Přednáška 08 Obecná trojosá napjatost Napětí statické rovnice Deformace geometrické rovnice Zobecněný Hookeův ákon Příklad emní tlak v klidu Copyright (c) 2011 Vít Šmilauer Cech Technical University in Prague, Faculty of Civil Engineering, Department of Mechanics, Cech Republic Permission is granted to copy, distribute and/or modify this document under the terms of the GNU Free Documentation License, Version 1.2 or any later version published by the Free Software Foundation; with no Invariant Sections, no Front-Cover Tets, and no Back-Cover Tets. A copy of the license is included in the section entitled "GNU Free Documentation License" found at http://www.gnu.org/licenses/ 1
Napětí V každém bodě kontinua eistuje napětí. Jeho 9 složek v maticovém tvaru se naývá tensor napětí: σ = [ σ τ y τ τ y σ y τ y τ τ y σ ] Tensor napětí je tensor 2. řádu, každá jeho složka může nabývat libovolné hodnoty. Při rotaci tensoru napětí platí transformační vtah, v maticovém ápisu '=A A T. Matice A je ortogonální, neboť A T =A 1. Pro náornění napětí definujeme normálu k libovolné ploše. Na každé normále eistují 3 složky napětí, tv. vektor napětí: Vektor napětí pro normálu n, která je souhlasná s osou. σ = [ σ τ y τ τ y σ y τ y τ τ y σ ]{ 1 0 0} = { σ τ y τ } n y y 2
Složky napětí na elementárním kvádru y y y y y y Někdy se pracuje s polem napětí ve tvaru vektoru, složky napětí mohou být proháené Směr normály k ploše Směr osy, se kterou je napětí rovnoběžné σ ={σ σ y σ τ y τ τ y} 3
y Tensor napětí při vláštních případech napjatosti Prut tah/tlak Rovinná napjatost Rovinná deformace =[ 0 0 0 0 0 0 0 0] =[ 0 0 0 0 0 ] =[ 0 0 y 0 0 ] Obecný tvar σ = [ σ τ y τ τ y σ y τ y τ τ y σ ] 4
Rovnováha na elementárním kvádru směr y 0, y 2 0, 0 2,, 0 0,, 0 2 y y 0,, 0 2 y Podmínka rovnováhy : y y y y 0, 0 2 0, 0 2, y 0, 0 y σ ( 0+ Δ 2,, ) Δ y Δ σ ( 0 0 Δ 2,, ) 0 Δ y Δ + V těžišti působí dále objemová síla X 0,, 0 y τ y ( 0, + Δ y 2, 0) Δ Δ τ y( 0, Δ y 2, 0) Δ Δ + : y τ ( 0,, 0 + Δ 2 ) Δ Δ y τ ( 0,, 0 Δ 2 ) Δ Δ y+x ( 0,, 0 ) Δ Δ y Δ =0 5
Tři statické (Cauchyho) rovnice rovnováhy pro 3D σ ( 0+ Δ 2,, ) σ ( 0 0 Δ 2,, ) 0 + Δ τ ( y + Δ ) 0, 0, 0 2 τ ( y Δ ) 0, 0, 0 2 + X ( Δ 0,, 0 )=0 σ ( 0+ Δ 2,, ) σ 0 ( 0,, 0 )+ σ ( 0,, 0 ) τ y ( 0, + Δ y 2, 0) τ y( 0, Δ y Δ y 2, 0) + Δ 2 + 2 σ ( 0,, 0 ) ( Δ ) 2 + 2! 2 2 σ + τ y y + τ +X =0 τ y + σ y y + τ y +Y =0 τ + τ y y + σ +Z=0 Rovnice odvoeny analogických součtových podmínek rovnováhy ve směrech y,. 6
Rovnováha na elementárním kvádru moment Momentová podmínka rovnováhy okolo osy y y 0 2,, 0 y y y y 0, 0 2, 0 [ 0, 0 ] y 0, y 2, 0 y y 0 2,, 0 y : τ ( + Δ 2, y, 0) 0 Δ y Δ Δ 2 + τ y( Δ 0 2, y, 0) 0 Δ y Δ Δ 2 τ (, + Δ y 2, 0) y Δ Δ Δ 2 τ y( 0, Δ y 2, 0) y Δ Δ Δ 2 =0 : y 2 7
Věty o vájemnosti smykových napětí τ y ( 0 + Δ 2,, 0) + τ y( 0 Δ 2,, 0) τ y ( 0, + Δ y 2, 0) τ y( 0, Δ y 2, 0) =0 τ y ( 0 + Δ 2, y 0) τ 0, y ( 0,, 0 )+ τ y ( 0,, 0 ) Δ 2 + 2 τ y ( 0,, 0 ) ( Δ ) 2 + 2! 2 2 Věty o vájemnosti smykových napětí y = y y = y = Rovnice odvoeny analogických momentových podmínek rovnováhy okolo os,y. Ze vájemnosti smykových napětí plyne symetrie tensoru napětí. 8
Složky posunutí ve 3D V prostorové napjatosti definujeme tři složky posunutí u(,y,) posun ve směru osy v(,y,) posun ve směru osy y w(,y,) posun ve směru osy y [,y,] v(,y,) w(,y,) u(,y,) 9
Složky deformace v rovnině d d (1+ )d normálová deformace ve směru (měna objemu) d d = kosení v rovině, smyková deformace, (měna úhlu, stejný objem) V prostoru je deformace elementárního kvádru popsána Normálovými složkami Smykovými složkami, y, y,, y 10
Šest geometrických rovnic Vtah mei polem posunů a polem deformace Odvoení vi přednáška o rovinné napjatosti Normálové složky (protažení) = u y = v y = w Smykové složky (kosení) y = v w y = w u y = u y v 11
Zobecněný Hookeův ákon Jednoosé namáhání Ve směru osy Ve směru osy y Ve směru osy ε = 1 E σ ε y = νε = ν E σ ε = νε = ν E σ ε y = 1 E σ y ε = ν E σ y ε = ν E σ y ε = 1 E σ ε = ν E σ ε y = ν E σ ε = 1 E ( σ ν σ y νσ ) ε y = 1 E ( σ y νσ νσ ) ε = 1 E ( σ νσ νσ y ) Modul poddajnosti ve smyku [1/Pa] γ y = 2(1+ν) E γ = 2(1+ν) E γ y = 2(1+ν) E τ y τ τ y 12
Závislost deformace na napětí matice poddajnosti Lineárně { pružný iotropní materiál ve 3D ε ε y [ 1 ν ν 0 0 0 ν 1 ν 0 0 0 σ y ε 1 ν ν 1 0 0 0 σ }= γ y E 0 0 0 2(1+ν) 0 0 τ y γ 0 0 0 0 2(1+ν) 0 τ 0 0 0 0 0 2(1+ν)]{σ γ y τ y} =C Matice poddajnosti elastického materiálu pro obecnou 3D napjatost Ukažte, jak se jednoduší matice poddajnosti elastického materiálu pro jednoosou napjatost. 13
Závislost napětí na deformaci matice tuhosti Lineárně pružný iotropní materiál ve 3D {σ σ y σ τ y τ τ y}= ν ν 0 0 0 ε ν 1 ν ν 0 0 0 ε y E ν ν 1 ν 0 0 0 ε (1+ν)(1 2ν)(1 ν 0 0 0 0.5 ν 0 0 γ 0 0 0 0 0.5 ν 0 0 0 0 0 0 0.5 ν){ } y γ γ y =D G= E 2(1+ν) modul pružnosti ve smyku [Pa] Matice tuhosti elastického materiálu pro obecnou 3D napjatost Pon. Eliminací příslušných složek napětí a deformací obdržíme Hookeův ákon pro jednoosou napjatost, rovinnou napjatost, či rovinnou deformaci. 14
Příklad odvoďte součinitel emního tlaku v klidu Vtah mei = y a y Předpokládáme, σ =σ y ε =ε y =0 τ y =τ = τ y =0 γ y =γ =γ y =0, σ y,ε y ε y =0= 1 E ( σ y νσ ν σ ) σ (1 ν)=νσ σ =σ y = ν 1 ν σ Součinitel emního tlaku v klidu Poissonovo číslo Součinitel emního tlaku v klidu 0 0.000 0.2 0.250 0.25 0.333 0.3 0.429 0.5 1.000 15
Základní rovnice pro trojosou napjatost Přemístění u,v,w 3 nenámé Laméovy rovnice (3 rovnice) Vnější síly X,Y, Z 6 Geometrických rovnic 3 Statické rovnice ε = u γ = u + w 15 neávislých rovnic pro 15 nenámých σ + τ y y + τ + X =0 τ y + σ y y + τ y +Y =0 τ + τ y y + σ +Z=0 Přetvoření ε, ε y,ε γ y, γ, γ y 6 Materiálových rovnic σ = E [(1 ν)ε +νε y +νε ] (1+ν)(1 2 ν) τ = E 2 (1+ν) γ Napětí, y, y,, y 6 nenámých 6 nenámých 16
Otáky 1. Definujte tensor napětí a nakreslete vektor napětí na normále, která je orientována souhlasně s osou y. 2. Odvoďte statickou podmínku rovnováhy ve směru. Jak se výsledná rovnice redukuje, pokud se použije na čistě tažený prut? 3. Uvažujte tažený prut jako 3D kontinuum. Které složky napětí a deformace jsou nulové? 4. Dokažte, že matice tuhosti lineárně elastického materiálu je inverí matice poddajnosti. Pro výpočet inverní matice využijte rodělení matice na 4 submatice. 5. V jakých rovnicích vystupuje modul pružnosti ve smyku a objemový modul pružnosti? Vytvořeno 04/2011 v OpenOffice 3.2, Ubuntu 10.04, Vít Šmilauer, ČVUT. Poděkování patří ejména M. Jiráskovi a inspiraci jeho přednáškami. 17