Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta KLÁŘKÁ PRÁ neta Zgodová olné rovnoběžné promítání edoucí práce: RNr. Jan ondra, Ph.. tudijní program: Matematika tudijní obor: Matematika se zaměřením na vzdělávání, eskriptivní geometrie se zaměřením na vzdělávání 2011
ěkuji RNr. Janu ondrovi, Ph.., vedoucímu mé bakalářské práce, za konzultace a odborné vedení při vypracovávání mé bakalářské práce. Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou práci napsala samostatně a výhradně s použitím citovaných pramenů. rně, dne 2. 5. 2011 neta Zgodová
Název práce: olné rovnoběžné promítání utor: neta Zgodová Ústav matematiky a statistiky Přírodovědecké fakulty MU edoucí diplomové práce: RNr. Jan ondra,ph.. bstrakt: Tato práce je určena především studentům středních škol. Je v ní probrána jak teoretická část, ve které jsou popsány základní principy volného rovnoběžného promítání, tak část praktická, která se zabývá zobrazením základních těles v tomto promítání a aplikací volného rovnoběžného promítání ve stereometrii. Klíčová slova: volné rovnoběžné promítání, zobrazení těles, stereometrie, vzdálenosti, odchylky. Title: ree parallel projection uthor: neta Zgodová epartment of Mathematics and tatistics, aculty of cience, MU upervisor: RNr. Jan ondra,ph.. bstract: Primarily, this work is intended for high school students. It is discussed both the theoretical part which describes the basic principles of free parallel projection, and the practical part which deals with the depiction of basic solids in this projection and with application of free parallel projection in solid geometry. Keywords: free parallel projection, basic solids, solid geometry, distances, deviations.
Obsah Úvod 6 1 olné rovnoběžné promítání 7 2 Pomocné konstrukce 10 3 Zobrazení základních těles 16 3.1 Zobrazení hranatých těles...................... 17 3.2 Zobrazení rotačních těles....................... 25 4 tereometrické úlohy 30 4.1 Polohové úlohy............................ 30 4.2 Metrické úlohy vzdálenosti..................... 43 4.3 Metrické úlohy odchylky...................... 49 Závěr 54 Literatura 55 5
Úvod ílem mé bakalářské práce je seznámit čtenáře se základními principy volného rovnoběžného promítání (dále jen RP) a předvést jeho využití v praktických úlohách. První dvě kapitoly jsou zaměřeny hlavně na teorii. první kapitole je vysvětleno, co to vlastně RP je a čím je zadáno. Je zde popsáno, jak postupovat při zobrazení bodů, přímek a těles, a jsou zde vyjmenovány základní vlastnosti RP. ruhá kapitola se věnuje pomocným konstrukcím a doplňující teorii (afinita a kolineace), které budu potřebovat v následujících částech textu. těchto dvou kapitolách jsem čerpala z knih [1] až [4] a [6] až [8]. Třetí kapitola, která je jádrem této práce, se zabývá zobrazením základních těles ve RP. Kapitola je rozdělena na tyto podkapitoly: zobrazení hranatých těles (krychle, pravidelný čtyřboký a pětiboký jehlan, čtyřstěn a pravidelný šestiboký hranol) a zobrazení rotačních těles (válec, kužel a koule). e čtvrté kapitole se věnuji stereometrickým úlohám, ve kterých se RP využívá. Kapitola je rozdělena na tyto podkapitoly: polohové úlohy, metrické úlohy vzdálenosti a metrické úlohy odchylky. Na začátku každé této podkapitoly je nejprve uvedena teorie k dané problematice, za kterou následují řešené příklady. této kapitole jsem čerpala z knih [5] a [8]. U čtenáře předpokládám znalost pojmů jako jsou incidence a dělící poměr a také znalost základních vlastností elipsy (ve druhé kapitole jsou zopakované jen některé z nich). elá práce je vysázena v pdfl TXu. Obrázky jsou vytvořeny v programu eogebra. 6
Kapitola 1 olné rovnoběžné promítání Promítání: rovnoběžné (paralelní) promítací paprsky jsou navzájem rovnoběžné kolmé (ortogonální) kosoúhlé (klinogonální) středové (centrální) promítací paprsky procházejí jedním bodem olné rovnoběžné promítání K zobrazení prostorových útvarů do roviny je možné použít různých způsobů. Při řešení stereometrických úloh, kdy je důležitá hlavně názornost, se nejčastěji používá volné rovnoběžné promítání. olné rovnoběžné promítání je typem kosoúhlého promítání na pevně zvolenou svislou rovinu, ve kterém nejsou znázorněny souřadnicové osy. Zobrazení bodů a přímek: Necht je dána libovolná pevná rovina a směr s: ν = s b a p p ν.... průmětna s.... směr promítání a, b.... promítací paprsky,.... rovnoběžné průměty (obrazy) bodů, =.... samodružný bod p.... rovnoběžný průmět (obraz) přímky p odem proložíme přímku a rovnoběžnou se směrem s. Kde tato přímka protne průmětnu ν, tam je jeho obraz. tejný postup použijeme i pro bod, dostaneme bod. od leží v průmětně, je tedy samodružný a splývá se svým obrazem. Rovnoběžné promítání zachovává incidenci, tudíž obraz p přímky p prochází body,,. 7
Na tomto místě je nutno podotknout, že přímka se může promítnout také jako bod, a to v případě, kdy je daná přímka rovnoběžná se směrem promítání. Můžeme si také všimnout, že poměr úseček na téže přímce se rovnoběžným promítnutím nezmění. Je tedy : = : (rovnoběžné promítání zachovává dělící poměr). hodné a navzájem rovnoběžné úsečky, které nejsou rovnoběžné se směrem promítání, se promítají do úseček, které jsou také shodné a navzájem rovnoběžné. Zobrazení těles: Při zobrazování těles postupujeme takto: těleso umístíme tak, aby některá jeho část (stěna, hrana,... ) byla v tzv. průčelné rovině (což je každá rovina rovnoběžná s průmětnou). Úsečky kolmé k průmětně se zobrazí jako úsečky, které s obrazem vodorovných úseček svírají úhel ω a jejichž délka je závislá na parametru q (o parametrech ω a q viz. níže). Pokud ve volném rovnoběžném promítání zobrazíme krychli, dostaneme vždy jeden z těchto typů obrázků: Jedná se o: - pravý nadhled (viditelné jsou: pravá, horní a přední stěna) - levý nadhled (viditelné jsou: levá, horní a přední stěna) - pravý podhled (viditelné jsou: pravá, dolní a přední stěna) - levý podhled (viditelné jsou: levá, dolní a přední stěna) Z toho vyplývá, že volné rovnoběžné promítání není jednoznačně určeno pouze volbou parametrů ω a q, ale musí být rozhodnuto i o pohledu, kterým se na dané těleso díváme. e většině případů se používá zobrazení těles v pravém nadhledu. Jako podhled zobrazujeme některé stavební prvky, jako jsou klenby, římsy, balkony atd. Parametry volného rovnoběžného promítání: měr promítacích paprsků určujeme tak, že zvolíme úhel zkosení ω a poměr zkrácení q. Podle volby úhlu zkosení (uvedeno v kladném smyslu) dostáváme: - pro 0 < ω < 90 pravý nadhled - pro 90 < ω < 180 levý nadhled - pro 180 < ω < 270 pravý podhled - pro 270 < ω < 360 levý podhled Nejčastější volbou je ω = 45 nebo ω = 60. Poměr q je libovolné číslo, které udává, jak se změní délka úsečky kolmé k průmětně. Např. pokud bude q = 2, bude výsledná úsečka dvakrát delší. 8
Obvykle volíme q 1 (proto poměr zkrácení). Pokud totiž volíme q > 1, obrázky jsou značně zkreslené. Nejčastější volby pro q: 1 2, 2 3, 1 2 nebo 1. olné rovnoběžné promítání se používá především ve stereometrii k řešení polohových úloh a v analytické či deskriptivní geometrii k názorným obrázkům při rozboru prostorových úloh. 9
Kapitola 2 Pomocné konstrukce této kapitole se věnuji některým konstrukcím, které budu potřebovat v následujících částech textu. Jedná se o konstrukci pětiúhelníku, konstrukci hyperoskulačních kružnic elipsy, o Rytzovu konstrukci a konstrukci tečen k elipse rovnoběžných s daným směrem nebo jdoucí daným bodem. Na konci kapitoly se snažím objasnit základní principy afinity a kolineace. Konstrukce pravidelného pětiúhelníku vepsaného do kružnice k se středem : k d l K O M L Popis konstrukce. Na kružnici k zvolíme průměr KL. tředem vedeme k tomuto průměru kolmici, která zadanou kružnici k protne v bodě. třed úsečky K označme jako bod O. bodě O sestrojíme kružnici l o poloměru O, která průměr KL protne v bodě M. élka úsečky M odpovídá velikosti strany pětiúhelníku. 10
Konstrukce hyperoskulačních kružnic elipsy: l k K Popis konstrukce. lipsa je zadána hlavními a vedlejšími vrcholy, a,. ody, a doplníme bodem na obdélník. Z bodu vedeme kolmici na úhlopříčku. Kde tato kolmice protne hlavní osu, tam je bod K, kde protne osu vedlejší, tam je bod L. od K je středem hyperoskulační kružnice k o poloměru K, bod L je středem hyperoskulační kružnice l o poloměru L. L Rytzova konstrukce: K m Y k K O M X L a N b p Popis konstrukce. lipsa je zadána středem a sdruženými průměry KL a MN. Jako první sestrojíme bodem kolmici k průměru KL, na kterou naneseme délku úsečky K. zniklý bod označíme K. Tento bod spojíme s bodem M (je to vždy ten bližší z bodů sdruženého průměru) vzniklou přímku označíme p. Na přímce p najdeme střed úsečky KM, který pojmenujeme O. Nyní sestrojíme kružnici m se středem O a poloměrem r = O. Průsečíky přímky p a kružnice m označíme jako body X a Y. Oba tyto body spojíme se středem vzniknou přímky a a b. elikost úsečky XK je rovna délce hlavní poloosy elipsy. Naneseme ji tedy od bodu na přímku a (hlavní osa leží vždy v ostrém úhlu sevřeném sdruženými průměry), získáme hlavní vrcholy, hledané elipsy. elikost úsečky K Y je rovna délce vedlejší poloosy, naneseme ji od bodu na přímku b a tím získáme vedlejší vrcholy, hledané elipsy. ůkaz této konstrukce nalezneme např. v knize [2, strana 145]. 11
Konstrukce tečen k elipse e rovnoběžných se směrem s: l s k t 1 Q 1 T 1 P 1 e q 1 T 2 q 2 P 2 t 2 Q 2 Popis konstrukce. lipsa e je zadána hlavními a vedlejšími vrcholy, a,. Jako první najdeme její ohniska a. e vrcholu sestrojíme kružnici o poloměru r =. Kde tato kružnice protne hlavní osu elipsy, tam jsou hledaná ohniska. tejnou kružnici (pojmenujeme ji k) opíšeme i kolem bodu tato kružnice se nazývá hlavní vrcholová kružnice, protože prochází hlavními vrcholy elipsy. Ohniskem vedeme k danému směru s kolmici l. Kde tato kolmice protne vrcholovou kružnici k, tam jsou body P 1 a P 2. Těmito body sestrojíme rovnoběžky t 1 a t 2 se směrem s, které jsou hledanými tečnami. ody Q 1 a Q 2 jsou po řadě obrazy ohniska v osové souměrnosti podle tečen t 1 a t 2. od Q 1 spojíme s ohniskem. Kde tato spojnice protne tečnu t 1, tam je bod dotyku T 1. To samé provedeme s bodem Q 2, získáme bod dotyku T 2. 12
Konstrukce tečen z bodu k elipse e: t 2 Q 2 t 1 Q 1 q 2 T 1 q 1 T 2 v g e Popis konstrukce. lipsa e je zadaná hlavními a vedlejšími vrcholy, a,. Ohniska elipsy nalezneme stejným způsobem, jako v předchozím příkladě. ohnisku sestrojíme kružnici g o poloměru r 1 =, v bodě sestrojíme kružnici v o poloměru r 2 =. Tyto dvě kružnice se protnou v bodech Q 1 a Q 2. Získané body spojíme s ohniskem. ledaná tečna t 1 je osou souměrnosti úsečky Q 1, tečna t 2 je osou souměrnosti úsečky Q 2. pojnice ohniska s bodem Q 1 protne tečnu t 1 v dotykovém bodě T 1, spojnice bodů a Q 2 protne tečnu t 2 v bodě dotyku T 2. 13
finita Necht jsou dány dvě různoběžné roviny ρ a π a směr s, který není rovnoběžný s žádnou ze zadaných rovin. Jestliže promítneme útvar U ležící v rovině ρ ve směru s do roviny π, získáme útvar U, který je s útvarem U ve vztahu osové afinity. Na obrázku je znázorněn průmět trojúhelníku ρ ve směru s do roviny π: o ρ s π b a c s.... směr afinity o.... osa afinity a, b, c.... promítací paprsky -, -, -.... dvojce odpovídajících si bodů ěta 2.1. pojnice odpovídajících si bodů jsou vzájemně rovnoběžné a mají směr afinity. ěta 2.2. Odpovídající si přímky se protínají na ose afinity. ěta 2.3. Každý bod osy afinity je samodružný. finita v rovině je jednoznačně určena osou afinity a párem odpovídajících si bodů (čímž je stanoven i směr afinity). Je-li směr afinity kolmý k ose afinity, jedná se o afinitu kolmou. Příklad 1. osové afinitě, která je dána osou o a dvojcí odpovídajících si bodů -, zobrazte čtverec. a d b c o 1 2 3 Popis konstrukce. Jako první použijeme ětu 2.1., tedy sestrojíme rovnoběžky a, b, c, d. Nyní použijeme ětu 2.2. ody a vedeme přímku, která protíná osu afinity v bodě 1. Tento bod spojíme s bodem. zniklá přímka protíná paprsek d v bodě. tejnou konstrukci provedeme i s ostatními body. Tak vznikne čtyřúhelník. 14
Kolineace Necht jsou dány dvě různoběžné roviny ρ a π a bod, který neleží v žádné ze zadaných rovin. Jestliže promítneme útvar U ležící v rovině ρ ze středu do roviny π, získáme útvar U, který je s útvarem U ve vztahu středové kolineace. Na obrázku je znázorněn průmět trojúhelníku ρ ze středu do roviny π: ρ π c.... střed kolineace o.... osa kolineace a, b, c.... promítací paprsky -, -, -.... dvojce odpovídajících si bodů o a b ěta 2.4. pojnice odpovídajících si bodů procházejí jediným bodem, a to středem kolineace. ěta 2.5. Odpovídající si přímky se protínají na ose kolineace. ěta 2.6. Každý bod osy kolineace je samodružný. Kolineace v rovině je jednoznačně určená osou kolineace, středem kolineace a párem odpovídajících si bodů. Příklad 2. e středové kolineaci, která je dána osou o, středem a dvojcí odpovídajících si bodů -, zobrazte pravidelný pětiúhelník. 4 3 2 1 c o d e a Popis konstrukce. Jako první použijeme ětu 2.4., tedy sestrojíme paprsky a, b, c, d, e, které procházejí středem. Nyní použijeme ětu 2.5. ody a vedeme přímku, která protíná osu kolineace v bodě 1. Tento bod spojíme s bodem. zniklá přímka protíná paprsek d v bodě. tejnou konstrukci provedeme i s ostatními body. Tím vznikne pětiúhelník. 15
Kapitola 3 Zobrazení základních těles této kapitole se věnuji zobrazení základních těles: krychli, pravidelnému čtyřbokému a pětibokému jehlanu, čtyřstěnu, pravidelnému šestibokému hranolu, válci, kuželi a kouli. šechna tělesa považuji za neprůhledná, musím tedy určovat i viditelnost hran. e většině případů používám volné rovnobězné promítání s parametry ω = 45 a q = 1/2. některých příkladech je ale vhodnější (pro větší přehlednost) použít parametry ω = 60 a q = 2/3. zadání příkladu nebo v popisu konstrukce bude vždy uvedeno, kterou metodu jsem si zvolila. šechna tělesa zobrazuji jako pravý nadhled. 16
3.1 Zobrazení hranatých těles Příklad 3. e volném rovnoběžném promítíní (45 ; 1/2) zobrazte krychli o hraně délky 6 cm. Popis konstrukce. Krychli umístíme tak, aby stěny a byly v průčelné rovině. Zobrazení krychle je potom velice jednoduché. Začneme dolní podstavou. Úsečka leží v průčelné rovině, takže se zobrazí ve skutečné velikosti. Úsečky a jsou na úsečku kolmé. Z obou krajních bodů, i, tedy vedeme pod úhlem 45 polopřímku, na kterou naneseme polovinu délky strany a 3 cm. Tím získáme body a. Nyní přejdeme k bodům horní podstavy. Z bodu vedeme k úsečce kolmou přímku, na kterou naneseme skutečnou velikost strany a (hledaná hrana totiž také leží v průčelné rovině). Tu samou konstrukci provedeme i v ostatních bodech dolní podstavy. Získáme tedy chybějící body,, a. Jako poslední určíme viditelnost jednotlivých hran. ody,,,, a leží na obryse, budou tedy všechny spojeny viditelnými čarami. Zbývá jen rozhodnout, který z bodů a bude vidět. úvodu kapitoly jsem se rozhodla, že budu všechna tělesa zobrazovat jako pravý nadhled. od leží za stěnou, je tedy v neviditelné části. šechny hrany, které z něj vycházejí jsou tedy neviditelné. Z bodu vedeme čáry viditelné. 17
Příklad 4. e volném rovnoběžném promítání (60 ; 2/3) zobrazte krychli o hraně délky 6 cm. Popis konstrukce. Postupujeme téměř stejně jako v předchozím příkladě. Jediným rozdílem je, že při hledaní bodů a vedeme z bodu a polopřímky pod úhlem 60 a nanášíme na ně dvě třetiny délky strany a, tedy 4 cm. Poznámka. Příkladu 3 si můžeme všimnout, že pokud bychom chtěli zobrazit tělesovou úhlopříčku, tak některé její části splývají s hranami krychle. Proto je v některých případech vhodnější použít volné rovnoběžné promítání s parametry ω = 60 a q = 2/3. 18
Příklad 5. e volném rovnoběžném promítání (45 ; 1/2) zobrazte pravidelný čtyřboký jehlan o délce podstavné hrany a = 6 cm a výšce v = 7 cm. Popis konstrukce. Jehlan si umístíme tak, aby jeho podstava byla ve vodorovné rovině, která je kolmá na průmětnu. Začneme opět konstrukcí podstavy. Tou je v tomto případě opět čtverec, takže postupujeme stejně jako v Příkladu 3. K nanesení výšky potřebujeme najít střed dolní podstavy. Ten určíme jako průsečík úhlopříček a. Z tohoto bodu nyní vedeme k podstavě (tedy např. k úsečce, která v ní leží) komici, na kterou naneseme od bodu výšku v. Tím získáme vrchol. Pospojujeme jej s vrcholy podstavy a určíme viditelnost (v neviditelné části je pouze bod ). 19
Příklad 6. e volném rovnoběžném promítání (45 ; 1/2) zobrazte pravidelný pětiboký jehlan, jehož podstava je vepsána do kružnice o poloměru r = 5 cm a jehož výška je v = 9 cm. O Popis konstrukce. Při sestrojování pravidelného pětibokého jehlanu je nezbytné zkonstruovat si skutečný obraz dolní podstavy s některými pomocnými body, jak je provedeno na další straně. Přesná konstrukce pravidelného pětiúhelníku je uvedena v Kapitole 2 na straně 10. Začneme tedy se samotnou konstrukcí jehlanu. Jehlan si umístíme opět tak, aby rovina podstavy byla vodorovná, kolmá na průmětnu. Úsečka se tedy zobrazí ve skutečné velikosti. Najdeme střed úsečky, který pojmenujeme jako bod O. Tímto bodem vedeme pod úhlem 45 polo- 20
přímku, na kterou naneseme od bodu O polovinu skutečné velikosti úseček O a O (zde využijeme pomocný obrázek podstavy). od je jedním z vrcholů podstavy, bod je pomocným bodem konstrukce. íme o něm, že půlí úsečku, kterou vidíme ve skutečné velikosti. tačí tedy bodem vést rovnoběžku s úsečkou a na každou stranu od bodu nanést polovinu velikosti úsečky. Tím jsme získali všechny body podstavy. využitím pomocného obrázku najdeme střed podstavy. Z něj vedeme k rovině podstavy (tedy např. k úsečce, která v ní leží) komici, na kterou naneseme od bodu výšku v. Tím získáme vrchol. Ten spojíme se všemi vrcholy podstavy a určíme viditelnost (v neviditelné části je opět pouze bod ). k O 21
Příklad 7. e volném rovnoběžném promítání (45 ; 1/2) zobrazte čtyřstěn o hraně délky a = 6 cm. T T v Popis konstrukce. této úloze je nezbytné si zkonstruovat nejen podstavu ve skutečné velikosti, ale i vhodný řez tělesa, jehož rovina je kolmá na rovinu podstavy. Tuto konstrukci potřebujeme k tomu, abychom určili výšku tělesa. našem případě to bude řez procházející vrcholy a a středem úsečky. Čtyřstěn si umístíme tak, aby podstava byla vodorovná, kolmá na průmětnu. Úsečka se zobrazí ve skutečné velikosti. tředem úsečky vedeme pod úhlem 45 přímku, na kterou naneseme polovinu skutečné velikosti úsečky. od volíme pro větší přehlednost směrem k nám. Tím je podstava čtyřstěnu hotová. Nyní určíme těžiště T podstavného trojúhelníka, ze kterého vedeme kolmici na rovinu podstavy (tedy např. kolmici k úsečce, která v ní leží). Na tuto kolmici naneseme od bodu T výšku v, kterou jsme získali při konstrukci pomocného řezu. Tím získáme vrchol. Zbývá už jen spojit všechny vrcholy a určit viditelnost tělesa (všechny vrcholy leží na obryse, neviditelná je pouze hrana ). 22
Příklad 8. e volném rovnoběžném promítání (45 ; 1/2) zobrazte pravidelný šestiboký hranol s podstavnou hranou a = 5 cm a výškou v = 10 cm. 23
Popis konstrukce. I v tomto příkladě je vhodné zkonstruovat si podstavu ve skutečné velikosti, kterou je pravidelný pětiúhelník, s některými pomocnými body. ranol umístíme tak, aby stěna ležela v průčelné rovině. Začneme opět podstavou. Úsečka se zobrazí ve skutečné velikosti, bude mít tedy délku 5 cm. ody a získáme tak, že z bodu a vedeme pod úhlem 45 polopřímky, na které naneseme polovinu skutečné vzdálenosti bodu, resp.,. třed podstavy nalezneme jako průsečík uhlopříček a. Tímto bodem vedeme rovnoběžku s úsečkou. Na každou stranu od bodu naneseme na tuto přímku délku 5 cm. Tím získáme body a. Máme tedy všech šest bodů dolní podstavy. K sestrojení horní podstavy potřebujeme jako první nalézt jeden její bod, např.. ten najdeme tak, že k úsečce vedeme kolmici, na kterou z bodu naneseme výšku v = 10 cm. Jakmile tento bod nalezneme, stačí všechny body dolní podstavy posunout ve směru o již zmíněnou délku 10 cm (horní podstava je shodná s dolní). ody pospojujeme a určíme viditelnost (v neviditelné části jsou jen body a ). 24
3.2 Zobrazení rotačních těles Příklad 9. e volném rovnoběžném promítání (60, 2/3) zobrazte rotační válec s podstavou o poloměru r = 6 cm a výškou v = 8 cm. T 2 T 1 e v M T 1 K L T 2 e N 25
Popis konstrukce. Pro větší přehlednost volíme volné rovnoběžné promítání s parametry ω = 60 a q = 2/3. Kružnice se ve volném rovnoběžném promítání zobrazí jako elipsa (pokud leží kružnice v průčelné rovině, zobrazí se jako kružnice, poloměr se zachovává). álec umístíme tak, aby rovina podstavy byla vodorovná, kolmá na průmětnu. Průměr KL podstavné kružnice, který leží v průčelné rovině se zobrazí ve skutečné velikosti. Průměr MN, který je na něj kolmý, se zobrazí jako úsečka (procházející a půlená středem ) dlouhá 8 cm a svírající s úsečkou úhel ω = 60. estrojili jsme tak dva sdružené průměry, na které ted aplikujeme tzv. Rytzovu konstrukci (přesný postup je uveden v Kapitole 2 na straně 11). Tím získáme hlavní a vedlejší osu a elipsu e vyrýsujeme. Nyní nalezname střed horní podstavy. K rovině dolní podstavy, tedy např. k úsečce KL, vedeme kolmou přímku procházející bodem. Od tohoto bodu naneseme výšku v = 8 cm, máme bod. olní podstava je s horní podstavou totžná. tačí tedy jen dolní podstavu posunout ve směru o výšku v. Obrys válce je tvořen dvěma polovinami těchto elips a dvěma schodnými úsečkami T 1 T 1 a T 2 T 2, které jsou tečnami k těmto elipsám rovnoběžnými se směrem (konstrukce tečen k elipse rovnobežných se směrem s je uvedena v Kapitole 2 na straně 12). ody dotyku T 1 a T 2 těchto tečen jsou zároveň body přechodu viditelnosti dolní podstavy. 26
Příklad 10. e volném rovnoběžném promítání (60, 2/3) zobrazte rotační kužel s podstavou o poloměru r = 6 cm a výškou v = 10 cm. M T 1 K L T 2 e N Popis konstrukce. Opět volíme pro větší přehlednost volné rovnoběžné promítání s parametry ω = 60 a q = 2/3 a těleso umist ujeme tak, aby jeho rovina podstavy byla vodorovná, kolmá na průmětnu. Podstava tvaru kružnice, která přejde opět v elipsu, má stejný poloměr jako v Příkladu 9. Při její konstrukci tedy postupujeme úplně stejně. e středu setrojíme kolmici k rovině podstavy, tedy např. k úsečce KL, a naneseme na ni od bodu výšku v = 10 cm. Tím získáme vrchol. Z něj vedeme k elipse e tečny (konstrukce tečen z bodu k elipse je uvedena v Kapitole 2 na straně 13). ody dotyku jsou zároveň body přechodu viditelnosti podstavné elipsy e. 27
Příklad 11. e volném rovnoběžném promítání (60, 2/3) zobrazte kouli se středem o poloměru r = 6 cm. T 3 Z t 3 U 1 k f M t 1 2 W L T 2 T 1 K X 1 t 2 N e 2 Y T 4 t 4 28
Popis konstrukce. I při konstrukci koule je vhodnější zvolit volné rovnoběžné promítání s parametry ω = 60 a q = 2/3. Koule se ve volném rovnoběžném promítání zobrazí vždy jako elipsa. bychom takovouto elipsu mohli sestrojit, potřebujeme najít její hlavní a vedlejší osu nebo alespoň pět bodů, kterými tato elipsa prochází. Ukážeme si oba způsoby. K oběma řešením nám poslouží tři navzájem kolmé řezy procházející středem zadané koule. Tím prvním a nejjednodušším je řez, který leží v průčelné rovině. Zobrazí se jako kružnice k(; r = 6 cm). alším řezem je řez vodorovný, kolmý na průmětnu tzv. rovníkový. Tento řez se zobrazí jako elipsa e, se kterou jsme se setkali již v Příkladech 9 a 10. Posledním řezem (elipsa f) je řez svislý, kolmý na průmětnu tzv. poledníkový. Jedním z jeho průměrů je průměr MN, který už v obrázku máme. K němu sdružený je průměr U, který se zachová ve skutečné velikosti. Pomocí Rytzovy konstrukce (Kapitola 2, strana 11) sestrojíme hlavní osu Y Z a vedlejší osu W X a elipsu f vyrýsujeme. lipsy e a f můžeme chápat i jako řezy válcových ploch, které obalují zadanou kouli (je jasné, že osy těchto válcových ploch procházejí středem koule a jsou kolmé na roviny řezů). ody přechodů viditelnosti elips e a f T 1, T 2, T 3 a T 4 jsou hledanými body, které leží na obrysu zadané koule. lipsy e a f se protnou v bodech M a N. Tyto body jsou podle Quetelet andelinovy věty (více např. v knize [2, strana 177]) ohniska hledané obrysové elipsy. Kolmice vedena středem na přímku danou ohnisky M a N protne kružnici k ve dvou bodech. Označme jeden z těchto bodů jako bod. od je vedlejším vrcholem hledané obrysové elipsy. Jelikož známe i ohniska, lze z obecně známých vlastností elipsy najít hlavní vrchol. Nyní už zbývá si jen vybrat, jestli elipsu vyrýsujeme pomocí hlavních a vedlejších os (jednodušší způsob), nebo jako kuželosečku danou pěti body. 29
Kapitola 4 tereometrické úlohy této kapitole se zabývám základními stereometrickýni úlohami probíranými na středních školách. Nejprve se věnuji úlohám polohovým. nich řeším vzájemnou polohu bodů, přímek a rovin, popisuji zde, jak sestrojit průsečnice rovin, průsečík přímky s rovinou a s povrchem tělesa, hledám zde roviny a přímky splňující nějakou podmínku a věnuji pozornost řezům tělesa rovinou. Nakonec se zabývám úlohami metrickými, ve kterých počítám vzdálenosti a odchylky. eškeré definice uvedené v této kapitole jsem čerpala z knihy [8]. 4.1 Polohové úlohy Incidence: Incidence: bod leží na přímce = přímka prochází bodem; bod leží v rovině = rovina prochází bodem; přímka leží v rovině = rovina prochází přímkou. Je-li bod icidentní s přímkou p a přímka p incidentní s rovinou ρ, pak je i bod incidentní s rovinou ρ (tranzitivní zákon). od leží v rovině, jestliže leží na některé její přímce. zájemná poloha dvou přímek: totožné přímky mají nekonečně mnoho společných bodů; různoběžné přímky mají právě jeden společný bod průsečík, leží v téže rovině; rovnoběžné přímky nemají žádný společný bod, leží v téže rovině; mimoběžné přímky nemají žádný společný bod, neleží v téže rovině. zájemná poloha přímky a roviny: přímka leží v rovině přímka a rovina mají nekonečně mnoho společných bodů; přímka a rovina jsou různoběžné přímka a rovina mají jeden společný bod průsečík; 30
přímka a rovina jsou rovnoběžné přímka a rovina nemají žádný společný bod. zájemná poloha dvou rovin: totožné roviny mají nekonečně mnoho společných bodů; různoběžné roviny se protínají ve společné přímce průsečnici; rovnoběžné roviny nemají žádný společný bod. zájemná poloha tří rovin: každé dvě roviny jsou rovnoběžné (Obrázek 1.); každé dvě roviny jsou různoběžné, průsečnice každých dvou rovin jsou rovnoběžné různé střecha (Obrázek 2.); každé dvě roviny jsou různoběžné, všechny tři průsečnice splynou v jedinou přímku svazek (Obrázek 3.); každé dvě roviny jsou různoběžné, všechny tři průsečnice jsou různé a procházejí jediným společným bodem všech tří rovin trs (Obrázek 4.); dvě roviny jsou rovnoběžné a třetí je protíná v rovnoběžných přímkách (Obrázek 5.). γ p β α q r α β γ Obrázek 1. Obrázek 2. α β p γ β α γ q r p Obrázek 3. Obrázek 4. β p α q Obrázek 5. 31
zájemná poloha Příklad 12. Na krychli vyznačte dvojici přímek, které jsou: a) rovnoběžné b) různoběžné c) mimoběžné Příklad 13. Na krychli vyznačte přímku a rovinu, pro které platí: a) jsou různoběžné b) jsou rovnoběžné c) přímka leží v rovině Příklad 14. Na krychli vyznačte dvojici rovin, které jsou: a) různoběžné b) rovnoběžné 32
Příklad 15. Na krychli vyznačte trojici rovin, pro které platí: a) každé dvě roviny jsoub) každé dvě roviny jsouc) roviny tvoří svazek rovnoběžné různoběžné p p r q d) roviny tvoří trs e) dvě rovnoběžné roviny protíná rovina třetí p q Příklad 16. Na jehlanu rozhodněte o vzájemné poloze: a) přímek a b) rovin a c) přímky a roviny - mimoběžné přímky - různoběžné roviny - přímka a rovina jsou rovnoběžné 33
Průsečnice rovin Příklad 17. Na krychli nalezněte průsečnici rovin α a β. α P a b β p b P a Řešení. Roviny α a β se protínají v přímce p. bychom tuto přímku mohli zkonstruovat, musíme najít alespoň dva její body. K jejich nalezení použijeme stěny zadané krychle. Rovina α protíná stěnu v přímce a, rovina β v přímce b. Tyto dvě přímky se protínají v bodě P. tejný postup použijeme se stěnou vzniknou přímky a a b, které se protínajá v bodě P. pojnice bodů P a P je hledaná přímka p. Příklad 18. alší příklady na průsečnici dvou rovin: - řešené příklady na krychli - řešené příklady na pravidelném čtyřbokém jehlanu 34
Rovnoběžnost Příklad 19. Na krychli ved te bodem rovinu rovnoběžnou s rovinou. Řešení. ledanou rovinu nalezneme tak, že bodem proložíme 2 různé přímky, které jsou se zadanou rovinou rovnoběžné. Tak bude hledaná rovina určená. První z těchto přímek je např. přímka. Přímka je rovnoběžná s přímkou, tedy je rovnoběžná s rovinou. ruhou přímkou je přímka, která je rovnoběžná s přímkou, tedy s rovinou. Přímky a určují rovinu. Příklad 20. Na krychli ved te bodem přímku rovnoběžnou s rovinami a. Řešení. Průsečnicí rovin a je přímka. ledaná přímka bude procházet bodem a bude rovnoběžná s průsečnicí. Jedná se tedy o přímku. 35
Průsečík přímky s rovinou Příklad 21. Na krychli určete průsečík přímky p s rovinou α. p P r α β Řešení. Přímkou p proložíme pomocnou rovinu β. Ta se s rovinou α protíná v průsečnici r (postup hledání takovéto průsečnice je popsán v Příkladě 17). Kde se přímka r protíná se zadanou přímkou p, tam je hledaný průsečík P. Příklad 22. alší příklady na průsečík přímky s rovinou: - řešené příklady na krychli p P r p r P p r P - řešené příklady na pravidelném čtyřbokém jehlanu p r P p P r P r p 36
Řezy Řezem tělesa rovinou je průnik tělesa a roviny. Je to rovinný útvar, jehož hranice se skládá z průniku roviny řezu se stěnami zadaného tělesa. estrojit řez znamená sestrojit průsečnice dané roviny s rovinami jednotlivých stěn tělesa. Některé důležité věty a jejich důsledky potřebné při konstrukci řezů (převzato z knihy [8]): ěta 4.1. Leží-li dva různé body v rovině, pak přímka jimi určená leží také v této rovině. ůsledek: Leží-li dva různé body roviny řezu v rovině některé stěny, leží v rovině této stěny i jejich spojnice. Průnik spojnice a stěny je jednou stranou řezu. ěta 4.2. vě rovnoběžné roviny protíná třetí rovina ve dvou rovnoběžných přímkách. ůsledek: Jsou-li roviny dvou stěn rovnoběžné a přitom různoběžné s rovinou řezu, jsou průsečnice roviny řezu s rovinami těchto stěn rovnoběžné. ěta 4.3. Jsou-li každé dvě ze tří rovin různoběžné a mají-li tyto tři roviny jediný společný bod, procházejí tímto společným bodem všechny tři průsečnice. ůsledek: Průsečnice rovin dvou sousedních stěn (tj. stěn se společnou hranou) s rovinou řezu a přímka, v níž leží společná hrana, se protínají v jednom bodě. a) Řezy na hranolu: Na obrázku je znázorněn řez kolmého trojbokého hranolu (s podstavou v půdorysně π) obecnou rovinou ρ. Řezem je trojúhelník XY Z. π ν 3 Z X Y 2 1 o p ρ n ρ ρ x π.... půdorysna ν.... nárysna p ρ.... půdorysná stopa roviny ρ n ρ.... nárysná stopa roviny ρ XY Z.... řez zadaného hranolu rovinou ρ Rovina podstavy, která leží v půdorysně π, rovina stěny hranolu a sečná rovina ρ se protínají v bodě 1, jímž procházejí jejich průsečnice p ρ, a XY. 37
Podobně je tomu pro: π, rovinu stěny, ρ dostaneme bod 2 a π, rovinu stěny, ρ dostaneme bod 3. šechny tyto body leží na průniku sečné roviny ρ s půdorysnou π, tedy na stopě p ρ. Řezy těchto dvou rovin se zadanou hranolovou plochou (tedy XY Z a podstava ) jsou ve vztahu afinním (Kapitola 2, strana 14). Osou afinity je jejich průsečnice půdorysná stopa p ρ, směr afinity je rovnoběžný s pobočnou hranou hranolu. b) Řezy na jehlanu: Na obrázku je znázorněn řez trojbokého jehlanu (s podstavou v půdorysně π) obecnou rovinou ρ (předpokládáme, že tato rovina neprochází vrcholem ). Řezem je trojúhelník XY Z. ν π 3 2 Z o p ρ 1 Y X n ρ ρ x π.... půdorysna ν.... nárysna p ρ.... půdorysná stopa roviny ρ n ρ.... nárysná stopa roviny ρ XY Z.... řez zadaného hranolu rovinou ρ Rovina podstavy, která leží v půdorysně π, rovina stěny zadaného jehlanu a sečná rovina ρ se protínají v bodě 1, jímž procházejí jejich průsečnice p ρ, a XY. Podobně je tomu tak pro: π, rovinu stěny, ρ dostaneme bod 2 a π, rovinu stěny, ρ dostaneme bod 3. šechny tyto body leží na průsečnici sečné roviny ρ s půdorysnou π, tedy na půdorysné stopě p ρ. Řezy těchto dvou rovin se zadaným jehlanem (tedy XY Z a podstava ) jsou ve vztahu kolineárním (Kapitola 2, strana 15). Osou kolineace je půdorysná stopa p ρ, středem kolineace je vrchol. 38
Příklad 23. Na krychli určete řez rovinou P QR, kde: P : P = 3 P, Q =, R : R = 3 R. 3 T P = 1 p 2 Q U R Řešení. ody Q, R leží ve stejné stěně krychle, můžeme je tedy spojit úsečkou, která je jednou stranou řezu. Pro nalezení dalších bodů je vhodné najít průsečnici p roviny dolní podstavy s rovinou řezu. Jedním bodem této průsečnice je bod P. ruhým bodem je průsečík přímek QR a, označme jej 2. Průsečnice p je tedy přímka jdoucí bodem P a bodem 2. Tato přímka protne stěnu v bodě nalezli jsme další bod řezu. odem P ved me nyní rovnoběžku s přímkou QR. Tato rovnoběžka protne hranu v dalším bodě řezu T. Přímka protne průsečnici p v bodě 3. Když tento bod spojíme s bodem T, dostaneme přímku, která hranu protne v bodě U. ýsledným řezem je šestiúhelník P QRUT. Řešené příklady na řezy krychle rovinou: a) P QR: P : 3 P = P Q : Q = 3 Q R = b) P Q: P : 3 P = P Q = P R Q Q 2 3 R 3 P = 1 p = 2 1 p 39
Příklad 24. Na pravidelném čtyřbokém jehlanu určete řez rovinou P QR, kde: P =, Q : Q = 3 Q, R =. 3 T P = 1 p 2 Q R Řešení. ody Q a R leží ve stejné stěně jehlanu, spojíme je tedy úsečkou, která tvoří jednu stranu řezu. Pro nalezení dalších bodů je i zde vhodné nejprve najít průsečnici p roviny dolní podstavy s rovinou řezu. Jedním bodem této průsečnice je bod P. ruhým bodem je průsečík přímek QR a 2. Průsečnice p je tedy určena body P a 2. místě, kde tato průsečnice protne stěnu, tam je další bod řezu, bod. Přímka protne průsečnici p v bodě 3. Když nyní tento bod spojíme s bodem R, dostaneme přímku, která protne hranu v bodě T. ýsledným řezem je špětiúhelník P QRT. Řešené příklady na řezy jehlanu rovinou: a) P QR: P = Q : 3 Q = Q R : R = 3 R b) P Q: P : 3 P = P Q : 3 Q = Q R = R 3 p T P = 1 Q 2 p 3 P = 1 R Q = 2 40
Průsečík přímky s povrchem tělesa Příklad 25. Na krychli určete průsečík přímky p P Q s povrchem těles, kde = P a = Q. P X p Y Q P Řešení. Přímkou p proložíme libovolnou rovinu a určíme řez tělesa touto rovinou. Průsečíky přímky p s řezem tělesa jsou body X a Y, které nám určují, ve kterých místech přímka p protne krychli. Průnik přímky s povrchem tělesa: je-li těleso hranol, je vhodné proložit přímkou rovinu rovnoběžnou s pobočnými hranami hranolu, tzv. směrovou rovinu; je-li těleso jehlan, proložíme přímkou rovinu, která obsahuje hlavní vrchol jehlanu, tzv. vrcholovou rovinu. Příklad 26. Řešený příklad na pravidelném čtyřbokém jehlanu: = 2 Q, P = P, kde je střed podstavy. X P p Y Q 41
Mimoběžky Příklad 27. Na krychli sestrojte příčku mimoběžek a procházející bodem. X Y Řešení. odem a mimoběžkou proložíme rovinu. Ta protne druhou mimoběžku v bodě X. Polopřímka X protne mimoběžku v bodě Y. pojnice XY je hledanou příčkou mimoběžek a. Příklad 28. Na krychli sestrojte příčku mimoběžek a, která je rovnoběžná se směrem s. s Y = X s Řešení. Mimoběžkou proložíme rovinu rovnoběžnou se směrem s =. Ta protne mimoběžku v bodě X (v tomto případě splývá bod X s bodem ). Z bodu X nyní vedeme rovnoběžku se směrem s, která protne mimoběžku v bodě Y. pojnice XY je hledanou příčkou mimoběžek a. Příklad 29. Na krychli sestrojte všechny příčky mimoběžek a, které jsou určeny vrcholy krychle. Řešení. Z obrázku ihned vidíme, že takovéto příčky jsou celkem čtyři, a to:,, a. 42
4.2 Metrické úlohy vzdálenosti zdálenost dvou bodů X a Y je rovna velikosti úsečky XY. zdálenost bodu X od přímky p je rovna vzdálenosti bodu X od bodu P, kde bod P je pata kolmice spuštěné z bodu X na přímku p ; pokud bod X leží na přímce p, pak je vzdálenost rovna 0. zdálenost bodu X od roviny ρ je rovna vzdálenosti bodu X a jeho pravoúhlého průmětu X do roviny ρ; pokud bod X leží v rovině ρ, pak je vzdálenost rovna 0. zdálenost dvou rovnoběžných přímek je rovna vzdálenosti libovolného bodu jedné přímky od přímky druhé. zdálenost dvou rovnoběžných rovin je rovna vzdálenosti libovolného bodu jedné roviny od roviny druhé. zdálenost přímky od roviny s ní rovnoběžné je rovna vzdálenosti libovolného bodu této přímky od zadané roviny; pokud přímka leží v rovině, pak je vzdálenost rovna 0. zdálenost mimoběžných přímek p a q je rovna délce úsečky P Q, kde body P, Q jsou po řadě průsečíky mimoběžek p, q s takovou příčkou mimoběžek, která je k oběma z nich kolmá. 43
Příklad 30. Na krychli, kde hrana a = 3 cm, určete vzdálenost bodů a. Řešení. ody a proložíme rovinu. Nyní vypočítáme velikost úsečky. Ta je rovna: d = 2 + 2 = = 3 2 + 1,5 2 = 9 + 2,25 = 11,25 = = 1,5 5 cm zdálenost bodů a je tedy rovna: d = = 2 + 2 = = ( 11,25) 2 + 3 2 = 11,25 + 9 = = 20,25 = 4,5 cm Příklad 31. Na pravidelném čtyřbokém jehlanu, kde podstavná hrana a = 3 cm a výška v = 3,5 cm, určete vzdálenost bodů a. d Řešení. ody a proložíme rovinu. Nyní vypočítáme velikost úsečky. íme, že úhlopříčka podstavného čtverce má velikost u = 3 2 cm. Úsečka je tedy rovna = 1,5 2 cm a úsečka je rovna: = 2 + 2 = = 3,5 2 + (1,5 2) 2 = 12,25 + 4,5 = = 16,75 cm zdálenost bodů a je tedy rovna: d = = 2 2 = = ( 16,75) 2 1,5 2 = = 16,75 2,25 = 14,5 cm 44
Příklad 32. Na krychli, kde hrana a = 3 cm, určete vzdálenost bodu od přímky. d Řešení. Zadanými body proložíme rovinu. zdálenost bodu od přímky určujeme tak, že z daného bodu spustíme k dané přímce kolmici. ledanou vzdáleností je pak vzdálenost zadaného bodu od paty této kolmice. Rovina protíná krychli v rovnostranném trojúhelníku, jehož strany jsou stěnové úhlopříčky. Pata kolmice tedy splývá s bodem. íme, že stěnová úhlopříčka je rovna u = 3 2 cm. našem případě tedy: d = = 2 2 = = (3 2) 2 (1,5 2) 2 = 18 4,5 = = 13,5 cm Příklad 33. Na pravidelném čtyřbokém jehlanu, kde podstavná hrana a = 3 cm a výška v = 3,5 cm, určete vzdálenost bodu od přímky. d α Řešení. Zadanými body proložíme rovinu. Tato rovina protne jehlan v rovnoramenném trojúhelníku, kolmice spuštěná z bodu na zadanou přímku tedy prochází středem podstavy. ledaná vzdálenost bude tedy rovna velikosti úsečky. Nejprve ale musíme určit velikost úsečky. K tomu potřebujeme znát cos α (jeho velikost získáme z trojúhelníku, délku strany známe z Příkladu 31): cos α = = 1,5 16,75 = 1,5 16,75 16,75 Podle kosinové věty: = 2 + 2 2 cos α = = 9 + 16,75 16,75 2 3 1,5 16,75 = 9 + 16,75 4,5 = 4 2 16,75 4 ledaná vzdálenost je tedy: d = = ( 34,75 ) 2 ( ) 2 3 2 2 2 = = 2 2 34,75 18 16,75 = = cm 4 2 34,75 cm 2 45
Příklad 34. Na krychli, kde hrana a = 3 cm, určete vzdálenost rovnoběžných přímek a. d Řešení. zdálenost rovnoběžných přímek určíme tak, že k nim vedeme libovolnou kolmou přímku. Ta dané přímky protne v bodech, které nám určují hledanou vzdálenost. našem případě je to např. kolmice jdoucí body a. K výpočtu použijeme rovnostranný trojúhelník. trana trojúhelníku je rovna polovině stěnové úhlopříčky, má tedy velikost 1,5 2 cm. zdálenost zadaných rovnoběžek je rovna: = 2 (1,5 2) 2 (0,75 2) 2 = = 2 4,5 1,125 = 13,5 cm Příklad 35. Na pravidelném čtyřbokém jehlanu, kde podstavná hrana a = 3 cm a výška v = 3,5 cm, určete vzdálenost mimoběžných přímek a, kde je střed podstavy. d Řešení. našem případě si můžeme všimnout, že dané mimoběžky jsou navzájem kolmé. Pokud mimoběžkou proložíme rovinu, tak ihned vidíme, že hledanou příčkou je úsečka. Příklad nyní přechází na výpočet vzdálenosti dvou bodů, který je popsán na straně 44. Z obrázku ihned vidíme, že hledaná vzdálenost je rovna: d = = 1,5 cm 46
Příklad 36. Na krychli, kde hrana a = 3 cm, určete vzdálenost bodu od roviny. P Ze vzorce pro obsah trojúhelníku je tedy: d Řešení. zdálenost bodu od roviny určujeme tak, že daným bodem vedeme k dané rovině kolmici a počítáme vzdálenost zadaného bodu od paty této kolmice. našem případě je to přímka, která protne zadanou rovinu v bodě P. Pro výpočet vzdálenosti bodů P a použijeme vzorec pro výpočet obsahu trojúhelníku. Nejprve ale musíme určit velikost přepony tohoto trojúhelníku: = 2 + 2 = = 3 2 + (1,5 2) 2 = 9 + 4,5 = 13,5 cm d = P = = 3 1,5 2 13,5 = 4,5 27 13,5 = 3 cm Příklad 37. Na pravidelném čtyřbokém jehlanu, kde podstavná hrana a = 3 cm a výška v = 3,5 cm, určete vzdálenost bodu od roviny. d P Řešení. odem vedeme k rovině kolmici. Tato kolmice protne tuto rovinu v bodě P. Úloha nyní přechází na výpočet vzdálenosti dvou bodů. Z Příkladu 31 víme, že = 14,5 cm. Ze vzorce pro výpočet obsahu trojúhelníku dostáváme: d = P = = 10,5 14,5 10,5 = cm 14,5 14,5 = 3 3,5 14,5 = 47
Příklad 38. Na krychli, kde hrana a = 3 cm, určete vzdálenost přímky od roviny s ní rovnoběžné. d P p Řešení. Přímkou proložíme rovinu, která je na rovinu kolmá. Tyto dvě roviny se protnou v průsečnici p. Úloha nyní přechází na výpočet vzdálenosti dvou rovnoběžných přímek. Ta je např. rovna vzdálenosti bodů P a, což je polovina velikosti stěnové úhlopříčky: d = P = 1,5 2 cm Příklad 39. Na pravidelném čtyřbokém jehlanu, kde podstavná hrana a = 3 cm a výška v = 3,5 cm, určete vzdálenost rovnoběžných rovin a. P d Řešení. rovině si zvolíme jeden bod např.. Jeho pravoúhlý průmět do roviny označme jako bod P. ledaná vzdálenost je rovna délce úsečky P. Z Příkladu 31 víme, že úsečka je dlouhá 14,5 cm. Ze vzoce pro obsah trojúhelníku je tedy: d = P = = 5,25 14,5 cm 14,5 = 1,5 3,5 14,5 = 48
4.3 Metrické úlohy odchylky Za odchylku považujeme velikost každého ostrého nebo pravého úhlu, které dva útvary (přímky a roviny navzájem) svírají. Pokud jsou tyto útvary rovnoběžné, odchylka je rovna 0. Odchylky měříme ve stupních nebo v radiánech. Odchylka dvou různoběžných přímek je rovna menšímu z těch úhlů, které tyto dvě přímky svírají. Odchylka dvou mimoběžných přímek je rovna odchylce různoběžných přímek, které procházejí libovolným bodem prostoru a jsou rovnoběžné s danými mimoběžkami. vě přímky jsou kolmé, když je jejich odchylka rovna 90 ( π 2 rad). Přímka a rovina jsou navzájem kolmé právě tehdy, když je přímka kolmá ke každé přímce zadané roviny. vě roviny jsou kolmé právě tehdy, když jedna rovina obsahuje přímku, která je na druhou rovinu kolmá. Odchylka dvou rovin je rovna odchylce jejich průsečnic s rovinou, která je k oběma rovinám kolmá, nebo je to odchylka dvou kolmých přímek vedených k těmto rovinám. Není-li přímka kolmá k rovině, pak je odchylka přímky a roviny rovna odchylce přímky a jejího pravoúhlého průmětu do této roviny. 49
Příklad 40. Na krychli, kde hrana a = 3 cm, určete odchylku ϕ různoběžných přímek a. ϕ Řešení. Odchylku ϕ přímek a určíme pomocí pravoúhlého trojúhelníku : cos ϕ = = 3 2 6 3 3 = 3 ϕ = 35 16 Příklad 41. Na krychli, kde hrana a = 3 cm, určete odchylku ϕ mimoběžných přímek a. ϕ Řešení. bychom mohli přemístit mimoběžku do vhodného bodu mimoběžky, musíme nad zadanou krychlí zkonstruovat krychli. Nyní můžeme mimoběžku rovnoběžně posunout do bodu. ledanou odchylkou bude velikost úhlu, který svírají přímky a. Tu snadno určíme z trojúhelníku. Nejprve vypočítáme velikost úsečky. Ta je rovna: = 2 + 2 = 3 2 + 6 2 = = 45 = 3 5 cm Podle kosinové věty je tedy: cos ϕ = 2 + 2 2 2 = (3 3) 2 + (3 2) 2 (3 5) 2 2 3 3 3 2 = 9 (3 + 2 5) 18 6 Tedy ϕ = 90. = 0 = = 50
Příklad 42. Na pravidelném čtyřbokém jehlanu, kde podstavná hrana a = 3 cm a výška v = 3,5 cm, určete odchylku ϕ různoběžných přímek a. ϕ Řešení. Z pravoúhlého trojúhelníku nejprve určíme polovinu úhlu ϕ. (z Příkladu 31 víme, že = 16,75 cm): cos ϕ 2 = = 3,5 = 3,5 16,75 16,75 16,75 ϕ 2 = 31 13 Odchylka různoběžných přímek a je tedy rovna: ϕ = 62 26. Příklad 43. Na pravidelném čtyřbokém jehlanu, kde podstavná hrana a = 3 cm a výška v = 3,5 cm, určete odchylku ϕ mimoběžných přímek a. ϕ Řešení. Mimoběžku rovnoběžně posuneme do bodu. ledaná odchylka ϕ je rovna velikosti ostrého úhlu, který svírají různoběžné přímky a. Při výpočtu vyjdeme z rovnoramenného trojúhelníku. Úsečka je rovna polovině úhlopříčky podstavného čtverce, tedy = 1,5 2 cm. Z Příkladu 31, víme, že = 14,5 cm. Podle kosinové věty je tedy: cos ϕ = 2 + 2 2 2 = 4,5 3 29 = 1,5 29 29 Tedy: ϕ = 73 49. = ( 14,5) 2 + (1,5 2) 2 ( 14,5) 2 2 ( 14,5) (1,5 2) = 51
Příklad 44. Na krychli, kde hrana a = 3 cm, určete odchylku ϕ přímky od roviny. ϕ Řešení. Přímku kolmo promítneme do roviny. Odchylka ϕ je rovna ostrému úhlu mezi přímkami a. Z obrázku je ale patrné, že se tyto přímky protnou až v prostoru nad krychlí. Proto bude výhodnější, když přímku rovnoběžně posuneme do bodu. Odchylku ted snadno vypočítáme z pravoúhlého trojúhelníku. Neprve určíme délku strany : = 2 + 2 = 3 2 + 1,5 2 = 9 + 2,25 = 11,25 = 1,5 5 cm Nyní přejdeme k výpočtu odchylky ϕ: tg ϕ = = 1,5 5 1,5 5 = 5 Tedy ϕ = 24 06. Příklad 45. Na pravidelném čtyřbokém jehlanu, kde podstavná hrana a = 3 cm a výška v = 3,5 cm, určete odchylku ϕ přímky od roviny. ϕ Řešení. ledaná odchylka je rovna odchylce přímky od jejího pravoúhlého průmětu do roviny, tedy od přímky. Z pravoúhlého trojúhelníku dostáváme: tg ϕ = = 3,5 1,5 2 = 3,5 2 3 Tedy: ϕ = 58 46. 52
Příklad 46. Na krychli, kde hrana a = 3 cm, určete odchylku ϕ rovin a. p q ϕ Řešení. Zadanými rovinami proložíme takovou rovinu, která je na obě kolmá např. rovinu. Ta protne rovinu v průsečnici p a rovinu v průsečnici q. ledaná odchylka je nyní určena přímkami p a q. Z pravoúhlého trojúhelníku dostáváme: tg ϕ = = 3 1,5 2 = 2 Tedy: ϕ = 54 45. Příklad 47. Na pravidelném čtyřbokém jehlanu, kde podstavná hrana a = 3 cm a výška v = 3,5 cm, určete odchylku ϕ rovin a. X p ϕ ω Y q Řešení. Zadanými rovinami proložíme rovinu, která je na obě kolmá. Ta protne rovinu v průsečnici p a rovinu v průsečnici q. ledaná odchylka je nyní určena přímkami p a q. třed úsečky označme jako bod X a střed úsečky jako bod Y. ledanou odchylku určíme z trojúhelníku X. Nejprve určíme cos ω a sin ω (pomocný úhel, viz. obrázek) z trojúhelníku XY (z Příkladu 31 víme, že = 14,5 cm): cos ω = Y X = 0,75 2 = 1,5 14,5 14,5 14,5 sin ω = XY X = 1,75 2 = 3,5 14,5 14,5 14,5 Nyní vypočítáme pomocí kosinové věty délku úsečky X: X 2 = 2 + X 2 2 X cos ω = ( ) 2 14,5 14,5 = 3 2 + 2 3 1,5 14,5 = 9 + 3,625 4.5 = 8,125 cm 2 2 2 14,5 X = 8,125 cm Podle sinové věty je nyní: sin ϕ = sin ω = 3,5 14,5 3 X 14,5 8,125 tedy ϕ = 75 19. 53
Závěr Podle mého názoru je volné rovnoběžné promítání (dále jen RP) velice názorné. tudent si jen musí dát pozor, který typ (myšleno jaké parametry ω a q) si pro zobrazení daného tělesa zvolí. převážné většině to bude asi RP(45, 1). 2 Jak už jsem ale uvedla dříve, není to vždy to nejvhodnější. Například při zobrazení tělesové úhlopříčky krychle dochází při volbě těchto parametrů ke splynutí některých hran s danou úhlopříčkou. Pro větší přehlednost je tedy vhodnější zvolit RP(60, 2). 3 Také při zobrazování rotačních těles se doporučuje volit RP(60, 2 ). lipsa 3 (která je obrazem kružnice) se totiž při volbě RP(45, 1 ) značně deformuje (je 2 úzká a tím i nenázorná). Jistou nevýhodou by ve RP mohlo být, že i obrazem koule je elipsa, což může být pro některé studenty těžké si představit. Jedním z požadavků při tvorbě mé práce byla také srozumitelnost pro běžného středoškolského studenta. Proto jsem se snažila text psát jednoduše (většinou s odkazy na příslušné obrázky). části, ve které se věnuji stereometrii, jsem vybírala příklady, které nejsou příliš složité, ale ani úplně triviální. 54
Literatura [1] J. Kounovský,. yčichlo: eskriptivní geometrie. Praha: Č 1956 [2]. Kraemer: Zobrazovací metody: (promítání rovnoběžné) I. díl. Praha: PN 1991 [3]. Kraemer: Zobrazovací metody: (promítání rovnoběžné) II. díl. Praha: PN 1991 [4] M. Menšík,. Pospíšil: Technické kreslení eskriptivní geometrie. Praha: PN 1962 [5] J. Petáková: Matematika příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. Praha: Prometheus 2005 [6]. Piják a kol.: Konštrukčná geometria: pre matematicko-fyzikálne a pedagogické fakulty. ratislava: lovenské pedagogické nakladatel stvo 1985 [7] R. Piska,. Medek: eskriptivní geometrie I. Praha: NTL 1972 [8] :. Pomykalová: Matematika pro gymnázia tereometrie. Praha: Prometheus 1995 55