9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí = f(x). Pokud má vstupní hodnota náhodný charakter, je náhodnou veličinou, bude mít i výstupní hodnota náhodný charakter. Základní úlohou je ted určit ze známého rozdělení vstupní veličin rozdělení veličin výstupní. Definujme nejprve co je transformovaná náhodná veličina. 9.1. Definice: Transformovaná náhodná veličina. Je-li X náhodná veličina a h je reálná funkce taková, že její definiční obor obsahuje obor hodnot náhodné veličin X, pak náhodnou veličinu Y, která je definována vztahem ( ) X = x Y = h(x) nazýváme transformovanou náhodnou veličinou a označujeme ji smbolem ( ) Y = h(x). Poznámka: Při definici obecných a centrálních momentů jsme vlastně použili trasformovanou náhodnou veličinu např. X 2, X k, (X E(X)) 2, a pod. Obdobně jsme při odvozování vlastností normálního rozdělení všetřovali lineární závislost Y = X + β, ted trasformovanou náhodnou veličinu. Ukázali jsme si také vlastnost střední hodnot při lineární trasformaci, totiž vzorec E(X + β) = E(X) + β. Budeme nní hledat vztah mezi rozděleními při transformaci. Budeme uvažovat nejprve diskrétní rozdělení jako zvláštní případ. 9.2. Věta: Transformace diskrétního rozdělení. Nechť má náhodná veličina X diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, p(x) = P (X = x), potom má transformovaná náhodná veličina Y = h(x) také diskrétní rozdělení a pro její distribuční funkci p platí: p () = x h 1 () p(x), R. Důkaz: První část tvrzení je zřejmá. Jestliže náhodná veličina X nabývá diskrétních hodnot z množin {x i }, pak hodnot náhodné veličin Y jsou z množin {h(x i )}. Pro pravděpodobnostní funkci p náhodné veličin Y pak platí: p () = P (Y = ) = P (h(x) = ) = P (X h 1 ()) = x h 1 () p(x), R. Vzor hodnot, ted množina h 1 () je ovšem množina všech hodnot x, pro které je = h(x), ted hodnot náhodné veličin X, které se při trasformaci pomocí funkce h trasformují do hodnot Y = h(x). T tvoří množinu diskrétních hodnot, které se navzájem vlučují a ted pravděpodobnost P (Y = ) dostaneme jako součet pravděpodobností z uvedeného vzorce. Poznámka: Výpočet pravděpodobnostní funkce provedeme ted tak, že k tabulce pravděpodobnostní funkce přidáme řádek hodnot = h(x), zjistíme, které hodnot proměnné x přejdou při trasformaci do stejné hodnot a odpovídající pravděpodobnosti p(x) sečteme. Tabulku pak přerovnáme podle velikostí proměnné. Postup si ukážeme na jednoduchém příkladě. 48
Příklad: Nechť je rozdělení náhodné veličin X dáno tabulkou Tab. 9.1. Utvořme tabulku pro rozdělení náhodné veličin Y = X 2 1. x -2-1 1 2 p(x),1,25,15,3,2 3-1 3 x -2-1 1 2 p(x),1,25,15,3,2 Tab. 9.1. Tab. 9.2. Přidáme k tabulce řádek funkčních hodnot proměnné x po transformaci = x 2 1. Dostaneme rozšířenou tabulku Tab. 9.2. Z tabulk vidíme, že náhodná veličina Y nabývá hodnot -1, a 3. Je pak: p ( 1) = P (Y = 1) = P (X 2 1 = 1) = P (X = ) = p() =, 15; p () = P (Y = ) = P (X 2 = 1) = P (X = 1 X = 1) = p( 1) + p(1) =, 55; p (3) = P (Y = 3) = P (X 2 = 4) = P (X = 2 X = 2) = p( 2) + p(2) =, 3. Pravděpodobnostní funkce p náhodné veličin Y je uvedena v tabulce Tab. 9.3. -1 3 p (),15,55,3 Tab. 9.3. Poznámka: V případě spojitého či smíšeného rozdělení provedeme výpočet distribuční funkce podle uvedeného algoritmu. Pokud je trasformovaná náhodná veličina spojitá, nalezneme z ní snadno hustotu derivováním. 9.3. Algoritmus pro transformovanou distribuční funkci. Nechť má náhodná veličina X distribuční funkci F, případně hustotu f, f(x) = F (x). Označme si G distribuční funkci, případně g, g() = G () hustotu transformované náhodnou veličin Y = h(x). Potom podle definice distribuční funkce je: G() = P (Y ) = P (h(x) ) = P (X h 1 (, ), R, kde smbolem h 1 (, ) označujeme vzor množin (,, ted množinu všech x, pro které je h(x). Tato množina je intervalem, nebo sjednocením intervalů a odpovídající pravděpodobnost zjistíme pomocí původní distribuční funkce či hustot. Budeme uvedený algoritmus ilustrovat na několika příkladech. 9.4. Příklad: Lineární transformaci Y = X +β jsme uvedli v kapitole 8 pro normální rozdělení. Zopakujme si uvedený výpočet. V souladu s uvedeným označením je G() = P (Y ) = P (X + β ) = P (X β) = P (X β ) = F ( β ) > = P (X β ) = 1 F ( β ), <. Potom pro hustotu g rozdělení náhodné veličin Y dostaneme: ( ) d g() = G d F ( β () = ) = 1 f( β ) ( ) d d 1 F ( β ) = 1 f( β ) = 1 ( ) β f. 49
9.5. Příklad: Nechť má náhodná veličina X exponenciální rozdělení Exp(; 1) s hustotou, která je určena vztah:, x <, f(x) = e x, x. Určete hustotu rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličin Y = X. Řešení: Znázorníme si na obrázku Obr. 9.1. průběh hustot f a na obrázku Obr. 9.2. vznačíme průběh trasformující funkce = x, x, ). 1 f(x), Y Y = X = Y 1 2 3 x X = 2 x, X Obr. 9.1. Obr 9.2. Z obrázku 9.1 vplývá, že náhodná veličina X nabývá hodnot z intervalu, ), neboť zde je hustota f kladná. Z obrázku 9.2 vplývá, že funkce = x zobrazuje tento interval na interval, ). To znamená, že náhodná veličina nabývá pouze hodnot z tohoto intervalu a tudíž jsou její distribuční funkce G a hustota g rovn nule pro <. Pro hodnot vpočteme hodnotu distribuční funkce G výše popsaným algoritmem. Je G() = P (Y ) = P ( X ) = P ( X 2 ) = F ( 2 ) F () = F ( 2 ),, ). Odtud dostaneme, že pro hustotu g platí vjádření: g() = G () = d d ( ) F ( 2 ) = 2f( 2 ) = 2e 2, (, ). Snadno vpočteme i hodnotu distribuční funkce F náhodné veličin X. Je, x, F (x) = 1 e x, x. Odtud plne, že G() =,, 1 e 2,. Všimneme si, že k určení hustot g nám postačilo znát hustotu f. Výpočet distribuční funkce G pomocí distribuční funkce F je prováděn pouze v smbolech a po provedení derivace vstačíme k vjádření hustot g pouze s hustotou f. 9.6. Příklad: Jestliže má náhodná veličina X normální rozdělení N(; 1), určete hustotu a distribuční funkci transformované náhodné veličin Y = X 2. Řešení: V souladu se značením v kapitole 8 označíme Φ distribuční funkci a ϕ hustou náhodné veličin X. Z průběhu funkce ϕ na obrázku Obr. 8.1 vplývá, že náhodná veličina X nabývá všech reálných hodnot. Znázorníme si na obrázku 9.3 průběh trasformující funkce Y = X 2. 5
, Y Y = X 2 g() Y = X = X = x, X 1 2 3 Obr. 9.3. Obr 9.4. Protože funkce = x 2 nabývá všech nezáporných hodnot, bude náhodná veličina Y nabývat také nezáporných hodnot. Jsou ted její distribuční funkce G a hustota g rovn nule pro zápornou hodnotu argumentu. Pro pak dostaneme: G() = P (Y ) = P (X 2 ) = P ( X ) = Φ( ) Φ( ) = 2Φ( ) 1, kdž použijeme vztahu Φ( x) = 1 Φ(x) z kapitol 8. Potom pro hustotu g náhodné veličin Y odtud dostaneme: g() = G () = d d (2Φ( ) 1) = 1 ϕ( ) = 1 2π e 2, (, ), jestliže použijeme skutečnosti z kapitol 8, ϕ(x) = 1 2π e x2 2, x R. Toto rozdělení nazýváme rozdělení χ 2 (1) o jednom stupni volnosti. Čteme chí-kvadrát a rozdělení tohoto tpu patří k nejpoužívanějším v matematické statistice. Průběh hustot je znázorněn na obrázku 9.4. 9.7. Příklad: Nechť má náhodná veličina X rovnoměrné rozdělení v intervalu (, 1). Určete rozdělení náhodné veličin Y = lnx. Řešení: Náhodná veličina X nabývá hodnot z intervalu (, 1) a transformující funkce = lnx nabývá v tomto intervalu všech kladných hodnot. Náhodná veličina Y nabývá tudíž kladných hodnot a jsou ted její distribuční funkce G a hustota g rovn nule pro záporné hodnot argumentu. Situaci si znázorníme na obrázku Obr. 9.5. Hodnot distribuční funkce pro kladný argument vpočteme popsaným způsobem. Je pak G() = P (Y ) = P ( lnx ) = P (lnx ) = P (X e ) = 1 F (e ) = 1 e, kdž použijeme výsledků o rovnoměrném rozdělení z odstavce 5.9. Hustotu g získáme přímo derivováním nebo ze vztahu g() = G () = d d ( 1 F (e ) ) = f(e ) = e, >. Opět použijeme vjádření pro hustotu rovnoměrného rozdělení z odstavce 5.9. Průběh hustot g je znázorněn na obrázku Obr. 9.6., Y Y = Y = lnx 1 g() X = e 1 x, X 1 2 3 Obr. 9.5. Obr 9.6. 51
9.8. Příklad: Náhodná veličina X má exponenciální rozdělení Exp(; 1) a náhodná veličina Y = min{x, 2}. a) Určete rozdělení náhodné veličin Y (její distribuční funkci). b) Vpočtěte střední hodnotu E(Y ), rozptl D(Y ) a směrodatnou odchlku σ(y ). Řešení: Náhodná veličina nabývá kladných hodnot. Její hustota rozdělení pravděpodobnosti f je rovna, x (, ), f(x) = e x, x, ). Distribuční funkci F určíme ze vzorce F (x) = pro x : F (x) = ; pro x > : F (x) = F () + x F (x) = x f(t) dt, x R. Je pak e t dt = + [ e t] x = 1 e x. Ted, x (, ), 1 e x, x, ). Náhodná veličina Y nabývá hodnot z intervalu (, 2. Pro její distribuční funkci G platí: (, : G() = P (Y ) = P (min{x; 2} ) = P (X ) = ; (, 2) : G() = P (Y ) = P (min{x; 2} ) = P (X ) = F () = 1 e ; 2, ) : P (Y ) = P (min{x; 2} ) = 1. Náhodná veličina Y má smíšené rozdělení a P (Y = 2) = P (X 2) = 1 F (2) = = 1 (1 e 2 ) = e 2 =, 13533. Střední hodnotu Y vpočteme takto: E(Y ) = min{x; 2}f(x) dx = 2 xe x dx + 2. 2 e x dx = [ e x ( x 1) ] 2 + 2.(1 F (2)) = 3e 2 + 1 + 2e 2 = 1 e 2 =, 86466. K výpočtu rozptlu použijeme vzorce D(X) = E(X 2 ) (E(X)) 2. Je E(Y 2 ) = 2 (min{x; 2}) 2 f(x)dx = [ ] 2 x 2 e x dx + 4.P (X 2) = e x ( x 2 2x 2) + 4.(1 F (2)) = 1e 2 + 2 + 4e 2 = 2 6e 2 = 1, 187988. Potom je D(Y ) = E(Y 2 ) E(Y ) 2 = 2 6e 2 (1 e 2 ) 2 = 2 6e 2 1+2e 2 +e 4 = 1 4e 2 +e 4 =, 47697. Pro směrodatnou odchlku dostaneme σ(y ) = D(Y ) =, 6963. 9.9. Definice: Charakteristická funkce Je-li X náhodná veličina, pak funkci ψ X reálné proměnné t, která je definována vztahem ψ X (t) = E(e jtx ), t R, nazýváme charakteristickou funkcí náhodné veličin X. 9.1. Věta: Výpočet charakteristické funkce. Charakteristickou funkci náhodné veličin vpočteme pomocí vzorce, který závisí na tpu rozdělení. 52
1. Náhodná veličina X má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p(x), pak je její charakteristická funkce rovna ψ X (t) = x R e jtx p(x), t R. 2. Náhodná veličina X má spojité rozdělení s hustotu f(x), pak je její charakteristická funkce rovna ψ X (t) = f(x)e jtx dx, t R. 3. Náhodná veličina X má smíšené rozdělení s distribuční funkcí F (x), pak je její charakteristická funkce rovna ψ X (t) = x R[F (x) F (x )]e jtx + F (x)e jtx dx, t R. 9.11. Příklad: Náhodná veličina X má diskrétní rozdělení (alternativní), kd p() = P (X = ) = 1 p, p(1) = P (X = 1) = p, < p < 1. Řešení: Podle vzorce v 1 z odstavce 9.1. je ψ X (t) = p()e jt. + p(1)e jt.1 = 1 p + pe jt, t R. 9.12. Příklad: Náhodná veličina X má spojité rovnoměrné rozdělení v intervalu (, 1). Řešení: Hustota f náhodné veličin X je rovna jedné v intervalu (, 1) a jinde je nulová. Potom podle vzorce v 2 z odstavce 9.1 je ψ X (t) = 1 e jtx dx = [ ] e jtx 1 jt = j(1 ejt ), t R, t. t 9.13. Příklad: Náhodná veličina X má exponenciální rozdělení Exp(; δ). Řešení: Náhodná veličina má kladnou hustotu f(x) = 1 δ e x δ pro x >. Podle vzorce 2 z vět 9.1 je charakteristická funkce rovna ψ X (t) = 1 e jtx e x 1 δ dx = e x(jt 1 δ ) dx = δ δ = 1 [ δ(jt 1 δ ) e x(jt 1 )] δ = 1 1 jδt. 9.14. Věta: Vlastnosti charakteristické funkce. Pro charakteristickou funkci náhodné veličin X platí: 1. Je ψ X () = 1, ψ X (t) 1, t R. 2. Funkce ψ X je spojitá v R. 3. Funkce ψ X má tolik derivací v nule, kolik má náhodná veličina momentů a je ψ (k) X () = jk E(X k ), k =, 1, 2,.... 53
4. Pro čísla, β je ψ X+β (t) = e jtβ ψ X (t), t R. 5. Jsou-li náhodné veličin X a Y nezávislé, pak je ψ X+Y (t) = ψ X (t).ψ Y (t), t R. Důkaz: Tvrzení 1 snadno vplývá ze vzorců 1-3 z odstavce 9.1. Tvrzení 2 nebudeme odvozovat, jeho důkaz není obtížný, je pouze pracný. Ke tvrzení 3 uvedeme jako příklad formální odvození vztahu pro spojité rozdělení. Je ψ X(t) = d dt a odtud po dosazení dostaneme f(x)e jtx dx = f(x)jxe jtx dx ψ X() = j xf(x) dx = je(x). Vzorec pro další moment dostaneme opětovným derivováním. Poměrně snadno ověříme možnost záměn derivování a integrace. Tvrzení 4 snadno odvodíme z vlastností střední hodnot. Je totiž ψ X+β (t) = E(e jt(x+β) ) = E(e jtβ e j(t)x ) = e jtβ ψ X (t). Tvrzení 5 vplývá z vlastnosti pro střední hodnotu součinu nezávislých veličin. Je ψ X+Y (t) = E(e jt(x+y ) ) = E(e jtx e jty ) = E(e jtx )E(e jty ) = ψ X (t)ψ Y (t). 9.15. Příklad: Náhodné veličin X i, 1 i n, jsou nezávislé a mají exponenciální rozdělení Exp(; δ). Určete charakteristickou funkci náhodné veličin T = 2nX δ. Řešení: Podle příkladu 9.13. má každá z náhodných veličin X i charakteristickou funkci ψ(t) = 1 1 jδt. Potom podle tvrzení 5 z vět 9.14 má jejich součet X = n X i charakteristickou i=1 funkci 1 ψ X = (1 jδt) n. Potom podle tvrzení 4 z vět 9.14, kde volíme = 2 δ, β = je ψ T (t) = ψ X( 2 δ t) = 1 (1 2jt) n. Poznámka: Charakteristická funkce ψ T je charakteristickou funkcí náhodné veličin, která má rozdělení χ 2 (2n). Této skutečnosti se vužívá při odhadech parametrů exponenciálního rozdělení. 54