Úmrtnostní tabulky, komutační čísla a jejich použití 2015
Osnova 1 Délka života 2 Intenzita úmrtnosti 3 Úmrtnostní Tabulky 4 Komutační čísla
Obsah 1 Délka života 2 Intenzita úmrtnosti 3 Úmrtnostní Tabulky 4 Komutační čísla
Délka života T 0 Kombinace finanční matematiky a matematického modelování úmrtnosti- pojistná událost spočívá v úmrtí nebo dožití se určitého věku. charakteristika úmrtnosti: dva stavy- "naživu"a "zemřelý", o příslušném stavu každého z pojištěných lze jednoznačně rozhodnout; přechod mezi těmito stavy pouze jedním směrem- úmrtí; okamžik úmrtí je náhodný a může být popsán jen s použitím pravděpodobnosních nástrojů.
Délka života T 0 Délka života : spojitá náhodná veličina představující délku života právě narozeného jedince (doba mezi věkem 0 a úmrtím); měří se v letech; Představa na níž je založen model úmrtnosti: náhodně vybereme jednoho jedince z velké skupiny x-letých, jeho délka života není známá, ale můžeme na ni pohlížet jako na náhodnou veličinu s odhadnutelným pravděpodobnostním rozdělením.
Pravděpodobnostní rozdělení Pravděpodobnostní rozdělení délky života T 0 popisujeme pomocí distribuční funkce díky spojitosti můžeme psát F 0 (t) = P(T 0 t) P(T 0 t) = P(T 0 < t). Někdy se zavádí také funkce přežití S 0 (t) = P(T 0 > t) = 1 F 0 (t)
Budoucí délku života ve věku x za podmínky, že jedinec se dožil věku x budeme značit T x. Distribuční funkci délky života ve věku x počítáme pomocí podmíněné pravděpodobnosti: F x (t) = P(T x t) = P(T 0 x + t T 0 > x) = = P(x < T 0 x + t) = F 0(x + t) F 0 (x). P(T 0 > x) 1 F 0 (x) Pro funkci přežití ve věku x platí S x (t) = P(T x > t) = P(T 0 > x + t T 0 > x) = = P(T 0 > x + t) = S 0(x + t). P(T 0 > x) S 0 (x)
Značení q x - pravděpodobnost úmrtí ve věku x: pravděpodobnost toho, že jedinec, který je naživu ve věku x, se nedožije věku x + 1 q x = F x (1) = P(T x 1); p x - pravděpodobnost dožití ve věku x: pravděpodobnost toho, že jedinec, který je naživu ve věku x, se dožije věku x + 1: p x = S x (1) = P(T x > 1); tq x - pravděpodobnost toho, že jedinec, který je naživu ve věku x, zemře před dosažením věku x + t tq x = F x (t) = P(T x t);
Značení tp x - pravděpodobnost toho, že jedinec, který je naživu ve věku x, se dožije věku x + t tp x = S x (t) = P(T x > t); s q x - pravděpodobnost toho, že jedinec, který je naživu ve věku x, zemře ve věku x + s s q x = F x (s + 1) F x (s) = P(s < T x s + 1); s tq x - pravděpodobnost toho, že jedinec, který je naživu ve věku x, se dožije věku x + s, ale zemře před dosažením věku x + s + t s tq x = F x (s + t) F x (s) = P(s < T x s + t).
Značení 0 e x - střední délka života ve věku x - udává průměrný počet let života zbývající jedinci ve věku x. Platí 0 e x = E(T x ).
Obsah 1 Délka života 2 Intenzita úmrtnosti 3 Úmrtnostní Tabulky 4 Komutační čísla
Intenzita úmrtnosti Označme si pravděpodobnostní hustotu veličiny T 0 jako f 0 (t) = d dt F 0(t) = d dt ( tq 0 ) = d dt (1 tp 0 ) = d dt t p 0. Jelikož platí tq x + t p x = 1, pak pravděpodobnostní hustota veličiny T x je f x (t) = d dt F x(t) = d dt ( tq x ) = d dt (1 tp x ) = d dt ( tp x ). Pro f 0 a f x platí f x (t) = f 0(x + t) 1 F 0 (x) = f 0(x + t) xp 0.
Intenzita úmrtnosti ve věku x µ x = f x (0) = f 0(x) = 1 d xp 0 xp 0 dx x p 0 = d dx ln( xp 0 ) µ x+t = f x+t (0) = f t(x) = 1 d xp t xp t dx x p t = d dx ln( xp t ). Budeme-li předpokládat malé přírůstky x, pak platí f 0 (x) x F 0 (x + x) F 0 (x) = P(x < T 0 < x + x), pak můžeme psát µ x x = f x (0) x F x ( x) F x (0) = P(x < T 0 < x + x T 0 > x). Výraz µ x x udává pravděpodobnost úmrtí ve věkovém intervalu (x, x + x) malé délky x za podmínky, že daný jedinec se dožil věku x.
Zákony úmrtnosti Praktické využití intenzity úmrtnosti. Snaha modelovat lidskou úmrtnost pomocí matematických vzorců, konstrukce křivek úmrtnosti pro danou populaci. Jedná se pak o úsporný popis velkého množství údajů. Úmrtnostní křivky jsou hladké a přispívají k vyhlazování úmrtnostních tabulek. Pro rozlišení různých zákonů úmrtnosti jsou vhodné různé volby intenzit úmrtnosti.
Konstantní intenzita úmrtnosti Intenzita úmrtnosti je konstantní, tedy Vyjdeme ze vztahu µ x = λ. µ x+s = d ds ln( sp x ) jehož integrací od 0 po t dostaneme ( t ) tp x = exp µ x+s ds = e λt. 0 Funkce přežití t p x zde nezávisí na věku, a proto je tento zákon úmrtnosti pro lidskou populaci nevhodný.
Moivrův zákon úmrtnosti Jedná se o rovnoměrné rozdělení délky života s pravděpodobnostní hustotou f x (t) = 1, pro 0 < t < ω x, ω x kde ω je stanovený nejvyšší věk pro uvažovanou populaci. Platí tp x = 1 t q x = 1 F x (t) = ω x t, pro 0 < t < ω x. ω x Intenzita úmrtnosti µ x = f x (0) = 1, pro 0 < x < ω, ω x je hyperbolicky rostoucí funkce.
Další zákony úmrtnosti Gompertzův zákon úmrtnosti: exponenciálně rostoucí intenzita úmrtnosti µ x = Bc x, kde B > 0, a c > 1 jsou parametry. Makehamův zákon úmrtnosti: zobecnění Gompertzovy intenzity úmrtnosti do tvaru µ x = A + Bc x, kde A > 0 je další parametr.
Področní pravděpodobnosti úmrtí a dožití Někdy je třeba v praxi určit rozsah kmene pojištěných l x+t, kde 0 < t < 1, jestliže známe rozsahy kmene pojištěných l x pro celočíselné věky x. Uvedeme si pro to dvě metody související s intenzitou úmrtnosti.
Předpoklad konstantní intenzity úmrtnosti mezi celočíselnými věky Metoda je založena na předpokladu µ x+t = µ = konstanta, pro 0 t 1, x je pevně zvolený celočíselný věk. Pro konstantní intenzitu úmrtnosti jsme již dříve odvodili tp x = e µt. Dosazením t = 1 dostáváme µ = ln ( 1 p x ) = ln (p x ). Hledané področní pravděpodobnosti jsou ( t ) tp x+s = exp µ x+s+z dz = e µt, tq x+s = 1 e µt, s, t 0, s + t 1. 0
Předpoklad področní linearity úmrtnosti Metoda je založena na předpokladu tq x = tq x, 0 t 1. Souvislost s intenzitou úmrtnosti je vidět zde: q x = d dt tq x = d dt t q x = d dt F x(t) = f x (t) = t p x µ x+t, platí µ x+t = q x 1 t.q x, 0 t 1.
Předpoklad področní linearity úmrtnosti Pro hledané področní pravděpodobnosti pak platí s, t 0, s + t 1. tp x+s = s+t p x sp x tq x+s = tq x 1 sq x, = 1 (s + t)q x 1 sq x,
Příklad Necht jsou známy hodnoty q 50 = 0, 0049867, q 51 = 0, 00557449, q 52 = 0, 0061396, p 50 = 0, 99501, p 51 = 0, 99442, a p 52 = 0, 99386. Najděte hodnoty 0,5q 50 ; 2p 50,5 ; µ 52,75.
Obsah 1 Délka života 2 Intenzita úmrtnosti 3 Úmrtnostní Tabulky 4 Komutační čísla
Úmrtnostní tabulky jsou základním nástrojem pro výpočty prováděné v rámci životního pojištění. Prezentují model úmrtnosti praktickým způsobem. poskytují základní informace o úmrtnosti uzavřené stacionární populace- nedochází k migraci obyvatelstva a v čase se nemění ani velikost populace a její věkové složení. pro Českou republiku je každoročně publikuje Český statistický úřad.
Rozlišují se úmrtnostní tabulky: úplné - mají jednoleté věkové intervaly (tzn. údaje pro věk 0,1,...,ω roků) zkrácené - mají víceleté věkové intervaly běžné (průřezové) - vycházejí z úmrtnostní zkušenosti populace během krátkého (většinou ročního) časového období obvykle nepřesahujícího 10 let generační - představují skutečný záznam průběhu života konkrétní generace V pojišt ovací praxi se používají především běžné úplné úmrtnostní tabulky.
Popis úmrtnostni tabulky Sloupce úmrtnostní tabulky představují konkrétní veličiny, např. věk osob, počet žijících osob v daném věku, atd. Řádky představují hodnoty veličin uvedených ve sloupcích pro konkrétní věk. Charakteristika konkrétních veličin uvedených v úmrtnostních tabulkách: x - vyjadřuje věk osoby - x {0, 1,..., ω}, kde ω je předpokládaný nejvyšší věk, který může dosáhnout osoba sledovaného souboru
Veličiny úmrtnostní tabulky pravděpodobnost dožití p x - vyjadřuje pravděpodobnost, že x-letá osoba se dožije věku (x + 1) pravděpodobnost úmrtí q x - vyjadřuje pravděpodobnost, že x-letá osoba se nedožije věku (x + 1) platí p x + q x = 1 počet dožívajících se věku x l x - vyjadřuje počet osob žijících ve věku x. Počáteční hodnota l 0 vyjadřuje počáteční počet osob modelovaného souboru a nazývá se kořen úmrtnostní tabulky.
Pro libovolná přirozená x můžeme definovat posloupnost l x jako l x = l 0 x p 0 Protože pro libovolné přirozené n platí vztah x+np 0 = x p 0 n p x, dostaneme z něj vynásobením rovnice kořenem l 0 vztah l x+n = l x n p x. Pak pro n = 1 dostáváme rekurentní vztah pro posloupnost l x l x+1 = l x p x.
Můžeme tedy vyjádřit pravděpodobnost dožití z věku x do věku x + n jako Platí také np x = l x+n l x. nq x = l x l x+n l x. Jestliže l 0 je počet jedinců ve věku 0, pak počet jedinců, kterí přežijí do věku x je vzhledem k navzájem nezávislému úmrtnostnímu chování jedinců náhodná veličina s binomickým rozdělením Bi(l 0, x p 0 ). Střední hodnota této veličiny je tedy l 0 x p 0 = l x.
l x lze interpretovat jako střední počet jedinců, kteří se při daném výchozím stavu l 0 dožijí věku x. Je zřejmé, že posloupnost l x je nerostoucí tedy l 0 l 1 l 2... Bývá zvykem v praxi stanovit nejvyšší věkovou hranici ω jako nejnižší věk x takový, že pak již l x = 0, x > ω. ω se volí věk takový, jehož dožití je již málo pravděpodobné.
počet zemřelých ve věku x d x - vyjadřuje počet osob, které zemřely ve věku x. Definujeme Platí tedy, že d x = l x l x+1 s tím, že platí d ω = l ω. q x = d x l x nebo obecněji n q x = d x+n l x. d x se analogicky interpretuje jako střední počet jedinců, kteří při daném výchozím stavu l 0 zemřou ve věku x.
L x - počet let prožitých jedinci ve věku x je střední počet roků, které ve věku x celkem prožije l x jedinců z úmrtnostní tabulky. Využijeme dříve zavedenou aproximaci t q x = tq x, což dává q x = f x (t). Pak 1 1 L x = l x+1 + l x tf x (t) dt l x+1 + l x tq x dt 0 = l x+1 + 1 2 q x l x = l x+1 + 1 2 d x. Z původních l x jedinců ve věku x přispěje každý z l x+1 jedinců, kteří se dožijí věku věku x + 1, do L x jedním rokem, tj. celkem l x+1 roky. Navíc každý z l x t p x µ x+t jedinců kteří zemřou před dosažením věku x + 1 ve věku x + t, přispěje ještě t roky, tj. celkem t l x t p x µ x+t roky. 0
T x - počet zbylých let života jedinců ve věku x je střední počet roků, které do konce svého života ještě celkem prožije l x jedinců z úmrtnostní tabulky. Platí, že ω x 1 T x = L x +L x+1 +...+L ω = l x tf x (t) dt = l x t t p x µ x+t dt 0 e x - střední délka života ve věku x vyjadřuje průměrný počet roků, kterých se ještě dožije jedinec ve věku x let. Platí následující aproximativní vztah 0 0 e x = T x l x. 0
Příklad Kolik osob ve věku 60 let zemřelo během 5 roků; 7 roků?
Obsah 1 Délka života 2 Intenzita úmrtnosti 3 Úmrtnostní Tabulky 4 Komutační čísla
Komutační čísla Jedná se o často se opakující součiny a součty v pojistných výpočtech. Tyto součiny a součty byly označeny a jejich hodnoty jsou tabelizovány. Hodnoty komutačních čísel závisí na úmrtnostní tabulce a na výšce úrokové míry. V dalším budeme používat označení v pro diskontní faktor v = 1 1 + i, kde i je úroková míra.
Rozlišujeme komutační čísla: nultého řádu: D x = l x v x diskontovaný počet dožívajících se věku x C x = d x v x+1 diskontovaný počet zemřelých ve věku x prvního řádu N x = M x = ω x D x+j j=0 ω x C x+j j=0
druhého řádu S x = R x = ω x N x+j j=0 ω x M x+j j=0 Komutační čísla vyšších řádů se nepoužívají.
Reference Červinek P.: I, Masarykova univerzita, 2008 Cipra T.: - Teorie a praxe, Ekopress, 1999 Bowers N.L., Gerber H.U., Hickman J.C., Jones D.A., Nesbitt C.J. : Actuarial Mathematics The Society of Actuaries, Schaumburg, Illinois 1997