Picek přednášející: Jiří Veselý KAP, tel. 485352290, budova H konzul. hodiny: dle úmluvy e-mail: jvesely@karlin.mff.cuni.cz
VíceNALG 001 Lineární algebra a geometrie 1, zimní semestr MFF UK Doba řešení: 3 hodiny
NALG 001 Lineární algebra a geometrie 1, zimní semestr MFF UK Závěrečná zkouška verze cvičná 9.1.2013 Doba řešení: 3 hodiny Přednášející: L. Barto, J. Tůma Křestní jméno: Příjmení: Instrukce Neotvírejte
VíceKOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE
Více