Teorie čísel Nerozuměl jsem všemu. Ale to, čemu jsem porozuměl, mně nahánělo hrůzu z toho, čemu jsem nerozuměl. F.X. Šalda
Obsah Obsah Prvočísla 4. Prvočísel je nekonečně mnoho......................... 4.2 Rozložení prvočísel............................... 7.3 Mertensovy věty................................ 2.4 Počty dělitelů.................................. 5 2 Trocha algebry 20 2. Grupy, okruhy, tělesa - základní pojmy.................... 20 2.2 Dělitelnost v oborech integrity......................... 2 2.3 Okruhy polynomů................................ 23 2.4 Konstrukce těles a tělesové automorfismy................... 26 3 Něco o polynomech 30 3. Polynomy nad C a nad R........................... 30 3.2 Polynomy nad Q a nad Z........................... 30 3.3 Cyklotomické polynomy............................ 33 3.4 Symetrické polynomy.............................. 35 4 Algebraická číselná tělesa 39 4. Algebraická čísla, minimální polynom..................... 39 4.2 Vlastnosti množiny algebraických čísel.................... 4 4.3 Algebraická číselná tělesa............................ 45 4.4 Izomorfizmy těles Q(α)............................. 49 4.5 Tělesový polynom, norma, stopa........................ 5 4.6 Příklady algebraických číselných těles..................... 53
5 Diofantické rovnice 56 5. Kvadratická rezidua............................... 56 5.2 Lineární diofantické rovnice.......................... 58 5.3 Pythagorejské trojice.............................. 60 5.4 Součet dvou čtverců.............................. 6 5.5 Součet čtyř čtverců............................... 64 5.6 Pellova rovnice................................. 67 6 Diofantické aproximace 72 6. Fareyovy zlomky................................ 72 6.2 Řetězové zlomky................................ 74 6.3 Aproximace sblíženými zlomky......................... 78 6.4 Řetězový zlomek kvadratických čísel..................... 83 6.5 Aplikace řetězových zlomků pro diofantické rovnice............. 87 7 Transcendentní čísla 92 7. Liouvilleova čísla................................ 93 7.2 Transcendentnost Eulerova čísla e....................... 96 7.3 Transcendentnost čísla π............................ 99 7.4 Řetězový zlomek Eulerova čísla e....................... 02 8 Okruh celých čísel v číselném tělese 06 8. Algebraická celá čísla.............................. 06 8.2 Integrální báze okruhu celých čísel...................... 08 8.3 Hledání integrální báze............................. 2 8.4 Integrální báze v cyklotomických tělesech................... 4 9 Dělitelnost a faktorizace v okruhu celých čísel 8 9. Jednotky..................................... 8 9.2 Jednotky v kvadratických tělesech....................... 9 9.3 Prvočísla, ireducibilní prvky, faktorizace................... 2 9.4 Faktorizace v kvadratických tělesech..................... 25 0 Aplikace algebraických těles 3 0. Řešení diofantických rovnic........................... 3 2
0.2 Lucas-Lehmerův test prvočíselnosti...................... 36 0.3 Konstrukce pomocí kružítka a pravítka.................... 38 0.4 Nekomutativní tělesa.............................. 43 Literatura 48 3
Prvočísla. Prvočísel je nekonečně mnoho V množině přirozených čísel, kterou budeme značit N = {, 2, 3,...}, mají úlohu stavebních kamenů prvočísla. Za prvočíslo považujeme to přirozenné číslo, které má právě dva různé dělitele, a to jedničku a sebe sama. Množinu prvočísel značíme P = {2, 3, 5, 7,...}. Mezi prvočísla tedy neřadíme jedničku. Proto platí věta, kterou budeme mnohokrát využívat: každé přirozené číslo n > lze jednoznačně až na pořadí zapsat jako součin prvočísel. Že je pvočísel nekonečně mnoho, věděli lidé odedávna. První rigorózní důkaz lze nalézt v Eukleidových základech. Důkaz. Předpokládejme, že konečný seznam p, p 2,..., p r obsahuje všechna prvočísla. Označme n = p p 2... p r +. Zřejmě n není v seznamu. Protože číslo n není dělitelné žádným prvočíslem ze seznamu, je n bud samo prvočíslo, nebo je n dělitelné prvočíslem, které není v seznamu spor s tím, že seznam p, p 2,..., p r vyčerpal všechna prvočísla. Jiný důkaz nekonečnosti množiny P pochází z dopisu Christiana Goldbacha Leonhardu Eulerovi z roku 730. Důkaz. Uvažujme posloupnost Fermatových čísel definovaných vztahem F n = 2 2n + pro n = 0,, 2,... (.) Speciálně F 0 = 3 a F = 5. Indukcí dokážeme, že pro n platí n F k = F n 2. (.2) k=0 Pro n = je tvrzení pravdivé, protože F 0 = 3 = F 2. Pro n > využijeme indukční předpoklad a můžeme psát n F k = k=0 F k )F n = (F n 2)F n = ( 2 2n ) ( 2 2n + ) = (n k=0 ( ) 2 2n+ = F n+ 2. 4
Vztah (.2) spolu s lichostí F n implikuje, že každá dvě různá Fermatova čísla F k a F n jsou nesoudělná. Tedy prvočísla nacházející se v rozkladu F k a F n jsou navzájem různá. Protože Fermatových čísel je nekonečně, je nekonečně i prvočísel. Množinu prvočísel lze uspořádat podle velikosti do ostře rostoucí posloupnosti (p n ) n N, tedy p = 2, p 2 = 3, p 3 = 5, p 4 = 7,... Z Goldbachova důkazu plyne, že n-té prvočíslo p n je menší než F n. Máme tedy první odhad na velikost prvočísla p n 2 2n +. Jak častý je výskyt prvočísel mezi přirozenými čísly bude vystihovat posloupnost π(n) = #{p n p P}. Nekonečnost množiny P lze v tomto značení zapsat lim n π(n) = +. Následující věta pocházející od Eulera odhaduje rychlost růstu π(n) a jejím přímým důsledkem je opět důkaz nekonečnosti P. Věta.. Pro počet π(n) prvočísel nepřevyšujících n platí π(n) ln n. Důkaz. Využijeme odhadu ln n = n n x dx = k= k k n x dx k k, k= k M kde M = {m N m má v rozkladu pouze prvočísla menší nebo rovna n}. Označme r = π(n). Pak prvek M lze napsat ve tvaru m = p α p α 2 2... p α r r můžeme upravit pro nějaká α i 0. Tedy k M k = + + α =0 α 2 =0... + α r=0 p α p α 2 2... p αr r = r + i= α i =0 p α i i = r i= p i p i. Využijeme toho, že funkce Celkově dostaneme x je pro x 2 klesající a jednoduchého odhadu p x i i +. ln n r i= i + i = r + = π(n) +. 5
Když do předchozí věty za n dosadíme k-té prvočíslo, dostaneme ln p k + π(p k ) = + k, a tedy p k e k+, což je lepší odhad pro velikost p k než z Goldbachova důkazu. Že i tento horní odhad je velice nadsazený věděl už Euler, který dokázal divergenci p P uvedeme, pochází od Erdöse z roku 938. Věta.2. Řada p P diverguje. p Důkaz. Předpokládejme, že řada p P existuje přirozené k takové, že i k+ i k+ p p i N p i < N 2. Důkaz sporem, který p konverguje. Podle Bozanova Cauchyova kritéria < 2. Tedy pro každé N N. (.3) Pro tuto chvíli budeme prvočísla p, p 2,..., p k nazývat malá a prvočísla p k+, p k+2,... velká. Pro zvolené N N označme N s velikost množiny těch přirozených čísel n N, která jsou dělitelná pouze malými prvočísly, a N b velikost množiny těch přirozených čísel n N, která mají za dělitele alespoň jedno velké prvočíslo. Podle definice je N = N s +N b. Spor bude spočívat v tom, že odvodíme N s + N b < N. Počet n N, které jsou dělitlné velkým prvočíslem p i je N p i. Proto je podle (.3) N b N p i i k+ < N 2. Nyní odhadneme N s. Každé n lze napsat jako n = a n b 2 n, kde a n je čtvrcuprosté přirozené číslo. Je-li n dělitelné pouze malými prvočísly, je a n součinem různých malých prvočísel. Proto pro vytvoření a n máme maximálně 2 k možností. Na druhé straně b 2 n n N, a tedy b n nabývá nanejvýš N hodnot. Proto je Celkově máme N s 2 k N. N = N s + N b < N 2 + 2k N pro každé N N. Spor dostaneme, když zvolíme N tak, aby 2 k N N 2. Např. volba N = 22k+2 vyhovuje. Divergence p P znamená, že množina, přes kterou sčítáme, je nekonečná. Dali jsme p tak další důkaz nekonečnosti P. Existuje však celá řada dalších důkazů. 6
.2 Rozložení prvočísel Prvočísla nejsou v přirozených číslech rozmístěna nijak pravidelně. Pro libovolné n N lze najít úsek n po sobě jdoucích přirozených čísel, z nichž žádné není prvočíslo: (n + )! + 2, (n + )! + 3, (n + )! + 4,..., (n + )! + n + Tedy mezery mezi sousedními prvočísly mohou být libovolně velké. Na druhé straně už v antice byla vyslovena hypotéza, že existuje nekonečně mnoho prvočíselných dvojčat, tedy nekonečně mnoho takových prvočísel p, že také p + 2 je prvočíslo. Takové dvojčata jsou např. pár a 3, pár 7 a 9, pár 4 a 43, atd. Počítačové experimenty potvrzují zmíněnou hypotézu, ale dokázat se jí zatím nikomu nepodařilo. Fakt, že v úseku přirozených čísel začínajícím n natrefíme na prvočíslo dříve, než dojdeme k číslu 2n, pozoroval první Joseph Bertrand. On také toto tvrzení, dnes nazývané Bertrandův postulát, empiricky ověřil pro n < 3.0 6. První důkaz pochází z roku 850 od Pafnutija Čebyševa. Důkaz, který později uvedeme, pochází od Paula Erdöse z roku 932. Před tím však odvodíme několik důležitých tvrzení. Věta.3 (Legendre). Prvočíslo p P se nachází v rozkladu čísla n! právě n p k k krát. Důkaz. Tvrzení plyne z faktu, že mezi čísly, 2, 3,..., n je právě n násobků čísla p, p právě n p 2 násobků čísla p 2, právě n p 3 násobků čísla p 3, atd. Důsledek.4. Prvočíslo p P se nachází v rozkladu kombinačního čísla ( 2n n ) nanejvýš r krát, kde r = max{r p r 2n}. Důkaz. Z Legendreovy věty plyne, že prvočíslo p se nachází v rozkladu čísla ( ) 2n n = (2n)! (n!) 2 právě k ( 2n n ) 2 p k p k krát. Pro libovolné reálné x > 0 je 2x 2 x bud 0 nebo. Proto lze sumu odhadnout počtem nenulových sčítanců. Pro index k, pro který je p k > 2n, je sčítanec sumy nulový. Lemma.5. Pro každé n N, n 2 platí p 4 n. p P,p n 7
Důkaz. Důkaz provedeme indukcí. Pro n = 2 a n = 3 tvrzení platí. Pro n > 3 najdeme největší prvočíslo q n. Zřejmě je q liché, tj. q = 2m + a p P, p n p = p P p 2m+ p = p P p m+ p p. (.4) p P m+<p 2m+ Číslo ( ) 2m+ m = (2m+)(2m)(2m )...(m+2) je celé. Přitom prvočíslo p, pro nějž m < p 2m+, m! se vysytuje pouze v čitateli zlomku, a ne ve jmenovateli. Tedy takové p se určitě vyskytne v rozkladu ( ) 2m+ m na prvočísla. Proto p p P m+<p 2m+ ( ) 2m + m 2 2m+ k=0 ( ) 2m + Využitím indukčního předpokladu na (.4) a odhadu (.5) dostaneme p P, p n p = p P p 2m+ p 4 m 2 2m 4 n. k = 2 2m. (.5) Věta.6. Pro každé přirozené číslo n existuje prvočíslo p takové, že n < p 2n. Důkaz. Nejdříve dokážeme větu pro n < 4000. Uvažujme posloupnost těchto 4 prvočísel q,..., q 4 : 2, 3, 5, 7, 3, 23, 43, 83, 63, 37, 63, 259, 2503, 400. Každé následující je menší než dvojnásobek předchozího prvočísla. Libovolné n < 4000 leží mezi nějakými dvěma sousedními prvočísly z této posloupnosti, t.j. q i < n q i+ < 2q i < 2n. K důkazu věty pro n 4000 budeme odhadovat číslo ( 2n n ). Protože je to největší číslo ve 2n-tém řádku Pascalova trojúhelníku, lze jej zdola odhadnout takto Necht p α p α 2 2... p α s s z důsledku (.4). p α i i 2n pro každé i. ( ) 2n n 2n 2n k=0 ( ) 2n k = 4n 2n. (.6) je rozklad ( 2n n ) na prvočísla. Využijeme tří pozorování, které plynou 8
Proto Prvočíslo p > 2n se v rozkladu ( 2n n ) nachází nanejvýš jednou. Prvočíslo p splňující 2 3 n < p n se v rozkladu ( 2n n ) nenachází vůbec. ( ) 2n n p P p 2n 2n p P 2n<p 2 3 n p p (.7) p P n<p 2n Větu dokážeme sporem. Předpokádejme, že mezi n a 2n neexistuje žádné prvočíslo. Kombinací odhadů (.6), (.7) a lemmatu.5 dostaneme 4 n 2n (2n) 2n 4 2 3 n = 2n 3( + 2n)( + ln 2 n). (.8) Srovnáním rychlosti růstu posloupností n, n a ln 2 n je na první pohled vidět, že poslední nerovnost pro velká n neplatí. Abychom dostali spor, potřebujeme však dokázat, že velká n jsou v našem případě všechna n 4000. Za tímto účelem definujeme funkce g(x) = 2x a f(x) = 3( + 2x)( + ln 2 x). Nyní stačí ověřit, že g(4000) > f(4000) a g (x) > f (x) pro x > 4000. Tuto úlohu ze základní analýzy přenecháme čtenáři. Důsledek.7. Existuje konstanta A taková, že všechny členy posloupnosti jsou prvočísla. 2 A, 2 2A, 2 22A, 2 222A,... Důkaz. Definujme posloupnost (q n ) rekurzivně: q = 2 a q n+ jako nejmenší prvočíslo větší než 2 q n. Z Bertrandova postulátu tedy plyne 2 q n < q n+ < 2 +q n. Mohli jsme použít dvě ostré nerovnosti, protože prvočíslo q n+ není sudé, a tedy + q n+ 2 +q n. Ani v této nerovnosti nemůže však nastat rovnost. Jelikož + q n je pro n > sudé číslo, řekněme + q n = 2k, znamenala by rovnost +q n+ = 2 +qn, že q n+ = 2 +qn = (2 k )(2 k +). To je v rozporu s prvočíselnosti q n+. Platí proto 2 qn < q n+ < + q n+ < 2 +qn. Zlogaritmujme se základem 2 předchozí nerovnost n + krát. (Pro n krát interovaný logaritmus použijeme značení ln (n) 2.) Dostaneme ln (n) 2 q n < ln (n+) 2 q n+ < ln (n+) 2 ( + q n+ ) < ln (n) 2 ( + q n ) (.9) 9
Posloupnost ( ln (n) 2 q n ) je ostře rostoucí a posloupnost ( ln (n) 2 (+q n ) ) je ostře klesající. Proto posloupnost ( ln (n) 2 q n ) má konečnou limitu, označme ji A. Z nerovností (.9) dostaneme ln (n) 2 q n < A < ln (n) 2 ( + q n ). Zpětným n násobným odlogaritmováním pak q n < 2 2...2A < + q n. Aplikováním funkce celá část na poslední nerovnost odvodíme, že posloupnost uvedená ve tvrzení věty, je posloupnost prvočísel (q n ). Poznámka.8. Zobecnění Bertrandova postulátu představuje následující tvrzení: ( ε > 0 )( n0 )( n > n0, n N )( p P )( n < p < ( + ε)n ). Jinými slovy pro dostatečně velké n lze najít prvočíslo mezi n a ( + ε)n. Bez odpovědi je zatím slavný problém, zda mezi n 2 a (n + ) 2 leží vždycky alespoň jedno prvočíslo. Asymptotické chování π(n) počtu prvočísel nepřevyšujících n dlouho odolávalo matematikům. Už Gauss předpověděl, že π(n) lim n n ln n =, kde ln je logaritmus se základem e. Nejdříve se podařilo Čebyševovi ukázat, že kdyby limita nalevo existovala, pak by to byla jednička. Existenci této limity, a tedy poslední krok v důkazu, udělali v roce 896 nezávisle na sobě dva francouzští matematici Hadamard a de la Valleé-Poussin. Jejich důkaz je komplikovaný a využívá aparát komplexní analýzy. My dokážeme elementárními prostředky slabší tvrzení. Věta.9. Existují kladné konstanty a, b R takové, že a n ln 2 n < π(n) < b n ln 2 n. Důkaz. Kombinační číslo ( ) 2n n neobsahuje ve svém rozkladu prvočísla větší než 2n. Proto lze napsat ( ) 2n n = p α p α 2 2... p α π(2n) π(2n) pro α i {0,, 2,...}. Z definice kombinačního číslo 0
plyne, že prvočíslo p > n a p 2n se nachází v rozkladu ( 2n n ) právě jednou. Na druhé straně, z důsledku.4 získáme pro každý index i nerovnost p α i i 2n. Proto ( ) 2n n π(2n) π(n) p n p P n+ p 2n = p α p α 2 2... p α π(2n) π(2n) (2n) π(2n). (.0) Předchozí odhady zkombinované s odhadem 2 n ( 2n n ) 2 2n dávájí dva důležité vztahy 2 n (2n) π(2n) (.) a n π(2n) π(n) 2 2n. (.2) Zlogaritmovaním (.) a po jednoduché úpravě odvodíme n π(2n) ln 2 (2n) = 2 2n ln 2 (2n) π(2n). V případě sudé proměnné bychom tak mohli vzít za konstantu a zlomek. Pro liché 2 hodnoty využijeme toho, že π(n) ln 2 n je rostoucí posloupnost. 2n + 3 n π(2n) ln 2 (2n) π(2n + ) ln 2 (2n + ) 3 2n + ln 2 (2n + ) π(2n + ). Dolní odhad na π(n) ve větě bude platit pro sudé i liché n zároveň, když položíme a = 3. Zlogaritmovaním (.2) odvodíme ( π(2n) π(n) ) ln2 n 2n = π(2n) ln 2 (2n) π(n) ln 2 n 2n + π(2n) 4n. (.3) Definujme pro i = 0,, 2,... čísla A i := π(2 i ) ln 2 (2 i ). Podle (.3) pro členy této posloupnosti platí A i+ A i 4 2 i pro každé i = 0,, 2,... Sečtením předchozích nerovností pro i = 0,..., k dostaneme k A k 4 2 i = 4(2 k ) 4 2 k. i=0 Uvažujme nyní libovolné n. Najdeme k N tak, aby 2 k < n 2 k. Opět využijeme, že π(n) ln 2 n je rostoucí posloupnost. Proto π(n) ln 2 n π(2 k ) ln 2 (2 k ) = A k 4 2 k = 8 2 k < 8n. Za konstantu b lze tedy položit b = 8.
Zatím jsme ukázali, že k-té prvočíslo p k je menší než e k+. Předchozí věta nám umožní daleko lépe vystihnout růst p k. Důsledek.0. Existují konstanty c a d takové, že pro k-té prvočíslo platí c k ln 2 k < p k < d k ln 2 k. Důkaz. Použijeme nerovnost z předchozí věty na k-té prvočíslo n = p k. Dostaneme a p k k ln 2 p k b p k. Když využijeme, že k < p k, dostaneme dolní odhad k ln 2 k b p k. Stačí tedy položit c = b. Na druhé straně platí p k a k ln 2 p k (.4) a po zlogaritmovaní ln 2 p k ln 2 k + ln 2 ln 2 p k ln 2 a. Od jistého k počínaje lze odhadnout ln 2 p k ln 2 k + 2 ln 2 ln 2 p k ln 2 k + ln 2 2 p k = ln 2 p k 2 ln 2 k Dosazením do (.4) získáme od jistého k p k 2a k ln 2 k..3 Mertensovy věty Čebyševovy výsledky byly podnětem pro Mertensovy asymptotické formule, které pocházejí z roku 874. Věta.. Existuje konstanta K taková, že pro každé n N platí ln n K p P,p n ln p p ln n + K. Důkaz. Označme r := π(n) a využijme rozkladu n! = p α p α 2 2... p αr. Podle věty.3 je α i = n p i + n +...+ n p 2 i dostaneme p q i i ln n! =, kde q i je největší takové celé číslo, že p q i i r i= ( n p i + n p 2 i 2 r n. Zlogaritmovaním n ) +... + ln p i. (.5) p q i i
Odhadněme ln n! shora: r ln n! n i= ( p i + p 2 i +... + ) p q ln p i i i n r i= p i ln p i. S použitím ln p p = ln p p + ln p p(p ) ln p p + p p můžeme pokračovat v odhadu ln n! n p P,p n ln p p + n + k=2 k k. Protože je celkově Odhadujme (.5) zdola: ln n! r i= n p i ln p i + k=2 k k < + ln n! n n r i= p P,p n ln p i p i x x dx = 2, ln p p r i= + 2n. (.6) ln p i n r i= ln p i p i r ln n. Písmenem r bylo označeno π(n). Proto r b ln 2 n, kde b je konstanta z věty.9. Získali ln n jsme tak dolní odhad ln n! n p P,p n ln p p K zakončení důkazu potřebujeme ještě nerovnosti n b ln 2. (.7) n n n! > ( n e ) n. (.8) Jedna z těchto nerovností je zřejmá, druhou lze snadno odvodit matematickou indukcí, když si vzpomeneme, že Indukční krok má tvar ( n + e ) n+ = (n + ) ( + n ( + n) n < e. ) n ( n ) n ( n ) n > (n + ) > (n + )n! e e e Zkombinováním odhadu (.7) a zlogaritmované nerovnosti (.8) dostaneme n ln n ln n! n p P,p n ln p p n b ln 2, 3
což po zkrácení faktorem n je už část tvrzení dokazované věty. Podobně z (.6) a (.8) získáme nerovnost kterou opět lze zkrátit faktorem n. n(ln n ) ln n! n p P,p n ln p p + 2n, Věta.2. Existuje konstanta C taková, že pro každé n N platí ln ln n C p p P,p n ln ln n + C. Důkaz. Připomeňme nejdříve Abelovou sumační formuli. Jsou daná čísla a, a 2,..., a n b, b 2,..., b n. Pro i =, 2,..., n označme B i := a + a 2 +... + a i. Pak platí a n n a i b i = a n B n + (a i a i+ )B i i= Opět položíme r = π(n) a aplikujme sumační formuli na a i = ln p i.6 je p i 2 p i+. Pro B i proto z věty. platí i= a b i = ln p i p i. Podle věty ln p i+ ln 2 K ln p i K < B i := i k= ln p k p k ln p i + K. Můžeme tedy odhadnout shora r i= p i = r i= ln p i ln p i p i ln p r ( ln pr + K ) + r i= ( ln p i ln p i+ ) (ln p i + K) = Jelikož funkce x = K r ( ) + + ln pi+ ln p i. ln p ln p i= i+ je pro kladná x klesající, lze odhadnout ln p i+ ( ln pi+ ln p i ) = Ted dokončíme horní odhad ln pi+ ln p i ln p i+ dx ln pi+ ln p i x dx = ln ln p i+ ln ln p i. r i= Pro dolní odhad r i= p i = r i= K + + ln ln p r ln ln p K + ln ln 2 + ln ln n. p i ln p } ln 2 {{ } =:C ln p i ln p i p i ln p r ( ln pr K ln 2 ) + 4 r i= ( ln p i ln p i+ ) (ln p i+ K ln 2)
Monotonie funkce x = K r ln 2 + ( ) ln pi+ ln p i. ln p i i= poskytne s využitím integrálu dolní odhad na sčítance sumy ln p i ( ln pi+ ln p i ) ln pi+ ln p i x dx = ln ln p i+ ln ln p i. Celkově dostaneme r K ( K ) p i= i ln 2 + ln ln p r ln 2 ln 2 + ln 2 + + ln ln n. } {{ } =:C 2 Pro poslední nerovnost jsme použili, že z Bertrandova postulátu plyne n p π(n) n 2, a pak jednoduchý vztah ln ln n 2 > ln ln n. Abychom dostali tvrzení věty stačí položit C = max{c, C 2 }. Poznámka.3. Větě. se říká první Mertensova věta. Věta.2 je slabší formou tzv. druhé Mertensovy věty. My jsme dokázali omezenost posloupnosti p P,p n p ln ln n. Jemnějšími metodami lze dokonce dokázat, že tato posloupnost má limitu β = 0.2649.... Někdy se pod pojmem druhá Mertensova věta rozumí formule kde γ je Eulerova konstanta ( p) = e γ ln n + O(), p n Tato formule implikuje větu.2..4 Počty dělitelů γ = lim n + n k= k ln n. Počet všech dělitelů čísla n budeme značit τ(n), počet prvočíselných dělitelů čísla n budeme značit ω(n). Formálně τ(n) = d N, d n a ω(n) = p P, p n Určit hodnotu τ(n) a ω(n) je snadné, když známe rozklad n na prvočísla: n = p α p α 2 2... p α k k = τ(n) = (α + )(α 2 + )... (α k + ) a ω(n) = k (.9) 5.
Vztah (.9) mimo jiné říká, že funkce τ(n) je multiplikativní a ω(n) aditivní, tj. τ(mn) = τ(m)τ(n) a ω(mn) = ω(m) + ω(n) pro nesoudělná m a n. Věnujme se nejdříve funkci τ(n). S rostoucím n se funkce τ(n) chová velice nepravidelně; zřejmě lim inf τ(n) = 2 a lim sup τ(n) = + Zajímavé je, že průměrnou hodnotu τ(n) můžeme popsat dobře. Věta.4. Pro průměrnou hodnotu počtu dělitelů prvních n přirozených čísle platí n n τ(k) = ln n + 2γ + ε n, k= kde γ je Eulerova konstanta a lim ε n = 0. Důkaz. Použijeme geometrickou interpretaci τ(k) = d k = uv=k. pomocí celočíselné mřížky v rovině. Počet bodů (u, v) N N, které leží na hyperbole xy = k, je právě τ(k). Tedy suma n k= τ(k) je rovna počtu mřížkových bodů (u, v) ležících v prvním kvadrantu pod hyperbolou nebo na hyperbole xy = n. Rozdělme tyto body do tří skupin:. u n a v n ; 2. u n, 3. v n, n < v a uv n ; n < u a uv n. Bodů v první skupině je n 2. Bodů ve druhé skupině je u n ( n u ) n = u n n u n 2 a ze symetrie je stejný počet i bodů ve třetí skupině. Proto je celkový počet bodů n τ(k) = 2 k= u n = 2n n u u n n 2 = 2 u n ( n u { n u}) u n + 2 n{ n} { n} 2 2 ( n { n} ) 2 = u n { n u} } {{ } zbytek 6
Zbytek je v absolutní hodnotě nanejvýš + 2 n. Pro průměrnou hodnotu počtu dělitelů tak platí n n τ(k) = 2 k= u n u zbytek. n Tvar průměru, který uvádí věta, dostaneme, když využijeme, že z definice Eulerovy konstanty γ plyne kde lim δ n = 0. 2 u n u = 2( ln n + γ + δ n ) = ln n + 2γ + 2δn, Věta.5. Pro průměrnou hodnotu počtu prvočíselných dělitelů prvních n přirozených čísel platí n kde (γ n ) je omezená posloupnost. n ω(k) = ln ln n + γ n, k= Důkaz. n n ω(k) = k= n = n k n, p k = n n p p n, p k p n = p n p n { n }. p p n Podle věty.9 je 0 n { n } p p n n p n K ukončení důkazu věty už stačí aplikovat na sumu p n b ln 2 n. p druhou Mertensovu větu. Kapitolu uzavřeme slavným výsledkem Hardyho a Ramanujana z roku 920. Ten říká, že většina čísel k z množiny, 2,..., n má ω(k) blízké hodnotě ln ln n. Důkaz, který předvedeme, pochází od P. Turána (934). Jeho důkaz se často uvádí jako demonstrace účinnosti pravděpodobnostních metod v kombinatorice. Abychom se vyhnuli odkazům na teorii pravděpodobnosti, vyslovíme nejdříve dvě technická lemmata. Čtenář obeznámený s pravděpodobností ve druhém z nich snadno rozpozná Čebyševovu nerovnost. Lemma.6. Existuje konstanta K taková, že pro každé n N platí n ( ) 2 ( ) 2 ω(k) n ln ln n + Kn ln ln n. k= 7
Důkaz. V celém důkazu budou proměnné p a q prvočísla, proměnné k a n jsou přirozenná čísla. n ( ) 2 ( ω(k) = )( ) = ( + ) = k n p k q k k n p k k= = pq n p q + k n pq k k n pq k p q ω(k) = pq n p q n pq + n (ln ln n + γ n ). Pro druhou rovnost bylo podstatné, že dvě různá prvočísla p a q dělí k, právě když součin pq dělí k. V poslední rovnosti jsme využili tvrzení věty.5, kde γ n je omezená posloupnost. K důkazu lemmatu ted postačí ukázat, že V := pq n p q n pq n ( ln ln n ) 2 + αn ln ln n + βn (.20) pro nějaké konstanty α a β. Odhadujeme V shora a využijeme větu.2: V = pq n p q n pq n pq n p q pq n p,q n Nerovnost (.20) je splněna pro α = 2C a β = C 2. ( pq = n p n ) 2 ( ) 2 n ln ln n + C. p Lemma.7. Necht S je konečná podmnožina N a f reálná funkce definovaná na S. Necht µ a t jsou reáná čísla, t > 0. Pak počet prvků k S takových, že f(k) µ t, nepřesáhne číslo ( ) 2 f(k) µ. t 2 k S Důkaz. Z nerovnosti f(k) µ t plyne nerovnost (f(k) µ)2. Proto t 2 #{k S t f(k) µ } = = (f(k) µ) 2 ( ) 2 f(k) µ. t 2 t 2 k S k S k S f(k) µ t f(k) µ t Věta.8 (Hardy, Ramanujan). Pro každé kladné δ je lim n # { k n (ln ln n) 2 +δ ω(k) ln ln n } n = 0. 8
Důkaz. Z lemmatu.7 aplikovaného na funkci f(k) = ω(k), množinu S = {, 2,..., n}, čísla µ = ln ln n a t = (ln ln n) 2 +δ získáme odhad # { k n (ln ln n) 2 +δ ω(k) ln ln n } n n(ln ln n) +2δ ( 2 ω(k) ln ln n). k n (.2) Stačí ukázat, že limita zlomku na pravé straně nerovnosti je nula. Upravme čitatele zlomku s použitím lemmatu.6 a věty.5. Dostaneme ( ) 2 ( ) 2 ω(k) ln ln n = ω(k) 2 ln ln n k n k n k n ω(k) + k n ( ln ln n ) 2 n (ln ln n) 2 + Kn ln ln n 2 ln ln n ( n ln ln n + nγ n ) + n (ln ln n) 2 = (K 2γ n )n ln ln n, kde K je konstanta a γ n je omezená posloupnost. Proto limita pravé strany nerovnosti (.2) je nula, jak jsme chtěli ukázat. 9
2 Trocha algebry V této kapitole připomeneme definice základních pojmů z teorie grup a těles, se kterými budeme pracovat. Bez důkazu uvedeme věty, které jsou náplní každého základního kurzu algebry. Dokazovat budeme věty méně obvyklé nebo ty, jejichž důkazy jsou z pohledu dalšího použití v našem textu ilustrativní. Pod pojmem binární operace na množině M rozumíme zobrazení kartézského součinu M M do M. Operace je asociativní, když x (y z) = (x y) z pro každé x, y, z M; komutativní, když x y = y x pro každé x, y, z M. 2. Grupy, okruhy, tělesa - základní pojmy Definice 2.. Množinu G spolu s asociativní binární operací na G nazveme grupou, pokud: v G existuje neutrální prvek e, tj. takový, že x e = x pro každé x G, ke každému x G existuje inverzní prvek y G, tj. takový, že x y = e. Je-li navíc operace komutativní, nazýváme G komutativní nebo Abelovou grupou. Někdy se pro operaci používá symbol +, v tom případě se neutrální prvek značí 0 a inverznímu prvku k prvku x se říká opačný a značí se x. Takovému zápisu grupy se říká aditivní. Jindy operaci značíme symbolem, pak se pro neutrální prvek používá a inverzní prvek k prvku x se značí x. Takovému zápisu grupy se říká multiplikativní a znak pro operaci se vynechává, jak je to zvykem u běžného násobení. Příklad 2.2. Množina {0,,..., n } s operací + mod p je grupa pro každé n N. Tato grupa je komutativní a značí se Z n. Vybavíme-li množinu {,..., n } operací mod p, získáme grupa, právě když n P. Definice 2.3. Grupa G s operací je izomorfní s grupou G 2 s operací 2, pokud existuje bijekce π : G G 2 taková, že π(x y) = π(x) 2 π(y) pro každé x, y G. 20
Zobrazení π se nazývá izomorfizmem grup G a G 2. Příklad 2.4. G = {0,, 2, 3} s operací + mod 4 je izomorfní grupě G 2 = {, 2, 3, 4} s operací mod 5. Snadno se ověří, že π : G G 2 dané předpisem π(0) =, π() = 2, π(2) = 4, π(3) = 3 vyhovuje předchozí definici. Definice 2.5. Množinu R se dvěma asociativními binárními operacemi + a nazýváme okruhem, pokud R s operací + je komutativní grupa s neutrálním prvkem 0 a operace + a jsou svázány distributivním zákonem, tj. (x + y) z = x z + y z a z (x + y) = z x + z y pro všechna x, y, z R. Okruh R se nazývá obor integrity, pokud operace je komutativní, x y = 0 implikuje x = 0 nebo y = 0, pro každé x, y R, v R \ {0} existuje neutrální prvek vzhledem k operaci ; tento prvek značíme. Nejtypičtějším příkladem oboru integrity jsou celá čísla Z. Pojmy jako dělitelnost a prvočísla, známé z oboru celých čísel, lze zobecnit na libovolný obor integrity, jak připomeneme v sekci 2.2. Definice 2.6. Okruh R s operacemi + a, pro který je R \ {0} s operací grupa, se nazývá těleso. Je-li operace komutativní, nazýváme R komutativním tělesem. Příklad 2.7. Množina {0,, 2..., p } s operacemi + mod p a mod p je komutativním tělesem pro každé prvočíslo p. Vžilo se, že toto těleso se značí Z p, tedy stejně jako jeho aditivní grupa. Tato nejednoznačnost pojmů však nepůsobí žádné problémy. 2.2 Dělitelnost v oborech integrity Definice 2.8. V oboru integrity R řekneme, že y dělí x, jestliže existuje z R takové, že x = yz. Tento vztah značíme y x. Prvky x, y R jsou asociované v R, jestliže x y i y x, zapisujeme x y. O prvku u R řekneme, že je jednotka v R, jestliže u. Množinu jednotek oboru integrity R značíme U(R). Obvykle se v definici oboru integrity nepožaduje existence neutrálního prvku vzhledem k operaci. Těmto obecnějším oborům integrity se zde však nevěnujeme. 2
Protože každá jednotka u dělí jednotkový prvek, tj. = uv pro nějaké v R, je u v R invertovatelné a prvek v můžeme značit v = u. Snadno lze ukázat, že U(R) je multiplikativní grupa. Je také vidět, že dva prvky x, y R jsou asociované, pokud existuje jednotka u U(R) tak, že x = uy. Je zřejmé, že relace je ekvivalence a bylo by tedy možné obor R faktorizovat na třídy této ekvivalence a pracovat pouze s reprezentanty jednotlivých tříd. To je vhodné například pro okruhy polynomů, jak uvidíme dále. Definice 2.9. Nenulový prvek x R \U(R) se nazývá ireducibilní v R, jestliže pro každé y, z R platí, že x = yz implikuje y U(R) nebo z U(R). Nenulový prvek x R\U(R) se nazývá prvočíslo v R, jestliže pro každé y, z R platí, že x yz implikuje x y nebo x z. Zřejmě platí, že každý prvek asociovaný s ireducibilním prvkem je ireducibilní a každý prvek asociovaný s prvočíslem je prvočíslo v R. Příklad 2.0. V oboru integrity Z je grupa jednotek dvouprvková, U(Z) = {±}. Asociované jsou tedy vždy jen prvky x a x. Ireducibilními v Z jsou právě všechna prvočísla. V obecném oboru integrity lze dokázat, že každé prvočíslo v R je ireducibilní v R. Implikaci ovšem nelze obecně obrátit, jak uvidíme na příkladech dále v textu. Věta 2.. Všechna prvočísla v R jsou ireducibilní v R. Důkaz. Nechť x je prvočíslo v R. Předpokládejme, že x = yz pro nějaké y, z R. Pak ale x yz a z prvočíselnosti plyne x y nebo x z. Jestliže x y, pak z x = yz máme y x, a proto x y. Snadno nahlédneme, že pak z, a tedy z U(R). Lze vyslovit různé postačující podmínky pro to, aby implikace v předchozí větě šla obrátit. Jednou z nich je vlastnost jednoznačné faktorizace. Definice 2.2. Obor integrity R nazveme Gaussův, jestliže pro každý nenulový prvek x R \ U(R) existují ireducibilní prvky y,..., y r R tak, že x = y y r, a navíc platí, že je-li x = z z s, pak r = s a y i z π(i) pro nějakou permutaci π množiny {, 2,..., r}. Gaussovy obory integrity se někdy nazývají obory jednoznačné faktorizace. Jednoznačná faktorizace zaručuje existenci největšího společného dělitele libovolného páru nenulových prvků v oboru R, který je jednoznačný až na ekvivalenci. Jednoznačná faktorizace platí například v okruzích hlavních ideálů. 22
Definice 2.3. Množina I R je ideál v oboru integrity R, pokud x + y I pro všechna x, y I a navíc x y I, pro každé x I, y R. Ideál generovaný jedním prvkem, tj. tvaru I = xr, kde x R, se nazývá hlavní a značí se (x). Jestliže všechny ideály v R jsou hlavní, pak o R řekneme, že to je okruh hlavních ideálů. Věta 2.4. Nechť R je obor integrity. Je-li R okruh hlavních ideálů, pak je R Gaussův obor. Opačná implikace opět obecně neplatí, i když ve speciálním případě číselných oborů, kterými se budeme zabývat v tomto textu, jsou oba pojmy ekvivalentní. Ještě speciálnějším typem oborů integrity jsou obory Eukleidovy. V těch platí pravidla dělitelnosti velmi obdobná těm, které známe z oboru celých čísel Z. Definice 2.5. Obor integrity R se nazývá Eukleidův, jestliže existuje funkce φ : R \ {0} N s následujícími vlastnostmi: (i) pro každé nenulové x, y R platí, že x y implikuje φ(x) φ(y); (ii) pro každé nenulové x, y R existuje z, w R takové, že x = yz + w, přičemž buď w = 0 nebo φ(w) < φ(y). Věta 2.6. Nechť R je obor integrity. Je-li R Eukleidův, pak je okruhem hlavních ideálů. Speciálně je i Gaussův, a každý ireducibilní prvek v R je prvočíslem v R. V oboru celých čísel jsou dobře známy dva postupy hledání největšího společného dělitele čísel a, b Z, který existuje, protože Z je Gaussův obor. Jeden z postupů využívá rozkladu a i b na prvočísla. Hledání rozkladů je časově náročné a pro mnohamístná a, b v podstatě nemožné. Druhý, mnohem rychlejší algoritmus využívá vlastnosti nsd(a, b) = nsd(a b, b), a tím převádí úlohu na čísla s menší absolutní hodnotou. V Z totiž absolutní hodnota hraje roli funkce φ z definice Eukleidova oboru. Práce v Eukleidových oborech je tedy příjemnější. 2.3 Okruhy polynomů Necht R je okruh. Výraz f(x) = a n x n + a n x n + + a x + a 0, a i R, se nazývá (formální) polynom nad R. Když n je nejvyšší takový index, že a n 0, pak řekneme, že f je polynom stupně n, značíme stf = n. Když a i = 0 pro všechna i, pak 23
f je nulový polynom, a pro něj stupeň nedefinujeme. Koeficient a n polynomu stupně n nazýváme vedoucí koeficient f. Je-li a n =, nazveme f monický polynom. Na množině polynomů zavádíme operaci sčítání po složkách, tj. je-li f(x) = a n x n + + a 0, g(x) = b m x m + + b 0, a bez újmy na obecnosti m n, pak položíme b m+ = b m+2 = = b n = 0 a (f ± g)(x) = (a n ± b n )x n + (a ± b )x + a 0 ± b 0. Součin polynomů f, g je polynom (fg)(x) = m+n k=0 c k x k, kde c k = a 0 b k + a b k + + a k b 0 = i+j=k a i b j. Množina polynomů nad okruhem R s těmito operacemi tvoří okruh, který značíme R[x]. Můžeme postupovat indukcí a definovat i polynomy více proměnných, které budou tvořit okruh R[x,..., x m ] = (R[x,..., x m ])[x m ], jehož prvky lze zapsat ve tvaru f(x, x 2,..., x m ) = k,k 2,...,k m a k k 2...k m x k x k 2 2 x k m m, kde a k k 2...k m R. Všechny pojmy zavedené v sekci 2.2 lze zkoumat i pro tuto množinu, protože platí následující věta. Věta 2.7. Je-li R obor integrity, pak i okruh polynomů R[x,..., x m ], kde m N, je obor integrity. Až do konce sekce 2.3 se zaměříme na okruhy T [x], kde T je komutativní těleso. Pro ně totiž platí následující věta. Věta 2.8. Je-li T komutativní těleso, pak okruh polynomů T [x] je Eukleidův obor. Roli funkce φ : T [x] N hraje stupeň polynomu, φ(f) = stf, pro f T [x]. Pro okruh T [x] tedy můžeme tedy vyslovit větu o dělení se zbytkem. Věta 2.9 (o dělení polynomů). Necht f, g T [x], a necht g je nenulový polynom. Pak existují jednoznačně určené polynomy q, r T [x] tak, že f = qg + r, přičemž r je bud nulový polynom nebo str < stg. Úlohu jednotek v okruhu T [x] hrají konstantní polynomy a T \ {0}, polynomy f a g jsou asociované f g, jestliže f = ag. Někdy je vhodné pracovat pouze s třídami 24
ekvivalence a z každé z nich vybrat jako reprezentanta jediný monický polynom, který se v třídě nachází. Protože T [x] je Eukleidův obor, splývají pojmy ireducibilního prvku a prvočísla, a to jsou v T [x] právě polynomy ireducibilní nad T. Definice 2.20. Polynom h T [x] kladného stupně se nazývá ireducibilní nad T, jestliže jej nelze rozložit na součin h = fg, kde f, g T [x] a platí stf < sth, stg < sth. V obecném Gaussově okruhu je rozklad na ireducibilní prvky jednoznačný až na pořadí a násobení jednotkou. Ve Větě o jednoznačné faktorizaci na ireducibilní polynomy můžeme přidat podmínku, že hledané ireducibilní polynomy jsou monické. Věta 2.2. Necht f je monický polynom kladného stupně nad tělesem T. Pak existují monické polynomy g,..., g k T [x] ireducibilní nad T tak, že f = g g 2 g k. Polynomy g,..., g k jsou určeny jednoznačně až na pořadí. Připomeňme formální definici největšího společného dělitele dvou polynomů. Abychom vyloučili nejednoznačnost z důvodu násobení konstantou, požadujeme od nsd(f, g) monickost. Definice 2.22. Necht f, g jsou nenulové polynomy nad tělesem T. Monický polynom h T [x] nazveme největší společný dělitel polynomů f, g, jestliže h f a h g, každý polynom h T [x] takový, že h f a h g, dělí h. Takový polynom značíme h = nsd(f, g). Snadno ověříme, že nsd(f, g) = nsd(f qg, g) pro každý polynom q T [x]. Jako důsledek máme následující tvrzení, které nám bude několikrát užitečné. Věta 2.23. Necht f, g jsou nenulové polynomy nad tělesem T. Pak existují polynomy u, v T [x] tak, že uf + vg = nsd(f, g). Důkaz. Větu dokážeme indukcí na součet stupňů polynomů f a g. Bez újmy na obecnosti předpokládejme, že oba polynomy jsou monické. Pokud stf + stg = 0, znamená to, že f(x) = g(x) =. Potom nsd(f, g) = a lze volit u(x) = a v(x) = 0. Nechť nyní stf + stg > 0 a bez újmy na obecnosti stf stg. Pak buď g f, a tedy nsd(f, g) = g a volíme u(x) = 0 a v(x) =. Nebo g f, a proto existují polynomy q a r takové, že f = qg + r, přičemž str < stg. Protože str + stg < stf + stg, z indukčního 25
předpokladu existují polynomy ũ, ṽ tak, že ũr + ṽg = nsd(r, g). Protože platí nsd(f, g) = nsd(f qg, g) = nsd(r, g), a proto nsd(f, g) = nsd(r, g) = ũr + ṽg = ũ(f qg) + ṽg = ũf + (ṽ ũq)g. Za polynomy u, v lze tedy volit u = ũ a v = ṽ ũq. 2.4 Konstrukce těles a tělesové automorfismy Definice 2.24. Necht T s operacemi + a je těleso a K T. Pokud K s operacemi + a zúženými na K je také těleso, pak K nazýváme podtělesem tělesa T. Na těleso T pak lze nahlížet jako na vektorový prostor nad tělesem K. Dimenzi tohoto vektorového prostoru značíme [T : K]. Příklad 2.25. Reálná čísla R jsou podtělesem komplexních čísel C; čísla a i tvoří bázi C nad R. Proto je [C : R] = 2. Rovněž je Q podtělesem R. V tomto případě je [R : Q] = +. Věta 2.26. Necht K je podtěleso tělesa L s [L : K] < + a necht L je podtěleso tělesa M s [M : L] < +. Pak [M : K] = [M : L][L : K]. Důkaz. Označme [L : K] = n a [M : L] = m. Necht e, e 2,..., e n L je báze L nad K a necht f, f 2,..., f m M je báze M nad L. Snadno lze ověřit, že soubor vektorů e i f j M pro i =, 2,..., n a j =, 2,..., m tvoří bázi vektorového prostoru M nad K. Tělesa, se kterými běžně pracují všechny oblasti matematiky, jsou nekonečná tělesa Q, R, C a konečná tělesa Z p, pro provočíslo p. Připomeneme si postup, jak konstruovat i další tělesa. Věta 2.27. Necht T je komutativní těleso a f T [x] je ireducibilní polynom stupně n. Definujme M := {g T [x] stg < n} a operace a na M takto: součet g g 2 je definovaný stejně jako v okruhu polynomů T [x], součin definujeme g g 2 := zbytek po dělení polynomu g g 2 polynomem p. Pak množina M s operacemi a je těleso. Budeme jej značit T [x] /f. 26
Důkaz. Kvůli vlastnostem okruhu T [x] je důkaz této věty jednoduchý. Uzavřenost na operace a je zřejmá, zrovna tak jako platnost distributivního zákona a existence opačného prvku k prvku g vzhledem k. Pro existenci inverzního prvku k nenulovému prvku g M vzhledem k využijeme Větu 2.23, podle které najdeme polynomy u a v tak, že ug + vf = nsd(g, p). Protože při konstrukci požadujeme iraducibilitu polynomu f, je nsd(g, f) =, a proto je zbytek po dělení součinu polynomů ug roven. Z konstrukce T [x] /f je jasné, že T je podtěleso nového tělesa T [x] /f. Proto má smyslu otázka na dimenzi vektorového prostoru T [x] /f nad T. Jelikož polynomy, x, x 2,..., x n jsou lineárně nezávislé nad T a lze z nich pomocí koeficientů z T nakombinovat libovolný prvek v M, dostaneme následující tvrzení. Důsledek 2.28. Necht T je komutativní těleso a f T [x] je ireducibilní polynom stupně n. Pak [ T [x]/f : T ] = n. Příklad 2.29. Když uvažujeme ve větě 2.27 těleso R a nad ním ireducibilní polynom f(x) = x 2 +, dostaneme těleso R[x] /f, jehož prvky jsou polynomy stupně nanejvýš, tj. tvaru a + xb, kde a, b R. Když místo písmenka x použijeme pro proměnnou písmenko i dostaneme obvyklý zápis tělesa komplexních čísel C. Předchozí příklad demonstruje, že tělesa C a R[x] /f jsou stejná, jenom jejich prvky různě zapisujeme. Formalizujme tento vágní pojem stejnosti. Definice 2.30. Bijektivní zobrazení ψ : T T 2 tělesa T s operacemi + a na těleso T 2 s operacemi + 2 a 2 se nazývá izomorfizmus, pokud ψ(x + y) = ψ(x) + 2 ψ(y) a ψ(x y) = ψ(x) 2 ψ(y) pro každé x, y T. Pokud jsou si tělesa T a T 2 rovny, nazýváme ψ automorfizmem tělesa T = T = T 2. Množina automorfizmů tělesa spolu s operací skládání zobrazení tvoří grupu, tu budeme značit Aut T. Poznámka 2.3. Když zvolíme v okruhu Z p [x] dva ireducibilní polynomy f a g stejného stupně n, pak lze dokázat, že tělesa Z p [x] /f a Z p [x] /g jsou izomorfní. Proto prvočíslo p a stupeň polynomu n určují těleso až na izomorfizmus jednoznačně. Takové těleso má p n prvků a zapisuje se GF (p n ), bez udání konkrétního polynomu. To však není obecným pravidlem. Jak uvidíme v kapitole o algebraických tělesech, pro tělesa Q[x] /f bude tvar polynomu f důležitý. 27
Věta 2.27 nám dala návod, jak zkonstruovat k tělesu T nějaké jeho nadtěleso. Následující jednoduchý fakt nám dá návod, jak hledat podtělesa tělesa T. Lemma 2.32. Necht pro všechny parametry α indexové množiny I je T (a) podtělesem tělesa T. Pak T (a) je podtělesem tělesa T. a I Poznámka 2.33. Průnik všech podtěles tělesa T je minimálním podtělesem tělesa T a nazývá se prvotěleso tělesa T. Protože prvotěleso musí obsahovat 0 a a také musí být uzavřené na operace + a, rozhoduje o tvaru prvotělesa fakt, zda součtem konečně mnoha jedniček v T lze dostat výsledek 0. Když tomu tak není, řekneme, že charakteristika tělesa T je 0 a jeho prvotělesem je Q, v opačném případě nazveme charakteristikou tělesa T číslo p, kde p je minimální počet jedniček jejichž součet je roven nule. Prvotělesem tělesa T je pak těleso Z p. Příklad 2.34. Uvažujme L podtěleso tělesa C. Vezměme komplexní α, které je kořenem polynomu f(x) = x 2 + ax + b pro a, b L. Zkoumejme minimální těleso, které obsahuje L i číslo α, L(α) := {S S je podtěleso C, L S, α S}. Je-li samotné α L, pak L(α) = L. V opačném případě je polynom f ireducibilní nad L a L(α) je izomorfní tělesu L[x] /f. Podle Důsledku 2.28 je [L(α) : L] = 2. Jak jsme už konstatovali, množina automorfizmů Aut T tělesa T tvoří grupu. Běžně používaným automorfizmem (aniž mu tak říkáme) je komplexní združení ψ(a + ib) = a + ib = a ib v tělese C. Žádný běžně používaný automorfizmum tělesa R se nám nevybaví. Důvod je jednoduchý, jak ukážeme za chvilku: grupa Aut R obsahuje pouze indentitu. Lemma 2.35. Necht T, T 2 jsou tělesa s prvotělesem K. Nechť ψ : T T 2 je izomorfizmus. Pak ψ(x) = x pro každé x K. Důkaz. Připomeňme, že prvotělesem K může být buď těleso Z p nebo Q. Nejdříve ukážeme, že z vlastností ψ(x + y) = ψ(x) + ψ(y) plyne ψ(0) = 0 a ψ( x) = ψ(x). Máme totiž ψ(0) = ψ(0 + 0) = ψ(0) + ψ(0) = ψ(0) = 0, 0 = ψ(0) = ψ(x + ( x)) = ψ(x) + ψ( x) = ψ( x) = ψ(x). (2.) 28
Uvažujme prvek x 0 T, pro který ψ(x 0 ) 0. Pro k N máme ψ(k)ψ(x 0 ) = ψ(kx 0 ) = ψ(x 0 ) + + ψ(x 0 ) = kψ(x 0 ) = ψ(k) = k. (2.2) Je-li prvotělesem Z p, je důkaz hotov. Předpokládejme proto, že K = Q. Ze vztahů (2.) a (2.2) plyne ψ(k) = k pro každé k Z. Pro p Z a q N dostaneme p = ψ(p) = ψ ( q p q ) = ψ(q)ψ ( p q ) = qψ ( p q ) = ψ ( ) p q = p. q Věta 2.36. Jediným automorfizmem tělesa R je identita. Důkaz. Využijeme následujících tří vlastností tělesa R:. prvky R jsou uspořádané podle velikosti, 2. s každým kladným prvkem leží v R i jeho odmocnina, 3. mezi libovolnými dvěma prvky z R leží racionální číslo. Nejdřív ukážeme, že automorfizmus zachovává uspořádání. Uvažujme a, b R, b > a. Najděme c R tak, že b a = c 2. Z definice automorfizmu plyne ψ(b) ψ(a) = ψ(b a) = ψ(c 2 ) = (ψ(c)) 2 > 0 = ψ(b) > ψ(a). Ted použijeme tvrzení Lemmatu 2.35. Kdyby pro a R platilo a ψ(a), muselo by podle vlastnosti 3. existovat y Q takové, že a < y < ψ(a) nebo ψ(a) < y < a. Je-li například a < y, pak protože ψ zachovává uspořádání, máme ψ(a) < ψ(y) = y < ψ(a), a to je spor. Případ y < a vyloučíme stejně. Poznámka 2.37. V důkazu předchozí věty jsme využili jenom tří vyjmenovaných vlastností R (nepotřebovali jsme např. úplnost R). Proto jediným automorfizmem každého tělesa, které má zmíněné vlastnosti, je identita. 29
3 Něco o polynomech 3. Polynomy nad C a nad R Kořenem polynomu f T [x] rozumíme prvek α (obecně z nějakého nadtělesa U tělesa T ) takový, že f(α) = 0. Je-li α kořenem f, pak f je dělitelný polynomem (x α). Pro polynomy s koeficienty v tělese komplexních čísel platí základní věta algebry, která říká, že každý polynom kladného stupně má v C alespoň jeden kořen. Odtud už lze snadno odvodit, že každý polynom f C[x] stupně stf = n má právě n kořenů v C a lze tedy zapsat ve tvaru n f(x) = c (x α i ), kde c C. i= Není těžké ukázat, že α j musí být navzájem různé, pokud je polynom f ireducibilní nad Q. Lemma 3.. Necht f Q[x] je monický polynom ireducibilní nad Q. Pak f má n různých kořenů v C. Důkaz. Označme h největší společný dělitel f a f. Protože f je ireducibilní nad Q, je h = f nebo h =, ale h f, a proto h =. Protože h = nsd(f, f ), existují polynomy u, v tak, že h = uf + vf. Jestliže β je alespoň dvojnásobný kořen polynomu f, pak f(β) = f (β) = 0, a proto taky h(β) = 0, což je spor s h =. 3.2 Polynomy nad Q a nad Z Podívejme se nyní blíž na polynomy s koeficienty v tělese Q a okruhu Z. Pro takové polynomy lze vyslovit několik zajímavých tvrzení ohledně jejich dělitelnosti. Lemma 3.2 (Gaussovo lemma). Necht f, g Z[x] a každý koeficient součinu h = fg je dělitelný prvočíslem p. Pak p dělí bud všechny koeficienty polynomu f nebo všechny koeficienty polynomu g. 30
Důkaz. Necht f(x) = n a i x i, g(x) = i=0 m b j x j, a i, b j Z. (3.) j=0 Potom h(x) = m+n k=0 c k x k, kde c k = i+j=k a i b j. (3.2) Pro spor předpokládejme, že existuje prvočíslo p, které dělí všechny koeficienty polynomu h = fg, a přitom p nedělí ani všechny koeficienty a i, ani všechny koeficienty b j. Označme i 0, j 0 nejmenší indexy takové, že p a i0 a p b j0. Koeficient polynomu h u mocniny x i 0+j 0 je roven c i0 +j 0 = a i b j = a i0 b j0 + ai b j, i+j=i 0 +j 0 kde ve druhé sumě sčítaḿe přes indexy i, j takové, že i + j = i 0 + j 0 a přitom i < i 0 nebo j < j 0. V této sumě je každý sčítanec dělitelný p, takže celkově koeficient c i0 +j 0 p není, což je spor. dělitelný Poznámka 3.3. Tvrzení lemmatu je někdy ekvivalentně formulováno pomocí pojmu primitivního polynomu. Polynom f Z[x] se nazývá primitivní, jestliže největší společný dělitel jeho koeficientů je roven. Gaussovo lemma pak říká, že součin dvou primitivních polynomů je opět primitivní polynom. Ukážeme, že monický polynom v Q[x], který dělí nějaký monický polynom v Z[x], má sám celočíselné koeficienty. Lemma 3.4 (o faktorizaci celočíselných polynomů). Necht f Q[x], h Z[x] jsou monické polynomy. Jestliže f h, pak f Z[x]. Důkaz. Jestliže f h, pak h = fg pro nějaký polynom g Q[x]. Protože f a h jsou monické, je i polynom g monický. Polynomy f, g lze vynásobit celými čísly r, s Z tak, aby rf a sg byly primitivní polynomy v Z[x]. Podle Gaussova lemmatu je součin primitivních polynomů zase primitivní, ale přitom všechny koeficienty polynomu rsh = rsf g jsou dělitelné číslem rs. Proto nutně rs = a r = ±, s = ±. Odtud už ale zřejmě plyne f Z[x]. Důsledkem Věty 3.4 je zajímavé kritérium ireducibility polynomů. Věta 3.5 (Eisensteinovo kriterium ireducibility). Necht p Z je prvočíslo a necht h(x) = x n + n j=0 c jx j Z[x]. Necht dále platí: 3
p c j pro všechna j {0,, 2,..., n }, p 2 c 0. Pak h je ireducibilní nad Q. Důkaz. Myšlenka důkazu je podobná jako u Gaussova lemmatu. Předpokládejme pro spor, že polynom h je reducibilní nad Q, tedy že existují polynomy f, g stupně menšího než n tak, že h = fg. Z Věty 3.4 plyne, že lze tyto polynomy zvolit monické, s celočíselnými koeficienty, tedy ve tvaru (3.), kde a n = b m = a proto p a n a p b m. Označme i 0, j 0 nejmenší indexy takové, že p a i0 a p b j0. Ukážeme, že i 0 = n a j 0 = m. V opačném případěby totiž bylo i 0 + j 0 < m + n. Polynom h = fg je pak tvaru (3.2). V sumě c i0 +j 0 = a i b j = a i0 b j0 + ai b j, i+j=i 0 +j 0 kde ve druhé sumě sčítaḿe přes indexy i, j takové, že i + j = i 0 + j 0 a přitom i < i 0 nebo j < j 0. V této sumě je každý sčítanec dělitelný p. Protože a i0 b j0 koeficient c i0 +j 0 a j 0 = n. není dělitelné p, i není dělitelný p. Z předpokladu věty plyne i 0 + j 0 = m + n a proto i 0 = n Proto jsou oba koeficienty a 0 i b 0 dělitelné p a jejich součin c 0 = a 0 b 0 je dělitelný p 2. To je ovšem spor. Příklad 3.6. Necht p je prvočíslo. Pomocí Eisensteinova kritéria ukážeme ireducibilitu polynomu p f(x) = + x + x 2 + + x p = x j = xp x, Abychom kritérium mohli vhodně použít, zaved me polynom f(x) = f(x + ). Pak ( p f(x) = (x + )p = ( ) ) p x j = p ( ) p x j = x x j x j j=0 = j=0 p j= j= ( ) p x j = j p j= ( ) p x j. j + Protože koeficient u nejvyšší mocniny x p je roven ( p p) =, je polynom f monický. Ostatní koeficienty polynomu f jsou tvaru ( p i), kde 0 < i < p, jsou proto dělitelné prvočíslem p. Koeficient u x 0 je roven ( p ) = p, tj. není dělitelný p 2. Polynom f tedy splňuje předpoklady Eisensteinova kritéria, a proto není reducibilní nad Q. Odtud plyne, že ani f není reducibilní nad Q. V opačném případě je f(x) = g(x)h(x) a f(x) = g(x + )h(x + ) je pak faktorizace f. 32
3.3 Cyklotomické polynomy Číslo ζ C takové, že ζ n =, se nazývá n-tý kořen z jedničky. Tyto kořeny mají tvar e 2πik n, pro k = 0,,..., n. Tvoří multiplikativní cyklickou grupu W n, jejíž generátory jsou primitivní n-té kořeny z jedničky, tj. ty, jejichž řád v grupě W n je roven n. Je-li ζ primitivní n-tý kořen z jedničky, pak ζ k je primitivní n-tý kořen z jedničky, právě když k je nesoudělné s n. Proto je primitivních n-tých kořenů z jedničky právě ϕ(n), kde ϕ je Eulerova funkce. Definice 3.7. Necht ζ je nějaký primitivní n-tý kořen z jedničky. Polynom Φ n (x) = k n, k n nazýváme n-tý cyklotomický polynom nad Q. (x ζ k ) Poznámka 3.8. Stupeň n-tého cyklotomického polynomu je ϕ(n). Polynom Φ n (x) je vlastně součinem Φ n (x) = (x λ) přes všechny kořeny z jedničky řádu n. Odtud snadno plyne následující rozklad polynomu x n. Věta 3.9. Necht n N. Pak platí x n = d n Φ d (x). Protože stupeň n-tého cyklotomického polynomu je roven ϕ(n), odvodili jsme následující vztah pro Eulerovu funkci. Věta 3.0. Necht n N. Potom n = d n ϕ(d). Příklad 3.. Rozložme na součin ireducibilních faktorů polynom x 6. Z Věty 3.9 máme x 6 = Φ (x)φ 2 (x)φ 3 (x)φ 6 (x). Jednotlivé cyklotomické polynomy v součinu určíme přímo z definice, když si uvědomíme, že mezi ζ k, k = 0,,..., 6, ζ = e 2πi 6, má ζ 0 = řád v grupě W 6, ζ 3 = řád 2, řád 3 mají ζ 2 = e 2πi 3 a ζ 4 = e 4πi 3 primitivní prvky grupy W 6 (řádu 6 ve W 6 ) jsou ζ = e πi 3 a 33
ζ 5 = e 5πi 3. Je proto Φ (x) = x Φ 2 (x) = x + ( ) ( Φ 3 (x) = x e 2πi 3 ( ) ( Φ 6 (x) = x e πi 3 x e 4πi 3 x e 5πi 3 ) = x 2 2x cos 2π 3 + = x2 + x + ) = x 2 2x cos π 3 + = x2 x + Věta 3.2. Φ n (x) má celočíselné koeficienty a koeficient absolutního členu je ±. Důkaz. Tvrzení dokážeme indukcí ne n. Víme, že Φ (x) = x splňuje žádanou vlastnost. Předpokládejme pro n >, že pro všechny d < n tvrzení platí. Máme x n = d n Φ d (x) = Φ n (x) d n,d<n Φ d (x) Můžeme psát Φ n (x) = a 0 + a x + a 2 x 2 + a l x l pro nějaké l N. Podobně označme d n,d<n Φ d(x) = b 0 + b x + b 2 x 2 + + b j x j. Tento polynom s použitím indukčního předpokladu splňuje b i Z, b 0 = ±. Porovnáním koeficientů u jednotlivých mocnin x v rovnosti získáme postupně atd. x n = (a 0 + a x + a 2 x 2 + a l x l )(b 0 + b x + b 2 x 2 + + b j x j ) x 0 : = a 0 b 0 a 0 = b 0 = ±, x : 0 = a 0 b + a b 0 a = b 0 a 0 b Z, x 2 : 0 = a 0 b 2 + a b + a 2 b 0 a 2 = b 0 (a 0 b 2 + a b ) Z, Příklad 3.3. Nechť n = p je prvočíslo. Z Věty 3.9 platí x p = Φ p (x)φ (x) a proto je p-tý cyklotomický polynom Φ p (x) roven Φ p (x) = xp x = + x + x2 + + x p. Z Příkladu 3.6 víme, že tento polynom je ireducibilní nad Q. Pro n = p k, kde p je prvočíslo a k N, opět použijeme Větu 3.9, Odtud dostaneme x pk = k Φ p j(x) = Φ p k(x) (x pk ). j= Φ p k(x) = xpk x pk = + xpk + x 2pk + + x (p )pk. 34