VŠ Technická univerzita Ostrava akulta strojní Katedra ružnosti a evnosti (9) Úvod do MKP (Návod do cvičení) Cvičení (Oakování základních znalostí z ružnosti a evnosti) utor: aroslav ojíček Verze: Ostrava 00
ÚMKP Cvičení Oakování základní ružnosti: V ředmětu Pružnost a evnost bl robrán základní ojm (naětí, deformace), zůsob řešení úloh (metoda řezu), zatěžování atd Základní rovnice ro výočet najatosti a změn tvaru ro tah-tlak, ohb, krut jsou zoakován v Tab Tab Tah tlak Ohb Kroucení (volné) =ab Δ P φ Vnitřní účink (síl) N() M() () N()= i = M()= M i = - ()= i =- Naětí Charakteristik růřezu Deformace Hookův zákon N ( ) Normálové naětí [MPa] d Plocha růřezu [m ] d, d Poměrné rodloužení [] E Prodloužení [mm] σ = E ε E - Modul ružnosti v tahu M ( ) Normálové naětí [MPa] d Osový moment setrvačnosti loch [m 4 ] Poměrné rodloužení [] M ( ) E Průhb [mm], natočení [rad] σ = E ε E - Modul ružnosti v tahu ( ) r mkové naětí [MPa] P r d Polární moment setrvačnosti loch [m 4 ] Zkos [rad] G P Zkroucení [rad] τ = G γ G - Modul ružnosti ve smku /
ÚMKP Cvičení Řešené říklad na rocvičení Cv Př_ Obr Při řešení říkladů v ružnosti a evnosti bl u statick určitých úloh oužíván jednoduchý ostu: Uvolnění tělesa (těles, základní ois úloh), sestavení statických rovnic rovnováh (výočet reakcí), určení řezů a rovnic oisujících hodnot vnitřních sil a momentů (dle tu úloh), určení růběhů vnitřních sil a momentů (grafick) a jejich analýza (etrém), určení charakteristik růřezů (,, P ), výočet naětí (růběh, hodnot a oloh etrémů), výočet růhbové čár, osunutí nebo natočení (dle tu úloh) Tento ostu oužijeme i u našeho říkladu Podrobnější ois jednotlivých kroků, vsvětlení a odvození rovnic lze nalézt v řednáškách ze tatik a Pružnosti a evnosti, říadně v iteratuře [] [9] a/ Uvolnění tělesa: Z úloh vjmeme jedno vbrané těleso s veškerým zatížením, které na vbrané těleso ůsobí Veškeré vazb vbraného tělesa s ostatními těles, rámem aod nahradíme reakcemi (vše řekreslíme do nového obrázku) U soustav těles tento ostu alikujeme na všechna tělesa kromě rámu V našem říadě takto získáme Obr (směr reakcí volíme) X M Dáno: =0 mm, =0 mm, =00 mm, = 000 N, E=00000MPa Urči: (oak statik a ružnosti ostu řešení) růhb, natočení, rozložení naětí v nosníku, reakce Y Obr b/ tatické rovnice rovnováh: Vjadřují, že očítané (uvolněné) těleso se neohbuje v žádném z možných směrů ohbu stuňů volnosti (u ohbujícího se tělesa sestavujeme ohbové rovnice, viz [0], []) V rovině má jedno těleso tři stuně volnosti U tahu často uvažujeme ouze jeden stueň volnosti ohb ve směru os rutu z toho ak vlývá rodloužení nebo zkrácení (odobně u kroucení) ix 0 X 0 X 0 N, iy 0 Y 0 Y 000 N, Mi 0 M 0 M 00 N m c/ Určení řezů a rovnic oisujících hodnot vnitřních sil a momentů: Každý řez je samostatný a dělí celé těleso na dvě olovin U řezů zavádíme také znaménkovou konvenci Postu je naznačen v Tab /
ÚMKP Cvičení Tab Těleso rozdělíme mšleným řezem Celé těleso X Y Příklad ohb Zeleně jsou vnitřní účink M Modře jsou reakce Červeně jsou zatížení Řez tělesem ovnice rovnováh latí ro Celé těleso, evou část tělesa, Pravou část tělesa i ro bod kde se obě části rozdělené mšleným řezem stýkají Pro osu Celé těleso X 0 ix 0 evá část tělesa N ( ) 0 Pravá část tělesa N ( ) X 0 N( ) X 0 Místo řezu N( ) N( ) 0 N( ) N( ) Pro osu Celé těleso Y 0 iy 0 evá část tělesa T( ) 0 T( ) Pravá část tělesa T( ) Y 0 T( ) Y Místo řezu T( ) T( ) 0 T( ) T( ) Pro moment Celé těleso M 0 M i 0 evá část tělesa M( ) 0 M( Mezi a latí vztah evá část tělesa Znaménková konvence ) 0 M( Pravá část tělesa M( ) M ) M( ) M( ) 0 M( ) M( Místo řezu ) ohbovat v oblasti: 0;, 0; X Y Proměnné oisující olohu řezu v tělese se mohou M( ) N( ) T( ) M d/ Určení růběhů vnitřních sil a momentů: ovnice uvedené v Tab řevedeme do grafické odob V jednodušších říadech lze z růběhu určit i olohu a hodnot etrému Obecně se etrém hledají omocí derivace funkce Průběh vnitřních sil a momentů ro očítaný říklad jsou uveden v Tab Hodnot vnitřních účinků jsou shodné, ať jdeme z kterékoliv stran T( ) N( ) Pravá část tělesa M( ) Znaménková konvence 4/
ÚMKP Cvičení Tab Příklad ohb Celé těleso Mezi a latí vztah Proměnné oisující olohu řezu v tělese se mohou ohbovat v oblasti: 0;, ( 0; ) X Y M Pro osu růběh Normálových sil 0 Ma evá část tělesa N ( ) 0 Pravá část tělesa N ( ) 0 N N Pro osu růběh Posouvajících sil (Tečných) T Ma evá část tělesa T ) ( Pravá část tělesa T ) ( T T Průběh ohbového momentu M Ma (, 0), kde, evá část tělesa M ( ) Pravá část tělesa M ( ) Pomocí substituce získáme: M ( ) e/ Určení charakteristik růřezů: Charakteristik růřezu rerezentují tvar loch růřezu Pro ohb jsou tři základní charakteristik růřezu dva osové moment setrvačnosti loch z,, (kvadratické) a deviační moment setrvačnosti loch z Osové moment setrvačnosti loch vjadřují odolnost vbraného růřezu ři ohbu okolo dané os Deviační moment setrvačnosti loch vjadřuje smetrii rozložení loch vbraného růřezu okolo os z a Deviační moment ři výočtu ohbu musí být nulový z =0 Postu ři výočtu momentů setrvačnosti složených loch je uveden v říkladu Cv Př_4 Moment setrvačnosti loch obdélníka k osám rocházejícím těžištěm jsou uveden v Tab 4 Tab 4 Osový moment setrvačnosti 4 =0 mm loch k ose z z 6667 mm =0 mm Osový moment setrvačnosti 4 667 mm loch k ose Deviační moment setrvačnosti loch z 0 mm f/ Výočet naětí: Obecně je hodnota naětí funkcí oloh f, z V říadě ohbu je možné oužít vzorec uvedený v Tab Naětí je ke každému bodu dáno funkcí, z od je rerezentován krchličkou, jejíž rozměr se limitně blíží nule (v rostoru d,, z M, 4 M 5/
ÚMKP Cvičení d, dz, v rovině d, d) Hodnot ohbového momentu v obecném místě nosníku jsou uveden v Tab a hodnot osových momentů setrvačnosti loch jsou uveden v Tab 4 Dosazením získáme obecný vzorec ro hodnotu naětí v obecném místě nosníku: M ( ),, z z z V našem říadě je najatost nezávislá na ose z Dosazením hodnot maimálního ohbového momentu a maimální hodnot (vlývá z rozměrů růřezu) získáme hodnotu maimálního naětí Poloha maima vlývá z oloh maimálního momentu Kladná hodnota naětí rerezentuje tahovou najatost σ H, záorná hodnota naětí tlakovou najatost σ D Výsledek s jednoduchým oisem najatosti je uveden v Tab 5 Tab 5 Maimální moment je v místě = a má hodnotu M M Ma =- M Ma =- Tah 00 MPa σ H = 00 =-/ - = =/ σ D =-00 Tlak 00 MPa Nejvzdálenější bod loch růřezu od těžiště (os z) mají hodnot =-/ a =/ Nosník má ouze jeden růřez, kterému odovídá moment setrvačnosti Z Maimální naětí v horní části nosníku H :, 00 MPa z Maimální naětí v dolní části nosníku D :, 00 MPa z g/ Výočet růhbové čár, osunutí a natočení: Posledním krokem je výočet změn tvaru tělesa Průhbovou čáru vočteme omocí naltické metod, osunutí a natočení určíme ve vbraném místě (bodu) omocí Castiglianových vět U analtické metod musíme oužívat znaménkovou konvenci Znaménka můžete odvodit na základě jednoduchého říkladu likace analtické metod na nosník je ukázána v Tab 6 Pomocí analtické metod vočteme růhbovou čáru Tab 6 M ( ) M naltická metoda: ( ) E X ( ) C, ( ) C C E 6 E Y ( ) Pomocí okrajových odmínek vřešíme konstant C, C ( ) 0, ( ) 0 (vetknutí) Po dosazení a úravě získáme konstant C, C : C, C E E Řešení je ted: ( ), ( ) E E 6 E E E U tohoto jednoduchého říkladu můžeme jednoduše odhadnout směr natočení a osunutí v koncovém bodě (od silou ) Z obrázku v Tab 6 je zřejmé, že osuv musí vjít ve směru zvolené znaménkové konvence kladný a natočení musí vjít roti směru zvolené znaménkové 6/
ÚMKP Cvičení konvence Dosazením = 0 do výsledných rovnic oisujících růhb a natočení, získáme ro natočení ( ( ) )kladnou hodnotu a ro osunutí ( ( ) ) záornou hodnotu Z toho lze usoudit, že ro výočet natočení a růhbu ro zvolenou znaménkovou konvenci budeme M ( ) oužívat rovnici: ( ) E Pomocí Castigliánových vět určíme natočení a osunutí ve vbraném bodu V místě kde očítáme osunutí, musí ležet síla, její směr musí být totožný se směrem očítaného osunutí V místě kde očítáme natočení, musí ležet moment, jeho směr odovídá směru očítaného natočení Hodnot momentu a síl, které jsou nutné ro výočet, nejsou odstatné Proto, v říadě, že ve zkoumaném místě není žádná síla (moment), zavedeme sílu (moment) omocnou, která má nulovou hodnotu likace Castiglianových vět je naznačena v Tab 7 Neboť v bodu není žádný moment, řidáme ro výočet natočení do úloh moment M =0 Nm Tento moment neovlivní výslednou hodnotu, ale umožní oužít k výočtu Castiglianov vět Podobně bchom ostuovali ři výočtu osuvu v místě, kde není žádná síla v ožadovaném směru Tab 7 M Castiglianova metoda: X M ( ) M ( ) d E X Y Y Výočet natočení : d E ( ) ( ) E 0 M φ M =0 ( ) M ( ) M ( ) d E M ( ) Výočet osunutí : M ( ), M ( ), 0;, d E ( ) ( ) E M ( ) M, M ( ) 0 M, 0;, Porovnáme-li výsledk řešení u Castiglianov metod (natočení a osunutí v bodě Tab 7) s výsledk řešení naltickou metodou (do rovnic dosadíme natočení ( 0) a osunutí ( 0) ) dostaneme shodné výsledk ovnice se liší ouze znaménkem, neboť u naltické metod se znaménka řídí znaménkovou konvencí a u Castiglianov metod směrem síl (momentu) odle kterého derivujeme 7/
ÚMKP Cvičení Řešené říklad na rocvičení Cv Př_ Dáno: =80 mm, =50 mm, =00 mm, =400 mm, = 000 N, = 00 N E=00000MPa, Urči: (Oak rinci suerozice) eakce, růběh vnitřních sil, naětí, osunutí bodu Obr Při řešení říkladů z ružnosti a evnosti můžeme často vužít rinciu suerozice Eistuje řada (relativně) složitých úloh, které můžeme rozložit na několik částí (úloh jednoduchých), t samostatně vřešit a výsledk dílčích řešení znovu sečíst Výsledkem ostuu je stejná hodnota (rovnice) jako v říadě římého řešení složité úloh Princi suerozice obvkle nelatí u velkých deformací, lastických deformací (zatížení nad mezí kluzu), creeu (tečení), v únavě aod (složité, často nelineární rovnice) Princi suerozice latí (jednoduché, často lineární rovnice) v oblasti latnosti Hookova zákona: ro reakce, zatížení, vnitřní účink, naětí, deformace a osunutí aod V tomto říkladu si řiomeneme výše uvedené, vbrané říad alikace suerozice Tto ostu budou vužit ři řešení rostorových, tvarově složitých či statick neurčitých úloh (otrubní sítě), u složených namáhání a telotních úloh a/ eakce a zatížení: Celou úlohu rozdělíme na dvě, z nichž každá bude obsahovat ouze jedno zatížení (sílu) Výsledná reakce je dána součtem dílčích výsledků měr reakcí je vhodné volit stejně Postu je naznačen v Tab 8 Tab 8 Celá úloha = Část Část chéma: uvolnění, rozdělení eakce uerozice 0 0 0 Kontrola b/ Vnitřní účink: tejně jako v ředchozím bodu můžeme určit také vnitřní síl Postu je ukázán v Tab 9 8/
ÚMKP Cvičení chéma: rozdělení Tab 9 Celá úloha = Část Část 00-000 00 00 ovnice N( ) N( ) N ( ) N ( ) 0 ( ( ) N ( ) N ( ) uerozice N ) N ( ) N ( ) N N ( ) N ( ) c/ Naětí: uerozice je vužívána zejména ři řešení složených namáhání, kd známe řešení jednotlivých částí rozložené úloh Najatost řešíme vžd v bodu, ro zobrazení najatosti oužíváme elementární krchli (v rovině obdélník) Kladné znaménko řiřadíme tahovému zatížení Postu je ukázán v Tab 0 Tab 0 Celá úloha = Část Část chéma: rozdělení σ( ) σ ( ) σ ( ) σ( ) σ ( ) σ ( ) ovnice N( ) ( ) ( N( ) ) ( ) ( ) N ( ) N ( ) 0 N ( ) ( ) ( N ( ) ) uerozice ( ) N ( ) N ( ) ( ) ( ) N ( ) N ( ) ( ) ( ) ( ) d/ Deformace a osunutí: uerozice lze s úsěchem oužít u statick určitých i statick neurčitých úloh (římých, lomených či křivých rutů), kde je větší množství zatížení či vazeb Postu je demonstrován v Tab (šrafovaná část není řešena) 9/
ÚMKP Cvičení chéma: rozdělení Tab Celá úloha = Část Část Δ Δ Δ Δ ovnice uerozice d, d E ( ) E E ( ) E N( ) E E N( ) Z těchto ukázek je zřejmá široká oužitelnost rinciu suerozice v ružnosti a evnosti 4 Řešené říklad na rocvičení Cv Př_ / Obr 4 / Při řešení říkladů z ružnosti a evnosti se často setkáváme s úlohami statick neurčitými Řešení tohoto tu úloh má jasný ostu: Uvolnění, sestavení rovnic rovnováh, určení stuně statické neurčitosti, nalezení odovídajícího očtu deformačních odmínek, vřešení osunů či natočení, řešení soustav rovnic stanovení reakcí Hlavní a často nejsložitější částí řešení je nalezení deformačních odmínek Často lze vužít rovnice definující chování vazb, odobnosti trojúhelníků, nebo rozdělení tělesa a/ Uvolnění, sestavení rovnic rovnováh, stueň statické neurčitosti: Postu je naznačen v následující Tab Tab Uvolnění / ovnice rovnováh 0 0 Získali jsme jednu rovnici rovnováh a dvě neznámé - reakce, K řešení otřebujeme ještě jednu rovnici (deformační odmínku) úloha je jednou statick neurčitá Hledáme jednu deformační odmínku Dáno: =80 mm, =00 mm, = 000 Nmm, E=00000MPa, Urči: (Oak tatick neurčité úloh) eakce / 0/
ÚMKP Cvičení b/ Deformační odmínk: K vtvoření deformační odmínk můžeme často vužít vazeb mezi těles, říadně těleso rozdělit na několik částí viz Tab Tab Varianta : V místě, je vetknutí, které v tomto říadě zachcuje úhel zkroucení ovnice těchto vazeb můžeme oužít římo jako deformační odmínk / / Varianta : ozdělíme-li tč mšleným řezem v místě momentu, ak úhel zkroucení musí být v obou částech stejný (znaménko se řídí dle znaménkové dohod) ab ři oětovném sloučení nedošlo k nesojitosti Deformační odmínk: 0, 0 / / Deformační odmínka: c/ Vřešení osunů či natočení: V tomto kroku lze s výhodou oužít Castigliánových vět Postu u vbraných deformačních odmínek je naznačen v Tab 4 Tab 4 Varianta: chéma: Varianta :, G G / / G G Hledáme natočení:? Varianta :, G G / Hledáme natočení:?,? d/ Řešení soustav rovnic, stanovení reakcí: Nalezené funkce dosadíme zět do deformačních odmínek a úravou (řešením soustav rovnic) získáme hodnot reakcí Postu je naznačen v Tab 5 / /
ÚMKP Cvičení Tab 5 Varianta: Varianta : 0 0 G G, 0 Varianta :, G G 0 eakce: 5 Řešené říklad na rocvičení Cv Př_4 Mohrova kružnice σ τ τ τ τ Mohrova kružnice je odvozena z rovnic rovnováh v řezu elementu a oisuje najatost ve vbraném bodu, ostu odvození je naznačen v Tab 6 Tab 6 chéma: Vsvětlení: ovinu, na které jsou naětí σ a τ nazveme rovinou ovinu, na které jsou naětí a τ nazveme ρ rovinou Dále rovedeme mšlený řez elementární σ σ ρ krchle (obdélníku) rovinou ρ, viz Obr 6 Mezi φ τ rovinou a rovinou ρ je úhel φ V rovině nám ak τ ρ vznikne trojúhelník ohraničený rovinami, a ρ Délka stran trojúhelníku v rovině je d, v rovině τ Obr 5 σ Dáno: σ = 60 MPa, = 0 MPa,τ = 40 MPa, φ = 0, (τ = τ ) Urči: hlavní naětí, úhel, naětí na obecně skloněné rovině d tg(φ), v rovině ρ je Trojúhelník je cos (φ) Obr 6 ravoúhlý Délku elementu ose z oložíme rovnu Použitá konvence je naznačena modrou barvou Z rovnic rovnováh ve směru naětí σ ρ určíme: σ ρ = σ σ cos φ τ sin (φ) Z rovnic rovnováh ve směru naětí τ ρ určíme: τ ρ = σ sin φ τ cos (φ) ovnice uvedené v Tab 6 oisují konstrukci, která se nazývá Mohrova kružnice V ružnosti a evnosti obvkle ostuujeme z oačné stran, určitým zůsobem sestavíme kružnici a z ní ak můžeme odvodit všechn otřebné rovnice (i rovnice z Tab 6), říadně odměřením určit všechn otřebné hodnot d /
ÚMKP Cvičení Každá strana - rovina v elementární krchli, ted síše naětí straně říslušná jsou v kružnici zobrazena jako bod Při otáčení krchle se naětí mnění, osouvají se o kružnici, ačkoliv jsme ořád ve stejném bodu Mohrova kružnice ted oisuje najatost v bodu, nezávisle na natočení souřadného sstému elementární krchle a omocí Mohrov kružnice můžeme snadno zjistit jednotlivá naětí v libovolně ootočené rovině Dále se odíváme, jak sestrojit Mohrovu kružnici V zadání b měla být nakreslena elementární krchle a znaménková konvence, na základě které bla kružnice odvozena Dále musíme znát hodnot normálových (σ, ) a smkových (τ ) naětí V ružnosti obvkle mlčk ředokládáme: σ z = 0MPa, τ z = 0 MPa, τ z = 0 MPa (rovinná najatost) Nulové jsou obvkle také hodnot, které nejsou v zadání uveden V Tab 7 jsou uveden některé říklad Tab 7 chéma: σ τ τ τ τ σ Hodnot: σ = 60 MPa, = 0 MPa, τ = 0 MPa, σ z = 0 MPa, τ z = 0 MPa, τ z = 0 MPa Platí τ = τ, τ z = τ z, τ z = τ z (zákon sdruženosti smkových naětí) σ σ σ = 60 MPa, = 0 MPa, τ = 0 MPa (Vzhledem k tomu, že smková naětí jsou nulová, jsou osová naětí také hlavní naětí) τ τ σ = 0 MPa, = 0 MPa, τ = 0 MPa (atd) τ τ Při konstrukci Mohrov kružnice vnášíme na osu normálová naětí, na os smková naětí Každá strana elementární krchle (nebo obdélníku ři rovinné najatosti) rerezentuje jeden bod kružnice Při konstrukci Mohrov kružnice se řídíme výše osanou znaménkovou konvencí Základní ostu ři sestrojení kružnice je uveden v Tab 8 /
ÚMKP Cvičení Tab 8 chéma: σ τ τ τ σ Postu: Zadání: σ = 60 MPa, = 0 MPa, τ = 40 MPa, τ τ σ σ Vbereme libovolnou stranu krchle (na které jsou naětí), naětí na vbrané rovině straně odovídají bodu v Mohrově kružnici o souřadnicích [σ, τ ] Normálové naětí je v kladném směru dle konvence, smkové naětí je v záorném směru dle konvence τ τ τ σ σ Druhý bod kružnice získáme stejným z další rovin kolmé k ředchozí Znovu oužijeme znaménkovou konvenci a otočíme jí o 90 v říslušném směru Druhý bod kružnice má souřadnice [, τ ] τ τ 0 Oba bod sojíme římkou V růsečíku římk a os normálových naětí je střed kružnice Kružnice rochází oběma bod, které rerezentují najatost v elementární krchli Mezi rovinami v elementární krchli je 90 mezi bod v Mohrově kružnici je dvojnásobek 90 V Mohrově kružnici budeme ted měřit vžd dvojnásobk úhlů oroti skutečnosti Tímto jsme zkonstruovali Mohrovu kružnici ro zadanou najatost Z Mohrov kružnice můžeme snadno odvodit vzorce oisující kružnici analtick: 90 σ třed kružnice leží ve středu mezi bod σ, : 0 = σ Poloměr kružnice určíme z ravoúhlého trojúhelníku určeného středem kružnice, bodem na kružnici nař [, τ ] a bodem na ose normálových naětí: = σ σ τ Mohrovu kružnici často oužíváme k určení hlavních naětí Pomocí oloh středu a oloměru kružnice určíme hodnot hlavních naětí analtick: σ, = 0 ± Úhel mezi zadanou rovinou a rovinou ve které jsou hlavní naětí, určíme znovu z ravoúhlého trojúhelníku Pravoúhlý trojúhelník je určen středem kružnice, bodem na kružnici nař [, τ ] a bodem 4/
ÚMKP Cvičení na ose normálových naětí: tg α = τ σ Úhel α určíme z Mohrov kružnice, je to úhel mezi rovinou odovídající zadané najatosti a rovinou ve které leží hlavní naětí Postu v grafické formě je naznačen v Tab 9 Tab 9 chéma: σ τ τ τ σ Postu: Zadání: σ = 60 MPa, = 0 MPa, τ = 40 MPa, τ τ τ σ 0 σ σ [σ, 0] τ σ α [σ, τ ] α Nejrve sestrojíme kružnici, viz Tab 8 Hlavní naětí jsou v růsečíku kružnice s osou normálových naětí Po natočení stěn elementární krchle o úhel α získáme rovinu, na které jsou hlavní naětí Úhel α odměříme z kružnice (nebo sočteme omocí výše uvedeného vzorce) Při určení naětí na obecně skloněné rovině ostuujeme odobným zůsobem jako v ředchozím říadu Úkolem je určit naětí na rovině ootočené vůči rovině odovídající zadané najatosti o úhel φ Úhel φ je zadán ředem Postu je naznačen v Tab 0 Tab 0 chéma: Postu: τ 0 σ φ [σ ρ, τ ρ ] σ σ τ τ σ ρ [σ, τ ] φ τ ρ Nejrve sestrojíme kružnici, viz Tab 8 Vjdeme z rovin, kterou chceme otočit ovina je v kružnici určena souřadnicemi [σ, τ ] V elementární krchli rovinu otočíme o úhel φ v Mohrově kružnici o dvojnásobek úhlu φ V takto natočené rovině budou naětí [σ ρ, τ ρ ], která můžeme odměřit z kružnice (nebo oužít vzorce uvedené v Tab 6) Při oužití výše osané znaménkové konvence směr natočení elementární krchle a bodu v Mohrově kružnici si odovídají 5/
ÚMKP Cvičení 6 Řešené říklad na rocvičení Cv Př_5 b d a c Obr 6 Celý ostu určení hlavních centrálních os a momentů setrvačnosti složené loch lze rozdělit do několika bodů (elementární loch jsme schoni sočíst analtick): ozdělení na elementární loch, určení jejich těžiště a celkového těžiště, určení momentů setrvačnosti a deviačních momentů elementárních loch k jejich těžišti, určení momentů setrvačnosti složené loch k osám rocházejícím těžištěm (teinerova věta), určení hlavních centrálních momentů setrvačnosti a určení hlavních centrálních os setrvačnosti složené loch ložené loch rozdělujeme tak, ab rozdělené části bl smetrické odle stejných os Pokud to nelze (jako v našem říadě) je ostu delší a/ ozdělení na elementární loch, určení jejich těžiště a celkového těžiště určení momentů setrvačnosti a deviačních momentů elementárních loch k jejich těžišti: loženou lochu se snažíme rozdělit na minimální očet elementárních loch loženou lochu lze rozdělit na elementární loch mnoha zůsob, ale všechn zůsob řešení (rozdělení) dávají jeden, ve všech říadech stejný, výsledek Moment setrvačnosti obdélníka jsou v Tab 4 Postu je naznačen v Tab Tab ložená locha Varianta : vbereme Varianta : Varianta : T T Dáno: a=5 mm, b=0 mm, c=5 mm, d=5 mm, Urči: (Oak Moment setrvačnosti loch) Polohu a hodnotu hlavních centrálních momentů setrvačnosti loch - d Těleso a-d c Těleso Poloha těžiště tělesa v souřadném sstému -: d d b T T ; T ; Moment setrvačnosti loch tělesa k osám b rocházejícím těžištěm T a rovnoběžným s osami, : d b d b, Poloha těžiště tělesa v souřadném sstému -: a d c T T ; T d; Moment setrvačnosti loch tělesa k osám rocházejícím těžištěm T a rovnoběžným s osami, : a d c, a d c 6/
ÚMKP Cvičení Poloha těžiště složeného tělesa v souřadném sstému, : T T T ; T ; kde a jsou obsah těles a T T T, b/ Určení momentů setrvačnosti složené loch k osám rocházejícím těžištěm (teinerova věta): teinerova věta slouží k výočtu hodnot momentů setrvačnosti loch u osunutých os Postu je naznačen v Tab Tab Těleso Moment setrvačnosti loch tělesa k osám rocházejícím těžištěm celkovým T a rovnoběžným s osami, : T, T T T T T Těleso T T T T T T T T T T T T T T T T, T Moment setrvačnosti loch tělesa k osám rocházejícím těžištěm celkovým T a rovnoběžným s osami, :, T T T T T T T T T T, T Moment setrvačnosti loch složeného tělesa: T T, T T, T T c/ určení hlavních centrálních momentů setrvačnosti a určení hlavních centrálních os setrvačnosti složené loch: V říadě, že celkový deviační moment setrvačnosti loch je nulový, ak osové moment setrvačnosti loch vočtené v ředchozím bodu jsou hlavní centrální moment setrvačnosti a os rocházející celkovým těžištěm jsou hlavní centrální os setrvačnosti V našem říkladu deviační moment loch nevjde nulový V rvním kroku určíme hodnot hlavních centrálních momentů setrvačnosti loch, ve druhém kroku olohu os Při řešení vužijeme Mohrov kružnice Osové moment setrvačnosti loch jsou vžd větší než nula Postu je naznačen v Tab 7/
ÚMKP Cvičení Tab Z ředchozích kroků výočtu jsme získali hodnot centrálních momentů setrvačnosti loch:,, Mohrova kružnice: Určíme vzdálenost středu kružnice od očátku a velikost oloměru kružnice: O, Hodnot hlavních centrálních momentů setrvačnosti loch ( =0) odovídají růsečíku kružnice a os osových momentů setrvačnosti loch: O, O, hodnotu úhlu určíme z ravoúhlého trojúhelníka: tg 0 - φ, Polohu os určíme na základě jednoduché úvah Moment setrvačnosti loch jsou charakteristik růřezu ro ohb Mají li dvě různé loch růřezu stejné hodnot hlavních centrálních momentů setrvačnosti, budou se, z hlediska ohbu, chovat stejně Maimální a minimální moment setrvačnosti můžeme určit z Mohrov kružnice, úhel φ je mezi a ( MIN ) nebo mezi a ( MX ) Následující Tab 4 ukazuje určení oloh hlavních centrálních os setrvačnosti Místo skutečného tvaru růřezu zvolíme náhradní loch vhodného tvaru, které mají stejné charakteristik růřezu U této náhradní loch známe olohu těžiště, i velikost loch a můžeme vužít vzorce a snadno sočíst t t znaménko říslušné tvaru loch U vhodně zvolené náhradní loch snadno určíme také olohu minimálního a maimálního momentu setrvačnosti loch Tab 4 kutečná locha Náhradní locha Náhradní locha Platí: d, locha je vžd kladná 0 chematick: Vočteno: t t - Deviační moment je dán součinem dvou kladných nebo dvou záorných hodnot (souřadnice těžiště) bude vžd kladný t t Deviační moment je dán součinem kladné a záorné hodnot (souřadnice těžiště) bude vžd záorný Platí, je-li 0 Platí, je-li 0 - φ MX MIN φ MX - φ - φ MIN 8/
ÚMKP Cvičení 7 Řešené říklad na rocvičení Cv Př_6 ložené namáhání ØD Obr 7 Dáno: =500 mm, D=0 mm (, P ), =000 N, =00 Nmm, E=00000MPa (G), σ D =50 MPa Urči: Maimální redukované naětí v hřídeli vrtule Ostatní vliv (nař vlastní tíha) jsou zanedbán Úloh, ve kterých se vsktuje více než jeden zůsob zatěžování (tah-tlak, ohb, krut aod), budeme nazývat úloh na složené namáhání Tto úloh budeme řešit rozložením na základní zatěžovací zůsob suerozicí e nutné ted vžd zvážit, zda lze rinciu suerozice oužít Princiu suerozice nelze oužít v říadech s velkými deformacemi (latí ředoklad oužité ři odvození základních rovnic) či trvalými deformacemi (lastická oblast, cree-tečení), (relaace, únava) aod Použití suerozice: nař úlohu obsahující osovou sílu (tah-tlak) a ohbové moment (ohb) rozložíme na dvě úloh tah a ohb, které samostatně vřešíme Výsled řešení nakonec sloučíme do jednoho výsledku (vužitím elementární krchle) Postu ři řešení lze rozdělit do následujících kroků: rozdělení úloh na základní zatěžovací zůsob a řešení těchto rozdělených úloh, sloučení výsledků řešení (elementární krchle), hledání etrémů aod, nalezení hlavních naětí (určení směrů hlavních naětí je-li to nutné) Mohrova kružnice, alikace vbrané hotéz evnosti, evnostní kontrola, návrh rozměrů, zatížení atd (vhodnocení) První čtři krok oisují obecný ostu Může se stát, že některý z bodů vadne, nebo jej není nutné u dané úloh uvažovat Poslední krok se týká konkrétní řešené úloh - úrav či vjádření z rovnic aod Uvedený ostu se týká výočtu najatosti těles, ři výočtu změn tvaru (osunutí, natočení, rodloužení, zkroucení atd) lze ostuovat obdobným zůsobem ednotlivé krok jsou vsvětlen a ukázán v následujícím říkladu Další základní říad ro složené namáhání (tah-ohb, ohb krut atd) jsou řešen stejným zůsobem (viz cvičení, říadně vzkoušejte) a/ ozdělení úloh na základní zatěžovací zůsob a řešení těchto rozdělených úloh Prvním krokem je rozdělení úloh Úlohu rozdělíme na dvě části tah-tlak a kroucení U obou dílčích částí sestavíme všechn ožadované rovnice (nebo vočteme hodnot) Postu je naznačen v Tab 5 9/
ÚMKP Cvičení Tab 5 Celá úloha Část Část chéma: Část - kroucení φ Část tah-tlak Δl Vnitřní účink: Naětí v řezu: ( ) N( ) ( ) ( ) r r Maimální naětí: D (etrém) MX Elementární krchle v místě etrému: N( ) ( ) MX b/ loučení výsledků řešení (elementární krchle), hledání etrémů Vcházíme z najatosti v bodě (elementární krchle viz Tab ) Odovídající naětí sečteme a vhodnotíme etrém U složeného namáhání je často nutné vhodnocovat více bodů, ve kterých se vsktují etrém Postu je naznačen v Tab 6 Tab 6 Maimální smkové naětí MX je kdekoliv na ovrchu hřídele (Krut) Maimální normálové naětí MX je kdekoliv v hřídeli (Tah) c/ Nalezení hlavních naětí (určení směrů hlavních naětí je-li to nutné) Mohrova kružnice Tento bod závisí také na zvolené hotéze evnosti (viz následující krok) Nejrve sestrojíme Mohrovu kružnici ro výslednou najatost Z výsledné kružnice ak určíme hodnot hlavních naětí (ro kontrolu grafick i očetně) Postu je naznačen v Tab 7 Tab 7 Grafick Početně τ σ τ -τ τ σ 0 σ σ σ 0,,, 0 0 0/
ÚMKP Cvičení 8 Řešené říklad na rocvičení Cv Př_7 - Klika ØD a Obr 8 a/ ozdělení úloh na základní zatěžovací zůsob a řešení těchto rozdělených úloh íla zůsobí v jedné části klik ouze ohb, ve druhé části zůsobí ohb a krut V Tab 8 je ukázán zůsob rozdělení na jednotlivé úsek a dále na základní zůsob zatěžování Tab 8 Celé těleso = Část (ohb) Část (ohb krut) a M Dáno: =50 mm, =00 mm, D=0 mm (, P ), a=5 mm, =000 N, E=00000 MPa (G=80000 MPa), σ D =50 MPa Urči: Maimální redukované naětí (HMH) Ostatní vliv (nař vlastní tíha) jsou zanedbán M Část Část M M Ohb: / Řez: M( ), 0, - /Etrém: Mma M( ) 4 M ( ) a / Najatost: ( ), a -/ Etrém: ma / eakce: M, Ohb: / M( ), 0, -/ Mma M( ) M 4 M ( ) D / ( ), 64 D -/ ma Krut: / ( ) M, 0, -/ ma ( ) M M ( ) M / ( ) r r, -/ ma P M P D P P 4 D /
ÚMKP Cvičení b/ loučení výsledků řešení (elementární krchle), hledání etrémů Vcházíme z najatosti v bodě Odovídající naětí sečteme a vhodnotíme etrém vžd samostatně v části a části V části se vsktuje ouze jednoosá najatost a ouze ohb, bod c/ a d/ můžeme shrnout do rovnice red ma Pro část je ostu naznačen v Tab 9 Tab9 Maimální smkové naětí MX je kdekoliv na ovrchu hřídele (Krut) Maimální normálové naětí MX je v a/ horní (o dosazení znamének Tah) a ve sodní (o dosazení znamének Tlak) části hřídele b/ c/ Nalezení hlavních naětí (určení směrů hlavních naětí je-li to nutné) Mohrova kružnice Tento bod závisí také na zvolené hotéze evnosti (viz následující krok) Pro část tento bod nemá smsl, ro část ostu odovídá ředchozímu říkladu 9 iteratura Odvození a říklad na rocvičení lze nalézt ve většině skrit či učebnic ružnosti a evnosti, statik atd Naříklad: [] enert,, Pružnost a evnost,, VŠ-TU Ostrava [] Krčál, O, bírka říkladů z ružnosti a evnosti, VŠ-TU Ostrava [] Krčál, O, dámková, bírka říkladů z ružnosti a evnosti, VŠ-TU Ostrava [4] Trebuňa, urica, Šimčák, Pružnosť a evnosť I, II, [5] Šmiřák, Pružnost a lasticita I, [6] Miroljubov, I N a kol, Řešení úloh z ružnosti a evnosti, NT, 976 [7] Pěšina, E, eif, P, Valenta,, bírka říkladů z ružnosti a evnosti, NT, 964 [8] uliš, Teřík, lavík, tatika, NT, 987 [9] Ondrouch, Šnuárková, Příručka statik s říklad, 986 [0] Horl, tatika a dnamika, 988 [] Medvec,, tradiot,, Záhorec, O, Caban,, Mechanika III - Dnamika, TU v ratislave, 996 /