Stavební statika, 1.ročník bakalářského studia Zakřivený nosník Rovinně zakřivený nosník v rovinné úloze geometrie, reakce, vnitřní síly Katedra stavební mechaniky Fakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava 1
Tvar a podepření rovinného zakřiveného nosníku vrchol +x Složky reakcí z podmínek rovnováhy R ax ( x) k.x z = a +z symetrická geometrie oblouku rozpětí l ψ b f vzepětí tečna ke střednici prutu = derivace funkce = tg ψ (v každém bodě jiný směr) dz tgψ = = [ k. x ] =. k. x dx dx ψ dz R az R bz Tvar střednice: nejčastěji oblouk kvadratické paraboly, kružnice, paraboly 4 o, řetězovky. ( x) k.x z = z k = = x a a z x b b nesymetrická geometrie
Zatížení rovinně zakřiveného nosníku v rovinné úloze Druhy zatížení: svislá a vodorovná na jednotku délky svislá a vodorovná na jednotku délky vodorovného a svislého průmětu kolmé a tečné ke střednici. (a) (b) (c) (d) (e) q = q.cosψ závěsy mostovky sníh vlastní tíha (f) (g) (h) * p = q.sinψ p = n.cosψ * q = q.cosψ q = n.sinψ p = p.sinψ hydrostatický tlak, vítr Různé typy zatížení rovinně zakřiveného nosníku v rovinné úloze 3
Rovinně zakřivený nosník Žďákovský obloukový most z r.1965, délka 540 m, hlavní oblouk o rozpětí 330 m podpírá konstrukci mostovky ve výšce 50 m nad hladinou jezera Orlické přehrady. 4
Výpočet vnitřních sil v zadaném průřezu ψ Sklon tečny ke střednici nosníku ( x) k.x z = dx z z k = = ψ x x a a tgψ = b b dz = dx [ k. x ] =. k. x dz Pomocné vnitřní svislé S a horizontální H síly 5
Výpočet vnitřních sil v zadaném průřezu Rozklad S,H sil na složky rovnoběžné a kolmé k tečně S V N M tg ψ =.k.x Pozn: Není nutné počítat úhel ψ. Potřebné goniometrické funkce možno stanovit ze vztahů: cosψ = 1 1+ tg ψ H V S M N H ψ sinψ = N V tgψ 1+ tg ψ Síly S,H možno uvažovat dle znaménkové konvence v obr. vlevo, potom vždy platí: = H.cosψ + S.sinψ = H.sinψ + S.cosψ Nebo ve skutečných směrech S,H a řešit z podmínek rovnováhy dle příkladu 1 6
Příklad 1 řešení vnitřních sil pouze v zadaných bodech Bude součástí písemné zkoušky. Dáno: - symetrická geometrie, l = 6m, f = 5m x = 3 m, z = m - bod d, respektive x d =m Vzorce pro výpočet: cosψ = sinψ = ( ) 1 1+ tg ψ tgψ 1+ tg ψ q = 10kN / a a 5 ( x) k.x z = z k = = x a a z x b b tg ψ =.k.x m Úkol: V bodě d spočítat vnitřní síly Řešení: Viz dále Postup výpočtu: 1) Rovnice oblouku, souřadnice obou podpor ) Souřadnice působiště zatížení 3) Souřadnice zadaných bodů včetně hodnot goniometrických funkcí úhlu ψ v zadaných bodech 4) Výpočet reakcí (3+1 podmínky rovnováhy!!!) 5) Výpočet pomocných vnitřních sil: svislá S a horizontální H síly + ohybový moment M (kladná znaménková konvence shodná s H,V,M silami přímého prutu viz dále) 6) Rozklad S a H do směrů kolmých a rovnoběžných se střednici prutu v daném bodě 7) Výpočet vnitřních sil: V je součet kolmých složek S a H N je součet rovnoběžných složek S a H M je vyřešen již v 5) 7 8) Nutno dodržet znaménkovou konvenci vnitřních sil N,V,M ψ
Příklad 1 geometrie, reakce (bod 1-4 dle postupu řešení) x = 3m, z 5m, a a = ( x) k. x, z = k xb = 3 m, zb = 5m za zb = = = 0,555 x x a b tg ψ =.k.x xd = m zd = k. x d =, m nebo lépe: 1 cosψ = = 0,410 1+ tg ψ sinψ = tgψ = 0,91 1+ tg ψ
Příklad 1 vnitřní síly v bodě d výpočet zprava (bod 5-8) N d = d d 39,5kN, V = 37,05kN, M = 118,056kNm
Příklad 1 vnitřní síly v bodě d výpočet zleva (bod 5-8) N d = d d 39,5kN, V = 37,05kN, M = 118,056kNm
Příklad 1 rovnováha rozděleného oblouku (ke kontrole) Podmínky rovnováhy levé části F ix = 0: Σ M i,d = 0: M + F iz = 0: Q + H = 0 H = 50kN d + ( 3 + xd ) Raz ( 0,5 f zd ) Q = 0 M d S Raz = 0 S = 0, 833kN Σ M i,b = 0: kontrola Podmínky rovnováhy pravé části F ix = 0: F iz = 0: Σ M i,d = 0: H Rbx = 0 H = 50kN S + Rbz = 0 S = 0, 833kN M d ( 3 xd ) Rbz ( 5 zd ) Rbx = 0 M d Σ M i,b = 0: kontrola
Příklad k samostatnému procvičení (návod viz samostatný soubor) Úkol: d V bodě c a d spočítat vnitřní síly N,V,M dle návodu v příkladu 1 Nápověda: V bodě d budou hodnoty horizontální síly H da, H db hodnoty N i V V bodě d zakreslíte pomyslný řez x: 1- těsně vlevo od bodu d (síla F působí v pravé části) v obou částech spočítáte hodnotu H da, výsledek vyjde v obou částech stejně - těsně vpravo od bodu d (síla F působí v levé části) v obou částech spočítáte hodnotu H ad, výsledek vyjde v obou částech stejně
Příklad 3 řešení vnitřních sil na celém nosníku Zadání a výpočet reakcí - pomocí podmínek rovnováhy Bude součástí ústní zkoušky. 1. F ix = 0: q. f Rax = 0 R = q. f = 1kN ax ( ) +x. Σ M i,a = 0: R ax +z R q. f bz = + R q. f. l bz. l = 0 =,40kN ( ) R az R bz 3. Σ M i,b = 0: 4. kontrola R az q. f = =,40kN. l ( ) F iz = 0: R az + R bz = 0 13
Příklad 3 řešení vnitřních sil na celém nosníku Vzepětí Geometrie prutu Tabulkový výpočet (Excel) ( x) k.x z = tg ψ =.k.x cosψ = sinψ = 0,00,00 4,00-5,00 4,00 3,4-4,00 1+ tg ψ -3,00 1 tgψ 1+ tg ψ -,00-1,00 Rozpětí 0,00 1,00,00,56 1,96 1,44 1,00 0,64 0,36 0,16 0,04 0,00 0,04 0,16 0,36 0,64 1,00 1,44 1,96,56 Geometrie oblouku 3,00 4,00 5,00 3,4 4,00 x z tg ψ ψ [rad] ψ [deg] cos ψ sin ψ -5,00 4,00-1,600000-1,01197-57,994617 0,59999-0,847998-4,50 3,4-1,440000-0,963809-55,169 0,570396-0,81370-4,00,56-1,80000-0,907593-5,00168 0,615644-0,78804-3,50 1,96-1,10000-0,84194-48,39700 0,666016-0,745938-3,00 1,44-0,960000-0,764993-43,830861 0,71387-0,6953 -,50 1,00-0,800000-0,674741-38,659808 0,780869-0,64695 -,00 0,64-0,640000-0,569313-3,61943 0,8471-0,539054-1,50 0,36-0,480000-0,44750-5,641006 0,90153-0,43731-1,00 0,16-0,30000-0,309703-17,74467 0,9544-0,304776-0,50 0,04-0,160000-0,158655-9,09077 0,987441-0,157991 0,00 0,00 0,000000 0,000000 0,000000 1,000000 0,000000 0,50 0,04 0,160000 0,158655 9,09077 0,987441 0,157991 1,00 0,16 0,30000 0,309703 17,74467 0,9544 0,304776 1,50 0,36 0,480000 0,44750 5,641006 0,90153 0,43731,00 0,64 0,640000 0,569313 3,61943 0,8471 0,539054,50 1,00 0,800000 0,674741 38,659808 0,780869 0,64695 3,00 1,44 0,960000 0,764993 43,830861 0,71387 0,6953 3,50 1,96 1,10000 0,84194 48,39700 0,666016 0,745938 4,00,56 1,80000 0,907593 5,00168 0,615644 0,78804 4,50 3,4 1,440000 0,963809 55,169 0,570396 0,81370 5,00 4,00 1,600000 1,01197 57,994617 0,59999 0,847998 14 6,00
Příklad 3 řešení vnitřních sil na celém nosníku N Výpočet vnitřních sil M tady směry S,H sil dle obr. H = H = R R ax ax S = R az ( f z) q. levá polovina q. f = 0 pravá polovina N = H.cosψ + S.sinψ V = H.sinψ + S.cosψ q R ax H f l R az R bz S V M H ψ N V S H [kn] S [kn] N [kn] V [kn] 1,000000 -,400000 8,395183-8,90398 9,70000 -,400000 7,515535-6,614766 7,680000 -,400000 6,619405-4,574481 5,880000 -,400000 5,70643 -,787676 4,30000 -,400000 4,778470-1,60408 3,000000 -,400000 3,841875 0,000000 1,90000 -,400000,910890 0,986468 1,080000 -,400000,01199 1,696306 0,480000 -,400000 1,18865,13956 0,10000 -,400000 0,497670,350899 0,000000 -,400000 0,000000,400000 0,000000 -,400000-0,379177,369858 0,000000 -,400000-0,73146,85818 0,000000 -,400000-1,038555,163655 0,000000 -,400000-1,9379,01451 0,000000 -,400000-1,49968 1,874085 0,000000 -,400000-1,66076 1,731330 0,000000 -,400000-1,79050 1,598438 0,000000 -,400000-1,89158 1,477546 0,000000 -,400000-1,97188 1,368950 0,000000 -,400000 -,035196 1,71997 15
Příklad 3 řešení vnitřních sil na celém nosníku Vykreslení vnitřních sil N, V síly Normálová síla 10,00 0,00-10,00-5,00-4,00-3,00 Normálová síla -,00-1,00 0,00 1,00,00 3,00 Rozpětí 4,00 5,00 8,40 7,5 6,6 5,71 4,78 3,84,91,01 1,19 0,50 0,00-0,38-0,73-1,04-1,9-1,50-1,66-1,79-1,89-1,97 -,04-5,00 1,00-8,90-6,61-4,00-4,57 -,79-3,00-1,6 0,00 Posouvající síla -,00 0,99 1,70-1,00,14,35 0,00,40,37 1,00,9,16,00,0 1,87 3,00 1,73 1,60 4,00 1,48 1,37 5,00 1,7 H [kn] S [kn] N [kn] V [kn] 1,000000 -,400000 8,395183-8,90398 9,70000 -,400000 7,515535-6,614766 7,680000 -,400000 6,619405-4,574481 5,880000 -,400000 5,70643 -,787676 4,30000 -,400000 4,778470-1,60408 3,000000 -,400000 3,841875 0,000000 1,90000 -,400000,910890 0,986468 1,080000 -,400000,01199 1,696306 0,480000 -,400000 1,18865,13956 0,10000 -,400000 0,497670,350899 0,000000 -,400000 0,000000,400000 0,000000 -,400000-0,379177,369858 0,000000 -,400000-0,73146,85818 0,000000 -,400000-1,038555,163655 0,000000 -,400000-1,9379,01451 0,000000 -,400000-1,49968 1,874085 0,000000 -,400000-1,66076 1,731330 0,000000 -,400000-1,79050 1,598438 0,000000 -,400000-1,89158 1,477546 0,000000 -,400000-1,97188 1,368950 0,000000 -,400000 -,035196 1,71997 16
Příklad 3 řešení vnitřních sil na celém nosníku Vykreslení vnitřních sil ohybové momenty M = R M = R Ohybový moment ax ax ( f z). R az l. l q. + x Ohybový moment ( f z) ( f z) R. + x q. f. z. az levá polovina 0,00 7,05 11,77 14,64 16,09 16,50 16,19 15,41 14,36 13,0 1,00 10,80 9,60 8,40 7,0 6,00 4,80 3,60,40 1,0 0,00-5,00-4,50-4,00-3,50-3,00 -,50 -,00-1,50-1,00-0,50 0,00 0,50 1,00 1,50,00,50 3,00 3,50 4,00 4,50 5,00 f pravá polovina -R az.(l/+x) +R ax.(f-z) -q/.(f-z) M [knm] 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000-1,00000 9,10000-0,866400 7,053600 -,400000 17,80000-3,110400 11,769600-3,600000 4,480000-6,4400 14,637600-4,800000 30,70000-9,830400 16,089600-6,000000 36,000000-13,500000 16,500000-7,00000 40,30000-16,934400 16,185600-8,400000 43,680000-19,874400 15,405600-9,600000 46,080000 -,118400 14,361600-10,800000 47,50000-3,5400 13,197600-1,000000 48,000000-4,000000 1,000000-13,00000 47,50000-3,50000 10,800000-14,400000 46,080000 -,080000 9,600000-15,600000 43,680000-19,680000 8,400000-16,800000 40,30000-16,30000 7,00000-18,000000 36,000000-1,000000 6,000000-19,00000 30,70000-6,70000 4,800000-0,400000 4,480000-0,480000 3,600000-1,600000 17,80000 6,70000,400000 -,800000 9,10000 14,880000 1,00000-4,000000 0,000000 4,000000 0,000000 -q.f.(f/-z) 17
Klenbový účinek v trojkloubovém oblouku K jakémukoliv svislému zatížení působícímu na oblouk lze teoreticky najít takový tvar střednice oblouku, při němž zatížení vyvolá v oblouku jen záporné normálové síly (tlak), zatímco ohybové momenty a posouvající síly jsou v celém oblouku rovny nule. Výhoda: menší rozměry průřezu Klenbový účinek v trojkloubovém oblouku vznikne tehdy, je-li střednice oblouku (a) geometricky podobná křivce popisující průběh ohybových momentů (c) na prostém nosníku (b), který je vodorovným průmětem oblouku (a) a je zatížen týmž svislým zatížením (udaným na jednotku délky vodorovného průmětu) jako oblouk (a). Důkaz: využití principu superpozice: zat M = M + M M M H ( x) ( x) ( x) zat ( x) = Raz x q x / H ( x) = Rax ( f z) = Rax z (a) (b) (c) (d) (e) M M zat H moment od svislých sil (c.) moment od horizontálních sil (e)
Klenbový účinek v historických objektech Kamenný klenbový most
Ukázky trojkloubového oblouku Maloměřický most z roku 198, 3 oblouky o rozpětí 33 m s průřezem 1 m, mezilehlá mostovka, Brno
Trojkloubový rám a oblouk s táhlem U trojkloubového rámu nebo oblouku vznikají vodorovné složky reakcí. (Čím nižší oblouk, tím větší reakce) Zachycení je někdy obtížné oblouk bývá uložen na zdech nebo štíhlých sloupech. Řešení: použití táhla. Táhlo slouží k odstranění velkých vodorovných složek reakcí. Táhlo je jednonásobná vnitřní vazba proti vzájemnému posunu spojovaných bodů (přenáší pouze N síly).
Okruhy problémů k ústní části zkoušky Rovinně zakřivený nosník v rovinné úloze geometrie, reakce, vnitřní síly
Příklad k procvičení
Příklad k procvičení
Příklad k procvičení
Nápověda k samostatnému procvičení
7
8
9